Taller de Razonamiento Matematico Examen

Taller de Razonamiento MatemticoUNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINPROGRAMA DE COMPLEMENTACIN UNIVERSITARIA

Seleccin BibliogrficaHernan Portugal Galdos Luis Meza Campos Maria del Carmen Cordova Martinez

AREQUIPA PER 2011

Programa de Complementacion Universitaria

UNSA

2


UNSA

INTRODUCCIN La actividad matemtica por excelencia es la resolucin de problemas, pero es bien conocido que muchos alumnos tienen dificultades en la resolucin de problemas. As, durante mucho tiempo se consider que las dificultades mostradas por los alumnos en la resolucin de problemas dependan primordialmente de la complejidad de los conceptos matemticos involucrados en su resolucin, de los conocimientos matemticos que posean, as como de sus capacidades intelectuales. Con el correr del tiempo, las investigaciones en psicologa y en didctica de la matemtica han ido sacando a la luz la importancia de tomar en consideracin aspectos aparentemente colaterales que se han revelado como primordiales a la hora de resolver un problema. En este texto, como parte del Programa de Complementacin Acadmica donde participan docentes egresados de los institutos superiores, se abordarn algunos de estos factores, analizando su incidencia e importancia; en particular, destacaremos el papel que juega la lectura del enunciado y la representacin de la situacin narrada en el mismo. Proporcionaremos, tambin algunas pautas de actuacin didctica que permitan mejorar notablemente el rendimiento de nuestros alumnos en la resolucin de problemas. El carcter particular es que contiene temas diversos abordados mediante problemas de Aritmtica, Algebra, Geometra, etc. Los temas son seleccionados con fines de actualizacin y reflexin tan necesaria para continuar el proceso de profesionalizacin y de este modo servir mejor a la poblacin infantil de nuestro pas. Nuestros estudiantes casi siempre le tienen pnico a las matemticas, debido a que no han perfeccionado su pensamiento lgico deductivo y menos an el razonamiento emprico-inductivo

3


UNSA

que, en muchos casos, desempea un papel mucho ms activo en la elaboracin de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo. Esta afirmacin describe tambin la forma en que trabajan los "matemticos", quienes no formulan un teorema "a la primera". Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solucin de un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qu sucede, etc., son las autnticas pistas para elaborar proposiciones y teoras. Esta fase intuitiva es la que convence ntimamente al matemtico de que el proceso de construccin del conocimiento va por "buen camino". La deduccin formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior. El proceso mental denominado razonamiento que aplicado a las ciencias formales entre ellas la matemtica, se denomina razonamiento lgico matemtico el cual constituye una pieza indispensable en la vida intelectual ya sea a nivel bsico o superior. En estos ltimos aos el razonamiento lgico matemtico es parte importante en las pruebas para postulantes a las universidades e institutos superiores; as como tambin en las pruebas administradas a los postulantes a alguna plaza laboral, que tiene como objetivo seleccionar postulantes cuya aptitud acadmica acreditan idoneidad para realizar una tarea. LOS AUTORES

4


UNSA

CAPTULO

LA RESOLUCIN DE PROBLEMASDe M. C. Chamorro

OBJETIVOS 1. Conocer los principales elementos tericos que intervienen en el planteamiento y la resolucin de problemas. 2. Reflexionar sobre diferentes categoras de problemas y determinar las ms adecuadas para la educacin bsica. 3. Estudiar los diferentes factores que intervienen en la resolucin de un problema, prestando especial importancia al estudio del enunciado. 4. Analizar diferentes modelos de resolucin de problemas, estudiando su viabilidad adaptacin a la edad y al aula. 5. Proporcionar tcnicas para la elaboracin de problemas. 6. Prever y adecuar el cambio del contrato didctico clsico al caso especfico de resolucin de problemas.

5


UNSA

LA SOLUCIN A NUESTROS PROBLEMAS Un grupo de investigadores del National Science Foundation ha averiguado recientemente cmo resolver nuestros problemas. No, no han conseguido frenar el calentamiento global. No, tampoco han conseguido la fusin nuclear fra. Y no, tampoco han creado plsticos sin petrleo. Estos investigadores han realizado un estudio que concluye que ciertas prcticas pueden combatir el estrs provocado por un examen. Se trata de algo que lleva unos diez minutos y que se debe hacer justo antes del comienzo del mismo. El artculo ha sido publicado en "Science", en el nmero del 14 de enero, y se titula "Writing about Testing Boosts Exam Performance in the Classroom". Esta prctica consiste ni ms ni menos que en escribir las cosas que nos preocupan. Los investigadores han probado que aquellos estudiantes con tendencia al estrs y la ansiedad antes de un examen consiguieron mejorar sus notas incluso hasta un punto simplemente escribiendo sobre lo que les aterrorizaba con respecto al examen. De esta manera, consiguieron descargar toda su ansiedad, dejando libre toda su capacidad de procesamiento mental para concentrarla en el examen Segn uno de los autores, Sian Beilock, esta capacidad suele estar ocupada en su mayora por las preocupaciones y el miedo. Beilock concluye que la presin puede inhibir una parte del potencial de procesamiento mental conocida como "working memory" (algo as como memoria de trabajo). Esta "memoria de trabajo" es muy importante a la hora de llevar a cabo tareas del da a da, y tambin para los exmenes. Bajo la presin de un examen, incluso la mente ms brillante puede ver minado su potencial. Podemos ver ms sobre el tema en su libro, Choke: What the Secrets of the Brain Reveal About Getting It Right When You Have To. Bailock es un experto en el trabajo bajo presin. Dice que las personas ms talentosas pueden rendir por debajo de su nivel 6


UNSA

habitual ante una situacin especialmente desafiante, sea un examen o una competicin deportiva. Y esto ocurre aunque el sujeto est motivado para rendir al mximo. Para probar sus hiptesis, Bailock seleccion a 20 estudiantes universitarios, a los que someti a dos exmenes de matemticas. En el primero de ellos simplemente se les aleccion a dar lo mejor de s mismos, sin ninguna motivacin extra. En cambio, antes del segundo examen, crearon un clima de estrs mediante diversos mtodos (les dijeron que los mejores recibiran becas, que otros estudiantes dependan de su nota, ...) y dividieron a los estudiantes en dos grupos de 10 individuos. Uno de los grupos realiz antes del examen el ejercicio de escritura expresiva, mientras que el otro grupo simplemente se sent a esperar. Y los resultados fueron concluyentes: el rendimiento de los estudiantes del grupo de la escritura expresiva fue significativamente mejor que el de los estudiantes del otro grupo Por supuesto, el uso de estas tcnicas no garantiza el xito - nada se puede hacer sin una preparacin adecuada. Pero recuerda, si alguna vez el estrs te domina antes del examen, escribe sobre lo que te preocupa. Resuelve el siguiente problema : Cierto deportista, muy experto en cuestiones de caza menor, sali a cazar su primer oso. De repente divis uno, enorme, a unos cien metros al este. Asustado, ech a correr, pero tal era su pnico, que no lo hizo en sentido opuesto a donde estaba el oso, sin hacia el norte. Unos cien metros ms all, recobr su presencia de nimo, se par se volvi y mat al oso, que no se haba movido de donde estaba al principio, apuntando hacia el sur. Ha comprendido bien todos los datos ?

Bien , entonces, de qu color era el oso ?

7


UNSA

1. EL TRATAMIENTO Y LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Es muy frecuente encontrar, tanto en los textos de matemticas como en los escritos de didctica de las matemticas, que la actividad matemtica por excelencia consiste en la resolucin de problemas, y que en el aprendizaje de las matemticas se debe enfrentar al alumno a la verdadera actividad matemtica: la resolucin de problemas. El currculo espaol de Educacin Primaria incluye un bloque temtico especfico de resolucin de problemas, al que da la consideracin de transversal. Y es que la capacidad para plantearse y resolver problemas est en la base de todo conocimiento cientfico, es a menudo un reto para el individuo y constituye la actividad mental por excelencia del ser humano: descubrir. Lo que parece estar fuera de toda duda es que resolver un problema va ms all de hacer una operacin y encontrar su resultado, es algo ms que ejecutar un algoritmo, tiene que ver ms con hacer preguntas relacionadas con la mate-matizacin de un problema real, o bien con la construccin de nuevos objetos matemticos, y responder a esas preguntas. Lo anterior indica ya que vamos a encontrarnos con dos tipos de problemas: los que surgen del interior de la propia disciplina y los que provienen del mundo exterior, de la vida real. Trabajar con este segundo tipo de problemas plantea cuestiones fundamentales sobre las relaciones entre matemticas y realidad, y sobre la posibilidad de un funcionamiento autnomo de las matemticas. Estos problemas van a ser prioritarios en los niveles que nos ocupan (6 a 14 aos), lo que no implica en modo alguno que no puedan abordarse situaciones - problema, en forma de juego, que carezcan de anclaje en la realidad. De lo anterior puede deducirse que el papel que se asigne a la actividad de resolucin de problemas va a ser determinante, y va a marcar una eleccin didctica importante, segn que la funcin 8


UNSA

asignada a esta actividad sea: la tradicional, en la que el problema aparece nicamente como criterio para determinar el saber del alumno y vinculada, por tanto, a la evaluacin; la ligada a los mtodos llamados activos, en donde el problema es utilizado como mvil del aprendizaje; o la que nosotros compartimos, en la que la resolucin de problemas es a la vez fuente y criterio del saber matemtico en juego. El inters por la resolucin de problemas se debe, tambin, a la posibilidad que stos ofrecen, para construir conocimientos matemticos y modelizar situaciones, lo que ayuda a comprender y dominar el entorno que nos rodea. Los niveles a los que nos dirigimos requieren prestar una gran atencin a los aspectos psicolgicos y semnticos que confluyen en la resolucin de problemas, que cobran aqu tanta importancia, o ms, que los aspectos matemticos, por lo que estudios clsicos sobre resolucin de problemas en matemticas necesitan ser completados con otros que nos permitan comprender las causas del fracaso de los alumnos ante problemas escolares muy simples. Para algunos psiclogos como Hoc, un problema no califica una tarea sino una situacin, es decir la confrontacin de un sistema cognitivo a una tarea. Desde este punto de vista, un problema es la representacin de un sistema cognitivo construido a partir de una tarea, sin disponer inmediatamente de un procedimiento admisible para alcanzar el objetivo1. La construccin de la representacin de la tarea es lo que se llama comprensin, en tanto que la construccin del procedimiento se llama estrategia de resolucin. Se sabe que las estrategias o procedimientos de resolucin que un individuo va a poner en marcha para resolver un problema van a depender directamente de la representacin que ese

1

Hoc, J. M. (1987): Psychologie cognitive de la planificacin, PUF.

