MatemticaEstudiar Matemtica

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ContenidosArtculosFundamentos de la matemtica reas de las matemticas Sudoku lgebra de conjuntos lgebra lineal Poliforma Geometra analtica Origami Tangram 1 3 8 14 23 26 27 33 44

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 46 47

Licencias de artculosLicencia 49

Fundamentos de la matemtica

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Fundamentos de la matemticaLos fundamentos de las matemticas es un trmino a veces usado para ciertos campos de las matemticas, como la lgica matemtica, teora de conjuntos axiomtica, teora de la demostracin, teora de modelos y la teora de la recursividad. La bsqueda de fundamentos de las matemticas es tambin una pregunta central de la filosofa de las matemticas: En cul ltima base puede un fundamento matemtico ser verdad?

Fundamentos filosficos de las matemticasResumen de las tres filosofas: Platonismo: Platonistas, como Kurt Gdel (19061978), sostienen que los nmeros son abstractos, objetos necesariamente existentes, independientes de la mente humana. Formalismo: Formalistas, como David Hilbert (18621943), sostienen que las matemticas no son ni ms ni menos que un lenguaje matemtico. Son simplemente una serie de juegos. Intuicionismo: Intuicionistas, como L. E. J. Brouwer (18821966), sostienen que las matemticas son una creacin de la mente humana. Los nmeros, como personajes de cuentos de hadas, son simplemente entidades mentales, que no existiran sin que nunca hubieran algunas mentes humanas que pensaran en ellos.

PlatonismoLa filosofa fundamental del realismo matemtico platnico, ejemplificado por el matemtico Kurt Gdel, propone la existencia del mundo de los objetos matemticos independiente de los seres humanos; las verdades de estos objetos son descubiertos por seres humanos. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y las leyes de las matemticas tienen una posicin similar, y la efectividad deja de ser irrazonable. No nuestros axiomas, pero el verdadero mundo de los objetos matemticos constituye el fundamento. La pregunta obvia entonces es, cmo entramos en ese mundo?

FormalismoLa filosofa fundamental del formalismo, ejemplificado por David Hilbert, est basado en la teora axiomtica de los conjuntos y la lgica formal. Prcticamente todos los teoremas matemticos actualmente pueden ser formulados como teoremas de la teora de los conjuntos. La verdad de un enunciado matemtico, en este punto de vista, no es nada ms que la reclamacin de que el enunciado puede ser derivado de los axiomas de la teora de los conjuntos, usando las reglas de la lgica formal. Slo el uso del formalismo no explica varias cuestiones: por qu debemos de usar axiomas que hacemos y no otros, por qu debemos emplear las reglas de la lgica que hacemos y no otras, por qu enunciados matemticos verdaderos (como leyes de la aritmtica) parecen ser verdad, etc. En algunos casos esto puede ser suficientemente contestadas a travs del estudio de las teoras formales, en disciplinas como las matemticas reversas y la teora de complejidad computacional. Los sistemas lgicos formales tambin pueden correr el riesgo de la incoherencia; con Peano aritmtica, esto posiblemente se ha establecido con varias pruebas de coherencia, pero hay un debate sobre si son lo suficientemente significativas. El segundo de los Teoremas de incompletitud de Gdel establece que los sistemas lgicos de la aritmtica no pueden contener una prueba vlida de su propia coherencia. Lo que Hilbert quera hacer era probar un sistema lgico S que fuera coherente, basado en los principios P, que solo es formado por una pequea parte de S. Pero Gdel comprob que los principios P no podan ni siquiera comprobar que P fuera coherente, por no hablar de slo S!.

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IntuicionismoLa filosofa fundamental del intuicionismo o constructivismo, ejemplificado al extremo por Brouwer y con ms coherencia por Stephen Kleene, requiere pruebas para ser constructivo en la naturaleza la existencia de un objeto puede ser demostrada, mas no inferida de una demostracin de la imposibilidad de su inexistencia. Como una consecuencia inmediata de esto, el intuicionismo no acepta como vlido el mtodo de demostracin conocido como reduccin al absurdo. Algunas teoras modernas en la filosofa de las matemticas niegan la existencia de los fundamentos en su sentido original. Algunas teoras tienden a enfocarse en la prctica matemtica, y a tener como objetivo el describir y analizar el verdadero trabajo de los matemticos, como un grupo social. Otros tratan de crear una ciencia cognitiva a las matemticas, enfocndose en la cognicin humana como el origen de la confiabilidad en las matemticas cuando son aplicadas al mundo real. Estas teoras pueden proponer la bsqueda de fundamentos slo en el pensamiento humano, no en ningn objetivo afuera de la construccin. Este asunto se mantiene en discusin.

