MATEMATICA DISCRETA (Contenido mínimo de la materia según Guía MAAP)

LOGICA SIMBOLICA

Definición de Lógica simbólica: La lógica simbólica es un sistema formal que analiza los

signos y lo que designan. la lógica simbólica usa una notación matemática para establecer

lo que designan los signos, y lo hace de forma más precisa y clara que la lengua también

constituye por sí misma un lenguaje, concretamente un meta lenguaje (lenguaje técnico

formal) que se emplea para hablar de la lengua como si de otro objeto se tratara: la lengua

es objeto de un determinado estudio semántico.

El objeto de estudio de la lógica: La lógica es una ciencia y su objeto de estudio lo

constituyen las formas, estructuras o esquemas del pensamiento. Si comparamos los

siguientes ejemplos de pensamientos, encontraremos que pueden referirse a cosas muy

diferentes (es decir, su contenido es variable), y sin embargo tienen estructuras comunes:

7 es un número primo y 4 es par.2.

La gasolina es inflamable y la potasa es cáustica.

Marzo tiene 30 días o marzo tiene 31 días.

El hombre hace su historia o la historia hace al hombre.

4 es impar o 4 es par.

Si el hombre hace su historia, entonces el destino es un mito.

Si 4 es par, entonces 4" también es par.

Si el tabaco produce cáncer, entonces los cigarros son un medio de suicidio.

Pese a tener diferente contenido, estos ejemplos pueden ser agrupados en tres clases, de

acuerdo con las expresiones "Y", "O", "si...entonces", que relacionan entre sí a

pensamientos como "4 es impar", a los que se llama proposiciones.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan

unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que

componen un razonamiento

La simbolización del lenguaje lógico: Al simbolizar un lenguaje lo que se persigue es,

básicamente, sencillez, claridad y exactitud. Es más sencillo y también resulta más claro y

exacto representar las cosas por medio de símbolos.

Por ello, la simbolización del lenguaje lógico nos permite examinar más fácilmente las

formas del pensamiento y sus leyes, las cuales es preciso seguir si queremos que nuestro

pensamiento sea correcto.

En la lógica proposicional se examinan las posibles relaciones entre proposiciones, sin

atender a su contenido. En esto es particularmente útil simbolizar las proposiciones con

simples literales y las expresiones mediante las cuales son relacionadas (como "Y", "O",

"si. . . entonces"), por medio de signos cuyo significado sea constante.

De esta manera es más fácil, como se verá más adelante, decidir si, por ejemplo, un

razonamiento es correcto o no, lo cual no siempre resulta sencillo como en el siguiente

caso:

"Si en la Luna hay vida, entonces en la Luna hay agua."

"No ocurre que en la Luna hay vida."

"Luego, no es cierto que en la Luna hay agua."

Proposiciones y Tablas de Verdad: En el desarrollo de cualquier teoría matemática se

hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones,

verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

Proposición: Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa,

pero no ambas cosas a la vez.

La gravedad vale 9.81 m/s2

V (q) = V

Calificación de una proposición: de acuerdo a su naturaleza una proposición se puede

clasificar en:

a) Declarativa: Son razonamiento que declara o narra un suceso.

b) Afirmativa: Son razonamiento que afirman un resultado o un suceso.

c) De negación: Son razonamientos que niegan un resultado o un suceso.

Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r......

Proposición simple: Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden

descomponerse en otras.

La notación p: Tres más cuatro es igual a siete, se utiliza para definir que:

p es la proposición: “tres más cuatro es igual a siete”.

Nota: No son consideradas proposiciones aquellas oraciones o pensamientos que sean de

interrogación, de admiración, de orden o deseo algo subjetivo que es propio de una persona

a no ser que se esté evaluando ella misma.

Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

a) Gabriel García Márquez escribió Cien a nos de soledad

b) 6 es un número primo.

Las siguientes no son proposiciones.

a) X + y > 5

b) ¿Te vas?

c) Tengo 10 Bs.

d) Viva Bolivia ( Exclamación)

Solución: En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será

verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación. EL

ejemplo (b), no es afirmación, por lo tanto no son proposiciones.

Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los

enunciados, solamente interesa su valor de verdad

Valor de Verdad: Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su

veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de

una proposición falsa es falso.

Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de

verdad de aquellas que lo sean.

a) p: Existe Premio Nobel de informática.

b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.

Solución:

a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es

verdadera o falsa.

