Universidad Tecnológica de Panamá Sede de Chiriquí

Facultad de Ingeniería en Sistemas

Presentación sobre Integración de Funciones Vectoriales

Presentado a:Facilitador: Profesor Santiago Candanedo

Integrantes:Kelsyn BarríaCatherine CaballeroRita Carrera

Francisco DelgadoDayling PereiraAlison MendozaYainin Santos

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

Si en donde f, g y h son funciones continúas en , entonces la integral cuyos casos indefinidos y definidos son:Para el plano, la integral indefinida

Para el espacio, la integral indefinida

Para el plano, la integral definida

Para el espacio, la integral definida

Es importante observar que al realizar la integral indefinida de la función r, se debe agregar un vector constante de integración C, producto de la constante de integración de cada una de las funciones escalares de las componentes de la función vectorial. Por lo que C= c1,c2,…,cn

Ejemplo #1 (Sección 12.3, Libro de Larson)Hallar la integral indefinida mediante la función vectorial Solución:

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR

Sea:

La integral indefinida de es:

∫𝑟 (𝑡 )𝑑𝑡=[∫ 𝑓 1 (𝑡 )𝑑𝑡 ]𝑡 1+[∫ 𝑓 2 (𝑡 ) 𝑑𝑡 ]𝑡 2+…+[∫ 𝑓 𝑛 (𝑡 )𝑑𝑡 ] 𝑡𝑛

Y la integral definida de en el intervalo es

Problema#1

Un jugador de béisbol lanza una pelota con ángulo con respecto a la horizontal de 45°, a una distancia de 75 m. Si la pelota es capturada al mismo nivel del lanzamiento, determinar la rapidez inicial del lanzamiento. (Ayuda: m/s²)

Solución:�⃗� (𝑡 )=−9.81 �̂�

𝑣 (𝑡 )=∫ �⃗� (𝑡 )=𝑣𝑜𝑥 �̂�+(𝑣𝑜𝑦−9.81𝑡 ) �̂� ,

𝑟 (𝑡 )=∫𝑣 (𝑡 )𝑑𝑡=𝑣𝑜

√2𝑡 �̂�+( 𝑣𝑜

√2𝑡−4.905 𝑡 2) �̂�

Sustituyendo en

Concluyendo que la rapidez inicial es

CAMPOS VECTORIALES

Campos vectoriales:

Asignaciones de uno o más vectores a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección de cada uno conectado a un punto en el plano dado.

Representación gráfica:

Un campo de vectores para la circulación de aire en la Tierra se asociará para cada punto de la superficie de la Tierra con un vector de la velocidad del viento y la dirección de dicho punto.

Operaciones en los campos vectoriales: Línea integral: técnica común en la física es la integración de un

campo vectorial a lo largo de una curva, es decir, para determinar la integral de línea.

Divergencia: colector con una métrica de Riemann que mide la longitud de los vectores.

Rizo: mide la densidad del momento angular del vector de flujo en un punto, es decir, la cantidad a la que el flujo circula alrededor de un eje fijo.

Diferencia entre escalar y campo vectorial: La diferencia entre un escalar y campo vectorial no es un escalar

que es sólo un número, mientras que un vector es varios números. La diferencia está en cómo sus coordenadas responden a las transformaciones de coordenadas.

Problema #1 ilustrativo (sección 14.1, ejercicio 8-pag 1088,libro de Leithold)

Donde

jyyxixyxyxf ˆ)1610(ˆ108),( 3223

23 108),( xyxyxf x

32 1610),( yyxyxf y

Problema #2 (sección 14.1, ejercicio 13-pag 1088,libro de Leithold)

zyexzyxf 42),,(

kyexjexixyezyxf zzz ˆ)4(ˆ)(ˆ)2(),,( 42424

DIVERGENCIA

Definición de divergencia de un campo vectorialSea F un campo vectorial sobre alguna bola abierta de tal que:

Entonces la divergencia de F, denotada por div F, esta definida como:

Si estas derivadas parciales existen.

zR

yN

xM

zyxdivF

),,(

3R

kzyxRjzyxNizyxMzyxF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

• Se extenderá la notación del producto punto de dos vectores al “producto punto” del operador y el campo vectorial F para calcular la divergencia de F , y se escribirá:

FdivF

zR

yN

xM

kRjNiMz

ky

jx

i ˆˆˆˆˆˆ

Problemas #1 (sección 14.1, ejercicio 38-pag 1089,libro de Leithold)

kzxjyixzzyxF ˆˆˆ),,( 222

zxz

yy

xzx

zyxdivF 222),,(

22 2 xyz 22 2 zyx

Las segunda derivadas parciales de M,N y R son continuas en B, entonces:

• Suponga que F es un campo vectorial sobre una bola B de tal que:

TEOREMA #1 SOBRE DIVERGENCIA

0rotFdiv

3R

kzyxRjzyxNizyxMzyxF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

•Este teorema establece que el rotacional del gradiente de es igual al vector cero. Considere ahora la divergencia del gradiente de ,esto es, , lo cual puede escribirse como o

• Si es un campo escalar sobre una bola abierta B de y las segundas derivadas parciales de son continuas en B, entonces:

TEOREMA #2 SOBRE LA DIVERGENCIA

0)( frot

f

f

f f2

f

f

3R

f

Por definición,

k

zf

jyf

ixf

zk

yj

xizyxf ˆˆˆˆˆˆ),,(2

2

2

2

2

2

22 ),,(

zf

yf

xf

zyxf

La expresión de la derecha se llama laplaciano de f. la siguiente ecuación, obtenida a igualar a cero el laplaciano, se llama ecuación de Laplace

02

2

2

2

2

2

zf

yf

xf

• A toda función que satisfaga la ecuación de Laplace se le llama armónica. Este tipo de funciones tiene aplicaciones importantes en física en el estudio de la transferencia de calor , radiación electromagnética y acústicas, entre otras.

• Si F es un campo vectorial sobre algún disco abierto B de tal que , entonces el rotacional de F y la divergencia de F en dos dimensiones está definida por:

2RjyxNiyxMyxF ˆ),(ˆ),(),(

kyM

xN

yxrotF

,

yN

xM

yxdivF

,

Si estas derivadas parciales existen. El laplaciano en dos dimensiones esta definido como

2

2

2

22 ),(

yf

xf

yxf

Problema #2 (sección 14.1, ejercicio 41-pag 1089,libro de Leithold) kzjyxiyxzyxF ˆˆ1ˆ1),,( 22222

kzz

yxy

yxx

zyxdivF ˆ11),,( 22

1222

122

zyyxxyxzyxdivF 22121

2121

),,( 2

1222

122

zyxyyxxzyxdivF 211),,( 2

1222

122

zyx

yxz

yx

y

yx

xzyxdivF 2

12

11),,(

222222

CAMPO ROTACIONAL

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Definición. Sea F un campo vectorial dado por Donde tienen derivadas parciales continuas en alguna R. El rotacional del campo F está dado por:

Para recordar mejor el vector del rotacional de F, se puede considerar el desarrollo del siguiente determinante

Prop. #1

Prop. #2

Prop. #3

Problema Propuesto. Larson, Calculo 2.Sección 15.1, Campos Vectoriales, página 1067. Problema 49 y 50.Calcular la rotacional del campo vectorial en el punto dado.

49. ; Punto (2, 1, 3)Solución:

=

=

=

50. ; Punto (2, -1, 3)Solución:

=