1

PROBLEMARIO DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER.

1. Sean iz 21

, iz 542

, iz 233

y iz 314

. Realice las siguientes

operaciones empleando la representación cartesiana.

a) 321

zzz b) ))((4321

zzzz c)

32

41Rezz

zz d)

1

41

32

zz

zz

e)

13

2

2

)31(Im

ziz

zi f)

21

3

4 ImRe zziz

z

h)

4321zzzz

2. Calcule las siguientes operaciones.

a) 𝑖2015 b) 𝑖1000000 c) (𝑖85 + 𝑖−28)(𝑖64 + 𝑖−37) d) 𝑖117+𝑖−73

𝑖60−𝑖−129

3. a) Si 𝑧 = −1

2+

√5

2𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧2 = 0 y

1

𝑧= 𝑧2.

b) Para 𝑧 = −1

2+

√3

2𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧2 = 𝑧̅, 𝑧3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧3002.

4. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖) sea:

a) un imaginario puro b) un real

5. Determine el valor de 𝑥:

a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.

b) para que 𝑥+2+𝑥𝑖

𝑥+𝑖 sea imaginario puro.

6. Si 𝑧 =1+𝑥𝑖

𝑥+𝑖 pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.

7. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es

un número imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.

8. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, pruebe las siguientes relaciones.

a) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2) b) |1 + 𝑧�̅�|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 + |𝑧𝑤|)2 − (|𝑧|2 + |𝑤|2)

2

9. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado. a) iizi 4)2()23( b) ziiizi )2()56()3()21(

c) 0)6()21()52()34( iziizi d) iizi

izi21

)38()4(

)52()37(

10. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese

el resultado en la forma cartesiana. Sean iwizibia 7 ,56 ,31 ,23 .

a) 45ba b)

bw

az c)

1

4

3

z

w d)

45

34

ba

zw e)

43

24

zb

wa

11. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos 𝜋

3 y la suma de sus módulos sea 8.

12. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido

por el otro es 1

2, encuentre dichos números.

13. Emplear el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.

a) cos3cos3cos23

sen

32

cos33 sensensen

b) 4224

cos6cos4cos sensen

cos4 cos4433

sensensen

14. Si sin 𝜃 =1

2, 0 < 𝜃 <

𝜋

2, aplique los resultados del ejercicio 13 para hallar los

valores de:

a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃 b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃

15. Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula z

zzzzz

n

n

1

11

1

32 . (Ésta

fórmula fue hallada por vez primera por un niño alemán en el siglo XVIII). 16. Aplique la fórmula del ejercicio 15 y el teorema de De Moivre para probar que:

21

21

21

2

)(cos3cos2coscos1

sen

nsensenn

3

21

21

21

2

)cos(cos 32

sen

nnsensensensen

Sugerencia: haga isenz cos 17. Calcule las raíces mostradas a continuación.

a) 6 1 b) 4 i c) 5 32 d) 7 68 i e) √3+3𝑖

−3+3𝑖

3 f) √

𝑖35−𝑖18

1+𝑖

4

18. Si k

z es una raíz enésima de la unidad, diferente a la unidad misma, es decir,

1k

z , probar que se cumple 01132

n

kkkkzzzz

Sugerencia: use la fórmula del ejercicio 15.

19. Si 𝑧0, 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛−1 son las raíces n-ésimas de la unidad pruebe que su producto es igual a 1 o -1.

20. Pruebe que:

a) (1+cos 𝜃+𝑖 sen 𝜃

1+cos 𝜃−𝑖 sen 𝜃)

𝑛

= 𝑒𝑖𝑛𝜃, 𝑛 ∈ ℕ

b) Si 𝑧 +1

𝑧= 2 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ℂ, entonces 𝑧𝑛 +

1

𝑧𝑛 = 2 cos 𝑛𝑡 , 𝑛 ∈ ℕ.

21. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ son raíces sextas de 1, pruebe que también son raíces sextas de 1:

a) 𝑧𝑤 b) 𝑧

𝑤 c) 𝑧2 d)

𝑧3

𝑤3

22. a) ¿Pueden ser 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖, 𝑧3 = −1 − 2𝑖, 𝑧4 = 1 − 2𝑖 las raíces de un número complejo? Justifique su respuesta.

b) Si la ecuación 2𝑧3 − 5𝑧2 + 16𝑧 − 1 = 0 tiene tres raíces distintas entre sí, ¿pueden ser imaginarias las tres? Justifique su respuesta.

23. Halle las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 0232

zz b) 01032

izz

c) 0)1(22

iziz d) 0)1(22

iziiz

4

24. Considere la ecuación 𝑧4 − 4𝑧3 + 7𝑧2 − 8𝑧 + 10 = 0. Se sabe que √2𝑖 𝑦 2 − 𝑖 son dos raíces de ella, halle las otras dos.

25. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Si 𝑧3 = 𝑖𝑧, calcule el valor de 𝑧. 26. Para las siguientes funciones determine u(x,y), v(x,y).

a) )47()2()( izizf b) )23()( izzzf

c) zzzzf 23

)( d) zizizf )2()1()(2

e) iz

zzf

)( f)

4)(

2

z

zzf

g) iz

izzf

2

2

)( h) iz

izzzf

2

)3)(2()(

27. Halle ),(),,( rvru para las funciones mostradas a continuación.

a) 23)( zzzf b)

2

21

)(z

zzf

c) iz

izzf

3

2)(

d) )()( izzzf

28. Expresar las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.

a) )()()( yxiyxzf b) ixyyxzf 22

)(

c) )2()2()(22

yxyixyxzf d) )1()1()(2222 yxiyxzf

e) iyx

yxzf

22

)( f) x

yi

y

xzf )(

29. Determine el mapeo de las rectas x = cte., y = cte., y = 2x + c, con c = cte.

considerando las funciones:

a) 4)3()( zizf b) izizf 1)2()(

5

c) ii

zzf

21

1

21)(

d) z

i

izf

1

1)(

30. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Represente gráficamente los siguientes conjuntos.

a) −1 ≤ 𝐼𝑚(𝑍) ≤ 1 b) 0 < 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 4 c) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 𝐼𝑚(𝑧)

c) |𝑧| ≤ 3 d) |𝑧 − 1| + |𝑧 + 𝑖| ≤ 2 e) {−3 < 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 1−2 ≤ 𝐼𝑚(𝑧) < 3

31. Sea izzS 32 . ¿Cuáles de los siguientes puntos son puntos interiores,

exteriores y frontera de dicho con junto? a) z = 1 + 3i b) z = 2 +i c) z = (7 + i)/2 d) z = 4 – 3i d) z = (-1 + i)/2 e) z = (3 – I)/2 32. Clasifique los conjuntos mostrados a continuación en: a) abiertos o cerrados,

b) conexos o no conexos.

a) 2i-z zA b) 423 iizzB

c) 43i-2z o 232 izzC d) 22i-4-3z o 332 izzD

33. Calcule el valor de los siguientes límites, si es que existen.

a) izziiz

3)23(2

3lim b)

iizz

iziiz

iz

1

4)2(2

2

23lim

c) izz

iizz

iz

3

3

2

1lim d)

16

324

5

2lim

z

iz

iz

e) izziz

iizziz

iz 23)23(

642)23(23

23

23lim

f) izizizz

iziziziiz

iz 33)21(33

1)1()32()2(234

234

1lim

g) )23(2)2(

4)23(2

2

limizzi

ziiz

z

h) izizz

izizzi

z

3)1(2

212)31(234

23

lim

6

34. Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto señalado.

a)

ii

iziziz

iziz

zf

z , 22

3

, )1(

2)2(

)(

2

2

b)

i1z para i-3z

2i-2z

1z para 22)22()1(

)1(3)4(

)(

2

2

iizizi

iziiz

zf

35. Halle cuáles de las funciones mostradas a continuación satisfacen las

ecuaciones de Cauchy-Riemann.

a) zzzf 3)(2 b) 2

2)( ixyxzf c) z

zzf )(

d) senhyisenxyxzf coshcos)( e) 2222

)(yx

yi

yx

xzf

f) )arctan()ln()(22

2

1

x

yiyxzf g) xyisenxy

yxzf e 22cos)(

22

h) xysenhyxixyyxsenzf 2cos2cosh)(2222

i) )2(ln2cos)(22

senrirrzf j) r

seni

rzf

cos)(

7

36. Pruebe que la función u(x,y) es armónica en algún dominio y encuentre una armónica conjugada v(x,y).

a) )1(2),( yxyxu b) 2332),( xyxxyxu c) senxsenhyyxu ),(

d) yxyxu e cos),( e) xyyxu 2),( f) senyxyxyxu e22

),(

g) 22

),(yx

yyxu

h) )ln(),(

22

2

1 yxyxu i) xyyxyxu e 2cos),(

22

37. Calcule el valor de las siguientes expresiones.

a) ei

3

1

b) ei 43

c) ei

i 1

2

38. Halle la solución de las siguientes ecuaciones.

a) iez

43 b) 112

ez

c) iez

31 d) 1eiz

39. Pruebe que si eeizzi sí y sólo si nnz para un número entero.

40. Pruebe las siguientes relaciones que involucran funciones trigonométricas

complejas. a) senhyxseniyxz coshcoscos b) isenhyiysen )(

c) yiy cosh)cos( d) ysenhxz222

coscos

e) 212121

coscos)cos( senzsenzzzzz f) zsenzz22

cos2cos

g) zz22

csccot1 41. Halle la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1senz b) iz 2cos c) 0cos z d) isenz 23

