5 Retroalimentación de estado5. Retroalimentación de estado

5.1 Asignación del polinomio característico del sistemadel sistema

Sea el sistema (escalar)Sea el sistema (escalar)

⎪

⎪⎨⎧ +=

•

)()()( ),,( tbutAxtxcbA

cuyo polinomio característico es

⎪⎩⎨

= ).()( ),,(

tcxty

y p

.)(det)( 11 n

nn asasAsIsa +++=−= −

1

S d difi l i t (A b ) di d lSe desea modificar el sistema (A,b,c) por medio de la retroalimentación de estado

)()()( k

donde es un vector fila y v(t) es una

)()()( tvtkxtu +−=

[ ]nkkkk 21=nueva entrada, a fin de obtener un sistema en lazo cerrado con polinomio característico deseado

.)( 11 n

nn sss ααα +++= −

Esto significa que buscamos reubicar los modos del sistema (y por consiguiente, los polos del mismo) mediante retroalimentación de estadoretroalimentación de estado.

2

La retroalimentación de estado se muestra esquemáticamenteLa retroalimentación de estado se muestra esquemáticamente en la siguiente figura.

3

Aplicando la retroalimentación de estado )()()( tvtkxtu +−=Aplicando la retroalimentación de estado al sistema (A,b,c), obtenemos el sistema en lazo cerrado

)()()()( tbtbkAt +•

)()()( tvtkxtu +=

)()()()()()(

tcxtytbvtxbkAtx

=+−=

cuyo polinomio característico es).(det)( bkAsIsak +−=

Entonces, el problema es averiguar bajo qué condiciones existe tal que y cómo calcular el

vector k.)()()( tvtkxtu +−= ),()( sas k=α

4

Tenemos queTenemos que

)(det)()( bkAsIsas k +−==α

].)(det[)(det

]})()[det{( 1

1

bkAsIIAsI

bkAsIIAsI

n

n−

−

−+−=

−+−=

Lema 5.1. Sean L y N matrices de dimensiones nxm y mxny yrespectivamente. Entonces se cumple que

).(det)(det NLILNI mn −=− )()( mn

5

Utilizando el lema anterior en con])(det[ 1bkAsII −+Utilizando el lema anterior en con

tenemos que

],)(det[ bkAsIIn −+

,1y , ,)( 1 ==−−= − mkNbAsIL

)(1

])(1det[])(det[1

11

bAsIk

bAsIkbkAsIIn−

−−

−+=

−+=−+

.)(1 bAsIk+=

Por lo tanto],)(1)[()( 1bAsIksas −−+=α

de donde

)()()()( 1bAsIksasas −−=−α .)()()()( bAsIksasasα

6

Como tenemos en la ecuación anterior polinomios en “s”, elComo tenemos en la ecuación anterior polinomios en s , el vector k puede encontrarse igualando los coeficientes correspondientes de las potencias de “s”.

Para ello utilizamos la expresión1 32211

)](

)()([)(

1)(

21

321

221

11

IaAaA

sIaAaAsIaAIssa

AsI

nn

nnn

−−

−−−−

+++++

+++++=−

)].( 11 IaAaA n−+++++

7

Por lo tantoPor lo tanto

])()([

)()(3221

11

11

bIAAIAIk

asasssnnn

nnn

nnn +++−+++

−−−

−− αα

Examinando por potencias de “s” la ecuación anterior, tenemos

.])()([ 321

221

1 bsIaAaAsIaAIsk nnn ++++++=

p pque

11 kba =−α

212

33

122

kbakAbabkAa

kbakAba

++=−

+=−

α

α

2133

8

Las relaciones anteriores se pueden escribir comoLas relaciones anteriores se pueden escribir como

d dTCka =−α

donde [ ]21= nαααα

[ ]

[ ]1

21= aaaa n

[ ]1 121

1

⎤⎡

= −

aaa

bAAbb nC

1010

1

21

121

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=−

−

aaaaa

n

n

T .

100

10

1

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

=a

T

9

100 ⎥⎦⎢⎣

De la ecuación anterior, puede verse que un polinomioDe la ecuación anterior, puede verse que un polinomiocualquiera puede ser asignado mediante retroalimentación de estado como polinomio característico

)(sα

del sistema en lazo cerrado si y solo si la matriz de controlabilidad del sistema es no singular, es decir, si y solo si el sistema es controlablesi el sistema es controlable.

