1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE COAHUILA

SECRETARIA ACADÉMICA

SUBDIRECCIÓN DE DESARROLLO ACADÉMICO

MATERIAL DEL PROFESOR

MANUAL PARA EL DESARROLLO DE

HABILIDADES DE RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

AGOSTO 2015

Academia de Matemáticas

DIRECTORIO

RECTOR

ING. JESUS CONTRERAS GARCIA

SECRETARIO ACADEMICO

ING. JOSE ARTURO HERNANDEZ GARCIA

SUBDIRECTOR DE DESARROLLO ACADEMICO

LIC.MARIANO NAJERA HERNANDEZ

COLABORADORES: LIC. FELIPE BOCANEGRA MOYEDA M.A OLGA MARISELA HERNANDEZ

CONTENIDO

PRESENTACIÓN

1. Justificación………………………………………………………………………….1 2. Objetivo……………………………………………………………………………….2

3. Dinámica de integración grupal……………………………………………….…3 3.1 A elección del profesor 4. Capacidades para el aprendizaje de las Matemáticas……………………...10 4.1 Ejercicios de capacidades para el aprendizaje de las Matemáticas 5.- Razonamiento formal…………………………………………………………….25 5.1 Ejercicios de razonamiento formal

PRESENTACIÓN

En 1991 surge en nuestro país el modelo de Universidades Tecnológicas y desde su inicio se caracterizó por ofrecer a los jóvenes egresados de bachillerato una nueva alternativa de Educación Superior en tan solo dos años. Con la finalidad de ampliar nuestra oferta educativa y profesionalizar a nuestros egresados, en 2009 la Coordinación General de Universidades Tecnológicas pone en marcha el Programa de Continuidad de Estudios, el cual, brinda a los jóvenes egresados del nivel de Técnico Superior Universitario la oportunidad de obtener el título de licenciatura en tan solo cinco cuatrimestres más posteriores a un año de experiencia laboral en alguna área de su especialidad.

Las carreras que ofrecemos preparan a los profesionistas capacitados y calificados que la industria del entorno requiere, a esto le podemos incluir la pertinencia de nuestros Programas Educativos que se orientan de manera constante a satisfacer las necesidades que tiene la industria de profesionistas calificados.

Nuestra Certificación en la Norma ISO 9001:2000, nos compromete con la comunidad a ofrecer una educación de calidad, reconocida nacional e internacionalmente; a contar con personal capacitado en constante proceso de actualización y superación, y a mantenernos en un proceso de mejora continua de los diversos servicios que prestamos a la comunidad.

El propósito de este curso de razonamiento matemático, es ayudarte en tu incorporación a la Universidad Tecnológica de Coahuila, especialmente rescatar o fortalecer tus habilidades y destrezas en las asignaturas relacionadas con las ciencias Físico – Matemáticas. En este curso encontrarás algunas recomendaciones importantes que puedes implementar a tus estudios, claro que siempre será con la guía de un profesor, quien te ayudará a resolver gradualmente los ejercicios, esto te ayudará a poner a prueba tus capacidades y habilidades. Cada ejercicio identifica tus habilidades para la solución de problemas a partir del análisis de situaciones cotidianas. La solución de problemas matemáticos, el dominio y comprensión del lenguaje escrito, te ayudará con éxito a cursar aspectos indispensables en tus estudios profesionales y te ayudarán en dos áreas del conocimiento que son: Capacidades para el aprendizaje de las matemáticas y Razonamiento formal. Es importante señalar que tendrás permanentemente la ayuda del profesor.

Por último, los resultados del curso, permitirán a los profesores hacer un diagnóstico sobres tus habilidades y destrezas así como a la implementación de acciones, encaminadas a apoyarte en los aspectos que requieras. Recibe la más cordial bienvenida a la Universidad Tecnológica de Coahuila.

