RAZONAMIENTO MATEMATICO

Razonamiento Matemático

1

La asignatura de razonamiento matemático es de naturaleza teórico-práctico el cual pretende desarrollar en el alumno las capacidades de análisis,interpretación de datos, habilidades operativas, comprensión de la información;entre otras, de los diversos fenómenos concretos y abstractos en el proceso depreparación para el ingreso a las universidades.

Debido a ello en el área de matemática, las capacidades que se buscadesarrollar y por lo tanto evaluar son:

El Razonamiento y Demostración: Implica desarrollar ideas, explorarfenómenos, justificar resultados, expresar conclusiones e interrelaciones entrevariables. El razonamiento y la demostración proporcionan formas de argumentaciónbasados en la lógica. Razonar y pensar analíticamente, implica identificar patrones,estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como ensituaciones abstractas.

La Comunicación Matemática: El mundo actual donde la informaciónfluye y avanza rápidamente, los estudiantes deben comprender dicha informaciónproveniente de diferentes fuentes: textos, mapas, gráficos, etc. Está vinculadocon la comunicación matemática, tanto cuando se expresa como cuando se lee.Ello es posible cuando discrimina gráficos y expresiones simbólicas, infiere lasrepresentaciones gráficas, evalúa las representaciones gráficas y simbólicas,representa los resultados.

La Resolución de Problemas: Debe apreciarse como la razón de serde la matemática pues los estudiantes siempre se encuentran con situacionesque requiern solución y muchas veces no se observa una ruta para encontrarrespuestas. Esta área busca fortalecer esta capacidad para lo cual esindispensable considerar la importancia de aprender a valorar el proceso deresolución de problemas en la misma medida en que valoran los resultados; asíaprenderán en la práctica, a formular problemas a partir del mundo real, organizardatos y elaborar estrategias variadas para resolver problemas. Identifica, formula,algoritmiza y resuelve.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO


2

CAPACIDADES DE ÁREA

MATRIZ DE CAPACIDADES DE ÁREA Y ESPECÍFICAS DE LAASIGNATURA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y SUS ENLACES

PENSAMIENTO CREATIVO PENSAMIENTO CRÍTICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOMA DE DECISIONES

Identifica Datos, conceptos Conjeturas Proposiciones Resultados Anticipa Argumentos Resultados Reflexiona Sus ideas sobre conceptos y

relaciones Interpreta Postulados matemáticos Teoremas, problemas

propuestos Formula Ejemplos Contraejemplos Conjeturas Representa Resultados Conclusiones lógicas Imagina/Elabora Conjeturas Argumentos sencillos y válidos Demostraciones para

enunciados matemáticos Utiliza Razonamiento inductivo para

reconocer patrones y formular conjeturas

Discrimina Ideas principales, secundarias

y complementarias Datos, hechos, opiniones Clasifica Objetos matemáticos de

acuerdo a diferentes criterios Analiza Situaciones para hallar

propiedades y estructuras comunes, así como singulares y particulares

Establece Relaciones entre conceptos Evalúa Conjeturas usando

contraejemplos y cadenas deductivas

Traduce Situaciones presentadas en

forma verbal al lenguaje matemático

Observa/Identifica Información estadística Notaciones simbólicas Compara Gráficos Conclusiones Datos Analiza/Interpreta Gráficos Expresiones simbólicas Organiza Datos relevantes Información complementaria Infiere Conclusiones Información relevante Utiliza Gráficos para representar

situaciones matematizables y conceptos

Símbolos matemáticos para representar conceptos y relaciones

Notaciones y objetos matemáticos para modelar situaciones

Comunica Conceptos, juicios y

razonamientos matemáticos Formula Ejemplos de un contenido

conceptual

Resuelve Situaciones problemáticas Analiza Datos disponibles Condiciones dadas Posibles soluciones Elabora/Aplica Estrategias Algoritmos Formula/Plantea Observaciones y críticas Alternativas de solución Opinión a favor y en contra Comprueba/Interpreta Resultados Generaliza/Elabora Generaliza patrones y elabora

conjeturas Busca/Reconoce/Usa Patrones Juzga La validez de un argumento y

construye argumentos válidos Halla/Calcula Estrategias para la solución de

problemas. Métodos prácticos para el

calculo de incógnitas. Problemas relacionados a la

vida cotidiana.

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CAPACIDADES

FUNDAMENTALES

LOGROS DE APRENDIZAJE (CAPACIDADES) - MATEMÁTICA


3

1.1. TEORÍA DE NUMERACIÓN

NumeraciónParte de la aritmética que estudia la correctaformación, representación, lectura y escriturade los números, así también como las diversaspropiedades que derivan de ellos.

NúmeroEs una idea o abstracción de una cantidadobservada en la realidad concreta.

NumeralEs la representación simbólica o figurativa deun número mediante determinados símbolosconvencionales.

Cifra (Digito)Símbolo empleado para representar a losnumerales.

Sistema Posicional de NumeraciónEs un conjunto de principios, normas,convenios y leyes que nos permiten la correctaformación, lectura y escritura de los números.

Principios FundamentalesDel ordenToda cifra que forma parte de un numeral,ocupa un orden determinado el cual seconsidera de derecha a izquierda. El lugar queocupa una cif ra se indica de izquierda aderecha.

1 2 3 4 5 LugarNumeral: 2 0 1 0 3

5 4 3 2 1 OrdenDe la baseTodo sistema de numeración tiene una base,que es un número entero y mayor que launidad, el cual nos indica la cantidad deunidades necesarias y suficientes de un ordencualquiera para formar una unidad del ordeninmediato superior.

Principales Sistemas de Numeración

Observaciones: En base «n» se pueden utilizar «n» cifrasdiferentes, las cuales son:

0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n – 1)

Por convención, cuando la cifra es mayor que«9» se utiliza una letra para su representación.

(10) < > < > A(11) < > < > B(12) < > < > C(13) < > < > D

Si: )x(cepreval ; donde: x Z+ ; x 2

entonces: x = {2; 3; 4; 5; ……. }

Cifras Significativas

Cifra no Significativa

CIFRA MÁXIMA

BASE NOMBRE DEL SISTEMA

2 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

3 4 5 6

8 7

9 10 11 12

CIFRAS QUE SE EMPLEAN

0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; . . . ; 6; 7 0; 1; 2; 3; . . . ; 7; 8 0; 1; 2; 3; . . . ; 8; 9 0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10 0; 1; 2; 3; . . . ;10;11

CAPÍTULO ITEORÍA DE NUMERACIÓN


4

Toda cifra que conforma un numeral esmenor que la base; además el número decifras posibles a utilizar en cierta base esigual a la base.

)3(cba )5(cba

1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2

4 3 3 4 4

Valor de las cifrasToda cifra que forma parte de un numeral tiene2 valores.

Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene unacifra por su apariencia o figura.Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene unacifra de acuerdo al orden que ocupa dentro deun numeral.

VA(3) = 3VA(1) = 1VA(6) = 6

)8(613

VR(6) = 086

VR(1) = 181

VR(3) = 283

Representación literal de un numeralCuando no se conocen las cifras de un numeral,éstas se representan mediante letras teniendoen cuenta que: Toda expresión entre paréntesis

representa una cifra. La primera cifra de un numeral debe ser

diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente

indican cif ras diferentes, salvo que loseñalen.

Para diferenciar de ser una multiplicaciónde factores, se coloca una raya horizontalarriba de las letras.

ceprevalcepreval

Ejemplos

ab Numeral de 2 cifras diferentes

abc Numeral de 3 cifras diferentes

aaaa Numeral de 4 cifras iguales

Numeral CapicúaSon aquellos numerales cuyas cif rasequidistantes son iguales, es decir tienenrepresentación simétrica.

* aa Numeral capicúa de 2 cifras

* aba Numeral capicúa de 3 cifras

* abba Numeral capicúa de 4 cifras

* abcdcba Numeral capicúa de 7 cifras

Palabras políndromas que representan unnumeral capicúa.

* OSO * ANA * SALAS * SOMOS

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Descomposición SimpleEn Base «k» (k 10)

kmydoom = mokokdkykmk 2345

En Base «10»

ab = 10a + b

abc = 100a + 10b + c

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Descomposición Por BloquesEn Base «k» (k 10)

kmydoom = k2

k4

k omkdokmy

Numeral de 8 cifras

Multiplicación de 8 factores


5

CAMBIOS DE BASE

1er CASO: De base diferente de diez a basediez

Ejemplo Nº 01

* Expresa (5)12231 en base 10.

Por descomposición polinómica:

(5)12231 = 1)5(2)5(2)5(3)5(1 234 = 625 + 375 + 50 + 10 + 1 = 1 061

Por Método de Ruffini:

1 3 2 2 1 5 5 40 210 1060 1 8 42 212 1061

(5)32211 = 1 061

2do CASO: De base diez a base diferentede diez

Ejemplo Nº 02* Expresa 1 061 en base 7.

Por divisiones sucesivasPara su desarrollo se realizan divisionessucesivas hasta que el cociente sea menorque el divisor.

1 061 7 4 151 7

4 21 7 0 3

1 061 = (7)3044

Propiedades1. Si:

)n()m( UNHEVALCEPREVAL

entonces: n > m

2. Si: nabcd

entonces: {a, b, c, d, n} Z ; a 0; n >1 Además: a, b, c, d < n

3. Numeral de Cifras Máximas

1n)1n)...(1n)(1n( k)n(

cifrask

4. Bases Sucesivas

ana1 )n(

abna1)n(b1

abcna1)n(c1b1

Por lo tanto:

abc...xna1

)n(x1c1b1

Ejemplo Nº 03Si la siguiente operación:

44p33m33n136 (n)(p)(m)

está correctamente escrito, halla «m + n + p»

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

ResoluciónDe cada numeral

44p33m33n136 (n)(p)(m)

6 < m n < p m < n p < 10entonces:

6 < m < n < p < 10

m + n + p = 7 + 8 + 9 = 24

Descomposición polinómica o

Método de RUFFINI

De Base (n)

a Base (10)

x

De Base (10)

a Base (m)

Divisiones sucesivas


6

PRÁCTICA Nº 01

Capacidad 01: Razonamiento yDemostración

1. Determina el valor de verdad de lossiguientes enunciados.

I. Número nos proporciona la idea decantidadII. La cifra es diferente al digitoIII. El numeral es la representación simbólicade númerosIV. El numero nos permite cualificar losnúmeros

A) VVVV B) VFVF C) FVFVD) FFFF E) FFVV

2. Identif ica cual de los enunciados esincorrecto.

A) Si su cifra de orden 4 coincide con sucifra de tercer lugar, el numeral tiene 7 cifras.B) A menor base mayor representaciónaparenteC) A mayor base menor representaciónaparenteD) La base es un número entero positivomayor a ceroE) La base es un número natural mayor oigual a dos.

3. Analiza cual de las siguientes proposicioneses verdadera.

A) De cualquier numeral la primera cifrapuede ser igual a cero.B) La mayor cifra que se puede utilizar encierto sistema de numeración es igual a labase.C) La cantidad de cifras de un númerodepende de la base.D) La base es consecutivo al mayor digitoque pertenece a dicha base.E) Para leer un número en cualquier basese nombra cifra por cifra de derecha aizquierda.

4. Analiza la verdad o falsedad segúncorresponda.

I. Existen 8 números de 3 cifras impares enbase 5.II. En base 10 existen 100 números de 2cifras.III. Toda expresión entre paréntesis de unnumeral representa una cifra.

A) VFV B) VFF C) VVVD) FFV E) FVV

5.Interpreta cual de las siguientes afirmacioneses incorrecta.

I. Capicúa de una cifra es : 1;2;3;…;9II. Capicúa de dos cifras son : 11;22;33;…;99III. Capicúa de cuatro cif ras son :1001;1111;1221;…;9999

A) FFV B) FVF C) FVVD) FFF E) VVV

6. Analiza cuál de las siguientes proposicioneses verdadera.

A) Si )x(4abcN , entonces la solución dela ecuación 2x + 2 = 10, puede ser base delnúmero dado.B) Por convención se considera al cerocomo cifra par.

C) El numeral )12(2009unheval , representaun número par.D)En el siguiente numeral

)a5)(a4)(a3)(a2(a , el valor de «a» puedeser 2.

E) El numeral )x(abc)abc(abc , posee 9

cifras.


7

Capacidad 02: ComunicaciónMatemática

8. El numeral:

824

5

aacba

aabbb , es

capicúa, Interpreta cual de las siguientesproposiciones es verdadera.

I. a + b + c = 16II. c = 4III. Si: b = 8 entonces a = 5

A) I, II B) II, III C) I, IIID) II E) III

9.Un número en base 5 identifica la proposiciónfalsa.

I. 5 unidades del orden cero conforman unaunidad del orden unoII. 5 unidades del orden uno conforman unaunidad de orden dos.III.5 unidades del orden dos conforman unaunidad del orden 5 y así sucesivamente.

A) I B) II C) IIID) II, III E) I, III

10.Si el numeral )(231 xa es impar, entoncesanaliza la suma de los posibles valores de«a» es :

A) 16 B) 25 C) 23D) 18 E) 19

11.Si: )7()5( )4(460 eabcde y a.b + c.d+ e = 12

Identif ica, cual de las siguientesproposiciones es falsa:

I. )()5( 23140 xabcde .

II. 15704604 )7( .III. a = 2; b = 3; c = 1; d = 4; e = 2IV. a + b + c + d + e = 12

A) I B) II C) IIID) IV E) I y II

12.Traduce el eununciad «Si se descomponepolinómicamente el numeral

)()1).....(1)(1)(1( nnnnn que posee kcifras» se obtiene :

A) nn - 1 B) nk - 1 C) kn - 1D) nn + 1 E) kk - 1

13.Determina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I) Desde el )5(344 al )13(10 , hay 82 númerosnaturales. ( )

II) Si nm 1420281 )( y además m+n =14;entonces m.n = 45. ( )

III) Si 6)( 21410001 n ; entonces el valor den es 3. ( )IV) La base del sistema en el cual esta lasucesión es heptal 23; 27; 32; ... ( )

A) VVVF B) VVFF C) VVFVD) FFVV E) VFFF

Capacidad 03: Resolución de Problemas

15.Si los siguientes númerales

)()()( 2,, aca cbba está bien representados.

Calcula a+b+c.

A)5 B)4 C)6D)7 E)8

16.Si. 111)1(1 )4( aaa .

Halla a2.

A)9 B)4 C)8D)16 E)1

17.Halla: (a + b) si se cumple:

naba 11068

A)5 B)6 C)4D) 7 E)8


8

18.Si los números : 7534a ; ab211 y bcc2 estáncorrectamente escritos. Busca cuántosvalores puede tomar «a»

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

19.Si a un número de tres cifras que empiezapor 9 se le suprime esta cif ra, el númeroresultante es 1/21 del número original. Hallasuma de las tres cifras de dicho número.

A) 12 B) 18 C) 15D) 24 E) 21

20.Determina cuál es la base del sistema denumeración usado para escribir el número 3157,si su equivalente en el sistema decimal es 6832.

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

21.Calcula: 5

56120

240.122 y expresarlo como un

número en base 3.

A) 12002(3) B) 21002(3) C) 10201(3)D) 10210(3) E) 20012(3)

22.Halla (a+b+c) si los numerales estáncorrectamente escritos:

)(256 a ; )(42 ba ; )(43 cb ; c75 .

A) 24 B) 22 C) 32D) 20 E) 36

23.Efectua la suma de m y n

)()(

)()(

288460284458

nm

nm

A) 26 B) 27 C) 28D) 29 E) 30

24.Reconozca el valor de N

)()2( 322134 NN

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 1

25.Dado el número:

)2(2)1()1()1( aaaaaaN

Calcula P (a); si P (x) = x2 + x + 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 5 E) 7

26.Si el número 12100102010211(n) se leconvierte a base n2 la suma de sus cifrasaumenta en 15. Determina cuál es el valor de«n».

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

27. Si: 65602......222 )3(

n cifras

Halle la suma de cif ras de

)()2)(1( nnn escrito en el sistema senario.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

28.Sabiendo que:

4095...... )2( xxxx

«n» cifras

además: 13nnnP Halla «P» expresado en base 10.

A) 2 193 B) 2 196 C) 2 396

D) 2 186 E) 2 176

29. Calcula el minimo valor de M, si:

M = a+b+c+k. Además kabc es la suma decifras de F representado en el sistemaheptanario donde

6071573575 235 F

A)5 B)6 C)7D)10 E)12


9

2.1. TEORÍA DE DIVISIBILIDAD

DivisibilidadUn número entero «A» es divisible entre otronúmero entero positivo «B», si al dividir «A»entre «B» la división es entera y exacta.

En general: Sean AZ; BZ+; kZ

A B «A es divisible entre B» 0 k «B es divisor de A»

MultiplicidadUn número entero A es múltiplo de un númeroentero positivo, si A es el resultado de multiplicara B por una cantidad entera.

A = kB «A es múltiplo de B»«B es factor de A»

A=B = kB «A es múltiplo del módulo B»

Conclusiones:Todo número entero positivo será múltiplo de símismo.

B =B ; B Z

El cero es múltiplo de todo número enteropositivo.

0 =k ; k Z

Principios Básicos de DivisibilidadLas operaciones aritméticas elementalesrespecto a los múltiplos de un mismo móduloson:

Adición: nn...nn

Sustracción: nnn

Multiplicación: n)k(n ; k Z

Potenciación: n)n( k ; k Z

Si: N = a.b.c Entonces:

N

a b c

a.b

a.c

b.c

a.b.c

a

Si: N = b , entonces: N =

c)b;MCM(a;

c

Ejemplo Nº 01En una votación el número de votos, oscilaentre 215 y 186, de tal manera que si secuentan de 5 en 5 o de 7 en 7, siempre sobran3. ¿Cuántos son los votos?

A) 208 B) 213 C) 193D) 178 E) 198

ResoluciónSea «N» el número de votos buscado:

Por dato: N = 35

N = 37

Luego: N = 3)7;5(mcm

N = 335

= 35k + 3 . . . . . . . ()Además: 186 < 35k + 3 < 215

CAPÍTULO II TEORÍA DE DIVISIBILIDAD


10

Desarrollando: k = 6

reemplazando en ():N = 35(6) + 3 = 213

Los votos son 213.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Si: A x B =n

Donde «A» y «n» no tienen divisores en común,

aparte de la unidad, entonces: B =n

Si: z....c.b.an)zn)...(cn)(bn)(an(

Divisibilidad Aplicada al Binomio deNewtonEn general, sean los enteros positivos; n, a y k.

kk an)an(

12k;an

2k;an)an(k

kk

Ejemplo Nº 02

Halla el resto de dividir 2002 entre 7.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolución

12 =7 + 2

22 =7 + 4 g = 3

32 =7 + 1

Entonces:

132

=7 + 2

232

=7 + 4 g = 3

32 =7 + 1

donde: 200 = 23

Finalmente: 2002 = 232

=7 + 4

El residuo es 4

Restos Potenciales

En general, si: {b, m} Z

{ n, r } 0Z

Además: nn rmb

Luego:Al conjunto formado por los restos: r0; r1; r2; ...,se le denomina restos potenciales de brespecto al módulo m, siendo ésta periódicadesde un lugar en adelante (con período menorque m).

Ejemplo Nº 03Determina los restos potenciales de 4 respectoal módulo 7. Dar como respuesta la suma dedichos restos.

Resolución

1, 4; 2; 1; 4; 2; . . . se denomina restospotenciales de 4 respecto al módulo 7, la cualse observa que se repite en forma periódica yque el primer residuo es 1.Piden:

Suma de restos potenciales = 1 + 2 + 4 = 7.

04 =7 + 1

14 =7 + 4 g = 3

24 =7 + 2

7 +1 E=

3

34 =7 + 1 E4 =

7 +4 E=

3 +1

44 =7 + 4 g = 3

7 +2 E=

3 +2

54 =7 + 2

n4 =7 + r


11

Principales criterios de DivisibilidadUn criterio de divisibilidad es una relación quedeben cumplir las cifras de un determinadonumeral para que éste sea divisible por otro, sino lo es, nos permitirá calcular el residuo apartir de ellas.

Divisibilidad por 2

Si: 2abcde , entonces:

2e

Divisibilidad por 3


3edcba

Divisibilidad por 4


4de

Divisibilidad por 5

Si: 5abcde , entonces: })5;0{e(5e

Divisibilidad por 6


32abcde

Divisibilidad por 7

Si: 7abcde , entonces: e+3d+2c–b–3a=

7

Divisibilidad por 8


8cde

Divisibilidad por 9


9edcba

Divisibilidad por 11

Si:

11abcde , entonces:

11abcde

31231 - +

+ - + - +

Divisibilidad por 13

Si:

13abcde , entonces: e–3d–4c–b+3a=

13

Ejemplo Nº 04Calcula la suma de todos los valores de «x», siel numeral 8xx4 es divisible entre 7.

A) 11 B) 12 C) 13D) 10 E) 14

ResoluciónAplicando el criterio de divisibilidad por 7:

78xx4

entonces: - 4 + 2x + 3x + 8 = 7

5x + 4 = 7

donde: x = { 2 ; 9 }

Suma de valores de x es: 9 + 2 = 111

Ejemplo Nº 05

Determina el valor de «x», en:

1735x4

A) 12 B) 3 C) 6D) 9 E) 8

Resolución

Descomponiendo el numeral 35x4

1700x4035

(

17 + 6) + (

17 + 15x) =

17

6 + 15x =

17 15x =

17 – 6

5x =

17 – 2 5x =

17 +15

x =

17 + 3donde «x» es 3.