9


UNSA

individuo se ha hecho de la situacin. De la misma manera, el cambio de representacin va a ser el resultado de los conocimientos que el individuo va a movilizar durante el proceso de bsqueda de la solucin, de las acciones que va a llevar a cabo, es decir, de los sucesivos razonamientos. Greco2 ha probado que hay, al menos, dos sistemas de representaciones que funcionan en el ejercicio del pensamiento natural, o espontneo, y que intervienen en la resolucin de problemas: - Un sistema R de representaciones que construyen el sentido, tanto el directo, llamado legible, como el figurado. - Un sistema T, bastante complejo, de tratamiento de las representaciones, y en el que existen varias categoras de esquemas: los esquemas de orientacin o representacin calculable (esto es una ecuacin, es un problema de proporcionalidad, etc.), los que efectan a las operaciones locales, y los que ligan los anteriores generando programas, procedimientos, algoritmos, correcciones, son los llamados esquemas de concatenacin. La comprensin es un proceso dinmico de cambio de la representacin, gracias al cual el alumno pasa de una representacin inadecuada, en la que atribuye a la tarea propiedades que no tiene, a una representacin adecuada, y de una representacin incompleta a otra completa.

2. ALGUNOS MODELOS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS Existen muchos modelos de resolucin de problemas, que van desde los clsicos propuestos por Schoenfeld3 y Polya4, en el lado ms matemtico, ms prximo a la heurstica, a otrosGRECO, P. (1988): Structures et Significations, prefacio de la obra BlDEAU, J.: Logique et bricolage chez l'enfant, Lille, P.U.L.3 4 2

SCHOENFELD, A. H. (1985): Mathematical Problem Solving, Orlando, Academic Press. POLYA, G. (1982): Cmo plantear y resolver problemas, Mxico, Trillas.

10


UNSA

modelos ms psicolgicos del tipo IDEAL de Bransford y Stein5, y las propuestas de Gestin Mental de Antoine de la Garanderie6, pasando por modelos intermedios como el de Masn, Burton y Stacey7. El anlisis que hemos hecho de los modelos precedentes ha tenido siempre como teln de fondo las edades a las que nos dirigimos, las caractersticas de su pensamiento y sus capacidades cognitivas, as como los objetivos de tipo matemtico que se persiguen en la Educacin Infantil, Educacin Primaria y Secundaria Obligatoria. Nos ha interesado, tambin, buscar soluciones al constatado fracaso escolar en la resolucin de problemas en la Educacin Obligatoria, por eso, hemos prestado atencin a factores que se tienen poco en cuenta en la resolucin clsica que se hace en matemticas. Hemos descartado los modelos propuestos por Polya y Schoenfeld por considerarlos poco adecuados para el tratamiento de problemas muy elementales, si bien consideramos que los profesores deben conocer su existencia y efectuar lecturas complementarias de sus textos. Estos y otros modelos tienen, de alguna manera, el defecto de considerar la actividad de resolucin de problemas como algo lineal en la que unas fases suceden a otras; las investigaciones nos dicen, sin embargo, que varios procesos intervienen simultneamente, interactuando entre ellos a efectos de mejorar nuestra comprensin, y encaminarnos a la resolucin. Adems, el mtodo de resolucin tiene que tener en cuenta la especificidad de cada problema, por lo que es difcil disear un mtodo nico de actuacin.

5 6 7

BRAXSFORD, J. y STEIN, B. (1986): Solucin IDEAL de problemas, Barcelona, Labor. TAURJSSON, A. (1990): La russite en mathmatiques, Qubec, Agence d'ARC inc. MASN, J., BURTON, L., STACEY, K. (1988, 93): Pensar matemticamente, Barcelona, Labor-MEC.

11


UNSA

El modelo de La Garanderie8 tiene inters, no tanto por su clasificacin de individuos en auditivos o visuales, sino por las tcnicas prximas a la metacognicin que usa, y que podran facilitar muy bien la representacin del problema por parte del nio, y con ello la posibilidad de extraer significaciones al discurso del problema y las acciones que en l se dan. Las investigaciones9 han demostrado que pedir a los sujetos que estn resolviendo un problema que expliquen y verbalicen sus acciones, o que traten de representarse el problema mediante imgenes mentales, produce una mejora notable en el xito que tienen estos sujetos, y ello por el papel de modelo que juegan las imgenes en la resolucin de problemas. La nocin de problema es aqu muy general, y est, en algunos casos, muy alejada de lo que en matemticas se entiende por problema. Para nosotros, el inters de este mtodo reside en las pautas que proporciona para el desarrollo de destrezas y estrategias generales que intervienen en la resolucin de problemas, y que puede ser de utilidad potencial en los primeros niveles. En particular, el desarrollo del pensamiento lateral o divergente, la mejor explotacin de la memoria y el fomento del pensamiento creativo son para nosotros los elementos fuertes de este mtodo.

3. LA LECTURA Y COMPRENSIN DE LOS ENUNCIADOS El enunciado de un problema es un escrito matemtico particular que tiene caractersticas propias, podramos incluso decir que es un gnero literario bien caracterizado que necesita para su comprensin la adquisicin de ciertas claves y alguna dosis de entrenamiento.

8 9

LA GARANDERIE, A.: Gestin mental. Vase DENIS, M. (1989): Image et cognition, Pars, PUF.

12


UNSA

Comprender un enunciado supone tener la capacidad para representarse, no slo la situacin descrita en el enunciado, sino tambin la tarea asociada a la situacin que debe resolverse, lo que supone conocer, de alguna manera, las intenciones del autor del enunciado, que no siempre estn implcitas en el texto. Adems, en el caso de los problemas matemticos hay un contrato implcito segn el cual el contexto semntico no debe aclarar completamente el objeto del problema y la tarea a resolver, pues se considera que su descubrimiento por parte del lector forma parte de su trabajo como resolutor, por lo que las dificultades de comunicacin entre el autor del texto y su intrprete se acrecientan, lo que lleva aparejada una mayor dificultad para representarse el problema. Se dice frecuentemente que las matemticas son un lenguaje, lenguaje que es aprendido por el nio, en simultneo, en el caso de los primeros aprendizajes lgico - matemticos, y generalmente con posterioridad a la lengua materna; en ambos casos, no puede negarse que existen muchas interacciones entre estos dos lenguajes. Muchas de las dificultades que se han encontrado en la resolucin de problemas aritmticos simples nada tienen que ver con la mala comprensin o ejecucin de los algoritmos, son de otra naturaleza. Conciernen a la lectura y comprensin del enunciado, a la seleccin y organizacin de las informaciones pertinentes dadas en el enunciado, y a la traduccin de esta organizacin en trminos matemticos. La mayor dificultad es la interpretacin del contexto semntico, necesaria para interpretar y seleccionar las informaciones dadas por el enunciado, y se encuentra tanto en los alumnos de 6 aos como en los de 16, y ello con la misma intensidad, lo que debera llevar a plantearnos una adecuacin de los procedimientos didcticos utilizados en la enseanza de resolucin de problemas, as como a interrogarnos sobre las operaciones y procesos mentales que usan los

13


UNSA

alumnos, es decir sobre el funcionamiento cognitivo de los alumnos en situacin de resolver problemas. As por ejemplo, pensar que los datos suministrados por el enunciado del problema son directamente tratables por el alumno es una ilusin didctica de falsa transparencia que dista mucho de ser real; para ser utilizables deben descodificarse e integrarse en la representacin del problema.

4. FACTORES SEMNTICOS PROBLEMAS

EN

LA

RESOLUCIN

DE

Un enunciado aritmtico podra ser caracterizado, en tanto que texto, de la manera siguiente:

Es un enunciado que describe un estado o suceso, ms o menos corriente, o que tiene que ver con el universo imaginario familiar del nio. A la descripcin le siguen una o varias preguntas a las que el alumno debe responder.

La situacin que se describe en el enunciado est contemplada de una manera particular, resaltan los aspectos cuantitativos dando ciertos datos numricos.

La elaboracin de las respuestas implica inferencias que ponen en marcha competencias de tipo lgico-matemtico.

La respuesta, la solucin del problema, debe ser presentada de una manera particular, utilizando el lenguaje matemtico.

14


UNSA

Lo anterior hace que las dificultades de lectura del enunciado de un problema sean significativamente diferentes de las que se dan en la comprensin de un texto corriente, si bien, en ambos casos, pueden explicarse a partir del funcionamiento semntico de los nios, para lo que resulta imprescindible acudir a la nocin de representacin semntica., lo que a su vez va a enviarnos a la construccin de las estructuras mentales que la sustentan. Adems, en el caso de los problemas, como ya hemos dicho, los enunciados no tienen como misin clarificar el problema, pues se supone que es lo que debe hacer el resolutor con ayuda de los datos que se dan.

Actividad 1: Compruebe y analice en tres problemas de tres cursos diferentes, qu cuatro de los aspectos enunciados ms arriba estn presentes.

Por otra parte, el comportamiento de un nio, de las edades a las que nos venimos refiriendo, frente a la resolucin de problemas, no puede reducirse a la dimensin cognitiva, pues las componentes afectivas y de motivacin juegan tambin un papel fundamental y no pueden ignorarse. La autoestima, el nivel de confianza en s mismo y una actitud positiva hacia la resolucin de problemas son objetivos prioritarios a alcanzar si se desea mejorar la actual enseanza de resolucin de problemas y que el alumno tenga xito en ella.

5. LOS PROBLEMAS DE TRADUCCIN-MODELIZACIN Para Ehrlich10, en la resolucin de un problema aritmtico simple, el alumno debe realizar una traduccin que comporta dos aspectos:10

EHRLICH, S. (1990): Sincmtique et mathmatiques, Pars, Nathan.

15


UNSA

- Un aspecto formal. Se trata de pasar de un lenguaje corriente a un lenguaje formalizado, matemtico, que de como resultado la transformacin del enunciado de partida en una frmula numrica. - Un aspecto semntico, conceptual y temtico. Es necesario pasar de un estado, un suceso o un objeto, del que habla el enunciado, a una estructura numrica (aditiva o multiplicativa en el caso que nos ocupa). Y en un problema de traduccin hay tres tipos de dificultades: Las relativas al conocimiento y comprensin del mensaje de partida: el enunciado del problema. Las que tienen que ver con el conocimiento y la comprensin del mensaje de llegada: la operacin a hacer. Las dificultadas ligadas al propio proceso de traduccin, es decir, al paso del enunciado de la operacin a hacer. Ahora bien, la nocin de traduccin est ligada a la de modelizacin matemtica, en tanto que las matemticas son un lenguaje que sirven para expresar, de otra manera, los datos del problema, a efectos de poder tratar el problema de una manera ms general y abstracta, por lo que esa traduccin al lenguaje matemtico no es ni fcil ni instantnea. Hasta ahora, las matemticas haban presentado la nocin de traduccin como un medio para acceder directamente al objeto del problema, a la estructura del problema (resolver un problema es, en este contexto, pasar de las palabras del texto, de la historia narrada, a su expresin mediante smbolos u operaciones), lo que est en discordancia con las investigaciones ms recientes relativas a la manera en que se produce la representacin de un problema11. Sabemos que esta

11

JULO, J. (1995): Rfresentation des problema et russite en mathmatiques, Rennes, PUR.

