Mate Matic As

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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)

3

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador. Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2.

EXPLICACIÓN:

1) El denominador:

Al igual que en la suma de fracciones numéricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador común es ese denominador, y en el numerador se hace la suma de los numeradores. Por ejemplo:

Ejemplo con fracciones numéricas de igual denominador

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinómicas:

2) Sumar los numeradores:

Los paréntesis los puse para que se vea cada numerador y resaltar el hecho de que los estoy sumando. Pero en esa suma no son necesarios los paréntesis, y pueden no ponerse. En el siguiente paso los quito:

(Reglas para quitar los paréntesis)

Ahora tengo que sumar entre sí los términos de igual grado, es decir: las x con las x, y los números "sueltos" entre ellos. Porque recordemos que así se suman los polinomios. Y esto es una suma de dos polinomios: (x + 3) más (2x + 3). Si prefieren pueden hacer la suma poniéndolos en columnas, como cuando aprendieron el tema "operaciones con polinomios". Yo lo voy a hacer "juntando" los términos de igual grado, como también habrán hecho alguna vez en las ecuaciones:

x + 2x = 3x (¿por qué?)

3 + 3 = 6

En el numerador entonces queda: 3x + 6

3) Si se puede, aplicar algún Caso de Factoreo en el numerador:

3x + 6 = 3.(x + 2) (Primer Caso de Factoreo: Factor Común)

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:

4) Simplificar si se puede:

Así, me encuentro con que quedó el polinomio (x + 2) arriba y abajo. Lo puedo simplificar, como ya se vió en el tema: Simplificación de Expresiones Algebraicas Racionales.

(Si les interesa, en la parte de conceptos se puede ver una comparación de esta situación con lo que pasa en las fracciones numéricas cuando se pueden simplificar: Ver aquí)

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/simplifi.htm

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/pricaso.htm

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#sumapoli

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/cuatrino/ctocaso.htm#reglaparentesis

El resultado es entonces lo que no quedó tachado:

3 (¿por qué?)

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0x ≠ -2 (¿por qué?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA

¿Por qué x + 2x es igual a 3x?

x + 2x es igual a 1x + 2x, ya que x es igual a 1x. Luego:

1x + 2x = 3x

Porque cuando sumamos dos términos que tienen la misma letra (parte literal), hay que "sumar los números que tienen delante", es decir: sumar los coeficientes, que en este caso son el 1 y el 2 (¿qué son los coeficientes?).

1 + 2 = 3

Así es como se suman los polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos que tienen igual parte literal (¿qué es la parte literal?). Y si el polinomio tiene un solo tipo de letra (por ejemplo la "x"), podemos decir que hay que "sumar los términos de igual grado (igual exponente): las x2 con las x2, las x con las x, las x3 con las x3, los números solos (término independiente) con los números solos, etc.Recordemos con algunos ejemplos como se hacía la suma de polinomios:

P = -6x2 + 2x4 + 2x - 3 + 4x3

Q = 3x4 + 7 - 2x3 + 4x2 + 3x

Y queremos sumar: P + Q =

Pueden que hayan visto dos formas de hacerlo: 1) Poniéndolos uno sobre otro, como en la suma de números de varias cifras, y ubicando en columnas los términos del mismo grado, porque es entre ellos que van a sumarse. 2) Poniéndolos en línea con un signo "+" entre ellos, y luego agrupando los términos de igual grado. Un ejemplo de la segunda forma de sumarlos se puede ver aquí: SUMA

1) 2x4 + 4x3 - 6x2 + 2x - 3 + 3x4 - 2x3 + 4x2 + 3x + 7 -------------------------- 5x4 + 2x3 - 2x2 + 5x + 4

En cada columnas se ponen los términos de igual grado. Y la cuenta se hace entre los coeficientes:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/suma.htm#otraforma

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/iggrado/iggrado1.htm#independiente

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/trinomio/trinomio1.htm#parteliteral

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/fcomun4.htm#coeficiente

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/trinomio/trinomio1.htm#parteliteral

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/sumas.htm#sumaconc

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/simplifi.htm#cero

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#porqueda3

Para la x4 -------> 2 + 3 = 5Para la x3 -------> 4 + (-2) = 4 - 2 = 2Para la x2 -------> -6 + 4 = -2Para la x --------> 2 + 3 = 5Para los "números solos" -------> -3 + 7 = 4

Volvamos a nuestro EJEMPLO 1. Allí estamos sumando:

P = x + 3Q = 2x + 3

1x + 32x + 3--------3x + 6

¿Y por qué se suman así los polinomios? ¿Por qué se "juntan" los términos de igual grado (o igual parte literal)? ¿Por qué se suman los coeficientes pero la letra queda con el mismo exponente?

Supongamos que tenemos estos dos términos en una suma de polinomios:

3x2 + 5x2

Las tres preguntas anteriores se resumirían en una: ¿por qué eso dá 8x2? Y voy a tratar de responder eso:

3x2 significa 3.x2, es decir: " 3 por x2 ". Ya que el punto puede obviarse, pero cuando no hay nada entre un número y una letra, o entre dos letras, hay que asumir que hay un punto y por lo tanto es una multiplicación.

Si 3x2 es una multiplicación, significa " tres veces x2 ", ya que ése el concepto de multiplicación: multiplicar por 3 es sumar 3 veces. Es decir que el término 3x2 representa a la x2 sumada 3 veces:

3x2 = x2 + x2 + x2

Y con el mismo razonamiento, llego a la conclusión de que:

5x2 = x2 + x2 + x2 + x2 + x2

Entonces, sumar a 3x2 + 5x2 no es otra cosa que sumar lo siguiente:

x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 =

Eso es sumar 8 veces x2. Lo cual, según el concepto de multiplicación, es multiplicar a 8 por x2:

8.x2

Que si no le ponemos el punto, es:

8x2

Se suman los coeficientes 3 y 5, para obtener 8, porque podemos pensar que los coeficientes nos dicen "las cantidades que tenemos de x2 en cada término". La cantidad de x2 que tenemos será la suma de las cantidades en cada término con x2. Si tengo "3 veces x2" y "5 veces x2", puedo decir que tengo "8 veces x2". Y eso puede escribirse como una multiplicación: la multiplicación de 8.x2, que también puede escribirse así: 8x2, y es un término de un polinomio.

