1

Razones, proporciones y porcentajes

Razón

Razón: es un cuociente entre dos reales.

a

b = a : b , se lee “a es a b”

a se llama antecedente y b se llama consecuente

Ej. La razón entre alumnas y alumnos es 15 es a 17, se anota como 15 : 17.

Observación: una razón es similar a un racional, por tanto se pueden amplificar o simplificar.

Proporción

Proporción: Es una igualdad entre dos o más razones.

a c

b d , se lee “ a es a b como c es a d”

También se escribe como a : b = c : d, de esta forma de escribir es que a y d se

llaman extremos, b y c se llaman medios.

Propiedad fundamental:

a c

a d b cb d

Se dice que en toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de

los extremos.

Ej. Si en un cine hay 800 adultos y 400 niños, entonces podemos escribir:

adultos 800

niños 400 y simplificando, tenemos

adultos 2

niños 1

Ahora decimos que los adultos son a los niños como 2 es a 1.

Ej. Si sabemos que siempre se mantiene la misma razón entre adultos y niños en el

cine, si este día asisten 600 adultos, ¿cuántos niños hay en el cine?

600 2

niños 1 y como el producto de los medios es igual al producto de los extremos,

tenemos:

600 · 1 = 2 · niños

600 = 2 · niños

600

niños2

300 = niños

Proporción continua y discontinua

Se dice que una proporción es continua cuando los medio son iguales;

2a bb ac

b c b ac

“b”, se denomina media proporcional.

“a y c” se denominan tercera proporcional.

2

y

x

Si en una proporción simple los cuatro términos son distintos, entonces se llama proporción

discontinua y a sus cuatro elementos se les llama cuarto proporcional.

Cantidades proporcionales

Cantidades proporcionales:

Las cantidades proporcionales se dividen en: directamente

proporcionales y las inversamente proporcionales, para poder plantear sin equivocarse estas

situaciones es recomendable plantearse mediante reglas de tres.

Ej. 1 Si 3 kilos de manzanas cuestan $ 750, entonces, ¿cuánto cuestan 5 kilos?

Planteamos la regla de tres;

3 k $ 750

aumenta 5 k $ x aumenta

Al hacer un análisis simple detectamos que al aumentar una la otra también aumenta,

por lo tanto las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto multiplicamos

cruzado e igualamos.

3 · x = 5 · 750

x = 5·750

3

x = $ 1.250

Formalmente en matemáticas dos cantidades son directamente proporcionales cuando el

cuociente de ellas es constante. La gráfica de dos cantidades directamente proporcionales es una

recta que comienza en el origen.

x

Cte.y

Ej. 2. Si 6 obreros demoran en construir una muralla en 3 días, entonces ¿cuánto

demoraran en terminar la misma muralla 9 obreros?

Planteamos la regla de tres:

6 obreros 3 días

aumenta 9 obreros x días disminuye

Como al haber más obreros se deben demorar menos, entonces al aumentar una y

disminuir la otra, las cantidades son inversamente proporcionales, cuando descubres que las

cantidades son inversamente proporcionales, debes multiplicar en línea e igualar.

6 · 3 = 9 · x

18 = 9 · x

18

9 = x

2 días = x

Formalmente se dice que cuando las cantidades son inversamente proporcionales el

producto de ellas es constante. La gráfica de cantidades inversamente proporcionales es la que se

muestra a continuación.

3

y

x

X · y = Cte.

Serie de razones o proporción compuesta

Si tenemos más elementos que los 4 que forman una proporción simple, entonces estamos

en presencia de una proporción compuesta.

a : b : c : … = m : n : p : …, si la escribimos como una igualdad de razones, tenemos:

a b c...

m n p , si ahora tomamos cada razón separada nos queda que:

a

m= k ;

b

n = k ;

c

p= k ; … , k es lo que se llama constante de proporcionalidad. Esto nos

lleva finalmente a:

a = m · k ; b = n · k ; c = p · k ; …

Ejemplo de aplicación: Si la razón entre las edades de Juan, Pedro y Daniel es 1 : 2 : 3,

entonces, ¿cuál es la edad de cada uno si sus edades suman 36 años?

