3er Grado Volumen I

IIImatemticas

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Matemticas III. Volumen I, fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICAJosefina Vzquez Mota

SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICAJos Fernando Gonzlez Snchez

Direccin General de Materiales EducativosMara Edith Bernldez Reyes

Direccin de Desarrollo e Innovacinde Materiales Educativos

Subdireccin de Desarrollo e Innovacinde Materiales Educativos para la Educacin Secundaria

Direccin Editorial

INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIN EDUCATIVA

Direccin GeneralManuel Quintero Quintero

Coordinacin de Informtica EducativaFelipe Bracho Carpizo

Direccin Acadmica GeneralEnna Carvajal Cantillo

Coordinacin AcadmicaArmando Solares Rojas

Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)

AutoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato

Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

Revisores acadmicos externosDavid Francisco Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre

Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano Pineda, Emilio Domnguez BravoDeyanira Monroy Zarin

Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

Primera edicin, 2008 (ciclo escolar 2008-2009)D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN 978-968-01-1703-1 (obra completa)ISBN 978-968-01-1704-8 (volumen I)

Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

Servicios editorialesDireccin de arte:Roco Mireles Gavito

Diseo:Zona grfica

Diagramacin:Bruno Contreras, Vctor Vilchis

Iconografa:Cynthia Valdespino

Ilustracin:Curro Gmez, Victor Eduardo Sandoval, Gabriela Podest, Juan Pablo Romo

Fotografa:Cynthia Valdespino, Fernando Villafn

MAT3 B1 S01.indd 2 6/20/08 4:56:48 PM

ndice

Mapa-ndice

Clave de logos

BLOqUE 1

secuencia 1 Productos notables y factorizacin

secuencia 2 Tringulos congruentes y cuadrilteros

secuencia 3 Entre rectas y circunferencias

secuencia 4 ngulos en una circunferencia

secuencia 5 Problemas con curvas

secuencia 6 La razn de cambio

secuencia 7 Diseo de experimentos y estudios estadsticos

BLOqUE 2

secuencia 8 Ecuaciones no lineales

secuencia 9 Resolucin de ecuaciones por factorizacin

secuencia 10 Figuras semejantes

secuencia 11 Semejanza de tringulos

secuencia 12 ndices

secuencia 13 Simulacin

Bibliografa

Anexo 1

Anexo 2

4

9

10

12

32

40

48

58

62

74

88

90

100

112

118

128

144

156

157

159

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4Blo

qu

e 1

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SPr

og

ram

asIn

tera

ctiv

os

Au

la d

e m

edio

s

1.

Prod

uctosno

tablesyfactoriz

acin.

[12-

31]

Efectuarosim

plificarclculoscon

exp

resion

esalgeb

raicastales

como:(x

+ a

)2;(

x +

a)(

x +

b);(x

+ a

)(x

a).Factoriz

arexp

resion

es

alge

braicastalescomo:x

2 +

2ax

+ a 2

;ax 2

+ b

x;x

2 +

bx +

c ;x

2 +

a 2.

1.1

Aform

arcua

drad

osProg

rama1

1.2

Elcua

drad

ode

una

diferen

cia

Interactivo

1.3

Ladiferen

ciade

doscua

drad

os

1.4

Aform

arre

ctn

gulos

Prog

rama2

1.5

Uncasoespeciald

efactorizacin

2.

Tring

uloscon

grue

ntesycua

dril

teros.

[32-

39]

Ap

licarlo

scriteriosde

con

grue

nciadetring

ulosenlaju

stificacin

de

propied

adesdeloscu

adrilteros.

2.1

Lado

sop

uestosig

uales

Ladiago

nald

eun

paralelog

ramo

(Geo

metra

dinm

ica)

2.2

Puntosm

edios

Prog

rama3

Interactivo

Cmoverifi

carlacon

grue

nciadelasfig

uras

(Geo

metra

dinm

ica)

3.

Entrerectasycirc

unferenc

ias.

[40-

47]

Determinarm

edianteco

nstruc

cion

esla

spo

sicion

esre

lativa

sen

tre

rectasyuna

circ

unferenc

iayentrecirc

unferenc

ias.

Ca

racterizarla

rectasecanteylatan

genteaun

acircun

ferenc

ia.

3.1

Puntosenco

mn

3.2

Trazosdetang

entes

Prog

rama4

Interactivo

Tang

entes

(Geo

metra

dinm

ica)

3.3

Entrecircun

ferenc

ias

Interactivo

3.4

Algu

nosprob

lemas

Prog

rama5

4.

ngu

losen

una

circ

unferenc

ia.

[48-

57]

Determinarla

relacin

entreunn

guloin

scrit

oyun

ng

ulocentral

deuna

circ

unferenc

ia,sia

mbo

sab

arcanelm

ismoarco

.

4.1

Dosng

ulosdeun

acircun

ferenc

ian

gulosinscrit

osenun

acircun

ferenc

ia

(Geo

metra

dinm

ica)

4.2

Relacion

esam

edias

4.3

Prob

emosque

uno

delosn

gulosesla

mitad

delotro

Prog

rama6

Interactivo

4.4

Prob

lemasdemed

ida

Prog

rama7

5.

Prob

lemascon

curva

s.[5

8-61

]

Calcularla

med

idade

ng

ulosin

scrit

osycen

trales,a

scom

ode

arco

s,elreade

sectorescircularesydelacoron

a.

5.1

Slouna

parte

Prog

rama8

Interactivo

5.2

Loque

resta

5.3

Detodo

unpo

co

6.

Lara

znde

cam

bio.

[62-

73]

An

alizarla

raz

nde

cam

biode

unproc

esoofen

men

oqu

ese

mod

elaco

nun

afunc

inlin

ealy

relacion

arlacon

lain

clinacino

pend

ientede

lare

ctaqu

elore

presen

ta.

6.1

Elin

crem

ento

Sab

esque

esun

araz

n?

(Hojade

clcu

lo)

6.2

Pend

ienteyraz

nde

cam

bio

Prog

rama9

Interactivo

6.3

Algu

nasrazo

nesde

cam

bioim

portan

tes

Prog

rama10

7.

Dise

ode

exp

erim

entosyestudiosestad

stico

s.[7

4-87

]

Dise

arunestudiooexpe

rimen

toapartirde

datosobten

idosde

diversasfue

ntesyelegirlaformade

organ

izacinyrepresen

tacin

tabu

larogrfi

cam

sade

cuad

apa

rapresentarla

inform

acin.

7.1

Dise

ode

unestudioestadstico.

Qu

materiategu

stams?