LogicismoEl logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la filosofa de la matemtica, que sostiene la teora de que la matemtica es una extensin de la lgica y que, por tanto, toda la matemtica o parte de ella es reducible a la lgica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teora concebida por Gottlob Frege.

El constructivismoEs una variante del empirismo, uno de sus epgonos es Roger Apry.[1] Critican el formalismo llevado hasta el extremo por el policeflico Nicolas Bourbaki. Admiten la sucesin de los nmeros naturales, mas no el conjunto de los naturales, Cuestionan la lgica en que se fundamenta la matemtica de Bourbaki. Proclaman la tercera opcin respecto del principio del tercio excluido, a ms de p y ~p, cabe otra salida q.

Referencias[1] Roger Apry (1984). Matemtica constructiva. Pensar La Matematica Seminario de Filosofa y Matemtica de la Ecole Normale Supriure de Pars. dirigido por J. Diedonn, M. Loi, y R. Thomm. Barcelona: ditions du Seuil. ISBN 8472236145.

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reas de las matemticasEsta es una lista de todas las reas de las matemticas modernas, con una breve explicacin de su alcance y enlaces a otras partes de esta enciclopedia, de un modo sistemtico. La forma en que se organizan las matemticas de alto nivel est determinada sobre todo por los usos, y cambia cada cierto tiempo; esto contrasta con los planes, al parecer atemporales usados en la educacin de las matemticas, donde el clculo parece ser el mismo hace siglos. El clculo en s mismo no aparece como un ttulo ya que la mayor parte del contenido all estudiado se encuentra bajo el titulo de Anlisis. Este ejemplo ilustra, en parte, la dificultad de comunicar los principios de cualquier sistema grande de conocimientos. La investigacin sobre la mayora de los asuntos del clculo fue realizada en siglo XVIII, y ha sido asimilado largamente.

Fundamentos/generalMatemtica recreativa Desde los cuadrados mgicos al Conjunto de Mandelbrot, los nmeros han sido una fuente de diversin y placer para millones de personas a lo largo de los aos. Muchas ramas importantes de las matemticas "serias" tienen sus races en lo que inicialmente no era ms que un juego o un puzzle. Historia y biografas La historia de las matemticas est fuertemente interconectada consgo misma. Esto es perfectamente natural: las matemticas tienen una estructura orgnica interna, derivando nuevos teoremas de los que se han demostrado antes. Cada nueva generacin de matemticos basa sus logros en los de sus antepasados, y as, el los conocimientos crecen formando nuevas capas, como la estructura de una cebolla. Lgica matemtica y fundamentos, incluyendo teora de conjuntos Los matemticos han trabajado siempre con lgica y smbolos, pero por siglos las leyes subyacentes de la lgica fueron supuestas, y nunca expresadas simblicamente. La lgica matemtica, tambin conocido como lgica simblica, fue desarrollada cuando la gente finalmente not que las herramientas de las matemticas se pueden utilizar para estudiar la estructura de la lgica misma. Las reas de investigacin en este campo se han ampliado rpidamente, y se subdividen generalmente en varias reas distintas. Teora de modelos La teora modelo estudia las estructuras matemticas en un marco general. Su herramienta principal es la lgica de primer orden. Teora de la Computabilidad y teora de la recursin Teora de conjuntos Un conjunto puede ser pensado como si fuera una coleccin de objetos distintss unidas por una cierta caracterstica comn. La teora de conjuntos se subdivide en tres reas principales: Teora informal de conjuntos es la teora bsica desarrollada por los matemticos a fines del siglo XIX. Teora axiomtica de conjuntos es un teora axiomtica rigurosa desarrollada en respuesta al descubrimiento de defectos serios (por ejemplo la Paradoja de Russell) en la teora informal. Para esta teora los conjuntos son "lo que satisface los axiomas", y la nocin de colecciones de objetos sirve solamente como motivacin para los axiomas. Teora interna de conjuntos es una extensin axiomtica de la teora de conjuntos que apoya una identificacin lgicamente consistente de cantidades ilimitados (infinitamente grandes) e infinitesimales (infinitamente pequeos) dentro de los nmeros reales. Ver tambin la Lista de tpicos de la teora de conjuntos. Teora de la demostracin y constructivismo