El valor de 3x será igual a 9.

31431 + - +

31231 - +


12

PRÁCTICA Nº 02Capacidad 01: Razonamiento y

Demostración

1. Analiza el valor de verdad de las siguientesproposiciones.

I. El cero es múltiplo de todo número positivoII. La unidad es divisor de todo númeroenteroIII. 18 no es múltiplo de 3.IV. Tres es divisor de 18.V. Un número es divisible por dos si terminaen cifra par o cero.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VVVVF E) FVVVV

2. Discrimina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I. La ecuación 4x + 16y = 79 no tiene soluciónen los enteros.II. La ecuación 6x + 21y = 102 no tienesolución en los enteros positivos.III. La ecuación 3x + 7y = 141 tiene soluciónen los enteros positivos.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) VFF

3. Analiza los siguientes enunciados y pon V(verdadero) y F (Falso).

I. Un numeral es divisible por 13, cuando lasuma algebraica de sus cifras de derechaa izquierda por 1;-3;-4;-1; 3; 4; 1.II. El residuo de dividir 3445 entre 3 es 2.III. Todo número divisible por cinco debeterminar en cero.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) VFF

4. Analiza cual es valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

I.La suma de tres números consecutivos essiempre divisible por 3.

II. cbaabc siempre es múltiplo de 33III. Un número capicúa de cuatro cifras

siempre es múltiplo de 11.

A) FVV B) FFV C) VVFD) VVV E) VFV

5. Establece la relacion correcta.

I. Un número es divisible por 3.II. Un número es divisible por 7.III. Un número es divisible por 11.

a. Cuando se multiplica de derecha aizquierda por los dígitos 1;3;2 y -1;-3;-2

b. Cuando la suma de sus cifras es múltiplode 3.

c. Cuando se suman algebraicamente suscifras; previamente afectadas de derechaa izquierda por los signos +;-;+;-….y asísucesivamente.

A) I-a; II-b; III-c. B) I-b; II-c; III-a.C) I-b; II-a; III-c. D) I-c; II-b; III-a.E) I-a; II-c; III-b.

6. En el año 2006, el 1° de Enero es día domingo,luego interpreta el día de la semana que fue el1° de enero de 1983 será:

A) Jueves B) ViernesC) Sábado D) DomingoE) Lunes

7. Si

babcda 1)2( además

10)4(bmnpqr , entonces;

I. Evalua el valor de 2a + 3bII. Evalua el valor de a! + b!III. Evalua el valor de a + b

A) 34; 744; 10 B) 24; 444; 10C) 14; 144; 100 D) 24; 744; 10E) 14; 644; 10


8. Analiza la condición necesaria para que

12abcdeE sea divisible entre 8

A) 2c + 4d + e = 8B) 4d + e = 8C) b + 4c + 2d + e = 8D) d+4e+2c= 8E) c + d + e + a + b = 8


13

9. Si se cumple que

11abc ; 69

abc

y 18

abc . Identifica que valor toma

abc

A) 845 B) 835 C) 825D) 815 E) 855

10.En la expresión 273

Q , traduce elvalor de «Q».

A) 27

Q B) 47

Q

C) 37

Q D) 57

Q

E) 273

Q

11. Se reparte aaa )2)(1( soles. Cada

persona recibió 19 soles y al final nada quedo.Infiera cuantas personas recibieron los 19soles.

A) 9 B) 12 C) 16D) 21 E) 27

12. Determina la condición necesaria para que

la suma de valores de x e y en 742 xyN

sea divisible entre 2.

Dato I: y es parDato II: y es imparDato III: x es parDato IV: x es impar

A) Es necesario I y IIB) Es necesario I y IVC) Es necesario III y IID) Es necesario IE) Es necesario (I y III) o (II y IV)

13. Traduce la siguiente expresión en su formasimbólica mas simple si: 17A 21342243 nxnA

A) 117

B) 217

C) 317

D) 217

E) 317

14. Si:

17171x y

2134a , se cumple que:I. El valor de «x» es siete.II. El valor de «a» es ocho.III. El producto de x por a es 56.

A) Solo I B) Solo II C) I y IID) Todas E) Solo III

Capacidad Nº 03:Resolución de Problemas

15. Reconoce que valores puede tomar «x»para que el número 3412 x sea múltiplo de 3.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

16. Resuelva el producto de los 70 primerosnúmeros impares al dividirlo entre 4 da comoresiduo.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

17. Determina el residuo de la división.

7c 0120

......561234561234561234 ifras

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

18. La expresión:

..........30252318161194 xxxxxxxxE ,tiene 2n factores, luego el residuo que seobtiene al dividir entre 7 es:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

19. Si 372832

cba .Comprueba cual

será el resto al dividir cba 54 entre 7.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

20. Al dividir 131313131345762(g) entre 11(g),Analiza el residuo:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5


14

21. Juzga la cantidad de números de la forma

nnn 104 que son divisibles por 13 es:

A) 3 B) 5 C) 7D) 10 E) 13

22. CEPRITO agrupaba sus canicas de 6 en 6,de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba unapara formar más grupos. Calcula cuántascanicas tiene si es una cantidad máxima menorque 1000

A) 954 B) 941 C) 959D) 1079 E) 823

23. Halla a + b sabiendo que el número ababaes divisible por 126

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

24. Analiza el valor de axbxc, si:

9abc

5cba

13caA) 140 B) 150 C) 120D) 105 E) 210

25. Edú observa que sus ab compañeros delaula se agrupan para estudiar de 6 en 6 ysobran 2; pero si se agrupan de 5 en 5, faltarían3 para formar otro grupo. Interpreta cuántosalumnos hay en el aula de Edú, si es lo mayorposible. De cómo respuesta la suma de suscifras.

A) 16 B) 11 C) 14D) 15 E) 10

26. Calcula cuántos numerales de 4 cifras alser divididos entre 4 y 5 de como residuo 3 enambos casos.

A) 58 B) 45 C) 43D) 36 E) 40

27. Si :

314baaa y

974nnCalcula el residuo de dividir

)2

()1()32( nbbnbb entre 8

A) 58 B) 45 C) 43D) 36 E) 40

28.Si se cumple que 6767342

aa .Indica el valor de «a».

A) Sólo 2 B) 9 C) 2 y 9D) 2 ó 9 E) Sólo 9

29.Analiza el residuo de dividir:

9421424 A) 2 B) 5 C) 4E) 3 E) 1

30. Si el numeral qpqp 46 es divisible

entre 88, Calcula el valor de p+q

A) 2 B) 5 C) 9E) 5 E) 0

31. En el colegio Leoncio Prado en la reuniónde aniversario se observa que la séptima partede los asistentes tienen estudios de postgrado,la tercera parte de los asistentes hablan inglés,la catorceava parte son ingenieros y ladieciochoava son literatos. Si el curt internotiene un límite de 1000 personas. Halla cuantosasistieron como máximo a la reunión deaniversario.

A) 1005 B) 350 C) 844D) 955 E) 882

32. Juzca el valor de «a» si:

411523

aaaa

A) 2 B) 1 C) 0D) 3 E) 4

33. Un almacenero cuenta los clavos que tienede 5 en 5, de 7 en 7, de 9 en 9 y de 11 en 11 ysiempre sobra una cantidad que es menor enuna que el divisor empleado, si cada clavo lecosto 2 soles y gasto entre 12000 y 16000soles. Halla la suma de las cifras de dichonúmero de clavos.

A) 24 B) 25 C) 26D) 27 E) 23


15

3.1. TEORÍA DE NÚMEROS

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSENTEROS POSITIVOSEl conjunto de los números enteros positivosse pueden clasif icar de acuerdo a unadeterminada característica en particular; eneste caso se va ha clasificar de acuerdo a lacantidad de divisores que posee cada número.

1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 2 4 3 5 1 5 2 6 1 2 3 6 4 7 1 7 2 8 1 2 4 8 4 9 1 3 9 3 10 1 2 5 10 4

a) Números simplesSon aquellos números que tienen a lo más dosdivisores.

a.1. Unidad: Es un número especial porquees el único que posee un solo divisor.

1

a.2. Números primos: Son aquellosnúmeros que poseen únicamente dosdivisores que son la unidad y el mismonúmero.

2; 3; 5; 7; 11; 13; ……

b) Números compuestosSon aquellos números que tienen más de dosdivisores.

4; 6; 8; 9; 10; 12; ……

CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS

a) Números primos entre sí (PESI)Son aquellos números que tienen como únicodivisor común la unidad.

Ejemplo Nº 01¿8; 10 y 15 son PESI?

Resolución Número Divisores

8 1 2 4 8

10 1 2 5 10

15 1 3 5 15

8, 10 y 15 son PESI

b) Números primos entre si 2 a 2Son aquellos grupos de números que al sertomados de 2 en 2; estos pares de númerosson PESI.

Ejemplo Nº 02¿4; 9 y 25 son PESI 2 a 2?

ResoluciónTomando los números de 2 en 2, tenemos:

4 1 2 4 PESI

9 1 3 9

4 1 2 4 PESI

25 1 5 25

9 1 3 9 PESI

25 1 5 25

Cantidad de divisores

Números enteros positivos Divisores

comúnprimoúnico

CAPÍTULO IIITEORÍA DE NÚMEROS


16

4, 9 y 25 son PESI 2 a 2.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAARITMÉTICATodo número compuesto se descompone enuna multiplicación de potencias de exponentesenteros positivos de sus divisores primos. Aesta descomposición se le conoce con elnombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.

En general:

Ejemplo Nº 03Descomponer canónicamente el número 600.

Resolución

600 2300 2150 2 75 3 25 5 5 5 1

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

a) Tabla de divisores de N

Sea el número 18, donde: 23218 Entonces se puede elaborar la siguiente tablade divisores de 18.

1899633211

21

b) Cantidad de divisores de N CD(N)

Si: z......cbaNEntonces:

c) Suma de divisores de N SD(N)

Si: z......cbaNEntonces:

d) Suma de las inversas de los divisoresde N SID(N) Sea «N» un número entero positivo.Entonces:

e) Producto de los divisores de N PD(N)Sea «N» un número entero positivo.Entonces:

Ejemplo Nº 04

Si: m1815N , tiene 144 divisores. Determinael valor de «m».

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

ResoluciónDescomponiendo canónicamente el número N,tenemos:

m2 )32()53(N

m2m 3253N

532N 1m2m

Además CD(N) 144por propiedad

(m+1)(2m+1+1)(1+1) = 144 (m+1)2(m+1)(2) = 144

36)1m( 2 m +1 = 6

m = 5

canònicaciónDescomposi

22 532600

18dedivisores

2dedivisores

23de

divisores

z......cbaN

1z1z.....

1c1c

1b1b

1a1a)N(SD

1111

N

)N(SD)N(SID

)N(CDN)N(PD

)1)....(1)(1)(1()N(CD


17


Demostración

1. Interpreta el valor de verdad de los siguientesenunciados

I. El número 5 posee 2 divisores primosII. El 4 y 9 no son primos entre síIII. La unidad no es ni primo ni compuesto

A) FFF B) VVF C) FVFD) VFF E) FFV

2. Anticipa la alternativa correcta:

A) Los números primos poseen sólo 2divisores primos.B) Los números compuestos poseen másde 2 divisores primos.C)Los divisores simples están conformadospor los divisores primos y los compuestos.D) El único divisor simple no primo es launidad.E) Los números son proporcionales a lacantidad de divisores que tienen.

3. Identif ica la verdad o falsedad de lassiguientes proposiciones.

I. A los divisores primos y la unidad se lesdenomina divisores simplesII. Los divisores primos y los compuestosconforman el total de divisores de unnúmero.III. Los divisores simples y la unidadconforman los divisores compuestos

A) FFF B) VFV C) VFFD) FVF E) VVV

4. Evalua el enunciado incorrecto con respectoa: «Todo número primo es…

A) De la forma )14()14(00 ó

B) De la forma )16()16(00 ó

C) Impar a excepción del 2D) No compuestoE) El que tiene únicamente 2 divisores

5. Identif ica la alternativa incorrecta conrespecto a la tabla de divisores

b0 b1 b2 b3

a0 1 2 Y 8a1 5 X 20 40a2 25 50 100 Z

A) X = 10 B) Y = 4C) Z = a2.b3 D) a + b = 2E) Z = a2 - b3 = 17

6. Si a 74 se le multiplica por 100. Establece silas si las proposiciones son verdaderas ofalsas:

I. El producto tiene 4 divisores primosII. Sus divisores se incrementan en 20III. Uno de sus divisores es 185

A) FVV B) VVV C) FVFD) VFF E) FFV

7. Si A y B son números primos diferentes de2. Identifica cuáles son verdaderas.

I. (A + B) es un número primoII. AxB tiene 4 divisoresIII.(A.B)(A+B) tiene divisores múltiplos de 2.

A) I y II B) II y III C) I y IIID) I; II y III E) Sólo II

Capacidad Nº 02:Comunicación Matemática

8.Traduce los enunciados e indica la alternativaque no corresponde a la cantidad de divisoresde un número (CD)

A) CDpropios +1 = CDB) CD = CDprimos + CDcompuestos + 1C) CDprimos = CDsimples -1D) CDpropios = CDcompuestos +1E) CDcompuestos = CD – (CDprimos +1)

9. Analiza el número N = 2002 y su descomponercanónicamente:

A) N = 2.7.13 B) N = 2.3.7.13C) N = 2.7.11.13 D) N = 7.11.13.19E) N = 3.7.13.31


18

10. Identif ica la alternativa que no lecorresponde al número 2009

A) Posee 2 divisores primosB) Posee 6 divisores en totalC) Posee 3 divisores simplesD) Posee 3 divisores compuestosE) Es un número primo

11. Si N = 5(10m) tiene 20 divisores. Identificacuántas de las proposiciones son verdaderas.

I. m= 3II. N = 500III. Sus divisores

05 son 16

IV. Sus divisores 02 son 15

A)0 B) 1 C) 2D) 3 E)4

12. La expresión: 3)3)(5b(4a si a y bson cif ras; Interpreta cuáles de lasproposiciones son verdaderas.

I. El numeral puede representar hasta 2números primos.

II. Como máximo puede tener hasta 6divisores.

III. Si a=3 y b= 2 resulta un numeral primo

A) I y II B) II y IIIC) I y III D) I; II y IIIE) Sólo II

13. Si N = 30n tiene 1000 divisores. Identificacuántas de las proposiciones sonverdaderas.

I. N tiene 3 divisores primosII. N = tiene 9 divisores simplesIII. n = 9

A) I y II B) II y III C) I y IIID) Sólo III E) Sólo I

14. Traduce convenientemente. « (8)aa siposee 9 divisores.

I. El valor de «a» es…II. El número de divisores primos es…III. El número de divisores simples es…

a, 2 b, 3 c, 4

A) Ic; IIa; IIIbB) Ib; IIc; IIIaC) Ic; IIb; IIIaD) Ia; IIb; IIIcE) Ia; IIc; IIIb


15. Un número tiene 23 divisores propios, 4divisores múltiplos de 12 y 12 divisores múltiplosde 3. Halla cuántos de sus divisores sonmúltiplos de 4.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

16. Si,

1bc2

2.3.p

p.pn.nmm

: Interpreta :

«b + c»; donde a; b y c son primosabsolutos.

A) 10 B) 1 C) 2D) 8 E) 4

17. La cantidad de divisores del menor número

N = 45.12n+4 es 07 , Analiza cuántos de los

divisores de N son múltiplos de 4 pero no de8.

A) 8 B) 12 C) 18D) 20 E) 14

18. Si abcde tiene 4 divisores primos y 91divisores compuestos tal que si se divideentre: 16; 49 y 27 dejan residuo 8; 35 y 9respectivamente. Busca de sus divisores no

son 0

28 .

A) 60 B) 56 C) 72D) 42 E) 84


19

19. Halla la suma de las cifras de mnpq ;sabiendo que m + p = n + q, además dichonumeral posee 27 divisores.

A) 14 B) 15 C) 16D) 17 E) 18

20. El numeral abc es múltiplo de 3 y tiene 12divisores, si se le disminuye en (a + b + c) seobtiene un numeral que termina en 75 y tiene12 divisores. Calcula el número abc .

A) 729 B) 693 C) 684D) 816 E) 924

21. El número nn075 tiene 4 divisores simplesy 32 divisores compuestos. Reconoce cuántosdivisores del número son PESI con 21.

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 6

22. Sea N = 54.5n+4, Reconoce cuántos de losdivisores de «N» son múltiplos de 9 pero no de27, si la cantidad de divisores de «N» es múltiplode 7 y es lo menor posible.

A) 8 B) 14 C) 5D) 7 E) 9

23. Halla (m + n), en el numeral P =2m.7n,sabiendo que el cuadrado de P tiene 44divisores más, mientras que su raíz cuadradatiene 13 divisores menos de lo que tiene P.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

24. Halla el residuo de dividir abcd entre 7, talque es múltiplo de 2; b + d = 15; a + c = 4además se sabe que tiene 15 divisores.

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1

25. Si el numeral 432a posee 1268 divisoresenteros no primos. Calcula la suma de losdivisores no compuestos de aa.

A) 7 B) 8 C) 15D) 10 E) 14

26. Determina el menor número naturaldiferente de 1, que sea coprimo con 5460 ycoprimo con 5610. Da cómo respuesta la sumade sus cifras.

A) 3 B) 9 C) 5D) 10 E) 11

27. Sea N = n2mp3 ; Halla el valor de «a» paraque el número sea múltiplo de 72, sabiendoque N -2 es múltiplo de 9.

A) 1 B) 4 C) 7D) 12 E) 11

28. Si 3m4n5p67 al ser dividido entre 13 dejaresiduo 7, determina el residuo de dividir

m1n3p2 entre 7.

A) 3 B) 4 C) 5D) 0 E) 6

29. Si: abc = 570

cba = 3110

bca = 690

Calcula: c + 3b + 5a

A) 12 B) 44 C) 55D) 22 E) 31


20

4.1. OPERADORES MATEMÁTICOS

Operador MatemáticoEs aquel símbolo que representa a unadeterminada operación matemática.

x # y = yx x2y2

Operadores Universales

Adición + Sustracción –Multiplicación x División

Radicación n Potenciación n)(

Valor absoluto Sumatoria

Operadores Arbitrarios

Asterisco * Grilla #Triángulo Nabla Yin - Yang Arroba @Porcentaje %

Operación MatemáticaEs un proceso que consiste en latransformación de una o más cantidades enotra cantidad llamada resultado, medianteciertas condiciones en la cual se define laoperación.

Operaciones matemáticas con regla dedefinición ExplícitaSon aquellas operaciones en los cuales la reglade definición se da directamente, sólo hay quereconocer las componentes que intervienen,reemplazar y operar.

regla de

definición operador matemático

Ejemplo Nº 01

Se define: ab bab#a

Calcula « 22 yx », si: 55y#x

A) 5 B) 10 C) 20D) 15 E) 14

Resolución

Por la definición: 55y#x

5xy )55(yx

55xy 55yx

Comparando términos: x = 5 y = 5

Piden: 2222 )5()5(yx

22 yx = 10

Operaciones matemáticas con regla dedefinición Implícita.Son aquellas operaciones en los cuales la reglade definición no ha sido definida de maneraexplicita, por lo que hay que darle una formade def inición a lo que nos pide; paraposteriormente reemplazar y operar los datos.

Ejemplo Nº 02

Si: 6x + 2 = 12x + 9 ; x +1 = x + 4

Halla el valor de: 8 + 3

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

CAPÍTULO IVOPERADORES MATEMÁTICOS


21

Fila de entrada

Columna de entrada

c

b

a

c

a

b

a c

b

a

b

b

c

a

c

Operador

Diagonal

Resolución

Como: 6x + 2 = 12x + 9

Entonces: x +1 = x + 4

2 x + 1 + 5 = x + 4

x + 1 = 21x

Luego: 8 = (8 – 2) 2 = 3

3 = 3 2 + 5 = 111

Reemplazando valores

8 + 3 = 3 + 11 = 14

= (14 – 2) 2 = 6

8 + 3 = 6

Operaciones matemáticas que no tienenregla de definición Explícita ni ImplÍcita. En este caso se tiene que hacer uso de muchacreatividad e ingenio, pues el resultado sepuede obtener de muchas maneras (realizandociertas operaciones).

Ejemplo Nº 03Si se sabe que:

48 24 = 7232 31 = 2026 41 = 40

Halla el valor de: K = 76 13

A) 31 B) 72 C) 46D) 27 E) 52

ResoluciónObservamos que la regla de definición no estádado de manera explícita ni de manera implícita.Se buscará una regla que cumpla para todoslos casos según la información dada.

48 24 = 72 = (4 + 8)(2 + 4)32 31 = 20 = (3 + 2)(3 + 1)26 41 = 40 = (2 + 6)(4 + 1)

Luego se tiene: ab bc = (a + b)(c + d)Entonces:

K = 76 13K = (7 + 6)(1 + 3) K = 52

Operaciones en Tablas de Doble EntradaSea el siguiente conjunto no vacío A = {a, b, c},en el cual se define la operación representadapor «», mediante la siguiente tabla.

Para operar se recomienda realizar la siguienteoperación:

tablalaenciónsecerint

filaladeElemento

*columnala

deElemento

Ejemplo Nº 04Se define el operador @ mediante la siguientetabla:

Calcula: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5

A) 2 B) 1 C) 3D) 4 E) 5

ResoluciónSegún la tabla:

M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5M = ( 5 @ 4 ) @ 5M = 1 @ 5 M = 3

2 + 5

- 2 2

@ 1

2

3

4

5 1

4

5

1

2

3

2

5

1

2

3

4 3

1

2

3

4

5

4

2

3

4

5

1 5

3

4

5

1

2


22

PropiedadesEn el conjunto A , definimos la operaciónsimbolizada por « * », entonces estudiaremoslas siguientes propiedades.