Prog

rama11

Interactivo

7.2

Unjueg

ode

letras.O

troestudioestadstico

7.3

Qu

can

tida

dde

agu

aco

nsum

en

diariamen

telo

salum

nosde

tercergrad

o?Prog

rama12

EV

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UA

CI

N

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5Blo

qu

e 2

SEC

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CIA

SESI

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REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SPr

og

ram

asIn

tera

ctiv

os

Au

la d

e m

edio

s

8.

Ecua

cion

esnolin

eales.

[90-

99]

Utilizarecu

acione

sno

line

alesparamod

elarsitua

cion

esyre

solverlas

utilizand

oproc

edim

ientospersona

lesuop

eracione

sinversas.

8.1

Elnm

erosecreto

Prog

rama13

Ecua

cion

escon

msdeun

asolucin

I(Calcu

lado

ra)

8.2

Cubo

s,cu

adrado

syaristas

8.3

Men

de

problem

asProg

rama14

Interactivo

9.

Resolucin

deecua

cion

esporfactoriz

acin.

[100

-111

]

Utilizar ecu

acione

scu

adrticaspa

ram

odelarsitua

cion

esyre

solverlas

usan

dola

factoriz

acin.

9.1

Cu

ntomiden

loslado

s?Prog

rama15

9.2

Losfactoresdecero

Interactivo

9.3

Elado

rno

Prog

rama16

9.4

Apliq

uemoslo

apren

dido

10.Figu

rassemejan

tes.

[112

- 1

17]

Co

nstruirfig

urassem

ejan

tesyco

mpa

rarlasmed

idasdelosn

gulosy

delo

slado

s.

10.1U

nco

raz

nmuy

especial

Prog

rama17

Interactivo

10.2A

plicacione

sde

lasem

ejan

zaProg

rama18

Interactivo

11.Se

mejan

zadetring

ulos.

[118

- 12

7]

Determinarlo

scriteriosde

sem

ejan

zadetring

ulos.

Ap

licarlo

scriteriosde

sem

ejan

zadetring

ulosenelan

lisisde

diferentespropied

adesdelospo

lgon

os.

Ap

licarla

sem

ejan

zadetring

ulosenelclcu

lodedistan

ciaso

alturasinaccesibles.

11.1E

xplorand

olasem

ejan

zadetring

ulos

Prog

rama19

11.2C

riteriosde

sem

ejan

zadetring

ulosI

Idea

detring

ulossem

ejan

tes

(Geo

metra

dinm

ica)

11.3C

riteriosde

sem

ejan

zadetring

ulosII

11.4C

lcu

lodedistan

cias

Prog

rama20

Interactivo

12.nd

ices.

[128

-143

]

Interpretaryutilizarndicespa

raexp

licarelc

ompo

rtam

ientode

diversassitua

cion

es.

12.1E

lnd

iceNaciona

ldePreciosal

Consum

idor

Prog

rama21

12.2nd

icesenlaescue

la

12.3

Quin

eselpeloteromsvalioso?

Prog

rama22

12.4M

ssob

ren

dices

Interactivo

13.S

imulacin.

[144

-15

5]

Utilizar la

sim

ulacinpa

rare

solversitua

cion

esproba

bilsticas.

13.1S

imulacin

Prog

rama23

13.2 A

plican

dola

sim

ulacin

13.3S

imulacinytiroslib

res

Prog

rama24

Interactivo

Simulacin co

n elm

odelode

urna(1)

(Hojade

clcu

lo)

EV

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UA

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N

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6Blo

qu

e 3

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SPr

og

ram

asIn

tera

ctiv

os

Au

la d

e m

edio

s

14.Re

lacion

esfun

cion

alesenotrasdisciplin

as.

Re

cono

ceren

diferen

tessituacione

syfen

men

osdelafsica,la

biologa,

laeco

nomayotrasdisciplinas,lapresen

ciade

can

tida

desqu

eva

ranun

aen

fun

cin

delaotrayrepresen

tarlare

glaqu

emod

elaestavariacin

med

ianteun

atablaoun

aexpresinalge

braica.

14.1E

lreade

laim

agen

Prog

rama25

Interactivo

14.2E

l corrald

elosco

nejos

14.3E

lmed

iolitrode

lech

eProg

rama26

15.Re

solucin

deecua

cion

escua

drticasporla

frmulage

neral.

Utilizarecu

acione

scu

adrticaspa

ram

odelarsitua

cion

esyre

solverlas

usan

dola

frmulage

neral.

15.1Lafrm

ulage

neral

Prog

rama27

15.2E

lbeisbolista

Interactivo

15.3C

untassoluc

ione

stien

eun

aecua

cin

Prog

rama28

15.4L

araz

ndo

rada

16.Teorem

ade

Tales.

Determinarelteo

remade

Talesm

edianteco

nstruc

cion

escon

seg

men

tos.

Aplic

arelteo

remade

Talesendiversosproblem

asgeo

mtric

os.

16.1L

acu

lpaesdelaspa

ralelas

Prog

rama29

Interactivo

Teorem

ade

Tales(G

eometra

dinm

ica)

16.2P

ropo

rciona

lidad

vspa

ralelismo

Prog

rama30

Recproc

ode

lteo

remade

Tales

(Geo

metra

dinm

ica)

16.3A

hestelteo

remade

Tales

17.Figu

rasho

motticas.

Determinarlo

sresultad

osdeun

aho

moteciacua

ndolara

znesig

ual,

men

orom

ayorque

1oque

1.

Determinarla

sprop

ieda

desqu

epe

rman

ecen

inva

riantesala

plicaruna

ho

moteciaauna

figu

ra.

Co

mprob

arque

una

com

posicin

deho

moteciasco

nelm

ismocentroes

igua

lalp

rodu

ctode

lasrazo

nes.

17.1E

specialm

entesem

ejan

tes

Prog

rama31

Interactivo

Lahom

oteciacom

oap

licacinde

lteorem

ade

Tales(G

eometra

dinm

ica)

17.2D

epen

dedelara

zn

Prog

rama32

18.Grfic

asderelacion

es.

Interpretar,co

nstruiryutilizargrfi

casde

relacion

esfun

cion

alesno

linea

lespa

ram

odelardiversassituacione

sofen

men

os.

18.1P

lano

inclinad

oProg

rama33

Interactivo

18.2L

a leyde

Boy

leProg

rama34

18.3L

acaja

19.Algu

nascaractersticasde

grfic

asnolin

eales.