reas de las matemticas La teora de la demostracin naci de la ambicin de David Hilbert por formalizar todas las demostraciones en matemticas. El resultado ms famoso del campo se encapsula en los Teoremas de incompletitud de Gdel. Otra idea relacionada y muy conocida en la actualidad son las Mquinas de Turing. El Constructivismo es la consecuencia de las opiniones poco ortodoxas de Brouwer sobre la naturaleza de la lgica misma; hablando desde el punto de vista del constructivismo, los matemticos no pueden afirmar "si un crculo es redondo o no" hasta que han mostrado un crculo y han medido realmente su redondez. Lgica algebraica Educacin matemtica

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lgebraEl estudio de la matemtica comienza con los nmeros; primero los nmeros naturales y los enteros y sus operaciones aritmticas, que se clasificaran dentro del lgebra elemental. Las caractersticas ms avanzadas sobre nmeros enteros se estudian dentro de la teora de nmeros. La bsqueda de mtodos para resolver ecuaciones nos lleva al campo del lgebra abstracta, que, entre otras cosas, estudia anillos y campos, estructuras que generalizan las caractersticas de los nmeros corrientes. Preguntas muy antiguas sobre construcciones con regla y comps finalmente fueron resueltos usando la Teora de Galois. El concepto fsicamente importante de los vectores, generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentro del lgebra lineal. Combinatoria Estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen criterios determinados. Particularmente, se refiere a "contar" los objetos en esas colecciones (combinatoria enumerativa) y con decidir si existen ciertos objetos "ptimos" (combinatorias extremas). Incluye tambin a la teora de grfos, usada para describir objetos interconectados (un grafo en este sentido es una coleccin de puntos conectados). Mientras que stas son las definiciones clsicas, cierto grado de combinatoria est presente en muchas partes de la resolucin de problemas. Teora del orden Cualequier conjunto de numeros reales se puede ordenar en forma ascendente. La teora del orden ampla esta idea a los sistemas en general. Incluye nociones como retculos y estructuras algebraicas ordenadas. Estructuras algebraicas Dado un conjunto, diversas maneras de combinar o de relacionar a miembros de eso fijaron pueden ser definidas. Si stos obedecen ciertas reglas, entonces un detalle estructura algebraica se forma. lgebra universal es el estudio ms formal de estas estructuras y sistemas. Teora de nmeros La teora del nmero se refiere tradicionalmente a las caractersticas de nmeros enteros. Ms recientemente, ha venido ser referido a clases ms anchas de los problemas que se han presentado naturalmente del estudio de nmeros enteros. Puede ser dividido en teora elemental del nmero (donde los nmeros enteros se estudian sin la ayuda de tcnicas de otros campos matemticos); teora analtica del nmero (donde clculo y anlisis complejo se utilizan como herramientas); teora del nmero algbrico (de que estudia los nmeros algbricos - las races polinomios con nmero entero coeficientes); teora geomtrica del nmero; teora combinatoria del nmero y teora de cmputo del nmero. Vea tambin lista de los asuntos de la teora del nmero. Teora de campos y polinomios La teora del campo estudia las caractersticas de campos. A campo es una entidad matemtica para la cual la adicin, la substraccin, la multiplicacin y la divisin estn bien definido. A polinmico es una expresin en la cual se combinan las constantes y las variables usando solamente la adicin, la substraccin, y la multiplicacin. Anillos conmutativos y lgebras conmutativas

reas de las matemticas En teora de anillos (un rama del lgebra abstracta), un anillo comutativo es un anillo en el cual la operacin de multiplicacin obedece la ley de conmutatividad. Esto significa que si a y b son elementos del anillo, entonces ab=ba. El lgebra conmutativa estudia los anillos comutativos y sus ideales, mdulos y lgebras. Es fundamental para la geometra algebraica y para la teora de nmeros algebraicos. Los ejemplos ms prominentes de anillos comutativos son los anillos de polinomios. 15: lgebra lineal y multilineal; teora de matrices. 16: Anillos sociables y lgebra sociables 17: anillos No-sociables y lgebra no-sociables 18: Teora de la categora; lgebra homological 19: K-teora 20: Teora del grupo y generalizaciones 22: Grupos topolgicos, Grupos de mentira, y anlisis sobre ellos (Tambin grupos de la transformacin, anlisis armnico abstracto)

