INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALVARADO Campus Lerdo.

INGENIERA INDUSTRIAL

Materia:Mercadotecnia.

Semestre - Grupo - Sistema:6 Semestre - Grupo A Semi-Escolarizado.

Producto Acadmico:Investigacion Unidad 1

Presenta:Oscar rodrguez Hernndez.

Docente:Ingrid Dianet

LERDO DE TEJADA, VER. FEB-JULIO. 2015

Primera Unidad

1.1 El trmino "regresin" fue acuado por Sir Francis Galton (1822-1911), primo de Charles Darwin. Galton estudiaba la eugnica, trmino tambin introducido por s mismo para definir el estudio de la mejora de la raza humana a partir de los caracteres hereditarios.

Galton estudi la altura de los hijos con relacin a la altura de sus padres, y prob que la altura de hijos altos regresaba hacia la media de la altura de la poblacin a lo largo de sucesivas generaciones. En otras palabras, hijos de padres extraordinariamente altos tendan a ser en promedio ms bajos que sus padres, e hijos de padres muy bajos tendan a ser en promedio ms altos que sus padres. En la actualidad, el trmino de regresin se utiliza siempre que se busca predecir una variable en funcin de otra, y no implica que se est estudiando si se est produciendo una regresin a la media. Anteriormente a Galton se debe mencionar a Legendre (1752-1833), quien introdujo el mtodo de los mnimos cuadrados utilizndolos para definir la longitud de 1 metro como una diez millonsima parte del arco meridional. Con posterioridad a Galton, las propiedades de las tcnicas de regresin fueron estudiadas por Edgeworth, Pearson y Yule.

La tcnica de regresin lineal simple est indicada cuando se pretende explicar una variable respuesta cuantitativa en funcin de una variable explicativa cuantitativa tambin llamada variable independiente, variable regresora o variable predictora. Por ejemplo, se podra intentar explicar el peso en funcin de la altura. El modelo intentara aproximar la variable respuesta mediante una funcin lineal de la variable explicativa.

Las suposiciones que se realizan al aplicar las tcnicas de regresin lineal son:-El modelo propuesto es lineal (es decir existe relacin entre la variable explicativa y la variable explicada, y esta relacin es lineal). Es decir se asume que:

var.respuesta0var. explicativa1

Siendo 0el trmino independiente (constante o intercept), 1el coeficiente de regresin de la variable explicativa (pendiente o slope) y es una variable aleatoria que se llama error residual.

-La variable explicativa se ha medido sin error.-El valor esperado de del modelo es cero.-La varianza de (y por lo tanto de la variable respuesta) es constante.-Los son independientes entre s.-Si se desean realizar contrastes de hiptesis sobre los parmetros (coeficientes) o sobre el modelo, tambin es necesario que la distribucin de sea normal.

Para estudiar la validez del modelo es necesario confirmar estas hiptesis mediante el estudio de los residuos (valores observados - valores predichos): normalidad, tendencias, etc. Cuando no se cumplen los criterios de aplicacin es necesario realizar transformaciones a las variables, o bien para obtener una relacin lineal o bien para homogeneizar la varianza.

Regresin lineal simple. Tiene como objeto estudiar cmo los cambios en una variable, no aleatoria, afectan a una variable aleatoria, en el caso de existir una relacin funcional entre ambas variables que puede ser establecida por una expresin lineal, es decir, su representacin grfica es una lnea recta. Cuando la relacin lineal concierne al valor medio o esperado de la variable aleatoria, estamos ante un modelo de regresin lineal simple. La respuesta aleatoria al valor x de la variable controlada se designa por Yx y, segn lo establecido, se tendr

De manera equivalente, otra formulacin del modelo de regresin lineal simple sera: si xi es un valor de la variable predictora e Yi la variable respuesta que le corresponde, entonces

Ei es el error o desviacin aleatoria de Yi .Definicin VALOR MEDIO. Constante que representa el centro de gravedad de la ley de probabilidad de una variable aleatoria y que, en casos de notable simetra en la funcin de densidad, puede interpretarse que dicha constante nos seala la zona donde se sitan los valores de mxima probabilidad de la variable aleatoria. El valor medio o valor esperado de una variable aleatoria X se define como

siempre que dicho valor exista, donde f es la funcin de densidad de la variable.

