Matematica 2

Transformada Z

Universidad de la RepublicaCentro Universitario de la Region Este

1. Consideraciones previas

Sea una sucesion de la forma {xn}+∞−∞, la notaremos de aquı en mas como x[n], su equivalente secuenciaen tiempo discreto.

Se dice que una secuencia x[n] es causal si cumple:

x[n] = 0, ∀ n < 0

Una secuencia x[n] se dice limitada por izquierda cuando,

x[n] = 0, para n < N1 < +∞

Notar que una secuencia causal esta limitada por izquierda, donde N1 = 0.

Una secuencia x[n] se dice limitada por derecha cuando,

x[n] = 0, para n > N2 > −∞

Se define la secuencia escalon u[n] tal que

u[n] =

{1 n ≥ 00 n < 0

Dada una secuencia x[n] cualquiera, notar que la nueva secuencia y[n] = u[n]x[n] generada a partir laprimera, es causal.

Recordemos la siguiente expresion util para el calculo de la Serie Geometrica

N2∑k=N1

ak =aN1 − aN2+1

1− asi N2 > N1 y a 6= 1

2. Definicion

La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto x[n] se define como:

Z {x[n]} = X(z) =+∞∑

n=−∞x[n]z−n (1)

Siempre que exista la sumatoria y donde z = rejω es una variable compleja todavıa indefinida.Es decir, el operador transformada Z Z {.}, transforma una secuencia x[n] en una funcion X(z) compleja devariable continua compleja z. Esta correspondencia unica entre una secuencia y su transformada Z se indi-cara mediante la notacion

x[n]Z←→ X(z)

1

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Notar que

X(z) =+∞∑

n=−∞x[n]z−n = . . . x[−2]z2 + x[−1]z1 + x[0] + x[1]z−1 + x[2]z−2 . . .

La transformada Z tal como se a definido en la ecuacion 1 se denomina comunmente transformada Z bilateralen contraste con la transformada Z unilateral que se define como:

X {x[n]} =

+∞∑n=0

x[n]z−n = x[0] + x[1]z−1 + x[2]z−2 . . . (2)

Notar que las transformadas Z bilateral y unilateral coinciden si x[n] = 0 para n < 0.O sea que ambas transformadas coinciden para una secuencia x[n] causal .

3. Region de convergencia - ROC

Como la transformada Z es una funcion de variable compleja, es conveniente describirla e interpretarlautilizando el plano complejo z. Los valores de z donde la suma converge definen una region en el plano Zdenominada region de convergencia (ROC).Por lo tanto la ROC esta determinanda por el rango de valores de |z| = |rejω| = r que cumplen:

|X(z)| ≤+∞∑

n=−∞|x[n]z−n| =

+∞∑n=−∞

|x[n]|r−n <∞ (3)

Como consecuencia, la region de convergencia sera un anillo en el plano z centrado en el origen. Su fronteraexterior sera una circunferencia (o bien la region de convergencia se extendera por el exterior hasta el infinito),y su frontera interior sera tambien una circunferencia (o se extendera por el interior hasta incluir el origen).La region de convergencia es en general un disco de la forma:

α < |z| < β

Si α = 0, la ROC puede incluir el punto z = 0, y si β =∞, la ROC puede incluir el infinito.

Figura 1: Circunferencias en el plano complejo

A continuacion se listan tres propiedades de la region de convergencia:

a) Una secuencia de largo finito tiene una transformada Z con una region de convergencia que incluye el planoZ entero excepto posiblemente el origen (z = 0) y el infinito (z =∞). El punto z =∞ puede ser incluidosi x[n] = 0 para n < 0 (x[n] secuencia causal). El punto z = 0 puede ser incluido si x[n] = 0 para n > 0.

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b) Una secuencia limitada por izquierda tiene transformada Z con una region de convergencia que es el exteriorde un cırculo:

ROC : |z| > α

c) Una secuencia limitada por derecha tiene transformada Z con una region de convergencia que es el interiorde un cırculo:

ROC : |z| < α

Figura 2: Ejemplo de transformadas Z con los mismos diagramas polo-cero que ilustran las diferentes posibilidadesde la region de convergencia. Cada region de convergencia corresponde a una secuencia diferente: (b) a unasecuencia limitada por izquierda, (c) a una secuencia limitada por la derecha, (d) a una secuencia bilateral y (e)a una secuencia bilateral.

3.1. Transformadas Z racionales

Muchas de las secuencias de interes tienen una transformada Z igual a una funcion racional en el parametroz−1.

X(z) =A(z)

B(z)=

M∑k=0

akz−k

N∑k=0

bkz−k(4)

La funcion racional anterior se dice propia cuando el grado del denominador es menor o igual que el grado delnumerado (N ≤M).

