Razones y Proporciones

8.1 Razones

8.2. Proporciones

8.3. Magnitudes Proporcionales

8.4 Ejercicios Resueltos

8.5 Ejercicios Propuestos

8.1 Razones

8.1.1. Definición. Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el segundo.

Ejemplo: La razón de 15 a 5 es 15/5=3. Ejemplo: La razón de 4 a 20 es 4/20=1/5.

Los números que se comparan se llaman términos de la razón.

8.1.2. Definición. Dos razones son inversas, cuando los términos de una son los mismos de la otra, pero dispuestos en orden inverso.

Ejemplo: 5/4 y 4/5 son razones inversas. Ejemplo: 2/3 y 3/2 son razones inversas.

8.2. Proporciones

8.2.1. Definición. Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones. Ejemplo: 15/3=20/4, en que cada razón es igual a 5.

8.2.2. Definición. Dada la proporción a/b=c/d donde a,b,c,d son números enteros; a y d se llaman extremos de la proporción, b y c se llaman medios de la proporción.

Hay que hacer notar que en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

La proporción a/b=c/d se puede escribir alternativamente de la forma siguiente: a:b::c:d y se lee: a es a b como c es a d.

 

 

8.3. Magnitudes Proporcionales

8.3.1. Definición. Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose una de ellas 2,3,4,..., veces mayor o menor, la otra se hace también 2,3,4,..., m veces mayor o menor.

Ejemplo: El salario de un obrero y la duración de su trabajo. Ejemplo: El camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad, y el tiempo.

8.3.2. Definición. Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la primera 2,3,4,..., m veces mayor o menor, la segunda se hace también 2,3,4,..., m veces menor o mayor.

Ejemplo: El número de obreros y el tiempo que emplean en ejecutar un trabajo dado. Ejemplo: La velocidad de un tren y el tiempo empleado para recorrer un espacio dado.

8.3.3. Definición. Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, se trata de buscar una de ellas, cuando se conocen todas las demás.

Es decir, REGLA DE TRES es una operación por medio de la cual se busca el cuarto término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres.

Ejemplo: Un ciclista recorre 150 kms. en 5 horas. Cuántos recorrerá en 7 horas? Solución

Disposición de los datos 150 kms. 5 horas.

x 7 horas

Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales tenemos la proporción:

Ejemplo: Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra. Cuántos obreros se necesitarán para acabar la misma obra en 24 días? Solución

Disposición de los datos 12 obreros 30 dias

x 24 dias

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tenemos las siguiente proporción.

Ejemplo: Para hacer 180 mts de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas por día. Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros, para hacer 600 mts de la misma obra?

Solución Disposición de los datos

15 obreros 10 horas 180 mts. 12 días32 obreros 8 horas 600 mts. x

a) Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que las demás magnitudes queden fijas.

O sea

15 obreros 12 días 32 obreros x1

ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene:

b) Conocido el número de días x1 que necesitan 32 obreros para hacer 180 mts de una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x2 el número de días de 8 horas.

O sea

10 horas x1 días 8 horas x2

ya que las razones son inversas, se tendrá:

c) Por fin, si comparamos los días con la cantidad de trabajo. Sabiendo que 32 obreros hacen 180 mts. de obra en x2 días de ocho horas; se pregunta en cuántos días de 8 horas esos 32 obreros harán 600 mts. de la obra.

O sea,

x2 días 180 mts x 600 mts

ya que las razones son directas, se tendrá:

o sea

Luego x=23 días más 7/16 de día.

 

 

8.4 Ejercicios Resueltos

1. Una partícula con velocidad constante recorre 1200 mts en 80 segundos. Determinar a). Qué distancia recorrerá en media hora. b). Qué tiempo tardará en recorrer 1500 mts.

Solución a).

Disposición de los datos 1200 mts 80 seg.

x 1800 seg.

ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene:

, , o sea x=27000.

b). Disposición de los datos

80 seg. 1200 mts x 1500 mts

ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene:

, ; o sea x=100.

2. Una brigada de 8 constructores, en la cual trabajan todos con las misma eficiencia, ejecuta una cierta obra trabajando durante 20 días.

En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada?

Solución Disposición de los datos

20 días 8 obreros x 2 obreros

ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene:

, , o sea x=80 días.

3. Una brigada constructora formada por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia, ejecutan una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determinar cuántos días hubieran tenido que trabajar 7 hombres de la brigada para realizar la misma obra, trabajando a razón de 8 horas diarias.