Y no se pueden sumar términos de distinto grado por la misma razón. Si tengo:

3x2 + 5x7

Eso significa que tengo:

x2 + x2 + x2 + x7 + x7 + x7 + x7 + x7 =

Eso no puede decirse que sea 8 veces la misma cosa. No es ni 8 veces x2, ni 8 veces x7, y menos 8 veces x con otro exponente. Entonces no sirve sumar los coeficientes, porque no voy a poder escribirlo como una multiplicación de un coeficiente por la letra elevada a un exponente. No puedo escribirlo como un solo término de un polinomio. No puedo escribirlo más que como: 3x2 + 5x7.

¿Cómo llegué de al resultado final: 3?

En el apartado de Simplificación de Expresiones Algebraicas Racionales ya expliqué cómo simplificar este tipo de expresiones. Pero aquí puedo decir que, al cancelar los (x + 2), quedan números "1" en su lugar. Así:

1

1

Más ejercicios resueltos, similares al EJEMPLO 1:




EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)

En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión.No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste (en donde los denominadores no se pueden factorizar), el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos.

EXPLICACIÓN:

1) El denominador común:

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. En este ejemplo, el denominador común es el producto (multiplicación) de ambos denominadores.

Denominador común = (x + 2).(x - 3)

Ésto no será así siempre en todos los ejercicios. Pero en general, los primeros ejemplos que nos enseñan

son como éste. En los siguientes Ejemplos -desde el 4 en adelante- se verá cómo es la regla para calcular el denominador común en cualquier caso. Pero por ahora sigamos con este ejemplo, y si quieren ahora una amplia explicación sobre por qué en este ejemplo es así, pueden verlo en:CONCEPTOS-DUDAS-COMENTARIOS.

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma3.htm#suma3con

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma3.htm#suma3con

2) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2), es igual a (x - 3) (¿cómo se hacen esas divisiones?)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

x.(x - 3)

Me va quedando:

Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3), es igual a (x + 2)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

2.(x + 2)

Me queda:

(Quizás puedan darse cuenta aquí de que, cuando divido (x + 2).(x - 3) por uno de los binomios, el

resultado es el otro binomio. Y sino, consultar en el enlace: DIVISIONES)

3) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:

Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga mejor lo que estoy haciendo en este paso:

x.(x - 3) + 2.(x + 2) = x2 - 3x + 2x + 4 = x2 - x + 4 (suma de términos)

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#polisuma

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma3.htm#divisimpli



Los siguientes pasos son, entonces:

Si se pudiese, habría que factorizar al polinomio x2 - x + 4, porque quizás uno de sus factores podría simplificarse con algún factor del denominador, como sucedió en el EJEMPLO 1. Pero ya comprobé que x2 - x + 4 no puede factorizarse por ningún Caso de Factoreo (hay que probar con el Tercero: Trinomio Cuadrado Perfecto, y el Séptimo: Trinomio de Segundo Grado ("cuadrática") o Gauss)



Sobre el denominador común en este ejemplo y otros similares:

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores comunes son distintos entre sí, hay que buscar un denominador común. Ese denominador común debe ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. No expliqué nada todavía acerca de cómo hallar el m.c.m. entre polinomios, ni siquiera entre números, porque en este ejemplo en particular, como en muchos otros que nos dan al empezar el tema, el denominador común es simplemente el producto (multiplicación) de los dos denominadores:

denominador común = (x + 2).(x - 3) (¿y por qué?)

Porque en este ejemplo, el m.c.m. es (x + 2).(x - 3).

Por supuesto, no siempre el m.c.m. entre dos polinomios es el producto de ambos. Pero en este ejemplo sí lo es, y hay muchos ejemplos en donde pasa esto. Y no hace falta todavía saber la regla del m.c.m. para darse cuenta de eso. Lo que hay que aclarar es cómo debe ser un ejercicio para que el denominador común pueda calcularse de esa forma. Y la respuesta es ésta:

"Cuando los denominadores de las fracciones son polinomios distintos y que no se pueden factorizar, el denominador común es el producto de ambos denominadores."

Cualquier ejercicio que cumpla eso, puede resolverse como el EJEMPLO 3 de esta página. Por ejemplo, los siguientes ejercicios (para que vayan identificando su forma):

Denominador común: (x +1).(x + 5)

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma3.htm#porprod


http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#numesimp

Denominador común: (x - 2).(x + 8)

Denominador común: (x - 1).x

Qué tienen en común estos tres ejemplos: los dos denominadores de las fracciones son distintos y no se pueden factorizar. Hay muchos ejercicios con esa forma. Y no hace falta conocer y aplicar la regla del m.c.m. para resolverlos, porque el denominador común es el producto de ambos denominadores. Por eso, el primer ejemplo que estoy explicando de suma de fracciones de distinto denominador (el EJEMPLO 3, el desarrollado en esta página), es un ejemplo de este tipo. Porque quizás al profesor le parece que son los ejemplos más fáciles para empezar, y por eso siempre nos enseñan éstos primero. Pero lo difícil es explicar que no siempre el denominador se calcula así, cuando en general el alumno quiere desde el primer ejemplo tener una regla que le sirva para todo. En elEJEMPLO 4 es donde explicaré la regla para calcular el m.c.m., que se usará para todos los ejemplos siguientes.

Comparación con la suma de fracciones numéricas:

Podemos comparar este EJEMPLO 3 y los otros mostrados en el punto anterior, con una suma de fracciones numéricas como la siguiente, situación a la que estarán uds. más acostumbrados:

Al ver esa suma de fracciones, seguramente deducen ustedes con facilidad que el denominador común es 6, número que viene de multiplicar los dos denominadores: 2 por 3. Podrían ustedes ni siquiera saber que 6 es el mínimo común múltiplo entre 2 y 3, ni aplicar la regla para encontrarlo. Pero se dan cuenta de, entre 2 y 3, hay que poner 6. Porque 6 se puede dividir por 2, y se puede dividir por 3. Y es el número más chico con el que se puede hacer eso (porque también servirían el 12, 18, 24, etc.). Y es necesario que se pueda dividir al 6 por 2 y por 3, porque es lo que hay que hacer en el siguiente paso: dividir.Pero saben también que no siempre el denominador común se saca así, porque hay otros ejemplos donde si multiplican los denominadores, queda un número grande y que hay otro más chico que es más correcto poner como denominador. Un ejemplo donde pasa eso:

Aquí, el denominador común no es la multiplicación de los denominadores: 4.6 = 24. Sino que es 12, el número más chico que se puede dividir por 4 y por 6. Se podría hacer la suma usando al 24 como denominador común (se llega al mismo resultado); pero cuando nos enseñan sumas de fracciones nos piden que usemos el menor número (porque sino después quedan todos números más grandes que hay que simplificar). Nos dicen que hay que usar el 12, porque el 12 es el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre 4 y 6, el cual se puede deducir pensando un poco o usando la regla para hallarlo (que todavía no expliqué).