ING. JESUS CONTRERAS GARCIA RECTOR

1. JUSTIFICACIÓN

En la visión de la educación media superior para el 2025, propuesta en el Programa Nacional de Educación 2001-2006, se plantea la necesidad de una “formación de buena calidad, basada en los desarrollos del conocimiento…. mediante la conformación de sistemas integrados y coordinados. Esta educación desarrollará en el alumno habilidades de investigación, de comunicación y de pensamiento que enriquecerán su capacidad para tomar decisiones responsables y resolver problemas de acuerdo con las necesidades del desarrollo sustentable. Por tal motivo, “los planes y programas de estudio serán flexibles, permitirán la movilidad de estudiantes entre ellos y se actualizarán periódicamente…. En conocimientos y competencias” De este modo, los resultados de tal propuesta educativa concluyeron en la realización de la Reforma Curricular del bachillerato Tecnológico sustentada por el Modelo de la EMST; marco en el que se crearon conjuntamente los nuevos programas de estudio. Del mismo modo, el proceso de evaluación, así como los materiales de apoyo para los procesos de enseñanza y aprendizaje, deberán ser congruentes con las nuevas orientaciones pedagógicas. A partir de estas orientaciones, se considera al aprendizaje como un proceso integral, cognitivo, sensorial, etc., marcado por un sin número de características que pueden variar de un individuo a otro, lo cual hace la diferencia en la manera como aprende cada individuo y sobre qué es lo que necesita aprender, por lo que una tarea fundamental del docente es, coordinar la creación de escenarios adecuados a las características de aprendizaje de los estudiantes; es decir centrar su enseñanza en el aprendizaje. La estructura de la guía la conforman la habilidad verbal, las capacidades para el aprendizaje de las matemáticas y el razonamiento formal.

2. OBJETIVO

Proveer de información a los aspirantes a ingresar a los planteles de Educación Media Superior Tecnológica de la Subsecretaria de Educación Media Superior, con el propósito de desarrollar habilidades y capacidades de aprendizaje como Habilidad verbal, Capacidades para el aprendizaje de las Matemáticas y Razonamiento formal.

UN DIBUJO SOBRE MI EQUIPO

OBJETIVO:

l. Propiciar la búsqueda de la empatía a través de los dibujos.

II. Permitir tratar de comprender a los demás en forma no verbal.

III. Permitir interiorizar los sentimientos de los demás.

TAMAÑO DE GRUPO:

Veinte participantes.

TIEMPO REQUERIDO:

Una hora.

MATERIAL:

l. Hojas blancas para cada participante.

II. Lápices negros y de colores.

LUGAR:

Un Salón amplio.

DESARROLLO:

l. Se solicita a los participantes que en forma gráfica (sin palabras escritas) representen en la hoja cualquiera de estos conceptos, de acuerdo a las necesidades del grupo:

a) Necesidades del grupo.

b) Mi vida pasada.

c) Qué siento de mis compañeros.

d) Mi presente.

e) Lo que pienso sobre algún aspecto relacionado con el grupo.

f) Mi futuro.

II. Se permite que realicen el dibujo durante 30 minutos, se presentan al grupo y se solicitan sus comentarios sobre los dibujos y los autores.

III. Se obtienen conclusiones y se analiza el proceso en sesión plenaria.

LOS PERSONAJES CÉLEBRES

OBJETIVO:

l. Permitir que el participante se descubra a sí mismo.

II. Ayudar a la retroalimentación individual y de grupo.

TAMAÑO DE GRUPO:

Treinta participantes.

TIEMPO REQUERIDO:

Cuarenta y cinco minutos.

MATERIAL:

l. Hojas de papel y lápiz para cada participante.

II. Rotafolio o pizarrón.

LUGAR:

Salón amplio y bien iluminado.

DESARROLLO:

l. El instructor forma los equipos, mínimo cuatro equipos.

