Introducción

Matemática Nivelatoria

“La simplicidad de las cosas no

depende de ellas, sino de la

complicación de las personas”

Ing. Medardo Galindo

Números Naturales

• Algunos autores definen el Conjunto de

Números naturales como el conjunto que

sirve para contar.

• Se identifica con el símbolo N y

comprende la siguiente colección:

N={0,1,2,3,4,5….}

Expresión General de un

Numero NaturalProceso de sustituir el valor de las variables

por su valor numérico.

Si n = 1, entonces n+1=1+1= 2

Si n = 5, entonces n+5= 5+1= 6

Evaluar

Evaluar la siguiente expresión:

• 3n2-2m, si n=2 y m=1

• 3n2-2m, si n=5 y m=4

Sucesor y Antecesor

• La expresión n+1 en los naturales se

llama sucesor de n y se representa por:

n+ = n +1

• La expresión n-1 en los naturales se llama

antecesor de n y se representa por:

n- = n -1

Por lo tanto

• El sucesor del numero 4 es :

4+ = 4 +1=5

• El antecesor del numero 4 es:

4- = 4 -1= 3

Operaciones Básicas con los

Números Naturales• La adición es una operación binaria por

que se opera con dos elementos

(números) . Los dos elementos se llaman

sumandos y el resultado suma o total.

12,820 + 4320 = 17,140

Sumandos Suma o Total

Multiplicación en los Naturales

• Es también una operación binaria , es

decir se opera siempre sobre dos

números. Los dos números se separan

por medio del signo x, un ., o (). Así

• a x b = c , siendo a el multiplicando

• a·b = c, siendo b el multiplicador

• (a)(b)= c, siendo c el producto

Propiedades Multiplicación de

Números Naturales• Asociativa

• Si a, b, c son números naturales

cualesquiera se cumple que:

• (a · b) · c = a · (b · c)

• Por ejemplo:

• (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

• 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Propiedades Multiplicación de

Números Naturales• Conmutativa

• Si a, b son números naturales

cualesquiera se cumple que:

• a · b = b · a

• Por ejemplo:

• 5 · 8 = 8 · 5 = 40

Propiedades Multiplicación de

Números Naturales• Distributiva del producto

• Si a, b, c son números naturales

cualesquiera se cumple que:

• a · (b + c) = a · b + a · c

• Por ejemplo:

• 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

• 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Sustracción en los Números

Naturales• No siempre la diferencia entre dos

números naturales es otro numero natural.

Los dos números se llaman Minuendo el

primero y Sustraendo el segundo y el

resultado se llama diferencia.

Sustraendo S

2,508 – 1,349 = 1,159 , Luego; M-S=D

Minuendo M Diferencia D

División en los Números

Naturales • La división N es una operación Binaria. No

siempre el resultado de la división entre

dos naturales es otro numero natural.

• El primer numero se llama dividendo, el

segundo divisor, el tercero cociente y lo

que sobra residuo.

Importante

• Todo numero dividido por 1 es igual al

mismo numero.

• Cuando el divisor es 0, la división no esta

definida. (a/0, 0/0; no es posible realizar)

• Cuando el residuo es cero la división se

llama exacta y en caso contrario inexacta

Propiedades Adición de

Números Naturales• Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se

cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Propiedades Adición de

Números Naturales• Conmutativa

• Si a, b son números naturales

cualesquiera se cumple que:

• a + b = b + a

• En particular, para los números 7 y 4, se

verifica que:

• 7 + 4 = 4 + 7

Propiedades Adición de

Números Naturales• Elemento neutro

• El 0 es el elemento neutro de la suma de

enteros porque, cualquiera que sea el

número natural a, se cumple que:

• a + 0 = a

Potencias en Números

Naturales• Cuando dos o mas numeros se

multiplican, cada uno de ellos se llama

factor. Tanto el multiplicando como el

multiplicador son factores. Según lo

anterior:

5 x 4 = 20, 5 y 4 son factores de 20

16 x 5 = 80, 16 y 5 son factores de 80

Potencias en Números

Naturales• A veces un mismo numero aparece mas

de una vez como factor de un producto:

3 x 3 = 9, 9 tiene dos factores iguales a 3

• Cuando existen productos de factores

iguales se leen así:

3 x 3 = 32 , Se lee ´´Tres a la dos´´

Definicion

• Si a y n son números naturales, tal que

n≥0, a≠0, llamaremos potencia enésima

de a y la representaremos an al producto

a.a.a…n veces. El numero a se llama

Base y n se llama Exponente.

Leyes Exponentes, Base y

Exponente Natural• Multiplicación potencias de misma base

am.an = am+n

• Para multiplicar potencias de la misma

base, se escribe la base y se suman los

exponentes de los factores.

23x 25x 20x 21= 23+5+0+1=29

Leyes Exponentes, Base y

Exponente Natural• Potencia de Potencia

(am)n=amn

• Para desarrollar una potencia de potencia,

se escribe la base y se multiplican los

exponentes.

• ((72)3)4=72x3x4=724

Leyes Exponentes, Base y

Exponente Natural• Cociente de potencia de la misma base

am÷an=am-n

• Para dividir potencias de la misma base,

se escribe la base y se restan los

exponentes.

34÷32=34-2=32

Resolver

• Simplificar la expresión:

• 35 x 38 x 30 x 34

32 x 39

• 25 x 36 x (32)3

24 x 32 x (33)2

Jerarquía de las Operaciones

• Efectuar primero las potencias.

• Efectuar después de las multiplicaciones y

divisiones (la primera que se encuentre)

en el orden de izquierda a derecha.