Proposición Compuesta: Si las proposiciones simples p1, p2,..., pn se combinan para

formar la proposición P, diremos que P la es una proposición compuesta de p1,p2,..., pn.

Resolver:

“La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es

una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura

preferida” y “Mozart fue un gran compositor”

“Él es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos

proposiciones:

“Él es inteligente” y “Él estudia todos los días”

Nota: La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad

está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la

componen junto con la forma en que están conectadas.

Tablas de Verdad: La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las

posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1,p2,...,pn.

Cantidad de filas que deberán tener las tablas de verdad: Estas están determinadas por

la fórmula:

Numero de Fila = 2n

Donde n = cantidad de proposiciones

Entonces si hubiera dos proposiciones se tendrían:

Numero de filas = 23 = 8 filas

Resolver:

Si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la

tabla de verdad de P deber a recoger los siguientes valores de verdad.

P1 P2 P3

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Formulas proposicionales: Una formula proposicional es una representación simbólica y

matemática de un razonamiento lógico o de varios razonamientos los cuales pueden unirse

a través de conectores lógicos ocasionando que la sumatoria de estos razonamientos pueda

ser:

a) Tautología: Se da Cuando una formula proposicional tiene como conclusión final

una veracidad (Su resultado es totalmente verdadero).

b) Anti tautología: Es también llamada contradicción se da cuando una formula

proposicional tiene como conclusión final una falsedad (su resultado es totalmente

falso).

c) Contingencia: Se da cuando una formula proposicional tiene como conclusión final

ni una veracidad o ni una falsedad ósea carece de sentido (su resultado no es ni

verdadero de falso por lo tanto se lo conoce también como un razonamiento no

valido).

Conjunción (∧): Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de

ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q.

Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por:

El valor de la gravedad es 9,81 m/s

2 y el valor de Pi es 3,1416

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción (∨): Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de

ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p ∨ q.

Su tabla de verdad ser a, por tanto,

2 + 3 = 7 o 5 + 8 = 15

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Negación: Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la

proposición “no p” y la notaremos - p.

La tabla de verdad de esta nueva proposición, -p, es:

p -p

V F

F V

De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre

opuesto al valor verdadero de la afirmación original.

Proposición Condicional-implicación (→): Dadas dos proposiciones p y q, a la

proposición compuesta:

“si p, entonces q”

Se le llama “proposición condicional” y se nota por: p → q

Cristóbal Colon descubrió América entonces el continente americano se llama Colon

De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es,

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

“p solo si q”.

“q si p”.

“p es una condición suficiente para q”.

“q es una condición necesaria para p”.

“q se sigue de p”.

“q a condición de p”.

“q es una consecuencia lógica de p” .

“q cuando p”.

Proposición bi condicional: Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“p si y solo si q”

Se le llama “proposición bi condicional” y se nota por

p←→q

La gravedad vale 9.81 m/s2 si solo si sus unidades son en m/s

2

La interpretación del enunciado es:

p solo si q y p si q

O lo que es igual

si p, entonces q y si q, entonces p

Es decir,

(p → q) ∧ (q → p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

p q P ←→ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Evaluacion de expresiones logicas:

Consideremos el problema de determinar si la proposición (p ∧ q) → p es una tautología.

Solución:

Construimos su tabla de verdad.

p q p ∧ q (p ∧ q) →p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

Luego, en efecto, (p ∧ q) → p es una tautología.

Numero binario:

El sistema binario es el sistema de numeración que cuenta con sólo dos números: 0 y 1.

Por lo que utiliza la base 2. En otras palabras, es una manera de escribir los números

naturales con sólo los números 0 ó 1.

Cambio de los valores de verdad de las expresiones lógicas a Números binarios: para

realizar dichos cambio a números binarios las expresiones lógicas solo hay que poner:

Cuando el valor de verdad es verdadero: V = 1

Cuando el valor de verdad es falso: F = 0

Leyes del algebra proposicional: Las leyes de la algebra de proposiciones son

equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del

bi condicional.