Si el sistema es controlable, el vector de retroalimentación ki l li i á d d)(que asigna el polinomio está dado por

(5.1)11)( −−−= CTak α

)(sα

la cual se conoce como fórmula de Bass-Gura.

10

Observe que para la forma canónica controlador tenemos queObserve que para la forma canónica controlador tenemos que

1 1121

−−⎥⎤

⎢⎡ aaa n

.1010

121

−−

=⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

= Taa n

cC

1001

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

a

Es decir, que para un sistema en forma canónica controlador, el vector k puede obtenerse como

.ak −=α

11

Alternativamente, el vector de retroalimentación puedeAlternativamente, el vector de retroalimentación puedetambién calcularse mediante la fórmula

(5 2)[ ] )(100 1 Ak α−= C (5.2)

conocida como fórmula de Ackermann, donde es el polinomio característico deseado y es la

[ ] )(100 Ak α= C

)(sα[ ] 1100 −Cpolinomio característico deseado y es la

última fila de [ ] 1100 C

.1−C

12

5 2 Efecto de la retroalimentación sobre:5.2 Efecto de la retroalimentación sobre: ceros del sistema, controlabilidad y observabilidad

Efecto de retroalimentación sobre ceros del sistema

SeaSea

)()()(

)()()( 1

sasbbAsIc

sUsYsH =−== −

la función de transferencia del sistema (A,b,c).)()(

Suponiendo que a(s) y b(s) son coprimos, los ceros del sistema son las raíces de b(s) y los polos del sistema son las

í d ( )13

raíces de a(s).

Para la retroalimentación de estadoPara la retroalimentación de estado

)()()( tvtkxtu +−=

tenemos que (condiciones iniciales iguales a cero)

)()()()()()( 1 sVsbUAsIksVskXsU +−−=+−= −

de donde

)()()()()()(

1)(sU .)(1

1)()(

1bAsIksVsU

−−+=

14

Entonces la función de transferencia del sistema en lazoEntonces, la función de transferencia del sistema en lazo cerrado estará dada por

1)()()()( sbsUsYsY ⎤⎡)(1

1)()(

)()(

)()(

)()()( 1

1

bAsIksasb

sVsU

sUsY

sVsYbbkAsIc ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⋅==+− −−

)()()(

)()()(

)()(

sgsasb

sgsasa

sasb

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

donde

)()()()()( gg ⎦⎣

.)(Adj:)( bAsIksg −=

15

De lo anterior puede verse que:De lo anterior puede verse que:

1. El polinomio característico del sistema en lazo cerrado es

2 Los ceros del sistema no son afectados por retroalimentación

).()()( ssgsa α=+

2. Los ceros del sistema no son afectados por retroalimentación en el sentido de que no se pueden reubicar. Sin embargo, los ceros se pueden cancelar si y b(s) tienen raíces )(sαcomunes.

16

Efecto de retroalimentación sobre controlabilidadEfecto de retroalimentación sobre controlabilidad

Considere que tenemos un sistema controlable, dado en la f ó i t l d )( bAforma canónica controlador

Se puede ver que con la retroalimentación de estado l i li d

).,,( ccc cbA

)()()( k),,( cccc cbkbA −

el sistema retroalimentadosigue estando en la forma canónica controlador, y

por lo tanto sigue siendo controlable

)()()( tvtkxtu +−=),,( cccc

por lo tanto sigue siendo controlable.

Si el sistema no es controlable, el sistema retroalimentado tampoco es controlabletampoco es controlable.

Entonces, la retroalimentación de estado no afecta la l bilid d d l icontrolabilidad del sistema.

17

Efecto de retroalimentación sobre observabilidadEfecto de retroalimentación sobre observabilidad

Para analizar la observabilidad, suponga que el sistema (A b ) t l bl b bl C i(A,b,c) es controlable y observable. Como se vio anteriormente, la función de transferencia del sistema retroalimentado esretroalimentado es

.)()(

)()()()( 1

ssb

sgsasbbbkAsIc

α=

+=+− −

Entonces el sistema el cual sigue siendo

)()()( ssgsa α+

),,,( cbbkA− gcontrolable, será observable si y solo si b(s) y son coprimos, esto es si y solo si los modos del sistema en lazo

d i id l d l i P l

)()(sα

cerrado no coinciden con los ceros del sistema. Por lo tanto, la observabilidad puede ser afectada por retroalimentación de estado

18

estado.