Propiedad de Clausura o Cerradura a,bA a * bA

Propiedad Conmutativa a,bA a * b = b * a

Criterio de la Diagonal, para determinar si unatabla es conmutativa.

Propiedad Asociativa a,b,cA a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

Propiedad del Elemento Neutro (e) eA / aA a * e = e * a = a

Criterio de Intersección, para determinar elelemento neutro en una tabla.

Propiedad del Elemento Inverso ( 1a )

eA, aA, 1a A

a * 1a = 1a * a = e

donde: e : Elemento neutro

Mantienen el mismo orden

Elementos ubicados

simétricamente

c

b

a

c

a

b

a

c

b

a

b b

c

a

c

Diagonal principal

Filas iguales

Columnas iguales

c

b

a

c

a

b

a c

b

a

b

b

c

a

c

Elemento neutro


Demostración

1. Identif ica cuál de las siguientesinformaciones es falsa.

A) El elemento neutro en la adición es elcero.B) El elemento neutro es único.C) En la multiplicación el elemento simétricoes el uno.D) En el conjunto de los números reales, lasustracción no es conmutativa.E) La adición es una composición internaen los números naturales.

2. Dado un conjunto no vacío, en el cual sedefine una operación matemática, mediante unadeterminada tabla. Analiza cuál de lassiguientes afirmaciones es incorrecta.

A) Cuando los elementos del cuerpo de latabla pertenecen al conjunto de partida, sedice que es clausurativa.B) La tabla es conmutativa si la matriz essimétrica con respecto a su diagonalprincipal.C) La intersección de la columna y fila deentrada nos determina el elemento neutro.D) Si la matriz en una tabla tiene diagonalessecundarias semejantes se dice que esasociativa.E) Si en el cuerpo de la tabla se nota almenos un elemento que no pertenece alconjunto de partida se dice que la operaciónes abierta.

3. En la siguiente tabla discrimina cuál de lassiguientes proposiciones son falsas:

I. No es conmutativaII. El elemento neutro es cIII. a * (b * d) = (d * c) * dIV. La operación «*» es cerrada

A) I y II B) Sólo IIC) II y III D) Ninguna es falsaE) II; III y IV

a b c

d a a

b

a

a

b c

b b

d c

d

a

c

b

d

b

c

d

a


23

E) II; III y IV

4. Se define en A = { 1; 2; 3; 4; 5 } la operación«*», mediante la siguiente tabla:

Analiza el valor de verdad de las siguientesproposiciones:I. Si x = 1, entonces (1 * x) * 3 = 3II.Se cumple la propiedad conmutativa.III. Se cumple la propiedad de clausura.IV. El elemento neutro es 3.A) VFVF B) FVVF C) FVFVD) VVFF E) VFVV


5. Para cualquier número entero «x» se define

la operación x , como: 1xx 2 .Identifica cuál de las siguientes expresiones

es equivalente al producto de 3 y 4 .A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 7

6. Se define la siguiente operación:

44x321x2 ; « x Î R

Analiza, cuál de las siguientes expresionesno corresponde a la definicion dada.

A) 2x41x2 B) 8x81x2

C) x = 16x + 60

D) x = 2x + 4 E) x = 16x + 16

1

2

3

4

5 1

3

4

1

2

5

2

5

1

2

5

1 3

1

2

3

4

5

4

2

5

4

3

2 5

5

1

5

1

3

7. Se define la siguiente relación:

Entonces, podemos inferir que:

es igual a :

A ) B) C)

D) E)

8. En el conjunto A = { 1; x; 2x } se define laoperación «*», dado por la tabla:

En la siguiente tabla interpreta la expresión

equivalente a: 121 )x(x

A) )1x(x2 B) 2)1x( C) 1x2

D) )1x(x E) 1x2


9. Se define:

(2b)b2

ab

además:

a+b

a b.

a + b

Calcula:

1036

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

=

1

x

x2 1

1

x

x2

x

x

x2

1 x2

x2

1

x


24

10. Si:h(x) = ax2 + bx + c

h(1) = 7 Ù h(–1) = 3 Ù h(0) = 4Halla:

h(h(–2))

A) 124 B) 120 C) 134D) 144 E) 150

11. Si:a * b = (b * a)2 ; a * b > 0

Resuelva:E = (1 * 2)2 + (2 * 3)3 + (3 * 4)4 + ... + (10 *

11)11

A) 10 B)8 C) 2D) 7 E) 6

12. Se define: Æa Æ b = [a][b]

además:[x] = n si n < x < n +1 ; n Î Z

Interpreta:

4,031,021,03,22,05,3

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 0

13. Se define:

b9b*a

01x;9x1x 2

Calcula: 225 * 15

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

14. Se define:

ba;bababa

ab

Halla el valor de:E = (...((((1 D 1) D 2) D 3) D 4 ... D 100)

A) 40 B) 160 C) 50D) 1 E) 101

15. Si: x x + 1x – 1

; x 1

Elabora:

B ........ 2 ........

149 operadores

A) 1 B) 2 C)3D) 4 E) 5

16. De acuerdo a:22 * 30 = 612 * 53 = 1345 * 14 = 21

Halla en:

32*7359*)18*5a(

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

17. Si: a Ä b = a2 – b2

a Å b = Log2(a – b) ; a – b > 0Calcula:

)2a22a3()35(E

A) a7 B) a3 C) a8

D) 3 E) 1

18. Se define el operador siguiente:

x + 1 x + 22(x + 1)

Halla “y” en:

y 4y

A) 1 B) 5 C) 7D) 9 E) 3

19. Si:m D n = p + 2 Û p x n = m – 1Busca el valor de “x”:

x D 7 + (x + 1) D 7 = (6 D 5) + 8

A) 10 B) 35 C) 20D) 30 E) 25


25

20. Se define:

nx...xxf n21

)n(

donde “n” es núme-

ro entero positivo.Si: xk = (–1)k ; k Î Nreconoce el conjunto de valores posiblesde f(n) es:

A) {0} B)

n1

C)

n1,0

D)

n1,0 E)

n1,1

21. En el conjunto de los números naturalesdefinimos las siguientes operaciones:

a * b = a2 – ba ? b = 3a – b2

a D b = 2a + 3b

Si: x * x = 6 ; y ? y = – 4Halla: x D y

A) 7 B) 17 C) 18D) 16 E) 8

22. Si: 21F2

F )n()1n(

Calcula: F(61) ; si F(1) = 2

A) 30 B) 28 C) 32D) 26 E) 40

23. Se define:

x 8x + 35

Efectua:

A) 20 B) 24 C) 27D) 25 E) 21

24 Dada la siguiente tabla de doble entrada yde módulo 4, definamos la operación () enel conjunto:A = {1; 2; 3; 4}:

1 2 3 4

1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Calcula "x", si:[ (2–1 3)–1 x ] [ (4–1 2) 3 ]–1 = 1A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

25. Dada la operación binaria:a # b = a + b + ab

Halla el elemento neutro.A ) 1 B) 1/2 C) 0D) –1 E) –2

26. Si: A = {1; 2; 3; 4}

1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Efectúa el valor de "x" en:( (2–1 3)–1 x–1 ) * ( (4–1 2) * 4)–1 = 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) No existe

27. En el conjunto de los números realesdefinimos la operación ():

a b = a + b + 2ab a, b RInterpreta si se cumplen las siguientesafirmaciones:( ) a b = b a. Es conmutativa( ) (a b) c = a (b c). Es asociativa( ) El cero se comporta como el elemento

identidad

A) VVF B) VFF C) VVVD) FFF E) FVV


26

5.1. HABILIDAD OPERATIVA

Consiste en analizar formas de solución paraproblemas aparentemente complicados, conun poco de habilidad matemática e intuiciónpráctica.

Observaciones (N° par) + (N° par) = (N° par) (N° impar) + (N° impar) = (N° par) (N° par) + (N° impar) = (N° impar) (…5) x (N° impar) = ….5 (…5) x (N° par) = ….0 (N° par) x (N° par) = (N° par) (N° par) x (N° impar) = (N° par) (N° impar) x (N° impar) = (N° impar)

222 )ba(bab2a

)ba)(ba(ba 22

)baba)(ba(ba 2233

Razonamiento InductivoConsiste en analizar casos particulares, esdecir realizar experiencias sencillas pero conlas mismas características del problema original,que nos permita llegar a una conclusión.

C A S O I

C A S O II

C A S O III

C A S O

G E N E R A L

Casos Particulares

Razonamiento Inductivo

Ejemplo Nº 01Halla el total de formas que se puede leer lapalabra cepreval si no interesa el orden delectura.

cc e c

c e p e cc e p r p e c

c e p r e r p e cc e p r e v e r p e c

c e p r e v a v e r p e cc e p r e v a l a v e r p e c

A) 512 B) 1 024 C) 2 048D) 255 E) 8 192

ResoluciónAnalizando casos particulares

N° de formas

De 1 letra

c 1 = 12 – 1

De 2 letras

c 3 = 22 – 1 c e c

De 3 letras

c 7 = 32 – 1 c e c c e p e c

De 4 letras

c 15 = 42 – 1 c e c c e p e cc e p r p e c

N ° de formas = 82 – 1 = 255

CAPÍTULO V HABILIDAD OPERATIVA Y SUCESIONES


27

Cifras terminalesConsiste en calcular la última cifra del resultadode un número que será expuesto a sucesivasoperaciones.

a) Cifras terminales para números queterminan en: 0; 1; 5 ó 6En este caso la cifra terminal será la últimacifra del número base.

0...)0...( n

1...)1...( n

5...)5...( n

6...)6...( n

b) Cifras terminales para números queterminan en: 4 ó 9En este caso la última cifra del desarrollodependerá si el exponente es par o impar.

4...)4...( IMPARN

6...)4...( PARN

9...)9...( IMPARN

1...)9...( PARN

c) Cifras terminales para números queterminan en: 2; 3; 7 ó 8En este caso las cuatro primeras cif rasterminales son diferentes y cada grupo decuatro se repiten las mismas cifras terminales.

6...)2...( 4

2...)2...( 14

4...)2...( 24

8...)2...( 34

1...)3...( 4

3...)3...( 14

9...)3...( 24

7...)3...( 34

1...)7...( 4

7...)7...( 14

9...)7...( 24

3...)7...( 34

6...)8...( 4

8...)8...( 14

4...)8...( 24

2...)8...( 34

Observación:

)positivoenteronúmero()parN(

)positivoenteronúmero()imparN(

Ejemplo Nº 02En que cifra termina:

2VALUNHE282 9MAT5RAZ)4DEF8ABC(

A) 0 B) 1 C) 3D) 9 E) 4

ResoluciónAnalizando los exponentes de cada sumando

282 =

4 +2

UNHE : es un número de 4 cifras

2VAL : es un número parEntonces:

= 2VALUNHE282 )9(.....)5(.....)4.....8(.....

= parnúmeronúmero24 )9(.....)5(.....)2(.....

= par##2 )9(.....)5(.....)2(..... = ……4 + ……5 + ……1= ……0

Termina en cifra 0.

número)2...(

número)7...(

número)3...(

número)8...(

número)4...(

número)9...(

n Z


28

Razonamiento DeductivoConsiste en analizar y aplicar una verdadgeneral (ya demostrado), en ciertos casosparticulares.

Ejemplo Nº 03

Si: dabcdd

Calcula: cdbaE

A) 8 B) 4 C) 1/4D) 5/3 E) 6

Resolución

Como dabcdd ; entonces: ddabcd

Se observa que el numeral de 4 cifras dependedel valor que toma «d».

Si: d = 1 abcd1111

Si: d = 2 abcd4422

Si: d = 3 abcd272733

Si: d = 4 abcd25625644

Si: d = 5 abcd3125312555 (cumple)

Si: d = 6 abcd466564665666

Por lo tanto cumple cuando «d» es igual a 5;comparando términos:

a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5

Reemplazando cdbaE

42

513

La respuesta es 4.

Razonamiento Deductivo

Casos Particulares

CASO I

C A S O

G E N E R A L

CASO II

CASO III

CASO IV

5.2. SUCESIONES

SucesiónEs un conjunto de números, letras y/o gráficosordenados de acuerdo a una determinada LEYDE FORMACIÓN.

Una sucesión es finita cuando tiene un últimotérmino y es infinita, cuando no tiene últimotérmino.

Sucesiones NuméricasEs un conjunto formado exclusivamente pornúmeros que están ligados entre si medianteuna determinada ley de formación.

Sucesiones LiteralesSon conjuntos formados exclusivamente porletras del abecedario que están ordenados deacuerdo a un determinado criterio; estoscriterios son: Lugar que ocupa en el alfabeto. Iniciales de palabras conocidas. Formación de palabras.

Sucesiones GráficasSon conjuntos formados exclusivamente porgráficos ordenados de acuerdo a ciertoscriterios: Criterio de giro (horario o antihorario). Criterio de aparición y/o desaparición de

elementos de la figura. Unión y/o intersección de figuras.

Ejemplo Nº 04Halla el valor de «x» en la siguiente sucesión.

2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x

A) 91 B) 93 C) 95D) 97 E) 99

Resolución

2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x

+48 +24 +12 +6 +3 2 2 2 2

Se observa que: x = 95

…Cada elemento de una sucesión

se denomina término...


29

SUCESIÓN ARITMÉTICASucesión Lineal o Progresión AritméticaSea la sucesión aritmética:

1t ; 2t ; 3t ; 4t ; … ; nt

+r +r +r

En general:

Sucesión CuadráticaSea la sucesión cuadrática:

ot 1t ; 2t ; 3t ; 4t ; …

ok 1k ; 2k ; 3k ; 4k

r r r r

En general:

SUCESIÓN GEOMÉTRICASea la sucesión geométrica:

1t ; 2t ; 3t ; 4t ; … ; nt

q q q

En general:

SUCESIONES ESPECIALESSucesión de los números primos

2; 3; 5; 7; 11; 13; …

Sucesión de Fibonacci1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …

Sucesión de los números triangulares1; 3; 6; 10; 15; 21; . . . . . .

Sucesiones de números de la forma: 12n 1; 3; 7; 15; 31; 63; . . . . . .

cbnant 2n

2r

ak0

0t

rt1 r

bantn

1n1n qtt

1er orden

2do orden

Ejemplo Nº 05En la siguiente sucesión, halla el primer términonegativo de tres cifras:

120; 113; 106; 99; …

A) – 101 B) – 102 C) – 103D) – 104 E) – 105

ResoluciónCalculo del término enésimo

120 ; 113 ; 106 ; 99 ; ….

-7 -7 -7 -7

Reemplazando los valores en el término generalde una sucesión lineal.

127n6tn Por dato:

100127n6

....8,37n Donde el primer término negativo, será cuandon = 38, entonces:

127)38(6t38 = -101

El primer término negativo de tres cifras es-101.

Ejemplo Nº 06En la siguiente sucesión:

1; 3; 7; 15; 31;……el tercer término después de 31 es:

A) 127 B) 245 C) 265D) 295 E) 255

Resolución

1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; …

121 122 123 124 125

Se observa que su término enésimo es de la

forma: 12t nn

Entonces para n = 8 12t 88 = 255

El tercer término después de 31 es 255.


30


Demostración

1. Analiza las siguientes proposic iones ydetermina si son verdaderas (V) o falsas (F)según corresponda:

I. E l primer término de una sucesióngeométrica es diferente de cero.II. La sucesión de forma an2+bn+c esbicuadrática.III. Si se reparte caramelos de 3 en 3 a ungrupo de alumnos , estamos hablando deuna sucesión.IV. En la sucesión alfanumérica, las letrasrepresentan números naturalesconsecutivos.

A) FFFF B) FFVV C) FVFFD) VFVF E) FFFV

2. Identifica el enunciado incorrecto:

A) En una analogía numérica la incógnitaestá en la columna del centro.B) La sucesión: U; N; O;….. Corresponde auna sucesión literal.C) Una sucesión geométrica no es unasecuencia de gráficos.D) En una distribución gráfica no intervienennúmeros.E) Una sucesión aritmética posee una leyde formación de forma an+b.

3. Analice cuales de los enunciados sonincorrectos.

1;1;2;3;5;8;13;……..

I. Es una sucesión linealII. Es una sucesión cuadráticaIII. Es una serieIV. Es una sucesión geométrica

A) Sólo I B) Sólo II C) I , IVD) II , III E) II,III y IV

4. Reflexiona en cuál de las alternativas no se

representa una sucesión:

A) 7; 3; -1; -5; -9; -13;…B) 2x; 5x; 7x; 9x;…C) C; E; P; R; E; V; …D) 2 + 4 + 6 + 8 +….E) 2X +1; 3X + 2; 4X +3; …

5. Discirmina la alternativa que cumple con la

analogía mostrada

A) B) C)

D) E)


6. Indentifica las sucesiones con sus términosenésimos correspondientes:

I 1; 3; 6; 10; 15….

II 9; 13; 17; 21; 30….

III 0; 7; 26; 63; 124;…

a) 4n + 5b) n3 – 1

c) 2

)1( nn

A) Ia; IIb; IIIc B) Ic; IIa; IIIbC) Ia; IIc; IIIb D) Ib; IIa; IIIcE) Ic; IIb; IIIa

es a como es a …..?


31

7.Infiere su término enésimo:3; 12; 27; 48; 75; …

A) 12 n B) 33n

C)

2

213

n D) 312 n

E) 23n8. En la sucesión: 3x; 4x; 7x; 11x;…Analiza cuáles de las siguientes proposicionesson verdaderas:

I. t5 =18xII. tn = tn-1+ tn-2; para n e» 3III. t6 = 38xIV. tn = 2n2 – 3n + 4

A) 3 B) 1 C) 4D) 2 E) 0

9. Interprta la relación correcta:

9 11 a

2 20 8 2 2 10 x R y

4 2 b

A) 2(x + y) = RB) y = R+x3

C) (a.b) = R + (x.y)D) (y – x)+( a - b) =R +1E) (a.x) = R + (b.y)

10. En la siguiente sucesión gráfica:

; ; ; …Identifica cuales de las proposiciones sonverdaderas:

I. El criterio de giro es anti horarioII. El criterio de giro es horarioIII. El criterio es de aparición y desaparición

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) II y III E) I y II

Capacidad Nº 03:Resolución y Problemas

11. Analiza qué letra sigue.D; D; R; M; S; ...........

A) D B) M C) F D) L E) R

12.Busca qué letra sigue en.A; A; B; D; G; M; .....

A) A B) X C) Y D) Z E) W

13. Halla el término de lugar 10 en:5; 17; 43; 89; 161; ......

A) 1121 B) 1221 C) 1321D) 1421 E) 1721

14. Calcula el valor de «n» en la siguientesucesión:

(a + 3)1; (a + 7)3; (a + 11)5; ... ; (a + 118 – n)n

A) 210 B) 20 C) 39 D) 28 E) 72

15. En la siguiente progresión aritméticacreciente:

Interpreta el término de lugar (a + b + c)

A) 210 B) 213 C) 216D) 219 E) 222

16.Juzga cuántos términos de la siguientesucesión terminan en cifra 5.

13; 22; 31; 40; ....... ; 904

A) 12 B) 10 C) 11 D) 15 E)20

17. En la siguiente sucesión:

;......2925;

54;

139;

21;

51

Calcula el término enésimo.

A ) 1n2n2

B) n

4n2

C)n4n

n2

2

D)

4nn2

2

E)4n

n2

2


32

18. Busca qué figura sigue en la siguientesecuencia.

; ; ; ; ......

A) B)

C) D)

E)

19. De un libro de 226 páginas se han marcadocierto número de pa´ginas del principio;observándose que en las páginas que quedanse utilizaran 451 cifras. Halla cuántas hojas searrancaron.

A) 64 B) 16 C) 44 D) 32 E) 88

20. El número de tipos de imprenta utilizadosen la numeración de un libro excede al númerode páginas en 160. Calcula el número de hojasde dicho libro.

A) 134 B) 120 C) 67 D) 60 E) 94

21. En la siguiente sucesión, Interpreta el tercertérmino negativo de 3 cifras.

120 ; 113 ; 106 ; 99; .....

A) -120 B) - 104 C) -118D)-115 E) - 111

22. Dadas las siguientes sucesiones:

S1 ; 7; 12; 17; 22; ......; 297S2 : 5 ; 12; 21; 29; .....

Formula cuántos términos son comunes aambas sucesiones.

A) 10 B) 7 C) 12D) 5 E) 8

23. Plantea en la siguiente figura cuántas bolitassombreadas hay.

A ) 625B) 360C) 475D) 725E) 820

1 2 3 4 5 4647484950

24. Halla el máximo número de triángulos, en:

1 2 3 19 20A) 180 B) 158 C) 160D) 156 E) 178

25. Determina cuántos triángulos se cuentanen total en la siguiente figura.

A ) 5050

1 2 3 48 49 50

B) 5030

C) 5020

D) 5000

E) 5120

26. Calcula el residuo de la siguiente división:

1

2

212003

UNHVH

UNHVH

E

A)1 B) 0 C)2 D) 3 E) 4

27. Interpreta cuántos triángulos se contaránen la posición 100?

A) 103

B) 300

C) 301

D) 275

E) 725

(1) (2) (3)


33

6.1. SERIES

SerieEs la suma de todos los términos de unadeterminada sucesión.