16


UNSA

traduccin slo puede llevarse a cabo en un nivel de operacionalizacin que supone la existencia previa de una representacin ya estructurada del problema por parte del alumno. En otras palabras, esta traduccin slo es posible cuando el alumno controla ya el problema en cuestin y puede hacer uso de un proceso de modelizacin. Por tanto, una de las cuestiones de las que nos ocuparemos ms adelante tiene que ver con la adquisicin y operacionalizacin de una representacin del problema por parte del alumno.

6. LOS OPERADORES SEMNTICOS En la comprensin del enunciado de partida hay que considerar distintos factores: aquello de lo que se habla, que pone de manifiesto problemas temticos y conceptuales, y la manera en que se dice, que supone la emergencia de problemas de verbalizacin, fundamentalmente lexicales y gramaticales. La distancia lingstica entre el alumno y el lenguaje especializado de las matemticas es un hecho reconocido por todos. Por ello, la tarea de comprensin del texto de un problema se ve facilitada cuando se coloca al alumno en dominios conceptuales que le son familiares (no es igual ganar canicas que dividendos en la bolsa), y cuando los trminos que se utilizan en el enunciado son tambin familiares, desde un punto de vista lxico y sintctico. Recogiendo todo lo anterior podramos decir que el alumno necesita hacer toda una serie de modificaciones sobre lo real antes de poder disponer de una estructura matemtica de acogida. Debe seleccionar las informaciones pertinentes en el enunciado, modificar su organizacin, especificar su categora de pertenencia a lo real, determinar las categoras matemticas correspondientes, etc. Adems, estos arreglos dependen del

17


UNSA

tema del enunciado, y este tema vara de un problema a otro, por lo que es difcil para el alumno sistematizar los cambios a realizar y ordenar las categoras precisas. Un papel especial, en relacin con los procesos anteriores, corresponde a los llamados operadores semnticos del enunciado. Los operadores semnticos son unidades semnticas que renen, en una sola palabra, un concepto y una expresin verbal, y que ejercen una funcin especfica en el enunciado, marcando, segn el caso, un proceso de acumulacin o comparacin (...). Un operador semntico viene definido por su funcin en el enunciado del problema, y no por sus propiedades informativas intrnsecas.12 Son operadores semnticos de acumulacin aquellos que dan lugar a aumentos o disminuciones; suelen constituir, aunque no siempre, en parejas de polos y significaciones opuestas, por ejemplo: vender/comprar, ganar/perder, encontrar/perder, llenar/vaciar, reunir/separar, regalar, romper, tirar, etc. Los operadores semnticos de comparacin inducen, justamente, una comparacin entre estados: veces ms, veces menos, ms que y menos que. Estos operadores, insertados en el enunciado del problema, inducen los cuatro tipos posibles de comparacin: aditiva, sustractiva, multiplicativa y divisiva. Y es precisamente aqu donde reside una de las dificultades de interpretacin del enunciado; los operadores semnticos de acumulacin son a menudo ambiguos, debido precisamente a la doble significacin polar que tienen, por lo que slo el contexto y la comprensin de la narracin y las acciones del texto permiten determinar cul de las dos significaciones posibles se corresponde con el enunciado, lo que es vital para asociar a la situacin el operador matemtico correspondiente que resuelve el problema. Cuando12

EHRLICH, S.: op. cit., p. 31.

18


UNSA

el operador semntico tiene el mismo signo que el operador matemtico que resuelve el problema (por ejemplo, ganar canicas en una partida => sumar), ste tiene menor dificultad que cuando el operador semntico es de signo contrario (por ejemplo, regal canicas => restar).

Actividad 2: Redacte un enunciado en el que aparezca el operador semntico ganar, e induzca como operador matemtico una adicin. Redacte ahora otro en el que ganar lleve aparejada una sustraccin.

Se necesitan, por tanto, otros ndices e indicaciones complementarias para resolver un problema, no basta con los operadores semnticos; adems, ciertas acciones carecen de significacin directa en relacin con los operadores matemticos; qu sugieren, por ejemplo, andar, cortar, leer, pegar, etc.?, cules son sus contrarios? Hay, por tanto, operadores semnticos nulos que no inducen ningn operador matemtico. Igualmente, hay enunciados que carecen de operador semntico, por lo que los alumnos deben usar otros ndices que les permitan hacer inferencias, asociando acciones a las perfrasis verbales, usando por ejemplo la inclusin jerrquica de clases, interpretando las conjunciones que aparecen en el texto, o expresiones como en total. Se sabe, Ehrlich lo ha estudiado y probado experimentalmente, que segn sean las caractersticas semnticas de un enunciado, una misma operacin puede ser bien resuelta por todos los alumnos, por la mitad de ellos o por muy pocos. Igualmente, el efecto producido por cada factor (tipo de operador, signo del operador), tomado aisladamente, es limitado, pero ciertas combinaciones pueden dar lugar a fracasos masivos. Ciertos 19


UNSA

operadores son percibidos de manera muy confusa por los nios y deberan ser reemplazados por otras expresiones. Las expresiones cada y cada uno que suelen aparecer en los problemas multiplicativos son mal dominadas por los alumnos y llevan a errores frecuentes; lo mismo ocurre con las expresiones n veces menos que y. Por el contrario, parece que el hecho de que la pregunta del problema se encuentre al principio o al final del enunciado es indiferente a nivel de los resultados de resolucin, en contra de lo que se haba venido afirmando. Sin embargo, en lo que se refiere al suceso o accin que presenta el enunciado, los alumnos tienen menos dificultad cuando las acciones del relato se encuentran ordenadas temporalmente. Si al final del Primer Ciclo de Educacin Primaria los alumnos dominan, sin gran dificultad, los algoritmos de adicin y sustraccin, en tanto que continan durante mucho tiempo despus teniendo dificultades en la resolucin de problemas aritmticos sencillos, habra que pensar, seriamente, en hacer una didctica de los problemas que tuviera en cuenta aspectos menos matemticos, como los semnticos o los psicolgicos, que a continuacin abordaremos y de los que venimos hablando. En particular, debera existir todo un entrenamiento en la traduccin semntico-matemtica.

7. FACTORES DE COMPRENSIN DE LOS ENUNCIADOS En la comprensin de un enunciado, los alumnos ponen en juego diferentes tipos de representaciones cognitivas entre las que establecen correspondencias: de tipo lingstico, icnico, y ligadas al escrito matemtico y su correspondencia oral. Como ya hemos dicho, la comprensin de un enunciado depende de muchos factores13, algunos de los cuales acabamos de analizar, y a los que vamos a aadir los que siguen:13

Vase DESCAVES, A. (1992): Comprendre des noncs, resondre des problmes, Pars, Hachette.

20


UNSA

- Los conocimientos pragmticos de los alumnos. Muchos enunciados se encuentran ligados a las prcticas corrientes de resolucin de problemas en la clase, provienen en su mayora de manuales escolares que siguen una tradicin, tanto en cuanto a temas como a redaccin. La familiaridad del alumno con tales enunciados, lo que sabe que tiene que hacer habitualmente, el papel que cumplen los datos numricos, etc., influye en su comprensin del enunciado. - Los conocimientos del mundo. Cuando se desconoce el Funcionamiento de la bolsa, es prcticamente imposible resolver un problema que trate sobre ella, por mucho que slo comporte una sencilla sustraccin; faltan conocimientos sobre ese mundo. Inversamente, la resolucin de ciertos problemas requiere el distanciamiento de los conocimientos que tenemos sobre situaciones familiares demasiado concretas. - Las competencias lingsticas. Tienen que ver con cuatro niveles de anlisis: nivel pragmtico (interpretar lo que ha querido decir el autor del enunciado); nivel de la representacin semntica, de la que ya hemos hablado; nivel morfosintctico (estructura de las frases, tiempos verbales, etc.); nivel grfico (disposicin del enunciado, presencia de esquemas, tablas, figuras, dibujos, etc.).

- Las capacidades perceptivas. Estn relacionadas, sobre todo, con la exploracin visual y la discriminacin perceptiva. - La capacidad de representarse el problema, fundamentalmente a travs de un escrito matemtico, y poner en marcha procedimientos de verificacin y control que permitan completar o modificar las significaciones extradas del texto. 21


UNSA

- Las competencias lgicas. La comprensin de los sistemas de reglas condiciona la estrategia de resolucin. Las interferencias entre pensamiento natural y lgica formal son constantes. Se sabe, y Wermus14 lo ha puesto de manifiesto en sus trabajos, que la lgica espontnea de los nios y la lgica de predicados no funcionan de la misma forma, y que las operaciones de conjuncin y disyuncin de atributos son sustituidos por amalgamas de predicados que funcionan de manera distinta.

8. VARIABLES DIDCTICAS DE LOS ENUNCIADOS Siguiendo a Teule-Sensacq y Vinrich15, vamos a distinguir distintas variables didcticas que confluyen en el enunciado de un problema, y que van por tanto a determinar tanto distintas estrategias de resolucin como un diferente tratamiento didctico. Las variables didcticas van a permitir organizar, segn parmetros fijos, diferentes tipos de actividad. - El soporte. Hay cuatro tipos de soporte clsicos: una tabla, un grfico, una imagen y un enunciado narrado a travs de un texto escrito. Uno de los objetivos de la resolucin de problemas es, justamente, que el alumno sepa pasar de un tipo de representacin a otro, y que sepa utilizar las diferentes organizaciones del problema. - El contexto. Si se toman como referencia las prcticas sociales de los nios, stos pueden enfrentarse a: contextos efectivos, donde la situacin descrita permite una accin o una representacin concreta; contextos descritos por el maestro, es decir, evocaciones de prcticas sociales de14 WERMUS, H. (1976): Essai de rpresentation de certaines activits cognitives l'aide des predicis avec composantes contextuelles, en Archives de Psychologie vol XLIV, n 171 Genve pp. 205 - 221. 15

TEULE-SENSACQ, P. y VINRICH, G. (1992): Lire a comprendre des nonces de problema, Bordeaux, LADIST

22


UNSA

referencia para el alumno; o simulacin de prcticas sociales que no pertenecen al entorno familiar del alumno. - Pueden distinguirse, tambin, las situaciones que conducen al alumno al reconocimiento de la coherencia de un enunciado; en ellas, el alumno debe encontrar datos, organizados, etc. Estas situaciones presentan enunciados mezclados, o bien situaciones que tienen como objetivo que el alumno produzca, a partir de un grfico o una imagen, un enunciado coherente. - Las informaciones. Adems del soporte, cabe considerar si las informaciones suministradas son textuales, lgicas o numricas. En este nivel se sitan las actividades que deben llevar a los alumnos a preguntarse sobre la pertinencia de las informaciones en relacin con la solucin del problema propuesto. - Las preguntas. Constituyen el desafo de la actividad. Segn la naturaleza del procedimiento de respuesta, pueden considerarse varios tipos de preguntas: la respuesta se obtiene por simple lectura del enunciado o por verificacin de una informacin presente, explcitamente, en el texto; la respuesta se obtiene reflexionando, sin calcular; la respuesta se obtiene calculando; la respuesta es imposible por falta de informaciones en el enunciado. - El programa de clculo. El alumno puede encontrarse frente a tres tipos de situaciones: aquellas en las que es necesario realizar un clculo para la bsqueda del resultado; aquellas en las que hay que elaborar un programa de clculo o construccin (caso de ms de una operacin aritmtica o de una construccin geomtrica), lo que supone una verdadera anticipacin de la obtencin de la solucin; y, finalmente, aquellas en las que el alumno debe manifestarse sobre las solucin, ya elaborada, encontrada por otro.