II. Cada equipo escoge dos personajes miembros de su equipo de trabajo.

III. El primer equipo se dirige al otro que elija la fórmula; una pregunta relativa al personaje del interrogado. La pregunta deberá siempre formularse en forma de provocar una contestación que sea sí o no. O eventualmente si y no, si la respuesta es dudosa.

IV. Los equipos anotan la respuesta-informe y se sirven de la misma para intentar identificar parcialmente al personaje.

V. Después el segundo equipo hace lo mismo, es decir, interroga al equipo que elija y le formula un mismo tipo de pregunta.

VI. Cuando un equipo cree haber descubierto uno de los personajes puede realizar un intento y dar un nombre. Pero no podrá efectuar esta operación hasta que le llegue el turno de formular una pregunta. Además, para adivinar será necesariamente obligatorio que la contestación recibida sea sí.

VIl. Si se describe la identidad del personaje, el equipo que adivine correctamente gana cinco puntos. Si por el contrario se equivoca, pierde dos puntos. Se tiene derecho a un solo intento y por consiguiente si se fracasa, habrá que aguardar al turno siguiente para realizar una segunda tentativa.

VIII. De salida, cada equipo posee diez puntos. Los puntos se van anotando en el rotafolio.

IX. Cuando el personaje del equipo ha sido descubierto, éste introduce en el juego al segundo. Además elige inmediatamente un nuevo personaje, que mantiene en reserva para el caso de que el segundo sea asimismo descubierto.

X. Dentro de cada equipo será conveniente estructurar una cierta organización: cada miembro anota en especial las contestaciones de un equipo determinado y confronta los distintos elementos.

XII. Al final del ejercicio el instructor propicia la retroalimentación individual y grupal. Haciendo un análisis del proceso.

ACENTUAR LO POSITIVO

OBJETIVO:

Lograr que las personas puedan derribar las barreras impuestas por ellas mismas debido a que no les permiten tener un buen concepto propio; mejorar la imagen de ellas mismas mediante el intercambio de comentarios y cualidades personales.

TAMAÑO DE GRUPO:

20 participantes.

TIEMPO REQUERIDO:

10 minutos.

MATERIAL:

Ninguno.

LUGAR:

Un salón amplio que permita a los participantes estar sentados y comentar.

DESARROLLO:

I. Muchos hemos crecido con la idea de que no es “correcto” el autoelogio o, para el caso, elogiar a otros. Con este ejercicio se intenta cambiar esa actitud al hacer que equipos de dos personas compartan algunas cualidades personales entre sí. En este ejercicio, cada persona le da a su compañero la respuesta a una, dos o las tres dimensiones siguientes sugeridas:

Dos atributos físicos que me agradan de mí mismo.

Dos cualidades de personalidad que me agradan de mí mismo.

Una capacidad o pericia que me agradan de mí mismo.

II. Explique que cada comentario debe ser positivo. No se permiten comentarios negativos. (Dado que la mayor parte de las personas no ha experimentado este encuentro positivo, quizá necesiten un ligero empujón de parte de usted para que puedan iniciar el ejercicio).

III. Se les aplicará unas preguntas para su reflexión:

¿Cuántos de ustedes, al oír el trabajo asignado, se sonrió ligeramente, miró a su compañero y le dijo, “Tú primero”?

¿Fue difícil señalar una cualidad al iniciar el ejercicio?

¿Cómo considera ahora el ejercicio?