Sea la sucesión:2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22

Entonces la serie será:2 + 7 + 12 + 17 + 22

Series NotablesSuma de los «n» primeros números naturalesconsecutivos.

21)n(nn4321

Suma de los «n» primeros números naturalespares consecutivos.

1)n(n2n8642

Suma de los «n» primeros números naturalesimpares consecutivos.

2n1)-(2n7531

Suma de los cuadrados de los «n» primerosnúmeros naturales consecutivos.

61)1)(2nn(nn321 2222

Suma de los cubos de los «n» primeros númerosnaturales consecutivos.

23333

21)n(nn321

Suma de los «n» primeros productosconsecutivos. Tomados de 2 en 2

)1n(n...433221 3

2)1)(nn(n

Tomados de 3 en 3

)2n)(1n(n...543432321 4

3)2)(n1)(nn(n

Suma de los inversos de los productos de dosnúmeros consecutivos:

)n(n

)n(n 111...

4x31

3x21

2x11

Ejemplo Nº 01Calcula el valor de:

2222 1011....342312S

A) 3 410 B) 3 452 C) 4 134D) 3 420 E) 5 423

ResoluciónOrdenando y transformando la serie, tenemos:

1110....433221S 2222

)110(10....)13(3)12(2)11(1S 2222

)1010(....)33()22()11(S 23232323

Separando en dos series:

)10....321()10....321(S 33332222

2

2)11(10

6)21()11(10S

= 385 + 3 025

S = 3 410

CAPÍTULO VISERIES, SUMATORIAS Y CONTEO DE FIGURAS


34

Suma de términos de una ProgresiónAritméticaSea:

S = 1t + 2t + 3t + 4t + …+ nt

+r +r +r

En general:

donde:

1t : primer término r : razón aritmética n : número de términos

nt : último término

Suma de términos de una ProgresiónGeométricaSea:

S = 1t + 2t + 3t + 4t +…+ nt

xq xq xq

En general:

donde:

1t : primer término q : razón geométrica n : número de términos

nt : último término

Suma de términos de una serie asociadaa una sucesión polinomial de orden «n»utilizando números combinatoriosSea la serie:

S = 1t + 2t + 3t + 4t + ….. + nt

1k 2k 3k 4k

1q 2q 3q

r r

Se debe cumplir lo siguiente:

n

2tt

S n1n

1q

)1q(tS

n1

n

q1

tS 1

Propiedades

Ejemplo Nº 02Calcula el valor de la suma de los 20 primerosnúmeros de la siguiente serie:

S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +…

A) 2 510 B) 4 502 C) 3 120D) 3 150 E) 2 345

ResoluciónAplicando números combinatorios:

S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + …..

CCC 203

202

201 212S

1231819202

1219201)20(2S

228019040S S = 2 510

Suma LímiteSea la serie:

S = 1t + 2t + 3t + 4t +……

xq xq xq

En general:

donde:

1t : primer término q : razón geométrica ( 0 < q < 1)

S = CCCC n4

n31

n21

n11 rqkt

+1 +5 +3 +7

+2 +2 +2

nnn

n2

n1

n0

103

107

nkn

nk

nn

n1

n0

2C...CCC

CCCC

1C

nC

1C


35

6.2. SUMATORIAS

SumatoriaEs la síntesis de una serie.

Sea la serie: 2 + 7 + 12 + 17 + 22

Entonces la sumatoria será:

5

1k3)(5k

Notación

sumatorialadedesarrollon1n2p1pp

n

pkk aaaaaa

donde: n : límite superior o índice superior p : límite inferior o índice inferior

ka : término general

: operador sumatoria (Sigma)

Sumatorias notables1. Sumatoria de los «n» primeros números

naturales consecutivos.

21)n(nk

n

1k

2. Sumatoria de los «n» primeros númerosnaturales pares consecutivos.

1)n(n2kn

1k

3. Sumatoria de los «n» primeros númerosnaturales impares consecutivos.

2n

1kn1)(2k

4. Sumatoria de los cuadrados de los «n»primeros números naturales consecutivos.

61)1)(2nn(n

kn

1k

2

5. Sumatoria de los cubos de los «n»primeros números naturales consecutivos.

2n

1k

3

21)n(nk

6. Sumatoria de los «n» primeros productosconsecutivos.6.1. Tomados de 2 en 2

3)2n)(1n(n)1k(k

n

1k

6.2. Tomados de 3 en 3

4)3n)(2n)(1n(n)2k)(1k(k

n

1k

7. Sumatoria de los inversos de losproductos de dos números consecutivos

)n(n

)x(x 111n

1X

Propiedades1. Número de términos de una sumatoria.

1mntérminosdeNakn

mk

Caso particular:

ntérminosdeNakn

1k

2. Sumatoria con término general constanteo numérico.

1).cm(nctérminos).de(Ncn

mk

Caso particular: n.ccn

1k

3. Sumatoria de un término general concoeficiente

n

1k

n

1kkaak

4. Sumatoria de un término compuesto

n

1k

n

1k

n

1k

n

1kckbkakck)bk(ak

5. Descomposición en 2 o más sumatorias

1-m

1k

n

1k

n

mkakakak


36

6.3. CONTEO DE FIGURAS

Consiste en determinar el máximo número def iguras pudiendo ser estás ángulos,segmentos, triángulos, cuadriláteros,semicircunferencias, cubos, etc; que seencuentran presentes en una determinadafigura dada.

Figura Simple Figura CompuestaCuando en su Cuando en suinterior no aparece interior aparecenotra figura. otras figuras simples.

MÉTODOS PRÁCTICOS DE CONTEO

Método CombinatorioConsiste en asignar números y/o letras a todaslas figuras simples, posteriormente se procedeal conteo creciente y ordenado de figuras de 1número, al unir 2 números, al unir 3 números,etc.

Método de InducciónConsiste en analizar casos particulares segúnla figura dada (figuras análogas), tratando deencontrar una ley de formación coherente, paraluego poder generalizar (encontrar la fórmula).

PRINCIPALES FÓRMULAS PARA EL CONTEODE FIGURAS

Conteo de Segmentos

Conteo de Triángulos

Caso I

=

1 3 n 2 4

1 3 n 2 4

m

3 2

4

1

1

3

n

2

1 3 H 2 4

3

V

2

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n

# =

2)1n(n m

# =

2)1n(n

1 3 n 2 4

1

3

n

2

1 3 n 2 4 1

3

n

2

# =

2)1n(n

# =

2)1V(V

2)1H(H

Caso II

Conteo de Ángulos

Conteo de Sectores Circulares

Conteo de Cuadriláteros

Caso ICuando tiene una sola dimensión (horizontal overtical).

Caso IICuando tienen 2 dimensiones (horizontales yverticales).

Conteo de Diagonales

# de Diagonales = 2 (# de Cuadriláteros)


37

Conteo de Cuadrados

Caso ICuando sus 2 dimensiones son iguales.

Caso IICuando sus 2 dimensiones son diferentes.

OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta queuno de los factores sea 1 para posteriormentesumar los resultados.

Conteo de Cubos

Caso ICuando sus 3 dimensiones son iguales.

Caso IICuando sus 3 dimensiones son diferentes.

OBS: Multiplicar sus tres dimensiones hastaque uno de los factores sea 1 paraposteriormente sumar los resultados.

1 3 n 2

3

n

2

Conteo de Paralelepípedos

Conteo de Semicircunferencias

donde:n : N° de Diámetros

Ejemplo Nº 03Calcula el número total de cuadriláteros, en lasiguiente figura..

A) 3B) 4C) 8D) 12E) 22

ResoluciónEnumerando la figura dada:

Efectuando el conteo tenemos:

De 1 número : 1; 3; 4; 6 4De 2 números: 12; 23; 35; 56 4De 3 números: 123; 356; 245 3De 4 números: 2345 1

Total de cuadriláteros: 12

3 n

1

p

2

1 3 2 m 1 3 2

1

3

n

2

n - 1

# =

6)1n2)(1n(n

# = m.n + (m–1)(n–1) + (m–2)(n–2) + …

3 n

1

n

2

1 3 2 n 1 3 2

1 3 m 2

3

n

2

# =

2

2)1n(n

# = 2 n

6

1

2

4

5

3

# = mnp + (m - 1)(n - 1)(p - 1)+ . . .

# =

2)1p(p

2)1n(n

2)1m(m


38


Demostración

1.Interpreta el valor de verdad las siguientesproposiciones:

a) Una serie numérica es la suma indicadade los términos de una sucesión numérica.b) En la serie geométrica el valor del términoenésimo esta dado por la siguiente relación:

11 nqtnt .

c) q: significa la cantidad de términos deuna serie geométrica.

A) FVF B) FFF C) VVFD) VVV E) FVV

2. Identifica los siguientes conceptos con sucorrespondiente:

a) Secuencia de términos regidos por unaley de formación.b) Suma indicada de los términos de unasucesión.c) Síntesis de la serie.

I. SumatoriaII. SerieIII. Sucesión

A) a-I; b-II; c-III B) b-I; c-II; a-IIIC) c-I ; b-II ; a-III D) a-I ; c-II ; b-IIIE) c-I ; a-II ; b-III

3.Sobre una carretera hay colocados 8 troncosdistantes una de otra 6 metros. Discrimina ladistancia que tendrá que recorrer una personaque los tenga que llevar uno a uno a un camióncolocado a 10 metros del primer tronco.

A) 494 B) 500 C) 504D) 496 E) 498

4. Identif ica cual de los enunciados soncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria.

15

123k

4. Identif ica cual de los enunciados soncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria.

15

123 k

I. Su descomposición es: 15

12

15

1

15

13 k .

II. Su descomposición es: 15

12

15

1

15

13 k l.

III. Su descomposición es: 15

12

15

13k .

A) I B) II C) IIID) I y II E) Solo II y III

5.Analiza la siguiente figura si es verdad o falsolos siguientes enunciados.

I. El número de triángulos con asteriscos es14.II. El número de triángulos sin asteriscos es10.III. El número total de triángulos es 24.

A) VFVB) FFFC) VVVD) VFFE) FVF

6.En una fiesta asistieron 115 personas. Aliciabailo con 6 muchachos, Celita lo hizo con 9,Sabina con 14, y así sucesivamente hasta queSonia (la última) bailo con todos ellos. Anticipacual es valor de verdad de las siguientesproposiciones:

a) La cant idad de muchachos que noasistieron a la fiesta son 100b) La cantidad de muchachas que hay enla fiesta son 15c) La cantidad de muchachos y muchachasque asistieron a la fiesta fueron 105d) La cantidad de muchachos que asistierona la fiesta fueron 105e) El número de muchachas es divisible portres.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VVVVF E) FFVFF


39

7. De la siguiente serie:

7.........15..........47382920 baaE Anticipa cual es el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

a) El término enésimo es..........119 nnt

b) El valor de a – b = 5.c) La serie tiene 96 términos.d) La serie presentada como una

sumatoria es: ..........94

1119 nE

A) FVV B) FFV C) VVFD) VFFV E) VFV

Capacidad Nº 02Comunicación Matemática

8. interpreta la figura y mensionar su valor deverdad de los enunciados.

I. E l número total de triángulos es:

2)( mnnm

II. Si m y n son iguales el número de triánguloses n3.III. Si m = 6 y n = 7 la cantidad de triángulosque habría es: 280

A) VFV B) FFF C) FVFD) VFF E) FVF

9. En la siguiente serie aritmética.

67.........13212 nnE , tiene 129términos. Infiere si es verdad (v) o falso (f),lo siguiente:

a. El valor de «n» es 7.b. La razón de la serie es «6»..c. La suma de los 20 primeros términos es:

3490.d. El termino de lugar 20 es: 222.e. El termino 237 ocupa el lugar 22.

A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD) VFVVF E) FFVFF

10. Infiere lo siguiente:

I. S i la base es cuadrangular cuántaspirámides existieran.II. Si la base es cuadrada cuantas pirámidesexistieran.III.La suma de la cantidad de pirámides debase cuadrada y cuadrangular es.

A) 288; 112; 5000B) 288; 116; 500C) 288; 112; 500D) 298; 112; 500E) 208; 120; 510

11.Analiza la verdad o falsedad de acuerdo alsiguiente arreglo lo siguiente.

..........693462231 S

I. Si la serie tiene 40 sumandos la suma será560.II. La serie es convergente.III. La cantidad de sumandos que debe tener,para que la suma de la serie sea 3400 es100.

A) VFV B) FFF C) VVFD) VVV E) FFV


44120...................

163

92

41

.

Identifica cual o cuales son representadas comosumatorias.

I.

20

1 21nn

II.

7

1 21

20

8 21 nn

nn

III.

7

1 21

14

8 21

20

15 21 nn

nn

nn

A) I B) II C) IIID) Solo II y III E) Todas


40

13. Un atleta recorre el día de hoy 15 kilómetrosy cada día que pasa un kilómetro más que eldía anterior.Interpreta los enunciados:

I. La distancia que recorrió, si el penúltimodía recorrió 33 kilómetros.II. El término enésimo.III. El valor de la suma de serie hasta el últimodía sera:

A) 490; tn= 4n+1; 410B) 490; tn= 3n+1; 490C) 490; tn= 2n+1; 490D) 490; tn= n+1; 490E) 490; tn= n+1; 690

14. Un camionero lleva ladrillos de un depositoa su fabrica y lleva la primera vez 28, pero sele caen 7, entonces decide aumentar a 16ladrillos por viaje con respecto a cada viajeanterior, pero las caídas aumentan de viaje enviaje en 4 ladrillos. Si desea acumular 2700ladrillos. Interpreta cuantos viajes debe hacer.

A) 26 B) 15 C) 24D) 35 E) 20

Capacidad Nº 03Resolución de Problemas


100...................232221 S .

A) 2025 B) 2205 C)5048D) 4840 E) 5050

16. Determina el valor de «x+y» si:1+3+5+7+……………..+x = 1962+4+6+8+……………..+y = 420

A) 27 B) 40 C) 67D) 40 E) 69

17. Infiera la cantidad de triángulos que hay enla siguiente figura.

A) 92B) 93C) 94D) 95E) 97

18. La cantidad de segmentos como máximoque hay en la siguiente figura será

1 2 3 10 A) 502 B) 4620 C) 492D) 522 E) 165

19. Halla la cantidad de ángulos agudos de lasiguiente figura

A) 26B) 28C) 20D) 23E) 21

20. De la siguiente figura. Indica cuantoscuadriláteros hay.

A) 32B) 33C) 30D) 35E) 36

21. Edú piensa pagar por una bicicleta BMX dela siguiente forma cada fin de mes, el primermes S/. 0,25, el segundo mes S/. 1, el tercermes S/. 2,25, el cuarto mes S/. 4 y asísucesivamente durante 20 meses. Analiza cualserá el precio final de la BMX.

A) S/.400,50B) S/.717,50C) S/.350,50D) S/.700,50E) S/.750,50

22. Determina la suma de todos los términos dela sucesión finita.

4; 7; 12; 19; 28;…………….; 292

A) 1752 B) 1896 C) 1863D) 1785 E) 1836


41

Enunciado Lenguaje

Matemático Traducción

Forma Verbal

Forma Simbólica

Oraciones traducidas del lenguajecastellano al lenguaje simbólico

La suma de tres números consecutivos

x + (x + 1) + (x + 2)

El cubo de la suma de dos números

3)ba(

La suma de los cubos de dos números

33 ba

A excede a B en 11 A es mayor que B en 11 El exceso de A sobre B es 11 B es excedido por A en 11

A – B = 11 A = x + 111 B = x

A es a B como 3 es a 8 La relación entre A y B es 3/8

83

BA

A = 3k

B = 8k

A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad de A

A = 2B A = 2kB = k

A es tres veces más que B A es tres veces mayor que B

A = 4B A = 4kB = k

La mitad de un número aumentado en 5

x 5

2

7.1. PLANTEO DE ECUACIONES

Plantear una ecuación consiste básicamenteen la traducción de un enunciado literal a unenunciado simbólico (ecuación).Esquema:

Ejemplo Nº 01Matematiza el siguiente enunciado: Una mañanasoleada Gustavo, le dice a Carlos: «Yo tengoS/. 22 más que tú».

Yo: 22 + xTú: x

EcuaciónEs una relación de igualdad que se establecenentre 2 expresiones algebraicas que tienencomo mínimo una variable.

Conjunto solución de una ecuación (CS)Es la relación de todas las solucionesparticulares que presenta la ecuación.

Ecuación Lineal

Es de la forma: ax + b = 0 ; a 0

donde C.S. =

ab

Ecuación Cuadrática

Es de la forma: 0cbxax2 ; a 0

donde C.S. = }x;x{ 21

además: a2

ac4bbx

2)2,1(

CAPÍTULO VIIPLANTEO DE ECUACIONES, EDADES Y MÓVILES


42

Ejemplo Nº 02En un examen de 30 preguntas, cada respuestacorrecta vale 4 puntos, la incorrecta -1 punto yen blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82puntos y noto que por cada respuesta enblanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contestócorrectamente?

A) 20 B) 7 C) 13D) 21 E) 14

ResoluciónN° de preguntas en blanco: xN° de preguntas correctas: 3xN° de preguntas incorrectas: (30 – 4x)

Del enunciado tenemos:

x(0) + 3x(4) + (30 – 4x)(-1) = 82 12x – 30 + 4x = 82

16x = 112 x = 7

Piden:Nº° de preguntas correctas = 3x

= 3(7) = 21

Contestó correctamente 21 preguntas.

7.2. EDADES

En el tema de edades intervienen sujetos cuyasedades se relacionan a través del tiempo bajouna serie de condiciones que deben cumplirse,dichas relaciones se traducen en una o másecuaciones según indica el problema.

Casos Frecuentesa) Cuando interviene la edad de un solosujeto

Sea la edad actual del sujeto: «n» años,entonces dentro de «a» años tendrá «n + a»años y hace «b» años tenía «n – b» años.

Esquema

b) Cuando intervienen las edades de doso más sujetos

Para resolver estos tipos de problemas sesugiere el uso de un cuadro de doble entradacon el propósito de ordenar y relacionarconvenientemente los datos.

Esquema

Observación* La diferencia de edades de 2 personas esconstante en cualquier tiempo.* La suma en aspa de valores extremossimétricos es constante.

Ejemplo Nº 03Manuel tiene cuatro veces la edad de su hijoDavid; dentro de 20 años Manuel tendrá el doblede la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el hijoactualmente?

A) 10 años B) 11 años C) 12 añosD) 13 años E) 14 años

Resolución

Del enunciado tenemos:4x + 20 = 2 (x + 20)

desarrollando x = 10

Piden determinar la edad del hijo: x = 10 años

El hijo de Manuel tiene 10 años.

Edad actual

- b +a

n – b n n + a

Presente Futuro Pasado

Pasado Presente Futuro

Sujeto 1

Sujeto 2

EDADES

TIEMPOS

SU

JETO

S

Pasado Presente Futuro

Manuel

David

4x

x

4x + 20

x + 20

Edad de Manuel = 2 (Edad de su hijo)


43

Presente Futuro Pasado

Tú

Yo

Él

tenías, tuviste tienes tendrás, tengas

tenía, tuve tengo tendré, tenga

tenía, tuvo tiene tendrá, tenga

Ubicación de expresiones frecuentes,que encontramos en los enunciados enuna tabla de doble entrada.

c) Relaciones entre el Año de Nacimientoy la Edad de un seujeto

Para todo sujeto, se cumple que la relación desu edad actual, su año de nacimiento y el añoactual es el siguiente:

Cuando el sujeto cumplió años en el presente,se cumple que:

Cuando el sujeto todavía no cumplió años en elpresente, se cumple que:

Ejemplo Nº 04

Gustavo nació en el año xy19 y en 1 980 tuvo(x + y) años. ¿Cuántos años tendrá el 2 006?

A) 35 B) 36 C) 37D) 38 E) 39

ResoluciónComo:

Año de nacimiento + Edad = Año actual

Entonces:

xy19 + (x + y) = 1 980

1 900 + 10x + y + (x + y) = 1 980 11x + 2y = 80

dando valores: 11(6) + 2(7) = 80

En el 2 006, tendrá: 2 006 – 1 967 : 39 años

1

ACTUALAÑO

ACTUALEDAD

NACIMIENTOAÑO

ACTUAL

AÑOACTUAL

EDADNACIMIENTO

AÑO

V

A

t

B d

7.3. MÓVILES

Los problemas sobre móviles estánrelacionados al estudio del movimiento de loscuerpos y de sus característ icasfundamentales (distancia, velocidad y tiempo).

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U)Es aquel tipo de movimiento que tiene comotrayectoria una línea recta, además secaracteriza por mantener su velocidadconstante (módulo, dirección y sentido) durantetodo el movimiento.

En general:Dado un móvil que se mueve desde el punto«A» hasta «B», según se indica la figura:

Se cumple:empleadotiempo

recorridaciatandisvelocidad

Leyes del Movimiento Rectilineo Uniforme

tdv d = vt v

dt

TIEMPO DE ALCANCE

21

A VVdT

TIEMPO DE ENCUENTRO

21E VV

dT

V1 V2

t t

d

d

V1 V2

t

t


44

TREN

PUENTETRENc V

LLT

TREN

TRENc V

LT

2Tren1TREN

2Tren1TRENc VV

LLT

V2

t

d

V1

t

TIEMPO DE SEPARACIÓN

21E VV

dT

TIEMPO DE CRUCE* Entre un puente

* Entre una persona

* Entre dos trenes

Donde L: longitud del tren y/o del puented: distancia que separación inicial

21 VyV : velocidades

Equivalencias notables

1 km < > 1 000 m18 km/h < > 5 m/s 1h < > 3 600 s 1 min < > 60 s

Observación:velocidad del sonido <> 340 m/s

Ejemplo Nº 5Para ir de un punto A a otro B, una personacamina a razón de 8 km/h y para volver al puntode partida lo hace a razón de 5 km/h. Se deseasaber el espacio total recorrida por la personasabiendo que en el viaje de ida y vuelta haempleado en total 13 horas.

