LABORATORIO DE SISTEMAS DIGITALES

INFORME:

LABORATORIO DE SISTEMAS DIGITALES

Práctica #: 04 Tema: DEMOSTRACIÓN DE ALGUNO TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

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Fecha de entrega: ____ / ____ / ____ f. ______________________ año mes día Recibido por:

Sanción: ________________________________________________

Período Enero 2012

1. Haga una breve sustentación teórica de los teoremas del álgebra de Boole y de su importancia en la solución de problemas digitales.

Shannon sintetizó la utilización de las variables que tengan solamente dos posibles valores: verdadero o falso, abierto o cerrado, arriba o abajo, positivo o negativo, etc. Esto se produjo basado en las ideas expresadas por el matemático inglés George Boole.

En el álgebra booleana se utiliza tres operaciones básicas: AND, OR y NOT las cuales servirán para construir cualquier clase de circuitos digitales.

Un teorema es el enunciado de una proposición o de una propiedad que se demuestra por un razonamiento lógico a partir de hechos dados o de hipótesis incluidos en este enunciado.

Teorema de Absorción (Cobertura):

X+ XY=X X ( X+Y )=X

Teorema de Redundancia:

X+ X Y =X+Y X ( X+Y )=XY

Teorema de Consenso:

XY +YZ+X Z=XY +X Z ( X+Y )(Y +Z )( X+Z )=( X+Y )( X+Z )

Teorema de Combinación:

XY + X Y =X ( X+Y )( X+Y )=X

Teorema de DeMorgan:XY =X+Y X+Y =X Y

Simplificación de Funciones Booleanas utilizando los Teoremas del Álgebra de Boole:

Se debe tratar de simplificar una ecuación booleana ya que así tendremos un tamaño físico menor del circuito, el número de conexiones, la potencia disipada del circuito, el costo total e, inclusive, el número de errores que pueden introducirse cuando se implementa el circuito. Una forma de simplificar de simplificar una función Booleana es mediante el uso de postulados y teoremas del álgebra de Boole.

2. Explique en que consiste la demostración por inducción completa, y demuestre el teorema de consenso con este método.

x y z x x y y z xz x y+ y z+ xz x y+ x z

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 1 1 0 1 1

Al realizar el análisis de todos los posibles valores, analizamos por inducci[on completa. Y podemos comprobar el teorema.

3. Consulte acerca de los MINITERMINOS y MAXITERMINOS.

MINITERMINOS

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm.

Un término negado, como es considerado como el número binario 0 y el término no negado es considerado como un 1.

Por ejemplo, se asociaría el número 6 con , y nombraríamos la expresión con el nombre

. Entonces de tres variables es y debería ser al ser .

Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de las posibles.

Por ejemplo, el minitérmino 5, es verdadero solo cuado a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.

Función equivalente

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica: f(a,b), es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas con resultado '1 son la primera y la cuarta, entonces podremos escribir f como la suma de los minitérminos:

.

Si queremos verificar esto:

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

MAXITERMINOS.

Para indexar maxitérminos lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, para una función de tres variables f(a,b,c) podemos asignar

(Maxitérmino 6) al maxitérmino: . De forma similar de tres variables

debería ser y es .

Se puede ver fácilmente que un maxitérmino sólo da como resultado un cero para una única

entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxitérmino 5, , es falso solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.

Función equivalente

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, f(a,b), es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la

segunda y la tercera, entonces podemos escribir f como un producto de maxitérminos .

Si queremos verificar esto:

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

4. Consulte de las formas canónicas y normalizadas

Toda función tiene solo una representación en forma canónica.

La función expresada en forma canónica puede ser expresada en función de sus términos mínimos (minterms) o de sus términos máximos (maxterms).

Minterms: es la sumatoria del producto de las n variables que tenga una función normalizada.

Maxterms: es la suma de las n variables que tenga una función normalizada.

Forma canónica suma de productos:

Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos productos (minterminos) sumados que aparecen una sola vez.

_ _ _ _ _ _Por ejemplo:  F(X,Y,Z) = XYZ+XYZ+XYZ + XYZ+ X YZ

Para simplificar la escritura en forma de suma canónica de productos, se utiliza una notación especial. A cada mintermino se le asocia un número binario de n bits resultantes de considerar como 0 las variables complementadas y como 1 las variables no complementadas. Así por

ejemplo  el mintermino Z   corresponde a combinación X=0, Y=0, Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimal es 1. A este mintermino lo identificaremos entonces como m1.

