En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: siF1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce comoconstante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F+ C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

   ó   

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Índice

1   Ejemplo 2   Constante de integración 3   Otras propiedades

o 3.1   Linealidad de la integral indefinida o 3.2   La primitiva de una función impar es siempre par o 3.3   La primitiva   F   de una función   f   par es impar con tal de

imponerse   F (0) = 0 o 3.4   La primitiva de una función periódica es la suma de una función

lineal y de una función periódicao 3.5   Relación entre la integral de una función y la de su recíproca o 3.6   Existencia de primitivas

4   Cálculo de primitivas o 4.1   Integrales inmediatas o 4.2   Métodos de integración

5   Véase también 6   Enlaces externos

Ejemplo

Una primitiva de la función   en   es la función   ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) -

100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Constante de integración[editar]Artículo principal: Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y sontraslaciones verticales unas de otras.

Otras propiedadesLinealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0[editar]

En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(-a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(-a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica[editar]

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es

constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).

En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Relación entre la integral de una función y la de su recíproca[editar]

Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.

El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

Existencia de primitivas[editar]

Cualquier función continua sobre   admite localmente una antiderivada o primitiva. Sin embargo en espacios de dimensión finita la continuidad no garantiza la existencia de antiderivadas. Una condición suficiente de existencia de antiderivadas es que la imagen pertenezca a un espacio vectorial conveniente, también llamado  -completo. La propiedad definitoria de dichos espacios es que toda función   con   admite una función primitiva. Si el espacio no es  -completo la continuidad o incluso la suavidad de una función no garantiza la existencia de antiderivadas.

Cálculo de primitivas[editar]Integrales inmediatas[editar]Artículo principal: Anexo:Integrales

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementalescuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función  : primitiva de  función  : derivada de 

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Métodos de integración[editar]Artículo principal: Métodos de integración

Tenemos varios métodos a nuestra disposición:

La linealidad de la integración nos permite descomponer integrales complicadas en otras más sencillas.

Integración por sustitución, a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo neperiano.

Integración por partes para integrar productos de funciones. El método de la regla de la cadena inversa, un caso especial de

la integración por sustitución. El método de fracciones parciales nos permite integrar todas

las funciones racionales (fracciones de dos polinomios). El algoritmo de Risch. Integrales también pueden calcularse utilizando tablas de

integrales.

Véase también[editar]

Integración Integral definida Integración simbólica Anexo:Integrales

Enlaces externos[editar]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

Weisstein, Eric W. «Indefinite Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Formulario de integrales

Integral indefinida

Integración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x)son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por  .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

EJERCICIOS PROPUESTOS (1) Ejercicio 1. Calculad la raíz positiva de f(x) = x2 – 2x – 2 = 0 con dos cifras decimales exactas. Ejercicio 2. Calculad 7 con dos cifras decimales exactas. Ejercicio