A) 80 km B) 90 km C) 70 kmD) 60 km E) 50 km

8 km/h

A

t1

B x 5 km/h

t2

ResoluciónGraficando según el enunciado:

Por dato: 13tt 21 135x

8x

x = 40

El recorrido total es: 2x = 2(40) = 80 km.


Demostración1. Establece la verdad (V) o falsedad (F) delas siguientes proposiciones:

I. La trayectoria es el movimiento a la curvaque describe el cuerpo.II. La cinemática es el estudio de losmovimientos en función al tiempoindependiente de las interacciones que losproduceIII. Siendo la velocidad instantaneaconstante, necesariamente, la velocidadmedia es también constante e igual a v.

A) FVV B) VFV C) VVFD) VFF E) VVV

2. Con respecto al movimiento de los cuerpos,identifica el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. Movimiento: es el cambio de posición queexperimenta un cuerpo con respecto altiempo.II. Desplazamiento: cambio de posición deun cuerpoIII. Trayectoria: camino que sigue un cuerpoen movimiento.IV. Velocidad: es la distancia recorrida en launidad de tiempoV. Movimiento rectilíneo uniforme: es el querealiza un móvil que sigue una trayectoriarecta

A) VVFFV B) VFFVV C) FVVVFD) FVVVV E) VVVVV


45

5. Esquematiza a seguir para resolverproblemas de ecuaciones :

I. Plantear la ecuaciónII. Designar la incógnitaIII. Leer y comprender el enunciadoIV.Resolver la ecuaciónV. Discusión e interpretación de losresultados

A) I. II, III, IV, V B) II, III, IV, V, IC) III, IV, V, I II D) III, II, V, I, IVE) III, II, I IV, V

6. Analiza el siguiente enunciado y diga cuantasde estos enunciados son verdaderos:

I. El móvil recorre distancias iguales entiempos igualesII.La velocidad es constanteIII. La velocidad y el desplazamiento tienenla misma dirección y sentidoIV. La magnitud de la velocidad es igual a larapidezV.La magnitud del desplazamiento es iguala la rápidez

A) 2 B) 5 C) 3D) 3 E) 4


7. El profesor de un colegio le dice al Directorsi se forman filas de 7 niños sobran 5, perofaltarían 4 niños para formar 3 filas más de 6niños. Halla cuántos niños son:

A)72 B) 61 C) 68D) 116 E) 92

8. Un comandante dispone sus tropas formandoun cuadrado y ve que le quedan fuera 36hombres. Entonces pone un hombre más encada lado del cuadrado y ve que le faltan 75hombres para completar l cuadrado. Buscacuántos hombres habia en el lado del primercuadrado y cuántos hombres hay en la tropa.

A) 50 y 3 051 B) 55 y 3061C) 56 y 3060 D) 60 y 3000E) 55 y 3060

9. En un examen de 30 preguntas, cadarespuesta correcta vale 4 puntos, laincorrrecta -1 punto y en blanco 0 puntos. Siun estudiante obtuvo 82 puntos y notó que porcada respuesta en blanco tenia 3 corrrectas.Calcula cuántas contesto incorrectamente.

A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

10.Un ganadero compró 30 cabaloos más quevacas y tantos cerdos como caballos y vacasjuntos, pagando por las vacas el doble que porlos caballos, además por dos vacas pagó tantocomo por 7 cerdos y gastó lo mismo. Resuelvacuántos animales compró.

A)240 B) 180 C) 140 D) 120 E) 200

11.Varios loros se posan en postes contravesaños. Cuando hay un loro en cada poste,3 loros estan volando pero cuando en cadaposte hay 3 loros quedan 3 postes libres.Determina el número de postes.

A) 9 B)10 C) 8 D) 6 E) 12

12. En un negocio de aves se venden pavos,gallinas y codornices. Son todos gallinas menos5, son todos pavos menos 7, y son todoscodornices menos 4, si un cliente compró todaslas gallinas y codornices, interpreta cuantos:

A) Compró 8 aves B) Sólo quedó 1 pavoC) Dejó 3 pavos D) Habian 7 pavosE) Llevó 16 aves

13. 5 libros y 3 cuadernos cuestan 350 solesmás caro que 3 libros y 5 cuadernos. Analizacuántos soles más barato que una docena delibros cuesta una docena de cuadernos.

A) 15 B) 20 C) 21 D) 22 E) 20,5

14. Un niño fue con 36 soles para comprarpelotas, pero al llegar a su destino se enteróque cada pelota costaba 1 sol menos de loque creía, donde dedujo que con el mismodinero que llevaba podía comprar 3 más delo que pensó. Resuelva cuántas pelotascompró.A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13



46

15. En una reunión el número de caballeros esdos veces más que el número de mujeres;después de que se retiran 8 parejas el númerode hombres que aún queda es igual a cuatroveces el de damas. Interprete cuántoscaballeros había inicialmente.

A) 16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 72

16.Un tren que pasa por delante de unobservador inmovil, demora 7 segundos y alpasar por una estación de 360 m. demora 22segundos. Deduzca su velocidad.

A) 20m/s B) 21m/s C) 22m/sD) 23m/s E) 24 m/s

17. La rapidez de un bote de ida es 20km/h;cuando va de regreso (contra la corriente),logra una rapidez de 15 km/h. Halla el espaciorecorrido si va de Huánuco a huancayo,sabiendo además que de ida demora 5 horasmenos que de regreso.

A) 500km B) 150km C) 225kmD) 300km E) 180km

18. Una persona sale todos los días de su casaa la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00h; un día se traslada a triple velocidad y llega asu trabajo a las 8:00 h. Juzga a que hora salesiempre de su casa.

A) 7:00 h B) 6:00 h C) 5:00 hD) 4:00 h E) 9:00 h

19. En una carrera toman parte 3 cabalolos,«A», «B» y «C» que han de recorrer 1800m. ElCaballo «A» llega a la meta con una ventaja de60 m sobre «B» y 8 segundos antes que «C»y «B», luego de 2 segundos antes que «C».Hala cuánto tiempo tardo en la carrera el caballo«B».

A) 1min. B) 1min. 20s C) 2 min. 30 sD) 3 min E) 3 min. 10s

20. Un microbus debía cubrir una ciertadistancia en un determinado tiempo, pero comoel conductor era novato, recorrío todo eltrayecto con 1/5 menos de la velocidad normaly llego con un retraso de 4 horas. Reconoceen cuántas debío llegar normalmente.

A) 12 horas B) 18 horas C) 15 horasD) 19 horas E) 16 horas

21. Dos trenes cuyas longitudes son 147m y103m marchan sobre vias paralelas en el mismosentido. Si la velocidad del primero es de 48m/s y el segundo demoró 50 segundos en pasarlo.Calcula en m/s la velocidad del último tren.

A) 25m/s B) 15 m/s C) 12 m/sD) 35 m/s E) 53 m/s

22. Dos motociclistas Javier y Carlos disputanuna carrera, cuyo recorrido es de 30 km. SiJavier le da a Carlos 6 km de ventaja, llegan almismo tiempo a la meta; en cambio si le da 3 kmde ventaja solamente, le gana por 10minutos.Calcula cuánto más rápido es Javierde Carlos.

A) 3,5 km/h B)22,5 km/h C) 18 km/hD) 4,5 km/h E) 14,5 km/h

23. Dos ciclistas corren sobre una pista circularde 360 metros de longitud, si van en el mismosentido el primero pasa al segundo en todoslos minutos; cuando ellos marchan en sentidocontrario ellos se cruzan a intervalos regularesde 12 segundos. Halla cuáles son lasvelocidades de los ciclistas en metros porsegundo respectivamente?

A) 15 m/s y 18 m/s B) 18 m/s y 14 m/sC) 15 m/s y 12 m/s D) 18 m/s y 12 m/sE) 15 m/s y 14 m/s

24. En una pista circular de 3 000 m, dos atletasparten juntos en sentidos contrarios y secruzan al cabo de 20 min. Después de 5 minutosllega el más veloz al punto de partida. Buscacuál es la velocidad del otro en m/min?

A) 30 m/min B) 36 m/min C) 24 m/minD) 18 m/min E) 20 m/min

25. Dentro de 8 años la suma de nuestrasedades será de 46 años; pero hace «n» añosla diferencia de nuestras edades era de 4 años.Analiza hace cuántos años la edad de uno erael triple de la edad del otro.

A) 10 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9

26. Se le pregunto por su edad a ugusto y élresponde: «Multipliquen por 3 los años quetendré dentro de 3 años y réstenle el triplede los que tenía hace 3 años y obtendránprecisamente los años que tengo». Resuelvaqué edad tenia ahora.



47

27. Cuando yo tenga el doble de la edad que tutenías, cuando yo tenia la mitad de la edad quetuve, cuando tu tuviste la edad que yo tengo,tu tendras el doble de lo que tengo, si nuestrasedades suman 60 años. Interprete cuántosaños tendrás cuando yo tenga lo que ya tedije.

A) 24 B) 48 C) 36D) 42 E) 50

28. Dentro de 10 años tu tendras la edad queyo tenía cuando tu tenías la edad que yo teníahace 34 años. Halla cuántos años tengo sidentro de 20 años la suma de nuestras edadessera 98.

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

29. Cuando tengas lo que yo tengo, tendrás loque él tenía, cuando tenías la tercera parte delo que tienes y yo tenia la tercera parte de loque él tiene, que es, 5 años más de los quetendré, cuando tengas lo que ya te dije y éltenga lo que tú y yo tenemos. Juzge yo tenía:

A) 5 B) 7 C) 8D) 10 E) 11

30. Dentro de 8 años la suma de nuestrasedades será 42 años; pero hace «a» años ladiferencia de nuestras edades era de 8 años.Calcule hace cuántos años la edad de uno erael triple de la del otro.

A) 2 B) 3 C) 4D)5 E)6

31. Se le pregunta por su edad a Augusto y élresponde: «Multipliquen por 3 los años quetendré dentro de 3 años y restenle el tripledelos que tenía hace 3 años y obtendránprecisamente los años que tengo». Analiza quéedad tenia ahora.


32. Hace 12 años la edad de 2 hermanosestaban en relación de 4 a 3, actualmente susedades suman 59 años. Calcula dentro decuántos años sus edades estarán en relaciónde 8 es a 7.

A) 9 B) 8 C) 7D) 20 E) 21


48

8.1. CRONOMETRÍA

Tiempo transcurrido (TT) y tiempo quefalta transcurrir (TFT)Para la resolución de este tipo de problemas,es recomendable tener presente la realizaciónde un esquema; por ejemplo:

Para un día

Ejemplo Nº 01Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará paralas 5:00 pm será la mitad del tiempotranscurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20minutos. ¿Qué hora es?

A) 4:20 p.m. B) 4:30 p.m. C) 4:40 p.m.D) 4:10 p.m. E) 4:35 p.m.

ResoluciónSea «x» los minutos que indicará la horacorrecta:

Del gráfico: 2k +k + 20+10 = 60 k = 10 min

Cálculo de «x»:x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min

Son las 4:40 pm

HORA EXACTA

Tiempo transcurrido

0 h

Tiempo que falta transcurrir

1 Día <> 24h

x 24 h

(24 – x)

x

5:00

TFT TT

1hora <> 60min

x 4:00

2k k

10min 20min

Ángulos formados por el Minutero y elHorario

Cuando el horario se adelanta alminutero

Cuando el minutero se adelanta alhorar io

Ejemplo Nº 02¿A qué hora entre las cuatro y las cinco lasagujas de un reloj están superpuestas?

A) 4 h B) 4 h 11921 min

C) 4 h 30 min

D) 4 h 12935 min E) 3 h 21min

ResoluciónComo las agujas se encuentran superpuestas,entonces formaran un ángulo de 0°, luegoreemplazando los datos tenemos:

30(4)m2110

Desarrollando: m = 11921 min

La hora será 4 h 11921 min

8

7

4

12

5 6

3 9

10 2

11 1

H

M

30HM211

30HM211

CAPÍTULO VIII CRONOMETRÍA Y CALENDARIOS


49

Adelantos y AtrasosEn este grupo de problemas veremossituaciones donde se encuentran relojes quepor un mal funcionamiento se atrasan o seadelantan. Consideremos los siguientes casos:

Cuando un reloj se adelanta

Cuando un reloj se atrasa

Ejemplo Nº 03Si un reloj se adelanta 6 minutos cada 3 horasy esto ocurrió hace 14 horas. ¿Qué hora seríacuando marca las 19 h 40 min?

A) 20 h 08 min B) 19 h 12 minC) 19 h 10 minD) 18 h 44 min E) 19 h 16 min

ResoluciónSegún el enunciado:

Se adelanta en 6 min 3 horas x 14 horas

Por regla de tres simple directa:

36(14)x

x = 28 minEntonces:

Hora real = 19 h 40 min - 28 minHora real = 19 h 12 min

La hora real sería las 19 h 12 min

Tiempo relacionado con Campanadas.En general:Número de campanadas:

También:

Hora Real = Hora Adelantada – Adelanto Total

Hora Real = Hora Atrasada + Atraso Total

intervalocada

deTiempointervalos

deNTotal

Tiempo

N° de campanadas = N° de intervalos + 1

Ejemplo Nº 04Un reloj indica las horas con igual número decampanadas. Si para indicar que son las 10:00am tarda 18 segundos. ¿Qué hora será cuandohaya tardado 12 segundos en indicarla?

A) 5:00 pm B) 7:00 am C) 8:00 pmD) 5:00 am E) 8:00 am

ResoluciónSegún el enunciado:

# campanadas # intervalos tiempo 10 9 18 s x x – 1 12 s

Por regla de tres simple directa:9(12) = 18 (x – 1)

x = 7Por dato:

Hora marcada = N° de campanadas

Será las 7:00 am

Relaciones entre el desplazamiento delHORARIO y el MINUTERO

Desplazamiento Desplazamiento del minutero del horario

60 min 5 min ó 30°30 min 2,5 min ó 15°24 min 2 min ó 12°12 min 1 min ó 6° 1 min 1/12 min ó 1°/2

En general:

Ejemplo Nº 05¿Qué hora indica el reloj de la figura?

A) 7 h 24 2/3 minB) 7 h 23 1/13 minC) 7 h 24 1/13 minD) 7 h 23 2/13 minE) 7 h 24 3/13 min

8

7

4

12

5 6

3 9 m h

« x » min x/12 min « 6x° » x°/2


50

Resolución

Del gráfico:30° + m/2 = …. (1)+180° = 2 + 6m ….(2)

Reemplazando (1) en (2):m = 23 1/13

Será las 7 h 23 1/13 min.

8.2. CALENDARIOS

Considerar los siguientes días de cada mes:

Enero = 31 Febrero = 28 ó 29 (Bis)Marzo = 31 Abril = 30Mayo = 31 Junio = 30Julio = 31 Agosto = 31Setiembre = 30 Octubre = 31Noviembre = 30 Diciembre = 31

Además; los días se repiten cada 7 días.

PRÁCTICA Nº 08

Capacidad 01: Razonamiento yDemostración

1. Identifique cuantos de estos enunciados sonincorrectos.

I. Un año es bisiesto si es divisible por 4,excepto el último de cada siglo (aqueldivisible por 100), salvo que éste último seadivisible por 400.II. Una Luna equivale a 28 diasIII. El año vigesimal y solar son 360 y 365diasIV. Si hoy es sabado, entonces dentro 160dias sera viernesV. Si tu naciste el lunes 23 de noviembre de1981, entonces tu cumpleaños en el año2025 caera el día domingoA) 0 B) 1 C) 2D) 5 E) 3

8

7

4

12

5 6

3 9

m h

m 2

6m

30°

2. De las siguientes afirmaciones sobre relojes,reflexiona cuál es falso:

A) Las agujas de un reloj se encuentran a180º cuando estan en linea recta.B) Para que un reloj defectuoso, que sufreadelantos o atrasos, vuelva a marcar lahora correcta por primera vez, es necesarioque acumule un adelanto o atraso total de12 horas.C) Las agujas de un reloj estansuperpuestas marcan un ángulo de 0º.D) El angulo de arrastre de horario es 6mº.E) El tiempo de cada intervalo es igual en uncampanario es igual al tiempo total entre elcociente de números de intervalos.

3. Estalece el valor de verdad de cada uno delos siguientes enunciados:

I. El horario y el minutero de un reloj sesuperponen 23 veces al día.II. Las agujas de un reloj (horario y minutero)forman un ángulo de 90º, 48 veces al día.III. Las agujas de un reloj (horario y minutero)forman 24 veces al día un ángulo llano.

A) FVV B) VVF C) VFVD) VVV E) VFF


4. Relaciona los siguientes datos sobre la horay el tipo de desplazamiento de las manecillasdel reloj entre los datos de derecha aizquierda.

Desplazamiento Desplazamiento del minutero del horario

a. 48 min I. 22,5º b. 90 min II. 15º c. 30 min III. 4 min d. 45 min IV. 7.5 min

A) aIV, bI, cII, dIII B) aIV, bIII, cII, dIC) aIV, bII, cIII, dI D) aIII, bII, cIV, dIE) aIII, bIV, cII, dI


51

5. Sean las fórmulas «A» y «B» que relacionanal horario, minutero y el ángulo que éstasforman; identif ica las fórmulas con lasrespectivas horas.

a. 4:36 ( ) b. 7:18 ( ) c. 17:36 ( ) d. 3:20 ( )

A) BBBA B) AABA C) BABAD) BABB E) BBAA


6. El reloj de Neyer da «n» campanadas 12segundos. Halla cuántas campanadas sedaran (12n +12) segundos.

A) n2+1 B) n2+2 C) n2-1

D) n2 E) 2n2

7. Un boxeador da 6 golpes por minuto, Calculacuantos golpes dara en 10 minutos.

A) 61 B) 51 C) 50D) 60 E) 71

8. Un reloj de campanario demora 1 min 27 segen dar cierta cantidad de campanadas, silas campanadas son como 10 veces eltiempo que hay entre campanada ycampanada. Resuelva cuánto demora en dar6 campnadas.

A) 39s B) 17s C)120sD) 24s E) 15s

9. Son más de las 3 pero aún no son las 4. Silos minutos transcurridos desde las 3 es eltriple de los minutos que faltan transcurrirpara que sean las 4. Juzga qué hora es:

A) 3:50 p.m. B) 3:45 p.m. C) 3:40 p.m.D) 3:30 p.m. E) 3:15 p.m.

30HM211

30HM211

A

B

10. El tiempo máximo que debe tardarse enresolver este problema se descompone delmodo siguiente: 1/25 del total en leerlo, 1/4 enplanteralo, 41/100 en operarlo y minuto y medioen comprobarlo. Analiza qué tiempo tardaría.

A) 4 min B) 7 min C) 1 minD) 5 min E) 2 min

11. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse unreloj 5 min cada hora. Plantea qué hora marcarácuando la hora corrrecta sea 9 p.m. del mismodía.

A) 10:10 p.m. B) 10:12 p.m.C) 10:05 p.m. D) 10:18 p.m.E) 10:20 p.m.

12. Un reloj marca la hora exacta a las 6 p.m.Suponiendo que se adelanta 3 min cada 12 h apartir de dicha hora. Aplica cuánto tiempopasará para que marque la hora exactanuevamente.

A) 120 días B) 150 días C) 180 díasD) 75 días E) 60 diás

13. Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m. unode ellos se adelanta 3 minutos cada cuarto dehora y el otro se adelanta 4 minutos cada hora.Plantea cada cuánto tiempo marcaran la mismahora.

A) 108 h B) 60 h C) 90 hD) 75 h E) 30 h

14. Un reloj señala las 4:00 p.m. del día. Analizaa que hora las dos agujas del reloj formar unángulo recto inmediatamente después de lahora indicada.

A) 4 horas 20 minutosB) 4 horas 6 3/11 minutosC) 4 horas 12 5/11 minutosD) 4 horas 8 3/11 minutosE) 4 horas 5 5/11 minutos

15. Formula cada cuántos minutos lasmanecillas del reloj estan perpendiculares.

A) 3600/11 B) 240/11 C) 210/11D) 480/11 E) 320/11


52

16. Analiza que hora señala segun gráfica:

A) 6:28:48B) 6:27:48C) 6:26:48D) 6:28:40E) 6:27:45

17. María sale de su casa cuando su reloj estamarcando las 09:00 h y llega a la academiacuando el reloj de ésta muestra la hora que seindica en la figura. Busca qué tiempo duró suviaje, si su reloj está adelantado 5 minutos y elde la CEPREVAL esta atrasado 5 minutos.

A) 3 min 20 sB) 23 min 20 sC) 13 min 20 sD) 33 min 20 sE) 24 min 20 s

18. Calcula que hora señala el reloj:

A) 4:40B) 4:42C) 4:37D) 4:35E) 4:36

19. Se construye un reloj que tiene el horariomás grande que el minutero, cuando Mary vela hora dice: «son las 9:29, si el ángulo ueforman las manecillas es 114º». Juzga qué horaes en realidad.

A)5:47 B) 5:45 1/7 C) 5:48 3/13D) 5:48 E) 5:47 5/7

20. Naldy se despierta, ve la hora y confundeel minutero con el horario y viceversa y dice:«son las 04:42 h es temprano seguirédurmiendo». Comprueba qué hora erarealmente.