LAS LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES:

Leyes del tercio excluido:

p - p = V

(p → q) - (q → p) = V

p - p = F

Ley de doble negación:

- (- p) = p

- (- (p q)) = p q

Ley de Ídem potencia:

p p = p

p p = p

(- p r) (- p r) = - p r

(q → p) (q → p) = q → p

Leyes conmutativas:

p q = q p

p q = q p

- p q = q - p

p (- q t) = (- q t) p

p - q = - q p

(- q p) r = r (- q p)

Leyes asociativas:

p q r = (p q) r = p (q r)

p - q r = (p - q) r = p (- q r)

p q r = (p q) r = p (q r)

Leyes distributivas:

p (q r) = (p q) (p r)

s (- q r) = (s - q) (s r)

p (- q r) = (p - q) (p r)

Leyes de Morgan:

- (p q) = - p - q

- (p q) = - p - q

- (p - q) = - p - (-q) = - p q

Ley condicional:

p → q = - p q

- p → - q = - (- p) - q = p - q

Ley bi condicional:

p←→q = (p → q) (q → p)

- p←→q = = (- p → q) (q → - p)

Leyes de absorción Total:

p (p q) = p

- s (- s q) = - s

q (q - p) = q

Leyes de absorción parcial:

p (- p q) = p q

- q (- s q) = - q - s

- p (p q) = - p q

Práctico resuelto:

Resolver la siguiente expresión utilizando las leyes del algebra proposicional:

– ((- p ∨ - q) ∨ - q)

- ((- p ∨ (- q ∨ - q)) Asociativa:

- (- p ∨ - q) Ídem potencia

- (- p) ∧ - (- q)) De Morgan

p ∧ q Doble negación

Prácticos propuestos:

1. Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o

contradicciones. por tabla.

a) (p → q) ∧ (q → p)

b) [p ∧ (q ∨ r)] → [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

c) (p ∨ - q) → q

d) p → (p ∨ q)

e) (p ∧ q) → p

f) [(p ∧ q) ←→ p] → (p ←→ q)

g) [(p → q) ∨ (r → s)] → [(p ∨ r) → (q ∨ s)]

2. Simplificar aplicando leyes de algebra proposicional

a) (p → - q) ∧ - (- q → p)

b) (- p→ q) ∨ - (q → p)

CIRCUITOS LOGICOS

Son arreglos de interruptores conocidos como compuertas logicas, donde cada compuerta

tiene su tabla de verdad.

El valor de verdad de una proposicion puede asociarse con interruptores que controlan el

paso de la corriente.

Si una proposicion es verdadera, el interruptor estara cerrado y la coriente pasara.

Si la proposicion es falsa el interruptor estara abierto y la corriente no pasara.

Imaginate el interruptor delante de un foco:

El foco se encendera si el circuito esta cerradoy por lo tanto pasa la corriente. Si la

proposicion es verdadera.

El foco no se encendera si el circuito esta abierto y por lo tanto no pasa la corriente. Si la

proposicion es falsa.

EQUIVALENCIAS LOGICAS: Los circuitos tienen las siguientes equivalencias lógicas de acuerdo a la

forma en que se presentan estas pueden ser: en Serie, Paralelos y mixtos, ejemplo:

Prácticos:

Resolver el siguiente circuito lógico, identificando la expresión lógica y simplificándola la

misma utilizando las leyes del algebra proposicional

Solución:

Equivalencia lógica:

(𝑞 ∨ ~𝑞) ⋀ [(𝑞 ⋀ ~𝑝) ∨ (~𝑝 ⋀ 𝑞)]

Reducción de la expresión lógica utilizando leyes del algebra proposicional

(𝑞 ∨ ~𝑞) ⋀ [(𝑞 ⋀ ~𝑝) ∨ (~𝑝 ⋀ 𝑞)] Disyunción; conmutativa

𝑞 ⋀ [(𝑞 ⋀ ~𝑝) ∨ (𝑞 ⋀ ~𝑝)] Ídem potencia

𝑞 ⋀ (𝑞 ⋀ ~𝑝) Asociativa

(𝑞 ⋀ 𝑞) ⋀ ~𝑝 Ídem potencia

𝑞 ⋀ ~𝑝 Conmutativa

~𝑝 ⋀ 𝑞

Ejercicios propuestos:

Resolver el siguiente circuito lógico, identificando la expresión lógica y simplificándola la

misma utilizando las leyes del algebra proposicional

a)

b)

c)

SISTEMA NUMERICO

Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar

datos numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el número de

símbolos distinto que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de

cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.

Un sistema numérico computacional es una serie de símbolos y reglas encargadas de la

construcción de números válidos, las características de estos sistemas varían dependiendo

del sistema a analizar.

Básicamente los sistemas se diferencian por el número de símbolos permitidos, por

ejemplo, el sistema binario consta de dos dígitos, el cero y el uno; el octal consta de ocho

dígitos; el decimal de diez dígitos; y el hexadecimal de dieciséis dígitos.