Estimacin de parmetros.

En un grupo de 8 pacientes se miden las cantidades antropomtricas peso y edad, obtenindose los siguientes resultados: Resultado de las mediciones

edad1281011771014

peso5842515440394956

Existe una relacin lineal importante entre ambas variables? Calcular la recta de regresin de la edad en funcin del peso y la del peso en funcin de la edad. Calcular la bondad del ajuste En qu medida, por trmino medio, vara el peso cada ao? En cunto aumenta la edad por cada kilo de peso? Solucin: Para saber si existe una relacin lineal entre ambas variables se calcula el coeficiente de correlacin lineal, que vale:

ya que

Por tanto el ajuste lineal es muy bueno. Se puede decir que el ngulo entre el vector formado por las desviaciones del peso con respecto a su valor medio y el de la edad con respecto a su valor medio, , es:

es decir, entre esos vectores hay un buen grado de paralelismo (slo unos 19 grados de desviacin). La recta de regresin del peso en funcin de la edad es

La recta de regresin de la edad como funcin del peso es

que como se puede comprobar, no resulta de despejar en la recta de regresin de Y sobre X. La bondad del ajuste es

por tanto podemos decir que el de la variabilidad del peso en funcin de la edad es explicada mediante la recta de regresin correspondiente. Lo mismo podemos decir en cuanto a la variabilidad de la edad en funcin del peso. Del mismo modo puede decirse que hay un de varianza que no es explicada por las rectas de regresin. Por tanto la varianza residual de la regresin del peso en funcin de la edad es

y la de la edad en funcin del peso:

Por ltimo la cantidad en que vara el peso de un paciente cada ao es, segn la recta de regresin del peso en funcin de la edad, la pendiente de esta recta, es decir, b1=2,8367 Kg/ao. Cuando dos personas difieren en peso, en promedio la diferencia de edad entre ambas se rige por la cantidad b2=0,3136 aos/Kg de diferencia. 1.1.1

1.1.2. Calidad del Ajuste en Regresin Lineal Simple.

1.1.3. Estimacin y Prediccin por Intervalo en regresin lineal simple.

Medicin de la adecuacin del modelo de regresin. - Anlisis residual

1.1.4. Uso de un software estadstico.

1.2. Regresin Lineal Mltiple.

1.2.1. Pruebas de Hiptesis en Regresin Lineal Mltiple.

1.2.2. Intervalos de Confianza y Prediccin en regresin mltiple.

1.2.3. Uso de un software estadstico.

1.3. Regresin no lineal

Ejemplo de regresin no linealEn estadstica, la regresin no lineal es un problema de inferencia para un modelo tipo:y = f(x, ) + Basado en datos multidimensionales x, , donde f es alguna funcin no lineal respecto a algunos parmetros desconocidos . Como mnimo, se pretende obtener los valores de los parmetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el mtodo de los mnimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadstica tales como intervalos de confianz a para los parmetros as como pruebas de bondad de ajuste.El objetivo de la regresin no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresin polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresin no lineal. Cuando la funcin f toma la forma:f(x) = ax2 + bx + cla funcin f es no lineal en funcin de x pero lineal en funcin de los parmetros desconocidos a, b, y c. Este es el sentido del trmino "lineal" en el contexto de la regresin estadstica. Los procedimientos computacionales para la regresin polinomial son procedimientos de regresin lineal (mltiple), en este caso con dos variables predictoras x y x2. Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresin no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias prcticas de esta mala interpretacin conducen a que un procedimiento de optimizacin no lineal sea usado cuando en realidad hay una solucin disponible en trminos de regresin lineal. Paquetes (software) estadsticos consideran, por lo general, ms alternativas de regresin lineal que de regresin no lineal en sus procedimientos.Mtodos Numricos para Regresiones No LinealesRegresin ExponencialEn determinados experimentos, en su mayora biolgicos, la dependencia entre las variables X e Y es de forma exponencial, en cuyo caso interesa ajustar a la nube de puntos una funcin del tipo:

