Ministerio de Educación

Plan nacional de capacitación docente

Especialización de docentes de matemática de tercer ciclo y educación media.

Módulo 1

“Álgebra de los números reales y complejos”

Tarea correspondiente a las semanas 1 y 2

Luis Alexander Fuentes

San Miguel, febrero de 2015

Tabla 2, página 10

Declaración verbal de la situación o ley física

Variables intervinientes Fórmula

La velocidad se define como la distancia recorrida por unidad de tiempo

v: velocidad d: distancia t: tiempo

𝑣 =𝑑

𝑡

La intensidad de la fuerza entre dos esferas cargadas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

F: fuerza Q1 = Carga 1 Q2 = Carga 2

d = distancia

𝐹 ∝𝑄1𝑄2

𝑑2

La densidad de un cuerpo es numéricamente igual a la masa de una unidad de volumen del cuerpo

ρ: densidad m: masa v: volumen

𝜌 =𝑚

𝑣

La presión es el cociente entre la fuerza y el área de la superficie sobre la que actúa.

p: presión F: fuerza S: área

𝑝 =𝐹

𝑆

La presión hidrostática que ejerce un líquido sobre cierto punto es igual al producto de la densidad del líquido, el factor de peso, y la altura del líquido medida a partir de ese punto.

p: presión ρ: densidad del líquido g: 9.8 N/kg h: altura

𝑝 = 𝜌𝑔ℎ

La presión manométrica es igual a la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica.

pm: presión manométrica pa: presión absoluta patm: presión atmosférica

𝑝𝑚 = 𝑝𝑎 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

Ejercicios de la página 14

1. Represente en diferentes contextos las expresiones algebraicas siguientes

a. 5𝑥: Cinco veces el dinero de mi amigo

b. 4𝑥𝑦: un paralelepípedo de dimensiones y, 4 y x.

c. 4𝑥2𝑦

El descuento x aplicado al descuento x de y multiplicado por 4

d. 𝑥2 + 3𝑦

x 3

x y

e. 4𝑥(3 + 𝑏)

El interés simple de sobre el capital 3+b en el tiempo x.

f. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

c

b

a

g. 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑧2

h. 𝑥 + 𝑦

El número de horas trabajadas en un día en dos trabajos distintos.

i. 𝑥𝑦

El volumen de un paralelepípedo de aristas x, y y 1.

j. 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

c

b

a

-

𝑥2 xy xy xy

𝑧2

3.

a. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd b. (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

c. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 d. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

e. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2

f. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

g. (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

h. (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

i. 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

4. Utilizando áreas demuestre las siguientes identidades

a. 𝑥2 + 𝑎𝑥 = (𝑥 +𝑎

2)

2− (

𝑎2

2)

2

b. (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏2)

5. Dados dos segmentos 𝑎 y 𝑏, calcular o contruir los segmentos siguientes: 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎𝑏 𝑦 𝑎

𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑎

𝑏

Tarea de la semana 2

Ejercicios 11 y 12 de la sección 2.8

11. ¿Cómo deben disponerse cuatro unos para obtener el número más grande posible?

1111

12. ¿Cómo deben disponerse cuatro doses para obtener el número más grande posible?

2222

Ejercicios 4, 5, 9 y 10 de la sección 2.9

4. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha

comunicado a otras 3 y cada una de estas otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así

sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?

Solución

𝑎0 = 3

𝑎1 = 3 ∙ 3 = 32

𝑎2 = 3 ∙ 32 = 33

𝑎3 = 3 ∙ 33 = 34

⋮

𝑎12 = 3 ∙ 312 = 313

5. Imagina una pareja especial de conejos que pueden reproducirse cuando tienen dos meses pero

no antes. Imagina que cada mes, desde que son maduros (a los dos meses), tienen una pareja de

hijos siempre macho y hembra. Cuando son jóvenes son grises y cuando maduran se vuelven

marrones. Si partiéramos de una sola pareja de conejos jóvenes, ¿Cuántas parejas tendremos al

comienzo de cada uno de los meses siguientes?