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AnlisisDentro del mundo de las matemticas, anlisis est el rama ese los focos en cambio: ndices del cambio, cambio acumulado, y cosas mltiples que cambian concerniente (o independientemente de) a una otra. El anlisis moderno es un rama extenso y rpidamente que se ampla de las matemticas que tocan casi cada otra subdivisin de la disciplina, encontrando usos directos e indirectos en los asuntos tan diversos como teora del nmero, criptografa, y lgebra abstracta. Es tambin la lengua de la ciencia s mismo y se utiliza a travs qumica, biologa, y fsica, de astrofsica a Cristalografa de la radiografa. 26: Funciones verdaderas, incluyendo derivados y integrales 28: Medida y integracin 30: Funciones complejas, incluyendo teora de la aproximacin en dominio complejo 31: Teora potencial 32: Varias variables complejas y espacios analticos 33: Funciones especiales 34: Ecuaciones diferenciales ordinarias 35: Ecuaciones diferenciales parciales Sistemas dinmicos El estudio de las soluciones a ecuaciones del movimiento de los sistemas que estn sobre todo mecnico en naturaleza; aunque esto se extiende de rbitas planetarias con el comportamiento de circuitos electrnicos a las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales eso se presenta adentro biologa. Mucha de investigacin moderna se centra en el estudio de sistemas caticos. Vea tambin lista de los asuntos dinmicos del sistema 37: Teora ergdica 39: Ecuaciones de diferencia y ecuaciones funcionales 40: Secuencias, serie, summability 41: Aproximaciones y extensiones 42: Anlisis de Fourier, incluyendo Fourier transforma, aproximacin trigonometric, interpolacin trigonometric, y funciones orthogonal 43: Extracto anlisis armnico 44: El integral transforma, clculo operacional 45: Ecuaciones integrales 46: Anlisis funcional, incluyendo olomorfia infinito-dimensional, el integral transforma en espacios de la distribucin 47: Teora del operador 49: Clculo de variaciones y control ptimo; optimizacin (incluyendo teora geomtrica de la integracin) 58: Anlisis global, anlisis en los mltiples (que incluyen olomorfia infinito-dimensional) (Tambin: teora potencial probabilistic, aproximacin numrica, teora de la representacin, anlisis en mltiples)

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Geometra y topologaGeometra se ocupa de relaciones espaciales, usando calidades fundamentales o axiomas. Tales axiomas se pueden utilizar conjuntamente con las definiciones matemticas para los puntos, las lneas rectas, las curvas, las superficies, y los slidos para dibujar conclusiones lgicas. Vea tambin Lista de los asuntos de la geometra Geometra convexa y geometra discreta Incluye el estudio de objetos por ejemplo polytopes y poliedros. Vea tambin Lista de los asuntos de la convexidad Geometra combinatoria o discreta El estudio de objetos geomtricos y caractersticas que son discreto o combinatorio, por su naturaleza o por su representacin. Incluye el estudio de formas tales como Slidos Platonic y la nocin de tessellation. Geometra diferencial El estudio de la geometra usando clculo, y se relaciona muy de cerca con topologa diferenciada. Cubre las reas tales como Geometra de Riemannian, curvatura y geometra diferenciada de curvas. Vea tambin glosario de la geometra y de la topologa diferenciadas. Geometra algebraica A dada polinmico de dos verdaderos variables, entonces los puntos en un plano donde est forma esa funcin cero de la voluntad a la curva. curva algebraica ampla esta nocin a los polinomios sobre a campo en un nmero dado de variables. La geometra algebraica se puede ver como el estudio de estas curvas. Vea tambin lista de los asuntos algebraicos de la geometra y lista de superficies algebraicas. Topologa Se ocupa de las caractersticas de una figura que no cambian cuando la figura est deformida continuamente. Las reas principales son topologa determinada del punto (o topologa general), topologa algebraica, y la topologa de mltiples, definido abajo. Topologa general Tambin llamado topologa determinada del punto. Caractersticas de espacios topolgicos. Incluye las nociones tales como abierto y cerrado sistemas, espacios compactos, funciones continuas, convergencia, axiomas de la separacin, espacios mtricos, teora de la dimensin. Vea tambin glosario de la topologa general y lista de los asuntos generales de la topologa. Topologa algebraica Las caractersticas de objetos algebraicos se asociaron a un espacio topolgico y cmo estos objetos algebraicos capturan las caractersticas de tales espacios. Contiene reas como teora de la homologa, teora del cohomology, teora homotopy, y lgebra homological, algunos de ellos ejemplos de functors. Homotopy trata de grupos homotopy (incluyendo grupo fundamental) as como complejos simplicial y A LA DERECHA complejos (tambin llamado complejos de la clula). Vea tambin lista de los asuntos algebraicos de la topologa. Variedades Una variedad se puede imaginar como una generalizacin n-dimensional de una superficie tridimensional en un espacio eucldeo. El estudio de variedades incluye a la topologa diferencial, que estudia las caractersticas de las funciones diferenciables definidas sobre una variedad. Vase tambin variedades complejas.