El ejemplo de fracciones numéricas con denominadores 2 y 3, se puede comparar con el

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma4.htm

EJEMPLO 3 de fracciones polinómicas explicado en esta página. Porque en el EJEMPLO 3 decía que los denominadores "no se podían factorizar", y por eso su m.c.m. era el producto de ambos denominadores. Con los números 2 y 3 pasa lo mismo: podríamos decir que son números que "no se pueden factorizar", en realidad, que no tienen ningún factor diferente a ellos mismos en su descomposición (números primos):

2 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

En cambio el 4 y el 6 son números que "se pueden factorizar", es decir: aparecen factores diferentes a ellos mismos en su descomposición:

4 | 2 6 | 22 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

Cuando los dos denominadores de las fracciones son números primos, se puede asegurar que su m.c.m. es el producto de ambos números. Para sumar dos fracciones cuyos denominadores son primos los dos, puedo usar como denominador común el producto de ambos números, porque éste producto es con seguridad el m.c.m. entre los números.Pero cuando al menos uno de los denominadores no es primo, ya no se puede asegurar eso. Esto tiene que ver con lo que es el m.c.m. y la regla para calcularlo, que aquí no veremos todavía. Entonces, no sería conveniente usar como denominador común el producto de ambos, porque no es el m.c.m., hay un denominador común menor que podría usarse.Y eso es lo que pasa con la suma de dos fracciones con polinomios. Si los dos denominadores no se pueden factorizar por ningún Caso (también se les llama "primos"), podemos usar su producto como denominador común, porque es con seguridad el m.c.m. Pero si al menos uno de los dos polinomios puede factorizarse, ya no es conveniente usar el producto de ambos, porque no se tiene la seguridad de que sea el m.c.m. Y sobretodo trabajando con polinomios, usar un denominador que no sea el m.c.m. complicaría mucho más los cálculos. En el EJEMPLO 4 ya pasa eso y allí explicaré la regla para hallar el m.c.m.

Divisiones entre el denominador común y los denominadores de cada fracción:

En este tema tendremos que dividir entre sí polinomios que están factorizados. En este EJEMPLO 3 tuvimos que hacer dos divisiones:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2)

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Para entender cómo se encuentra el resultado de estas divisiones, podemos pensar en el tema simplificación. Porque dividir polinomios en este tema ¡es como simplicarlos! Y a simplificar ya aprendimos en la parte de SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Sí, porque:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2) es lo mismo que:

ya que la línea de fracción significa división

Y como ya aprendimos que en una fracción se simplifica cancelando los polinomios iguales



http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/mcd.htm#primos

("uno de arriba con uno de abajo"), ya sabemos que podemos hacer esto:

(x - 3)

Como se cancelaron los polinomios iguales (x + 2), quedó como resultado el que era diferente: (x - 3). Y así va a pasar siempre en ejemplos como éste: se cancelan los iguales y queda el diferente como resultado de la división. Por eso, no hace falta plantearlo como fracción y cancelar (aunque pueden hacerlo al principio si quieren hasta estar más seguros), porque se puede deducir ("cancelando mentalmente") cuál o cuáles polinomios se cancelan y cuál es el resultado. Por ejemplo, en la otra división:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Puedo pensar así: "Los (x - 3) se van a cancelar, entonces el resultado es (x + 2)".

Otros ejemplos:

(x + 5).(x - 1) dividido (x - 1) es igual a (x - 5)

(x + 5).(x - 1) dividido (x + 5) es igual a (x - 1)

Caso particular:

(x + 3).(x + 5) dividido (x + 3).(x + 5) es igual a 1. Porque si cancelo todo, queda un 1. O también puedo pensar que: "Si divido algo por sí mismo, el resultado es 1. Por ejemplo:8:8 = 1; 14:14 = 1; a:a = 1; (x + 4):(x + 4) = 1, etc.

Me pueden preguntar: ¿Y si tengo que dividir polinomios que no se cancelan, por ejemplo:(x + 5).(x - 1) dividido (x + 2)?. Bueno, pero eso en este tema no va a pasar nunca. Porque en este tema estamos dividiendo el denominador común, que es el m.c.m. entre los denominadores, y siempre se me va a cancelar algo de esa manera.Y esto no es necesario saberlo, pero eso pasa porque el denominador común tiene que tener los "factores" de ambos denominadores. Justamente, el m.c.m se forma con los factores de ambos denominadores, como ya se verá cuando explique cómo se calcula el m.c.m. Entonces siempre se van a poder cancelar los denominadores.

De todos modos, en todos los ejemplos resueltos (desde este EJEMPLO 3 en adelante) mostraré siempre cómo se hacen estas divisiones, para que no queden dudas.

Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Sin aprender todavía la regla para hallar el Mínimo Común Múltiplo, podemos ir observando lo siguiente, lo cual tiene que ver con lo que es el Mínimo Común Múltiplo y cómo se obtiene: Los denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común.

En nuestro EJEMPLO 3, por ser un ejemplo muy sencillo, se puede ver muy claramente:

Denominador común: (x + 2).(x - 3)

Denominador 1: (x + 2)Denominador 2: (x - 3)

En los siguientes ejemplos iré mostrando cómo, siempre, en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque, el denominador común, tiene que ser divisible por todos los denominadores.



EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)

Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.

EXPLICACIÓN:

1) Factorizar todos los denominadores que se puedan:

Primera fracción:

x2 - 4 = (x + 2).(x - 2) con el Quinto Caso: Diferencia de Cuadrados

Segunda fracción:

x + 2 no se puede factorizar (¿por qué?) Queda así.

Ahora reemplazo el denominador que factoricé (x2 - 4), por su equivalente factorizado (x + 2).(x - 2). Va quedando así:

2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

(x + 2).(x - 2)

(x + 2)

m.c.m: (x + 2).(x - 2)

Porque, el m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores (¿qué

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/fcomun1.htm#porquefactorcomun

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma4.htm#mcmpoli

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma4.htm#poliprimos

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/difcuadr/qtocaso.htm

era un "factor"?), con el mayor exponente con el que aparecen". Entonces, en el m.c.m. hay que poner, multiplicando, a todos los factores de los denominadores. Si un factor está en dos denominadores, hay que poner uno sólo, no ponerlo dos veces (eso pasó aquí con el (x + 2)). Y si alguno hubiera quedado a alguna potencia (cuadrado, cubo), habría que ponerlo a la potencia más alta con la que aparece. Por ejemplo, si en algún denominador hubiera quedado (x + 2)2, en el m.c.m. habría que ponerlo elevado al cuadrado.(más sobre esto en M.C.M.)