23


UNSA

Actividad 3: Redacte tres enunciados de problemas que se correspondan con cada una de las situaciones que acaban de ser descritas.

- La respuesta. La recontextualizacion del resultado de un problema numrico, o la identificacin de la unidad en la que debe expresarse la solucin, en el caso de los problemas que usan medidas, constituye uno de los desafos ms importantes de la resolucin de problemas. - La comunicacin de resultados. Puede ser escrita u oral. Destinada a otro alumno, a un grupo de alumnos, al profesor, etc. - La prueba de la validez del resultado. Puede diferenciarse entre situaciones en las que la prueba se apoya sobre algo material (por ejemplo, una medida que puede ser verificada), o sobre una accin (probar que dos figuras tienen la misma cantidad de superficie), o aquellas que requieren de una prueba formal. El anlisis, para cada enunciado concreto, de las variables didcticas citadas es un excelente ejercicio que permite al profesor analizar los conocimientos que el nio pone en marcha en la resolucin de ese problema, as como ajustar el nivel de dificultad a las caractersticas de los alumnos, haciendo una resolucin graduada de problemas. A este anlisis deben unrsele otros, relativos tanto a los aspectos semnticos como a otros de cariz ms matemticos, tales como el tipo de problema y sentencia. D'Amore relata los resultados de una experiencia llevada a cabo en Bologna, en la que a partir de un texto clsico de un problema, permitiendo a los nios discutir entre ellos y hacer todo tipo de preguntas a los investigadores sobre el texto, ste iba siendo retocado con las observaciones hechas por los nios. 24


UNSA

Este nuevo texto era propuesto en otra clase paralela, que dispona de las mismas condiciones de trabajo que la clase anterior. Pues bien, los resultados obtenidos no ofrecen lugar a duda: Si el texto haba sido confeccionado en la forma adulta, clsica, gran parte de la atencin y de la discusin la acaparaba el texto. Si el texto haba sido confeccionado del modo descrito ms arriba, no haba casi discusin sobre el texto y la atencin, se centraba casi toda en la resolucin, signo de que el texto, tal como estaba, no creaba problemas.16 Las investigaciones que hemos ido sintetizando permiten al profesor graduar la actividad de resolucin de problemas y adaptarla a las caractersticas y nivel de los alumnos, a la vez que le proporcionan elementos de reflexin para evaluar los procedimientos usados por los alumnos y los errores y dificultades previsibles, permitiendo un anlisis a priori de calidad. Pero con todo, no es suficiente, falta un aspecto importante sobre el que vamos a interrogarnos a continuacin: existe una didctica de los problemas que proporcione un plan de accin?

9. HACIA UNA PROBLEMAS

DIDCTICA

DE

LA

RESOLUCIN

DE

Hemos encontrado algunas respuestas parciales a esa pregunta en los trabajos de Descaves17, y algunas de sus recomendaciones son las que recogemos a continuacin. Para facilitar el aprendizaje, deben utilizarse sistemas materiales de representacin que permitan el paso de la representacin del problema a la de la solucin. Estos sistemas de representacin, que pueden considerarse como instrumentos psicolgicos, en el sentido de Vygotski, comportan:1617

D'AMORE, B. (1997): Problemas, Madrid: Sntesis, p. 103.

DESCAVES, A. (1992): Comprendre des noncs, resondre des problema, Pars, Hachette

25


UNSA

Representaciones icnicas (esquemas). Representaciones simblicas ligadas a ciertas disposiciones espaciales. Escritos especficamente matemticos. La lengua natural. Tambin en los trabajos sucesivos del equipo ERMEL18 del INRP se encuentran valiosas recomendaciones sobre el tipo de problemas a presentar a los alumnos, pronuncindose por una variedad de enunciados y tareas del siguiente estilo:

Dada una situacin, vivida o verbalizada, determinar los diferentes tipos de preguntas que pueden hacerse. Dada una pregunta, buscar datos e informaciones pertinentes que permitan responderla. Analizar en situaciones o enunciados dados, la pertinencia, verosimilitud, coherencia, redundancia, etc. de los datos dados. Resolver problemas cuyo enunciado viene dado a travs de un grfico, tabla, dibujo, foto, etc. Dada una situacin, una pregunta y un resultado obtenido como respuesta, interpretarlo, validarlo y comunicarlo.

Proponer tanto problemas complejos, cuya resolucin comporte varias etapas que se resuelvan con un modelo conocido por el alumno, no precisadas en las preguntas intermedias, como problemas abiertos para los que el alumno no tiene an un modelo de resolucin. Estos problemas servirn para desarrollar estrategias de bsqueda.18

ERMEL (1978): Apprentismjjes mathmatiques a l'cole lmentaire. Cycle lmentaire, Tome 1, Pars, OCDL.

ERMEL (1993): Apprentissages numriques. CE1, Pars, Hatier.

26


UNSA

10. SITUACIONES VARIAS PARA UNA DIDCTICA DE LA PROPOSICIN Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS En este punto vamos a proponer una serie de problemas en los que se tratar de ilustrar la didctica que propugnamos para la proposicin y resolucin de problemas. Esa didctica se basa en los principios tericos expuestos en los puntos anteriores y, en cada problema propuesto, se analizar algn aspecto de los vistos en ese marco terico sin que ello sea bice para que se pudieran analizar o estudiar otros aspectos.

10.1. EL ANLISIS Y LA GESTIN DE LOS DATOSProblema propuesto: Las fotos En una excursin Pedro ha utilizado 3 carretes de 24 fotos cada uno. 4 fotos salieron movidas. Utiliz despus, 2 nuevos carretes de 12 fotos cada uno; esta vez no le salieron dos fotos. Piensa transformar las cuatro mejores fotos de cada carrete en diapositivas y hacer un montaje con las 20 diapositivas resultantes. Normalmente pega las fotos en un lbum de 10 pginas; en cada pgina no puede pegar ms de 6 fotos. Podr pegar todas sus fotos en el lbum? Tarea didctica: reelaborarlo con los alumnos

La reelaboracin debera centrarse principalmente en: - La eliminacin de datos no pertinentes. Evidentemente hay datos no pertinentes para la resolucin (excursin, nombre del nio) que sin embargo contribuyen a situar al alumno ante una situacin evocada y que sern 27


UNSA

difcilmente eliminados en una reelaboracin. aparecern otros datos accesorios y descriptivos.

Incluso

Por otra parte, es tambin evidente que el prrafo central sobre las diapositivas es totalmente irrelevante para la resolucin del problema y, por tanto, es bastante predecible la eliminacin de los datos numricos (4 y 20) que aparecen en el mismo.

- Hacer explcitos los posibles datos implcitos. Aparece implcito en el problema el que en cada pgina se pueden pegar 1, 2, ..., 6 fotos y es posible que en una reformulacin los alumnos lo hagan explcito indicando pormenorizadamente todas las posibilidades de distribucin numrica de las fotos en cada pgina. Seguramente se har explcito el hecho de que las fotos inservibles no se pegan en el lbum. - La posible reestructuracin de datos numricos, para dar menos datos, sin cambiar sustancialmente el problema o su resultado. Aqu la previsible actuacin del alumno, y a ello debera guiarlo el maestro, se debera centrar en la posible consideracin de un solo tipo de carretes (de 24 fotos), con la consiguiente reconsideracin del nmero total de fotos inservibles. Ello no desvirta el objetivo principal del problema (uso de las operaciones de multiplicacin y sustraccin), objetivo por el que debera velar el maestro ante previsibles reformulaciones que implicasen una rebaja del mismo (eliminando o rebajando de magnitud los nmeros que aparecen). - Generacin de operadores semnticos, aparte de los ya dados.

28


UNSA

Si concebimos los operadores semnticos como muletillas que, en opinin del alumno, le ayudan a resolver el problema, es previsible que en una reformulacin aparezcan otros operadores semnticos que no siempre constituirn esa ayuda a la resolucin. As sera posible que aparecieran operadores semnticos nuevos relativos a las fotos desechables como: tirar, desechar, romper, etc. para referirse a las fotos que han salido movidas en los tres primeros carretes o que no han salido en los otros dos. Todos ellos seran operadores semnticos directos ya que induciran a la operacin resta que es la que se asocia a los mismos. - Reelaboracin de la pregunta. Es muy posible que la pregunta sea reelaborada ya que est redactada de una forma muy general sin aludir explcitamente al hecho numrico y es posible que surjan, entonces, trminos como cabrn, entrarn, habr suficientes pginas, etc.

Actividad 4: Redactar el enunciado de un problema que contenga datos pertinentes, datos no pertinentes, datos implcitos, datos explcitos, operadores semnticos directos e inversos. Transformarlo, eliminando, o cambiando los datos u operadores necesarios, para que resulte un enunciado ms conciso.

29


UNSA

10.2. EL ANLISIS Y LA GESTIN DEL SOPORTE Y DE LA REPRESENTACINProblema propuesto: El farmacutico El reumatlogo entrega a una seora la siguiente receta:

Dr. Juan Lpez Hurtado Reumatlogo Consulta diaria de 5 a 7 1) Gelocatil cpsulas: 1 comprimidos diarios durante 7 das. 2) Inacid de 125 mg en supositorios: 1 al acostarse durante 7 das.

25 de abril de 2002 Sra. Luisa Gonzlez Hernndez

3) Prednisona 20 mg: 1 pastilla en el desayuno, 1 comida y 1 cena, durante 15 das.

El farmacutico le ha dado 1 caja de Gelocatil

GELOCATIL 10 COMPRIMIDOS INACID supositorios

1 caja de Inacid

20 unidades PREDNISONA Alonga

3 cajas de Prednisona

12 comprimidos 5 mg.