Establecerla

relacin

que

existeen

trelaformaylaposicinde

lacurva

de

fun

cion

esnolin

ealesylosva

loresde

lasliteralesdelasexpresione

salge

braicasqu

ede

finen

aestasfun

cion

es.

19.1Ab

iertasym

sabiertas!

Prog

rama35

Interactivo

Func

ione

scu

adrticas

(Hojade

clcu

lo)

19.2Pa

raarribaypa

raaba

jo!

Interactivo

19.3L

asdesplazad

asInteractivo

19.4Ah

lesvan

una

sc

bicas!

Prog

rama36

Interactivo

19.5Ah

lesvan

una

ship

rbolas!

Interactivo

19.6E

fectosespeciales

Interactivo

20.Grfic

asporped

azos.

Interpretaryelab

orargrfic

asformad

asporseccion

esre

ctasycurva

squ

emod

elan

situa

cion

esdemov

imiento,llen

adode

recipien

tes,etctera.

20.1L

asalbercas

Prog

rama37

Interactivo

20.2D

iversosprob

lemas

EV

AL

UA

CI

N

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7Blo

qu

e 4

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SPr

og

ram

asIn

tera

ctiv

os

Au

la d

e m

edio

s

21.Diferen

ciasensucesion

es.

Determinaruna

exp

resin

gen

eralcua

drticapa

radefi

nirelen

simo

trm

inoen

suc

esione

snu

mricasyfigu

rativa

sutilizand

oelm

tod

ode

diferen

cias.

21.1N

merosfigu

rado

sProg

rama38

Interactivo

21.2L

asdiferen

ciasenexpresione

salge

braicas

21.3E

lmtod

ode

diferen

cias

Prog

rama39

21.4A

plique

moslo

apren

dido

22.Teorem

ade

Pitg

oras.

Ap

licarelteo

remade

Pitg

orasenlare

solucin

deprob

lemas.

22.1

Qu

eselteo

remade

Pitg

oras?

Prog

rama40

Interactivo

Teorem

a de

Pitg

oras

(Geo

metra

dinm

ica)

22.2A

plicacione

sde

lteo

remade

Pitg

orasI

Prog

rama41

22.3A

plicacione

sde

lteo

remade

Pitg

orasII

23.Ra

zone

strigon

omtric

as.

Re

cono

ceryde

term

inarla

srazo

nestrigon

omtric

asenfamiliasde

tring

ulosre

ctn

gulossemejan

tes,co

moco

cien

tesen

trelasmed

idas

delo

slado

s.

Calcularm

edidasdelado

syde

ng

ulosdetring

ulosre

ctn

gulosa

partirde

losva

loresde

razo

nestrigon

omtric

as.

Re

solverproblem

assen

cillo

s,en

diversosm

bitos,utilizand

olasrazo

-ne

strigon

omtric

as.

23.1L

aco

mpe

tenc

iaProg

rama42

Interactivo

ngu

lodeelevacinyde

presin

(Hojade

clcu

lo)

23.2C

osen

osysen

os

23.33

0,4

5y60

Prog

rama43

23.4A

resolverproblem

asInteractivo

24.La exp

onen

cialyla

line

al.

Interpretaryco

mpa

rarlasrepresen

tacion

esgrfic

asdecrecim

iento

aritmticoolin

ealy

geo

mtric

ooexpo

nenc

iald

ediversas

situacione

s.

24.1C

recimientode

pob

lacion

esProg

rama44

Interactivo

24.2Interscom

puesto

24.3G

rfic

ade

laexp

onen

cial

Prog

rama45

24.4L

ade

preciacin

delasco

sas

25.Re

presen

tacin

delain

form

acin.

An

alizarla

relacin

entredatosdedistintanaturaleza,peroreferid

os

aun

mismofen

men

ooestudioqu

esepresentaen

represen

tacion

es

diferentes,p

araprod

ucirnu

evainform

acin.

25.1M

ucho

sda

tos

Prog

rama46

Interactivo

25.2D

e im

portan

ciasocial

EV

AL

UA

CI

N

MAT3 B1 S01.indd 7 6/20/08 4:56:52 PM

8Blo

qu

e 5

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SPr

og

ram

asIn

tera

ctiv

os

Au

la d

e m

edio

s

26.Ecua

cion

esysistemasdeecua

cion

es.

Dad

oun

problem

a,determinarla

ecu

acinlin

eal,cu

adrticao

sistem

ade

ecu

acione

sco

nqu

esepue

dere

solver,y

viceversa,

prop

oneruna

situa

cin

que

semod

eleco

nun

ade

esasrepresen

ta-

cion

es.

26.1L

osdiscpu

losde

Pitg

oras

Prog

rama47

26.2E

cuacione

syge

ometra

Interactivo

27.Co

nosycilin

dros.

An

ticipa

rlascaractersticasde

loscu

erpo

squ

esegen

eran

alg

iraro

traslada

rfig

uras.

Co

nstruirde

sarrollosplan

osdeco

nosycilin

drosre

ctos.

An

ticipa

ryreco

nocerlasseccione

squ

eseobtiene

nalre

alizarcortes

aun

cilind

rooaunco

nore

cto.

An

ticipa

ryreco

nocerlasseccione

squ

eseobtiene

nalre

alizarcortes

aun

cilind

rooaunco

nore

cto.

Determinarla

variacin

que

seda

enelra

diode

losdiversoscrc

ulos

queseobtiene

nalhacercortespa

ralelosen

una

esferaco

nore

cto.

27.1S

lidosderevo

lucin

Prog

rama48

27.2C

ilind

ros

Prog

rama49

27.3C

onos

Interactivo

27.4S

eccion

esdeco

rte

28.Vo

lumen

delcon

oyde

lcilind

ro.

Co

nstruirlasfrm

ulasparacalcularelv

olum

endecilin

drosycon

os.

28.1T

inacosdeag

uaProg

rama50

Interactivo

28.2C

onosdepa

pel

Prog

rama51

29.Estimarvolm

enes.

Estimarycalcu

larelvolum

endecilin

drosycon

os.C

alcu

larda

tos

descon

ocidosdad

osotrosre

lacion

adoscon

lasfrm

ulasdelclcu

lo

devolum

en.

29.1P

roblem

asprcticos

Prog

rama52

Interactivo

30.Grfic

acaja-b

razo

.

Interpretar,elab

oraryutilizargrfic

asdecajabrazosdeun

con

junto

dedatosparaan

alizarsudistrib

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lacion

es.