En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada?

Solución Disposición de los datos

9 hombres 28 días 6 horas7 hombres x 8 horas

a) Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto que las demás magnitudes queden fijas.

O sea 9 hombres 28 días 7 hombres x1 días

ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene:

b) Conocido el número de días x1 que necesitan 7 hombres para hacer la obra trabajando 6 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias.

Solución Sea x2 el número de días de 8 horas.

6 horas x1 días 8 horas x2

ya que las razones son inversas, se tendrá:

; días.

o sea días.

4. Hallar el 12 por ciento de 8000 pesos.

Solución Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá:

100 p C B

Las magnitudes son directamente proporcionales.

En nuestro caso; p = 12, C = 8000, Se trata de hallar B.

o sea, .

5. Hallar de qué número es 48 el 8%.

Solución En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.

o sea, .

6. Hallar qué porcentaje es 51 de 170.

Solución En este caso; B = 51, C = 170. Se trata de hallar p.

O sea , es decir, . p = 30%

7. Hallar de qué número es 408 el 70% más.

Solución El 70% más que un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso tenemos que B = 408, p = 170. Se trata de hallar C.

. 8. Hallar de qué número es 546 el 9% menos.

Solución El 9% menos que un número es 100 - 9 = 91% de éste.

En este caso; B = 546, p = 91. Se trata de hallar C.

.

9. En un examen de matemáticas se presentaron todos los alumnos de un grupo. El 10% del total obtuvo calificación 2, el 40% calificación 3, el 20% calificación 4 y los 27 restantes, calificación 5. Determinar el número de alumnos que formaban el grupo.

Solución Sumamos los porcentajes de los alumnos que obtuvieron menos de 5. Esta suma es el 70% del total del grupo. Entonces, los 27 que obtuvieron calificación 5 representan el 30% del grupo.

O sea que se trata de hallar C sabiendo que p = 30, B = 27.

alumnos.

10. Se dispone de dos tipos de acero. El tipo A que contiene un 5% de níquel, y el tipo B, que contiene el 40%. Se desea saber que cantidad de cada tipo será necesario emplear para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel.

Solución Sea x la cantidad necesaria de toneladas del tipo A. Entonces serán necesarios 70 - x toneladas del tipo B.

Tendremos entonces que la cantidad de níquel aportadas por las x toneladas del tipo A

será .

Tendremos también, que la cantidad de níquel aportadas por las 70 - x toneladas del tipo B

será .

La cantidad de níquel aportada por la mezcla de los tipos A y B será .

O sea:

Por tanto, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B.

11. Entre los locales A y B hay almacenados un total de 2000 sacos de azúcar. Si del local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo número de sacos. Cuántos sacos había en cada local.

Solución Sea x el número de sacos que había en el local A.

Sea 2000 - x el número de sacos que había en el local B.

Cuando se transporta el 20% de los sacos del local A al local B, quedan en cada local los siguientes números de sacos.

En A:

En B:

Se debe entonces cumplir que:

O sea x = 1250 sacos.

Luego habían 1250 sacos en el local A y 750 sacos en el local B.

 

8.5 Ejercicios Propuestos

1. Al precio de venta de un artículo se le han hecho dos descuentos sucesivos; el primero de d1% y el segundo, que se calcula tomando como base el precio ya rebajado, del d2%. Cuál será el descuento único equivalente, partiendo del precio original?

RTA:

2. El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 20%, mientras que la altura disminuye en un 12%. Determinar en qué porcentaje varía el volumen, especificando si este aumenta o disminuye.

RTA: Aumenta 26,72%.

3. Al precio de venta de un artículo se le rebaja el 10%. Determinar en qué porcentaje sería necesario aumentar el precio rebajado para que, el nuevo precio coincida con el original?

RTA: %.

4. Una magnitud variable aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y, en una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera etapa. Cuál era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 8.840?

RTA: 8.500.

5. Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40 y del 25%.

RTA: 55%. 6. Determinar el porcentaje de incremento único, equivalente a dos incrementos sucesivos del a1 y del a2 %.

RTA:

7. Dieciocho hombres pueden hacer una obra en 10 días trabajando cada día durante 8 horas.

a). Cuántos hombres más harán falta trabajando con la misma eficiencia, para hacer la obra en 2 días?

b). Con cuántos hombres menos hubiera sido posible culminar la obra en 30 días?

RTA:

a). 72 hombres más. b). 12 hombres menos.