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Matemticas aplicadasProbabilidad y estadsticaVea tambin glosario de la probabilidad y de la estadstica Teora de probabilidades El estudio de cmo un acontecimiento dado es probablemente ocurrir. Vea tambin Categora: teora de las probabilidades, y lista de los asuntos de la probabilidad. Procesos estocsticos (MSC 60G/H) Considera con efecto agregado de una funcin al azar, o en un cierto plazo (a serie de tiempo) o espacio fsico (a campo al azar). Vea tambin Lista de los asuntos estocsticos de los procesos, y Categora: Procesos estocsticos. Estadstica Anlisis de datos, y cmo es el representante l. Vea tambin lista de asuntos estadsticos.

Ciencias de cmputoAnlisis numrico Muchos problemas en matemticas no pueden resolverse en forma general de modo exacto. El anlisis numrico es el estudio de mtodos iterativos y algoritmos para proporcionar una solucin aproximada a los problemas con un determinado grado de error. Incluye derivacin numrica, integracin numrica y mtodos numricos. 68: Ciencias de la computacin

Ciencias fsicasMecnica Trata qu sucede cuando un objeto fsico verdadero se sujeta a las fuerzas. Esto se divide naturalmente en el estudio de los slidos rgidos, slidos deformable, y los lquidos, detallados abajo. Mecnica de partculas En matemticas, una partcula es a punto-como, objeto perfectamente rgido, slido. Los mecnicos de la partcula se ocupan de los resultados de sujetar partculas a las fuerzas. Incluye mecnicos celestiales - el estudio del movimiento de objetos celestiales. Mecnica de los slidos deformables La mayora de los objetos del mundo real no estn punto-como ni perfectamente rgido. Ms importantemente, los objetos se desforman cuando estn sujetados a las fuerzas. Este tema tiene un traslapo muy fuerte con mecnicos de la serie continua, que se refiere a la materia continua. Se ocupa de las nociones tales como tensin, tensin y elasticidad. Vea tambin mecnicos de la serie continua. Mecnica de fluidos Lquidos en este sentido incluye no apenas lquidos, pero fluyendo gases, e iguale slidos bajo ciertas situaciones. (Por ejemplo, seco arena puede comportarse como un lquido). Incluye las nociones tales como viscosidad, flujo turbulento y flujo laminar (su contrario). Vea tambin dinmica flida. 78: La ptica, teora electromgnetica 80: Clsico termodinmica, traspaso trmico 81: Teora de Quantum, incluyendo la ptica del quntum 82: Mecnicos estadsticos, estructura de la materia 83: Relatividad y teora gravitacional, incluyendo mecnicos relativistas 85: Astronoma y astrofsica 86: Geofsica

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Otras ciencias matemticas90: Investigacin de operaciones, la programacin matemtica Investigacin de operaciones (OR), tambin conocido como investigacin operacional, proporciona ptima o cerca de ptimas soluciones a problemas complejos. OR usos modelizacin matemtica, anlisis estadstico y optimizacin matemtica. Programacin matemtica (o optimizacin) minimiza (o maximiza) una funcin real sobre un dominio que es a menudo especificado por las restricciones sobre las variables. Programacin matemtica estudia estos problemas y desarrolla mtodos iterativos y algoritmos para su solucin. 91: La teora de juegos y matemticas ciencias sociales (economa, sociologa y psicologa). 92: Biologa (vase tambin la biologa matemtica) y otras ciencias naturales 93: Teora de sistemas; control, incluyendo un control ptimo 94: Informacin y la comunicacin, circuitos 97: Educacin matemtica 97: Educacin de las matemticas

Referencias Enlaces externos Este artculo fue creado a partir de la traduccin parcial del artculo Areas_of_mathematics de la Wikipedia en ingls, concretamente de esta versin (http://en.wikipedia.org/wiki/Areas_of_mathematics), bajo licencia Creative Commons Atribucin Compartir Igual 3.0 y GFDL.