Juan = 1·k, Pedro = 2·k , Daniel = 3·k y si

Juan + Pedro + Daniel = 36 años, reemplazando tenemos:

1k + 2k + 3k = 36

6k = 36

k = 6

Finalmente sustituimos k, resultando:

Juan =1 · 6 = 6 años Pedro = 2·6 = 12 años

Daniel = 3·6 = 18 años

Tanto por ciento o porcentaje

Tanto por ciento o porcentaje.

En matemática para hacer más fácil el entender ciertas

fracciones o decimales, se crearon los porcentajes. Es decir debes entender que los porcentajes

son otra forma de decir algunas fracciones.

Ej. 1

4 = 25% = 0,25

Por lo tanto: a

a%100

Los porcentajes son concretos, es decir siempre están aplicados a algo.

Ej. El 80% de los alumnos llegó a la hora, si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos alumnos

llegaron a la hora?

80

100 · 30 =

80·30 2.400

100 100 = 24 alumnos

4

Para saber qué porcentaje es una cantidad de otra, te recomiendo encontrar la fracción que

corresponde y luego lo multiplicas por 100.

Ej. En un cine hay 250 niños y 1.250 adultos, luego ¿qué porcentaje de los adultos son los

niños?

Obtengamos la fracción correspondiente: niños

adultos,

Tenemos 250

1.250, puedes simplificarla antes o lo dejas para el final. Para llevar toda

fracción a porcentaje, se debe multiplicar por 100

250

1.250 · 100 =

250·100

1.250=

100

5 = 20%

Estas son las dos formas más frecuentes en que aparecen los porcentajes. Si tienes

porcentajes de la misma cosa, estos se pueden operar.

Ej. En una liquidación se hace el 20% de descuento, entonces, ¿cuánto se pagará por un

artículo que costaba $ 5.000?

100% - 20% = 80%, significa que debes pagar el 80% del valor inicial.

80

5.000100

$ 4.000

También puede que aparezca porcentaje de un porcentaje, en estos casos se deben multiplicar los

porcentajes.

Ej. El 20% del 30% de 500 es:

20 30

500100 100

600 500

10.000

30

Ejercicios VI

1. Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones.

1) 5 15

6 s 2)

t 6

40 8 3)

4 w

10 40

4) 4 : 6 = y : 5 5) d : 12 = 12 : 16

6) 10 : 12 = n : 6 7) 0,111... 0,222...

2 9

8) 3a a

7 t 9)

3 22 r

55 110 10)

0,1 7

0,2 r

2. Aplica y resuelve.

1) Por un grifo fluye agua a razón de 4 m3 cada 10 horas, ¿qué cantidad de agua fluirá

en dos semanas (15 días)?

2) Un rectángulo mide 50 cm de ancho y 20 cm de alto, ¿cuál es la razón entre el

ancho y el alto?

3) Si por 3 horas de trabajo un obrero cobra $ 12.000. ¿Cuánto cobrará por 7 horas?

4) Alicia pagó por 5 kilos de pera $ 750, ¿cuántos kilos compró si pagó $ 1.500?

5) En una oficina gastan 525 hojas en 5 días. ¿Cuántas hojas gastarán en 24 días?

6) Con 59 kilos de harina se elaboran 118 kilos de pan. ¿Cuántos kilos de harina se

necesitan para fabricar 16 kilos de pan?

7) Al elaborar un postre para dos personas se necesitan 120 kg de arroz, ¿cuánto arroz

se necesitará si preparas el postre para tres personas?

10) La escala de un mapa es 1 : 400000. La distancia en el mapa entre dos ciudades es

de 4 cm. ¿Qué distancia las separa en la realidad?

5

11) La diferencia entre dos números es 244 y están en razón de 7 a 3. Encuentra los

números.

12) Dos números están en razón 1

34

es a 1

55

. Si la diferencia entre ellos es 3030, halla

la suma de las cifras del mayor.

13) La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que

5 es a 3 es a 16, ¿cuáles son los números?

14) En una proporción continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia es 16.

