Lugar de las Raices1) Para las siguientes funciones de transferencia:

G1 (s) =(s+ 3)2 + 22£

(s+ 1)2 + 22¤(s− 8) =

s2 + 6s+ 13

s3 − 6s2 − 11s− 40 (1)

G2 (s) =(s+ 3)2 + 142£

(s+ 4)2 + 72¤(s− 4) =

s2 + 6s+ 205

s3 + 4s2 + 33s− 260 (2)

G3 (s) =

£(s+ 1)2 + 1

¤(s+ 7)

(s− 1) (s− 2) (s− 4) =s3 + 9s2 + 16s+ 14

s3 − 7s2 + 14s− 8 (3)

G4 (s) =

£(s+ 3)2 + 32

¤(s− 4)£

(s+ 1)2 + 82¤(s+ 15)

=s3 + 2s2 − 6s− 72

s3 + 17s2 + 95s+ 975(4)

G5 (s) =

£(s+ .5)2 + 784

¤(s+ 10)

1000 (s+ 6.6) (s+ 3.3) (s− 1.6) (5)

G6 (s) =

£(s+ 2)2 + 82

¤(s− 5)£

(s− 2)2 + 82¤ (s+ 15) (6)

G7 (s) =

£(s+ 8)2 + 900

¤(s+ 11) (s+ 16) (s+ 34)£

(s− 7)2 + 1156¤ (s+ 4) (s− 3) (s− 28) (7)

G7 (s) =s5 + 77s4 + 3034s3 + 82292s2 + 1150360s+ 5768576

s5 − 41s4 + 1543s3 − 31639s2 − 52904s+ 404880 (8)

a) Halle los valores de K que hacen el sistema estable usando el Criterio de Routh-Hurwitz.b) Halle los valores de los polos sobre el eje imaginario para cada una de las K obtenidas en la

parte a).c) Dibuje el lugar de las raíces.

1

2) Para la función de transferencia:

G (s) =

£(s+ 3)2 + 222

¤ £(s+ 2)2 + 222

¤(s+ 4)£

(s+ 1)2 + 32¤ £(s+ 0.5)2 + 182

¤(s− 3) (9)

Usando solo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces (no el Criterio de Routh-Hurwitz) y a partir de la Figura 1, determine los valores de K para que el sistema sea estable.

-6 -4 -2 0 2 4-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Real Axis

Imag

Axe

s

Root Locus Design

Figura 1

2

3) Para la función de transferencia:

G (s) =

£(s+ 1)2 + 1002

¤ £(s− 1)2 + 752¤ (s− 9)£

(s+ 1)2 + 1752¤ £(s− 1)2 + 302¤ (s+ 5) (10)

Usando solo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces (no el Criterio de Routh-Hurwitz) y a partir de la Figura 2, determine los valores de K para que el sistema sea estable.

-10 -5 0 5 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Root Locus Design

Imag

Axe

s

Real Axis

Figura 2

3

4) Para la función de transferencia

G (s) =s+ 1.4

(s+ 5) (s+ 1) (s− 0.5) (11)

Usando sólo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces y a partir de la Figura 3,determine:a) Valores de K para estabilidadb) Valores de K para garantizar que el máximo pico o sobrepaso (Mp) no exceda 9.5% y que el

tiempo de subida (tr) no exceda 1.15 s.c) Si además se quiere garantizar un tiempo de estabilización mínimo (ts), ¿Cuál debería ser el

valor de K?

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Root Locus Design

Ima

g A

xe

s

Real Axis

Figura 3

4

5) Para la función de transferencia

G (s) =

£(s+ 22)2 + 196

¤(s+ 62)

£(s+ 12)2 + 144

¤£(s− 4)2 + 484¤ (s+ 20) (s+ 1) (s− 38) (12)

Usando sólo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces y a partir de la Figura 4,determine:a) Valores de K para estabilidadb) Valores de K para garantizar que el máximo pico o sobrepaso (Mp) no exceda 16.3%, que el

tiempo de subida (tr) no exceda 0.205 s y que el tiempo de estabilización (ts) bajo el criterio del2% no exceda 0.3 s. Explique si es posible cumplir todas las especificaciones o no!.

-80 -60 -40 -20 0 20 40-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Problema N° 2

Imag

Axe

s

Real Axis

Figura 4

5

6) Para la función de transferencia G (s) se pide diseñar un controlador PID (s) que haga queel sistema de control cumpla (simultáneamente) las especificaciones:

2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 1.57 s.

