Sesión 4Tema:

Profesor: Víctor Manuel Reyes

Asignatura: Matemática II

Sede: Osorno

Objetivo:Resolver funciones cuadráticas, identificando elementos característicos de ellas para su aplicación en situaciones del ámbito laboral.

Función cuadrática

Carrera: TNS de Electricidad en Potencia

Ejemplo función cuadrática

Se estudia el valor instantáneo de la tensión durante un periodo de prueba que dura 5 ms y se ha establecido que la relación:

es un modelo matemático aceptable para describir el estudio.

T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25

Ejemplo función cuadrática

Aquí, T(t) representa el valor instantáneo de la tensión del sistema y t representa el tiempo por milisegundo (ms)

Ejemplo función cuadrática

T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25

t T(t)

t

T(t)

Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por:

Función cuadrática

y = f (x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c son números reales y a ≠ 0 .

63)( 2 xxxf

1)2()2(3 22 xxy

241)( xxxg

352)( 2 xxxy

212)( mmf

El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente.

Concavidad (+) Concavidad (−)

Se da cuando a > 0 Se da cuando a < 0

Concavidad f(x) cuadrática:

x

y

Intersección eje y Intersección eje x

f(x) = x2 − 3x − 2

(0,y1) (x1,0)(x2,0)

Intersección con los ejes:

La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional

2 4 6 8-2-4-6-8-10

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

x

yy = 2x̂ 2+3x-5

Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a=2 >0.

Intersección con los ejes:

Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x − 5 corta al eje y en el punto (0, − 5) porque c = − 5.

y = f (x) = ax2 + bx + c

La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos:

» Por factorización » Utilizando la fórmula» Por completación de cuadrados

Intersección con los ejes:

por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado.

0 = ax2 + bx + c,

Por factorización:2 4 6 8 10 12 14-2

246

-2-4-6-8

-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28-30-32-34-36-38-40-42-44-46-48-50-52-54-56-58-60-62-64

x

yy = x̂ 2-12x-28

(x - 14)(x + 2) = 0

Intersección con los ejes:

Resolver la ecuación:x2 - 12x - 28 = 0

Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den -28 y sumados den -12

Entonces se deduce que las soluciones son:

x = 14 y x = -2

Estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es:

Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), se utiliza la fórmula: a

acbbx

2

42

2

210

12

2414)10()10( 2

x1 2 3 4 5 6 7-1

1

2

3

4

5

-1

-2

x

yy = x̂ 2-10x+24

Ejemplo:Resolver la ecuación:

Por lo tanto x = 6 ó x = 4

Intersección con los ejes:

Utilizando la fórmula:

En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos:

x2 – 10x +24 = 0

Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula:

a

acbbx

2

42

Así tenemos que:

acb 42 Lo que se denota

Intersección con los ejes:

1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x.

2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x.

3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

yy = (x+1)(x+3)

y = (-2x-1)(x-2)

y = x2 + 4x + 3

y = -2x2 + x + 2

Si se tienen dos soluciones reales distintas x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en los dos puntos (x1 ,0) y (x2 , 0).

042 acb

Intersección con los ejes:

Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en un solo punto de coordenadas (x1 ,0)

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

yy = (x+2)(x+2)y = -(x-1)(x-1)y = x2 + 4x + 4

y = -x2 + 2x -1042 acb

Intersección con los ejes:

Si se tienen dos soluciones no reales x1 , x2 , la gráfica no corta al eje x.

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

yy = x̂ 2+2y = -x̂ 2-1

042 acb

y = x2 + 2

y = -x2 -1

Intersección con los ejes:

El vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a,b,c es:

a

bac

a

bV

4

4,

2

2

Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función.

Coordenadas del vértice

Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función.

Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función

8

25,

4

3

4

4,

2

2

a

bac

a

bV

125,3,75,0

Como tiene concavidad positiva, por ser a = 2 > 0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo.

1 2 3-1-2

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

x

yy = 2x̂ 2-3x-2

y = (2x+1)(x-2)

Coordenadas del vértice

f (x) = 2x2 - 3x – 2

Ocupando la fórmula, para a=2, b=−3 y c=−2, se tiene:

Observemos la gráfica de las siguientes funciones

Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.

Coordenadas del vértice