A) 08:23 h B) 08:22 h C) 08:25 hD) 08:24 h E) 08:21 h

1

210

12

)

3

4

567

8

9

11

1

2

3

4

56

12

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

)

67

8

9

10

1211

21. Un reloj indica las horas con igual númerode campanadas. Si para indicar que son las10:00 a.m. tarda 18 segundos. Plantea qué horaserá cuando haya tardado 12 segundos enindicarla.

A) 5:00 pm. B) 7:00 am. C) 8:00 pm.D) 5: 00 am. E) 8:00 am.

22. Elabora que hora será dentro de 5 horas.Si el triple de las horas transcurridas del día,es igual al quintuplo de las que faltan paratérminar el día.

A) 10: 00 am. B) 8:00 am. C) 8:00 pm.D) 7:00 pm. E) 9:00 pm.

23. Margarita sale de la oficina y al marcar sutarjeta de salida ve que son las 6 h 17 min de lanoche. Al llegar a su casa ve que su reloj sonlas 7h 10min . Luego se entera de que el relojde su oficina estaba atrasado 13 minutos y sureloj estaba adelantado en 10 minutos.Resuelva cuánto tiempo demoró de la oficina asu casa.

A) 43 min B) 3/4 min C) 3/5 minD) 1/2 h E) 23 min

24. Manuel al ser interrogado por la fecha desu matrimonio, contesto: «La ceremonia serealizó transcurrido de aquel año era igual a lacuarta parte de lo que faltaba por transcurrir».Analiza en que fecha y hora se casóManuel(febrero 28 dias)

A) 02 de mayo, 18h.B) 30 de abril, 15 hC) 31 de abril, 10 hD) 03 de mayo, 19 hE) 01 de mayo, 16 h

25. Tania nació en el año de 1988 a las 8:00hde un día tal que los días transcurridos del añoeran igual a la quinta parte de los días quefaltabsn transcurrir. Dar la fecha de nacimientode Tania, sabiendo que el primero de enero de1988 fue lunes y el año fue bisiesto

A) Sábado 4 de marzo de 1988B) Sábado 5 de marzo de 1988C) Viernes 4 de marzo de 1988D) Viernes 5 de marzo de 1988E) Sábado 2 de marzo de 1988


53

9.1. PERÍMETROS

PerímetroSe denomina perímetro (2p) de una figura, a lasuma de las longitudes de todos sus lados o lalongitud de curva que rodea a una detreminadafigura.

Notación: 2p = Perímetro p = Semiperímetro

Principales fórmulas básicas

1. Perímetro de un cuadrado

2. Perímetro de un rectángulo

3. Perímetro de un triángulo

4. Perímetro de un triánguloequilátero

5. Longitud de una Circunferencia

6. Longitud de arco «AB»

LO = 2 R

R

B

A

R

B A

L

2LLAB

LAB =

180R

7. Suma de longitudes desemicircunferencias trazadas en unalínea recta AB

Ejemplo Nº 01Calcula el perímetro de la figura sombreada, siel lado del cuadrado mide 6 m. (Obs: Las curvasson semicircunferencias)

A) 4 m B) 8 m C) 12 mD) 15 m E) 24 m

ResoluciónEl perímetro de la región sombreada es igual ala suma de las longitudes de las líneas curvasque pasan por los vértices del cuadrado.Del gráfico:

Longitud de la curva AB = 2

AB = 3 m

Longitud de la curva BC = 2

BC = 3 m

Longitud de la curva CD = 2

CD = 3 m

Longitud de la curva DA = 2

DA = 3 m

Luego, el perímetro total es: 4 (3 m) = 12 m

El perímetro es 12 m

L 2p = 4L

B

h 2p = 2(B+h)

b

a c 2p = a + b + c

L 2p = 3L

B

A

C

D

CAPÍTULO IX PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS


54

9.2. ÁREAS

Área de una superficieEl área de una superficie limitada, es la medidade su extensión, indicada por un númeropositivo único, acompañado de una unidadadecuada. Para simbolizar el área de unaregión cualquiera se usa comúnmente las letrasmayúsculas A o S.

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES1. Área de un cuadrado

2. Área de un rectángulo

3. Área de un rombo

4. Área de un trapecio

5. Área de un paralelogramo

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES6. Área de un triángulo / Fórmula General

7. Área de un triángulo equilátero

S = h)2

bB(

b

B

h

33h

S2

L

h 4

3LS

2

S = sen2ab

a

b

R S = R2

8. Área de un triángulo / formatrigonométrica

9. Área de un triángulo en función desus tres lados / Fórmula de Herón

Donde: 2cbap

10. Área de un triángulo inscrito

11. Área de un triángulo circunscrito

P = Semiperímetro

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES12. Área de un círculo

13. Área de un sector circular

14. Área de una corona circular

b a

c

)cp)(bp)(ap(pS

S = P x r c

a

r

b

r

R S = )rR( 22

S =

2hB

B

h

S = Bh

B

h

S = L2 L

S =

2dD

d

D

S = (ab) sen a

b

h

S =

4cba R

c

a b

S =

º360)(R2

R


55

S

S

B

A C

M 2

SS ABC

Propiedad del BaricentroEn todo triángulo, al trazar las tres medianasse determinan seis triángulos parcialesequivalentes.

donde: «G» es Baricentro

PROPIEDADES DE FIGURAS QUE SE OBTIENEAL UNIR LOS PUNTOS MEDIOS

En un cuadrilátero

En un triángulo

Casos particularesI caso:

II caso:

B

A

C

D

4S

3S S

3S S 3S S

3S S

B

A

C

D

S

S

S S S

B

A C

20

SS ABCD

4

SS ABC

2

SS ABCD

B

A

C

D S

S

B

A

C

D

12

SS ABCD

S

S

S

S S S

B

A C

G 6

SS ABC

T r

A E

B

AE = EB

c a

r

b

c a

b

PRINCIPALES TEOREMASTeorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo, el cuadrado de lalongitud de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de sus catetos.

222 acb

Teorema de PonceletEn todo triángulo rectángulo se cumple que lasuma de las longitudes de sus catetos es iguala la suma de la longitud de su hipotenusa y eldoble del inradio de dicho triángulo.

c + b = a + 2r

PRINCIPALES PROPIEDADESPropiedades en la circunferenciaI. Todo radio hacia el punto de tangencia esperpendicular a la tangente.

donde: «T» es punto de tangencia

II. Las tangentes trazadas a una mismacircunferencia, desde un punto común soncongruentes (iguales).

Propiedad de la medianaEn todo triángulo, al trazar una mediana (AM)se determinan dos triángulos parcialesequivalentes.


56

Relación de áreas en triángulossemejantesSi 2 triángulos son semejantes, la relación desus áreas es igual a la relación de loscuadrados de los elementos homólogos.

LUNULA DE HIPÓCRATES

Ejemplo Nº 02Halla el área de la región sombreada, si lamedida de AB es igual a «a» unidades.

A) a2 ( – 2) B) a2 ( – 3)C) a2 ( – 2)/2D) a2 ( – 2)/4 E) a2 ( – 3)/2

ResoluciónTrazando el segmento AB y trasladando lasregiones sombreadas como se muestra en lafigura

Del gráfico:

= –

Luego:

sombS = 2

axa4

)a( 2

sombS = 2a

4ax 22

sombS = 4

)2(a2

El área sombreada mide: 4

)2(a2

Ejemplo Nº 03Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de laregión sombreada.

A) 6 cm2 B) 9 cm2 C) 12 cm2

D) 16 cm2 E) 18 cm2

ResoluciónTrazando la otra diagonal y trasladando lasregiones sombreadas como se muestra en lafigura

Luego el área de la región sombreada es lacuarta parte del área total.

sombS = 4L2

= 4

62= 9 m2

El área de la región sombreada es 9 m2.

B

A D

B

A

C

D

B

A

C

D

B

A

C

D

6cm

B

A D

B

A D

A

B

C

X

M

Z Y

M = X + Y + Z

2

2

2

2

2

2

2

2

MNP

AMB

yh.....

rR

nb

ma

SS

R

c a

b

h

C A

B

r

p m

n

y

P M

N


57


Demostración

1. Identifica el enunciado incorrecto:

A) El área de un círculo es por elcuadrado de su radio

B) Si el área de un círculo y su perímetroson numéricamente iguales entonces elradio es 2 unidades

C) El área de una región hexagonalregular de lado x es 3 3 x2/2

D) El área de un triángulo equilátero delado «a» es a2/4

E) La circunferencia no tiene área.

2. Infiere el valor de verdad de cada una de lassiguientes proposiciones

I. Toda región poligonal tiene perímetroII. Un triángulo no tiene perímetro ni áreaIII. El área de una región cuadrada es lalongitud de su lado al cuadrado

A) FFF B) VVF C) VFVD) VVV E) FFV

3. Analiza el gráfico y determina la verdad ofalsedad de las proposiciones, sabiendo quecada recuadro contiene 4cm2 de área.

I. El perímetro es 36 cmII. El área de la región sombreada es: (21 /4 + 80) cm2

III. El área de la región sombreada es:(64 - 21 /4 + 80) cm2

A) FFF B) VVV C) VFFD) FVV E) VVF

4. Identif ica la f igura que tiene diferenteperímetro a las demás si cada uno estainscrito en cuadrados congruentes.

A ) B) C)

D) E)

5. Analiza e indica el enunciado incorrecto conrelación a un círculo.

A) Son todos los puntos de unacircunferencia y la región planacomprendida en ella.B) Su perímetro es una circunferenciaC) Su perímetro no es un polígonoD) Su centro siempre es parte del diámetroE) Se determina como todos los puntos enel plano que equidistan de un punto fijo

Capacidad 02:Comunicación Matemática

6. Determina la relación correcta respecto alárea sombreada de la figura mostrada

A) S =A2/8B) S =A2/12C) S =A2/32D) S =5A2/48E) S =A2/20

7. Determina el perímetro de la regiónsombreada si la relación entre los lados de loscuadrados es «a + 2x = b»

A) 4(a + c – 2b)B) 4(a + b – c)C) 2(a + b – 2c)D) 2(a + c – 2b)E) 4(a + b – 2c)

8. Determina el área del circulo sombreado: a(2+ 2 )

A) a B) a2 C) a2 (-2 -1)D) 2a2 E) a2

A

X X


58

9. Analiza el gráf ico el área de la regiónsombreada. Si ABC es un triángulo equiláterode lado «2a»

A)

332 a

B)

33 a

C) 3a

D) 32a

E) 232 a

10. Determina en el triangulo su área si su

lado es 4 32x

A) x2

B) 2xC) 3x2

D) x2 3

E) x223

Capacidad 03:Resolución de Problemas

11.El triángulo de la figura es equilátero de 10cmde lado. Halla de la región sombreada perímetro.

A) 15(2 + p)B) 15(2 - p)C) 30 (1 + 2p)D) 10(2 + p)E) 5(2 + p)

12. Calcula el Área de la región sombreada si:AD // BC; AB // ED.

A) 47m2 B) 22m2

C) 34m2 D) 28m2

E) 44 m2

13. En la figura, los lados de los cuadradosson 5m y 2m. Halla el área sombreada.

A) 19m2

B) 15m2

C) 22m2

D) 21m2

E) 20m2

14. Halla el área de la región sombreada si elradio de las circunferencias menores es unmetro.

A) 2(32 - 9p)m2

B) 4(32 - 3p)m2

C) 4(32 - 9p)m2

D) 2(16 - 9p)m2

E) 4(16 - 3p)m2

15. En el hexágono regular, halla el área de laregión sombreada

A) 2 3B) 3C) 3D) 4E) 6

16. Calcula el valor de S1 - S2 en el cuadradoABCD

A) 3p - 6B) 3p - 8C) 3p -10D) 3p - 5E) 3p

17. Halla el perímetro de la región sombreada;si A, B, C y D son puntos medios de los ladosdel cuadrado. A) 16(1 + 5 /5)cm.

B) 16(2 + 5 /5)cm.

C) 16(4 + 2 5 / 5)cm.

D) 16(6 + 5 / 5)cm.

E) 16(4 + 3 5 / 5)cm.

C D

A B

4cm


59

18. Calcula el perímetro de la siguiente regiónsombreada:

16 3 m

A) 16(p+ 3 )m

B) 16(p+2 3 )m

C) 16(p+ 3 +1)m

D) 64(p+ 3 )m

E) 16(p+ 3 - 2)m.

19. En la figura el triángulo ABC es equilátero yMN // AC Halla el área sombreada

A) 6 3 m2

B) 6m2

C) 3 3 m2

D) 3 m2

E) 8 3 m2

20. Halla el porcentaje de la regióncomprendida en el hexágono regular es el áreade la región sombreada.

A) 62,5%B) 25%C) 37,5%D) 35%E) 40%

8 m

8 m

10m

12m

21. Sabiendo que MNPQ es un cuadrado, sepide calcula Ax , sabiendo que: A1+ A2 + A3 = 25m2

A) 20m2

B) 25m2

C) 30m2

D) 35m2

E) 40m2

22.. El radio de la circunferencia es «2R».Calcula S2/S1, sabiendo que el ángulo formadopor MT y NT mide 60º, además MN // PQ.

A) 3/2B) 7/4C) 5/4D) 15/11E) 4/3

23. Si el área de ABCD es 100m2, calcula elperímetro.

A) 25pm2

B) 20(p + 1)mC) 20(p - 1)mD) 50pmE) 25m

24.En la figura, AH = 4 cm ; AC = 13 cm . “H”es punto de tangencia y “O” es centro.Halla el área sombreada.

A) 5 cm2.B) 9 cm2.C) 7,5 cm2.D) 4,5 cm2.E) 4 cm2.

25. Halla el área sombreada si S1 = 22 m2. SiABCD : cuadrado

A) 8 cm2.B) 4 cm2.C) 6 cm2.D) 9 cm2.E) 5 cm2.

A B

C D

A

B

C

0

H

A B

CD

S 1


60

10.1. FRACCIONES

FracciónSe denomina fracción a la expresión de la forma

ba

; donde:

ba ; Za Zb

RELACIÓN PARTE - TODOEs la relación entre una parte de un total y elrespectivo total (todo).

Parte Número de partes que se consideran.Todo Número de partes en que se divide launidad.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1 < > total < > 7 partes iguales.

3 partes

El área sombreada con respecto al totalrepresenta los tres séptimos.

FRACCIÓN DE FRACCIÓNSe llama así a las partes que se consideran deuna fracción que se ha dividido en partesiguales.

Ejemplo Nº 01El total se divide en 6 partes iguales, una deesas partes se divide en 4 partes iguales;entonces cada una representa:

41

de 61

de 1< > 1x61

x41

< > 241

TODOPARTEf

Principales fracciones

a) Fracciones HomogéneasSon aquellas fracciones que poseen igualdenominador.

Ejemplo: 31562,

325,

35,

37,

32

b) Fracciones HeterogéneasSon aquellas fracciones que poseen diferentedenominador.

Ejemplo: 10003,

51234,

53,

25,

73

c) Fracción PropiaEs aquella fracción donde el numerador esmenor que el denominador.

Ejemplo: 101,

87,

2211,

83

d) Fracción ImpropiaEs aquella fracción donde el numerador esmayor que el denominador.

Ejemplo: 3313

,9

10,

512

,37

e ) Fracción EquivalenteDos o más fracciones son equivalentes, siexpresan la misma parte de un todo, auncuando sus términos sean diferentes.

Ejemplo: 7x77x4

74 49

2874

f) Fracción IrreductibleSon aquellas fracciones cuyo numerador ydenominador son primos entre sí.

Ejemplo: 3711

,199

,5

13,

37

CAPÍTULO XFRACCIONES, RAZONES Y PROPORCIONES


61

g) Fracción DecimalEs aquella fracción donde el denominador esuna potencia de 10.

Ejemplo: 1000000011,

1009,

100013,

107

h) Fracción OrdinariaEs aquella fracción donde el denominador noes una potencia de 10.

Ejemplo: 123711,

49,

1113,

237

GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMALSe llama así a la fracción que genera a losnúmeros decimales exactos e inexactosperiódicos (puros o mixtos).

a) Decimal Exacto

* 0, 37 = 10037

* 0, 9 = 109

* 1, 237 = 10001237

En el numerador se coloca la parte decimal.

En el denominador se coloca la unidadseguida de tantos ceros como cifras decimalestiene el número dado.

b) Decimal Periódico Puro

* 0, 373737…= 37,0 = 9937

* 0, 777…= 7,0

= 97

* 2,1

= 1 + 911

92

En el numerador se coloca la(s) cifra(s) quese repiten.

En el denominador se coloca tantos nuevescomo cifras tiene el número que se repite.

c) Decimal Periódico Mixto

* 0,1292929…= 129,0 = 9901129

* 0,27333…= 327,0

= 900246

90027273

* 1,222…= 2,1

= 911

9112

En el numerador se coloca la parte decimal yse le quita la parte que no se repite.

En el denominador se coloca tantos nuevescomo cifras tiene el período (lo que se repite)seguida de tantos ceros como el número decifras no periódicas.

EXTRACCIÓN Y REPOSICIÓN DEFRACCIONES DE VOLÚMENESEn el caso de que nos hablen de un sólo líquidose procede de la siguiente manera:

Luego se procede con fracción de fraccionesde las fracciones que quedan del total de litros.

REDUCCIÓN A LA UNIDADEs aquel procedimiento que consiste enhomogenizar lo hecho por cada elemento enuna unidad de tiempo.

El procedimiento consiste en determinar elavance por unidad de tiempo, para lo cual bastatomar la inversa al tiempo total, así por ejemplo:

Si el caño «A» llena el tanque en 4 horas

Entonces enuna hora llenará la

41

parte del total


62

Ejemplo Nº 02Un caño A llena una piscina en 3 horas y otrocaño B la llena en 6 horas. ¿En cuánto tiempose llenará la piscina, si estando vacía se abrenlos dos caños?

A) 9 h B) 2 h C) 4,5 hD) 1 h E) 1/2 h

ResoluciónSea «T» la capacidad de la piscina,entonces:

El caño «A» en una hora llena: 31

T

El caño «B» en una hora llena: 61

T

Luego juntos en una hora llenan: x1

T

x1

61

31

x = 2

Los dos caños llenan la piscina en 2 horas

10.2. RAZONES

Razón. Se llama razón al resultado de comparar2 cantidades; esta comparación se puede hacerde dos modos «sustracción o división».

a) Razón AritméticaLa razón aritmética determina en cuánto esmayor una cantidad respecto a otra cantidadpara lo cual se hará una sustracción.

a – b = rdonde:

a = antecedente b = consecuenter = razón aritmética

b) Razón GeométricaLa razón geométrica calcula cuántas vecesuna cantidad contiene a otra, en este caso sehará una división.

ba

= K

donde:a = antecedente b = consecuente

k = razón geométrica

10.3. PROPORCIONES

Proporción. Se denomina proporción a laigualdad de dos razones.

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES

1° PROPORCIÓN ARITMÉTICA

a – b = c – d

terminología:a y c : antecedentesb y d : consecuentesa y d : términos extremosb y c : términos medios

Propiedad de la Proporción AritméticaEn cualquier proporción aritmética se cumpleque: «La suma de los términos extremos esigual a la suma de los términos medios».

Clasificación de las proporcionesaritméticasProporción Aritmética Continua

a – b = b – c b = 2ca

b : media aritmética o media diferencialc : tercera diferencial

Proporción Aritmética Discontinua

a – b = c – d

d : cuarta diferencial

2° PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

ba

= dc

terminología:a y c : antecedentesb y d : consecuentesa y d : términos extremosb y c : términos medios

Propiedad de la Proporción GeométricaEn toda proporción geométrica se cumple que:«El producto de los términos extremos es igualal producto de los términos medios».


63

Clasificación de las proporcionesgeométicasProporción Geométrica Continua

ba

= cb

b = c.a

b : media geométrica o media proporcionalc : tercera proporcional

Proporción Geométrica Discreta

ba

= dc

a b c d

d : cuarta proporcional

Propiedades

Dada la proporción geométrica: ba

= dc

«Cualquier variación de suma y/o resta en lostérminos de la primera razón será igual a lamisma variación respectiva con los términosde la segunda razón».

1°) baa

= dcc

2°) bab

= dcd

3°) aba

= cdc

4°) ba

dbca

= dc

5°) bba

= ddc

6°) ba

dbca

= dc

3° PROPORCIÓN ARMÓNICASean cuatro cantidades a, b, c y d (diferentesde cero); estas formaran una proporción

armónica cuando sus inversas a1

, b1

, c1

y d1

formen una proporción aritmética.

a1

- b1

= c1

- d1

cdab

= d.cb.a

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTESSe denomina así al conjunto de más de 2razones que tienen el mismo valor.