Entonces, bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso determinaré lo que queda en el numerador:

(Más sobre cómo determiné el m.c.m. en este ejemplo)

3) El numerador:


Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que teníamos y el denominador común:

Primera fracción:


(x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), es igual a 1 (¿cómo se hace esta división?)


1.x, lo que es igual a x

Me va quedando:

Segunda fracción:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma4.htm#divisimpli4


http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma4.htm#masmcm





(x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), es igual a (x - 2) (¿cómo se hace esta división?)


3.(x - 2)

Me queda:


Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

x + 3.(x - 2) = x + 3x - 6 = 4x - 6 (suma de términos)

Me quedó:


Pero como en 4x - 6 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizás después pueda simplificar algún factor del numerador con alguno del denominador:

4x - 6 = 2.(2x - 3) por el Primer Caso de Factoreo: Factor Común

Reemplazo en la fracción con el polinomio del numerador, ya factorizado:

Pero no se puede simplificar nada, porque no me quedaron polinomios iguales arriba y abajo. Así que ése es el resultado final del ejercicio.



http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/sumas.htm


http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#polisuma


El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios

Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre números enteros:

Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.

Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:

120 | 2 36 | 2 60 | 2 18 | 2 30 | 2 9 | 3 15 | 3 3 | 3 5 | 5 1 | 1 1 | 1

120 = 23.3.5 36 = 22.32

Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro.Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos (¿primos?)

m.c.m. = 23.32.5

Porque:

- Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos.

- El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha).

- El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

- El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).

Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están factorizados.

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/mcm.htm

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/mcd.htm#primos

EJEMPLO 1:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios (ya factorizados):

(x + 2)3.(x + 5).(x - 1)

(x + 2)2.(x + 5)2

m.c.m.= (x + 2)3.(x + 5)2.(x - 1)

Porque:

- Los factores que se pueden ver en la factorización de los polinomios son los siguientes:(x + 2), (x - 1) y (x + 5). Eso es todo, otros diferentes no hay.

- El mayor exponente con que aparece el (x + 2) es 3, porque en el primer polinomio está (x + 2)3, y en el segundo polinomio está (x + 2)2. Obviamente, el exponente 3 es mayor que el exponente 2. Por eso, en el m.c.m. hay que poner (x + 2)3.

- El mayor exponente con que aparece (x + 5) es 2. Porque en el primer polinomio está(x + 5) sin exponente (quiere decir que exponente es 1), y en el segundo polinomio está(x + 5)2. Como 2 es mayor exponente que 1, en el m.c.m. hay que poner (x + 5)2.

- El factor (x - 1) aparece solamente en el primer polinomio, y está así sin elevar (significa que el exponente es 1). Así que no queda otra que ponerlo así, ya que no hay otro exponente con cual compararlo: es el mayor. Por eso en el m.c.m. hay que poner (x - 1).

Recordemos que en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores", y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen en los polinomios. Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos polinomios primos, es decir, polinomios que ya no tienen factorización posible.

EJEMPLO 2:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

x2 - 9 =x2 + 6x + 9 =x3 + 9x2 + 27x + 27 =

1) Hay que factorizar:

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) (Diferencia de Cuadrados)x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 (Trinomio Cuadrado Perfecto)x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 (Cuatrinomio Cubo Perfecto)

2) Los polinomios, ya factorizados, son:

(x + 3).(x - 3)(x + 3)2

(x + 3)3

3) Los factores: (x + 3) y (x - 3) son los únicos factores que hay en estos polinomios.

4) (x + 3): El mayor exponente con que aparece es 3, en el tercer polinomio. En el m.c.m

hay que poner entonces (x + 3)3

(x - 3): Aparece solamente en el primer polinomio, y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No está con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x - 3).

5) m.c.m.: (x + 3)3.(x - 3)

EJEMPLO 3:


x5 - x3 =x4 + 2x3 + x2 =

1) Factorizo:

x5 - x3 = x3.(x2 - 1) = x3.(x + 1).(x - 1) (Factor común y Diferencia de cuadrados)x4 + 2x3 + x2 = x2.(x2 + 2x + 1) = x2.(x + 1)2 (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados, son:

x3.(x + 1).(x - 1) x2.(x + 1)2

3) Los factores que aparecen son: x, (x + 1) y (x - 1)

4) x: El mayor exponente con que aparece es 3, en el primer polinomio. En el m.c.m. hay que poner entonces x3. (x + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces (x + 1)2. (x - 1): Aparece solamente en el primer polinomio y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No aparece con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x - 1).

5) m.c.m.: x3.(x + 1)2.(x - 1)

EJEMPLO 4:


2x2 - 8x + 84x + 83x + 6

1) Factorizo:

2x2 - 8x + 8 = 2.(x2 - 4x + 4) = 2.(x - 2)2 (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)4x + 8 = 4.(x + 2) (Factor común)3x + 6 = 3.(x + 2) (Factor común)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados son:

2.(x - 2)2

4.(x + 2)3.(x + 2)

3) Los factores que aparecen son: (x - 2), (x + 2) y los números 4, 2, y 3. Pero cuando hay números como factores, hay que buscar el m.c.m. entre los números (porque algunos de esos números no están "factorizados en sus factores primos", como el 4 en este caso):

2 | 2 4 | 2 3 | 31 | 1 2 | 2 1 | 1 1 | 1

2 = 2 4 = 22 3 = 3

m.c.m.: 22.3 = 12

4) (x - 2): El mayor exponente con el que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner (x - 2)2. (x + 2): Aparece sin elevar (o sea que el exponente es 1) en el segundo y en el tercer polinomio. No aparece con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x + 2). Y entre los números, hay que poner el m.c.m. que ya calculé en el paso anterior: 12.

5) m.c.m.: 12.(x - 2)2.(x + 2)

EJEMPLO 5:

Hallar el m.c.m. entre los siguientes polinomios:

a3b + a2ba3 + 2a2 + a

1) Factorizo:

a3b + a2b = a2b.(a + 1)a3 + 2a2 + a = a.(a2 + 2a + 1) = a.(a + 1)2

2) Los polinomios ya factorizados quedaron así:

a2b.(a + 1)a.(a + 1)2

3) Los factores que aparecieron son: a, b, y (a + 1)

4) a: El mayor exponente con que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner a2. b: Aparece solamente en el primer polinomio, sin exponente (está elevado a la 1). El mayor exponente es entonces 1. En el m.c.m. hay que poner b. (a + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner (a + 1)2.