En el lenguaje computacional el sistema binario es el más adecuado debido a que trabajan

internamente con dos niveles de voltaje, encendido y apagado, 0: apagado y 1: =encendido.

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits. Un bit es un

dato que puede tener dos valores, ya sea uno o cero, por lo tanto, con un bit podemos

representar solamente dos valores, si queremos representar o codificar más información en

un dispositivo digital, necesitamos una mayor cantidad de bits. Si usamos dos bits,

tendremos cuatro combinaciones posibles, si usamos tres bits tendremos ocho posibles

combinaciones, etc. En general se puede representar hasta 2n valores diferentes donde n es

el número de bits necesarios.

Las máquinas llevan a cabo operaciones básicas que son fundamentales para su

funcionamiento, de esto dependerá la manipulación y almacenamiento físico de la

información.

SITEMA NUMERICO DECIMAL

Número decimal: Número que está compuesto por una parte entera, que puede ser cero, y

por otra inferior a la unidad, separada de la parte entera por una coma (o un punto en

algunos países americanos). Son valores que denotan números racionales e irracionales, es

decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia

de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino

como una aproximación de tal valor.

CONJUNTO DEL SISTEMA DECIMAL (CONJUNTO DE NUMÉRICO):

Los números son todas las expresiones que

representan valores determinados. Por

ejemplo: el número 5, expresa un solo valor,

cinco. Hay muchos conjuntos de números y

se clasifican en:

NUMEROS NATURALES (N)

Son todos los números que se utilizan para contar y ordenar.

0, 1, 2, ... ,

NUMEROS ENTEROS (Z)

Son todos los números naturales, el cero, y los naturales con signo negativo.

, ... , 2, 1, 0, 1, 2, ... ,

NUMEROS RACIONALES (Q)

Son todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.

También se denominan números fraccionarios.

1 1 5Q ... 3, , 0, , , ...

2 3 2

NUMEROS IRRACIONALES (QI)

Son números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas, no se pueden expresar en

forma de fracción.

𝑄∙ = {−∞ … − √3; 𝜋; 𝑒; log 3 … + ∞}

NUMEROS REALES (R)

Están formados por los racionales (Q) e irracionales (Qi)

1... 3, , 0, 2 , log3, , ...

2R

NUMEROS IMAGINARIOS (I)

Son los números que resultan de calcular la raíz par de cantidades negativas en el

radicando. Se expresan en forma general de la siguiente manera: 1 i

𝐼 = {−∞ … − √−3; −4𝑖; √−32 + 7𝑖 … + ∞}

NUMEROS COMPLEJOS (C)

Son aquellos números que están formado por una parte real y otra imaginaria. Se representa

de la forma: a b i . Z = C

𝐶 = {−∞ … (2 − √−3); (6 − 4𝑖); (−18 √−32 ); (4 + 6𝑖) … + ∞}

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES (SISTEMA NUMERICO

DECIMAL)

INDUCCIÓN MATEMATICA

Principio de inducción matemático: La inducción matemática es un método de demostración

que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones.

Inducción. Método de conocimiento que permite obtener por generalización un enunciado

general a partir de enunciados que describen casos particulares.

La inducción se considera completa cuando se han observado todos los casos particulares,

por lo que la generalización a la que da lugar se considera válida.

Incluso podemos convertirlo en un “algoritmo”, pero antes te comentaré que como todas las

armas en los juegos no pueden estar tan OP (poderosas pues), así que te diré la debilidad de

esta arma: SOLO FUNCIONA PARA LOS NÚMEROS NATURALES.

Una proposición es verdadera para todos los valores de la variable si se cumplen las

siguientes condiciones:

Paso 1 (Caso base): La proposición es verdadera para .

Paso 2 (Hipótesis de Inducción): Se supone que es verdadera, donde es un

número natural cualquiera.

Paso 3 (Tesis de Inducción): Se demuestra que es verdadera, es decir

.

Así se demuestra que la proposición , para todo .

Una técnica muy utilizada para demostrar propiedades sobre el conjunto de números

natura-les, es el principio de inducción. Este principio provee una herramienta poderosa y

fácil de usar. La idea de las demostraciones por inducción se basa en lo siguiente: puesto

que sumando 1 al natural k se obtiene k + 1 que es mayor que k, no existe ningún natural

que sea el mayor de todos.