5 3 S i i t d f i t t5.3 Seguimiento de referencia constante

Sea (A,b,c) controlable, y suponga que al tiempo se presenta una perturbación de manera tal que y

d l t li t ió d t d

00 =t,0)0( 0 ≠= xx

)()( tktque se desea usar la retroalimentación de estadopara llevar a cero.

)()( tkxtu −=0x

Entonces, si el sistema no es estable, o si se desea por ejemplo hacer que tenga una dinámica más rápida (o más lenta), se debe calcular el vector k para ubicar los modos del sistema endebe calcular el vector k para ubicar los modos del sistema en lazo cerrado en posiciones adecuadas en la parte izquierda del plano complejo. La velocidad con que tienda a cero 0xp p j qdependerá de los modos del sistema en lazo cerrado, es decir, de los valores propios de la matriz

0

).( bkA−

19

Suponga que en lugar de llevar el estado del sistema a cero seSuponga que en lugar de llevar el estado del sistema a cero, se quiere llevar a un estado dado, tal que la salida del sistema tienda a un valor constante deseado, es decir ,

bl l ll

.)()( dytcxty →=

A este problema le llamaremos seguimiento de referencia constante.

Utilizando la retroalimentación de estadotenemos que

,)()( dvtkxtu +−=

•

de donde0)()( =+−=

•

dd bvxbkAtx

.)( 1dd bvbkAx −−−=

20

E tEntonces.)( 1

ddd bvbkAccxy −−−==

Sea la función de transferencia del sistema en lazo cerrado.

bbkAsIcsHk1)()( −+−=

Entonces tenemos que

vHy )0(de donde

dkd vHy )0(=

dy .)0(k

dd H

yv =

21

Por lo tanto, para una función de transferencia en lazo cerradoPor lo tanto, para una función de transferencia en lazo cerrado dada, existe una entrada tal que

si es decir, si no tiene ceros en s=0.)(sHk dv dyty →)(

,0)0( ≠kH )(sHk

Dado que los ceros de corresponden a los ceros de H(s), entonces existe si

k k

)(sHk

dv .0)0( 1 ≠−= − bcAH

Observe que la velocidad con que la salida tienda al valor deseado depende de los modos del sistema en lazo cerrado.

d )(

deseado depende de los modos del sistema en lazo cerrado.

22

5.4 Rechazo de perturbaciones constantes

Sea el sistema

)()()( wtbutAxtx ++=•

)()()()()(

tcxtywtbutAxtx

=++=

donde w es una perturbación constante desconocida (vector), y suponga que se quiere llevar la salida del sistema a cero, aún en presencia de esta perturbaciónen presencia de esta perturbación.

23

Utilizando la retroalimentación de estado u(t)= kx(t) se puedeUtilizando la retroalimentación de estado u(t)=-kx(t) se puede estabilizar el sistema, pero tendremos valores en estado estacionario para la salida diferentes de cero. p

Para rechazar la perturbación w (es decir, para hacer que lasalida tienda a cero sin importar el valor de w), además desalida tienda a cero sin importar el valor de w), además de retroalimentación de estado, vamos a utilizar retroalimentación dinámica de la salida.

Sea y defínase),()( tytq =•

)()()( tqktxktu −−=

es decir, la entrada u(t) es una combinación de retroalimentación de estado con retroalimentación dinámica de la salida

)()()( 21 tqktxktu =

de estado con retroalimentación dinámica de la salida.

24

Entonces, tenemos el sistema aumentadoEntonces, tenemos el sistema aumentado

)()( 21 ⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡ −−=⎥

⎤⎢⎡ • wtxbkbkAtx .

0)(0)( ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣•

tqctq

Si se asignan de manera tal que el sistema aumentado anterior sea estable, entonces tendremos que

21 y kkaumentado anterior sea estable, entonces tendremos que

es decir la salida del sistema tenderá a cero sin importar el)()(0 ∞=∞= ycx

es decir, la salida del sistema tenderá a cero sin importar el valor de la perturbación w.

25