5) m.c.m.: a2b.(a + 1)2

Polinomios que no se pueden factorizar

En este tema conviene tener presente que en los polinomios de grado 1, si no se puede aplicar el Caso Factor Común, no se pueden factorizar por ningún otro Caso. Si no

practicaron mucho factoreo quizás no se dieron cuenta de eso. Hablo de polinomios como los siguientes:

(x + 1)(x - 5)(x + 3)(x - 1/2) (1 - x)

etc.

Porque estos polinomios aparecen muchas veces como denominadores, y es bueno darse cuenta enseguida de que no hay que pensar en factorizar esos denominadores, porque no se puede. En cambio, aunque sean de grado 1, sí se pueden factorizar los siguientes polinomios, porque en ellos hay factor común:

2x - 46x - 23x + 312 - 4x

etc.

Con menos frecuencia, pero también pueden encontrarse en este tema polinomios que son sumas de potencias pares, que tampoco pueden factorizarse. Por ejemplo:

x2 + 4x2 + 1x4 + 16x2 + 9

Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqué con más detalle en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

1 1

(SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES) 1 1

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), es como simplificar la fracción:

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos se cancelan y otros quedan. Así:



"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), se me va a cancelar todo. El resultado es 1."

"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), se me va a cancelar (x + 2), y me queda como resultado (x - 2)"


Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 4:

Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común, lo marcaré en rojo:

Denominador 1: (x + 2).(x - 2)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en azul:

Denominador 2: (x + 2)


En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.

Más acerca cómo determiné el m.c.m. en este EJEMPLO 4:

El denominador de la primera fracción había quedado factorizado asi:

(x + 2).(x - 2) (Los "factores" son (x + 2) y (x - 2) )

Y el denominador de la segunda ya no tenía más factorización posible:

(x + 2) (El único "factor" es (x + 2) )

Y recordemos que si algo "no tiene exponente", se puede considerar que su exponente es "1". Por ejemplo: (x + 2) es igual a (x + 2)1. Así que en este ejercicio que estamos haciendo, el exponente de los factores es 1. Por lo cual, el "mayor exponente" del que habla la regla será "1": Casi que esa parte de la regla no hace falta tenerla en cuenta para este ejemplo, porque aquí no tenemos ningún exponente a la vista. Hay que hacer otros

ejemplos para ver eso.

Entonces, los factores que vemos en estos dos denominadores, los factores con los que vamos a armar el m.cm. entre ellos, son solamente dos:

(x + 2) y (x - 2) (únicos factores que forman los denominadores)

El factor (x + 2) está en el primer denominador, y también en el segundo, pero es el mismo factor. En cambio el factor (x - 2) está solamente en el primer denominador. En el m.c.m. tenemos que poner multiplicando a esos factores, y el mayor exponente con que aparecen todos es "1", porque no tienen exponente. Así que hay que ponerlos así, sin exponente (que es como si estuvieran elevados a la "1").

m.c.m.: (x + 2).(x - 2)

Si no quedó claro cómo se obtuvo el m.c.m., convendría ver el apartado donde se explica exclusivamente el tema M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Allí se verán otros ejemplos en donde se aprecia mejor el uso de la regla porque en un principio no son casos particulares cómo el de este EJEMPLO 4, y el ver varios ejemplos comparados ayuda a la compresión definitiva de cómo se aplica la regla en cualquier caso. También se remite al m.c.m. entre números naturales, que se calcula de igual manera, sólo que con números en vez de con polinomios, y que se aprende en general en la escuela primaria.




EJEMPLO 5:


EXPLICACIÓN:

1) Factorizo los denominadores:

Primera fracción:


Segunda fracción:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto

Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados. Va quedando así:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/trinomio/terccaso.htm




Denominadores:

(x + 2).(x - 2)

(x + 2)2

Los factores son:

(x + 2)(x - 2)

Con el mayor exponente con que aparecen:

(x + 2)2 En el denominador de la segunda fracción

(x - 2)1 = (x - 2) En el denominador de la primera fracción

m.c.m: (x + 2)2.(x - 2)

(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen") M.C.M.

Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el numerador:

3) El numerador:






Primera fracción:


(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), es igual a (x + 2) (¿por qué?)


(x + 2).(x + 10)

Me va quedando:

Segunda fracción:


(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, es igual a (x - 2) (¿por qué?)


(x - 2).(x + 4)

Me queda:



(x + 10).(x + 2) - (x + 4).(x - 2) = x2 + 2x + 10x + 20 - (x2 - 2x + 4x - 8) =

x2 + 2x + 10x + 20 - x2 + 2x - 4x + 8 = 10x + 28

Me quedó:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma5.htm#divisimp2

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma5.htm#divisimp2


Pero como en 10x + 28 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizás después pueda simplificar algún factor del numerador con alguno del denominador:

10x + 28 = 2.(5x - 14) por el Primer Caso de Factoreo: Factor Común






Como ya expliqué con más detalle en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

(SIMPLIFICACIÓN - EJEMPLO 4)

Y resolver (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, sería como simplificar la fracción:

(x - 2)

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), se me va a cancelar un (x + 2) y un(x - 2), me queda como resultado un (x + 2)"

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/simpli4.htm#simpcuadrado




"Si divido a (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, se me va a cancelar (x + 2)2, y me queda como resultado un (x - 2)"



En este EJEMPLO 5:

Denominador común: (x + 2)2.(x - 2) = (x + 2).(x + 2).(x - 2)



Denominador común: (x + 2)2.(x - 2) = (x + 2).(x + 2).(x - 2)


Denominador 2: (x + 2)2

Denominador común: (x + 2)2.(x - 2)



EJEMPLO 6:

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfectox -2 2.x.(-2) -4x

Segunda fracción:

x - 2 no se puede factorizar por ningún Caso (los que no se pueden factorizar)

Ahora reemplazo el denominador que factoricé, por su equivalente factorizado. Va quedando así:



Denominadores:

(x - 2)2

(x - 2)

Hay un solo factor:

(x - 2)


(x - 2)2 En el denominador de la primera fracción

m.c.m: (x + 2)2







3) El numerador:



Primera fracción:


(x - 2)2 dividido (x - 2)2, es igual a 1 (divisiones)


1.(12x - 4)

Me va quedando:

Segunda fracción:


(x - 2)2 dividido (x - 2), es igual a (x - 2) (divisiones)


(x - 2).2, que es igual a 2.(x - 2)

Me queda:


Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la




fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

1.(12x - 4) - 2.(x - 2) = 12x - 4 - 2x + 4 = 10x

Me quedó:

Como 10x no se puede factorizar por ningún Caso, ése es el resultado final.