Sin embargo, partiendo del número 1 se pueden alcanzar todos los enteros positivos,

después de un número finito de pasos, pasando sucesivamente de k a k + 1.

Supongamos entonces una cierta propiedad P(n) que sabemos cierta para n = 1, luego si la

propiedad es válida para un entero en particular y de esto se concluye que también será

válida para el entero siguiente, entonces se podrá afirmar que resultará cierta para todos los

enteros positivos

Los 3 pasos de la inducción también se pueden escribir como:

Caso Base: Toma tu proposición, y encuentra un caso base, es decir el natural más

pequeño que cumple la proposición.

Nota: Muchas, muchísimas veces es ese número es uno (ósea siempre se cumple), pero no

siempre, así que no te confíes, encuentra ese caso base.

Supone que se cumple para k: Este es el paso más simple, lo único que tienes que

hacer es creer (tratar como un axioma, como tu quieras verlo) que se cumple para el

caso k.

Demuestra k+1: No todo en la vida podría ser tan fácil, este paso el el 95% de la

dificultad del problema, usando lo del paso anterior tienes que demostrar que si se

cumple para k A FUERZAS se cumple para K+1.

Si lograste llegar hasta aquí puedes decir con toda confianza que: DICHA

PROPOSICIÓN ES VERDADERA (para todos los naturales: p) DESDE EL CASO

BASE HASTA EL INFINITO.

RECURSIÓN MATEMÁTICA:

En matemáticas se da el nombre de recursión a la técnica consistente en definir una función

en términos de sí misma. Puesto que en C una función puede llamar a otras funciones, se

permite que una función también pueda llamarse a sí misma.

Se llama recursividad a un proceso mediante el que una función se llama a sí misma de

forma repetida, hasta que se satisface alguna determinada condición. El proceso se utiliza

para computaciones repetidas en las que cada acción se determina mediante un resultado

anterior. Se pueden escribir de esta forma muchos problemas iterativos.

Cuando ejecutamos un programa recursivo, las llamadas recursivas no se ejecutan

inmediatamente. Lo que se hace es colocarlas en una pila hasta que la condición de término

se encuentra.

Entonces se ejecutan las llamadas a la función en orden inverso a como se generaron, como

si se fueran sacando de la pila, por tanto el orden sería algo así:

1º n! = n* (n-1)!

2º (n-1)! = (n-1) * (n-2)!

3º (n-2)! = (n-2) * (n-3)!

........ ...............

último 2! = 2 * 1!

Los valores reales se devolverán en orden inverso, es decir:

1º 1!=1

2º 2! = 2 * 1! = 2 * 1 = 2

3º 3! = 3 * 2! = 3 * 2 = 6

........ ...............

último n! = n * (n-1)!= ....

Ejemplo:

Se tiene la siguiente secuencia de números: 5; 15; 45; … 3𝑛

Ejemplo:

Se tiene la siguiente secuencia de números: 6; 11; 20; 37 …

LOS AXIOMAS DE PEANO O POSTULADOS DE PEANO

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Permutaciones Ordinarias (elementos iguales):

Permutaciones con objetos diferentes

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 2

Ejemplo 3

DIEFERENCIA ENTRE PERMUTACIONES Y

COMBINACIONES

RELACIONES Y FUNCIONES

PAR ORDENADO: Es un conjunto de dos elementos (x, y) donde “x” es la primera

componente e “y” es la segunda componente del par ordenado.

Ejemplo gráfico:

PRODUCTO CARTESIANO: Sean A y B dos conjuntos diferentes del conjunto vacío se

llama producto cartesiano de A por B denotado por “ A x B “, al conjunto formado por

todos los pares ordenados que tienen como primer componente a los elementos del conjunto

A y como segunda componente a los elementos del conjunto B.

También se afirma que un producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados:

A x B = ByAxyx /),(

Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, hallar A x B y B x A

A = 4,3,2 y B = 3,2,1

A x B = )3,4(),2,4(),1,4(),3,3(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(

B x A = )4,3(),3,3(),2,3(),4,2(),3,2(),2,2(),4,1(),3,1(),2,1(

RELACIÓN. Sean A y B dos conjuntos diferentes del conjunto vacío, decimos que el

conjunto “R” es una relación binaria de A en B, si “R” es un subconjunto del producto

cartesiano “AxB”.