Encuentra la media proporcional.

15) Un cilindro de 60 litros es llenado por 4 recipientes, donde el volumen del primero

es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Halla la suma de los

volúmenes del 2º y 4º recipiente.

20) Un granjero tiene N animales, entre patos y pavos; si el número de pavos es a N

como 7 es a 20 y la diferencia entre patos y pavos es 80, ¿cuál será la razón entre

patos y pavos al aumenta en 10 el número de patos?

21) Para la producción de 6300 camisas de exportación se distribuyó la confección entre

tres empresas proporcionales a 5, 12 y 4. Si dichas empresas producen 500, 600 y

1200 camisas diarias respectivamente. La empresa que más demoró en

confeccionar dichas camisas, tardó?

22) A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mujeres. El número de hombres

es al total de personas como 3 es a 5. Luego de dos horas, en la fiesta, por cada 2

hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?

23) un automóvil gasta 8 litros de bencina cada 100 kilómetros. Si quedan 7 litros en el

estanque, ¿cuántos kilómetros recorrerá sin rellenar?

25) Un grupo de estudiantes va de paseo y llevan 24 bebidas. Si cada estudiante

consume la misma cantidad, ¿cuántas bebidas deberán llevar si se suman al paseo

otros 15 estudiantes?

26) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. En el triángulo rectángulo (tiene un

ángulo de 90º) los otros dos están en la razón 1 : 2, ¿cuánto miden estaos ángulos?

27) Juan, Luisa y María tenían, respectivamente $ 500, $ 300 y $ 200. Compraron un

número de rifa que costó $ 1000 y ganaron un premio de $ 50000. ¿Cómo deben

repartirse el premio?

28) Un rollo de alambre de 1.200 metros se debe dividir en tres partes que sean

proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte?

29) Tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo. ¿Cuántos días necesitaran

18 hombres para hacer el mismo trabajo?

30) Ana, Fabián y Margot han ido a comprar discos compactos; Ana compró dos de

música grupera, Fabián 3 de rock alternativo y Margot compró 5 de heavy metal. Si

en total cancelaron $ 1620, ¿cuánto pagó cada uno?

31) Se compraron 40 kg de dulces para repartirlos equitativamente entre 120 niños.

¿Cuántos kilos se necesitarán para un grupo de 90 pequeños?

32) Un bus cobra a una persona $ 1750 de pasaje por una distancia de 21 kilómetros,

¿cuánto pagará otra persona, cuyo destino está a 51 kilómetro de distancia?

33) Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿cuántos hombres deben de añadirse

a los primeros para concluir el trabajo en 28 días?

34) Un ciclista recorrió cierta distancia en 4 horas a una velocidad de 60 km/h, ¿a qué

velocidad deberá llevar para recorrer la misma distancia en 5 horas?

35) Un ejército de 900 hombres tiene víveres para 20 días; si se desea que las

provisiones duren 10 días más, ¿cuántos hombres habrá que dar de baja?

36) Se desea plantar árboles dispuestos en 30 filas, de modo que cada fila tenga 24 de

estos. Si se colocan los mismos árboles en 18 filas, ¿cuántos se tendrán por fila?

37) Las edades de Antonio y Beto están en razón de 5 a 3. Las edades de Beto y Cesar

están en razón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159 años, ¿cuál es la edad

de cada uno de ellos?

38) En 50 litros de agua disolvemos 2 kg de azúcar. ¿Cuánto litros de agua debemos

agregar para que cada litro tenga 25 gramos de azúcar?

39) En una urna hay 180 bolas, por cada 4 bolas rojas hay 7 bolas amarillas y 9

blancas. Entonces el número de bolas rojas es

40) A una fiesta acuden 120 personas. Al sonar “el embrujo” ocurre que las personas

que bailaban y las que no bailaban estaban en razón 7 a 5. Si la relación de

hombres y mujeres que no bailaban era de 3 es a 2. ¿Cuántos hombres no

bailaban?