¿Te quedó alguna duda? Preguntáme en el LIBRO DE CONSULTAS




Como ya expliqué con más detalles en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver (x - 2)2 dividido (x - 2)2, sería lo mismo que simplificar la fracción:

(SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES)

Resolver (x - 2)2 dividido (x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

1

(¿por qué si simplifica así?)


"Si divido a (x - 2)2 dividido (x - 2)2, se me va a cancelar todo, y me queda 1 como resultado.

"Si divido a (x - 2)2 dividido (x - 2), se me va a cancelar un (x - 2), y me queda como resultado un (x - 2)"

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/simpli4.htm#simplipot




http://libros.miarroba.com/leer.php?id=240645



En este EJEMPLO 6:


Denominador 1: (x - 2)2

Denominador común: (x - 2)2


Denominador 2: (x - 2)

Denominador común: (x - 2)2 = (x - 2).(x - 2)



EJEMPLO 7: (Con tres términos)

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

x + 2 no se puede factorizar por ningún Caso (los que no se pueden factorizar)

Segunda fracción:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfectox 2 2.x.2 4x

Tercera fracción:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 con el 4to Caso Cuatrinomio Cubo Perfectox 2

3.x2.2 3.x.22

6x2 4x



Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes,

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/cuatrino/ctocaso.htm



hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

(x + 2)

(x + 2)2

(x + 2)3

Hay un solo factor:

(x + 2)

Con el mayor exponente con que aparece:

(x + 2)3 En el denominador de la tercera fracción

m.c.m: (x + 2)3



3) El numerador:






Primera fracción:


(x + 2)3 dividido (x + 2) , es igual a (x + 2)2 (divisiones)


1.(x + 2)2

Me va quedando:

Segunda fracción:


(x + 2)3 dividido (x + 2)2, es igual a (x + 2) (divisiones)


(x - 2).(x + 2)

Me va quedando:

Tercera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la tercera fracción:

(x + 2)3 dividido (x + 2)3, es igual a 1. (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fracción:

1.(x - 1), que es igual a (x - 1)

Me quedó:


Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la




fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

1.(x + 2)2 - (x - 2).(x + 2) - (x - 1) = x2 + 4x + 4 - (x2 + 2x - 2x - 4) - x + 1 =

x2 + 4x + 4 - x2 + 4 - x + 1 = 3x + 9

Me quedó:


Pero como en 3x + 9 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizás después pueda simplificar algún factor del numerador con alguno del denominador:

3x + 9 = 3.(x + 3) por el Primer Caso de Factoreo: Factor Común







Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:


Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2)2, sería lo mismo que simplificar la fracción:





Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2)3, sería lo mismo que simplificar la fracción:


"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2), se me va a cancelar un (x + 2), y me queda como resultado un (x - 2)2"

"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2)2, se me van a cancelar dos (x + 2), y me queda un(x + 2) como resultado.

"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2)3, se me van a cancelar todos, entonces el resultado es 1.



En este EJEMPLO 7:


Denominador 1: (x + 2)

Denominador común: (x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2)


Denominador 2: (x + 2)2 = (x + 2).(x + 2)

Denominador común: (x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2)

Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en violeta:

Denominador 3: (x + 2)3

Denominador común: (x + 2)3



EJEMPLO 8: (Uno de los factores es un número)

3

El "3" que aparece al factorizar los denominadores también es un factor, y por lo tanto

hay que incluirlo en el denominador común (m.c.m).

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

3x + 9 = 3.(x + 3) con el Primer Caso: Factor Común

Segunda fracción:

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfectox 3

Tercera fracción:

3x - 9 = 3.(x - 3) con el Primer Caso: Factor Común




Denominadores:

3.(x + 3)

(x + 3).(x - 3)

3.(x - 3)

Los factores son:

3(x + 3)(x - 3)


(x + 3) y (x - 3) no tienen exponente (quiere decir que están elevados a la potencia 1) en ningún denominador.





El 3: Cuando quedan números como factores, en este caso el número 3, hay que buscar el m.c.m. entre los números. Como en este ejemplo el único factor numérico que quedó es 3, el m.c.m. entre los números es 3. (más sobre esto)

m.c.m: 3.(x + 3).(x - 3)



3) El numerador:



Primera fracción:


3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3) , es igual a (x - 3) (divisiones)


1.(x - 3)

Me va quedando:




http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma8.htm#factornum3

Segunda fracción:


3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x + 3), es igual a 3 (divisiones)


1.3

Me va quedando:

Tercera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la tercera fracción:

3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), es igual a (x + 3) (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fracción:

1.(x + 3)

Me quedó:



1.(x - 3) - 1.3 - 1.(x + 3) = x - 3 - 3 - x - 3 = -9

Me quedó:

Pero el 9 del numerador se puede simplificar con el 3 del denominador, como en las fracciones numéricas.

-3

1







Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:


Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:

Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:


"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3), se me va a cancelar el 3 y el (x + 3), y me queda como resultado el (x - 3)".

"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x - 3), se me van a cancelar el (x + 3) y el(x - 3), y me queda el 3 como resultado".

"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), se me va a cancelar el 3 y el (x - 3), entonces el resultado es (x + 3)".

Cuando en los denominadores quedan números como factores:

En este EJEMPLO 8, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de ellos




quedó un número multiplicando:

Numerador de la primera fracción: 3.(x + 3)

Numerador de la tercera fracción: 3.(x - 3)

Los números también son "factores" que deben formar parte de denominador común. En el denominador común hay que poner el m.c.m. entre esos números, como cuando se suman fracciones numéricas. En este caso particular, los dos números son iguales, así que m.c.m. será ese mismo número: 3. Es como cuando sumamos dos fracciones con denominador 3:

Esa situación se verá en el EJEMPLO 9.



En este EJEMPLO 8:


Denominador 1: 3.(x + 3)

Denominador común: 3.(x + 3).(x - 3)




Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en violeta:

Denominador 3: 3.(x - 3)


En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces,

darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.


EJEMPLO 9: (Hay varios números como factores)

Luego de factorizar los denominadores, aparecen el 4 y el 6 como factores. En el denominador común hay que poner al mínimo común múltiplo entre esos números

(12).

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

4x2 - 16 = 4.(x2 - 4) = 4.(x + 2).(x - 2) con Factor Común y Difer. de Cuadrados

Segunda fracción:

6x + 12 = 6.(x + 2) con el Primer Caso: Factor Común







Denominadores:

4.(x + 2).(x - 2)

6.(x + 2)

Los factores son:

(x + 2)(x - 2)4 = 22

6 = 2.3m.c.m. entre 4 y 6 = 22.3 = 12 (¿cómo lo calculo?)