Relación Especial

Si una relación es tal que las primeras componentes de sus pares ordenados no se repiten, se

dice que esta relación es función. Se dice que es una función especial. Todas las funciones

son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

El conjunto “R” es una relación binaria si la relación de A en B AxBR

Además: x R y Ryx ),(

Ejemplo: Hallar 3 relaciones “R”, del producto cartesiano A x B y graficar.

A x B = )3,4(),2,4(),1,4(),3,3(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(

R1 = )3,3(),2,3(),1,3(),2,2)(1,2(

R2 = )1,4(),2,2)(3,2(

R3 = )2,4(

Representación grafica de la relación

GRAFICA DE R1

FUNCIÓN: Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) entre los cuales no

existen dos pares con la misma primer componente. Todas las funciones son relaciones,

pero no todas las relaciones son funciones.

Una función se puede representar, mediante el siguiente esquema:

ENTRADAS SALIDAS

MATERIA PRIMA PRODUCTOS

DOMINIO IMAGEN

VALORES DE X VALORES DE Y

Matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma:

)(/),( xfyxyxf

Don de “Y” es la variable dependiente, es relación de “X” que es la variable independiente.

Notación de una función: Una función se denota generalmente de la siguiente forma

Y = f (x) Dónde: x = Variable independiente

y = Variable dependiente

f(x) = Nombre o característica de la función

También pueden denotarse de la forma: h(x) , P(q) , C(q) , I (q) , U(x) …

Condiciones de una función: Una función debe cumplir las siguientes condiciones:

Condición de Existencia: Gráficamente toda recta vertical que pase por un valor de A

debe cortar a la gráfica.

fyxByAx ),/(,

Condición de Unicidad: Gráficamente se dice que toda recta vertical debe cortar a la

gráfica en un solo punto.

2121 ),(),(: yyfyxfyxSi

TRANSFORMACIÓN

(PROCESO)

FUNCION

F(x)

Dominio (D): Es el conjunto formado por los valores de entradas (x) que son

transformados por la función, es decir por las primeras componentes de los pares ordenados

que forman la función.

Imagen (I): Es el conjunto formado por los valores de salida (y) que son resultado de la

transformación, es decir por las segundas componentes de los pares ordenados que forman

la función.

Ejemplo:

En este diagrama de Venn, se observa que

los elementos del conjunto A se transforman

en los elementos del conjunto B.

A B

Formándose los pares ordenados correspondientes de la relación

);(),;(),;( 332211 yxyxyxf

Ejemplo: Hallar 3 funciones “f”, del producto cartesiano A x B y graficar.

A x B = )3,4(),2,4(),1,4(),3,3(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(

f1 = )2,4(),1,3(),1,2(

f2 = )1,4)((3,2(

f3 = )2,4(

Representación graficas de una relación en el plano cartesiano

3

2

1

x

x

x

3

2

1

y

y

y

Una de las rectas verticales hace contacto en más de un punto, por lo tanto la gráfica

pertenece a una relación.

Representación graficas de las funciones en el plano cartesiano

Una de las rectas verticales hace contacto en un solo punto, por lo tanto la gráfica pertenece

a una función.

Representación Gráfica de las relaciones y función a través de diagrama de Venn:

Ejercicios Propuestos: Dados los conjuntos,

A = 1,1,0 y B = 4,3,2

M = 6,5,4,3 y N = 4,3,2,1,0

Hallar:

a) C x D

b) D x C

c) M x N

d) N x M

Obtener; 3 Relaciones y 3 Funciones de cada producto Cartesiano anteriormente

determinado representarlo gráficamente en el plano cartesianos.

CONJUNTO

Introducción: La teoría de conjuntos es una parte

de las matemáticas que nos permite agrupar

elementos que presenten características similares

para realizar diferentes operaciones entre ellos, con

el objetivo de utilizarse en estudios estadísticos y

otras disciplinas.

Conjunto: Colección, agrupamiento o reunión de

objetos llamados elementos, generalmente se

representan con letras mayúsculas del alfabeto.

Elemento es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto, se representan con letras

minúsculas o números.

Pertenencia (): El símbolo nos permite relacionar cada uno de los elementos con el conjunto que los contiene. Si un elemento no pertenece a un conjunto se

utiliza el símbolo . Ejemplo: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,

sábado, domingo} martes D

A = {1, 2, 3, 4, 5} – 3 A

M = {x/x es un mes del año} Agosto M

Diagramas de Venn–Euler:

Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada.

Los elementos que pertenecen al conjunto se representan en el interior de la curva.

Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan en el exterior de la

curva.

Ningún elemento puede representarse sobre la curva.