Mediante una transformacin lineal, tomando logaritmos neperianos, se convierte el problema en una cuestin de regresin lineal. Es decir, tomando logaritmos neperianos:

Ejemplo

xyIn yx2x InyIn y2

131,098611,09861,2069

1,23,41,22371,441,46841,4974

1,551,60942,252,41412,5901

220,693141,38620,4803

34,11,410994,23271,9906

3,751,609413,695,95472,5901

471,9459167,78363,7865

4,56,51,871820,258,42313,5056

20,9 36 11,4628 67,63 32,7614 17,6455

Numero de datos = n = 8

x promedio = = = 2,6125

y promedio = = = 1,43285

Usando la forma lineal de la Regresin Exponencial:

b = = = 0,216047

= 1,43285 - (0,216047)(2,6125) = 0,868427

a = eb = e0,216047 = 2,38316La ecuacin final que modela el sistema es

Regresin LogartmicaLa curva logartmica es tambin una recta, pero en lugar de estar referida a las variables originales e , est referida a y a Ejemploxyln xln x2ln x * yy2

130009

1.23.40.18230.03320.619811.56

1.550.40540.16432.02725

220.69310.48031.38624

34.11.09861.20694.504216.81

3.751.30831.71166.541525

471.38621.92159.703449

4.56.51.50402.26209.77642.25

20.9 36 6.5779 7.7798 34.5581 182.62

n=8

a = = = 2.090513

b = = 4.5 - (2.090513)(0.8222) = 2.78117

La ecuacin final que modela el sistema es

Regresin PolinomialAlgunas veces cuando la relacin entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es til incluir trminos polinomiales para ayudar a explicar la variacin de nuestra variable dependiente.Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios trminos

Ejemploxyxyx2y2x2yx3x4

13319311

1.23.44.081.4411.564.8961.7282.0736

1.557.52.252511.253.3755.0625

224448816

34.112.3916.8136.92781

3.7518.513.692568.4550.653187.4161

4728164911264256

4.56.529.2520.2542.25131.62591.125410.0625

20.9 36 106.63 67.63 182.62 376.121 246.881 958.6147

Usando una Matriz para calcular valores de los coeficientes

Usando el mtodo de Eliminacin de Gauss-Jordan

La ecuacin final que modela el sistema es

LinealizacinAlgunos problemas de regresin no lineal pueden linealizarse mediante una transformacin en la formulacin del modelo.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALVARADO Campus Lerdo.

INGENIERA INDUSTRIAL

Materia:Mercadotecnia

Semestre - Grupo - Sistema:6 Semestre - Grupo A Semi-Escolarizado.

Producto Acadmico:Investigacion de la segunda unidad

Presenta:Oscar rodrguez Hernndez.