30.1Interpretacinde

datos

Prog

rama53

Interactivo

30.2C

onstruccinde

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razo

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30.3C

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racin

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caja-brazos

Prog

rama54

EV

AL

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CI

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EJ

E 1

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EJ

E 2

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rma,espacioym

edida

EJ

E 3

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lain

form

acin

MAT3 B1 S01.indd 8 6/20/08 4:56:53 PM

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9

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10

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11

BLOQUE 1

MAT3 B1 S01.indd 11 6/20/08 4:57:03 PM

12

secuencia 1

En esta secuencia descubrirs procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

A FORMAR CUADRADOSPara empezarLosbloquesalgebraicossonunaherramientaquepermiterepresentaroperacionesconexpresionesalgebraicas.Enlasecuencia12deMatemticas ii,volumenIlosusasteparamultiplicarpolinomios;ahora,teayudarnaencontrar,demanerasimplificada,elresul-tadodeelevaralcuadradounbinomio.

RecortalosBloques algebraicosdelanexo1Recortablesypgalosencartn.

Conbloquesdereasx 2,x y1formacuadradosdediferentetamaoeidentificalaex-presinalgebraicaquecorrespondealamedidadesusladoscomosemuestraenlasdosfigurassiguientes.

SESin 1

Productos notables y factorizacin

x + 1

x 1

a = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1

x + 2

x 2

a = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4

Encuentraeltrinomioquerepresentaelreadelosdoscuadradossiguientes.

MAT3 B1 S01.indd 12 6/20/08 4:57:05 PM

13

IIIMATEMTICAS

Consideremos lo siguienteEnlasiguientetablaaparecenbinomiosquerepresentanlasmedidadelladodediferen-tescuadrados,ascomolostrinomiosquecorrespondenasusrespectivasreas.

a) Examinalosdosprimerosejemplosycompletalasiguientetabla.

Binomio Trinomio

x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1

x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4

x + 3 (x + 3)2 =

x + 4 (x + 4)2 =

x + 6 (x + 6)2 =

x + 10 (x +10)2 =

b) Subrayaeltrinomioquerepresentaelreadeuncuadradocuyoladomidex + 100.

x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000

Comparensussoluciones.Comentencmoobtuvieronlostrinomiosquesonresultadodeelevarlosbinomiosalcuadrado.

x + 4

x 4

a =

=

x + 6

x 6

a =

=

MAT3 B1 S01.indd 13 6/20/08 4:57:06 PM

14

secuencia 1

Manos a la obrai. Lafigura1muestrauncuadradoquemidedeladox + 5.

x + 5

x + 5

Figura 1

a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaronparaformar

elcuadrado?

b) Cuntosdereax?

c) Cuntosderea1?

d) Delassiguientesexpresiones,subrayenlasquerepre-sentanelreadelcuadrado.

x + 5

x 2 + 5x + 5x +25

x 2 + 25

x 2 + 10x +25

e) Verifiquensilasexpresionesquesubrayaronseobtie-nenalelevaralcuadradoelbinomiox + 5.Paraeso,completen lamultiplicacin (x + 5) (x + 5) y luegosumenlostrminossemejantesparaobteneruntrino-mio.

(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)

=

=

Recuerden que:

Para multiplicar dos binomios se multiplica

cada trmino de un binomio por todos

los trminos del otro y luego se suman los

trminos que son semejantes.

(x + 7) (x + 7) = x 2 + 7x + 7x + 49

= x 2 + 14x + 49

Comparensussolucionesycomentenculdelossiguientesprocedimientosusaranparahacerdemanerasimplificadalamultiplicacin(x + 8) (x + 8),sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.

Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)yelcuadradodelsegundotrmino(64).

Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mselproduc-todelosdostrminos(8x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).

Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mseldobledelproductodelosdostrminos(16x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).

Verifiquensusreglashaciendolamultiplicacin(x + 8) (x + 8).

MAT3 B1 S01.indd 14 6/20/08 4:57:07 PM

15

MATEMTICAS IIIii. Elevenal cuadradoel binomio (2x + 3) ymultipliquen trminopor trminopara

obtenercuatroproductosparcialescomoloindicanlaslneas.Luegosumenlostr-minossemejanteshastaobteneruntrinomio.

4x 2

(2x + 3) (2x + 3) = 4x 2 + 6x + + =

+ Trinomio cuadrado perfecto

6x 12x

a) Qurelacinhayentreeltrmino4x 2deltrinomioyeltrmino2xdelbinomio?

b) Qurelacinhayentreel9deltrinomioyel3delbinomio?

c) Cuntasvecesapareceelproductoparcial6xenlamultiplicacin?

d) Qutrminosdelbinomiosemultiplicaronparaobtenerlo?

e) Qurelacinhayentreeltrmino12xdeltrinomioyelproductodelosdostr-

minosdelbinomio?

Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenereltrinomioqueresultaalefectuarlaoperacin(3x + 2)2,sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.

A lo que llegamosLa expresin que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

(3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25

El primer trmino del binomio se eleva al cuadrado

El segundo trmino del binomio se eleva al cuadrado

Se multiplican ambos trminos (3x ) (5) = 15x

Se duplica el producto

(2) (15x) = 30x

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16

secuencia 1

Lo que aprendimosEscribeelbinomioalcuadradooeltrinomiocuadradoperfectoquefaltaencadaren-glndelasiguientetabla.

Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto

(x + 9)2

(3x + 1)2

x 2 + 24x + 144

(2m + 5)2

4x 2 + 36x + 81

EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiAConsideremos lo siguienteDelcuadradodelafigura2serecortaronalgunasparteshastaquequedotrocuadradomspequeo,comosemuestraenlafigura3.

x

x

x 2 x

x

1

1

Figura 2 Figura 3

a) Culeslamedidadelladodelcuadradoazuldelafigura3?

b) Laexpresinalgebraicaquerepresentaelreadelcuadradoazules:

Comparensussoluciones.

SESin 2

MAT3 B1 S01.indd 16 6/20/08 4:57:09 PM

17

MATEMTICAS IIIManos a la obrai. AnayRicardodecidieronusaralgunosbloquesalgebraicosparacompletarelreadel

cuadradoazuldelafigura3.

Ricardosediocuentadequeconunbloquedereaxyotrodereax 1podacompletarelcuadradodeladox .

Figura 4

x

x1

1

x

1rea = x

x

1rea = x 1

Despusdecompletarelcuadradodeladox,expresqueelreadelcuadradoazuldelafigura3era:x 2 x (x 1).

Ana,porsuparte,ustresbloquesparacubrirelcuadradodeladox;despusexpre-selreadelcuadradoazulcomox 2 2(x 1) 1.

a) Usenlosbloquesalgebraicosdeladerecha(dereasx 1y1)paracompletarelcuadradodeladox comocreanquelohizoAna;luegotracencadabloquesobrelafigura5eilumnenlosdeacuerdoasucolor.