Le ha dado el farmacutico suficiente cajas? Tarea didctica: Multipresentacin en contextos y/o presentaciones distintas

30


UNSA

a) Cambio de contexto No sera muy difcil la proposicin de un problema paralelo en que el contexto se cambiase de forma, que el pedido lo realizase, por ejemplo, el maestro y el suministrador fuera, por ejemplo, una papelera, incluyendo siempre una serie de datos no pertinentes que deberan aparecer tanto en el pedido del maestro como en la nota de entrega del suministrador. b) Cambio de presentacin formal (manipulativa, icnica, grfica, simblica) El maestro puede gestionar una variable didctica importante como es la forma de presentacin que elige para presentar el problema a sus alumnos, teniendo para ello en cuenta: la edad de los alumnos a los que se propone el problema y su nivel de conocimiento sobre los conceptos que sirven para resolverlo. As, en este caso, podra proporcionar: - Un material manipulativo (como cajitas y fichas o peones para simular los comprimidos o los supositorios), si se trata de alumnos pequeos y con un manejo primario de las operaciones a realizar para resolverlo. - Una representacin icnica muy fcilmente deducible a partir del enunciado del problema, si se trata de alumnos en condiciones muy parecidas a los anteriores. - Una representacin grfica, por ejemplo, a travs de un diagrama en rbol, para describir las distintas prescripciones de los distintos medicamentos y las diferentes presentaciones de los mismos, tratndose de alumnos con mayor edad y mayor nivel de lectura de datos. La representacin podra ser:

31


UNSA

Dosis diaria: 2 c. (Gelocatil) (7 das) 1 s. (Inacid) (7 das) 3 (Prednisona) (15 das)

Farmacia: 1 caja (10 c.) 1 caja (20 s.) 3 cajas (12 c.)

- Una representacin simblica, por ltimo, para alumnos cuyo nivel de edad y de dominio de las operaciones bsicas convierte en superfinas las representaciones anteriores. Teniendo en cuenta el nivel de desarrollo prximo19, se podra someter a los alumnos de un mismo nivel a esos cambios sucesivos de representacin con la consiguiente mejora que supondra para ellos la consideracin de distintas formas de representacin de un mismo problema.Actividad 5: Proponer dos tipos de representacin del siguiente problema: El profesor de gimnasia del colegio va a organizar un torneo de baloncesto entre 5 equipos de 4, 4 de 3 y 6 de 5. Cada equipo se enfrentar una vez a todos los equipos de su mismo nivel. El colegio dispone de dos campos de baloncesto. Se establece un tiempo de 25 minutos para cada partido (2 tiempos de 10 min. Y el descanso de 5 min). Por cunto tiempo debe (el profesor de gimnasia) reservar los campos para que se pueda desarrollar el torneo completo?

19

VYGOTSKl, L. S. (1979): El desarrollo de los procesos {sicolgicos superiores, Barcelona: Grijalbo.

32


UNSA

10.3. EL ANLISIS Y GESTIN DE LAS SOLUCIONES a) Seleccin de la solucin correcta entre varias dadas

Problema propuesto: LA RECETA Ingredientes de la receta de pltanos al horno para 4 personas: - 32 g de mantequilla - 8 pltanos maduros - 16 g de azcar Cuntos g de mantequilla y cuntos pltanos se necesitarn si utilizsemos 12 g. de azcar? Para cuntas personas sera la receta?

Cual es la solucin correcta? Solucin 1: 12/16=3/4 32-3/4 = 24 24 g de mantequilla 8 x 3/4=6 6 pltanos 4 x 3/4 = 3 3 personas Solucin 2: 16 -12 = 4 4 g de azcar 8-4=4 4 pltanos 32 - 4=28 28 g de mantequilla 4 - 4=0 0 personas Solucin 3: 16 x 2 = 32 12 x 2=24 24 g de mantequilla 8 x 2=16 16 pltanos 4 x 2 = 8 personas

Tarea didctica: Gestin de la seleccin y razonamiento de la solucin correcta

1) Control de los datos que aparecen en cada solucin En este caso habra que controlar a qu se refieren los datos que aparecen en cada una de las soluciones, y as se puede observar que, en todas ellas, aparte de las cantidades indicadas de cada ingrediente, aparecen todos los ingredientes y el nmero de personas para las que sera suficiente la receta y, por tanto, desde este

33


UNSA

punto de vista cualquiera de las soluciones podra ser vlida. 2) Control de cada uno de los procedimientos de resolucin que aparecen en las soluciones El control de los procedimientos de resolucin se podra realizar de varias formas: a) Considerando aquellos que dan soluciones absurdas. As ocurre con el procedimiento sustractivo que se usa en la solucin 2, que proporciona 12 g de azcar, no servira para ninguna persona. Tambin se podra analizar desde este punto de vista el procedimiento multiplicativo de la solucin 3, en la que empleando 12 g de azcar sale una receta para un nmero doble de personas, que las de una receta que emplease 16 g. Ambos procedimientos se podran invalidar, entonces, por lo absurdo de ciertos valores de las soluciones correspondientes. b) Considerando las soluciones en trminos de comparacin, 12 g es un poco menor que 16 g con lo cual las otras cantidades o nmeros deben ser un poco menores que las correspondientes dadas y, por ello, en la segunda solucin no es posible que el nmero de pltanos disminuya hasta la mitad y el nmero de personas se reduzca a 0, mientras la mantequilla apenas vara; y en la tercera que se mantenga el nmero de gramos de mantequilla mientras aumenta el nmero de pltanos y de personas hasta el doble. Tales diferencias hacen que, desde este prisma, el procedimiento de resolucin ms adecuado sea el primero, donde las cantidades disminuyen de una forma razonable respecto a lo que haba disminuido el azcar.

34


UNSA

c) Considerando la lgica matemtica de cada uno de ellos; conectndolos entonces al verdadero sentido del tipo de problemas al que pertenece el dado. Muy poco tendra que ser el bagaje cultural de los resolutores para que no conectasen este problema al sentido de proporcionalidad, lo que dara como consecuencia el rechazo de las soluciones segunda y tercera. 3) Institucionalizacin del procedimiento de resolucin En este tipo de problemas conviene realizar, una vez encontrada la solucin correcta, la institucionalizacin del procedimiento de resolucin, procedimiento que entrar as a formar parte del conocimiento matemtico del alumno. En este caso se debera concretar en: - Hallar una primera proporcin entre dos cantidades o nmeros correspondientes a nivel de significacin. - Aplicar esa misma proporcin a las dems cantidades o nmeros que intervienen. b) Enunciar el problema solucin dada correspondiente a una

Problema propuesto: LOS ELEFANTES

Inventar un problema con la solucin siguiente: 2 x (18 - 7): 2 elefantesTarea didctica: Gestin de la construccin del enunciado de un problema cuya solucin indicada sea la dada

35


UNSA

1) Bsqueda de un contexto que d sentido a la solucin propuesta Habra que pensar que, en este caso, los alumnos buscarn contextos donde tuviesen cabida los elefantes que aparecen en la solucin, y por tanto, es bastante previsible que redacten el enunciado situando la accin en un zoo, en un circo, en una selva... 2) Es necesario seguir el orden en que aparecen las operaciones, para construir el enunciado? Al enfrentarse a problemas de este tipo es fundamental plantearse esta pregunta y, dada la prelacin de unas operaciones sobre otras, parece obligado no respetar siempre el orden en que vienen indicadas las operaciones. Como muestra vemos algunos enunciados elaborados por alumnos de 5 de Primaria y de 2 de Magisterio de Educacin Primaria. 3) Construccin del enunciado, con control paralelo de las operaciones que implica La construccin del texto del enunciado obliga a prever las operaciones que implica cada una de las frases componentes y de los operadores semnticos incluidos en ellas, es decir, parece imposible redactar el enunciado correspondiente a la solucin dada sin ir construyendo la misma paralelamente a la construccin del enunciado, controlando, aunque sea implcitamente, la adecuacin entre el texto parcial construido y la operacin parcial correspondiente.Actividad 6: Proponer un problema, a partir de una solucin indicada que contenga las cuatro operaciones elementales especificando para ella un contexto dado.

36


UNSA

c) Localizar, entre varios, el problema corresponde una solucin dada

al

que

Problema propuesto: A QU PROBLEMA PERTENECE UNA SOLUCIN DADA MEDIANTE UN CLCULO?

En cul de los 4 problemas hay que hacer el clculo 32-7-15 para hallar la solucin? Problema 1: En un tablero de juego hay 32 casillas. Un jugador se halla en la casilla 15 y el otro en la casilla 7. Cuntas casillas del tablero estn sin ocupar? Problema 2: En un tablero de juego hay 32 casillas. Hay peones desde la casilla 7 hasta la 15. Cuntas casillas hay libres? Problema 3: He comprado 32 huevos en el supermercado. Me he cado y se me han roto 7. En la nevera tena todava 15 huevos. Cuntos huevos tengo? Problema 4: En un armario viejo de mis abuelos, he encontrado 32 cajas de sombreros. De stas, 15 contenan sombreros de hombre y 7 estaban vacas. El resto contena sombreros de mujer. Cuntos sombreros hay de mujer?

Tarea didctica: Orientaciones para la asignacin del clculo al problema correspondiente

1) Control de los datos que intervienen en el clculo Parece evidente que en un problema como ste el primer paso ser comprobar si los datos que aparecen en el clculo tienen sus correspondientes en cada uno de los problemas dados, lo que es bastante evidente en este caso, a partir de la simple lectura de los enunciados correspondientes. 37


UNSA

2) Control de las operaciones que intervienen en el clculo Aqu ser fundamental analizar los operadores semnticos que intervienen en cada uno de los problemas dados y, en base a ellos, la aplicacin de las operaciones correspondientes, estableciendo comparaciones simultneas con la solucin propuesta. d) La construccin de preguntas a partir de un enunciadoProblema propuesto: EL CAMIN Un camin hace 12 viajes de ida y vuelta entre la obra y el almacn de materiales de construccin. La obra est a 7 km del almacn. Cada viaje de ida y vuelta cuesta 85 soles. La carga de cada viaje es de 1540 kg. Haz preguntas a partir de este enunciado para que otro compaero d las respuestas.

Tarea didctica -.Prever los diversos tipos de preguntas que puede proponer el alumno.

Ante este tipo de problemas se puede esperar que el alumno proponga 3 tipos de preguntas: 1) Preguntas sin respuesta, porque no hay suficientes datos o porque no tienen nada que ver con el contexto del problema. Entre las primeras cabra, por ejemplo, una del tipo; cul es ms largo, el viaje de ida o el de vuelta? Y, entre las segundas: qu edad tiene el conductor del camin?