En general:

1

1ba

= 2

2ba

= 3

3

ba

= ... =n

nba

= K …(I)

donde:a1, a2, a3…, an : antecedentesb1, b2, b3…, bn : consecuentesK : constante de proporcionalidad

De (I) despejando tenemos que:

:::kbakbakba

33

22

11

Propiedades

1° Propiedad

kb....bbba....aaa

n321

n321

o también:

1

1

n321

n321ba

b....bbba....aaa

321

321bbbaaa

= k

2° Propiedad

n

n321

n321 kb....b.b.ba.....a.a.a

o también:

2

21

21 kb.ba.a

; 4

4321

4321 kb.b.b.ba.a.a.a

3° Propiedad

m1

m1

ba

= m2

m2

ba

= m3

m3

ba

= ... = mn

mn

b

a = Km

m

mn

m3

m2

m1

mn

m3

m2

m1 k

b....bbb

a....aaa


64


Demostración

1. Indica la alternativa incorrecta con respectoal conjunto d los números Racionales (Q)

A) Todo número fraccionario pertenece alconjunto QB) El 5 es un es un número RacionalC) 8/2 es un número RacionalD) 6/2 no es un número fraccionarioE) El conjunto de los números enteros essubconjunto del conjunto de los númerosfraccionarios

2. Identifica la relación correcta. I. Número fraccionario a) 0/7

II. Numero entero no positivo b) 2/3 III. Número natural c) 8/2

A) Ic; IIa; IIIbB) Ib; IIc; IIIaC) Ic; IIb; IIIaD) Ib; IIa; IIIcE) Ia; IIc; IIIb

3. Indica la alternativa que corresponde a unafracción, donde el numerador es 1/3 deldenominador

A) Es equivalente a un tercio

B) Es menor que la unidad

C) Es una fracción propia

D) El denominador es el triple del numerador

E) Es equivalente a 311

4. Infiere la relación correcta

I. 53

a) 0,16666…

II. 31

b) 0,06666…

III. 602

c) 0,6

IV. 61

c) 0,6666…

A) Ic; IId; IIIb; IVaB) Ib; IId; IIIa; IVcC) Ic; IId; IIIa; IVbD) Id; IIa; IIIc; IVbE) Ia; IIc; IIIb; IVd

5. «Si los antecedentes de una proporcióngeométrica son iguales» . Identifica la verdado falsedad de los siguientes enunciados:

I. Todos sus términos son iguales. II. Es una proporción continua III. Sus consecuentes son iguales

A) FVV B) VVV C) FVFD) VFF E) FFV

6. Anticipa el valor de verdad de los siguientesenunciados.

I. La media diferencial es igual a la raízcuadrada de los términos extremosII. Una proporción continua tiene sustérminos extremos igualesIII. La media aritmética es la semisuma delos términos extremos

A) FVV B) FFV C) FVFD) VFF E) FFF


65

7. Si: m – n = 12 y 56

nm

; Identifica cuáles

de los enunciados son incorrectos

I. La media diferencial de m y n es 66II. La tercera proporcional entre 50III. La media proporcional de m y n excede asu tercera proporcional en 16

A) FVV B) FFV C) FVFD) VFF E) VVF


8. Analiza el siguiente enunciado y determinael valor de verdad de las siguientesproposiciones:

«Tengo los tres cuartos de lo que me falta»

I. Tengo 2/5 del totalII. Me falta 4/5 del totalIII. Tengo dos veces menos de lo que mefalta

A) FFF B) VFV C) FVFD) VVV E) VFF

9. Interpreta la alternativa incorrecta de acuerdoa la siguiente proporción

K27

18

18

12

6

4

A) K = 2/3B) 3K2 = 4/3C) K + 4/3 = 2D) 3K = 2E) K + K/2 = 3/2

10. Organiza en forma decreciente los númerosy determina la alternativa correspondiente.

I. 28/9 II. 7/3 III. 14/5 IV. 70/32

A) I; II; III; IVB) I; III; II; IVC) IV; II; III; ID) IV; I; II; IIIE) I; IV; II; III

11. infiere la proporción e identifica la alternativaque no corresponde

d

c

b

a

A) dc

c

ba

a

B)

d

c-d

b

a-b

C) d

dc

d

ba

D) d

c

b

a

d-b

c-a

E) d-d

d-c

b-b

b-a

12. En la fracción 1/ x analiza cuales de losenunciados son verdaderos.

I. Si x pertenece a N su grafico en R2 sonpuntos

II. Si x pertenece a Z su grafico en R2 esuna recta

III. Si x pertenece a R su grafico en R2 es unaHipérbola.

A) I y IIB) II y IIIC) I y IIID) I; II y IIIE) Sólo II

13. Interpreta el valor de verdad si:

26 (n)abc(n)

abcabc...0,

.

I. a = 2 II. (a + b+ c) = 3

III. (n)abc =7

A) I y IIB) II y IIIC) I y IIID) I, II y IIIE) Sólo II


66

14. Analiza las proposiciones verdaderas deacuerdo al siguiente enunciado:

(5)mnmnmn...0, = (7)...(2m)n(2m)n0,

I. nnn...o, …= 4/9

II. (n)mn0, = 17/50

III. (n)mnmnmn...0, = 1

A) I y II B) II y III C) I y IIID) I; II y III E) Sólo II


15. De un grupo de damas se sabe que los 4/5son señoras, y del resto los 3/4 son señoritas;siendo las 4 restantes niñas. Halla la diferenciaentre el número de señoras y de señoritas

A) 48 B) 50 C) 52D) más de 52 E) menos de 48

16. Calacula cuál es la fracción irreductible quedividida entre su reciproco da como resultadoel decimal 0,751111…

A) 11/15 B) 26/14 C)2/7D) 13/20 E) 13/15

17. Los 3/4 de un barril más 7 litros son de vinoy 1/3 menos 20 litros son de agua Determinacuántos litros de agua hay en el recipiente.

A) 124 B) 108 C) 136D) 112 E) 118

18. Meyer empezó a jugar casino con ciertacantidad de dinero perdiendo el primer juego 1/4 de su dinero, en el segundo juego ganó s/ 5,en el tercer juego perdió 1/7 de lo que teníahasta ese momento y el último juego gana s/ 3,retirándose con s/ 15. Calcula qué parte de loque tenia al inicio gano o perdió Meyer.

A) Perdió 5/6 B) Ganó 5/2C) Ganó 5/3 D) Ganó 5/4E) Perdió 5/5

19. Si «a» y «b» son números naturales tal

que: ...0363636,15b

11

a Halla 3a + 4b.

A) 22 B) 25 C) 29D) 65 E) 68

20. Mientras una piscina está vacía se abren 2llaves y un desagüe que lo llenan y lo vacíanen 3, 6 y 4 horas respectivamente. Analiza enque tiempo se llenará la piscina.

A) 2h B) 4h C) 6hD) 5h E) 7h

21. Dada la serie de razones equivalentes

Kc292c292

b-244b244

a-160

a160

Halla la razón común «K» si es el mayor númeroentero positivo.

A) 3 B) 4 C) 5D) 2 E) 1

22. Dada las fracciones irreductibles a/b y c/d

se cumple que 5dc

b

a; además «d» es

el menor número que tiene 4 divisores.Calcula la menor diferencia de «a» y «c»

A) 1 B) 3 C) 4D) 16 E) 8

23. Los catetos de un triángulo son entre sicomo 12 es a 5. si su razón aritmética entrela hipotenusa y el menor de los catetos es64. Halla el valor de la hipotenusa.

A) 104 B) 108 C) 110D) 120 E) 124

24. Cuatro comerciantes A; B; C y D; tienendinero en soles en la relación de: 3; 5; 6 y 11respectivamente, si «D» le diera a «A» 120soles, ambos tendrían la misma cantidad dedinero. Determina cuántos soles más tiene«B» con respecto a «A»

A) 30 B) 40 C) 50D) 60 E) 80


67

11.1. MAGNITUDES PROPORCIONALES

MagnitudEs todo aquello susceptible a ser medido, demodo que experimenta cambios (aumentandoo disminuyendo sus valores).

CantidadEs el resultado de medir el cambio o variaciónque experimenta la magnitud.Ejemplos

Magnitud CantidadNº de personas 50 personastiempo 60 segundosvelocidad 12 m/s

Relación entre Magnitudesa) Magnitudes Directamente ProporcionalesDos magnitudes A y B son directamenteproporcionales, si al aumentar o disminuir losvalores de una de ellas, el valor de la otraaumente o disminuye en la misma proporción,es decir:

b) Magnitudes Inversamente ProporcionalesDos magnitudes A y B son inversamenteproporcionales, si al aumentar o disminuir losvalores de una de ellas, el valor de la otradisminuye o aumenta en la misma proporción,es decir:

Ejemplo Nº 01Sabiendo que A es I.P a B4 y C D.P a B,halla el valor de A; cuando C = 9, B = 1; sicuando A = 16, C = 36, B = 6.

A) 16 B) 64 C) 81D) 24 E) 48

ResoluciónPor dato:

cteC

ABC)DP(BA)IP(B

B)DP(CB)IP(A

4

4

44

44

Además:Entonces:

4

4

4

4

36)16(6

9)x(1

43x x = 81

REPARTO PROPORCIONALEs una aplicación de las magnitudesproporcionales, en donde las partes obtenidasson D.P. o I.P. a ciertos números llamados índicesde reparto.

Ejemplo Nº 02Dividir S/. 1350 en partes I.P a los números:

81y

41;

71;

61

. ¿Cuánto es el valor de la mayor

de las partes?

A) S/. 400 B) S/. 480 C) S/. 432D) S/. 270 E) S/. 750

ResoluciónSean A, B, C y D las partes

1350 = A + B + C + D

81;

41;

71;

61

Si: A (DP) B tetanConsBA

Si: A (IP) B tetanconsBA

TIPOS DE REPARTO

REPARTO SIMPLE

REPARTO COMPUESTO

C 9 B 1 A x

36 6 16

DP

CAPÍTULO XIMAGNITUDES PROPORCIONALES Y PORCENTAJES


68

a1

a2

b1

x

DP

x =1

12a

ba

Magnitud 1 Magnitud 2

x =1

2

2

1

2

11 d

dcc

aa

b

a1

a2

b1

x

Magnitud 1 Magnitud 2 Magnitud 3 Magnitud 4

c1

c2

d1

d2

IP IP DP

1 3

40 m x

# obreros obra

DP

2 h 2,5 h

tiempo

DP

16 4

7 3,5

dureza eficiencia

DP IP

Método Práctico1. La magnitud incógnita se compará con cada

una de las otras.2. Si al comparar son directamente

proporcionales, el cociente se invierte.3. Si al comparar son inversamente

proporcionales, el cociente se mantiene.

Ejemplo Nº 03Un minero excava 40 metros en 2 horas cuandola dureza del terreno es como 16, siendo sueficiencia como 7, ¿cuánto excavarán en total3 mineros en 2,5 horas cuando la dureza delterreno es como 4 y su eficiencia de cadaminero sea 3,5?

A) 220 m B) 250 m C) 275 mD) 300 m E) 325 m

ResoluciónPor dato:

7035

416

2025

1340x

x = 3(25)(4) x = 300 m

Excavarán 300 metros.

11.2. PORCENTAJES

Un porcentaje es una forma de expresar unaproporción o fracción de denominador 100, esdecir, como una cantidad de centésimas. Asíes que, una expresión como «45%» («45 porciento») es lo mismo que la fracción 45/100.Ejemplo:

«El 45% de la población humana...»es equivalente a:

«45 de cada 100 personas...»

100%

45%

Entonces:

81D

41C

71B

61A

k8D

4C

7B

6A

Desarrollando:

k8476DCBA

k25

1350 k = 54

Piden: D = 8k = 8(54) D = 432

REGLA DE TRES* Regla de Tres SimpleUna regla de tres simple es aquélla dondeintervienen 2 magnitudes y pueden ser:

Regla de Tres Simple Directa

Regla de Tres Simple Inversa

** Regla de Tres CompuestaCuando intervienen 3 o más magnitudes.

a1

a2

b1

x

I P

x =2

11a

ba

Magnitud 1 Magnitud 2


69

TANTO POR CUANTOSignifica que tomamos «a» partes de un totalde «b» partes iguales en que fue dividida lacantidad «N».

El a por b de N < > Nba

TANTO POR CIENTO (%)Significa que tomamos «a» parte de un total de«100» partes iguales en que fue dividida lacantidad «N».

El a % de N < > N100

a

Equivalencias

1% < > 1001

20% < > 10020

100% < > 1

N < > 1. N < > 100%.N

Ejemplo Nº 04En una fiesta, se observa que si todos loshombres salen a bailar, 10 mujeres se quedansin hacerlo, pero si el 60% de las mujeres salena bailar, la cuarta parte de los hombres nopodrían hacerlo. ¿Cuántas personas hay en lafiesta?

A) 70 B) 80 C) 90D) 85 E) 100

ResoluciónSea

Bailan No BailanN° de Hombres x 0N° de Mujeres x 10

Por dato: …si el 60% de las mujeres salen a bailar, lacuarta parte de los hombres no podrían hacerlo, esdecir sólo bailarían los 3/4 del total…

60% (x + 10) = )x(43

4x3

100)10x(60

x = 40

Porcentaje Cantidad Resultado

…Las palabras de, del o de los significan multiplicación...

Además, el total de personas es «2x + 10»

entonces: N° personas = 2(40) + 10

Asistieron 90 personas.

Expresión PorcentualSi el P % de N es R, entonces:

P % . N = R

Ejemplo Nº 05¿Qué porcentaje de (a2 + ab + b2) es (a3 – b3)?

A) 100a% B) 100b% C) (a + b)%D) 100(a – b)% E) 100%

ResoluciónSegún el enunciado tenemos: P% (a2+ab+b2) = (a3 – b3)

P% (a2+ab+b2) = (a – b) (a2+ab+b2)

ba100P

P = 100(a–b)%

El porcentaje es el 100(a–b)%.

Aumentos Sucesivos del a % y b %Sean a % y b % los aumentos sucesivos,entonces se cumple que:

AU = %100

baba

Descuentos Sucesivos del a % y b %Sean a % y b % los descuentos sucesivos,entonces se cumple que:

DU = %100

baba


70

Ejemplo Nº 06Dos aumentos sucesivos del 30% y 80%equivalen a uno del:

A) 132% B) 125% C) 226%D) 134% E) 124%

ResoluciónAplicando la fórmula de aumentos tenemos:

AU = %100

80308030

AU = (110+24)% AU = 134%

Ambos aumentos equivalen a un aumentoúnico del 134%.

Aplicaciones ComercialesEsquema:

Caso 1: Pv > PcPv = Pc + Gb

Donde: Gb = G neta + Gastos adicionales

Caso 2: Pv < PcPv = Pc – P

Caso 3: Cuando hay descuentosPventa = Pfijado – Descuento

Ejemplo Nº 07¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que sevendió en S/. 180 habiéndose hecho undescuento del 20%?

A) S/. 200 B) S/. 225 C) S/. 250D) S/. 300 E) S/. 400

ResoluciónPor dato: Pv = 180

Descuento = 20% Pf

Luego:Pventa = Pfijado – Descuento 180 = Pf – 20%Pf 180 = 80%Pf Pf = 225

El precio fijo es de 225 soles.

Variación PorcentualObservación Toda constante numérica se reemplaza

por la unidad. Solo se analiza los valores que varían.

Ejemplo Nº 08Si la base de un triángulo aumenta en 20% y sualtura disminuye en 20%, entonces su área...

A) aumenta en 8%B) no varíaC) aumenta en 4%D) aumenta en 6%E) disminuye en 4%

Resolución

Área de un triángulo = 2

AlturaBase

se despreciaEntonces Base x Altura = ÁreaAl inicio

(100%) x (100%) = 100%

Al final (120%) x (80%) = P

donde: P = (120%)(80%) = 96% S = 100% - 96% = 4%

Su área disminuye en 4%.

Operaciones con Tanto por Ciento

40% M + 22% M = 62% M M +25% M = 125% M30% M + 20% N No se puede40% M + 20% (40% M) = 120% (40% M)

25% M + M21M

53

=35% M

Precio de venta

Precio de costo Ganancia

Descuento

Precio fijado o de lista

+20% -20% S


71


Demostración

1. Determina el valor de verdad de las siguientesproposiciones (K: constante deproporcionalidad).

I. Si: A (DP) B B (IP) AAII. Si: A (DP) B An (DP) Bn

III. A (IP) B; si y solo si: A (DP) 1B

IV. A (DP) B y B (IP) C AC KB

A) FFVV B) FVVF C) FVFVD) VVVV E) FFFF

2.En una reunión había 25 parejas bailando,además 30 hombres y 20 mujeres sentados.Analizando dicha información podemos inferir:

I. El 45% de los reunidos son mujeres.II. El 50% de los que no bailan son los hom-

bres que bailan.III. Los que bailan son el 100% de los que no

bailan.

A) Solo I B) Solo II C)Solo IIID) I y II E)Todas

3. Relaciona cada uno de los siguientesenunciados con su correspondiente de la parteinferior.

I. Si: p1;p2;p3;. ..;pn son los descuentossucesivos, ello equivale a uno solo.

II. Si: p1;p2;p3;... ;pn son los aumentossucesivos, ello equivale a uno solo.

III. Si «p» repartimos en forma «DP» ap1;p2;p3;...;pn entonces se cumple:

IV. Si «p» repartimos en forma «IP» ap1;p2;p3;...;pn entonces se cumple:

a) 1 2 3 n

n ctep p p ... p

b)

1 2 3 n

n cte1 1 1 1...p p p p

c)

1 2 nn 1

(100 p )(100 p )...(100 p )100 %100

d)

1 2 nn 1

(100 p )(100 p )...(100 p ) 100 %100

A) Id, IIc, IIIb, IVa B) Id, IIc, IIIa, IVbC) Ia, IIb, IIIc, IVd D) Ic, IId, IIIa, IVbE) Ic, IId, IIIb, IVa

4.De la siguiente Información: «La magnitud Aes DP a la inversa de B2 cuando la magnitud Cpermanece constante y C es IP a B2 cuando Aes constante. Si C se cuadruplica mientras Bse mantiene constante, entonces Infiere laalternativa correcta:

A) A se multiplica por 4B) A se multiplica por 8C) A se divide entre 4D) A se divide entre 8E) A permanece constante

5. Evalúe e identifica las tasas equivalentes.

I. 5% mensualII. 10% bimestralIII. 25 % quincenalIV. 30% semestral

A) I, II B) II, IV C) III y ID) I, II y III E)Todas

6.Relaciona cada af irmación con sucorrespondiente consecuencia de la derecha.

I. PVENTA=PCOSTO-perdida, si: ( ) PV > PC.

II. No hay ganancia ni perdida( ) PV< PC

III. PVENTA=PFIJADO-rebaja, si: ( ) PV = PC

IV. GNETA =GBRUTA -gastos; si: ( ) PV > PC

A) I-II-III-IVB) II-III-I-IVC) V-II-I -IIID) IV-I- II-IIIE) II-I-IV-III


72


7. Al analizar un fenómeno intervienen lasmagnitudes A, B, C, y D.Si C y D permanecen constante se obtiene:

A 4

B 6

8

3

12

2

x

1

Si B y D permanecen constante se obtiene:

A 3

C 2

6

8

9

18

12

y

Si B y C permanecen constante se obtiene:

A 72

D 2

18

4

8

6

z

1

Cuando todos varian se tiene:

A B

720 2

C

3

D

5

w 6 12 4

identifica el valor de: x+y+z+w

A) 288 B) 320 C) 344D) 750 E) 1 094

8. Interpreta la siguiente información:

«El (x - 1)% de (x + 36) es 2x5 » Identifique el

valor de x.

A) 16 B) 9 C) 4D) 5 E) 7

9. En el siguiente gráfico A y B son rectas y Ces la rama de una hiperbola.

Si: a + b + c + m = 60Determina el valor de «m»

4 b c a

m

2m

y

x

B

A

C

A) 2 B) 4 C) 6D) 7 E) 10

10.El gerente de ventas de cierta compañíareduce su promedio de producción en N%. Siel promedio final fue T, entonces organice lainformación e identifique el promedio original.

A) TN100 B)

(100 N)T

C) 100T

(100 N) D) T

(100 N)

E) 100N

T

11. Si : )b()a()ba( fff ; Q b, a .

Además: 4f )1(

formule el valor de verdad de cada una delas siguientes proposiciones:

I. 747 f

II. 80ff )13()7(

III. 8004f )2001(

A) VVV B) FVV C) FFVD) VFF E) FVF

12.El peso «w» de un cilindro varíaproporcionalmente a su altura «h» y al cuadradodel diámetro «d» de su base. Formule la sumade números con que se llenará los espaciosen blanco de la siguiente tabla:

w 25

h 2,5 4

7,2

2

d 2 0,6

A) 4,80B) 5,04C) 6,80D) 7,20E) 7,44


73

Capacidad 03:

Resolución de Problemas

13. Se tiene 6 ruedas dentadas, y se sabe quesus números de dientes son proporcional a 1,2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. La primeraengrana con la segunda y fija al eje de ésta vamontada la tercera que engrana con la cuartaen cuyo eje va montada la quinta rueda, que asu vez engrana con la sexta rueda. Si la sextarueda da 250 rpm. Determine en cuánto tiempo la primera ruedadará 8000 vueltas.

A) 15 min B) 12 min C) 18 minD) 10 min E) 9 min

14. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36,60 y 45 e I.P. a 16, 24 y 60. Se observo que ladiferencia entre el mayor y menor de las parteses 5600. Halla la suma de cifras de la cantidadrepartida.

A) 14 B) 15 C) 16D) 17 E) 18

15. La duración de un viaje por ferrocarril esdirectamente proporcional a la distancia einversamente proporcional a la velocidad. Asu vez la velocidad es IP al número devagones del tren. Si un tren de 20 vagones

recorre 30 km. en 21

hora.

Evalúe los kms. que puede recorrer un trende 10 vagones en 10 min.

A) 10 km. B) 15 km. C) 18 km.D) 20 km. E) 16 km.

16. Si A DP B (cuando C es constante) A

IP C (cuando B es constante). En undeterminado momento A vale 720. Si a partir deese momento B aumenta en 80% y C disminuyeen 36%. Calcule qué valor tomaría A?