11

1

x

x1

1 rea = x 1

rea = x 1

Figura 5

MAT3 B1 S01.indd 17 6/20/08 4:57:10 PM

18

secuencia 1b) Completenlaigualdadysimplifiquenambasexpresioneshastaobteneruntrinomio.

ProcedimientodeAna:

A = (x 1)2 = x 2 2(x 1) 1 = =

ProcedimientodeRicardo:

A = (x 1)2 = x 2 x (x 1) = =

Lostrinomiosqueobtuvieronenambosprocedimientosdebenseriguales.Sinore-sultaronas,revisensusoperacionesycorrjanlashastaobtenerelmismotrinomiocuadradoperfecto.

c) Otramaneradeobtenerelreadelcuadradoazuldelafigura3consisteenelevaralcuadradoelbinomiox 1.Hganloynoolvidenreducirlostrminossemejantes.

x 2

(x 1)2 = (x 1) (x 1) = x 2 x + =

+ Trinomio cuadrado perfecto

x 2x

ii. Otenganelresultadode(y a )2,paraverificarsialelevaralcuadradocualquierbi-nomioquerepresentaunadiferenciaseobtieneuntrinomiocuadradoperfecto.Noolvidensumarlostrminossemejantes.

y 2

(y a )2 = (y a) (y a) = y 2 ay + =

ay 2ay

Obtuvieronuntrinomiocuadradoperfecto?

Comparensussolucionesycomentencmosepuedeobtenereltrinomiocuadradoperfectoquecorrespondealcuadradodeunadiferencia,sinseguirelprocedimientodelaactividadii.

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19

MATEMTICAS IIIA lo que llegamosAl elevar al cuadrado una diferencia tambin se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los trminos del binomio tiene signo menos.

El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

(x b )2 = x 2 2bx + b 2

x se eleva al cuadrado b se eleva al cuadrado

El producto de (x ) y (b) se duplica

Terecomendamostomarencuentalosdosaspectossiguientes:

a) Elcuadradodeunadiferenciapuedeexpresarsecomoelcuadradodeunasuma.Porejemplo:

(x 12)2 = [x + ( 12)]2 = x 2 + 2(x) (12) + (12)2

= x 2 24x + 144

b) Hayexpresionesqueparecentrinomioscuadradosperfectosperonoloson,porejemplo:x2 2x + 9.

Comotienedostrminosquesoncuadrados:x 2y9,podrasuponersequeeltrinomioesresultadodedesarrollar(x 3)2,sinembargo(x 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 6x + 9.

Lo que aprendimos1. Encuentraelcuadradode lossiguientesnmerosaplicando la reglaparaelevaral

cuadradounbinomio,talcomosemuestraenlosdosejemplos.

1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 (100) (3) + 22 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609

4992 = (500 1)2 = 5002 + 2 (500) (1) + 12 = 250 000 1 000 + 1 = 249 001

a) 192 = (20 1)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

b) 512 = (50 + 1)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

Recuerda que:

El producto de un nmero negativo

elevado al cuadrado es positivo.

(12)2 = (12) (12) = + 144

MAT3 B1 S01.indd 19 6/20/08 4:57:12 PM

20

secuencia 1

c) 1052 = (100 + 5)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

d) 1982 = (200 2)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

e) 9992 = ( )2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

2. Escribeelbinomioalcuadradooeltrinomioquefaltaencadarengln.Tencuidado,hayuntrinomioquenoescuadradoperfecto!Elevaalcuadradolosbinomiosqueobtengaspara verificar si correspondenal trinomiopresentado en la columna iz-quierdadelatabla.

Binomio al cuadrado Trinomio

(x 7)2

(2x + 1)2

x2 24x + 144

(x + 12)2

x2 14x + 9

x2 + 3x + 2.25

(x + 12 )2

4x2 2x + 14

a) Escribeeltrinomiodelatablaquenoescuadradoperfecto:

b) Porqunoesuntrinomiocuadradoperfecto?

LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOSPara empezarDosbinomiosqueslodifierenenelsignodeunodesustrminossellamanbinomios conjugados,porejemplox + 3eselbinomioconjugadodex 3;2x + 6eselbinomioconjugado2x + 6.

Consideremos lo siguienteAuncuadradodereax2selehacortadoenunadesusesquinasuncuadradodereaa2enunadesusesquinas,talcomosemuestraenlafigura6.

Lafigura6secortporlalneapunteadarojayconlasdospiezasseformelrectngu-lodelafigura7.

SESin 3

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21

MATEMTICAS III

a) Culeselreadelasuperficieazuldelafigura6?

b) Qubinomiostienesquemultiplicarparaobtenerelreadelrectnguloformadoporlasdospiezasenlafigura7?

rea = ( ) ( )

c) Realizalamultiplicacintrminoportrminoysumalostrminossemejantesparaobtenerelreadelafigura7.

( ) ( ) =

=

Comparensussoluciones.

Manos a la obrai. Calquenenunahojalafigura6,cortenporlalneapunteadayformenelrectngulo

delafigura7.

a) Culeslaexpresinalgebraicaquerepresentalamedidadelabasedelrectngu-

loazuldelafigura7?

b) Cul es la expresin algebraica que representa la medida de su altura?

c) Expresenladiferenciadeloscuadradosx 2ya 2comoelproductodedosbinomiosconjugados.

x 2 a 2 = ( ) ( )

d) Factoricen16 9x 2comounadiferenciadecuadrados.

16 9x 2 = ( ) ( )

x a

x

a

aa 2

Figura 6

x

Figura 7

a

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22

secuencia 1ii. Realicenlassiguientesmultiplicacionestrminoportrminoyverifiquensidespus

desumarlostrminossemejantesobtienenunadiferenciadecuadrados.

4x 2

a) (2x + 3) (2x 3) = 4x 2 6x + =

6x

b) (2x + 3) (2x + 3) = =

c) (2x 3) (2x 3) = =

d) (2x + 3) (2x 3) = =

e) Enqucasosseobtuvounadiferenciadecuadrados?

f) Enqucasosno?

Comentencomo,apartirdeunadiferenciadecuadrados,podranidentificarlosbi-nomiosconjugadosquelaproducenalsermultiplicados.

A lo que llegamosEl producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.

(x + y ) (x y ) = x 2 y 2Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

La factorizacin de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados.