6

3. Obtén el porcentaje de las siguientes cantidades.

1) 10% de 2500 2) 24% de 4000

3) 32% de 5000 4) 20% de 750

5) 40% de 500 6) 16% de 1000

7) 25% de 456 8) 65% de 48

9) 48% de 42,8 10) 160% de 150

4) Determina qué porcentaje es una cantidad de otra.

1) ¿Qué porcentaje es 10 de 25?

2) ¿Qué porcentaje es 40 de 25?

3) ¿Qué porcentaje es 2,4 de 3,6?

4) ¿Qué porcentaje es 90 de 1000?

5) ¿Qué porcentaje es 1

2 de

3

4?

5) Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación.

1) En el estacionamiento de un “Mall” hay 420 autos de ellos el 35% son blancos,

¿cuánto auto de otro color hay en ese estacionamiento?

2) En una ciudad de 23.500 habitantes, el 68% de ellos está contento con la gestión

municipal. ¿Cuántos ciudadanos están contentos?

3) Por haber ayudado a mi hermano en su trabajo, me da el 12% de los $ 50.000 que

ha cobrado. ¿Cuánto dinero recibiré?

4) Para el cumpleaños de mi mamá han comprado dos docenas de pasteles y yo me he

comido 9. ¿Qué porcentaje del total me he comido?

5) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de ellos defectuosos. Si hoy he

separado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántos tornillos ha fabricado la máquina?

6) En un curso de 30 alumnos han faltado 6. ¿Cuál es el porcentaje de asistencia?

7) Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que representa el 84% del total. ¿De

cuántas camas dispone dicho hospital?

8) De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué

porcentaje de los hombres encuestados reconocen saber planchar?

9) El 24% de los habitantes de un pueble tienen menos de 30 años. ¿Cuántos

habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años?

10) ¿Cuánto me costará un abrigo de $ 36.000 si me hacen una rebaja de 20%?

11) A un trabajador que ganaba $ 230.000 mensuales le van a subir el sueldo en un

4%. ¿Cuál será el nuevo sueldo?

12) En una tienda en la que todo está con un descuento del 15%, he comprado un

pantalón por el que he pagado $ 10.200. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?

13) Una artículo que costaba $ 4.800, ha subido un 12%, ¿cuánto cuesta ahora?

14) El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de $210.000. ¿Cuál era el valor

anterior?

15) En el trayecto de un tren de alta velocidad en Europa, si el retraso es superior al

12% del tiempo, te devuelven el precio del pasaje. Si el tiempo previsto para ese

viaje es de 1h y 50 min y hoy ha tardado 2h y 5 min, ¿tendrán derecho a

devolución del pasaje?

16) En un colegio hay 575 matriculados del los cuales el 8% son hindúes. ¿Cuántas

alumnas y alumnos hindúes hay?

17) En una familia que tiene ingresos por $ 240.000 mensuales, se gastan $ 30.000 en

ocio. ¿Qué porcentaje dedica ese grupo familiar en ocio?

18) Sara se ha comprado una blusa que costaba $3.500, pero lo han hecho una rebaja

de del 15%. ¿Cuánto ha pagado por la blusa?

19) He pagado $440 por una cantidad de pan, lo que supone un aumento del 10% sobre

el precio de ayer, ¿cuánto debí haber pagado ayer por la misma cantidad de pan?

29) Un artículo ha sufrido las siguientes variaciones, hace dos meses se subió el valor

en un 20%, por la disminución de las ventas el mismo artículo se bajó de precio el

mes pasado en un 30%, en estos dos meses ¿cuál fue la variación final del artículo?

30) Un equipo de música tenía un valor de $40.000, primero se subió un 10%, para

luego ser nuevamente subido en un 20%, ¿cuál es el valor ahora?

7

A) B) C)

E)

D)

31) La matricula de un colegio hace dos años bajó en un 5%, el año pasado disminuyo

en un 10%, si ahora hay 513 alumnos. ¿Cuántos alumnos había en el colegio hace 3

años?

32) Al vender una casa en $23.450.000 se gana el 13%, ¿cuánto valía la casa?

33) Los precios de los televisores incluyen el IVA (19%), y pagué por un televisor $

119.000, ¿cuánto pagué por concepto de IVA?

34) Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan?

35) ¿Cuántos minuto son el 35% de una hora?

36) Un artículo se sube de $1.500 a $1.800, ¿cuál es el porcentaje de alza?

37) Si Gonzalo tuviese un 16% menos de la edad que tiene, tendría 21 años. ¿Cuál es la

edad de Gonzalo?

39) Un niño repartió 40 dulces entre sus amigos. A Juan le dio 2

5 del total, a Mario el

25% del resto y a Claudio el 50% de lo que le quedaba. ¿Con cuántos dulces se

quedó el niño?

40) Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿en qué porcentaje aumentó su área?

Autoevaluación Nº 6

Razones, proporciones y porcentaje

1. 3 números x, y, z, están en razón 3:4:7, si la suma de ellos es 140, entonces el mayor es

igual a:

A) 7 B) 30 C) 40

D) 70 E) 100

2. Si en 5 años más las edades de Juan y Pedro están en razón 2 : 3 respectivamente,

entonces la edad actual de Pedro si hoy Juan tiene 7 años?

A) 26 B) 20 C) 13

D) 7 E) no se puede determinar

3. ¿Qué gráfico representa mejor a dos cantidades directamente proporcionales?

4. Si a : b : c = 2 : 1 : 3 y a + 2b + 3c = 130, entonces a + b + c =

A) 10 B) 40 C) 50

D) 60 E) 70

8

5. En un grupo de personas, toda persona come carnes y/o verduras. El 70% come carnes y

el 40% verduras. Si 40 personas comen carnes y verduras, entonces el total de personas

es

A) 800 B) 400 C) 200

D) 150 E) 110

6. Si x e y2 son inversamente proporcionales y cuando x = 5, y = 2, entonces cuando y=3 el

valor correspondiente a x será

A) 11,25 B) 9 C) 7

D) 5 E) 2,222…

7. 0,1% de 0,01 =

A) 10-4 B) 10-2 C) 1

D) 10-5 E) 105

8. En un libro el capítulo III comienza en la página 52 y termina en la página 61, si el libro

tiene 100 páginas, entonces ¿a qué porcentaje equivale el capítulo III del libro?

A) 3% B) 9% C) 10%

D) 12% E) 30%

9. Si a 3

b 5 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) a b 8

b 3

II) b a 1

a b 4

III) 2b 10

3a 9

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) I, II y III

10. El 1

333

% de 3

4 es igual a

A) 4

9 B)

1

4 C) 4

D) 9

4 E)

1

3

11. ¿Qué número no es equivalente al 50%?

A) 1

2 B)

50

100 C) 2-1

D) 50 E) 7

14

B)

12. Un señor invirtió $ 140.000, una parte al 7% y la otra al 10% de interés. La ganancia

generada por las dos inversiones es $ 12.800, ¿cuánto dinero invirtió al 10%?

A) $ 10.000 B) $ 40.000 C) $ 70.000

D) $ 100.000 E) $ 128.000

9

Le parece bien; 34%

Le parece mal, 48%

Le da igual, 8%

No sabe, no contesta, 10%

Opinión

Le parece bien

Le parece mal

Le da igual

13. Se debe dividir $ A entre Pedro y Juan en la razón m : n respectivamente. ¿Cuánto le

corresponde a Juan?

A) n A

m n

B)

m A

m n

C)

n A

m

B) D) A

m n E) n·m·A

14. Un CD virgen tenía un precio original de $ 200, el precio fue aumentado en un 40% y luego

por la escasa venta se rebajo un 30%, ¿cuál es el precio final?

A) $ 280 B) $ 220 C) $ 196

D) $ 140 E) ninguno de los anteriores

15. De un grupo de 300 ex alumnos del colegio “Buen puntaje” se sabe que el 6% de ellos no

quedaron en Universidades Tradicionales. ¿Cuántos ex alumnos de dicho colegio quedaron

en una Universidad Tradicional?