4.- CAPACIDADES PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Las Capacidades para el aprendizaje de las Matemáticas son las potencialidades individuales para realizar con éxito acciones intelectuales en el área de Matemáticas. Dichas capacidades se desarrollan gracias al aprendizaje y la influencia del medio, lo que permite aprender con mayor facilidad los contenidos relacionados con las matemáticas, como deducción de fórmulas matemáticas, establecimiento de conjuntos, resolución de ecuaciones, comprensión de las relaciones entre figuras geométricas, representación en un plano de objetos tridimensionales, comprensión de funciones, entre otras. En general, estas capacidades influyen en el aprendizaje de cualquier disciplina. Capacidad para la comprensión de los enunciados que se leen Se refiere a la capacidad para interpretar adecuadamente la información contenida en un texto escrito, incluso en el nivel de instrucciones o indicaciones. Su importancia estriba en la necesidad de que el alumno interprete adecuadamente la información contenida en los libros o apuntes, entienda definiciones, y a partir de ellas pueda decidir si un ente pertenece o no a un conjunto, o si determinado número o cierta figura plana cumple determinadas propiedades; capacidades que resultan imprescindibles para la formación y comprensión de conceptos matemáticos. Capacidad para establecer inferencias lógicas Se refiere a la capacidad para obtener conclusiones válidas a partir de premisas y proposiciones conocidas. Esta capacidad es de vital importancia para la comprensión de conceptos y la demostración de hechos matemáticos. Las inferencias lógicas representan la posibilidad de deducir conclusiones a partir de indicios y proposiciones conocidas. Capacidad de abstracción reflexiva. Se refiere a la capacidad para interiorizar conceptos que no son tangibles o concretos, como números, conjuntos de números, puntos, líneas, superficies, etc. Asimismo, permite llevar a cabo abstracciones con criterio lógico mediante la asociación de características, como forma, tamaño, color, posición, entre otras, en conjuntos o series de elementos numéricos o gráficos.

Capacidad para establecer relaciones. Representa la capacidad para establecer la correspondencia o conexión entre los elementos de conjuntos dados. Es de suma importancia en el estudio de razones y proporciones, funciones, sucesiones, así como para relacionar ángulos y lados de triángulos al estudiar Congruencia de figuras. Capacidad para comparar relaciones. Se trata de la capacidad para advertir diferencias y semejanzas en las relaciones que existen entre los elementos de conjuntos dados. Es muy importante para el aprendizaje de las matemáticas, sobre todo cuando se requiere relacionar –números, polígonos, ángulos-, y resulta fundamental en el estudio de relaciones y funciones. Capacidad para hacer generalizaciones. Constituye la capacidad para pasar de lo particular a lo general; esto es, extrapolar una propiedad de un conjunto menor a un conjunto mayor que contiene al anterior y en el que también se verifica la propiedad. Los procesos de generalización son fundamentales para la deducción de fórmulas matemáticas y para el paso de planteos y soluciones aritméticas a planteos y soluciones algebraicas. Capacidad de simbolización. Es la capacidad para representar expresiones del lenguaje cotidiano por medio de signos convencionales; implica la facultad para traducir dichas expresiones al lenguaje simbólico y viceversa. Resulta de importancia capital cuando se trata de resolver problemas, pues permite al estudiante plantear modelos simbólicos de situaciones reales. Capacidad de imaginación. Se refiere a la capacidad para representar mentalmente imágenes de objetos reales o ideales. Esta capacidad resulta muy importante en el aprendizaje de algunos temas de matemáticas, como por ejemplo, al estudiar volúmenes y áreas de cuerpos geométricos y cuando se requiere representar objetos tridimensionales en un plano.

4.1. Ejercicios de capacidades para el aprendizaje de las matemáticas. Capacidad para la comprensión de los enunciados que se leen.

1. Escoge un número del 1 al 9 multiplícalo por 9. Ahora multiplica el valor que obtuviste por 1 2 3 4 5 6 7 9. Por último, divide ese resultado entre el número que obtuviste y encontrarás el resultado en las siguientes opciones.

A) 11111 B) 1111111111 C) 11111111111 D) 121312141 E) 12345679

2. Claudia no conoce el pueblo de Santa Clara donde vive su prima Rosita. Cuando decide visitarla, Rosita le envía un plano del pueblo con las siguientes indicaciones que la llevaría al lugar donde se debería encontrar. “Cuando bajes del autobús camina 4 cuadras al oeste, una al norte, una al este, tres al norte, tres al este, tres al sur, dos al oeste y por último una cuadra al norte”. ¿En qué lugar se van a encontrar Claudia y Rosita?