Larelacinanteriorpuedeaplicarseparamultiplicarparejasdenmeros,.Paraello,tie-nenquepresentarloscomosifueranbinomiosconjugados.Ejemplos:

(102) (98) = (100 + 2) (100 2) = 10 000 4 = 9 996

(47) (53) = (50 - 3) (50 + 3) = 2 500 9 = 2 491

MAT3 B1 S01.indd 22 6/20/08 4:57:15 PM

23

MATEMTICAS IIILo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones.Expresacadaparejadefactorescomobino-

miosconjugadossyobtnelproductomedianteunadiferenciadecuadrados.

a) (21) (19) = = =

b) (32) (28) = = =

c) (97) (103) = = =

d) (1 002) (998) = = =

2. Completalasiguientetablaescribiendoparacadaparejadebinomiosconjugadossurespectivadiferenciadecuadradosyviceversa.

Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

(x + 8) (x 8)

(2x + 3) (2x 3)

x 2 100

4x 2 25

(3x + 2y ) (3x + 2y )

A FORMAR RECTnGULOSPara empezari. Enlafigura8semuestraunrectnguloformadoconlosbloquesalgebraicos.

Figura 8

x + 1

x + 8

SESin 4

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24

secuencia 1a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaron?

b) Cuntosdereax ?

c) Cuntosderea1?

d) Culessurea?

ii. Conlosbloquesalgebraicosapropiadosx 2,x y1reproducelasfiguras9,10y11detalmaneraquetenganelreaindicada.Trazaencadacasolosbloquesqueutilizasteparaformarlayescribelamedidadesubaseydesualtura.

Figura 10 Figura 11

rea = x 2 + 9x +18 rea = x 2 + 9x + 20

Figura 9

rea = x 2 + 9x +14

MAT3 B1 S01.indd 24 6/20/08 4:57:16 PM

25

MATEMTICAS IIIConsideremos lo siguienteCompletalatablasiguiente.

Primer factor (Medida de la base)

Segundo factor (Medida de la altura)

Producto (rea del rectngulo)

x + 8 x + 1

x + 7 x + 2

x2 + 9x + 18

x + 5 x + 4

x + 3 x + 2

x 2 + 5x + 4

a) Qureglasiguesparaencontrarelproductosiconoceslosdosfactores?

b) Siconoceselproducto,cmoobtieneslosfactores?

Comparensussoluciones.

Manos a la obrai. Enlafigura12,conbloquesalgebraicosseformunrectngulodebasex + 5yaltu-

rax + 2.

a) Observen lafigura12y,sinhacer lamultiplicacin

trmino por trmino, encuentren el producto de

(x + 5) (x + 2) =

b) Cmoloobtuvieron?

x + 5

x + 2

Figura 12

Los binomios (x + 5) y (x + 2) tienen un trmino

comn que es x. Estos binomios se llaman

binomios de trmino comn.

5 y 2 son los trminos NO comunes.

MAT3 B1 S01.indd 25 6/20/08 4:57:17 PM

26

secuencia 1c) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.

x 2

(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =

+

2x 7x

d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?

e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel

coeficientedeltrmino7xdelproducto?

f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?

g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.

(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +

Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.

A lo que llegamosPara obtener el producto de dos binomios con trmino comn se puede hacer lo siguiente:

(x + 4) (x + 3) = x 2 + 7x + 12

1. El trmino comn x se eleva al cuadrado.2. Se suman los trminos no comunes: 4 + 3 = 7; el resultado 7 se multiplica por x.3. Se multiplican los trminos no comunes: (4) (3) = 12

ii. Apliquenlareglaanteriorparaobtenerelproductode(x + 5) (x 2):

a) Cuntoobtienenalsumar(+5) + (2)?

b) Cuntoobtienenalmultiplicar(+5) + (2)?

c) Escribanelproductosinrealizarlamultiplicacintrminoportrmino

(x + 5) (x 2) =

MAT3 B1 S01.indd 26 6/20/08 4:57:18 PM

27

MATEMTICAS IIIc) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.

x 2

(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =

+

2x 7x

d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?

e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel

coeficientedeltrmino7xdelproducto?

f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?

g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.

(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +

Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.

A lo que llegamos

d) Ahoramultipliquentrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.

x 2

(x + 5) (x 2) = x 2 2x + =

2x

e) Sonigualeslosproductosobtenidosenlosincisosc)yd)?

Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona par cualquiermultiplicacindebinomioscontrminocomn.

iii.Almultiplicardosbinomioscontrminocomnseobtuvo:

( ) ( ) = y 2 + 10y + 16

a) Culeseltrminocomn?

b) Qunmerossemultiplicaronparaobtener16?

c) Cuntodebensumaresosnmeros?

d) Escribanenlosparntesislosfactoresquecorrespondanaltrinomioy 2 + 10y + 16.

e) Multipliquenensucuadernolosbinomiostrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.

Comparensussolucionesycomentenquoperacionestienenquerealizarparaencontrareltrminocomnylostrminosnocomunesdelosbinomios.

A lo que llegamosPara factorizar el trinomio x 2 + 5x + 4, se puede hacer lo siguiente:1. Se obtiene el trmino comn; en este caso es x, porque (x ) (x ) = x 2

x 2 + 5x + 4 = (x + ) (x + )2. Se buscan parejas de nmeros enteros que multiplicados den 4.

(2) (2) = 4 (2) (2) = 4 (4) (1) = 4 (4) (1) = 4

3. Se selecciona la pareja de nmeros que sumada d el coeficiente del trmino 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4 + 1 = 5.

Por lo tanto:

x 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1)

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28

secuencia 1

Lo que aprendimos1. Aplicaelproductodelosbinomioscontrminocomnencadamultiplicacin.

a) (23) (25) = (20 + 3) (20 + 5) = 400 + (8) (20) + 15 =

b) (105) (98) = (100 + 5) (100 - 2) =

c) (48) (49) =

2. Completalatabla.

Binomios con trmino comn Trinomio de segundo grado

(x + 8) (x + 2)

x 2 + 9x + 18

x 2 3x 10

x 2 + 3x + 2

x 2 3x + 2

(x + a) (x + b)

Un CASO ESPECiAL DE FACTORiZACinConsideremos lo siguiente

Figura 13

Altura

Base

6x

2x 2

Nosiempreocurrequeelreadeunrec-tngulo corresponda a un trinomio. Porejemplo,enlafigura13serepresentaunrectnguloderea2x 2 + 6x.

a) Culeslamedidadelabase?

b) Culeslamedidadelaaltura?

Comparensusrespuestas.