8

42. Pruebe las siguientes relaciones para funciones hiperbólicas complejas.

a) 212121

coshcosh)cosh( senhzsenhzzzzz b) ziz cos)cosh(

c) )cos(cosh izz d) isenhxsenyyxz coscoshcosh

e) yxsenhz222

coscosh f) zsenhzz22

cosh2cosh

43. Determine la solución de las ecuaciones mostradas a continuación. a) isenhz b) 1cosh z c) iz 1cosh d) isenhz 4

44. Calcule el valor de las expresiones siguientes.

a) )( eiLog b) )1( iLog c) ilog d) )1log( i e) )3log( ei

45. Pruebe que )1(2)1(2

iLogiLog pero que )1(2)1(2

iLogiLog

46. Si 0)Re(1z y 0)Re(

2z demuestre que )()()(

2121zLogzLogzzLog

47. Halle el valor de las siguientes potencias.

a) ii)2( b) i

i c) ii

4)1(

48. Deduzca las siguientes fórmulas.

a) 1logcos21

zziz b) iz

zi

ziiz

,log

2tan

1

49. Halle el valor de las expresiones siguientes.

a) )2(tan1

i b) )1(cos

1

c) )1(cos1

i d) )(

1isen

9

50. Pruebe que izz

zdz

d

,

1

1tan

2

1 .

51. Deduzca las siguientes fórmulas.

a) 1logcosh21

zzz b) 1,

1

1log

2

1tanh

1

z

z

zz

52. Halle el valor de las expresiones siguientes.

a) )21(tanh1

i b) )1(cosh

1i

c) )3(cosh1

i d) )2(

1isenh

53. Pruebe que 1,1

1tanh

2

1

z

zz

dz

d.

54. Aplique la regla de L´Hopital para hallar el valor de los siguientes límites.

a) z

zsenzz

z

coslim

0

b)

z

z

z

2

coslim

2

c) 2

2

0lim

z

zsen

z

d) 2

4

0 2cos2lim

zz

z

z

55. Calcule la integral de línea de la función z

zzf

2)(

donde C es el contorno:

a) el semicírculo ,0,2)( tetzit , b) el círculo 2,0,2)( tetz

it .

56. Halle el valor de la integral de línea para la función e )( zzf y C es el

contorno del cuadrado con vértices en los puntos 0, 1, 1+i e i, orientado en el sentido positivo (sentido contrario a las manecillas del reloj).

57. Sea C el círculo Rzz 0

, recorrido en el sentido positivo. Usar la

representación paramétrica ,,0

titRzz e para obtener los

siguientes resultados

a) i

Czz

dz2

0

b)

C

ndzzzn ,3,2,1con 0)(

1

0

c) )(2

)(1

0a

C

sena

Ridzzz

a

a

donde a es cualquier número real distinto de

cero y donde se toman la rama principal del integrando y el valor principal de a

R .

10

58. Determine el valor de la integral de línea de la función izzzf 412)(2 donde

C es la parábola descrita por 1,0,3)(,2)(2

tttyttx .

59. Si C es el contorno del triángulo cuyos vértices son los puntos: 2+2i, -i y –2+2i,

halle el valor de la integral de línea de la función z

zf1

)( a lo largo de C.

60. Calcule C

dzsenz , donde C es el contorno descrito por ,0, titz .

61. Halle el valor de las siguientes integrales definidas.

a)

i

i

dzsenz

2

1

b)

2

11

cosh

i

dzz c) 2

i

i

dzze d) dz

zi

2

02

cos

62. Sabiendo que

bia

xbia

dxxbia e

e)(

)(,donde se ha omitido la constante de

integración, pruebe que:

a)

22

)cos(cos

ba

bsenbxbxaax

bxdxax ee

b)

22

)cos(

ba

bxbasenbxax

senbxdxax ee

En los siguientes problemas aplique las fórmulas integrales de Cauchy o el teorema de

Cauchy-Goursat para calcular el valor de las integrales de línea de las funciones indicadas

con el contorno señalado. Considere que los contornos están recorridos en el sentido

positivo.

63. 4

1)(

2

z

zzf , donde C es la circunferencia 5z .

64. 4

12)(

2

z

zzf , C es la semicircunferencia superior de radio 1 con centro en el

origen y el segmento de recta que une los puntos z = -1 y z = 1.

11

65. ziz

z

zfe

cos)()(

, C es la circunferencia 1 iz .

66. iz

z

zfe

2

)(

, C es el cuadrado de lado dos con centro en el origen.

67. 25

)(2

z

zsenzzf , donde C es la circunferencia 4z .

68. 3

2

)(z

z

zfe

, es la circunferencia con centro en el origen y radio uno.