_ _ _ _ _ _De esta forma, la función : F(X,Y,Z) = XYZ+ XYZ+XYZ+ X YZ + X Y Z

se puede expresar como: F(X,YZ) = m(1, 4,5,6,7)   que quiere decir la sumatoria de los minterminos 1,4,5,6,7

 Forma canónica producto de sumas:

Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos sumas (maxterminos) multiplicados que aparecen una sola vez.

_ _ _Por ejemplo  F(X,Y,Z) =( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z )

Análogamente al caso anterior, podemos simplificar la expresión de la función, indicando los maxterminos. Sin embargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cada maxtermino se le asocia un número binario de n bits resultantes de considerar como 1 las variables

complementadas y como 0 las variables no complementadas. Así por ejemplo  el maxtermino ' + Y + Z  corresponde a combinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numero binario 100, cuyo valor decimal es 4. A este maxtermino lo identificaremos entonces como M4.

_ _ _De esta forma, la función: F(X,Y,Z) = ( X + Y+ Z) ( X + Y+ Z) ( X + Y + Z )

Se puede expresar como: F(X,YZ) =  M(0,2,3)  que quiere decir el producto de los maxterminos 0,2,3

En resumen, cada mintermino se asocia con la combinación de entrada para la que la función produciría un 1, y cada maxtérmino con la combinación para la que produciría un 0.

En la tabla de la derecha se muestran los minterminos y los maxterminos asociados con cada combinación en una tabla de verdad de 3 variables. De acuerdo con esta tabla para determinar  el término producto o suma se hace lo siguiente: para los minterminos cada variable no complementada se asocia con un 1 y cada variable complementada se asocia con 0. Para los maxtérminos la regla es la inversa.

Valordecimal

X Y Z

Mintermino Maxtermino

0 0 0 0XYZ=m0 X+Y+Z=M0

1 0 0 1XYZ=m1 X+Y+Z=M1

2 0 1 0XYZ=m2 X+Y+Z=M2

3 0 1 1XYZ=m3 X+Y+Z=M3

4 1 0 0XYZ=m4 X+Y+Z=M4

5 1 0 1XYZ=m5 X+Y+Z=M5

6 1 1 0XYZ=m6 X+Y+Z=M6

7 1 1 1XYZ=m7 X+Y+Z=M7

Una función normalizada es la función en la que cada uno de sus términos está representado con igual número de variables que tiene la frecuencia.

5. Dada la función:

F=X·Y·Z +X·Y· Z+X·Y ·Z

Función expresada en MINTÉRMINOS:

F=X·Y·Z +X·Y· Z+X·Y ·Z

Simplificando la función tenemos:

F=X·Y· (Z+Z )+ X·Y · Z

F=X·Y +X· Y · Z

F=X· (Y +Y · Z )

F=X· (Y +Z )

Función expresada en MÁXTERMINOS:

Para expresar la función en máxterminos utilizamos la tabla de verdad.

X Y Z Y +Z F0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 1

1 1 1 1 1De la cual podemos deducir la forma canónica conjuntiva:

F=( X+Y +Z ) ( X+Y +Z ) ( X+Y +Z ) ( X+Y +Z ) ( X+Y +Z )

Simplificando la función tenemos:

F=( X+Y ) ( X+Y ) ( X+Y +Z )

F=X ( X+Y +Z )

F=XY +XZ

F=X· (Y +Z )

Con lo cual se verifica que las expresiones son correctas, pues el resultado es el mismo para ambas formas (MINTERMS Y MAXTERMS)

CONCLUSIONES

Con la comprobación de los teoremas pudimos observar lo importante que son para la simplificación de problemas usando el álgebra Booleana.

Es importante armar los teoremas con los circuitos lógicos, ya que de esta forma podemos comprobar su veracidad.

El conocimiento de los MAXITÉRMINOS Y MINITERMINOS es muy importante para el diseño de circuitos lógicos ya que nos permiten implementar un circuito de diferentes formas.

Para diseñar un circuito lógico se deben conocer los teoremas del algebra de Boole ya que de esta forma lograremos simplificar y hacer uso de un menor número de compuertas.

BIBLIOGRAFIA

SISTEMAS DIGITALES, Ing. Carlos Novillo Montero

http://es.wikipedia.org/wiki/Formas_can%C3%B3nicas_%28%C3%A1lgebra_de_Boole%29

SISTEMAS DIGITALES y TECNOLOGÍA DE COMPUTADORAS, Javier García Suvía, 2da Edición.