Factorizando los polinomios del numerador y del denominador, una transformada Z racional se puede expresarcomo

X(z) =

(a0b0

) M∏k=1

(1− αkz−1)

N∏k=1

(1− βkz−1)(5)

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Las raıces del polinomio numerador, αk, se denominan los ceros de X(z), y las raıces del polinomio denominador,βk, se denominan los polos. Los polos y los ceros definen la forma funcional de un polinomio racional salvo unaconstante. Por lo tanto ofrecen una representacion concisa para X(z) y permiten una representacion grafica enel ası llamado diagrama polo-cero en el plano complejo. Diagramas polo-cero se muestran en la figura 2 , elsımbolo “ ◦ ” indica un cero y el sımbolo “× ” un polo. Para un X(z) racional, la region de convergenciano puede contener polos.

4. Algunas propiedades importantes

4.1. Linealidad

La propiedad de linealidad establece que

w[n] = ax[n] + by[n]Z←→W (z) = aX(z) + bY (z)

Y la ROC de w[n] contiene al menos la interseccion de Rx y Ry, regiones de convergencia de x[n] e y[n]respectivamente, esto es,

(Rx ∩Ry) ⊂ RwSe deduce de la definicion 1,

W (z) =∞∑

n=−∞(ax[n] + by[n])z−n

Si se tiene que |z| ∈ {Rx} y |z| ∈ {Ry} se tiene que las series convergen y

W (z) = a

∞∑n=−∞

(x[n])z−n + b

∞∑n=−∞

(y[n])z−n

W (z) = aX(z) + bY (z)

4.2. Traslacion de la secuencia

La propiedad de traslacion indica que,

w[n] = x[n− n0]Z←→W (z) = z−n0X(z) ∀n0 ∈ Z

ROC = Rx (Excepto por la posible adicion o eliminacion de z = 0 o z =∞).

Si n0 es positivo, la secuencia original x[n] se desplaza hacia la derecha, y si n0 es negativo, x[n] se desplazahacia la izquierda. La region de convergencia puede cambiar ya que el factor z−n0 puede alterar el numero depolos en z = 0 o z =∞. Esta propiedad se deduce directamente de la definicion 1,

W (z) =+∞∑

n=−∞x[n− n0]z−n.

Realizando el cambio de variable m = n− n0

W (z) =

+∞∑m=−∞

x[m]z−(m+n0) = z−n0

+∞∑m=−∞

x[m]z−m

W (z) = z−n0X(z)

Cabe resaltar que la propiedad de traslacion es diferente en el caso unilateral ya que el lımite inferior enla definicion de esta transformada siempre es cero 2 . Para ilustrar como se obtiene la propiedad en este caso

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consideremos una secuencia x[n] cuya transformada Z unilateral sea X (z) y sea y[n] = x[n− 1].Entonces por definicion,

Y(z) =

+∞∑n=0

x[n− 1]z−n.

Realizando el cambio de variable m = n− 1, Y(z) se puede expresar como,

Y(z) =

+∞∑m=−1

x[m]z−(m+1) = x[−1] + z−1+∞∑m=0

x[m]z−m

De forma queY(z) = x[−1] + z−1X (z)

Por tanto, para determinar la transformada Z unilateral de una secuencia retardada, hay que proporcionar losvalores de dicha secuencia que fueron ignorados al calcular X (z). Un analisis similar permite demostrar que siy[n] = x[n− 1], siendo k > 0, entonces

Y(z) =

k∑m=1

x[m− k − 1]z−m+1 + z−kX (z)

4.3. Multiplicacion por una secuencia exponencial y[n] = an

Si una secuencia x[n] es multiplicada por otra secuencia exponencial y[n] = an se tiene,

w[n] = x[n]anZ←→W (z) = X(a−1z), ROC = |a|Rx.

Donde la notacion ROC = |a|Rx significa que la region de convergencia Rx es multiplicada por un factor deescala de valor |a|. En otras palabras si Rx es el conjunto de valores de z tales que r− < |z| < r+, entonces |a|Rxes el conjunto de valores de z tal que |a|r− < |z| < |a|r+. La demostracion se deja como ejercicio.

4.4. Diferenciacion de X(z)

La propiedad de diferenciacion indica que

w[n] = nx[n]Z←→W (z) = −z dX(z)

dz, ROC = Rx.

Esta propiedad se puede verificar diferenciando la expresion de la transformada Z en 1 ,

X(z) =+∞∑

n=−∞x[n]z−n

obtenemos

−z dX(z)

dz= −z

+∞∑n=−∞

(−n)x[n]z−n−1

+∞∑n=−∞

nx[n]z−n = Z {nx[n]}

4.5. Teorema del valor inicial

Si la secuencia x[n] es causal, el valor inicial x[0] puede encontrarse a partir de X(z) de la siguiente manera,

x(0) = lımz→∞

X(z)

Esta propiedad es consecuencia de la causalidad de x[n], pues como x[n] = 0 para n < 0,

X(z) = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 . . .

Por lo que al efectuar el lımite con z →∞, cada termino de X(z) se anula excepto el primero.

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4.6. Teorema del valor final

Analogamente si la secuencia x[n] es causal, el valor lımite lımn→+∞

x[n] puede encontrarse a partir de X(z) de

la siguiente manera,lım

n→+∞x[n] = lım

z→1(1− z−1)X(z)

Siempre que los polos de (1− z−1)X(z) esten dentro del cırculo unitario, |z| = 1. La demostracion se deja comoejercicio.