SudokuSudoku (en japons: , sdoku) es un pasatiempo que se cree se invent en la dcada de 1970 y se populariz en Japn en 1986, dndose a conocer en el mbito internacional en 2005 cuando numerosos peridicos empezaron a publicarlo en su seccin de pasatiempos. [1] El objetivo del sudoku es rellenar una cuadrcula de 99 celdas (81 casillas) dividida en subcuadrculas de 33 (tambin llamadas "cajas" o "regiones") con las cifras del 1 al 9 partiendo de algunos nmeros ya dispuestos en algunas de las celdas. Aunque se podran usar colores, letras, figuras, se conviene en usar nmeros para mayor claridad, lo que importa, es que sean nueve elementos diferenciados, que no se deben repetir en una misma fila, columna o subcuadrcula. Un sudoku est bien planteado si la solucin Ejemplo de sudoku. es nica. La solucin de un sudoku siempre es un cuadrado latino, aunque el recproco en general no es cierto ya que el sudoku establece la restriccin aadida de que no se puede repetir un mismo nmero en una regin.

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HistoriaSe cree que en el siglo XVIII, un famoso matemtico suizo, Leonhard Euler, cre un sistema de probabilidades para representar una serie de nmero sin repetir. Ya en 1970 la editorial Math Puzzles and Logic Problems publicaba una seccin llamada Number place por lo que este enigma matemtico se convertira en pasatiempos aunque aos ms tarde se perdi en el olvido. En 1984 el peridico japons Monthly Nikolist public una seccin de pasatiempos llamaba Sji wa dokushin ni kagiru ("los nmeros deben estar solos" (literalmente "clibe, soltero") ). Fue Kaji Maki, presidente de Nikoli, quien le puso el nombre. El nombre se abrevi a Sdoku (s = nmero, doku = solo)[2]

Reglas y terminologaEl sudoku se presenta normalmente como una tabla de 99, compuesta por subtablas de 33 denominadas "regiones" (tambin se le llaman "cajas" o "bloques"). Algunas celdas ya contienen nmeros, conocidos como "nmeros dados" (o a veces "pistas"). El objetivo es rellenar las celdas vacas, con un nmero en cada una de ellas, de tal forma que cada columna, fila y regin contenga los nmeros 19 slo una vez. Adems, cada nmero de la solucin aparece slo una vez en cada una de las tres "direcciones", de ah el "los nmeros deben estar solos" que evoca el nombre del juego.

Mtodos de resolucin

La casilla marcada en verde de la regin 33 de la esquina superior izquierda debe contener un 7. La estrategia para resolver este rompecabezas se puede considerar como la combinacin de tres procesos: escaneo, marcado y anlisis.

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EscaneoEn el ejemplo anterior, rastreando a lo largo y ancho los sietes localizados en cualquier lugar de la rejilla, el jugador puede eliminar todas las celdas vacas de la esquina superior izquierda que no pueden contener un 7. Esto deja slo una celda posible (marcada en verde).

MarcadoEl escaneo viene a interrumpirse cuando no pueden descubrirse nuevos nmeros. En este punto es necesario centrarse en algn anlisis lgico. La mayora encuentra til guiar este anlisis mediante el marcado de nmeros candidatos en las celdas vacas. Hay dos notaciones populares: subndices y puntos En la notacin de subndice, los nmeros candidatos se escriben en pequeo en las celdas. La desventaja es que los puzles originales se publican en peridicos que habitualmente no dejan demasiado espacio para acomodar ms que unos pocos dgitos. Si se usa esta notacin, los resolutores crean, a menudo, una copia ms grande del puzle y emplean un lpiz afilado. La segunda notacin es un patrn de puntos con un punto en la esquina superior izquierda representando un 1 y un punto en la esquina inferior derecha representando un 9. Esta notacin tiene como ventaja que puede usarse en el puzle original. Se requiere destreza para el emplazamiento de los puntos, porque la existencia de puntos desplazados o marcas inadvertidas lleva, inevitablemente, a confusin y no son fciles de borrar sin aadir ms confusin.