69. 2

2cos)(

z

zzf , C es cualquier contorno cerrado que contenga al origen.

70. 3

)(z

senzzf , C es el mismo contorno del problema 65.

71. 4

2

)1(

1)(

z

zzf , C es la circunferencia 4z .

72. 2

)(2

zz

zzf , C es |𝑧| =

3

2

73. 3

)(

)cos()(

z

ezf

z

, C es la circunferencia z .

74. )2)(1(

)cos()()(

22

zz

zzsenzf

, C es la circunferencia de radio tres con centro en el

origen.

75. 22

)1()(

z

zt

zfe , C es la circunferencia 3z y 0t .

76. Para los siguientes ejercicios halle la serie de Laurent de la función en la

región señalada.

a) z0 para cosh

)(2

z

zzf b) z0 para

1 )(

3

zsenhzzf

12

c)

z1 ii) 10 i) :para )1(

1)(

2z

zzzf

d) 211 iii) 11-z0 ii) 10 i) :para 1

)(2

zzzz

zf

e) z0 para 1

)(z

senzsenzf f) 11-z0 para 1

1

1)(

zsen

zzf .

77. Halle el desarrollo en serie de Laurent para la función

1y real númeroun es donde , para 1

)(

aazaaz

zf . A continuación

escriba iez para obtener las siguientes fórmulas.

2

2

1 cos21

coscos

aa

aana

n

n

2

1 cos21

aa

asennsena

n

n

78. Para las siguientes funciones encuentre y clasifique sus singularidades.

a) zz

zzf

3)( b)

z

zzf

tan)( c)

zzzf

1cos)(

3 d)

3

1cos)(

z

zzf

79. Aplique el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales.

Considere el contorno orientado positivamente.

a)

C

dzz

z

12

3

donde 2 : zC b)

C

dzzz

senz23

)( para 2 : zC

c)

Czz

dzm

)1(2

donde 2

1: izC y m un entero no negativo.

d) C

zdztan para 1: zC e)

C

dzzz

z

)9)(1(

232

3

donde 4: zC

f)

C

dzzz

z

)1(

cos2

para 2: zC g)

Czzz

izz

65

32323

2

donde 4: zC

13

80. Si 8: zC , orientada en el sentido positivo y siendo t un número, probar que

ttdz

Csenhz

zt

i

e 2cos2 cos21

2

1

En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para calcular el valor de las

integrales definidas señaladas.

81.

0cos45

d 82.

2

0

21 sen

d 83. 1con

)cos(0

2

a

a

d

84. 1con cos21

2

0

2

a

aa

d

85.

0

6 dsen 86.

2

0

6 cos d

En los siguientes ejercicios aplique el teorema del residuo para hallar el valor de las integrales impropias indicadas.

87.

0

21x

dx 88.

32)1(x

dx 89.

0

22

2

)4)(1( xx

dxx

90.

0

222

2

0acon )( ax

dxx 91.

86

)2(24

2

xx

dxx

En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para determinar el valor de las integrales impropias que involucran funciones seno y coseno.

92.

1

cos2

x

xdx 93.

0

216

x

dxsenxx 94.

0

22)4)(1(

cos

xx

dxx

14

95.

22

3

)1(

x

dxsenxx 96. 0ba,con

)(

cos

0

222

bx

axdx

Aplique el método apropiado para evaluar las siguientes integrales impropias cuyos polos están sobre el eje real.

97. dxx

x

14

cos2

98.

dxx

xsen2

2

99. 0ba,con coscos

0

2

dxx

bxax

100.

dxxx

senx

542

101. 0bcon )(

cos22

dxbax

ax

ANÁLISIS DE FOURIER

Halle la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo 2 que a continuación se

indican.

102.

t0 si 2

0t- si 1)(tf 103. t- para )( senhttf

104.

t- para )(e

t

tf 105.

t0 si 2

0- si 0)(

sent

ttf

106. La gráfica de la función periódica es:

15

107. La gráfica de la función es:

108. a) tttf - para )(2 , b) Con la serie de Fourier obtenida en el

inciso a) y haciendo t , pruebe que

1

2

26

1

n n

.

Determine la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo T que a continuación

se indican.

109. t0 1

0- 1)(

2

2

T

T

ttf 110.

2

T

2

T

t0 4

1

- 4

1

)(

T

t

otT

t

tf

111.

2

T0

2

T

t0

0- 0)(

tsen

ttf

112.

22 1)( TT tttf

113. 1t1- 2)(2

1 ettf 114. 3t3- cosh)( ttf

16

115. La gráfica de la función es:

116. La gráfica de la función es:

117. Empleando el resultado del problema 93 y el teorema de Parseval pruebe que

se cumple

0

2

28)12(

1

n n

.

.