Estadística y Probabilidad I

Medidas de Tendencia Central y Dispersión (Primera Parte)

Ciclo escolar 2014-2015

Notación de Sumatoria

• Denotamos por Xj (léase “X subíndice j” o simplemente “X sub j”) cualquiera de los N valores X1, X2, X3, … XN que toma una variable X. La letra j en Xj que puede valer 1, 2, 3, … ,N se llama subíndice. Es claro que es posible emplear cualquier otra letra en lugar de j; por ejemplo, i, k, p, q o s.

Notación de Sumatoria

• Cuando tenemos que representar una suma grande, en matemáticas se ocupan varias notaciones dentro de las que sobresalen las siguientes:

+ s S σ Ʃ ʃ

• Siendo la mas utilizada en estadística la siguiente:

Notación de Sumatoria

N

j

jX1

Índice: Con respecto a este símbolo sumamos Limite inferior: indica desde donde sumamos.

Limite superior: Indica hasta donde sumamos

Termino o sumando: es lo que sumamos

llkkk

l

kj

j XXXXXX

121

Ejemplo de sumatoria

2

3

0

6

5

3

2

7

1

4

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

3

0

4

0

2

3

4

3

2

2

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

6

2j

jX

9

6

3j

jY

4

1

32j

jj YX

Medidas de Tendencia Central

• Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

• Entre las medidas de tendencia central mas comunes tenemos: – Media Aritmética (o simplemente Media) – Mediana – Moda

• Otras medidas de tendencia central son – Media Geométrica – Media Armónica – Media Cuadrática – Cuartiles, Deciles y Percentiles

Media Aritmética

• A veces se le llama simplemente Media o promedio. Tiene muchas propiedades aritméticas que explicaremos mas adelante en el curso, y por eso es también la mas usada como medida de centralización. Se representa y se define por

N

j

jXN

X1

1

Mediana

• La mediana de un conjunto de números, es el valor central o la media de los dos valores centrales de los datos ordenados. Lo representamos por

X~

Moda

• La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el valor mas frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única.

• Es la única medida de centralización que puede aplicarse también a datos cualitativos.

• La distribución con una sola moda se llama unimodal. Y cuando tiene varias, multimodal. Lo representamos por

X̂

Ejemplos

• Calcule la media, mediana y moda de los siguientes datos

• 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4

• 1.1, 3.5, 2.6, 5.5, 2.4, 1.2

• 9, 9, 2, 6, 2, 8, 4, 3, 8, 1

Media Aritmética (continuación)

• Si los números X1, X2, …,Xk ocurren f1, f2, … , fk veces, respectivamente la media aritmética puede calcularse como

• Ejemplo, la media aritmética de 5, 5, 5, 5, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 2 es

k

j

j

k

j

jj

f

Xf

X

1

1

Media Aritmética Ponderada

• A veces asociamos con los números X1, X2, …,Xk ciertos factores peso w1, w2, … , wk, dependientes de la relevancia asignada a cada numero. En tal caso

• Si el examen final de un curso cuenta tres veces mas que una evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en el examen final, y 70 y 90 en los dos parciales, la calificación media es

k

j

j

k

j

jj

w

Xw

X

1

1

Actividad • De un total de 100 números, 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 30

eran seises, y los restantes eran sietes. Obtenga la media aritmética de los números.

• Las calificaciones finales de un estudiante en matemáticas, física, ingles e higiene son, en ese orden 82, 86, 90 y 70. Si los créditos respectivos recibidos por estos cursos son 3, 5, 3 y 1, determine un promedio de calificaciones apropiado.

• Las calificaciones obtenidas por un estudiante en laboratorio, teoría y practica de un curso de física son 71, 78 y 89 respectivamente. – Si los pesos asignados a las calificaciones son 2, 3 y 5 ¿Cuál es la

calificación promedio? – ¿Cuál seria la calificación promedio si se utiliza el mismo peso para

las tres?

• Una empresa tiene 80 empleados, 60 ganan $10.00 por hora y 20 ganan $13.00 por hora. Determine la ganancia media por hora.

Propiedades de la Media Aritmética

• La suma algebraica de las desviaciones respecto a la media aritmética es cero. – Una desviación con respecto al valor A, es la diferencia de

el dato con A

• Ejemplo: calcule las desviaciones con respecto a la

media, y la suma de esas desviaciones de los valores 8, 3, 5, 12 y 10.

AXd jj

01

N

j

j XX

Propiedades de la Media Aritmética

• La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números respecto a un numero “A”, es mínima cuando “A” es la media aritmética.