A) 18 B) 192 C) 192

D) 282 E) 294

16. En 4 buses troncales viajan 660 personas y la razón entre los pasajeros que viajan en un

bus troncal y uno de acercamiento es 33 : 8, ¿cuántos viajan en un bus de acercamiento?

A) 165 B) 160 C) 60

D) 40 E) 20

17. El siguiente gráfico es el resultado de una consulta hecha a 100 personas, sobre la votación

de los recursos para el Transantiago. De acuerdo al gráfico ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es falsa(s)?

I) El 66% de los encuestados no le parece bien.

II) 90 personas tiene alguna opinión sobre el tema consultado.

III) A más del 50% de las personas encuestadas, le parece mal o le da igual.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) Ninguna

18. En una empresa por cada 5.000 artículos producidos los trabajadores reciben un 2% de su

sueldo de bonificación. Si el sueldo de Andrés es $ 150.000 y este mes la producción fue

de 27.500 artículos, entonces ¿cuánto recibirá en total Andrés este mes?

A) $ 165.000 B) $153.000 C) $ 168.000

D) $ 160.500 E) $ 177.500

10

19. El 50% del 50% de una cantidad es equivalente a calcular el

A) 0,25% de dicha cantidad

B) 2,5% de dicha cantidad

C) 4% de dicha cantidad

D) 25% de dicha cantidad

E) 12,5% de dicha cantidad

20. En una librería por k libros me cobraban $ s, en total. Si en otra librería cobran lo mismo y

por cada 3 libros comprados el cuarto resulta gratis, en esta última librería cada libro me

habría costado

A) 3ks

4 B)

3s

4 C)

s

4

D) 3s

4k E)

3k

4

21. Si la caña de azúcar da un 12% de azúcar, ¿cuántos kilos de azúcar darán 500 kilos de

caña?

A) 6 Kg. B) 50 Kg. C) 60 Kg.

D) 600 Kg. E) 12 Kg.

22. En una comuna 5 de cada 7 de los habitantes tienen 25 años o menos, si dicha comuna

tiene 322.000, entonces ¿cuál es la cantidad de personas que tienen más de 25 años en

esa comuna?

A) 46.000 B) 92.000 C) 138.000

D) 184.000 E) 230.000

23. Julio usó 2 tazas de verduras picadas para hacer una sopa para 3 personas. ¿Qué cantidad

de verduras picadas usará para 7 personas?

A) 7 B) 2

43

C) 1

32

D) 14 E) 7

6

24. En 9 días 6 obreros hacen un trabajo. ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer el mismo

trabajo en 1 día?

A) 54 B) 1,5 C) 15

D) 9 E) 1

25. Si artículo se sube primero en un 40% para luego ser rebajado en un 40%, entonces si al

comienzo el artículo costaba $ 1.000, ahora cuesta

A) $ 1.000 B) $ 940 C) $ 840

D) $ 992 E) $ 1.440

26. Si se reparten 42 caramelos entre dos niños; Matías y Vanessa de manera inversamente

proporcional a sus edades, Matías tiene 3 años y Vanessa 4 años, entonces ¿cuántos

caramelos recibe Vanessa?

A) 14 B) 18 C) 21

D) 24 E) 35

11

27. Si en una liquidación se publicita que todo artículo tiene una rebaja del 20%, y se paga con

tarjeta tiene un descuento de un 10% sobre el valor de liquidación, entonces ¿cuál es el

porcentaje de rebaja total si una persona paga con tarjeta?

A) 2% B) 10% C) 20%

D) 22% E) 30 %

28. El precio de un artículo se aumenta en un 20% para luego ser rebajado en un 2%, si el

precio final es de $ 1.176, entonces el precio que tenía antes de hacerles las

modificaciones era

A) $ 1.200 B) $ 1.200 C) $ 1.122

D) $ 1.470 E) $ 1.020

29. p es inversamente proporcional a q

1, si q = 2p, entonces cuando p = 4, q =

A) 8 B) 4 C) 2

D) 0,5 E) 0,25

30. Las enteros positivos m y n son directamente o inversamente proporcionales si

(1) 2m = n – 2

(2) 3m = n – m

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

Sixto Maulén y Savane Emegu

2013