Docente:Ingrid Dianet

LERDO DE TEJADA, VER. FEB-JULIO. 2015

2.1. Familia Diseos para comparar tratamientos

Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se estudia simultneamente dos o ms factores, y donde los tratamientos se forman por la combinacin de los diferentes niveles de cada uno de los factores.Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseo experimental si no que ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseos tal como D.C.A. ; D.B.C.A.; D.C.L.Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigacin, son muy utiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muchos factores.VENTAJAS:1.- Permite estudiar los efectos principales, efectos de interaccin de factores, efectos simples y efectos cruzados.2.- Todas las unidades experimentales intervienen en la determinacin de los efectos principales y de los efectos de interaccin de los factores, por lo que el nmero de repeticiones es elevado para estos casos.3.- El nmero de grados de libertad para el error experimental es alto, comparndolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la variancia del error experimental, aumentando por este motivo la precisin del experimento.DESVENTAJA:1.- Se requiere un mayor nmero de unidades experimentales que los experimentos simples y por lo tanto se tendr un mayor costo y trabajo en la ejecucin del experimento.2.- Como en los experimentos factoriales c/u de los niveles de un factor se combinan con los niveles de los otros factores; a fin de que exista un balance en el anlisis estadstco se tendr que algunas de las combinaciones no tiene inters prctico pero deben incluirse para mantener el balance.3.- El anlisis estadistco es ms complicado que en los experimentos simples y la interpretacin de los resultados se hace ms dificil a medida de que aumenta el nmero de factores y niveles por factor en el experimento.CONCEPTOS GENERALES:FACTOR.- Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o caracterstica. Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilizacin, variedades de cultivo, manejo de crianzas, etc.FACTORIAL.- Es una combinacin de factores para formar tratamientos.NIVELES DE UN FACTOR.- Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor. Se acostumbra simbolizar algn elemento "i" por la letra minuscula que representa al factor y el valor del respectivo subindice.Ejemplo:A: Tipos de riego: Secano Goteo AspersinNiveles: a0 a1 a2TIPOS DE FACTORES: 1.- Factores Cuantitativos.2.- Factores Cualitativos.1.- FACTORES CUANTITATIVOS.- Son aquellos factores cuyos niveles son cantidades numricas.Ejemplo:Factor A : Dosis de fertilizacinNiveles : 10 Kg/Ha (ao), 20Kg/Ha (a1), 30Kg/Ha (a2).2.- FACTORES CUALITATIVOS.- Son aquellos factores cuyos niveles son procedimientos o cualidades.Ejemplo:Factor A: Variedades de cultivoNiveles : Variedad 1, Variedad 2.Ejemplo de formacin de factoriales:Sea los factores A y B con sus respectivos niveles:Factor A: a0 a1 a2Factor B: b0 b1La combinacin de los niveles de los factores ser: a0 a1 a2 b0 b1 b0 b1 b0 b1 a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 } tratamientosAl combinar ambos factores (A y B) se tiene:3 x 2 = 6 tratamientos para ser evaluadosniveles de A x niveles de B Si cada tratamiento se aplica a 4 unidades experimentales, se requiere 24 unidades experimentales, para realizar el experimento:Repeticionesa0 b0a0 b1a1 b0a1 b1a1b0a2 b1

1

2

3

4

FORMACION DE FACTORIALES:En la informacin de factoriales, se debe tener presente lo siguiente:1.- Que factores deben incluirse.2.- Que factores son fijos (modelo I) y que factores son al azar (modelo II).3.- Cuantos niveles se tiene por factor.4.- Si son factores cuantitativos , cual debe ser el espaciamiento entre los niveles del factor.Por ejemplo:0%, 5% y 10% de nitrgeno, significa igual espaciamiento.TIPOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES:Los experimentos factoriales para un determinado diseo se diferencian entre si, por el nmero de factores y por la cantidad de niveles de estos factores que intervienen en el experimento.Para simbolizar se usa la letra del factor:pA x qB dos factores "A y "B", con "p" niveles para "A" y "q" niveles para "B" Nmero de factores.2A 2B = 2A x 2B 2 x 2 22 Nmero de niveles de c/factor (4 tratamientos). Nmero de factores.3A 3B = 3A x 3B 3 x 3 32 Nmero de niveles ( 9 tratamientos ). Nmero de factores. 4A 4B = 4A x 4B 4 x 4 42 Nmero de niveles ( l6 tratamientos ).EFECTOS DE LOS EXPERIMENTOS FACTORIALES:1.- EFECTO PRINCIPAL.- Es una medida del cambio en el promedio entre los niveles de un factor, promediado sobre los diferentes niveles del otro factor. Ejemplo: Dosis de Nitrogeno en las U.E.2.- EFECTO INTERACCION.- Es una medida de cambio que expresa el efecto adicional resultante de la influencia combinada de dos o ms factores.Ejemplo: Efecto conjunto de nitrgeno y fosforo.3.- EFECTO SIMPLE.- Es una medida de cambio en los promedios de los niveles de un factor, manteniendo constante, uno de los niveles del otro factor.Ejemplo: Efecto de nitrogeno ante la presencia de 5% de fosforo.