A) 1200 B) 1440 C) 1620D) 1728 E) 1500

17. Para 4 magnitudes A, B, C y D se conoce :

A DP a B; B IP a C; 3C DP a D1 .

Determina la relación correcta

A) 32 D DP A B) 23 D DP AC) 2D DP A D) A DP D

E) 32 D IP A

18. Un reloj se atrasa 8 minutos cada 24 horas.Si este marca la hora correcta 7 a.m. el 2 demayo. Determina qué hora marcará a la 1 p.m.del 7 de mayo.

A) 11h 18min B) 12h 8minC) 11h 40min D) 12h 42minE) 12h 18min

19. Se contrataron 25 obreros para queterminen una obra en 21 días trabajando 8 horasdiarias. Luego de 6 días, se acordó que laobra quede terminada 5 días antes del plazoestablecido, Calcule cuántos obreros más setuvieron que contratar sabiendo que seincrementó en 2h el trabajo diario.

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 30

20. Si 18 gallinas ponen 18 decenas de huevosen 18 días y 12 gallinas comen 12 kg de maízen 12 días, Halla cuánto será el costo delalimento necesario para que 20 gallinas pongan20 decenas de huevos, si el kilogramo de maízcuesta 8 soles.

A) S/. 250 B) S/. 240 C) S/. 225D) S/. 200 E) S/. 180

21. Un hombre prodactivo, al morir, dejó a suesposa embarazada una herencia de S/.27940, condicionándola de la siguiente forma

: ella recibirá los 65

de lo que le toque al niño

si era varón, pero si nacía niña recibirá los

97

de lo que a ésta le tocaría. Si la esposa

del Hombre, al dar a luz, tuvo quintillizos: 2niños y 3 niñas. Calcula cuánto lecorrespondió de la herencia a cada niña.


74

A) 4590 B) 4950 C) 3780D) 3870 E) 3965

22. Se reparte N en forma DP a los números 3;4 y 5 y luego se reparte N en forma DP a losconsecutivos de dichos números con lo cualuna de las partes varía en 80. Calcula lasegunda parte.

A) 360B) 560C) 630D) 960E) 2880

23. Un artículo se vende en S/. 390 ganándoseel 30% del costo; por efecto de la inflación elcosto ha aumentado en 10%. Para seguirganando el mismo porcentaje el artículo debevenderse en:

A) S/. 546B) S/. 339C) S/. 429D) S/. 492E) S/. 465

24. Si gastara el 30% del dinero que tengo, yganara el 28% de lo que me queda, perdería S/. 156. calcula cuánto tengo.

A) S/. 3500B) S/. 2000C) S/. 1500D) S/. 1560E) S/. 2500

25.En una Universidad part icular, eldepartamento de Servicio Social, decide rebajarlas pensiones de enseñanza a los estudiantesde menores recursos económicos en un 20%y aumentar un 30% al resto. Si el monto totalde las pensiones queda disminuido en un 10%con esta política.Halla qué porcentaje de la pensión totalrepresenta la pensión pagada por losestudiantes de menores recursoseconómicos?

A) 50% B) 82% C) 79%D) 80% E) 85%

26. En una tienda se exhiben los vestidos con elprecio "marcado" y un aviso "con la tarjetamás más rebajamos la tercera parte".

El costo de los vestidos es los34 del precio

de venta con tarjeta, entonces reconoce larazón entre el precio de costo y el precio"marcado".

A) 12 B) 3

1C) 4

1

D) 23 E) 4

3

27. Al vender un celular en las tiendas METROse descontó el 40%, pero aún así se gana el30% de su costo. Si sabemos que la utilidadneta es el 75% de la ganancia bruta y los gastosascendieron a S/90. Determine el precio fijadodel celular.

A) S/. 1500 B) S/. 1800 C) S/. 2600D) S/. 3000 E) S/. 2000

28. Una rueda de caucho tiene un diámetroexterior de 25 pulgadas cuando el radiodisminuye en un cuarto de pulgada. Halla elnúmero de revoluciones que la rueda dará enuna milla...

A) Se aumenta en 2%.B) Se aumenta en 20%.C) Se aumenta en 1%.

D) Se aumenta en 12 %.

E) Permanece constante.

29. Se tiene dos recipientes de 10 litros cadauno, el primero con 60% de alcohol y el segundocon 80% de alcohol.Calcula cuántos litros deben intercambiarsepara que ambos tengan el mismo porcentajede alcohol.

A) 6 LB) 4 LC) 7 LD) 5,4 LE) 5 L


75

n! = n.(n–1)! = n.(n–1).(n–2)! = . . . Si: x! = n! x = n Si: x! = 1 x = 0 x = 1

n! + m! (n + m)! n! m! (nm)! (–n)! No existe

!nm

No existe

12.1. ANÁLISIS COMBINATORÍO

Factorial de un númeroEl factorial de un número entero positivo «n»,se define como el producto de todos los enterosconsecutivos desde 1 hasta «n»; es decir:

n! = 1234...(n–2)(n–1)nn! = n(n–1)(n–2)...4321

Se lee: «Factorial de n»

Principales Factoriales 0! = 1 (por convención) 1! = 1 2! = 21 = 2 3! = 321 = 6 4! = 4321 = 24 5! = 54321 = 120 6! = 654321 = 720 7! = 7654321 = 5 040 8! = 87654321 = 40 320

Ejemplo Nº 01Calcule el valor de «m», en:

!)2m(m216!)1m(

A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 3

ResoluciónDesarrollando la expresión, tenemos:

!)2m(m216

!)2m)(1m)(m)(1m(

donde m216mm3

216m3 m = 6ta.

El valor de «m» es 6.

COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UNNÚMERO (N!!)Para «n» Par (producto de números pares)En general:

n! ! = 246810 . . . (n–2)n

Ejemplos: 4! ! = 2´4 8! ! = 2´4´6´812!! = 2´4´6´8´10´12

Para «n» Impar (producto de números impares)En general:

n! ! = 13579 . . . (n–2)n

Ejemplos: 3! ! = 1x3 7! ! = 1x3x5x713!! = 1x3x5x7x9x11x13

3!! (3!)! 3! !! No existe

((3!)! )! = (6!)! = 720! = 720719. . .4321

Propiedades

CAPÍTULO XII ANÁLISIS COMBINATORIO Y PROBABILIDADES


76

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

Principio de MultiplicaciónSi un evento A ocurre de «n» manerasdiferentes y otro evento B ocurre de «m»maneras distintas; entonces:

Ejemplo Nº 02Hay 3 caminos que conectan las ciudades A yB y 2 caminos que conectan las ciudades B yC. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C,pasando por B?

A) 5 B) 7 C) 6D) 8 E) 9

ResoluciónPara poder ir de A a C es necesario pasar porB, es decir realizar los dos eventos de manerasimultánea.

N° de maneras: 3 x 2 = 6 formas formas

De una ciudad a otra se puede ir de 6maneras diferentes.

Principio de AdiciónSi un evento A ocurre de «n» maneras y otroB ocurre de «m» maneras (A B = O),entonces:

Ejemplo Nº 03Si de una ciudad a otra puede irse por víaférrea, de 4 maneras y por vía aérea de 6maneras, en total de una ciudad a otra podemosir de:

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 24

ResoluciónSegún el enunciado se puede viajar de unacuidad a otra utilizando la vía férrea o la víaaérea de manera no simultánea.

A B C

N° de maneras en que puede ocurrir A y B es: n x m

N° de maneras en que puede ocurrir A o B es: n + m

vía férrea o vía aéreaN° de maneras: 4 + 6 = 10

De una ciudad a otra se puede ir de 10maneras diferentes.

PERMUTACIONESSon los grupos o conjuntos ordenados que sepueden formar con «n» elementos, tomadosde «k» en «k». En una permutación si importa elorden de los elementos.

Permutación Lineal* De algunos elementos: Son los diferentesordenamientos que se pueden formar con «n»elementos tomados de «k» en «k».

)!kn(!nn

kP ; 0 < k n

* De todos los elementos

P(n) = n!

Ejemplo Nº 04¿De cuántas maneras se podrá ordenar en unamesa 1 cuchillo, 1 cuchara y 1 plato?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

ResoluciónSegún lo señalado interesa el orden como seránubicados los objetos.

Total de elementos : 3 entonces: P(3) = 3! = 6

Se podrá ordenar de 6 maneras diferenteslos 3 objetos.

Permutaciones con RepeticiónSe aplica cuando se van a ordenar «n»elementos; algunos de los cuales se repitenuna cierta cantidad de veces.

!xk!....2k!.1k!nn

k,...,k,kPx21


77

Propiedades

Ejemplo Nº 07El diario La Republica organiza un campeonatodeportivo, en donde participan 12 equiposdiferentes. ¿Cuántos partidos de fútbol sejugarán en total si el campeonato es de 2ruedas?

A) 125 B) 132 C) 130D) 150 E) 144

ResoluciónPara poder contar un partido, tenemos que tomargrupos de 2 en 2 de los 12 equipos, en el cualno interesa el orden en que son tomados.

Número de partidos jugados en la primera rueda

!2)!.212(!12C 12

2

661x211x12C 12

2

entonces, en la segunda vuelta se jugarán:2 x 66 = 132

Se jugarán 132 partidos.

Ejemplo Nº 08En el partido político de Karina, hay 8 varonesy 6 mujeres, incluida ella. Para poder participaren las elecciones vecinales, desean formar uncomité de 6 personas (mitad varones y mitadmujeres), encabezado por Karina. ¿De cuántasmaneras diferentes se puede formar esta lista?

A) 56 B) 260 C) 420D) 120 E) 560

nnn

n2

n1

n0

103

107

nkn

nk

nn

n1

n0

2C...CCC

CCCC

1C

nC

1C

Ejemplo Nº 05¿Cuántas «palabras» diferentes puedenformarse con todas las letras de ALABABA?

A) 125 B) 105 C) 115D) 100 E) 155

ResoluciónTotal de elementos (n) : 7 letras

Letra A (k1 ) : 4 vecesLetra B (k2 ) : 2 veces

entonces:

Nº de palabras = !2!.4!7P 7

2,4

1052!.4

!4x5x6x7

Se podrá formar 105 palabras diferentes.

Permutación CircularSe aplica cuando «n» elementos se ordenancircularmente o alrededor de un objeto.

)!1n()n(cP

Ejemplo Nº 06¿De cuántas maneras diferentes podránsentarse 5 niños alrededor de una mesa?

A) 12 B) 15 C) 24D) 120 E) 6

ResoluciónNº de maneras = 24!4)!15()5(cP

Los 5 niños se podrán sentar alrededor deuna mesa de 24 maneras diferentes.

COMBINACIONESSon los diferentes agrupamientos que sepueden formar con «n» elementos tomados dek en k.En una combinación No interesa el orden delos elementos.

!k)!.kn(!nn

kC ; 0 k n


78

ResoluciónDel enunciado desean agrupar a 6 personasde un total de 14

N° de maneras = 1CC 52

83

N° de maneras = 1!2!3

!345!4!5

!5678

N° de maneras = 560

Se puede formar esta lista de 560 maneras.

Ejemplo Nº 09¿De cuántas maneras diferentes podrá viajaruna persona de «A» a «D» sin retroceder?

A) 21 B) 18 C) 20D) 17 E) 23

ResoluciónSi toma la ruta (A – B – D)

N° de maneras = 3 1 = 3

Si toma la ruta (A – C – D)

N° de maneras = 1 2 = 2

Si toma la ruta (A – B – C – D)

N° de maneras = 3 2 2 = 12

N° total de maneras = 3 + 2 + 12 = 17

Podrá viajar de 17 maneras diferentes.

B C D A

B C D A

B C D A

B C D A

12.2. PROBABILIDADESLa probabilidad que un evento A ocurra: «P(A)»,se define como el coeficiente entre el númerode sucesos favorables y el número total desucesos posibles.

Tf

casosdetotal#favorablescasos#

AP

Propiedades

1)A(P0

P(A) + P(A’) = 1

Donde:P(A) = Probabilidad de que ocurra el suceso AP(A’) = Probabilidad de que No ocurra el sucesoA

Para dos sucesos cualesquiera A y B setiene que:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Si dos sucesos A y B son mutuamenteexcluyentes ( A B = ), entonces:

P(A B) = P(A) + P(B)

Si los sucesos A y B son independientesse tiene que:

P(A B) = P(A)xP(B)

Ejemplo Nº 10¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dadose obtenga un valor impar?

A) 1/2 B) 1/8 C) 1/3D) 1/4 E) 1/6

Resoluciónespacio muestral: {1; 2; 3; 4; 5; 6}casos favorables: A = {1; 3; 5}

63

)(n)A(n)A(P

La probabilidad es de 1/2.


79


Demostracción

1.Determine, cuántas de las afirmaciones sonverdaderas.

I. Un evento es casi seguro, si laprobabilidad de su ocurrencia es P(A) =0,99....II. El factorial es una operación binaria.III. Si eventos diferentes no son posiblesde que ocurran de manera simultanea,entonces para contarlos su utiliza el criteriode la adición.IV. Si A ocurre luego de B, entonces paracontar el proceso se aplica la multiplicación.V. Si realizo subconjuntos de «k»elementos de un conjunto de «n» elementos,entonces utilizo la permutación.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2.Relaciona cada uno de los siguientesenunciados con su correpondiente.

I. Si el evento «A» es imposibleII. El evento «A» es seguroIII. Un evento «A» tiene 50% a favor de que

ocurra, su probabilidad será.IV. El evento «A» tiene el 80% de que no

ocurra, luego su probabilidad de queocurra es:

a. P(A)=1 b. 1P(A)2

c. P(A)=0 d. 1P(A)5

e. 4P(A)5

A) Ia, IIb, IIIc, IVd B) Ia, IIc, IIId, IVeC) Ic, IIa, IIId, IVe D) Ic, IIa, IIIb, IVeE) Ic, IIa, IIIb, IVd

3.Identifica cuál de las siguientes expresioneses incorrecta.

A) n n 1 n n n 1k k 1 k k 1 k 1

nC C y C C Ck

B) n n n 1 n k n k 1j 1 j j 1 j k j kC C C ...C C

C) n n n n n 11 2 3 n1C 2C 3C ... nC n 2

D) n n n n n0 1 2 n1C 3C 5C ... (2n 1)C (n 1) 2

E) 0! 1.1! 2.2! 3.3! .... n.n! (n!)!

4. Identifica el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. Un espacio muestral discreto es finito sitiene un número finito de elementos.

II. El espacio muestral de lanzar una monedahasta que ocurra cara es infinito.

III. Un espacio muestral es continuo, si sunúmero de elementos es no numerable.

IV. Un espacio muestral discreto infinito esequivalente a un espacio muestralcontínuo.

A) VVFVB) VVVFC) VFVVD) FVVVE) FVFV

5.Se sabe que 1! =1 y Rigoberto se atreve arealizar la siguiente demostración:

n! n (n 1)! ............(I)

1! 1 (1 1)! ..............(II)

1 1 (1 1)! ................(III)

1 (0)! ...................(IV)

0! 1 ...................(V)

Evalúe el momento o paso en que Rigobertocomete un error.

A) (I) B) (II) C) (III)D) (IV) o (V) E) No hay error

6.Infiere el númmero total de segmentos quese puede formar en el siguiente gráfico al unirlos puntos de una región con los de otra:

“a” puntos

“b” puntos

“c” puntos “d” puntos

A) abcdB) ab bc cd da

C) abc bcdD) (a+b)(c+d)+ab+cd

E) a b c d2P


80

7. Deduzca el valor de «n»

(2n)! 512.n!1.3.5.7.9....(2n 1)

A) 5 B) 9 C) 7D) 11 E) 11


8. Si la abejita se encuentra en el punto «A» ytiene que llegar al punto «B» que es unareserva de Polen. Formado de cuántas manerasdiferentes puede la abejita llegar a la reserva,teniendo en cuenta que no debe retrocederpor los caminos a su meta.

A

B

Entrada

Polen

A) 8 B) 16 C) 20D) 24 E) 48

9. El siguiente tablero Determine, de cuántasmaneras diferentes se puede escoger unacasilla blanca y una casilla negra de tal maneraque no estén en la misma horizontal ni vertical.

A) 24 B) 120 C) 32D) 256 E) 64

10.En el gráfico, evalúe por cuántas rutasdiferentes se puede ir de A a B.

A C B

A) 12B) 14C) 16D) 20E) 24

11.Determine con cinco retazos de tela, infierecuántas banderas bicolor se pueden formar.Se sabe que los retazos son de coloresdiferentes y la bandera debe tener la formamostrada.

A) 10B) 20C) 24D) 40E) 25

12. En la figura, se han marcado ocho partesequidistantes sobre la circunferencia de uncírculo dado.Formula cuántos cuadriláteros diferentespodemos inscribir en el círculo usando losvértices marcados?

A) 210B) 1680C) 15D) 56E) 70


81

13. Interprete los gráficos, evalúe y relacionelas probabilidades afines a ellos:

I)

A B

II)

A

B

III)

AB

IV)

A B

a) P(A B) P(A) P(B) P(A B)

b) P(A B) P(A) P(B)

c) P(A) P(B) 1

d) P(A) P(B)

e) P(A) P(B) 0

A) Ia, IIb, IIIc, IVd B) Ia, IIc, IIId, IVeC) Ic, IIa, IIId, IVe D) Ic, IIa, IIIb, IVeE) Ib, IIc, IIId, IVa

14. Analizar la siguiente situación, graficar einerpretar: Formula cuál es la probabilidad deque al lanzar 2 dados legales el resultado sea...

I. ... puntaje mayor que 8?II.... 6 ó 7 puntos?

A) 5 1 ;

18 36 B) 5 11 ;

18 36

C) 1 17 ;

36 18 D) 1 5 ;

18 36

E) 7 5 ;

18 36


15. En una reunión se encuentran 5 mujeres y8 hombres. Si se desea formar grupos mixtosde 5 personas. Evalue de cuántas maneraspueden formarse tales grupos de modo que encada uno de ellos estén siempre dos mujeres.

A) 560 B) 390 C) 120D) 140 E) 280

16.Hay 5 candidatos para presidente de un club,6 para vicepresidente y 3 para secretario.Calcula de cuántas maneras se pueden ocuparestos tres cargos.

A) 108 B) 64 C) 128D) 72 E) 90

17. A una reunión asistieron 30 personas. Sise saludan estrechándose las manos,suponiendo que cada uno es cortés con cadauno de los demás, Halla cuántos apretones demanos hubieron.

A) 60 B) 435 C) 870D) 120 E) 205

18.Diez equipos de fútbol participan en uncampeonato (una rueda, todos contra todos).Formula cuántos partidos más se deberánprogramar, si llegan 3 equipos más.

A) 31 B) 33 C) 9D) 12 E) 21

19.Seis ladrones se escapan de la policía, ytienen 3 escondites para poder ocultarse.

Calcula de cuántas maneras diferentes comomáximo se pueden ocultar.

A) 729 B) 840 C) 120D) 720 E) 512


82

20.Se tiene 6 números negativos y 5 númerospositivos, Determina de cuántas maneras sepueden escoger cuatro números, de tal maneraque su producto sea positivo.

A) 140 B) 160 C) 175D) 180 E) 170

21.Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisastodos de distintos colores. Calcula de cuántasmaneras puede escoger las prendas, sabiendoque el pantalón marrón se lo debe ponersiempre con la camisa crema y viceversa.

A) 30 B) 20 C) 21D) 36 E) 24

22. Una moneda cuyas caras están marcadascon los números 2 y 3, respectivamente, estirada 5 veces.Determina de cuántas maneras se obtendrácomo suma 12.

A) 120 B) 60 C) 30D) 15 E) 10

23. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas.Se quiere saber, Halla de cuántas maneraspodemos sacar primero 2 bolas, luego 3 yfinalmente 4?

A) 630 B) 306 C) 1080D) 108 E) 1260

24.Calcula cuál es la probabilidad de que, al tiraral aire "n" veces una moneda, se obtenga"n" caras? .

A) n12 B)

n28

C) 8nn D) 2

1n

E) 12n

25. Se lanza un dado "cargado", de tal maneraque los números impares tienen el tripledeposibilidades que los números pares.Resuelva cuál es la probabilidad de que elresultado sea un número mayor que 5.

A) 1/6 B) 1/4 C) 1/12D) 5/12 E) 5/6

26. Una persona tira dos dados, uno de elloses un cubo y el otro un tetraedro regular,tomando el número de la cara inferior cuandose trata del tetraedro, Fornula cuál es laprobabilidad de que la suma de los númerosobtenidos no sea menor que 5.

A) 3/4 B) 4/5 C) 3/5D) 2/5 E) 1/2

27. En una urna, se introducen bolas marcadascon los números 1 , 2 y 3.Se extrae una bola, se anota el número y sedevuelve a la urna. El proceso se repite tresveces.Calcula cuál es la probabilidad de obtener unasuma total de 6 puntos.

A) 1/9 B) 1/3 C) 7/27D) 21/25 E) 17/27

28. La probabilidad de que Erica ingrese a laUNHEVAL es 0,7 que ingrese a la UNMSM es0,4. Si la probabilidad de que no ingrese aninguna es 0,12, halla la probabilidad de queingrese a ambas a la vez.

A) 0,42 B) 0,22 C) 0,24D) 0,48 E) 0,58

29. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2negras, otra bolsa contiene 3 bolas blancas y5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa.Determina la probabilidad de que ambas seanblancas.

A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3D) 3/4 E) 1/3

RAZONAMIENTO MATEMATICO

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