AnlisisHay dos aproximaciones principales: En eliminacin, el progreso se realiza mediante la sucesiva eliminacin de nmeros candidatos para una o ms celdas, hasta dejar slo una eleccin. Despus de lograr cada respuesta, debe realizarse un nuevo escaneo (habitualmente comprobando el efecto del ltimo nmero). Hay una serie de tcticas de eliminacin. Una de las ms comunes es el "borrado del candidato no coincidente". Las celdas con idntica configuracin de nmeros candidatos se dice que coinciden si la cantidad de nmeros candidatos en cada una es igual al nmero de celdas que los contienen. Esta aproximacin puede ser desaprobada por puristas lgicos por demasiado ensayo y error pero puede llegar a soluciones claras y rpidamente. Idealmente, se necesita encontrar una combinacin de tcnicas que eviten alguno de los inconvenientes de los elementos de arriba. El recuento de regiones, filas y columnas puede resultar aburrido. Escribir nmeros candidatos en celdas vacas puede consumir demasiado tiempo. La aproximacin "y-si" puede ser confusa a menos que se sea bien organizado. El quid de la cuestin es encontrar una tcnica que minimice el recuento y el marcado.

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Niveles de dificultadLos programas informticos que resuelven sudokus pueden estimar la dificultad que tiene un humano para encontrar la solucin, basndose en la complejidad de las tcnicas de resolucin necesarias. Esta estimacin permite a los editores adaptar sus sudokus para personas con diferente experiencia resolutoria. Algunas versiones "en lnea" (online) tambin ofrecen varios niveles de dificultad.

ConstruccinUn sudoku bien hecho slo puede tener una solucin, que es la correcta, para ser considerado sudoku. Es decir, un sudoku tiene solucin nica. La construccin de un sudoku puede ser realizada a mano eficientemente predeterminando las posiciones de los nmeros dados y asignndoles valores para realizar un proceso deductivo. Tal indefinido dada se puede suponer que no tienen ningn valor particular, mientras se le da un valor diferente antes de que se complete la construccin, el encargado de resolver ser capaz de hacer las mismas deducciones derivadas de tales supuestos, como en ese momento, el dado es muy mucho ms definido como algo ms. Esta tcnica da al constructor un mayor control sobre el flujo de resolucin de puzles, lder en el alvistas solucionador de sudokus por compuestas ntegramente. Los sudokus Nikoli se construyen a mano, y el nombre del autor aparece en los crditos junto a cada rompecabezas; los nmeros dados siempre se encuentran en forma de un patrn simtrico. Los rompecabezas Number Place Challenger de Dell (vase Variantes ms abajo) tambin citan los crditos del autor. Los rompecabezas sudoku que aparecen en la mayora de los peridicos del Reino Unido aparentemente son generados por ordenador, pero emplean probables en sudokus generados por ordenador. El desafo para los programadores de sudokus es ensear a un programa cmo construir rompecabezas inteligentes, de manera que no se puedan distinguir de aquellos realizados por humanos; Wayne Gould necesit retocar su popular programa durante seis aos para creer que haba alcanzado ese nivel.

VariantesAunque lo ms comn es que la tabla tenga un tamao de 9x9 con regiones de 3x3, hay numerosas variantes. Los juegos de iniciacin pueden ser tablas de 4x4 con regiones de 2x2; bajo el nombre de Logi-5, se han publicado tablas de 5x5 con pentomins como regiones; el World Puzzle Championship ha publicado una tabla de 6x6 con regiones de 2x3 y una tabla de 7x7 formada por 6 regiones compuestas por heptomins y una regin separada. Tambin se pueden encontrar tablas de mayor tamao. El diario The Times propone el Dodeka Sudoku, una tabla de 12x12 con 12 regiones de 4x3. Dell Magazines publica con frecuencia juegos de 16x16 (la variante de 16x16 utiliza normalmente los smbolos del 1 a la G, en lugar de los smbolos del 0 a la F usados en hexadecimal). El editor de puzzles Nikoli propone el Sudoku Gigante de 25x25.

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Otra variante frecuente es aadir lmites en la colocacin de los nmeros aparte de mantener los requisitos normales sobre filas, columnas y regiones. Con frecuencia, los lmites toman la forma de una dimensin extra; lo ms comn es obligar a que los nmeros de la diagonal principal de la tabla sean nicos. Los ya mencionados juegos Number Place Challenger incluyen esta variante. Tambin forman parte de esta variante los juegos del Daily Mail que utilizan tablas de 6x6. El peridico americano USA Today publica otra variante denominada Mini Sudoku, consistente en una tabla de 6x6 con regiones de 3x2. El objetivo es el mismo que en el Sudoku original, pero en esta variante slo se utilizan nmeros del 1 al 6. Otra variante es la combinacin del Sudoku y el Kakuro en una tabla de 9x9, denominada Sudoku de Sumas Cruzadas, en la que las pistas se dan a travs de sumas cruzadas. Tambin es posible que las pistas se den mediante criptoaritmos en los que cada letra representa un nico dgito del 0 al 9. Un ejemplo es: NUMBER+NUMBER=KAKURO cuya nica solucin es 186925+186925=373850. Otro ejemplo es SUDOKU=IS*FUNNY cuya solucin es 426972=34*12558.