2.2. El modelo de efectos fijos.

Anlisis de la varianza En estadstica, el anlisis de la varianza (ANOVA, ANalysis Of VAriance, segn terminologa inglesa) es una coleccin de modelos estadsticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza est particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas.Las tcnicas iniciales del anlisis de varianza fueron desarrolladas por el estadstico y genetista R. A. Fisher en los aos 1920 y 1930 y es algunas veces conocido como "Anova de Fisher" o "anlisis de varianza de Fisher", debido al uso de la distribucin F de Fisher como parte del contraste de hiptesis.

El anlisis de la varianza parte de los conceptos de regresin lineal.El primer concepto fundamental es que todo valor observado puede expresarse mediante la siguiente funcin:

Donde Y sera el valor observado (variable dependiente), y X el valor que toma la variable independiente.sera una constante que en la recta de regresin equivale a la ordenada en el origen, es otra constante que equivale a la pendiente de la recta, y es una variable aleatoria que aade a la funcin cierto error que desva la puntuacin observada de la puntuacin pronosticada.Por tanto, a la funcin de pronstico la podemos llamar "Y prima":

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, ms el error aleatorio:(1.1)Sabiendo este concepto, podemos operar con esta ecuacin de la siguiente forma:1) Restamos a ambos lados de la ecuacin (para mantener la igualdad) la media de la variable dependiente:

2) Substituimos el error por la ecuacin resultante de despejar la ecuacin 1.1:

Por tanto...

Y reorganizando la ecuacin:

Ahora hay que tener en cuenta que la media de las puntuaciones observadas es exactamente igual que la media de las puntuaciones pronosticadas:

Por tanto:

Podemos ver que nos han quedado 3 puntuaciones diferenciales. Ahora las elevamos al cuadrado para que posteriormente, al hacer el sumatorio, no se anulen:

Y desarrollamos el cuadrado:

Podemos ver que tenemos los numeradores de las varianzas, pero al no estar divididas por el nmero de casos (n), las llamamos Sumas de Cuadrados., excepto en el ltimo trmino, que es una Suma Cruzada de Cuadrados (el numerador de la covarianza), y la covarianza en este caso es cero (por las propiedades de la regresin lineal, la covarianza entre el error y la variable independiente es cero).Por tanto:

O lo mismo que:

de un factor, que es el caso ms sencillo, la idea bsica del anlisis de la varianza es comparar la variacin total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

Donde:es un nmero real relacionado con la varianza, que mide la variacin debida al "factor", "tratamiento" o tipo de situacin estudiado.es un nmero real relacionado con la varianza, que mide la variacin dentro de cada "factor", "tratamiento" o tipo de situacin.En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sean estadsticamente significativa puede probarse que las varianzas muestrales son iguales:

Donde:es el nmero de situaciones diferentes o valores del factor se estn comparando.es el nmero de mediciones en cada situacin se hacen o nmero de valores disponibles para cada valor del factor.As lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadsticamente significativo.Visin generalExisten tres clases conceptuales de estos modelos:1. El Modelo de efectos fijos asume que los datos provienen de poblaciones normales las cuales podran diferir nicamente en sus medias. (Modelo 1)2. El Modelo de efectos aleatorios asume que los datos describen una jerarqua de diferentes poblaciones cuyas diferencias quedan restringidas por la jerarqua. Ejemplo: El experimentador ha aprendido y ha considerado en el experimento slo tres de muchos ms mtodos posibles, el mtodo de enseanza es un factor aleatorio en el experimento. (Modelo 2)3. El Modelo de efectos mixtos describen situaciones que ste puede tomar. Ejemplo: Si el mtodo de enseanza es analizado como un factor que puede influir donde estn presentes ambos tipos de factores: fijos y aleatorios. (Modelo 3)Supuestos previosEl ANOVA parte de algunos supuestos que han de cumplirse: La variable dependiente debe medirse al menos a nivel de intervalo. Independencia de las observaciones. La distribucin de los residuales debe ser normal. Homocedasticidad: homogeneidad de las varianzas.La tcnica fundamental consiste en la separacin de la suma de cuadrados (SS, 'sum of squares') en componentes relativos a los factores contemplados en el modelo. Como ejemplo, mostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de factores en diferentes niveles. (Si los niveles son cuantitativos y los efectos son lineales, puede resultar apropiado un anlisis de regresin lineal)