A) Escuela

B) Cementerio

C) Centro deportivo

D) Plaza municipal

E) Parque de diversiones.

Capacidad para establecer inferencias lógicas

Instrucciones: Lee cuidadosamente el siguiente ejercicio. Cuatro amigos se reúnen en una discoteca y consumen entre todos 16 refrescos. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿Cuántos refrescos debe pagar cada uno sabiendo que tres de ellos tomaron dos refrescos más que los otros?

1. Resuelve el ejercicio y explica tu estrategia

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Seis niños beben leche en un establo. En total bebieron 21 vasos. Si cada uno de ellos ha tomado distinto número de vasos ¿Cuántos vasos con leche ha bebido cada uno?

1. Resuelve el ejercicio y explica tu estrategia.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tenemos cuatro perros un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Este último corre más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo; pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato mantener?

1. Resuelve el ejercicio y explica tu estrategia

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de estas, otras cuatro aun menores. ¿Cuántas cajas hay en total?

1. Resuelve y explica tu estrategia

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capacidad para abstracciones reflexivas. Instrucciones: Lee cuidadosamente el siguiente ejercicio, analiza los datos que se dan y escribe tu respuesta en los espacios indicados. Continúa cada una de las sucesiones según el criterio que te parezca más adecuado, escribiendo en la línea derecha tres de los términos consecutivos y anotando en la última columna el procedimiento que empleaste.

Sucesión Término siguiente Descripción del procedimiento

1. A, D, G, J: ________________ _______________________

2. 1, 7, 10, 13: ________________ ______________________

3. 20, 4, 0.8, 0.16 ________________ ______________________

4. 1, 3, 2, 4, 5: ________________ _______________________

5. 1, 3, 6, 10 ________________ ______________________

6. 1/1, 2/4, 3/8, 4/16: ________________ ______________________

7. 21, 20, 18, 15, 11: ________________ ______________________

8. 8, 6, 7, 5, 6, 4: ________________ ______________________

9. 1, 0.9, 0.81, 0.729: ________________ ______________________

10. 3968, 63, 8, 3: ________________ ______________________

11. 1, 1, 2, 3, 5: ________________ ______________________

12. 1, 0.9, 0.81, 0.829: ________________ ______________________

13. 65536, 256, 16: ________________ ______________________

Carolina está construyendo con palillos un modelo triangular plano empezando por la punta que forma con 3 palillos y agregando cada vez un nivel más como se muestra a continuación.

Ayuda a Carolina a planear la construcción de su modelo si, para continuar necesita saber.

a) ¿cuántos palillos necesita para construir cada nuevo nivel?

Nivel 1 2 3 4 5 6 10 25 N

No. De palillos 3 6

b) Determina cuántos palillos necesita para construir un modelo de:

Nivel 1 2 3 4 5 6 10 25 N

No. De palillos 3 9

De entre las cuatro opciones de la derecha elige la más apropiada para completar la figura de la izquierda.

Respuesta: _________________

Continúa la serie de figuras con la opción de la derecha que te parezca más razonable y explica por qué.

En cada ejercicio encuentra la relación que existe entre las letras y los números, y selecciona la opción que debe reemplazar al signo de interrogación. En cada caso explica tu respuesta.

Nota: La letra Ñ no está considerada en el alfabeto para la solución de estos ejercicios.

A.

B.

Capacidad para establecer relaciones. Instrucciones: Lee cuidadosamente el siguiente ejercicio, analiza los datos que se dan y escribe la respuesta en el espacio indicado justificando la misma. Analiza cada una de las siguientes sucesiones numéricas que se muestran a continuación y escribe sobre la línea de los dos números que continúen en dicha secuencia. Justifica tu respuesta y escribe de ser posible el modelo general que describa a los términos consecutivos.

a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ___, ____

b) 5, 10, 30, 120, 600, ___, ___

c) 2400, 1200, 400, ___, ___

d) 0, 3, 6, 9, 12, 15, ___, ___

Analiza las secuencias e identifica el dominó que sigue a la secuencia.