38


UNSA

2) Preguntas ya respondidas en el texto del enunciado. Por ejemplo, Cuantos kilos transporta el camin en cada viaje? 3) Preguntas que exigen elaborar un procedimiento de resolucin a partir de los datos que aporta el problema. Por ejemplo, una pregunta posible sera: Cuntos km recorre ese camin para realizar todos los viajes? No hace falta decir que la accin didctica del profesor se debe orientar fundamentalmente hacia la produccin de preguntas de este ltimo tipo, es decir, que se deberan ir eliminando progresivamente aquellas preguntas redundantes por evidentes o absurdas respecto al texto que describe el enunciado.

10.4. ANLISIS Y GESTIN DE LOS TIPOS DE RESOLUCIN

Problema propuesto: CAMBIO DE CROMOS En un kiosco hay el siguiente anuncio:

Cambio de cromos: 4 tazos por cada 3 cromos de futbolistas 5 cromos de futbolistas por cada 2 cromos de Pokemn

Rafa llega al kiosco para cambiar 120 pokemn, que tiene repetidos por tazos Cuntos tazos conseguir? Tarea didctica: Resolucin manipulativa, grfica y simblica

39


UNSA

1)

Establecimiento de condiciones para hacer posible la resolucin manipulativa El maestro tendr que disear el escenario que haga posible la resolucin manipulativa y, para ello, tendr que asignar, por ejemplo, los papeles de kiosquero y de cambiador de cromos, disponiendo ambos del material adecuado para hacer posible la ejecucin de los cambios impuestos, es decir, tendr que escenificar la situacin para que sea la resolucin manipulativa la que d lugar a la bsqueda de la solucin.

2) Intervencin sobre la variable tipo de material para posibilitar una resolucin de tipo grfico No se puede esperar que el paso de la resolucin de tipo manipulativo a la de tipo grfico se produzca de forma espontnea, es preciso establecer las condiciones para que ello se produzca y esas condiciones vendrn dadas, por ejemplo, al gestionar el maestro una variable didctica como es la del tipo de material que se pone a disposicin del alumno y, en este caso, eso se puede concretar, por ejemplo, en disminuir la cantidad de tazos, futbolistas y pokemones a disposicin de los alumnos, de modo que se haga imposible el cambio de forma manipulativa. El estado extremo de gestin de esta variable sera darles slo una unidad de cada tipo de cromo, lo que evitara, desde el principio, los intentos de aplicar una resolucin manipulativa. 3) Accin que condiciona el paso a la resolucin simblica de forma determinante Evidentemente el paso a la resolucin de tipo simblico se tendra que producir en ausencia de material

40


UNSA

manipulable (actuacin lmite sobre la variable didctica citada en el punto anterior), y por tanto, el maestro, una vez practicados los otros dos tipos de resolucin, tendra que retirar todo el material para que los alumnos procediesen, con bolgrafo y papel, a la resolucin del enunciado dado. 4) Recomendacin de tipo didctico para ver la procedencia de los distintos tipos de resolucin El paso de un tipo de resolucin a otro podra no estar justificado para el alumno, si se sigue el itinerario que se ha descrito en los puntos indicados con anterioridad, por lo que creemos que una buena actuacin didctica consistira en dividir la clase en grupos y encargar a cada grupo la resolucin, gestionando la variable didctica citada en pasos anteriores, para que grupos distintos emprendiesen distintos tipos de resolucin. Ello hara obligatoria una puesta en comn en la que se viesen los distintos modos de llegar a la solucin. No puede dejarse de mencionar la posibilidad de aplicacin de estos tres modos de resolucin de acuerdo con la edad y el nivel de los alumnos que se tienen delante. La resolucin manipulativa sera adecuada para alumnos de los primeros cursos de Primaria, mientras que los de los ltimos cursos la podran considerar una prdida de tiempo y pasar directamente a la simblica, por disponer de los instrumentos adecuados para poder practicarla. 10.5. EL ANLISIS DIDCTICAS Y GESTIN DE LAS VARIABLES

En cada uno de los apartados anteriores se han tenido en cuenta las diferentes variables didcticas cuya gestin recomendaban Teule-Sensacq y Vinrich: el soporte, el contexto, las informaciones, etc. (vistas en el apartado 8). Debemos insistir en la importancia que revisten los cambios 41


UNSA

de valor de cada una de esas variables didcticas si queremos que el alumno comprenda las mltiples facetas que puede revestir la resolucin de problemas. 10.6. CONCEPCIN DEL PROBLEMA COMO UNA SITUACIN PROBLEMTICA La mxima expresin de la gestin de las variables didcticas la proporcionar el paso de los problemas simples que se resuelven con un corto procedimiento de clculo a problemas ms complicados donde se trata de analizar tablas de datos, de gestionar los mltiples datos de un problema complejo, de elaborar conceptos a travs de un tipo determinado de problemas, etc. Tal tipo de problemas constituyen las que denominamos situaciones problemticas.Problema propuesto: LA PASTELERA INDUSTRIAL Una pastelera industrial fabrica 8 000 donuts cada da. Tiene que pedir la harina, los huevos y el azcar que necesita para fabricarlos durante un mes. Para hacer un donut hacen falta 150 g de harina, 2 huevos y 5 terrones de azcar. La harina la traen en un camin que transporta 80 sacos y cada saco pesa 80 kilos. Los huevos los traen en camionetas que tienen 12 estantes y en cada estante caben 1 000 huevos. El azcar lo transportan en cajas que colocan en una furgoneta que puede transportar de 20 a 30 cajas y en cada caja caben 10 000 azucarillos. Cuntos sacos de harina, cuntos estantes de huevos y cuntas cajas de azucarillos hay que pedir para elaborar los donuts de un mes? Cuntos camiones, camionetas y furgonetas se necesitan para transportar esas cantidades de cada uno de los productos?

Tarea didctica: Elaboracin de una lista de tareas previas que ayuden al planteamiento y la resolucin

42


UNSA

1) Ayudas para la lectura del enunciado Ante una situacin problemtica lo primero que hay que asegurar es la comprensin del enunciado por parte del alumno y esto se puede hacer proponiendo una serie de ayudas en forma de preguntas, para no interferir en la resolucin de la situacin problemtica desde la posicin de autoridad que representa el maestro. Algunas de esas preguntas pueden ser: Di qu se necesita para fabricar un donut Cuntos donuts fabrica al da esa pastelera? Cuntos huevos se transportan en cada viaje? Cuntos kilos de harina traen cada camin? Cuntas cajas de azcar se necesitan para embalar 20000 azucarillos? Es decir, se trata de preguntas que inciden directa o indirectamente sobre las informaciones que proporciona el enunciado. 2) Ayudas de tipo grfico Con el nimo constante de no interferir en la resolucin del alumno, se podran sugerir ayudas de tipo grfico como: puedes representar el estante de 1000 huevos mediante un rectngulo de 1000 casillas? Dibuja un paraleleppedo que represente a una caja de 10000 azucarillos. Dibuja las bolsitas de 150 g de harina que se necesitan para completar 9 kg de azcar., etc. 3) Clculo previo de preparacin para los clculos que exige la resolucin Se trata de que los alumnos practiquen un clculo de entrenamiento para poder emprender los diferentes clculos que implica la resolucin de la situacin 43


UNSA

problemtica. Alguno de esos clculos podra ser por qu nmero hay que multiplicar 15 g. para llegar a 1 kg? 12 x 10? 1 000:5?, 80 x 80?... Todos ellos pueden proporcionar una ayuda para realizar los clculos implicados en la resolucin. 4) Propuesta de elementos de registro de datos (tablas organizadoras) Una ayuda importante la pueden constituir los diferentes medios de registro de datos que se proporcione al alumno. Por ejemplo una tabla como la siguiente:

Camin Camioneta Furgoneta N de unidades bsicas de almacenamiento (sacos, estantes o cajas) N de unidades bsicas de medida (kg, n de huevos, n de azucarillos) N de unidades bsicas de almacenamiento que se necesitan para fabricar los donuts de un mes N de medios de transporte que se necesitan para transportar esas unidades bsicas de almacenamiento

Esta tabla u otras parecidas pueden constituir un elemento organizativo importante para la resolucin de

44


UNSA

la situacin problemtica y, a la vez, la sugerencia de un instrumento metodolgico para ayudar a la resolucin de determinados problemas o situaciones problemticas.Actividad 7: Proponer otro medio de registro de datos para el problema dado en este apartado.

45


UNSA

46


UNSA

CAPTULO

RAZONAMIENTO ARITM ARITMTICO IOBJETIVOS Desarrollar las capacidades de comprensin lectora, clculo y atencin Resoler problemas mediante el empleo de estrategias aritmticas razonadas Aplicar los procesos de reconstruccin para resolver problemas de criptoaritmtica Aplicar las propiedades de promedios en la resolucin de problemas Solucionar problemas aplicando los principales principios y propiedades de las razones y proporciones

47


UNSA

LA HERENCIA DEL JEQUE Un Jeque rabe tena tres hijos y les dej al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que haban de repartirlos sin matar ningn camello, y de la manera siguiente: El mayor recibir la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no haba mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cad, y ste les pidi un da para pensarlo. Pasado ese da, acudi el cad con un camello suyo y lo uni al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. As, el mayor tom 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cad volvi a llevarse su camello y dej a los tres hermanos contentos. Explique la solucin dada por el cad.

48


UNSA

CUATRO OPERACIONES

Las cuatro operaciones (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin) constituyen el Instrumento matemtico ms antiguo adecuado para el planteamiento y resolucin de problemas de la vida corriente. EJEMPLO: Si para hornear una torta en una pastelera se demoran 40 minutos. Cul ser la suma del tiempo mnimo y mximo empleados en hornear 6 tortas? A) 3 horas y 20 minutos B) 4 horas y 40 minutos C) 5 horas y 10 minutos D) 4 horas y media E) 7 horas

SOLUCIN

1 torta 6 tortas Total:

40 minutos 40 X 6 = 240 minutos 240 + 40 = 280 minutos

(tiempo mnimo) (tiempo mximo)

Conversin: 280 60 40 44 horas y 40 minutos

Respuesta:

49


UNSA

TEST N 1

1. Manuel quiere determinar en cuanto tiempo podr construir su casa, para ello su sueldo mensual es de 1800 soles de los cuales tres cuartas partes las emplea en los gastos familiares. Con el resto paga mensualmente 180 soles por un prstamo que se ha hecho para construir que lo pagar en 14 meses siendo las dos ltimas cuotas el inters del prstamo, el resto de su dinero lo ahorra. Haciendo los clculos del gasto de construccin a llegado a la siguiente conclusin: gastar en el casco de la construccin 4200 soles, en los acabados 3200 soles, en los sistemas de luz y agua 700 soles, en la mano de obra 2400 soles. En cuntos meses como mnimo podr acabar su casa empleando el prstamo y lo que logre ahorrar? A) 16 meses B) 18 meses C) 25 meses D) 31 meses E) 14 meses

