Proyecto de Clculo Diferencial

Tema: Razn de Cambio del Agua en una piscina trapezoidal

II Trmino 2012

1. Introduccin

Nuestro proyecto consiste en calcular la razn de cambio de la altura con respecto al tiempo con el que sube el nivel de agua en una piscina trapezoidal. Estos lo calculamos mediante la aplicacin de las derivadas, y lo comprobaremos experimentalmente mediante el uso de una maqueta a escala que simule el problema que estamos resolviendo.

2. Objetivos

Analizar el comportamiento del agua al llenar la piscina. Calcular analticamente mediante el uso de las derivadas la razn de cambio de la altura con respecto al tiempo con el que se llena una piscina trapezoidal. Hacer uso de lo aprendido en clases para resolver problemas de la vida real.

3. Marco Terico

Comenzando por laRazn Instantnea de Cambiode una funcin cuya variable independiente es el tiempot. suponiendo queQes una cantidad que vara con respecto del tiempot,escribiendoQ=f(t),siendo el valor deQen el instantet.Por ejemplo1. La cantidad de dinero en una cuenta en un banco1. El volumen de un cuerpo geomtrica mientras se llena.1. La distanciatrecorrida en un viaje despus del comienzo de un viajeEl cambio enQdesde el tiempothasta el tiempot+"t,es el incrementoLaRazn de Cambio PromediodeQ(por la unidad de tiempo) es, por definicin, la razn de cambio"QenQcon respecto del cambio"tent,por lo que es el cocienteDefinimos larazn de cambio instantneadeQ(por unidad de tiempo) como el lmite de esta razn promedio cuando "t!0.Es decir, la razn de cambio instantnea deQes

Lo cual simplemente es la derivadaf(t).As vemos que la razn de cambio instantnea deQ=f(t)es la derivada

La interpretacin intuitiva de la razn de cambio instantnea, pensamos que el puntoP(t,f(t))se mueve a lo largo de la grfica de la funcinQ=f(t).CuandoQcambia con el tiempot,el puntoPse mueve a lo largo da la curva. Pero si sbitamente, en el instantet,el puntoPcomienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria dePcorresponde queQcambia a una razn constante.Tambin como conclusin tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva sta es ascendente y si le pendiente es negativa sta es descendente, asQes creciente en el instantetsi

Qes decreciente en el instantetsi

La derivada de cualquier funcin, no solamente una funcin del tiempo, puede interpretarse como una razn de cambio instantnea con respecto de la variable independiente. Siy=f(x),entonces la razn de cambio promedio de y (por un cambio unitario enx) en el intervalo [x,x+x`] es el cociente.La razn de cambio instantnea deycon respecto dexes el lmite, cuando x->0, de la razn de cambio promedio. En general, en una relacin funcionaly=f(x), la razn de cambio de la variable dependienteyrespecto a la independientexse calcula mediante un proceso de lmite --de la razn[f(x+t)f(x)]/t, denominada cociente diferencial.En sentido estricto entonces, la razn de cambio es el lmite del cociente diferencial cuandottiende a cero. De esta manera, la razn de cambio es la interpretacin fundamental de la derivada de una funcin.EjemploEn la funcin linealf(x)=mx+b, no es necesario tomar el lmite puesf(x+t)f(x)=mx+mt+bmxb=mty la t se cancela en la razn[f(x+t)f(x)]/tsin necesidad de pasar al lmite.Ntese quemes la pendiente de la rectaf(x)=mx+b. Y es la razn de cambio de la alturay(variable dependiente) respecto a lax(variable independiente. Vindolo grficamente, es el cambio en la alturaypor unidad de cambio (aumento) en lax.

En matemticas escolares la razn de cambio ms usada es la velocidad:v=d/t(distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razn de cambio ejemplar o prototipo. Por analoga, se le llama "velocidad" a una razn de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporcin inversa.

4. Clculos Experimentales

Problema:1. Se bombea agua a una razn constante de 1lt/min (1 litro=1000cm3) a una piscina cuya parte ms profunda es un trapecio regular donde la base mayor es de 24cm, la base menor es de 12cm y la altura del trapecio es de 7cm; la parte menos profunda se asemeja a un paraleleppedo de longitud 40cm ancho 20cm y de altura 8cm (Ver figura adjunta). A qu nivel se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del lquido es: a) 5cm; b)10cm.

Dibujo de la piscina

=16cm3/s0

Ventra Vsale=ValmacenadoVentra =ValmacenadoValmacenado =Vpisc=V1+V2Volumen del prisma de base trapezoidalbBABh7 cm

a) 0