5. Transformada Inversa

Las transformadas Z inversas se pueden obtener por inspeccion si la expresion de la transformada Z sereconoce o se puede encontrar en una tabla. Algunas veces, X(z) no se puede encontrar explıcitamente utilizandouna tabla, pero puede ser posible obtener una expresion alternativa de X(z) como suma de terminos mas simples,cada uno de los cuales aparece en la tabla. Este es el caso de las funciones racionales, ya que es posible realizarla descomposicion en fracciones simples e identificar facilmente las secuencias correspondientes a cada termino.

5.1. Descomposicion en fracciones simples

Para ver como se realiza una descomposicion en fracciones simples, supongamos que X(z) se expresa comoun cociente de polinomios en z−1 ; es decir,

X(z) =

M∑k=0

akz−k

N∑k=0

bkz−k=

(a0b0

) M∏k=1

(1− αkz−1)

N∏k=1

(1− βkz−1)(6)

Siendo αks los ceros distintos de cero de X(z) y βks los polos distintos de cero de X(z).

Caso 1

M < N y los polos son todos de primer orden, o sea βi 6= βk ∀ i 6= k.Entonces X(z) puede ser expandido de la siguiente manera:

X(z) =

N∑k=1

Ak(1− βkz−1)

(7)

Para un conjunto de constantes Ak donde k = 1, 2, ... N .Multiplicando los dos miembros de la ecuacion 7 por (1− βkz−1) y evaluando en z = βk se pueden obtener loscoeficientes Ak, es decir,

Ak =[(1− βkz−1)X(z)

∣∣z=βk

(8)

Caso 2

Si M < N , por cada polo de X(z) de multiplicidad s en z = βi para i = 1, 2, ...p. La expansion de X(z) enfracciones simples genera terminos de la forma

s∑m=1

Cm(1− βiz−1)m

(9)

Donde los coeficientes Cm se obtienen aplicando la ecuacion

Cm =1

(s−m)!(−βi)s−m

{ds−m

dws−m[(1− βiw)sX(w−1)

]∣∣∣∣w=β−1

i

(10)

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Por ejemplo, si X(z) posee un polo de orden s = 2 en z = βi , la expansion resulta

X(z) =N∑

k=1,k 6=i

Ak(1− βkz−1)

+C1

(1− βiz−1)+

C2

(1− βiz−1)2(11)

Donde C1 y C2 estan dados por:

C1 = 1(−βi)

{ddw

[(1− βiw)2X(w−1)

]∣∣w=β−1

i

C2 =[(1− βiw)2X(w−1)

∣∣w=β−1

i

(12)

Tambien se pueden encontrar a partir de

C1 = βi{ddz

[(1− βiz−1)2X(z)

]∣∣z=βi

C2 =[(1− βiz−1)2X(z)

∣∣z=βi

Caso 3

Si M ≥ N , se deben dividir los polinomios del numerador y el denominador de X(z), finalizando el procesode division cuando el resto sea de grado inferior al denominador.Si D(z) de grado (M −N) es el cociente de la division anterior, se tiene

X(z) = D(z) +X1(z)

X(z) =

M−N∑k=0

dkz−k +X1(z) (13)

Donde dk son los coeficientes de D(z) que se obtuvieron en la division y X1(z) es una funcion racional propia,o sea que se puede descomponer como en los casos 1 o 2 mostrados anteriormente.

Es interesante mencionar que podrıamos haber obtenido los mismos resultados suponiendo que la transfor-mada Z racional se expresa en funcion de z y no en funcion de z−1. En este caso, en lugar de factores de la forma(1 − αkz−1), podrıamos haber considerado factores de la forma (z − αk). Lo que nos conducirıa a un conjuntode ecuaciones similares a las Ecuaciones 7 - 13 , que serıa adecuado si utilizaramos una tabla de transformadaZ en funcion de z y no en funcion de z−1.

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6. Tabla de transformadas Z

Secuencia Transformada Z ROC

δ(n) 1 ∀z

anu[n]1

1− az−1=

z

z − a|z| > |a|

−anu[−n− 1]1

1− az−1=

z

z − a|z| < |a|

nanu[n]az−1

(1− az−1)2=

az

(z − a)2

|z| > |a|

−nanu[−n− 1]az−1

(1− az−1)2=

az

(z − a)2

|z| < |a|

cos(nω0)u[n]1− (cosω0)z

−1

1− 2(cosω0)z−1 + z−2

|z| > 1

seno(nω0)u[n](senoω0)z

−1

1− 2(cosω0)z−1 + z−2

|z| > 1

Referencias

[1] Oppenheim, A. V. and Schafer, R. W. (2011). Tratamiento de senales en tiempo discreto. Capitulo 3,Pearson Educacion S.A., tercera edicion.

[2] Hayes, M. H. (1999) Digital Signal Processing. Chapter 4, McGraw-Hill.

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