Un Sudoku nonomino, como los del The Sunday Telegraph.

La solucin del puzzle anterior son los nmeros en rojo.

El Addoku combina elementos de Sudoku y Kakuro normalmente no se dan nmeros iniciales, sino que la tabla de 9x9 se divide en regiones, cada una de las cuales contiene la suma de todos los nmeros de la regin teniendo adems en cuenta que no hay nmeros repetidos en la misma regin. A la hora de completar la tabla se mantienen adems las reglas del Sudoku original. Una de las variantes ms populares es el Hypersudoku. Se publica en peridicos y revistas de todo el mundo y tambin es conocido por Sudoku NRC Handelsblad, Windoku, Hiper-Sudoku y Sudoku 4 cuadros. La base es idntica a la del Sudoku original, pero incluye reas interiores Un Sudoku Killer. adicionales en las que deben aparecer nmeros del 1 al 9. El algoritmo que lo resuelve es ligeramente diferente del del Sudoku normal por la influencia de los cuadros solapados. Este solapamiento da al jugador ms informacin que permite reducir las posibilidades de los restantes cuadros. La forma de jugar es similar a la del Sudoku pero es necesario prestar ms atencin a las cuadros y a las zonas solapadas que a las filas y columnas.

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Solucin del puzzle de arriba.

Tambin son comunes los juegos construidos a partir de mltiples tablas de Sudoku. En Japn es conocido el Sudoku Gattai 5 (mezcla de 5) compuesto por 5 tablas de 9x9 con solapamiento en las regiones de las esquinas con forma de quincuncio. En diarios como The Times o The Sydney Morning Herald, sta variante se conoce como Sudoku Samurai. Otros como el Baltimore Sun y el Toronto Star publican esta variante en su edicin dominical con el nombre High Five. Con frecuencia, no se proporcionan pistas en las regiones solapadas. Tambin se publican variantes con tablas secuenciales, en lugar de solapadas, en las que los valores de determinadas posiciones se transfieren de una tabla a otra. El Sudoku Social es una versin digital multijugador de Sudoku que permite a 2 jugadores jugar al mismo tiempo sobre el mismo tablero. Esta variante fue creada por Crosswords Ltd. en 2010 y lanzada como aplicacin para la plataforma iOS de Apple a travs de su Game Center. El Sudoku Social[3] concede puntos a cada jugador a medida que van colocando los nmeros correctamente, bloqueando el cuadro seleccionado al otro jugador. Las jugadas incorrectas hacen que el jugador no tenga acceso al tablero durante 10 segundos, adems de provocar la prdida de puntos.Un Sudoku de letras.

Tambin han surgido variantes alfabticas, llamadas a veces Sudokus de letras (Wordokus): no existe diferencia funcional a menos que las letras formen palabras. Algunas variantes, como la de TV Guide, incluyen una vez resuelto el juego una palabra en la diagonal principal, en una fila o en una La solucin del anterior est en rojo. columna; determinar la palabra por adelantado puede ser una ayuda para la resolucin del juego. Un Wordoku puede contener otras palabras adems de la palabra principal. Como en el ejemplo de la derecha, las palabras Kari, Park y Per podran formar parte de la solucin. Esto debera evitarse sustituyendo, por ejemplo, el carcter R por el carcter Q. Con una baraja estndar de 81 cartas del juego Set![4] puede jugarse al Sudoku. La versin tridimensional del Sudoku fue inventada por Dion Church y publicada en el Daily Mail Telegraph en mayo de 2005. Tambin existe una versin del cubo de Rubik denominada el cuboku.

Sudoku

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Hay otras muchas variantes. Algunas presentan diferentes formas en la disposicin de los solapamientos de tablas de 9x9, tales como una mariposa, un molino o una flor.[5] Otras versiones varan en la lgica de resolucin del juego. Una de ellas es Sudoku Mayor que. En esta versin, cada regin de 3x3 contiene 12 smbolos de mayor (>) o menor (