El nmero de grados de libertad (gl) puede separarse de forma similar y corresponde con la forma en que la distribucin chi-cuadrado ( o Ji-cuadrada) describe la suma de cuadrados asociada.

Tipos de modeloModelo I: Efectos fijosEl modelo de efectos fijos de anlisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta slo a la media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribucin normal.Este modelo se supone cuando el investigador se interesa nicamente por los niveles del factor presentes en el experimento, por lo que cualquier variacin observada en las puntuaciones se deber al error experimental.Modelo II: Efectos aleatorios (componentes de varianza)Los modelos de efectos aleatorios se usan para describir situaciones en que ocurren diferencias incomparables en el material o grupo experimental. El ejemplo ms simple es el de estimar la media desconocida de una poblacin compuesta de individuos diferentes y en el que esas diferencias se mezclan con los errores del instrumento de medicin.Este modelo se supone cuando el investigador est interesado en una poblacin de niveles, tericamente infinitos, del factor de estudio, de los que nicamente una muestra al azar (t niveles) estn presentes en el experimento. Grados de libertadPruebas de significacinEl anlisis de varianza lleva a la realizacin de pruebas de significacin estadstica, usando la denominada distribucin F de Snedecor.Tablas ANOVAUna vez que se han calculado las sumas de cuadrados, las medias cuadrticas, los grados de libertad y la F, se procede a elaborar una tabla que reuna la informacin, denominada "Tabla de Anlisis de varianza o ANOVA", que adopta la siguiente forma:

Fuente de variacinSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrado medioF

Intergrupot - 1

Intragrupo o ErrorN - t

TotalN - 1

Concepto de modelo economtricoLa econometra, igual que la economa, tiene como objetivo explicar una variable en funcin de otras. Esto implica que el punto de partida para el anlisis economtrico es el modelo econmico y este se transformar en modelo economtrico cuando se han aadido las especificaciones necesarias para su aplicacin emprica. Es decir, cuando se han definido las variables (endgenas, exgenas) que explican y determinan el modelo, los parmetros estructurales que acompaan a las variables, las ecuaciones y su formulacin en forma matemtica, la perturbacin aleatoria que explica la parte no sistemtica del modelo, y los datos estadsticos.A partir del modelo economtrico especificado, en una segunda etapa se procede a la estimacin, fase estadstica que asigna valores numricos a los parmetros de las ecuaciones del modelo. Para ello se utilizan mtodos estadsticos como pueden ser: Mnimos cuadrados ordinarios, Mxima verosimilitud, Mnimos cuadrados bietpicos, etc. Al recibir los parmetros el valor numrico definen el concepto de estructura que ha de tener valor estable en el tiempo especificado.La tercera etapa en la elaboracin del modelo es la verificacin y contrastacin, donde se someten los parmetros y la variable aleatoria a unos contrastes estadsticos para cuantificar en trminos probabilsticos la validez del modelo estimado.La cuarta etapa consiste en la aplicacin del modelo conforme al objetivo del mismo. En general los modelos economtricos son tiles para:1. Anlisis estructural y entender como funciona la economa.2. Prediccin de los valores futuros de las variables econmicas.3. Simular con fines de planificacin distintas posibilidades de las variables exgenas.4. Simular con fines de control valores ptimos de variables instrumentales de poltica econmica y de empresa.El mtodo de mnimos cuadrados ordinarios (estimacin MCO)Tambin se conoce como teora de la regresin lineal, y estar ms desarrollado en la parte estadstica de la enciclopedia. No obstante, aqu se dar un resumen general sobre la aplicacin del mtodo de mnimos cuadrados.Se parte de representar las relaciones entre una variable econmica endgena y una o ms variables exgenas de forma lineal, de la siguiente manera:

"Y" es la variable endgena, cuyo valor es determinado por las exgenas, hasta . Cuales son las variables elegidas depende de la teora econmica que se tenga en mente, y tambin de anlisis estadsticos y econmicos previos. El objetivo buscado sera obtener los valores de los parmetros desde hasta . A menudo este modelo se suele completar aadiendo un trmino ms a la suma, llamado trmino independiente, que es un parmetro ms a buscar. As:.En el que es una constante, que tambin hay que averiguar. A veces resulta til, por motivos estadsticos, suponer que siempre hay una constante en el modelo, y contrastar la hiptesis de si es distinta, o no, de cero para reescribirlo de acuerdo con ello.Adems, se supone que esta relacin no es del todo determinista, esto es, existir siempre un cierto grado de error aleatorio (en realidad, se entiende que encubre a todas aquellas variables y factores que no se hayan podido incluir en el modelo) que se suele representar aadiendo a la suma una letra representa una variable aleatoria.As:

Se suele suponer que es una variable aleatoria normal, con media cero y varianza constante en todas las muestras (aunque sea desconocida).Se toma una muestra estadstica, que corresponda a observaciones de los valores que hayan tomado esas variables en distintos momentos del tiempo (o, dependiendo del tipo de modelo, los valores que hayan tomado en distintas reas o zonas o agentes econmicos a considerar).Por ejemplo, en un determinado modelo podemos estar interesados en averiguar como la renta ha dependido de los niveles de precios, de empleo y de tipos de inters a lo largo de los aos en cierto pas, mientras que en otro podemos estar interesados en ver como, a lo largo de un mismo ao, ha dependido la renta de distintos pases de esas mismas variables. Por lo que tendramos que observar, en el primer caso, la renta, niveles de empleo, precios y tipos de inters del ao 1, lo mismo, pero del ao 2, etctera, para obtener la muestra a lo largo de varios aos, mientras que en el segundo caso tendramos que tener en cuenta los valores de cada uno de los pases para obtener la muestra. Cada una de esas observaciones para cada ao, o pas, se llamara observacin muestral. Ntese que an se podra hacer un anlisis ms ambicioso teniendo en cuenta pas y ao.Una vez tomada la muestra, se aplica un mtodo, que tiene su justificacin matemtica y estadstica, llamado mtodo de mnimos cuadrados. Este consiste en, bsicamente, minimizar la suma de los errores (elevados al cuadrado) que se tendran, suponiendo distintos valores posibles para los parmetros, al estimar los valores de la variable endgena a partir de los de las variables exgenas en cada una de las observaciones muestrales, usando el modelo propuesto, y comparar esos valores con los que realmente tom la variable endgena. Los parmetros que lograran ese mnimo, el de las suma de los errores cuadrticos, se acepta que son los que estamos buscando, de acuerdo con criterios estadsticos.Tambin, este mtodo nos proporcionar informacin (en forma de ciertos valores estadsticos adicionales, que se obtienen adems de los parmetros) para ver en qu medida los valores de los parmetros que hemos obtenido resultan fiables, por ejemplo, para hacer contrastes de hiptesis, esto es, ver si ciertas suposiciones que se haban hecho acerca del modelo resultan, o no, ciertas. Se puede usar tambin esta informacin adicional para comprobar si se pueden prescindir de algunas de esas variables, para ver si es posible que los valores de los parmetros hayan cambiado con el tiempo (o si los valores de los parmetros son diferentes en una zona econmica de los de otra, por ejemplo), o para ver en qu grado son vlidas predicciones acerca del futuro valor de la variable endgena si se supone que las variables exgenas adoptarn nuevos valores.