SESin 5

MAT3 B1 S01.indd 28 6/20/08 4:57:20 PM

29

MATEMTICAS IIIManos a la obrai. Sobrelafigura13,tracendosbloquesdereax 2yseisdereax.Despus,completen

latablasiguiente:

Rectngulo rea (Base) (Altura)

Azul 2x 2 (2x ) ( )

Rojo 6x (2x ) ( )

Completo 2x 2 + 6x (2x ) ( )

Comoelfactor2xapareceenlastresmultiplicacionesdelaltimacolumna,esunfactorcomndelostrminos2x 2y6x.

Sonigualeslasexpresionesquerepresentanlasmedidasdelasalturasdelosrectn-

gulosazulyrojo?

Estasexpresionessellamanfactores no comunesdelostrminos2x 2y6x.

Comparensusrespuestasycomenten:

a) Quotrosfactorescomunespuedentenerlostrminos2x 2y 6x ?

b) Puedenformarserectngulosdiferentesaldefigura13,condosbloquesdereax 2yseisdereax ?Dibjenlosenelpizarrnyexpresensurea2x 2 + 6xpormediodedosfactores.

A lo que llegamosPara factorizar un binomio tal como 4x 2 + 20x se puede hacer lo siguiente:

1. Se factoriza cada trmino del bino-mio de manera que el factor comn contenga la literal y el mximo valor posible del coeficiente:

4x 2 = (4x ) (x )

20x = (4x ) (5)

2. Se expresa la factorizacin: 4x 2 + 20x = (4x ) (x + 5)

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secuencia 1ii. Apliquenlareglaanteriorparafactorizar14x 2y 21x y 2

14x 2y = (7x y ) ( )

21x y 2 = (7x y ) ( )

14x y 2 21x y 2 = (7x y ) ( )

Comparensussoluciones,discutanyverifiquensilareglafuncionaparafactorizarcualquiertipodepolinomios.

Lo que aprendimos1. Expresalossiguientespolinomioscomoelproductodedosfactores.

a) x 2 18x + 81 = ( ) ( )

b) x 2 + 20x + 100 = ( ) ( )

c) x 2 400 = ( ) ( )

d) x 2 + 8x 20 = ( ) ( )

e) 4x 2 + 8x = ( ) ( )

f) x 2 + 11x + 24 = ( ) ( )

g) x 2 + 10x + 24 = ( ) ( )

h) x 2 + 14x + 24 = ( ) ( )

i) x 2 + 2x 24 = ( ) ( )

j) 9x 2 36x = ( ) ( )

2. Factorizandopodraestablecerseunareglatilparacalcularelproductodeciertosnmeros;examinalassiguientesmultiplicacionesytratadeencontrarlarelacinen-trelosfactoresinvolucradosyelresultado.Sepuedeestablecerunareglageneral?

(12) (18) = 216 (23) (27) = 621 (31) (39) = 1 209 (54) (56) = 3 024

a) Qurelacinmatemticaencuentrasentrelascifrasdelasunidadesdelosfac-

tores?

b) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdoscifrasdeladerechadelproducto?

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MATEMTICAS IIIc) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdemscifrasdelaizquierdadelpro-

ducto?

d) Siyadescubristelaregla,calculamentalmenteelresultadodecadaoperacin.

(13) (17) = (43) (47) = (61) (69) =

(74) (76) = (88) (82) = (191) (199) =

Para saber msSobre productos notables y factorizacin, consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Binomio al cuadradoRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Diferencia de cuadrados[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

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secuencia 2

En esta secuencia aplicars criterios de congruencia para la justifica-cin de propiedades sobre los cuadrilteros.

lados opuestos igualesPara empezarA lo largo de la historia se han hecho afirmaciones matemticas que por mucho tiempo se creyeron ciertas, luego fueron reconocidas como errneas. Para evitarlo, los matem-ticos exigieron que las afirmaciones matemticas tuvieran una prueba rigurosa, es decir, una justificacin que no deje lugar a dudas.

En esta sesin conocers una de estas justificaciones rigurosas en la geometra.

Consideremos lo siguienteObserven los siguientes cuadrilteros, escojan cules tienen sus lados opuestos iguales.

sesin 1

Tringulos congruentes y cuadrilteros

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IIIMATEMTICASDe las siguientes propiedades, cul tienen en comn los cuadrilteros que eligieron?

a) Sus cuatro lados son iguales.

b) Cualesquiera de sus lados opuestos son paralelos.

c) Sus cuatro ngulos son iguales.

d) Sus diagonales son perpendiculares.

Dibujen dos cuadrilteros que satisfagan la propiedad que eligieron anteriormente y verifiquen si cualesquiera de sus lados opuestos son iguales.

Comparen sus respuestas y comenten:

Qu diferencia hay entre que un cuadriltero sea paralelogramo y que tenga sus pares de lados opuestos paralelos?

Ser cierta la siguiente afirmacin? Todos los paralelogramos tienen sus pares de lados opuestos iguales.

Manos a la obrai. Realicen la siguiente actividad.

Tringulos congruentes y cuadrilteros

Paso 1. Dibujen en un papel un paralelogramo y re-crtenlo.

Paso 2. Despus tracen una diagonal y anoten los nom-bres a los vrtices del paralelogramo tal como se muestra.

Paso 3. Recorten los dos tringulos por la diagonal. Paso 4. Pongan un tringulo encima del otro hasta que parezcan uno solo.

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secuencia 2a) Qu lado qued sobrepuesto con el lado aB?

b) Qu lado qued sobrepuesto con el lado BD?

c) Qu lado qued sobrepuesto con el lado Da?

Comparen sus respuestas y comenten:

Son congruentes aBD y cDB?

ii. Resuelvan las siguientes actividades para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes.

a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto iguales).

= y =

b) De los siguientes criterios de congruencia, cul usaran para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes? Justifiquen su respuesta.

i) LLL (lado, lado, lado) ii) LAL (lado, ngulo, lado) iii) ALA (ngulo, lado, ngulo)

c) Algunas de las siguientes afirmaciones son consecuencia de que los tringulos aBD y cDB son congruentes, cules son?

i) Los tres lados del aBD son iguales y respectivamente los del cBD.

ii) Los lados del aBD son iguales a los correspondientes del cDB.

iii) BD es igual al lado cB .

iv) aD es igual al lado Bc.

v) aB es igual al lado cB .

a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto

Recuerden que:

Los ngulos alternos internos

entre paralelas son iguales.

1 = 2

12

a D

cB

x

a y

cz

w

Recuerden que:

Dos tringulos son congruentes si se pueden hacer corresponder sus lados y ngulos de tal manera que lados y ngulos correspon-dientes midan lo mismo.