(x + 2) y (x - 2) no tienen exponente (quiere decir que están elevados a la potencia 1) en ningún denominador.

Entre los números 4 y 6, el m.c.m. es 12.

m.c.m: 12.(x + 2).(x - 2)



3) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por


http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma9.htm#mcm46


los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):


Primera fracción:


12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2) , es igual a 3 (divisiones)


(x + 1).3

Me va quedando:

Segunda fracción:


12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), es igual a 2.(x - 2) (divisiones)


1.2.(x - 2) que es igual a 2.(x - 2)

Me queda:



(x + 1).3 + 2.(x - 2) = 3x + 3 + 2x - 4 = 5x - 1




Me quedó:

Como 5x - 1 no se puede factorizar por ningún Caso, ése es el resultado final.





Resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:


Y resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales, y los números se simplifican como en una fracción numérica. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), se me va a cancelar el (x + 2) y el (x - 2), y el 12 se simplifica con el 4, quedando como resultado 3."

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), se me van a cancelar el (x + 2) y me va a quedar el (x - 2). Y el 12 se simplifica con el 6, quedando 2. Así que el resultado de la división será: 2.(x - 2)"

El m.c.m. entre 4 y 6

En este EJEMPLO 9, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de ellos quedó un número multiplicando:

Numerador de la primera fracción: 4.(x + 2).(x - 2)




Numerador de la tercera fracción: 6.(x + 2)

Los números también son "factores" que deben formar parte de denominador común. En el denominador común hay que poner el m.c.m. entre esos números, como cuando se suman fracciones numéricas. El m.c.m. se puede buscar con el conocido procedimiento de factorizar los números, o también de otra manera práctica (encontrando el menor múltiplo que tengan en común). He aquí las dos formas de encontrar el m.c.m.:

1) Con factorización de los números y la regla del m.c.m:

4 | 2 6 | 22 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

4 = 22 6 = 2.3

m.c.m. = 22.3 (Cálculo del M.C.M. entre números)

("El producto de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen")

2) Encontrando el menor múltiplo que tengan en común:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24...

El menor múltiplo que ambos tienen en común es: 12. Recordemos que múltiplos de un número son todos los aquellos números que se obtienen multiplicando al número por otro número natural. Es decir, para obtener los múltiplos de un números, sólo hay que multiplicarlo por 2, por 3, por 4, por 5, etc. etc. Un número tiene infinitos múltiplos.



En este EJEMPLO 9:


Denominador 1: 4.(x + 2).(x - 2)

Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 3.4.(x + 2).(x - 2)


Denominador 2: 6.(x + 2)

Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 2.6.(x + 2).(x - 2)

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/mcm.htm



EJEMPLO 10: (Uno de los factores es la x)

La "x2" que aparece al factorizar el primer denominador, también es un factor, y por lo

tanto hay que incluirla en el denominador común.

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

x3 - 5x2 = x2.(x - 5) con el Primer Caso: Factor Común

Segunda fracción:







Denominadores:

x2.(x - 5) (x + 5).(x - 5)

Los factores son:

x (que está elevada a la 2)(x - 5)(x + 5)


(x + 5) y (x - 5) no tienen exponente (quiere decir que están elevados a la potencia 1) en ningún denominador. Así que su mayor exponente es 1. Y la x está elevada a la 2 en el primer denominador, y ése es su mayor exponente porque no el factor x no está en otro lado.

m.c.m: x2.(x + 5).(x - 5)



3) El numerador:






Primera fracción:


x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), es igual a (x + 5) (divisiones)


1.(x + 5)

Me va quedando:

Segunda fracción:


x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), es igual a x2 (divisiones)


4.x2

Me queda:



1.(x + 5) + 4.x2 = x + 5 + 4x2

Me quedó:



Y como x + 5 + 4x2 no puede factorizarse por ningún Caso de Factoreo (Se puede probar con Trinomio Cuadrado Perfecto, con Séptimo Caso o con Gauss, pero no se puede con ninguno), ése es el resultado final del ejercicio.





Resolver x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), sería lo mismo que simplificar la fracción:


Y resolver x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), sería lo mismo que simplificar la fracción:


"Si divido a x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), se me va a cancelar el (x - 5) y la x2, quedando como resultado el (x + 5)."

"Si divido a x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), se me van a cancelar el (x + 5) y el (x - 5). Y me va a quedar la x2."






En este EJEMPLO 10:


Denominador 1: x2.(x - 5)

Denominador común: x2.(x + 5).(x - 5)



Denominador común: x2.(x + 5).(x - 5)



EJEMPLO 11: (La x como factor, a distintas potencias)

Luego de factorizar los denominadores, aparece la "x" como factor. Pero en el denominador de la primera fracción está al cuadrado (x2), mientras que en el de la segunda está a la primera potencia (x1 = x). En el denominador común hay que poner la "x" con la mayor potencia con la que aparece, o sea, a la segunda potencia (x2), siguiendo la regla del m.c.m.

EXPLICACIÓN:


Primera fracción:

x3 - 3x2 = x2.(x - 3) con el Primer Caso: Factor Común

Segunda fracción:

x2 - 3x = x.(x - 3) con el Primer Caso: Factor Común




Denominadores:

x2.(x - 3) x.(x - 3)

Los factores son:

x(x - 3)


(x - 3) no tienen exponente (quiere decir que está elevados a la potencia 1, así que ése es su mayor exponente. Y la x está elevada a la 2 (x2) en el primer denominador, y a la 1 (x) en el segundo denominador. Así que el mayor exponenente para el factor x es 2.

m.c.m: x2.(x - 3)







3) El numerador:



Primera fracción:


x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), es igual a 1 (divisiones)


1.(x + 1) que es igual a x + 1

Me va quedando:

Segunda fracción:


x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), es igual a x (divisiones)


2.x




Me queda:



x + 1 + 2x = 3x + 1

Me quedó:

Y como 3x + 1 no puede factorizarse por ningún Caso de Factoreo, ése es el resultado final del ejercicio.





Resolver x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:

1 1

(¿por qué si simplifica así?) 1 1

Y resolver x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), sería lo mismo que simplificar la fracción:

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en




que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), se me va a cancelar todo, entonces el resultado es 1."

"Si divido a x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), se me van a cancelar el (x - 3) y una de las dos x del x2. Entonces me queda solamente una x."