En cada uno de los siguientes casos, analiza la relación que existe entre cada secuencia de datos, escribe los dos términos siguientes y explica el razonamiento que te llevó a ese resultado.

A.

B.

Analiza la siguiente figura.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro del área sombreada?

A) 4а2 B) 3/4 a2 C) 2ª +√ 2 a D) (2 + √ 2) a E) 2a ² + 2ª

Observa la siguiente figura.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área sombreada de esta?

A) r B) ½

C) r2 D) ½ r

2

Capacidad para comparar relaciones

El diagrama que representa la relación entre los conceptos es: X: animales con alas. Y: insectos. Z: abejas.

Analiza la siguiente figura y determina cuál de las cinco opciones que se proponen no tienen la misma área sombreada.

El valor del área sombreada de la figura que se muestra es:

A) 7.16 cm² B) 12.8 cm² C) 14.4 cm² D) 32.16 cm² E) 33.76 cm²

Capacidad para hacer generalizaciones

1.- Considera las siguientes figuras, que representan a los denominados números triangulares. Analiza cómo están construidas.

Si un número triangular tiene dos puntos en su base. ¿De cuántos puntos estarán compuestos en total?

A) n

B) 3n

C) 13 + 23 + 33 + …n3

D) 31 + 32 + 33 + …3n

E) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

2.- Para realizar un experimento, en el que se requiere una preparación de agua con el alcohol a diferentes concentraciones, se tiene alcohol puro y agua pura para ello. La preparación se inicia con una cierta cantidad de probetas con 90 ml de agua pura que han sido numeradas del 1 en delante. A la probeta 1 se le agregan 10 ml de alcohol. De ahí se toman 10 ml de la preparación y se agregan a la probeta 2. De donde se toman también 10 ml de preparación que son agregados a la probeta 3. Esta operación se repite. Haciendo el traspaso de 10 ml de la mezcla de una probeta a otra, siguiendo el orden en el que están numeradas. ¿Cuál será la expresión que sirva para determinar la concentración de alcohol en cada una de las probetas? A) 10n

B) 90 + 10n

C) 10/90

D) 1/9 n

E) 1/10n

3.- Considerando los siguientes triángulos semejantes. ¿Cuál será la expresión que tenga el área de la operación sombreada en términos de la base del triángulo pequeño?

A) b2

B) 63/32 b2

C) 25/12 b2

D) 75/8 b2

E) 3/2 b2

4.-Una pelota que se desea sacar a la ventana hecha de un material que hace que la pelota bote a su tamaño, como se observa en el siguiente cuadro

Radio Numero de rebotes 1 cm 7 2 cm 9 3 cm 13 4 cm 21

¿Cuántos rebotes tendrá una pelota de radio “r”? A) 7n

B) 7 + n

C) 7 + 2n-1

D) 5 + 2n

E) 5 + 2n-1

Capacidad para hacer simbolización Analiza la siguiente figura que representa el plano de una pieza que se ha de

maquinar. Si el peso por cm2 del material que se ha de usar es de 9 gr, ¿Cuál será

el peso en gramos de una pieza?

A) X y

B) X y - 3r

C) 9xy

D) 9xy - 18

E) 9xy -14

2.- En una tira metálica se requiere hacer cinco agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Cada agujero tiene un radio de r cm, el costo por gramo de material es de $5.00 y el peso por cm2 de material es de 2.5gr.

a. ¿De cuánto es el área de la tira metálica?

A) (6x) (2x)

B) (2x + 2r) (6x + 5r)

C) (x + r) (3x +5r)

D) (5r + 6x) (r + 2x)

b. ¿De cuánto es el área de la pieza maquinada?