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MATEMTICAS IIIiii. Expliquen cmo a partir de que los tringulos aBD y cBD son congruentes se puede

afirmar que los lados opuestos del paralelogramo son iguales.

Comparen sus respuestas y comenten:

Adems de los paralelogramos, habr otros cuadrilteros con lados opuestos son iguales?

A lo que llegamosLos lados opuestos de un paralelogramo son iguales, pues si se traza una de sus diagonales, se obtienen dos tringulos congruentes.

Lo que aprendimosLa siguiente figura tiene marcados con diferentes letras algunos de los ngulos que en ella aparecen. Usa las etiquetas de esta figura para completar la justificacin a la si-guiente afirmacin:

En un paralelogramo, ngulos opuestos son iguales.

a

bc

de

fg

h

m

no

p i

jk

l

Justificacin:

Los ngulos a y son opuestos en el paralelogramo. Para justificar que son iguales, observemos que a es igual a pues son ngulos correspondientes (respecto a las dos paralelas horizonta-les y la transversal de la izquierda, ver figura). Luego es igual a k pues son ngulos alternos internos (respecto a las dos paralelas no horizontales y la transversal definida por la base del parale-logramo, ver figura). Lo cual muestra que los ngulos opuestos y k son iguales pues ambos son iguales a .

De manera similar se puede justificar que los otros ngulos opuestos y son iguales.

Comparen sus respuestas.

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secuencia 2

puntos MediosPara empezarEn geometra existen muchos cuadrilteros y se clasifican en varios tipos, tales como cuadrados, rectngulos y paralelogramos. Estos tipos no son excluyentes, es decir, un mismo cuadriltero puede ser de dos o ms tipos. Por ejemplo, un cuadrado es a la vez un rectngulo, un trapecio y un paralelogramo.

Describe a qu tipos pertenecen cada uno de los siguientes cuadrilteros:

Consideremos lo siguienteLos siguientes pares de segmentos se intersecan en su punto medio. Unan los extremos de los segmentos, para formar cuadrilteros, y despus contesten lo que se les pide.

Cules de los siguientes tipos de cuadriltero aparecieron? Mrquenlos con una .

Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo

sesin 2

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MATEMTICAS IIILos cuatro cuadrilteros que se formaron son todos de un mismo tipo. Cul es? Mr-quenlo con una .

Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo

Cada uno dibuje otro par de rectas que se intersequen en su punto medio. Unan los ex-tremos de los segmentos para formar un cuadriltero y decidan si ste es del mismo tipo que el que marcaron en la pregunta anterior.

Comparen sus respuestas y comenten si siempre se formar un paralelogramo al unir los extremos de dos segmentos que se intersequen por su punto medio.

Manos a la obrai. En el segmento con extremos a y c se ha mar-

cado el punto medio M con rojo. Dibuja otro segmento cuyo punto medio coincida con el punto M y etiqueta sus extremos con las letras B y D. Despus traza los segmentos aB, Bc, cD y Da.

a) Agrupa los segmentos aM, BM, cM y DM en parejas de segmentos iguales y jus-tifica por qu son iguales.

= . Justificacin:

y

= . Justificacin:

b) Agrupa los ngulos aMB, BMc, cMD y DMa en parejas de ngulos iguales y justifica por qu son iguales.

= . Justificacin:

y

= . Justificacin:

ii. De los siguientes criterios de congruencia, cul usaras para justificar que los trin-gulos aMB y cMD son congruentes?

i) LLL ii) LAL iii) ALA

Explica por qu los otros dos criterios no funcionan:

a

M

c

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secuencia 2iii. Como los tringulos aMB y cMD son congruentes, se pueden escribir algunas igual-

dades de lados y ngulos. Relaciona las siguientes dos columnas uniendo con una l-nea los elementos que tienen la misma magnitud.

aM

MB

Ba

aMB

MBa

BaM

cM

Dc

MDc

DcM

MD

cMD

iV. De las igualdades anteriores, cul crees que te sirva para argumentar que los seg-mentos aB y cD son paralelos?

=

Comparen sus respuestas y comenten:

Cmo podran argumentar que los lados aD y Bc son paralelos?

A lo que llegamosSi un cuadriltero satisface que sus diagonales se intersecan en su punto medio, entonces este cuadriltero debe ser un paralelogramo. Para justificar esta propiedad de manera formal se pueden emplear los criterios de congruencia.

Lo que aprendimosElige algunos de los textos que estn en el recuadro de razones para completar la justi-ficacin del siguiente hecho geomtrico.

Sean M y N los puntos medios de los lados aB y cD del paralelogramo aBcD, respecti-vamente. Entonces, se satisface que los tringulos MBc y nDa son congruentes.

B

M

c

D

n

a

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MATEMTICAS IIIRazones

En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.

En un paralelogramo los ngulos opuestos son iguales.

En un paralelogramo los ngulos adyacentes son complementarios.

Son la mitad de lados iguales.

Es un paralelogramo.

ngulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Son congruentes por el criterio de lado, ngulo, lado.

Son congruentes por el criterio de lado, lado, lado.

Son congruentes por el criterio de ngulo, lado, ngulo.

Justificacin

Afirmacin Razn

aB = cD

MB = nD

Bc = aD

aBc = cDa

MBc es congruente con nDa

Para saber msSobre la justificacin de los hechos geomtricos en la historia, consulta:Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. "Geometra prctica y geometra deductiva" en Crnicas geomtricas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

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secuencia 3

Entre rectas y circunferenciasEn esta secuencia identificars las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocers algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una circunferencia.

Puntos en comnPara empezari. LacircunferenciadecentroOmide2cmderadio.Trazalasrectasquesepiden.

a) Unarectaequenointersequealacircunferencia.

b) Unarectasqueintersequealacircunferenciaendospuntos.

c) Unarectatqueintersequealacircunferenciaenslounpunto.

d) Unarectadquepaseporelcentrodelacircunferencia.

Comparensustrazosyverifiquensicumplenconlascondicionepedidas.

ii. Midelasdistanciasdecadaunadelasrectasalcentrodelacircunferencia.

a) Paraculdelasrectasladistanciaescero?

b) Paraculdelasrectasladistanciaes2cm?

c) Paraculdelasrectasladistanciaesmayorque2cm?

d) Paraculdelasrectasladistanciaesmenorque2cm?

Comparenyjustifiquensusrespuestas.

sesin 1

Recuerda que:

La distancia de un punto a una

recta es la medida de la

longitud del segmento perpen-

dicular del punto a la recta.

O

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