3. Obtened una aproximación con un error inferior que 10-5, a la solución de la ecuación f(x) = ex + 2–x + 2 cos(x) – 6 = 0 en el intervalo [1,2]. EJERCICIOS PROPUESTOS (2) Ejercicio 1. Calculad las raíces de la ecuación e-x – x = 0 con un error inferior a 10-3. Ejercicio 2. Calculad la raíz negativa de f(x) = x4 – x – 10 = 0 con una precisión de dos cifras decimales exactas. Ejercicio 3. Calculad 7 con dos cifras decimales exactas, usando el método de Newton-Raphson EJERCICIOS PROPUESTOS (3) Ejercicio 1. Dad un ejemplo del algoritmo del método del punto fijo suponiendo que se usa la cota del error dado por la ecuación 1 , 1 n n n n k e x c x x n k = − ≤ − − ∈ N − Ejercicio 2. Calculad la raíz negativa de f(x) = x4 – x – 10 = 0 con una precisión de dos cifras decimales exactas. Ejercicio 3. Calculad 7 con dos cifras decimales exactas, usando el método del Punto fijo. EJERCICIOS PROPUESTOS (3) Ejercicio 1. Calculad el polinomio de interpolación de Lagrange para la siguiente tabla de puntos x -1 1 2 y 2 1 2 y estimad el valor de “y” para x = 0. Ejercicio 2. Aproximad la función y = ex² en el intervalo [0,2] mediante un polinomio de grado 2 sabiendo que toma los siguientes valores: x 0 1 2 y 1 2.718 54.598 Estimad, usando dicho polinomio, el valor de 4 e y comparadlo con el valor obtenido por medio de la calculadora o el ordenador. Ejercicio 3. Obtened un polinomio de grado 2 que interpola la función f(x)=1/x en los puntos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4. EJERCICIOS PROPUESTOS (4) Ejercicio 1. Calculad el polinomio de interpolación de Newton para la siguiente tabla de puntos x -1 1 2 y 2 1 2 y estimad el valor de “y” para x = 0. Ejercicio 2. Aproximad la función y = ex² en el intervalo [0,2] mediante un polinomio de grado 2 sabiendo que toma los siguientes valores: x 0 1 2 y 1 2.718 54.598 Estimad, usando dicho polinomio, el valor de 4 e y comparadlo con el valor obtenido por medio de la interpolación de Lagrange. Ejercicio 3. Obtened el polinomio de Newton de grado 2 que interpola la función f(x)=1/x en los puntos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4. EJERCICIOS PROPUESTOS (5) Ejercicio 1. Calculad una cota del error que se comete al interpolar la función y = ex² en el intervalo [0,2] mediante un polinomio de interpolación de Newton de grado 2 sabiendo que toma los siguientes valores: x 0 1 2 y 1 2.718 54.598 Ejercicio 2. Calculad una cota del error que se comete al utilizar el polinomio de Newton de grado 2 que interpola la función f(x)=1/x en los puntos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4.

EJERCICIOS PROPUESTOS (6) Ejercicio 1. Determinad el splín cúbico que interpola los siguientes puntos x -1 1 2 y 2 1 2 y estimad el valor de “y” para x = 0. Ejercicio 2. Determinad el splín cúbico que interpola los datos f(0)=0, f(1)=1 y f(2)=2. EJERCICIOS PROPUESTOS (7) Ejercicio 1. Determinad el polinomio de interpolación a trozos que interpola los siguientes puntos x -1 1 2 y 2 1 2 y estimad el valor de “y” para x = 0. Ejercicio 2. Aproximad la función y = ex² en el intervalo [0,2] mediante un polinomio de interpolación lineal a trozos y el polinomio de Hermite, sabiendo que toma los siguientes valores: x 0 1 2 y 1 2.718 54.598 Estimad, usando dicho polinomio, el valor de 4 e y comparadlo con el valor obtenido por la calculadora o el ordenador. EJERCICIOS PROPUESTOS (8) Ejercicio 1. Usad el método de Euler y el método de Taylor de orden 2 para aproximar la solución del siguiente PVI, donde h = 0.5: 1 2 '( ) ( ); 1 3 (1) 2 y x y y x x y = + ≤ = − ≤ Ejercicio 2. Usad un método de Runge-Kutta de orden 2 y otro de orden 4 para resolver aproximadamente el siguiente PVI tomando h = 0.2: '( ) cos( ); 0 1 (0) 0 y x y x y = ≤ ≤ = Ejercicio 3. La ley de enfriamiento de Newton establece que 0 ( dT k T T dt = − − ) , donde T(t) es la temperatura de un objeto en el instante t y T0 es la temperatura ambiente. Una taza de café tiene una temperatura de 80ºC y se encuentra en una habitación con una temperatura ambiente de 20ºC. En este caso, k = 0.080. Obtened una tabla de temperaturas del café en los siguientes 10 minutos, a intervalos de 30 segundos. Ejercicio 4. Resolved mediante el método de Adams-Bashford de orden 2 el siguiente PVI, siendo h=0.1: '( ) ( ) ; 0 1 (0) 1 y x sen y x x y ⎧ = + ≤ ≤ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ = ⎭ . Ejercicio 5. Resolved mediante el método

de Adams-Bashford de orden 4 el siguiente PVI, siendo h=0.25 2 '( ) ; 0 2 (0) 1 y x x y y x y ⎪⎧ = − ≤ ≤ ⎫ ⎨ ⎬Ejercicio 6. Resolved mediante un método de predicción-corrección de orden 2 el siguiente PVI, siendo h=0.2 1 '( ) ; 0 2 (1 ) (0) 1 x y x x y e y