TRABAJO FINAL DE MATEMATICA PARA INGENIERIA AMBIENTAL

Silvia Andrea Almirn

CAPITULO 1: FUNCIONESToda funcin tiene una variable dependiente y una o varias variables independientes.FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTEUna funcin es un conjunto no vacio de pares ordenados (x, y), tales que dos pares ordenados distintos no tienen igual la primera componente. Una relacin matemtica es una funcin si y solo si:(x, y) f (x, y) f y y Dominio y rango El conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de una funcin f se denomina dominio de la funcin. El rango de f es el conjunto de todas las imgenes f(x) de elementos x de D.{ f(x) / x D }Representacin geomtrica de conjuntos de nmeros reales.a) De nmeros reales: para representar el conjunto de nmeros reales R usamos la recta real o eje x (espacio de una dimensin) P(x) 0 x xb) De los pares ordenados de nmeros reales R2 (espacio de dos dimensiones).

c) De las ternas ordenados de nmeros reales R3 (espacio de tres dimensiones).

As podemos identificar en virtud de la correspondencia biunvoca al conjunto de n-adas ordenadas de nmeros reales Rn con el espacio n dimensional.Grfica de una funcin de una variable independiente.Si f es una funcin cuyo dominio es D, su grfica es el conjunto de pares ordenados:{(x, f(x)) R2 / y=f(x), x D}La grfica de f en general es una curva en el plano. el dominio D de la funcin f se representa sobre el eje x y su rango sobre el eje y.

FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTESMuchos fenmenos de la vida real y de las distintas ciencias involucran magnitudes que dependen de dos o ms variables independientes, por ello es necesario ampliar el concepto de funciones.Una funcin f de dos variables independientes reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) de nmeros reales en D un nico nmero real denotado por f(x,y).Notacin: Se define una funcin como un conjunto no vacio de ternas ordenados (x,y,z) con la propiedad de que si:(x1, y1 , z1) f (x1, y1 , z2) f z1 = z2 , empleamos la notacin, f = {(x,y,z) / z = f(x,y) (x,y) D}Dominio de f: es el conjunto de los pares ordenados (x,y) de nmeros reales para los cuales est definida la funcin. Es el conjunto D.Rango: conjunto de valores que toma la funcin fVariables independientes: x, yVariable dependiente: zGrfica de una funcin de dos variablesLa grfica de la funcin f es el conjunto de las ternas ordenadas:{(x,y,z) R3 / z = f(x,y), (x,y) D}La grafica de f en general es una superficie en el espacio:

GENERALIZACION PARA FUNCIONES DE N VARIABLES INDEPENDIENTESSea D Rn . Una funcin de n variables reales es una regla que asigna a cada n-ada ordenada (x1, x2,, xn) de nmeros reales en D un nico nmero real denotado por f(x1, x2,, xn).Para hacer explicito el valor que toma f en el punto general (x1, x2,, xn) escribimos z=f(x1, x2,, xn), donde x1, x2,, xn son variables independientes y z variable dependiente.Dominio de f: es el conjunto DRango de f: es el conjunto de los valores que toma la funcin: {f(x1, x2,, xn) / (x1, x2,, xn) D}

CAPITULO 2: LIMITE Y CONTINUIDADLMITE EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESCaso particularConsideramos la funcin f(x,y)= con D. Si el punto (x,y) est cerca del origen, entonces "x" y "y", estan cercanas a 0, y por consiguiente f(x,y) est cercana a 3. De hecho, si (x,y) est en un pequeo disco abierto , entonces .

Por lo tanto podemos hacer que los valores de f(x,y) se acerquen a 3 tanto como queramos, al tomar a (x,y) en un disco lo suficientemente pequeo, con centro (0,0). Describimos esto con la notacin: En general, DefinicinSea f una funcin de n variables definida en un entorno del punto , excepto quizs en . Entonces, decimos que el lmite de , cuando x se aproxima a es L y lo expresamos:

Si para cualquier nmero , existe un nmero tal que siempre que se tenga , tambin se tendr .LMITE EN FUNCIONES DE DOS VARIABLESSea f una funcin de dos variables definida en un entorno del punto , excepto quizs en el punto . Entonces, decimos que el lmite de , cuando se aproxima a es L y lo expresamos:

Si para cualquier nmero , existe un nmero tal que siempre que se tenga , tambin se tendr .