A) (2x + 2r) (6x + 10r)

B) (2x + 2r) (6x + 10r)+ 5

C) (2x +2r) (6x + 10r) + 20

D) 4(x + r) (3 + 5r) - 5

E) 4(x + r) (3 + 5r) - 4

c. ¿Cuánto es el peso de la pieza maquinada?

A) 2.5 (2x + 2r) (6x + 10r)

B) 10(x + r) (3x + 5r) + 12.5

C) 10(x + r) (3x + 5r) + 50

D) 10(x + r) (3x + 5r) - 50

E) 10(x + r) (3x + 5r) – 12.5

d. ¿De cuánto es el costo de la pieza maquinada?

A) 2.5(x + r) (6x + 10r) – 62.5

B) 2.5(x + r) (6x + 10r) + 62.5

C) 50(x + 1) (3x + 5r) – 62.5

D) 50(x + r) (3x + 5r) +62.5

E) 50(x + r) (3x + 5r) – 62.5

Capacidad de imaginación

1. LA SIGUIENTE FIGURA MUESTRA UN CUBO DESDOBLADO

¿Cuál de los siguientes cubos NO se puede construir con el modelo del cubo

anterior?

2. En los tres ejercicios siguientes hay en la fila superior tres dados. En cada

una de las seis caras hay signos o figuras diferentes. Observa los dados

uno tras otro de izquierda a derecha. Por el cambio de posición de los

distintos signos deberás percibir en qué dirección da la vuelta el dado.

De la fila inferior, elige el inciso que corresponda al dado que complete la

fila superior.

RAZONAMIENTO FORMAL

El razonamiento formal es aquel con el que el sujeto es capaz de razonar

correctamente sobre proposiciones o hipótesis, las que le permiten aprender

los contenidos académicos para realizar abstracciones e inferencias. Así

mismo, es el acto intelectual que se realiza para apropiarse de las

características de un objeto, hecho o fenómeno, sin necesidad de que el objeto

este presente.

Quien haya desarrollado este razonamiento tendrá menos dificultades en el

aprendizaje de los contenidos de cualquier disciplina, específicamente aquellas

relacionadas con la física, biología, química, matemáticas y las ciencias

sociales. El razonamiento lógico está conformado por una serie de esquemas,

estructuras mentales que permiten incorporar experiencias y conocimientos

nuevos: a continuación se describe cada uno de los esquemas.

COMPENSACIÓN MULTIPLICATIVA.

Este esquema corresponde al concepto en el cual se fundamenta la

comprensión de que cuando hay dos o más dimensiones a considerar en un

problema, las ganancias o pérdidas en una de las dimensiones en lo que

pierde o gana en las otras. Un ejemplo es el concepto de conservación del

volumen. Al estudiar problemas sobre volumen se involucran tres dimensiones

(largo, ancho y espesor), por lo que la correcta solución de un problema de

conservación de volumen requiere compensaciones en términos de estas tres

dimensiones.

La posesión de este esquema es necesaria para que el maestro comprenda

problemas en materias como física, biología, química, matemáticas y las

ciencias sociales. En general permite al maestro hacerse preguntas como si

hago un cambio en una de las dimensiones, ¿Qué efecto tiene sobre las otras

dimensiones o sobre el sistema en general?

PENSAMIENTO CORRELACIONAL.

Concepto que implica la capacidad de un maestro para concluir si existe o no

una relación causal entre dos variables, positiva y negativa y para explicar los

casos minoritarios por inferencia de las variables fortuitas.

Poseer este tipo de pensamiento implica que el maestro comprenda, por

ejemplo, la relación entre las cantidades de luz que recibe una planta y su

crecimiento, entre la ingesta alimenticia y la talla y peso corporal y otros

fenómenos que involucran dos o más variables.

PENSAMIENTO PROBABILÍSTICO.