• Por ultimo, efectuar las adiciones y

sustracciones (la primera que se

encuentre) en el orden de izquierda a

derecha

Esto Implica

• 36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8

• 7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31

• 6x8 - 7x2= Significa (6x8)-(7x2)=48-14=34

• 30 ÷ 10 x 3= Significa (30÷10)x3 =3x3= 9

Operaciones Combinadas

Resolver los siguientes ejercicios

• 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60

• 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17

Operaciones con Paréntesis y

con Números Naturales• Todo los que esta encerrado dentro de un

paréntesis se considera como una sola

cantidad.

• En muchos casos el paréntesis puede

estar encerrado, encajado y anidado

dentro de otro.

• Los signos mas usados son Paréntesis

Común (), Corchetes [], Llaves {}

Ejercicios

• Realizar los siguientes ejercicios:

5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]}

3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256

Raíz Cuadrada Exacta de un

Numero Natural• Un cuadrado perfecto es un numero

positivo que tiene raíz cuadrada entera

exacta.

• Todo cuadrado perfecto se puede

expresar como el producto de dos factores

iguales, es decir como una potencia de

exponente 2.

Importante

• √0 = 0

• √n2 = n siendo n un cuadro perfecto

Positivo

• √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0

• √n2 = (√n2 ) 2 es igual a n

Propiedad Multiplicativa de las

raíces • Si m y n no son cuadros perfectos

entonces:

√n*m = √n * √m

Resolver1) 225

2) 400𝑦2

Valor Absoluto de un Entero

• El valor absoluto de un numero esta

definido por el numero natural que le

corresponde, es decir, por 0 o por un

positivo.

• Si x es un numero entero, entonces el

valor absoluto de x, es

x si x > 0

0 si x = 0

-x si x < 0

Propiedades Valor Absoluto

• El valor absoluto de un producto es igual

al producto de los valores absolutos de los

factores.

• El valor absoluto de un cociente es igual al

cociente de los valores absolutos de los

términos del cociente

Propiedades Valor Absoluto

• El valor absoluto de una suma es, menor

o igual que la suma de los valores

absolutos de los sumandos.

• El valor absoluto de un numero negativo,

es igual al valor absoluto del mismo

numero positivo.

División en el conjunto de los

Números Enteros

• (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas

• (+) ÷ (-) = -, mas entre menos, da menos

• (-) ÷ (-) = +, menos entre menos da mas

• (-) ÷ (+) = -, menos entre mas, da menos

Mínimo Común Múltiplo

• Dados números naturales a,b, llamaremos

Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo

representaremos por m.c.m(a,b) al menor

de los múltiplos distinto de cero, comunes

a ambos

• Encontrar el m.c.m de:

1) (32, 48, 108) 3) (18, 24, 30)

2) (80, 120, 350)

Máximo Común Divisor

• Dados los números naturales a,b,

llamaremos Máximo Común Divisor de a y

b y lo representaremos por M.C.D(a,b), al

mayor de los divisores comunes a ambos

numeros

• Encontrar el M.C.D de:

1) (12, 20, 36)

2) (170, 204, 102)

Lineamientos para Resolver

Problemas• Entender el problema

• Traducir problema al lenguaje matemático

• Realizar los cálculos matemáticos

necesarios para resolver el problema

• Comprobar la respuesta obtenida en el

paso 3

• Asegurarse de haber respondido la

pregunta

2.3 Fracciones

• Conocer símbolos de la multiplicación e

identificar los factores

• Reducir fracciones

• Multiplicar fracciones

• Dividir fracciones

• Sumar y restar fracciones

• Convertir números mixtos a fracciones y

viceversa.

Símbolos de Multiplicación

Definición• Los números o variables multiplicados en

un problema de multiplicación se llaman

factores.

• Si a x b = c, entonces a y b son factores

de c

• Por ejemplo , en 3 x 5 = 15 los números 3

y 5 son factores del producto 15

Reducir Fracciones

• El numero que esta en la parte superior de

una fraccion se llama numerador y el que

esta en la parte inferior se llama

denominador. Por lo tanto en la fraccion

3/5, 3 es el numerador y 5 el

denominador.

Para simplificar una fraccion

• Determine el numero mayor que divida

(sin residuo) tanto al numerador como al

denominador. Este numero se llama MCD

• Después divida tanto el numerador como

el denominador entre el máximo común

divisor

Ejemplo

Simplifique:

• 10/25

• 6/18

Multiplicar Fracciones

• Para multiplicar dos o mas fracciones,

multiplique sus numeradores y después

sus denominadores.

• Multiplique:

3/13 por 5/11

8/17 por 5/16

Importante

• Para evitar tener que simplificar

respuestas, es necesario que antes de

multiplicar fracciones divida tanto el

numerador como el denominador entre el

MCD

Dividir Fracciones

• Para dividir una fracción entre otra,

invierta el divisor (la segunda fracción, si

es necesario que esta escrita con el signo

÷) y proceda como en la multiplicación

• Evaluar

3/5 ÷ 5/6

3/8 ÷ 12

Suma y resta de fracciones

• Solo se pueden sumar o restar las

fracciones que tienen el mismo

denominador.

• Para sumar o restar fracciones con el

mismo denominador, sume o reste los

numeradores y conserve el denominador

Evaluar

Denominadores Diferentes

• Primero debemos reescribir con el mismo,

o común denominador. El numero mas

pequeño que es divisible entre dos o mas

denominadores se llama mcd

Evaluar

Convertir números mixtos a

fracciones, y viceversa.• Considere el numero . Este es un

ejemplo de numero mixto. Un numero

mixto consta de un entero no negativo

seguido de una fracción.

• El numero mixto puede cambiarse a

una fracción de la siguiente manera:

Cambiar una fracción a mixto

• Cambiar a un numero mixto