Conceptos bsicosa. Cuando el existe, su valor es nico y finito.b. La existencia del lmite exige, que cualquiera sea la trayectoria de (x,y) al tender a siempre se tendra el mismo valor lmite L para .c. Para que exista, es necesario que d. No es necesario que la funcin est definida en , y si estuviera definida en , no es necesario que sea igual a L.e. La definicin de lmite solo tiene en cuenta la distancia entre y , no tiene en cuenta la direccin y la forma de aproximacin de al tender a .Diferencia entre el lmite de funciones de una variable y el de ms de una variablePara funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a x0, solo podemos hacerlo por la izquierda y por la derecha. x0 si y solo si

Para funciones de dos y mas variables podemos dejar que x se aproxime a x0 desde un nmero infinito de direcciones y de cualquier forma.

En este caso para asegurar categricamente que se utiliza la definicin de lmite. para ello es de utilidad la siguiente preposicin:Si Lmites usando caminosUn procedimiento para probar que una funcin no tiene lmite es calcular los lmites de la misma mediante la aproximacin de los puntos (x,y) a (x0,y0) por diferentes caminos que pueden ser rectas o curvas que pasen por el punto en cuestin. Si los lmites son distintos, la funcin carece de lmite.Ejemplo:Analizar si existe el siguiente limite Considerando como trayectoria cualquier recta que pasa por el origen de coordenadas de ecuacin

Calculando el limite radial se tiene,

Por consiguiente, f tiene el mismo valor lmite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Esto no demuestra que el limite existe y vale 0. Considerando otra trayectoria , se tiene,

En vista de que distintas trayectorias dan distintos valores lmites, el limite dado .Lmites sucesivos o reiteradosEs una alternativa para probar la no existencia del lmite L de una funcin f(x,y) cuando .Sea , se define el lmite sucesivo de la funcin f mediante un proceso, por el cual se hace tender una variable hacia su lmite(L1), manteniendo constante la otra, y una vez calculado este lmite, se hace tender la otra variable hacia su lmite(L2).Luego relacionando el lmite simultaneo L y los lmites sucesivos L1 y L2 se generaliza mediante el siguiente teorema:

Corolario: Propiedades de los lmitesLas propiedades de los lmites para funciones de una sola variable pueden ampliarse a las funciones de dos variables y de n variables.Sean y funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de y sea un punto de D, un punto frontera de D. Suponga que,

donde L y M son nmeros reales, entonces:a) b) c) d) e) Propiedad de sustitucin directaEl clculo de los lmites de funciones continuas puede llevarse a cabo mediante sustitucin directa debido a que la definicin de una funcin continua es

CONTINUIDAD DE FUNCIONESContinuidad en un puntoSea f una funcin de n variables definida en un conjunto D de . Decimos que f es continua, en el punto de D, si y solo si:

donde y son dos puntos n dimensionales.Para Tipos de discontinuidadesSi la discontinuidad en es evitable.Si la discontinuidad en es inevitable.Continuidad de una funcin de dos variables en un puntoSea f una funcin de dos variables definida en un conjunto D de . Decimos que f es continua en un punto de D si y solo si,

Continuidad de una funcin de varias variables en un conjunto abierto D de Sea f una funcin de n variables definida en un conjunto abierto D de . Se dice que f es continua si lo es para todos y cada uno de los puntos X de D.Propiedades de las funciones continuasSean f(x) y g(x) funciones de n variables definidas en un conjunto D de , si f(x) y g(x) son continuas en un punto de D, tambin son continuas en las funcionesa) b) c) d) e) Otras funciones continuas en todo D sona) las algebraicas en general.b) las irracionales.c) las logartmicas y exponenciales.d) las trigonomtricas.

CAPITULO 3: DERIVACIONDERIVADAS DE PRIMER ORDENFunciones de una variableSea f una funcin de una variable x, la derivada ordinaria de f con respecto a x es aquella funcin representada por f, tal que su valor en cualquier punto x en el dominio de f, esta dado por:

el proceso de calcular la derivada de una funcin de una variable independiente se llama diferenciacin ordinaria.Tabla de derivadas inmediatasAplicada esta frmula de derivacin a las distintas funciones simples se obtiene la tabla de derivadas inmediatas y las derivadas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.Funciones de dos variablesSea f una funcin de dos variables x e y. "la derivada parcial de f con respecto de x" es aquella funcin representada por , tal que su valor en cualquier punto (x,y) en el dominio de f, esta dado por: , si este lmite existe.Anlogamente "la derivada parcial de f con respecto a y" es aquella funcin denotada por , tal que su valor en cualquier punto (x,y) en el dominio de f, est dado por:, si este lmite existe.El proceso de calcular una derivada parcial se llama diferenciacin parcial.Incremento parcial de la funcinIncremento parcial de la funcin con respecto a x . es el lmite del cociente incremental parcial de la funcin con respecto a x cuando el incremento de la variable considerada tiene a cero.

es el lmite del cociente incremental parcial de la funcin con respecto a y cuando el incremento de la variable considerada tiene a cero.