Solución

Para ilustrarlo utilizaremos para representar las parejas jóvenes, y para las parejas

maduras.

Mes 0 mes 1 mes 2 mes 3 mes 4 mes 5

1 1 2 3 5 8

9. Dada la sucesión: 3, 8, 15, 24, 35,…, represéntela utilizando configuraciones puntuales, escriba

al menos un desarrollo aritmético, encuentre el término general de la sucesión.

Solución

Al analizar la diferencia entre cada término sucesivo

3 8 15 24 35

5 7 9 11

2 2 2

Vemos que se trata de una sucesión aritmética de segundo grado, por lo tanto el término general

viene dado por

𝑠(𝑛) = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐

𝑎0 = 1

𝑎1 = 1

𝑎2 = 2 = 1 + 1 = 𝑎0 + 𝑎1

𝑎3 = 3 = 1 + 2 = 𝑎1 + 𝑎2

𝑎4 = 5 = 2 + 3 = 𝑎2 + 𝑎3

⋮

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1

Vemos que

Luego

𝑠(0) = 𝑐 = 3

𝑠(1) = 𝑎 + 𝑏 + 3 = 8

𝑠(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 3 = 15

De donde se obtiene el sistema de ecuaciones

{2𝑎 + 𝑏 = 6𝑎 + 𝑏 = 5

→ {𝑎 = 1𝑏 = 4

Y el término general está dado por

𝑠(𝑛) = 𝑛2 + 4𝑛 + 3

Si hacemos otro análisis utilizando configuraciones puntuales tenemos lo siguiente

Vemos que resulta el área de un cuadrado menos una unidad.

Podemos establecer la siguiente secuencia

𝑎1 = 22 − 1

𝑎2 = 32 − 1

𝑎3 = 42 − 1

⋮

𝑎𝑛 = (𝑛 − 1)2 − 1

10. Cuántas cerillas se necesitan para construir un cuadro de 20 x 20 siguiendo el procedimiento

de la sucesión mostrada en la figura?

𝑎1 = 4, 𝑎2 = 12, 𝑎3 = 21, 𝑎4 = 40, …

𝑎1 = 4 × 1

𝑎2 = 4 × 2 + 2 × 2

𝑎3 = 4 × 3 + 3 × 4

𝑎4 = 4 × 4 + 4 × 6

𝑎4 = 4 × 5 + 5 × 8

⋮

𝑎𝑛 = 4𝑛 + 2𝑛(𝑛 − 1)

Luego

𝑎20 = 4(20) + 2(20)(19) = 840

Se necesitan 840 fósforos.

Ejercicios 13, 14 y 15 de la guía de ejercicios 2.10

13. Ana eligió 3 dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos

sin repetir. Luego sumó todos los números que obtuvo. Sabiendo que la suma de los tres dígitos

originales es 14, encuentre la suma obtenida por Ana.

Solución.

Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 los tres dígitos elegidos por Ana tal que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 14.

Los números que formó con la permutación de los dígitos tenían la siguiente forma

𝑎𝑏𝑐, 𝑏𝑎𝑐, 𝑏𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐𝑏𝑎, 𝑎𝑐𝑏

Donde

𝑎𝑏𝑐 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 +

𝑏𝑎𝑐 = 100𝑏 + 10𝑎 + 𝑐 +

𝑏𝑐𝑎 = 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑎 +

𝑐𝑎𝑏 = 100𝑐 + 10𝑎 + 𝑏 +

𝑐𝑏𝑎 = 100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 +

𝑎𝑐𝑏 = 100𝑎 + 10𝑐 + 𝑏 +

𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑎𝑐 + 𝑏𝑐𝑎 + 𝑐𝑎𝑏 + 𝑐𝑏𝑎 + 𝑎𝑐𝑏

= 200𝑎 + 200𝑏 + 200𝑐 + 20𝑎 + 20𝑏 + 20𝑐 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 𝑆

𝑆 = 200(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 20(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 200(14) + 20(14) + 2(14) = 3108

Por lo tanto la suma que obtuvo Ana es 3108

14. Ernesto tiene 321 en billetes de 1, 5 y 25. Si tiene igual cantidad de billetes de 1 que de 5,

determine cuántos billetes de cada clase puede tener.