N

j

j AX1

2

Propiedades de la Media Aritmética

• Si f1 números tienen media m1, f2 números tienen media m2, …. , y fk números tienen media mk, entonces la media de todos los números es

• Cuatro grupos de estudiantes, consistentes de 15, 20, 10 y 18 individuos, reportan pesos medios de 162, 148, 153 y 140 libras respectivamente. Encuentre el peso medio de todos los estudiantes.

k

j

j

k

j

jj

f

mf

X

1

1

Propiedades de la Media Aritmética

• Si A es una supuesta media aritmética o conjeturada (que puede ser cualquier numero) y si dj=Xj-A son las desviaciones de Xj respecto de A, la media aritmética es

• Ejemplo, calcule la media aritmética de

1001.1, 1000.9, 1002.3, 1003.2, 1000.7, 1003.0, 1000.2, 999.8

• A=1000, y las desviaciones son 1.1, 0.9, 2.3, 3.2, 0.7, 3.0, 0.2, -0.2

dAN

d

AX

N

j

j

1

Media Aritmética para Datos Agrupados

• Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se le consideran iguales a la marca de clase del intervalo. La siguiente formula es valida si pensamos Xj como la marca de clase, y fj como su correspondiente frecuencia de clase

k

j

j

k

j

jj

f

Xf

X

1

1

Media Aritmética para Datos Agrupados

• Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se le consideran iguales a la marca de clase del intervalo. La siguiente formula es valida si pensamos Xj como la marca de clase, y fj como su correspondiente frecuencia de clase

k

j

j

k

j

jj

f

Xf

X

1

1

Mediana para Datos Agrupados • Para datos agrupados, la mediana viene dado por

𝐿1=frontera inferior de la clase de la mediana 𝑁=numero de datos (frecuencia total) Σ𝑓 1=suma de frecuencias de las clases inferiores a la de la mediana

(es la frecuencia acumulada a la frontera inferior de la clase de la mediana)

𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎=frecuencia de la clase de la mediana 𝑐=anchura del intervalo de la clase de la mediana

• Geométricamente la mediana es el valor de X (abscisa) que

corresponde a la recta vertical que divide al histograma en dos partes de igual área. También es el valor de X donde el trazo de la ojiva tiene como altura exactamente la mitad de los datos

c

f

fLX

mediana

N

12

1

~

Moda para Datos Agrupados

• La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencias o de un histograma a partir de la formula 𝐿1=frontera inferior de la clase Modal (la clase cuya frecuencia

es mayor) ∆1=exceso de la frecuencia modal sobre la clase inferior

inmediata ∆2=exceso de la frecuencia modal sobre la clase superior

inmediata 𝑐=anchura del intervalo de la clase de la moda

cLX

21

11

ˆ

Ejemplo

SalariosNumero de

empleados

$250.00-$259.99 8

$260.00-$269.99 10

$270.00-$279.99 16

$280.00-$289.99 14

$290.00-$299.99 10

$300.00-$309.99 5

$310.00-$319.99 2

Total 65

Medidas de Tendencia Central para datos agrupados

Intervalo de

claseFrecuencia

Frecuencia

relativa

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

85-89

90-94

95-99

CalificaciónFrecuencia

acumulada

Frecuencia

acumulada

relativa

menor que 50

menor que 55

menor que 60

menor que 65

menor que 70

menor que 75

menor que 80

menor que 85

menor que 90

menor que 95

menor que 100

1

2

4

4

7

9

16

10

7

6

4

0.0143

0.0286

0.0571

0.0571

0.1000

0.1286

0.2286

0.1429

0.1000

0.0857

0.0571

1

3

7

11

18

27

43

53

60

66

70

0.0143

0.0429

0.1000

0.1571

0.2571

0.3857

0.6143

0.7571

0.8571

0.9429

1.0000

Media Geométrica

• Es la raíz N-ésima del producto de N valores.

• Ejemplo, la media geométrica de 2,4,9 es

NNN XXXXMG 121

1602.472942 33 MG

Media Armónica

• Es el reciproco del promedio de los recíprocos

• Ejemplo, la media armónica de 2,4,4,3,7 es

N

j

X

N

j

X jj

N

N

H

1

1

1

1

1

3871.331

105

2131

5

7

1

3

1

4

1

4

1

2

1

5

H

Media Cuadráticas

• Es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados

• Ejemplo, la media cuadrática de 2,1,4,3,2 es

N

X

MC

N

j

j

1

2

6077.28.65

34

5

491614

5

23412 22222

MC

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• http://gaussianos.com/cuando-hables-de-salarios-utiliza-la-mediana/

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