En este EJEMPLO 11:


Denominador 1: x2.(x - 3)

Denominador común: x2.(x - 3)


Denominador 2: x.(x - 3) = x.(x - 3)

Denominador común: x2.(x - 3) = x.x.(x - 3)



EJEMPLO 12: (Uno de los términos es un "entero")

En este ejemplo se suma una fracción más el número entero 2. Un número entero puede representarse como una fracción de denominador "1". El denominador común va a ser el denominador de la otra fracción. Luego se procede como en los otros

ejemplos.

EXPLICACIÓN:

1) Prefiero no factorizar el denominador:

En un ejercicio así no hace falta factorizar al denominador de la primera fracción, incluso es mejor dejarlo sin factorizar, porque facilita las operaciones siguientes que hay que hacer. Si hubiera más denominadores distintos de 1 y de x2 - 9 sí habría que factorizar, para buscar el m.c.m. entre x2 - 9 y el/los denominadores distintos de 1.



En este caso particular, el denominador común es el denominador de la primera fracción x2 - 9, porque el de la segunda es 1. El denominador x2 - 9 obviamente es divisible por sí mismo (como cualquier cosa es divisible por sí misma), y divisible por 1 (como cualquier cosa es divisible por 1). Es también el m.c.m., pero no hace falta seguir ningún procedimiento para averiguar eso. La situación es como cuando en la suma de fracciones numéricas tenemos que sumar una fracción con un número entero. Por ejemplo:


El denominador común es 4, porque 4 se puede dividir por 4, y se puede dividir por 1. Y es también el menor número que cumple con eso: el mínimo común múltiplo.

Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el numerador:

3) El numerador:



Primera fracción:


x2 - 9 dividido x2 - 9, es igual a 1 (porque "cualquier cosa dividida por sí misma dá 1")


1.(-2x2) que es igual a -2x2

Me va quedando:

Segunda fracción:


x2 - 9 dividido 1, es igual a x2 - 9 ("cualquier cosa dividido 1 dá la misma cosa" )



2.(x2 - 9)

Me queda:



-2x2 + 2.(x2 - 9) = -2x2 + 2x2 - 18 = -18

Me quedó:

EJEMPLO 13: (En los denominadores hay un solo término)

En el denominador común se pone el m.c.m. de los números, y las letras con el mayor exponente con el que aparecen.

EXPLICACIÓN:


Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes,

hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

En este caso particular, los denominadores son monomios (polinomios de un solo término). El m.c.m. se puede calcular como el producto entre el m.c.m. de los números (coeficientes), y las letras con el mayor exponente con que aparecen.

El m.c.m. entre 3 y 6 es: 6. (¿por qué?)La única letra de los polinomios es la x, y el mayor exponente que tiene es 2, en la segunda fracción: x2.

denominador común = m.c.m. = 6.x2 = 6x2

Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, y en el siguiente paso (paso 2) determinaré lo que queda en el numerador:

2) El numerador:



Primera fracción:


6x2 : 3x = 2x (División de monomios)


1.2x

Me va quedando:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/fcomun1.htm#divisiones


http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma13.htm#mcm3y6


Segunda fracción:


6x2 : 6x2 = 1


1.(x + 1) que es igual a x + 1

Me queda:



1.2x + x + 1 = 2x + x + 1 = 3x + 1

Me quedó:


El m.c.m entre 3 y 6:

Seguramente habrán sumado muchas veces dos fracciones con esos denominadores. Por ejemplo:

5/3 + 1/6 =

Y se dan cuenta que el denominador común va a ser el 6, aunque no sepan mucho por qué. Simplemente porque saben que hay que buscar un número que se pueda dividir por 3 y por 6, y que sea el menor posible, y ese número es 6. Bueno, en este EJEMPLO 13 o cualquier otro donde los denominadores sean monomios, pueden deducir el número que hay que poner en el denominador común de la misma manera que cuando usan fracciones.Y sino, hay que buscar el m.c.m entre los números, que es el menor múltiplo que tienen en

común esos números, o lo que es lo mismo: el menor número que se pueda dividir por ambos. Se puede encontrar de alguna de las siguientes maneras:

1) Hallando varios múltiplos de ambos números, hasta encontrar el más chico que tengan en común:

Múltiplos de 3: 3 - 6 - 9 - 12 - 15 - etc.Múltiplos de 6: 6 - 12 - 18 - 24 - etc.

m.c.m = 6

2) Factorizando los números y aplicando la regla para hallar el m.c.m:

3 | 3 6 | 21 | 1 3 | 3 1 | 1

m.c.m = 2.3 = 6

("El m.c.m es igual al producto de todos los factores, con el mayor exponente con que aparecen". Éste es un caso muy particular de aplicación de la regla. Para entenderla mejor hay que ver otros ejemplos: ver aquí)

EJEMPLO 14: (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)

En la primera fracción se puede simplicar. Entonces lo hago porque así el m.c.m. entre los denominadores será más sencillo. En este ejemplo tuve que factorizar el numerador también para darme cuenta que podía simplificar. Si no lo hubiera hecho, no hubiera simplificado. Queda a criterio de cada uno factorizar los numeradores si se


puede. En este ejemplo sirvió hacerlo, porque se vió que se podía simplificar. Pero no siempre es así y a veces la factorización es más complicada.

EXPLICACIÓN:

1) Factorizo el numerador de la primera fracción y los denominadores:

En este caso particular, se puede factorizar un numerador. Lo hago, porque quizás aparezca un factor que se pueda simplificar con un factor del denominador.

Primera fracción:

Numerador:

x2 - x = x.(x - 1) con el Primer Caso: Factor Común

Denominador:


Segunda fracción:

x + 1 no se puede factorizar por ningún Caso

Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados, y veo que en la primera fracción quedó el factor (x - 1) multiplicando tanto en el numerador como en el denominador. Entonces se pueden simplificar los (x - 1):

La suma de fracciones quedó entonces así:

Fue muy conveniente simplificar, porque quedó una suma de fracciones con el mismo denominador, que es mucho más fácil de resolver que si los denominadores fueran distintos, pues no hay que buscar un denominador común.



2) El denominador común:

Como ya se vió en el EJEMPLO 1, si los denominadores de las fracciones son iguales, el denominador común es ese único denominador, y se suman los numeradores:

3) El numerador:

Sumo entonces los numeradores. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

x + x - 2 = 2x - 2

Me queda:


2x - 2 = 2.(x - 1) (Primer Caso de Factoreo: Factor Común)

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:



http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma1.htm#sumapoli

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma2.htm#respoli2

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/cuatrino/ctocaso.htm#reglaparentesis

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/suma2.htm#restapoli

Mate Matic As

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