Regla para calcular las derivadas parciales de Para calcular , considere a "y" como una constante y derive con respecto a "x".Para calcular , considere a "x" como una constante y derive con respecto a "y".Funciones de tres variablesSea , entonces sus derivadas parciales de primer orden , y , se definen respectivamente como:, si este lmite existe., si este lmite existe., si este lmite existe.Para calcular las derivadas parciales directamente de la formula que especifica a f, se deriva con respecto a la variable considerada manteniendo a las otras dos como constantes.Funciones de n variablesSea P un punto de y sea f una funcin de n variables entonces la derivada parcial de f con respecto a es aquella funcin representada por tal que su valor en cualquier punto P en el dominio de f, esta dado por:

Si este lmite existe. Con notacin de incremento parcial:

INTERPRETACIN GRAFICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLESSea f una funcin de dos variables x,y, entonces el incremento total de la funcin en , denotado por est dado por:

Grficamente:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIALFunciones de una variableSi la funcin f(x) es continua en el cerrado y derivable en el abierto , entonces existe un numero tal que para el cual: Funciones de ms de una variableSea f una funcin de dos o ms variables independientes, que admite derivadas parciales en su dominio. Entonces el incremento total de f cuando se incrementan simultneamente todas las variables sin salir de su dominio es:Para funciones de dos variables

Funciones de tres variables

Funciones de n variables

CAPITULO 4: DIFERENCIALES

FUNCIONES DIFERENCIABLESSi f es tal que entonces f es diferenciable en si el incremento total puede expresarse como

Diferenciabilidad y continuidadUna funcin diferenciable en un punto es continua en dicho punto ya que puede hacerse tan pequeo como se quiera con tan solo tomar los suficientemente pequeos.

Diferencial total de una funcinSea ) una funcin diferenciable. Se llama diferencial total de la funcin f a la parte del incremento total , que es lineal en los , i=1,2,..,n y se la representa con

Condicin suficiente para la diferenciabilidadSea . Si existen las derivadas parciales con i= 1,2,,n, en el entorno de un punto y son continuas en dicho punto entonces f es diferenciable en .

Interpretacin geomtrica de la diferencial total en funciones de dos variables

APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALESCalculo del valor aproximado de una expresin aritmtica Se desea calcular en forma aproximada el valor de (8,01)1/3.(2,02)2.Solucin:Consideremos la funcin y los puntos P0(8,2) y P1(8,01, 2,02), de adonde se sigue que dx=0,01 y dy=0,02. Notamos que podramos sencillamente calcular la funcin en P0 y luego la variacin de la funcin, mediante diferencial, en P0 cuando las variables tienen el incremento dx y dy mencionados.f(P0) = (8)1/3.(2)2, f(P0)=8df(x,y) = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy df(x,y) = 1/3(1/x2)1/3y2dx + x1/32ydydf(P0) = fx(P0)dx + fy(P0)dy df(P0) = (1/3).(1/4).4.0,01 + 2.4.0,02df(P0) = 0,1633.Entonces, f(P1), que es lo que buscamos, ser, aproximadamente:F(P1) = f(P0) + df(P0) (8,01)1/3.(2,02)2 = 8 + 0,1633 = 8,1633

CAPITULO 5: MAXIMOS Y MINIMOSMXIMOS Y MNIMOS RELATIVOSSea y sea un punto perteneciente al dominio de f, entonces: Si , decimos que f tiene en P0 un mximo relativo en sentido estricto. f(P0) es un valor mximo relativo de f. Si , decimos que f tiene en P0 un mnimo relativo en sentido estricto. f(P0) es un valor mnimo relativo de f. Si y , decimos que P0 es un punto de ensilladura. Mximo relativo en sentido amplio: Mnimo relativo en sentido amplio: MXIMOS Y MNIMOS ABSOLUTOSDada cuyo dominio es D y sea , un punto perteneciente a D, decimos que: f tiene en un mximo absoluto si . f tiene en un mnimo absoluto si .