Solución

Sea x: la cantidad de billetes de 1; y: la cantidad de billetes de 5 (x=y); z: la cantidad de billetes de

25.

Como tiene 321 en billetes de 1, 5 y 25 obtenemos que

𝑥 + 5𝑥 + 25𝑧 = 321 → 𝑧 =321 − 6𝑥

25

Como x y z deben ser enteros, 321 − 6𝑥 ≥ 25 → 𝑥 < 49

Al evaluar todos los casos posibles con excell

x= 1

y= 1

z= 12.6

x= 2

y= 2

z= 12.36

x= 3

y= 3

z= 12.12

x= 4

y= 4

z= 11.88

x= 5

y= 5

z= 11.64

x= 6

y= 6

z= 11.4

x= 7

y= 7

z= 11.16

x= 8

y= 8

z= 10.92

x= 9

y= 9

z= 10.68

x= 10

y= 10

z= 10.44

x= 11

y= 11

z= 10.2

x= 12

y= 12

z= 9.96

x= 13

y= 13

z= 9.72

x= 14

y= 14

z= 9.48

x= 15

y= 15

z= 9.24

x= 16

y= 16

z= 9

x= 17

y= 17

z= 8.76

x= 18

y= 18

z= 8.52

x= 19

y= 19

z= 8.28

x= 20

y= 20

z= 8.04

x= 21

y= 21

z= 7.8

x= 22

y= 22

z= 7.56

x= 23

y= 23

z= 7.32

x= 24

y= 24

z= 7.08

x= 25

y= 25

z= 6.84

x= 26

y= 26

z= 6.6

x= 27

y= 27

z= 6.36

x= 28

y= 28

z= 6.12

x= 29

y= 29

z= 5.88

x= 30

y= 30

z= 5.64

x= 31

y= 31

z= 5.4

x= 32

y= 32

z= 5.16

x= 33

y= 33

z= 4.92

x= 34

y= 34

z= 4.68

x= 35

y= 35

z= 4.44

x= 36

y= 36

z= 4.2

x= 37

y= 37

z= 3.96

x= 38

y= 38

z= 3.72

x= 39

y= 39

z= 3.48

x= 40

y= 40

z= 3.24

x= 41

y= 41

z= 3

x= 42

y= 42

z= 2.76

x= 43

y= 43

z= 2.52

x= 44

y= 44

z= 2.28

x= 45

y= 45

z= 2.04

x= 46

y= 46

z= 1.8

x= 47

y= 47

z= 1.56

x= 48

y= 48

z= 1.32

x= 49

y= 49

z= 1.08

Vemos que las únicas posibilidades enteras son

x= 16

y= 16

z= 9

x= 41

y= 41

z= 3

15. Encuentre todos los números naturales de dos cifras, tales que el producto de sus cifras más el

doble de la suma de sus dígitos sea igual al mismo número.

Solución

Sean a y b los dígitos del número natural de dos cifras 𝑛 = 10𝑎 + 𝑏

Debe cumplir que

𝑎𝑏 + 2(𝑎 + 𝑏) = 10𝑎 + 𝑏

𝑎𝑏 + 2𝑎 + 2𝑏 = 10𝑎 + 𝑏

𝑏 = 8𝑎 − 𝑎𝑏

𝑎 =𝑏

8 − 𝑏; para que a sea entero 𝑏 ≥ 4

Al evaluar los casos posibles y seleccionar los que permitan que a y b sean enteros obtenemos

𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑛 = 14

𝑎 = 3, 𝑏 = 6, 𝑛 = 36

𝑎 = 7, 𝑏 = 7, 𝑛 = 77

Por tanto los números son 14, 36 y 77