2. Durante el mes de enero he estudiado 193 horas; todos los lunes y martes he estudiado 6 horas diarias, los mircoles, jueves y viernes 5 horas diarias, los sbados 9 horas y los domingos x horas. Hallar el valor de x si se sabe que el mes de enero empez en viernes A) 7 B) 5 C) 2 D) 3 E) 6 50


UNSA

3. Una mquina viaja al espacio, se sabe que tardar en llegar a su destino 1/12 rem, un rem equivale a un noveno yem, un yem equivale a 24 fem, un fem equivale a medio tem y un tem equivale a 18 lem. Cuntos das tardar en llegar a su destino si se sabe que un lem equivale a un lustro y la mquina parti al inicio de un ao bisiesto A) 3653 B) 12 500 C) 1421 D) 6854 E) 900 034

4. Manuel se ha propuesto leer una enciclopedia que trae 24 tomos, 6 de ellos traen 980 hojas, 10 de ellos traen 1080 hojas y los restantes 1400 hojas. Para cumplir con tal meta se ha propuesto leer todos los das de enero menos los domingos 50 hojas y el mes empez en martes luego leer todos los das de febrero menos los viernes y sbados 65 hojas, todos los das de marzo menos lunes y mircoles 80 hojas, todos los das de abril menos martes, jueves y viernes 70 hojas, todos los das de mayo menos sbados 55 hojas , todos los das de junio menos mircoles y jueves 68 hojas, cuando concluya el ltimo da de junio Cul ser la diferencia entre las hojas ledas y las que faltan leer? A) 2000 B) 10 558 C) 1454 D) 6281 E) 14 222

51


UNSA

5. Don Inocencio ha dejado una herencia a sus 8 hijos. Dicha herencia est compuesta por 3 casas cada una valorizada en 32000 soles, una chacra valorizada en 26000 soles, 3 carros que totalizan 18000 soles, 3 cuentas bancarias cada una con 8000 soles. Sin embargo tiene una deuda con el Banco que se tiene que pagar en 36 meses con cuotas de 400 soles. Si todos los hijos deben recibir por igual y uno de ellos ha planeado comprarse una casita de 16000 soles, un carro de 4000 soles, una lavadora de 600 soles, un televisor de 800 soles y una refrigeradora de 1050 soles Cunto dinero le faltar? A) 2800 soles B) 6450 soles C) 3750 soles D) 1900 soles E) 1000 soles

6. Dos organizaciones estn recolectando dinero y ambas se han trazado como meta reunir una misma cantidad dada, la primera organizacin recaudando lo mismo todos los das cumplir la meta al cabo de 90 das, y la segunda recaudando lo mismo todos los das cumplira su meta en 120 das. Hay una tercera organizacin que recauda 1/4 de la primera ms 1/6 de la segunda diariamente, si sta seguira recaudando lo mismo diariamente, En cunto tiempo llegara a la meta trazada por los otros dos? A) 240 B) 360 C) 300 D) 180 E) 120

52


UNSA

7. Lus ha comprado 5 fotocopiadoras para instalar un centro de fotocopias. Ha empezado a trabajar el primer da de julio que ha sido lunes. Se ha dado cuenta que de lunes a viernes saca 1800 copias en cada mquina diariamente y el sbado slo 900 copias en cada mquina, los das domingos descansa. En el siguiente mes una mquina se le ha malogrado por lo que al mes subsiguiente la ha reemplazado por una mquina mejor. El precio de cada fotocopia es de 0,1 soles de los cuales la mitad es utilidad. Cada mes debe pagar 1250 soles de alquiler y sus gastos personales y familiares son de 2900 soles. Cunto habr podido ahorrar en los tres primeros meses si el reemplazo de la mquina que se malogr le cost 400 soles y a sus 5 operarios les pag 1000 soles a cada uno mensualmente? A) S/. 1600 B) S/. 6420 C) S/. 2570 D) S/. 2150 E) S/. 3200

8. Para una campaa escolar la fbrica Linux ha decidido producir 18000 lpices negros, 6000 cajas de 12 colores, 20000 lapiceros, 8000 cajas de 6 plumones. El costo de producir un lpiz negro o color es de 30 cntimos, el costo de un lapicero es de 60 cntimos y el de un plumn es de 1 sol. Si en los lpices se quiere ganar 20 cntimos, en los lapiceros 40 cntimos y en los plumones 50 cntimos. Al concluir la campaa se lograron vender 14000 lpices negros, 5000 cajas de colores, 17000 lapiceros y 6250 cajas de plumones. Cul es la utilidad que ha logrado la empresa considerando que no pudo vender parte de su mercadera? 53


UNSA

A) S/. 77 000 B) S/. 23 250 C) S/. 14 620 D) S/. 54 000 E) S/. 17 420

9. La familia Romn, est conformada por 6 miembros, 3 de ellos se encuentran en el Colegio. El padre trabaja en una empresa embotelladora de gaseosa; su sueldo mensual es de 1700 soles y cada mes le descuentan 250 soles. Mensualmente gasta 400 soles en comida, 100 soles en servicios, 50 soles por cada hijo en edad escolar y 200 soles en compras diversas. Si decide hacerse un prstamo de 1536 soles que tendra que pagar 12 cuotas mensuales. Cunto podra ahorrar en 9 meses? A) S/. 9140 B) S/. 81 C) S/. 120 D) S/. 6240 E) S/.4248 10. Se quiere repartir entre cierto nmero de amigos una cantidad de monedas de 5 soles. Si se les da 5 monedas a cada uno faltan 8, pero si se les da 4 monedas a cada uno sobran 6. Cunto dinero se quiere repartir? A) S/. 310 B) S/. 450 C) S/. 280 D) S/. 360 E) S/.200

54


UNSA

CRIPTOARITMTICA

Se denomina Criptoaritmtica, al arte de encontrar las cifras representadas con letras y smbolos en una operacin aritmtica, teniendo en cuenta las propiedades de la misma. Cada uno de los problemas deber ser tratado en forma particular, ya que no existen formas pre-establecidas y slo es materia de INGENIO y RAZONAMIENTO al encontrar su solucin o soluciones.

EJEMPLO: Si se cumple: Hallar: a(b a )b A) 827 B) 817 C) 615 D) 718 E) 620

aaa = bbb 111 (1)

y aaa + bbb = 1665 (2)

SOLUCIN: Reemplazamos la expresin (1) en la expresin ( 2)

aaa + bbb = 1665

(bbb 111) + bbb = 16652bbb = 1776bbb = 888Reemplazamos: b= 8

aaa = bbb 111

55


UNSA

aaa = 777a(b a )b = 718

a=7

Respuesta:

56


UNSA

TEST N 02

1. Mi edad es

ab aos que a su vez es el divisor primo de 114. La

edad de Pedrito es A) 43 B) 54 C) 47 D) 41 E) 55

xy aos, la cual duplicada y luego disminuida

en 37 aos, resulta 11 aos. Cul es la suma de las edades?

2. Si

47bA) 33 B) 66 C) 22 D) 77 E) 99

+

5b

=

5bc . Hallar bc + cb

3.

En la siguiente operacin:

aaaa

=

(2a )b x aa

Calcular:

( a + b) abA) 51 B) 300 C) 306 D) 308 E) 90

57


UNSA

4. Cul es el menor nmero de 5 cifras que multiplicado por 24 nos da un producto cuyas cifras son todos ocho? A) 37370 B) 27027 C) 37037 D) 47047 E) 37377

5. Si 13N = ****769 y 8N = **** 704 Cules son las 3 ltimas cifras en que termina 35N? A) 745 B) 455 C) 465 D) 755 E) 425

5.- Se tiene la operacin: ABCDB x 6 = BBBBBB. Cul es el valor de: A+B+C? A) 21 B) 30 C) 11 D) 14 E) 13

6.- Al dividir el nmero abc entre el nmero bc , se obtiene 11 de cociente y 80 de residuo. Calcular a + b 2c

58


UNSA

A) 19 B) 17 C) 13 D) 12 E) 15

7.- La suma de los dos dgitos de un nmero entero es 15, si se invierte el orden de los dgitos se obtiene otro nmero igual al primero multiplicado por 23/32 Hllese el nmero? A) 39 B) 69 C) 36 D) 96 E) 63

8. Hallar la suma de las cifras que faltan en el siguiente producto. (Todas las cifras * son diferentes) ***5 x * 39140 A) 16 B) 18 C) 28 D) 19 E) 29

59


UNSA

9. A un baile asistieron 52 personas, una primera dama baila con 5 caballeros, una segunda dama baila con 6, una tercera baila con 7 y as sucesivamente, hasta que la ltima baila con todos los caballeros Cuntas damas concurrieron? A) 28 B) 26 C) 24 D) 30 E) 25

10. Las familias de cierta urbanizacin deciden contratar los servicios de un vigilante. Para pagarle mensualmente todas las familias lo harn con billetes de 10 soles. Si cada familia entrega 3 billetes faltan 3 billetes y si cada familia entrega 4 billetes sobran 11 billetes Cuntos soles se va a pagar al vigilante? A) 450 B) 180 C) 680 D) 550 E) 320

60


UNSA

RAZONAMIENTO CON ESTRATEGAS ARITMTICAS

Las pruebas de razonamiento lgico y percepcin permiten obtener un ndice del nivel de rendimiento intelectual de las personas en el sentido del manejo que realiza de sus recursos (aptitudes) y del empleo de conceptos en situaciones terico-prcticas aplicadas al campo numrico. Por lo tanto se trata de intensificar el ejercicio intelectual y la captacin de los errores de razonamiento, con el empleo de diversas tcnicas de resolucin de los ejercicios planteados sin tener una plantilla establecida.

