Máximos y mínimos

●●●● Ejemplo 1 ●●●●●

Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función: y = ⅓ x³ - x² -15 x +2

1er paso: se deriva la función : y´ = x² – 2x – 15

2º paso: la función derivada se iguala a cero: x² – 2x – 15 = 0

3er paso: se calculan los valores de x: ( x – ) ( x + ) = 0

Los signos de los factores son diferentes, por tanto buscamos dos números que restados den 2 y

que multiplicados den 15 ; los números son 5 y 3, el número mayor lo colocamos en el 1er

paréntesis: ( x – 5 ) ( x + 3 ) = 0 ;

4º paso: los valores de x son:

x – 5 = 0 ; por tanto x = 5

x + 3 = 0 ; por tanto x = – 3 Continua en la siguiente diapositiva

Máximos y mínimos

5º paso: Se deriva por segunda vez la función derivada: y´ = x² – 2x – 15y´´ = 2x – 2

6º paso: se sustituyen los valores de x en la segunda derivada: y´´ ( 5 ) = 2(5) – 2 = 8 ; el resultado positivo indica que en x = 5 se tiene un mínimoy´´ ( – 3 ) = 2(– 3 ) – 2 = – 8 ; el resultado negativo indica que en x = – 3 se tiene un máximo

La gráfica obtenida es la siguiente: Los valores de “y” se calculan sustituyendox = 5, x = – 3 en la función original:

y(5) = ⅓ (5)³ - (5)² -15 (5) + 2 = – 56.33

y(– 3) = ⅓ (– 3)³ - (– 3 )² -15 (– 3) + 2 = 29

Máximos y mínimos

●●●●● Ejercicio 1 ●●●●●

Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función: y = ⅓ x³ + 3x² − 27 x + 8 Dibuje la gráfica correspondiente.