La grfica de una funcin con varios mximos y mnimos se muestra a continuacin:

MXIMOS Y MNIMOS VINCULADOSEn gran nmero de investigaciones tericas o prcticas se requiere averiguar el mximo o mnimo valor a una funcin cuyas variables se hallan relacionadas entre s de alguna manera, as por ejemplo puede necesitarse calcular el mximo o mnimo de la funcin definida por u = f(x,y,z) cuando x,y,z, deben verificar la relacin dada por (x,y,z) = 0. El mximo y/o mnimo que resulta se conoce con el nombre de mximo o mnimo vinculado.Ejemplo:Una caja rectangular sin tapa, debe hacerse con 12cm2 de cartulina. Determinar el volumen mximo de la caja.Solucin:Sean x,y,z la longitud, el ancho y la altura, respectivamente de la caja. La funcin a maximizar es el volumen V = xyz, pero x,y,z, estarn restringidas, dado que la superficie de la caja no deber exceder los 12cm2, de adonde establecemos la ecuacin de vinculo; xy + 2xz + 2yz = 12.Usando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange se tendr:

Resolviendo el sistema resulta: Y el volumen mximo que tendr la caja ser:

CAPITULO 6: INTEGRALES DEFINIDASINTEGRAL SIMPLE DEFINIDALa integral se puede definir en cuatro pasos.Sea una funcin definida en el intervalo :Paso 1: se divide el intervalo en subintervalos parciales, es decir se efecta una particin P del mencionado intervalo. Para ello se eligen los puntos de divisin x0,x1,x2,x3,,xi-1,xi,xi+1,,xn-1,xnDe modo que;

Las longitudes de cada uno de estos subintervalos se indican con: Se llama norma de una particin P a la longitud del subintervalo ms grande de la misma y se la denota con .Paso 2: a continuacin se elige en cada subintervalo un punto arbitrario , tal que Paso 3: se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos

Paso 4: se calcula el lmite de la suma de Riemann cuando y simultaneamente , y si este lmite existe se define como la integral definida de f, de "a" a "b". en smbolos:

Si este lmite existe se dice que la funcin f es integrable en el intervalo .

INTEGRALES DOBLESPara definir la integral doble se sigue el mismo proceso de cuatro pasos usado para las funciones de una variable.Sea f una funcin de dos variables definida en una regin R cerrada y acotada de R2. La integral doble de f sobre R se denota por y se define

Si este lmite existe.

INTEGRALES TRIPLESUna integral triple es una generalizacin de una integral doble en el mismo sentido que una integral doble es una generalizacin de una integral simple definida.La integral triple de una funcin de tres variables x,y,z se define siguiendo un procedimiento de cuatro pasos, analogo al utilizado para definir la integral simple definida y la integral doble definida.

CAPITULO 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENLa gran utilidad de la matemtica en las ciencias naturales se debe al hecho de poder formular muchas de las leyes que rigen los fenmenos naturales mediante el lenguaje matemtico, preciso y sin ambigedades. Algunas de esas leyes naturales, por ejemplo aquellas vinculadas con la rapidez de variacin, son expresadas con ms exactitud por medio de ecuaciones que contienen derivadas o diferenciales. Estas se conocen como las ecuaciones diferenciales.Ejemplo de ecuaciones diferencialesLey de enfriamiento de Newton: segn esta ley la razn de cambio respecto del tiempo de la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente.Esta ley se expresa mediante el siguiente modelo matemtico:

k: constante de proporcionalidad continua. Si , por lo tanto la temperatura es una funcin decreciente del tiempo y el cuerpo se est enfriando. Si , por lo tanto T est aumentando.

Definicin de ecuacin diferencialUna ecuacin diferencial es una expresin matemtica que involucra al menos una derivada de una funcin desconocida. La expresin puede contener tambin a la funcin desconocida.

Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

Segn el tipo:Una ecuacin que contenga derivadas ordinarias se llama ecuacin diferencial ordinaria. Es decir son ecuaciones donde la funcin desconocida depende de una sola variable independiente.Una ecuacin diferencial que contenga derivadas parciales se llama ecuacin diferencial parcial. La funcin desconocida depende de ms de una variable.

Segn el orden:El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin.

Segn el grado:El grado de una ecuacin diferencial es el grado algebraico de la derivada de ms alto orden en la ecuacin.

Segn la linealidad o no linealidad:Una ecuacin diferencial ordinaria se dice que es lineal si cada termino de la ecuacin es de primer grado en la variable dependiente y en todas sus derivadas o bien no contiene ninguna de ellas.

Ecuacin TipoOrdenGradoLinealidad

ordinaria31lineal

ordinaria21lineal

ordinaria12No lineal

parcial21

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