EJEMPLO:

En una familia de artesanos, el padre, la madre y el hijo ganan juntos 45 nuevos soles diarios, si por 6 jornales del padre, 4 de la madre y 6 del hijo han cobrado 243 nuevos soles; mientras que por 5 salarios del padre, 2 de la madre y 2 del hijo cobraron nada ms que 153 nuevos soles. Cul es el jornal en soles del padre? A) 20 B) 21 C) 15 D) 17 E) 19

SOLUCIN:

Padre = p

madre = m

hijo = h p + m + h = 45 6 p + 4m + 6h = 243 5 p + 2 m + 2 h = 153 61

p + m + h = 45 6p + 4m + 6h = 243


UNSA

5p +2m + 2h = 153 6 p + 4m + 6h = 243 10 p 4m 4h = 306 -4 p + 2 h = -6 3 4 p 4 m 4 h = 180 6 p + 4 m + 6 h = 243

- 4 p + 2 h = -6 3 2 p 2h = 63

2p

+

2h

= 63

-6p

=

-126

P = 21

RESPUESTA:

Jornal del padre: 21 soles

62


UNSA

TEST N 03

1. Un carro puede transportar de 250 a 450 kg. Las personas que transporta pesan entre 35 Kg y 50 Kg. Si cada persona paga 15 soles Cul es la mxima recaudacin que se puede lograr? A) 180 B) 240 C) 150 D) 40 E) 160

2. Cuntos nmeros menores de 60 000, que no contengan dgitos mltiplos de 3 y que su cifra de mayor orden sea 8 existen? A) 259 B) 154 C) 601 D) 705 E) 220

3. Una botella de Whisky cuesta 175 soles. Si el Whisky cuesta 141 soles ms que la botella Cunto cuesta la botella? A) 12 B) 17 C) 34 D) 15 E) 35

63


UNSA

4. En una tienda, cada polo se oferta a 19 soles y por cada docena de polos comprados, se lleva 2 de regalo. Si Pepe compra 3 docenas y luego vende 2 decenas a 20 soles y el resto a 14 soles Gana o pierde? Cunto? A) gana s/. 24 B) pierde s/.20 C) gana s/. 18 D) pierde s/.15 E) gana s/. 15

5. En cierta prctica de ftbol, un jugador ha pateado 79 veces al arco y ha hecho 15 goles ms de los que no hizo, Cuntos goles hizo? A) 42 B) 43 C) 45 D) 53 E) 47

6. Lucia gasta en el mercado cierto dinero. Compra conservas con 25 soles; con la mitad de lo que le queda compra carne; con 18 soles compra menestras y con la mitad del resto compra fruta. Si al final le quedaron 7 soles Cunto dinero llev al mercado? A) 89 B) 82 C) 80 D) 85 E) 92

64


UNSA

7. En una clase hay 57 alumnos, a la quinta parte de las nias les gusta el arte, y a la octava parte de los nios les gusta historia. Cul es la diferencia entre el nmero de nios y nias? A) 1 B) 7 C) 6 D) 4 E) 9

8. Vanesa tiene una edad que forma un numeral de dos cifras y mltiplo de 5, adems la edad de Marcelo es igual al numeral que resulta de invertir el orden de las cifras de la edad de Vanesa y del cual la suma de sus nicos divisores es mayor que 51. Luego la suma de las edades de Vanesa y Marcelo es: A) 154 B) 176 C) 132 D) 187 E) 99

9. Para Determinar defectos en la visin. Cierto oftalmlogo exagerado hace leer a sus pacientes nmeros de 4 cifras que vistos de izquierda a derecha e inversamente, representan al mismo nmero; para ello, no considera las cifras 0, 6 y 9. Cuntos nmeros tratarn de leer sus pacientes en cada consulta? 65


UNSA

A) 81 B) 49 C) 72 D) 42 E) 52

10. Un alumno ha efectuado una sustraccin y obtuvo como resultado 24, pero si se le aumenta 12 al minuendo y se disminuye 5 al sustraendo. Cul ser la nueva diferencia? A) 32 B) 41 C) 17 D) 28 E) 7

66


UNSA

PROMEDIOS

Sabemos que el promedio aritmtico, (media aritmtica), es aquel nmero que representa un conjunto de datos diferentes, este concepto se aplica en situaciones de la vida diaria. Por lo tanto:

X =

S N

X : Promedio Aritmtico

S

: Suma de los valores

N : Cantidad de valores

Ejemplo: La notas promedio de dos secciones es: Seccin A: 16, 13, 14, 18, 11 y 10 Seccin B: 19, 14, 12, 13, 9 y 7 La suma de todas las notas de ambas secciones es: 156 La cantidad de notas : 12

X =

156 12 = 13

67


UNSA

TEST N 04

1. El promedio aritmtico de las edades de 4 hombres es 48 aos. Ninguno de ellos es menor de 45 aos. Cul es la mxima edad que podra tener uno de ellos? A) 51 B) 53 C) 57 D) 54 E) 60

2. La media aritmtica de dos nmeros es 5. Si se triplica el primer nmero y el segundo se disminuye en 2 el nuevo promedio es 8. Calcular la diferencia de dichos nmeros A) 1 B) 2 C) 7 D) 4 E) 5

3. En un grupo el nmero de hombres es el triple del nmero de mujeres; pero la edad promedio de las mujeres es el cudruplo de la de los varones. Si el promedio de todos es 21 aos. Hallar la edad promedio de las mujeres. A) 45

68


UNSA

B) 42 C) 48 D) 50 E) 54

4. Un triciclo panadero, en su recorrido de 80Km diarios, ha empleado 3 llantas adicionales Cul es el promedio de recorrido por cada llanta? A) 13 km B) 50Km C) 24Km D) 16Km E) 40Km

5. El promedio de las edades de 3 personas es superior en una unidad al promedio de las edades de las dos primeras personas, sabiendo que la tercera persona tiene 40 aos Cul es el promedio de las 3 edades? A) 38 B) 54 C) 90 D) 96 E) 98

69


UNSA

6. En un saln de clases el tercio superior tiene nota promedio 15 y el resto 12. Luego de algunos exmenes, el tercio superior aument su promedio en 20%. y el resto baj su promedio en 25% Qu sucedi con la nota promedio de todo el saln? A) Aument en 0,5 puntos B) Aument en 1 punto C) Aument en 1,5 puntos D) Disminuy en 0,5 puntos E) Disminuy en 1 punto

7. De los 5675 postulantes que se presentan al examen de admisin, ingresaron 810 varones, de los cuales el promedio de las notas en los tres exmenes es 935 y el de las mujeres ingresantes es 835. Si el promedio aritmtico de todos los ingresantes es 875, Cuntos no ingresaron? A) 2930 B) 3660 C) 3275 D) 4625 E) 3650

8. Si el precio promedio de 5 radios es S/. 87 y ninguno de ellos cuesta menos de S/. 74 Cul es el mayor precio que se puede pagar por uno de ellos? A) 135 B) 136 C) 138 70


UNSA

D) 139 E) 140

9. El promedio de 4 nmeros es 24, si la suma de los dos nmeros intermedios es 45 y el ltimo es del doble del primero, hallar el ltimo nmero? A) 22 B) 34 C) 42 D) 52 E) 36

10. El promedio de 100 nmeros es 45. Se sacan 40 nmeros cuyo promedio es 15. De los que quedan algunos valen 60 y otros 80. Cuntos valen 80? A) 25 B) 15 C) 30 D) 35 E) 50

71


UNSA

FRACCIONES Se denomina fraccin, a una o varias partes de la unidad dividida en cualquier nmero de partes iguales. A la fraccin, se le conoce tambin con el nombre de nmero fraccionario, quebrado o nmero quebrado Grficamente:

1 9

1 95 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

9 9 =1Indica cuntas partes de sta han sido tomadas

Numerador DenominadorIndica en cuntas partes iguales ha sido dividida la unidad entera

72


UNSA

EJEMPLO: Cul es el nmero que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividindolo entre 3/5? A) 13 B) 12 C) 15 D) 17 E) 18

SOLUCIN: Sea : El nmero pedido = N

Del enunciado tenemos:

N +8 =

N 3 5

Efectuando las operaciones tenemos:

3 (N + 8 ) = N 5Respuesta : N = 12

73


UNSA

TEST N 05

1. En una fiesta se reparte entre los nios 2/5 de las golosinas menos 34 golosinas. Luego se reparte la cuarta parte del resto ms 22 golosinas y finalmente se reparte lo ltimo que queda entre 14 nios, dndole 7 golosinas a cada uno Cuntas golosinas se compr para la fiesta? A) 93 B) 243 C) 180 D) 294 E) 210

2. Mara consume 7/8 de los caramelos que no consume; si consume 24 caramelos Cuntos tena? A) 40 B) 45 C) 30 D) 55 E) 35

3. Un mnibus de la UNSA se dirige del campus universitario a San Isidro con un grupo de estudiantes. En San Isidro se queda la sptima parte de lo que no se queda, pero suben 11

74


UNSA

pasajeros ya que ahora se dirigir a Majes, donde llegan 53 pasajeros Cuntos pasajeros salieron de la Universidad? A) 64 B) 56 C) 52 D) 48 E) 68

4. Un jardn de infancia tiene 62 nios en sus 2 secciones. Los de los nios de la primera estn en el patio y tambin los 4/5 de la 2da, habiendo la misma cantidad de nios de cada seccin en dicho patio. Cuntos nios hay en la seccin ms grande? A) 38 B) 34 C) 32 D) 36 E) 30

5. Se prepara jugo combinado con 66 litros de jugo de pia, 87 litros de jugo de papaya, 27 litros de jugo de pltano. Si luego se vende 120 litros de mezcla Cuntos litros de jugo de papaya salieron? A) 46 B) 5075


UNSA

C) 52 D) 58 E) 64

6. Si de una lata de bombones se extrae 2/5 de los que hay y a los que quedan se les aumenta 3 bombones, resulta que en la lata se tendra de la cantidad inicial Cul fue la cantidad inicial? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 12

7. Paola dice: En el Segundo examen del CEPRUNSA obtuve 4 puntos menos que el primero y la suma de ambos exmenes excede en 16 puntos a los 4/7 de lo que obtuve en el primero, Con cunto se calific a Paola en el segundo examen? A) 12 B) 14 C) 10 D) 08 E) 13

76


UNSA

8. Un dispositivo llena un tanque de agua en 3 horas y otro lo desaloja en 12 horas. En cunto tiempo se llenar el tanque funcionando los dos dispositivos juntos? A) 8 H B) 4 H C) 5 H D) 7 H E) 6 H

9. Tina gasta 4/5 de lo que no gasta y Kenny no gasta 4/5 de lo que si gasta. Si gastaron lo mismo y entre ambos tenan inicialmente 162 soles Cunto tenia Kenny?

A) 70 B) 60 C) 72 D) 54 E) 78

10. De un bidn de agua que esta lleno 1/5 de lo que no est lleno, se vaca una cantidad igual a 1/12 de lo que no se vaca. Qu parte de volumen del depsito quedar con agua? A) 3/13

77


UNSA

B) 3/11 C) 1/11 D) 2/13 E) 1/13

78


UNSA

CAPTULO

RAZONAMIENTO ARITMTICO II

OBJETIVOS 1. Resolver problemas aplicando los principales principios y propiedades de las razones y proporciones 2. Resolver problemas mediante la aplicacin del tanto por cuanto y tanto por ciento 3. Emplear regla de tres simple y compuesta, enfatizando el razonamiento directo e inverso, en la resolucin de problemas

79


UNSA

PORCENTAJES El uso de porcentajes es muy til; sin embargo a veces puede ser confuso y hasta engaoso. Por ejemplo si la bolsa de valores baja en un mes el 50% y al mes siguiente sube el 60% podramos pensar que hay una ganancia neta de 10% sin embargo no hay ganancia sino prdida del 20%. (si el valor inicial es 100, al trmino del prime

Taller de Razonamiento Matematico Examen

Documents

Transcript of Taller de Razonamiento Matematico Examen