Razones y Proporciones

Aprendizajes esperados:Aplicar las propiedades de razones y proporciones.Reconocer y distinguir entre una proporcin directa y una proporcin inversa.Resolver problemas de planteo aplicando el concepto de proporcin compuesta.

ContenidosRazones y Proporciones1.1 Definiciones: razn y proporcin1.2 Teorema fundamental de la proporciones1.3 Propiedades1.4 Clasificacin: Proporcin Continua y Discontinua1.5 Serie de Razones1.6 Proporcionalidad directa1.7 Proporcionalidad inversa1.8 Proporcionalidad compuesta.

1. Razones y proporciones Razn: Es el cuociente entre dos cantidades cualesquiera.Su notacin es:a : by se lee: a es a ba : antecedente, b : consecuente Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razn.

Por lo tanto:= 9,94Densidad Poblacional =Km2 viven aproximadamente 10 personas.Ejemplo:La razn entre poblacin y superficie, se conoce como Densidad Poblacional. Por ejemplo, la poblacin de la ciudad de Concepcin es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km2.(Segn los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadstica).

Proporcin: Es la igualdad de dos razones:a : b = c : d y se lee: a es a b como c es a d Adems, a y d : extremosc y d : mediosEjemplo:

El producto de los medios es igual al producto de los extremos. ad = bcad = bca : b = c : dEjemplo 1:Es una proporcin ya que 3564 = 4056 = 2.240

Ejemplo 2:La razn entre el nmero de dulces que tiene Agustn y el nmero de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.Si Agustn tiene 12 dulces, cuntos dulces tiene su hermano? Solucin:Si x es el nmero de dulces del hermano, entonces:Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

Si, entonces:a)La proporcin es la misma si se cambian de orden los extremosb)La proporcin es la misma si se cambian de orden los mediosc)La proporcin es la misma si se invierten las dos razones

d)Composicin de proporciones:==e)Descomposicin de proporciones:f)Composicin y descomposicin de proporciones:

Es aquella que tiene todos sus trminos distintos, es decir:es discontinua si a b c d Ejemplo:Cuarta Proporcional Geomtrica (CPG)Es un cuarto valor que junto a otros tres, forman una proporcin. En el ejercicio anterior: 25 es CPG entre 45, 5 y 9 5 es CPG entre 45, 25 y 9 45 es CPG entre 25, 5 y 9 9 es CPG entre 25, 45 y 5

Es aquella que tiene los extremos, o medios iguales.Ejemplo:Tercera Proporcional Geomtrica (TPG)Es cada uno de los trminos no repetidos de una proporcin continua. 9 es TPG entre 4 y 6 4 es TPG entre 9 y 6En el ejercicio anterior:

Media Proporcional Geomtrica (MPG)Es el trmino que se repite en una proporcin continua.Ejemplo:4 es media proporcional geomtrica (MPG) entre 2 y 8.

Es la igualdad de 2 o ms razones.=== = k=== = 0,5==a : c: e: = b : d: f : Ejemplo 1:

Ejemplo 2:a : b : c = 3 : 5 : 6a + b + c = 42Si, determinar a, b y c.Solucin:a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces: Si=== kLuego: a = 3k,b = 5ky c = 6kComo a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 4214k = 42k = 3Por lo tanto: a = 9,b = 15y c = 18

Dos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra tambin aumenta (disminuye). Ejemplo:La siguiente tabla representa la relacin entre el nmero de fotocopias y su costo en pesos:

Grficamente:El grfico de una proporcin directa es una recta con pendiente positiva o negativa.

Dos variables son inversamente proporcionales, si al aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa).Ejemplo:Para construir una piscina en 20 das se requiere de 4 obreros. Entonces se puede inferir que para demorar 10 das se requieren 8 obreros, y para demorar 5 das se requieren 16 obreros, y as sucesivamente.Si tabulamos: N de obreros(x)Das (y)k = yx

Grficamente:El grfico de una proporcin inversa es una hiprbola.

Es aquella en que intervienen ms de dos variables.Ejemplo:Si 5 pasteleros producen en 7 das 400 tortas, cuntas tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 das?Solucin:Un mtodo prctico es el siguiente:1 Se ordenan los datos dejando la incgnita (tortas),en el centro:

N de Pasteleros y N de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras ms pasteleros mayor es la cantidad de pasteles producidos.Das y N de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras ms das, mayor es la cantidad de pasteles producidos.2 Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incgnita, esto es:Entonces: 5 x 7 = 14 400 9x = 1.440Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 das, pueden producir 1.440 tortas.