Concepto que implica la capacidad para descubrir la relación entre lo

comprobable y lo posible, para realizar un pronóstico sobre la factibilidad de

realización de un fenómeno donde interviene el azar.

Este pensamiento es importante para entender un curso de probabilidad e

inferencia estadística, pero también para predecir la ocurrencia de algún

acontecimiento. Por ejemplo la posible deserción de nuestros alumnos.

PENSAMIENTO COMBINACIONAL.

Concepto que permite al maestro generar el total de las posibilidades

combinacionales de un número dado de variables, acontecimientos o

situaciones en los cuales es preciso hacer un recuento de todas las

posibilidades.

La posesión de este tipo de pensamiento es necesaria para razonar acerca de

aspectos como colores en el arte, problemas de genética de Mendell, siendo

además fundamental en los procesos estadísticos y probabilísticos.

PENSAMIENTO PROPORCIONAL.

Este tipo de pensamiento corresponde al concepto matemático que implica la

capacidad para descubrir la igualdad entre dos razones que forman una

proporción.

La posesión de este tipo de pensamiento es indispensable para comprender el

tema de geometría, de algebra, de física y química y para elaborar modelos a

escala, así mismo, resulta muy útil para analogías y comprender metáforas.

FORMAS DE CONSERVACIÓN SIN VERIFICACIÓN DIRECTA.

Este esquema se refiere a la capacidad para deducir y verificar propiedades de

sistemas para observación de sus efectos y de este modo, inferir su existencia.

La posesión de este esquema es importante, por ejemplo, para la comprensión

del concepto de momento en física y en general necesario para comprender

cualquier fenómeno que al estudiarse no sea factible de ser observado

directamente.

EQUILIBRIO MECÁNICO.

Este esquema se refiere a la capacidad para realizar simultáneamente la

distinción y la coordinación de dos formas complementarias de reversibilidad

(la reciprocidad y la inversión), en otras palabras para compensar condiciones

y mantener o colocar un sistema en equilibrio. La posesión de este esquema

es necesaria para comprender, por ejemplo, problemas de hidráulica, pistones

y palancas, balanceo de ecuaciones químicas y planteo de ecuaciones

matemáticas, así como el estudio de sistemas económicos en equilibrio, entre

muchos otros.

Ejercicios de razonamiento formal

1. Se tiene una caja de base rectangular de las siguientes medidas: largo 7

cm., ancho 5 cm. y altura 4cm. Si se modifican las dimensiones de la caja

disminuyendo 3 cm. de largo y aumentando 2cm. de ancho ¿de cuánto

deberá ser la altura de la nueva caja para que ambas tengan el mismo

volumen?

2. ¿Cuál es la justificación a tu respuesta anterior?

a) El volumen se altera solamente cuando se modifica la forma de la base

b) El volumen cambia en proporción al cambio de las medidas de los lados

c) El volumen solo cambia si se modifica la altura

d) El volumen no cambia mientras se mantenga la misma altura

e) El volumen cambia solo cuando las dimensiones varían en la misma

proporción.

3. Se tiene un cilindro circular recto de altura 8 cm. y radio 6 cm. como se

muestra en la siguiente figura. Si el radio disminuye a la mitad, ¿Qué

sucede con el volumen total del cilindro?

a) Se conserva igual

b) Se duplica

c) Queda la mitad

d) Queda la cuarta parte

e) Queda la tercera parte.

4. ¿Cuál es la explicación a tu respuesta anterior?

a) El volumen no se altera al cambiar el radio

b) El volumen cambia en proporción directa al radio

c) El volumen cambia en proporción al cuadrado del radio

d) El volumen cambia a la mitad porque el radio se redujo a la mitad

e) El volumen solo cambia cuando se modifica el radio y la altura.

5. Dibuja los siguientes objetos:

a) Una cuerda de guitarra

b) El piso de tu habitación

c) Una caja de zapatos

d) Un CD

e) Un vaso

f) Un grano de café

En este espacio haz tus dibujos.