CLASES DE CONJUNTOS:

Conjunto Finito: Son aquellos conjuntos que tiene un número definido de elementos

A = { x N / x2 5 } W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18,21, 24, 27}

Conjunto Infinito: Son aquellos conjuntos que tienen un número infinito de elementos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} C = {x / x es un número par}

Conjunto Vacío: Es un conjunto que carece de elementos. También se le llama conjunto

nulo, y se le denota por el símbolo Ø ó { }. A = { x / x es una persona que vuela } A = { } ó A = Ø B = { x / x es un número racional e irracional} B = { } ó B = Ø

C = { x / x es una solución real de 012 x } C = { } ó C = Ø Conjunto Unitario: Es todo conjunto que está formado por sólo un elemento. A = {6}

B = {x / x es la solución de 012 x } B = {– 1}

C = {x / x es un número par y 2 < x < 6} C = {4}

Conjunto Universo: Es el conjunto que contiene a todos los elementos que son motivo de estudio. Se le denota por la letra U. U = {x/ x es una letra del alfabeto} A = {x/ x es una consonante}

Conjuntos disjuntos y no disjuntos:

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son

disjuntos.

Si dos conjuntos A y B tienen algún elemento común entonces A y B no son

disjuntos.

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto entonces A y B no

son disjuntos.

A = {2, 4, 6} M = {o, p, q, r, s} B = {1, 3, 5} N = {s, t, v, u} A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.

Inclusión o subconjunto (Si dados dos

conjuntos A y B, todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, se dice que:

El conjunto A está incluido en el conjunto B. El conjunto A es subconjunto del conjunto B.

ABxA x

A está incluido en B si y sólo si para todo x tal que x pertenece a A implica que x pertenece a B.

Observación: La pertenencia relaciona un elemento con un conjunto.

La inclusión relaciona dos conjuntos. De acuerdo a la definición de inclusión, pueden

darse los siguientes casos:

Inclusión del conjunto vacío: El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.

Inclusión doble: Si todos los elementos de B pertenecen a A. También se llama

doble inclusión igualdad de conjuntos.

Determinación de un conjunto:

Por Extensión: Cuando se enumeran todos los elementos del conjunto.

Por Comprensión: Cuando los elementos se expresan por medio de una propiedad que

los caracteriza.

POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN A = { a, e, i, o, u } A = { x / x es una vocal}

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { x N / x ≤ 5 } C = {1, 3, 5, 7, 9 } C = { x / x es un número impar menor que 10 }

Operaciones con conjuntos: Las operaciones entre conjuntos determinan a su vez otros

conjuntos, de acuerdo a sus respectivas definiciones.

Complemento Ac

Unión Intersección

Diferencia Diferencia simétrica

Unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la unión

de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos

los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B

(o a ambos a la vez).

Ejemplos: Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

Efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A C b) B C c) A B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 5,6, 8 }

A C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

b) B = { 0, 2, 4 } C = { 5, 6, 8 }

B C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 0, 2, 4 }

A B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Intersección de conjuntos: Dados dos conjuntos A y

B, se llama intersección del conjunto A con el

conjunto B al conjunto formado por todos los

elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto

B. Se denota por A B, se lee: A intersección B

Ejemplos: Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2,4 }, Efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 2, 4 }

A C = { 2, 4 }

b) B = { 3, 5, 7 } C = { 2, 4 } B

B C = { }

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 3, 5, 7 }

A B = { 3, 5 }

3

5

2

4

C

Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre el conjunto A y el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A – B, se lee: A diferencia B ó A menos B

Ejemplos: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g} Efectuar y construir los diagramas Respectivos:

a) A C b) B C c) A B

a) A = { a, b, c, d, e }

C = { d, f, g }

A C = { a, b, c, e }

b) B = { a, e } C = { d, f, g }

B C = { a, e }

c) A = { a, b, c, d, e } B = { a, e }

A B = { b, c, d }

Diferencia simétrica de conjuntos: Se llama diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no ambos. Se denota por: A B, se lee: A diferencia simétrica B

Ejemplos: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g} Efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A B b)

a) A = { a, b, c, d, e } C = { d, f, g }

A C = { a, b, c, e , f, g }

b) B = { a, e } C = { d, f, g }

B C = { a, d, e , f , g }

c) A = { a, b, c, d, e } B = { a, e }

A B = { b, c, d }

Complemento de un conjunto (AC): Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, se llama complemento de A con respecto a U al conjunto AC formado por todos los elementos de U pero no de A