Determine los límites de valores permisibles para los parámetros Kp, τ i y τd de este controlador.

NOTAS:1) En la Figura 5 se muestra el Lugar de las Raíces sólo para G (s) .

2) G (s) =1£

(s+ 1.8)2 + 16¤(s+ 12)

3) PID (s) = Kp

µ1 +

1

τ is+ τds

¶=

K£(s+ a)2 + w2

¤s

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

-10

-5

0

5

10

Root Locus Design

Imag

Axe

s

Real Axis

z=0.9

Figura 5

6

7) Para la función de transferencia G (s) se pide diseñar un controlador PID (s) que haga queel sistema de control cumpla (simultáneamente) las especificaciones:

2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo de subida: tr ≤ 0.5 s.

Determine el valor máximo y el valor mínimo (exacto) de los parámetros Kp, τ i y τd de estecontrolador.Nota: El valor mínimo de Kp debe obtenerse analíticamente.

NOTAS:1) En la Figura 6 se muestra el Lugar de las Raíces sólo para G (s) .

2) G (s) =(s+ 5)2 + 122

(s+ 2) (s+ 4) (s+ 10)

3) PID (s) = Kp

µ1 +

1

τ is+ τds

¶=

K (s+ a) (s+ b)

s

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus Design

Imag

Axe

s

Real Axis

Figura 6

7

8) Para la función de transferencia:

G (s) =(s+ 30) (s+ 60)£

(s− 3)2 + 42¤ (s+ 20) (s+ 50) (13)

Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:

2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo de estabilización (al 2%): ts ≤ 0.148 s.2.3) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 0.06 s.

a) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) ¿Cúal será la influencia del polo dominante del sistema resultante sobre el cumplimiento de

la específicación del tiempo del máximo pico?NOTAS:1) En la Figura 7 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .

-80 -60 -40 -20 0 20-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Real Axis

Imag

Axe

s

Root Locus Design

Figura 7

8

9) Para la función de transferencia:

G (s) =(s+ 30) (s+ 60)

(s− 10) (s+ 20) (s+ 50) (14)

Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:

3.1) Tiempo de estabilización (al 2%): ts ≤ 0.16 s.3.2) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 0.3 s.

a) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) Determine el valor máximo y el valor mínimo del máximo pico (Mp) que ocurre dentro de la

zona de las especificaciones.NOTAS:1) En la Figura 8 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .

-100 -80 -60 -40 -20 0 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Root Locus Design

Imag

Axe

s

Real Axis

Figura 8

9

10) Para la función de transferencia:

G (s) =1£

(s+ 2)2 + 62¤(s+ 12)

(15)

Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:

2.1) Máximo pico: 4, 5988% ≤Mp ≤ 9, 4780%2.2) Tiempo del pico: tp ≤ 0, 4488s2.3) Tiempo de subida: tr ≤ 0, 334375sa) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) Determine el tiempo de estabilización (al 2%) que ocurre dentro de la zona de las especifica-

ciones.NOTAS:1) En la Figura 9 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus Design

Imag

Axe

s

Real Axis

Figura 9

10

11) Para la función de transferencia:

G (s) =(s+ 2.6) (s+ 4.5)

£(s+ 2)2 + 32

¤(s− 1) (s− 2) £(s− 2)2 + 32¤ (16)

a) Determine los rangos de K que hacen el sistema G (s) estable (sin usar el criterio de Routh-Hurwitz).b) Determine los rangos de K que hacen que el sistema de control cumpla individualmente

las especificaciones:

b.1) Máximo pico: 3% ≤Mp ≤ 30% ≤ K ≤b.2) Tiempo del pico: 0.6 ≤ tp ≤ 2.5 ≤ K ≤b.3) Tiempo de subida: 0.35 ≤ tr ≤ 1.6 ≤ K ≤b.4) Tiempo de estabilización 1.33 ≤ ts ≤ 4 ≤ K ≤

c) Determine los rangos de K que hacen que el sistema de control cumpla simultáneamentelas especificaciones dadas en b) y también los nuevos rangos de esas especificaciones:

c.1) K ≤ K ≤c.1) Máximo pico: ≤Mp ≤c.2) Tiempo del pico: ≤ tp ≤c.3) Tiempo de subida: ≤ tr ≤c.4) Tiempo de estabilización ≤ ts ≤

11

Dibuje las especificaciones sobre el lugar de las raíces de la Figura 10.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-6

-4

-2

0

2

4

6

Root Locus Editor (C)

Real Axis

Imag

Axis

Figura 10

12