Ejemplos: a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

b) Sean U = { a, r, i, t, m, e, c,} y B = { vocales de la palabra vida }

U = { a, r, i, t, m, e, c } y B = { i, a }

Complemento de A es AC = { m, a, r } Complemento de B es: BC

= { r, t, m, e, c }

Ejemplos:

Sea el conjunto U xN /1x 9y los conjuntos A 1,2,3,4, B 3,4,5,6

Hallar:

1) AB 2) B A 3) AC

4) BC 5) ABC 6) ABC

Solución:

U 1,2,3,4,5,6,7,8,9 A 1,2,3,4 B 3,4,5,6

Operaciones con tres conjuntos: En cada uno de los diagramas de Venn se identifican las áreas sombreadas de algunas operaciones con tres conjuntos.

Cardinalidad de un conjunto: Queda determinada por el número de elementos que tiene el conjunto. (A) representa la cardinalidad de A.

Si A 1,2,3,4entonces la cardinalidad de A es (A)=4

Si D = { x / x es un día de la semana } (D) = 7

Ejemplos: Sean los conjuntos:

U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {-1, 0, 1}; B = { x / x2 U} ; C = {xU / 0 x < 7}

Hallar: a) (A - B) b) (A B) c) (BC CC) d) (A B C) Solución:

A = {-1, 0, 1} (A) = 3 B = {– 2, – 1, 0, 1, 2, 3} (B) = 6

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (C) = 7 A C = {0, 1} (A C) = 2

BC = {4, 5, 6, 7, 8, 9} (BC) = 6 B C = {0, 1, 2, 3} (B C) = 4

CC = {– 2, – 1, 7, 8, 9} (CC) = 5 BC CC

= {7, 8, 9} (BC CC) = 3

A B = {– 1, 0, 1} (A B) = 3 A B C = {0, 1} (A B C) = 2

Aplicaciones:

1. De 510 estudiantes, 90 tomaron la materia de Matemática, 80 Química, 100 Física y 15

tomaron Matemática y Química, 30 Tomaron Matemática y Física 10 Tomaron Física y

Química y solo un estudiante tomo las tres materias. Como todas las materias

programaron exámenes el mismo día de la fiesta de la facultad, solo los estudiantes que

no están en ninguna de estas materias podrán ir a dicha fiesta. Cuántos estudiantes

pueden ir a la fiesta?

2. En un grupo de 50 alumnos, 24 no llevan lenguaje y 28 no llevan matemáticas, si 14

estudiantes no llevan matemáticas ni lenguaje; determinar cuantos estudiantes llevan

exactamente uno de los cursos.

3. La universidad UTEPSA, necesita 29 docentes en las siguientes áreas: 13 docentes de

Matemáticas, 13 docentes de física y 15 docentes de Sistemas para cubrir la carga

horaria para el siguiente semestre. Se requiere que 6 dicten Matemáticas y Física, 4

dicten Física y sistemas y 5 dicten Matemática y Sistema. Determinar:

a) ¿Cuantos docentes se requieren que dicten las tres áreas?

b) ¿Cuantos docentes se requieren para dictar solo matemática?

c) ¿Cuantos docentes se requieren para dictar matemática pero no física?

4. De 250 estudiantes, 40 tomaron el curso de matemática, 130 el curso de contabilidad y

25 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes el mismo día del paseo

de la facultad, solo los estudiantes que no están en ninguno de estos dos cursos podrán ir

a dicho paseo. Cuántos estudiantes podrán irse de paseo?.

5. Se realizó una encuesta a 150 jóvenes de donde se obtuvo los siguientes resultados. 100

en su tiempo libre leen libros o miran televisión o están con su pareja, 66 están con su

pareja, 50 miran televisión, 50 leen libros, 27 están con su pareja y miran televisión, 30

están con su pareja y leen libros y 21 miran televisión y leen libros. Calcular:

a) ¿Cuantos hacen las tres cosas?

b) ¿Cuántos están con su pareja y miran televisión pero no leen libros?

c) ¿Cuantos están con su pareja y leen libros pero no miran televisión?

d) ¿Cuantos miran televisión y leen libros pero no están con su pareja?

e) ¿Cuantos hacen dos actividades?

f) ¿Cuantos solo están con su pareja?

g) ¿Cuantos solo miran televisión?

h) ¿Cuántos solo leen libros?

i) ¿Cuántos solo realizan una actividad?