2.2. El modelo de efectos fijos.

Anlisis de la varianza En estadstica, el anlisis de la varianza (ANOVA, ANalysis Of VAriance, segn terminologa inglesa) es una coleccin de modelos estadsticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza est particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas.Las tcnicas iniciales del anlisis de varianza fueron desarrolladas por el estadstico y genetista R. A. Fisher en los aos 1920 y 1930 y es algunas veces conocido como "Anova de Fisher" o "anlisis de varianza de Fisher", debido al uso de la distribucin F de Fisher como parte del contraste de hiptesis.

El anlisis de la varianza parte de los conceptos de regresin lineal.El primer concepto fundamental es que todo valor observado puede expresarse mediante la siguiente funcin:

Donde Y sera el valor observado (variable dependiente), y X el valor que toma la variable independiente.sera una constante que en la recta de regresin equivale a la ordenada en el origen, es otra constante que equivale a la pendiente de la recta, y es una variable aleatoria que aade a la funcin cierto error que desva la puntuacin observada de la puntuacin pronosticada.Por tanto, a la funcin de pronstico la podemos llamar "Y prima":

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, ms el error aleatorio:(1.1)Sabiendo este concepto, podemos operar con esta ecuacin de la siguiente forma:1) Restamos a ambos lados de la ecuacin (para mantener la igualdad) la media de la variable dependiente:

2) Substituimos el error por la ecuacin resultante de despejar la ecuacin 1.1:

Por tanto...

Y reorganizando la ecuacin:

Ahora hay que tener en cuenta que la media de las puntuaciones observadas es exactamente igual que la media de las puntuaciones pronosticadas:

Por tanto:

Podemos ver que nos han quedado 3 puntuaciones diferenciales. Ahora las elevamos al cuadrado para que posteriormente, al hacer el sumatorio, no se anulen:

Y desarrollamos el cuadrado:

Podemos ver que tenemos los numeradores de las varianzas, pero al no estar divididas por el nmero de casos (n), las llamamos Sumas de Cuadrados., excepto en el ltimo trmino, que es una Suma Cruzada de Cuadrados (el numerador de la covarianza), y la covarianza en este caso es cero (por las propiedades de la regresin lineal, la covarianza entre el error y la variable independiente es cero).Por tanto:

O lo mismo que:

de un factor, que es el caso ms sencillo, la idea bsica del anlisis de la varianza es comparar la variacin total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

Donde:es un nmero real relacionado con la varianza, que mide la variacin debida al "factor", "tratamiento" o tipo de situacin estudiado.es un nmero real relacionado con la varianza, que mide la variacin dentro de cada "factor", "tratamiento" o tipo de situacin.En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sean estadsticamente significativa puede probarse que las varianzas muestrales son iguales:

Donde:es el nmero de situaciones diferentes o valores del factor se estn comparando.es el nmero de mediciones en cada situacin se hacen o nmero de valores disponibles para cada valor del factor.As lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadsticamente significativo.Visin generalExisten tres clases conceptuales de estos modelos:4. El Modelo de efectos fijos asume que los datos provienen de poblaciones normales las cuales podran diferir nicamente en sus medias. (Modelo 1)5. El Modelo de efectos aleatorios asume que los datos describen una jerarqua de diferentes poblaciones cuyas diferencias quedan restringidas por la jerarqua. Ejemplo: El experimentador ha aprendido y ha considerado en el experimento slo tres de muchos ms mtodos posibles, el mtodo de enseanza es un factor aleatorio en el experimento. (Modelo 2)6. El Modelo de efectos mixtos describen situaciones que ste puede tomar. Ejemplo: Si el mtodo de enseanza es analizado como un factor que puede influir donde estn presentes ambos tipos de factores: fijos y aleatorios. (Modelo 3)Supuestos previosEl ANOVA parte de algunos supuestos que han de cumplirse: La variable dependiente debe medirse al menos a nivel de intervalo. Independencia de las observaciones. La distribucin de los residuales debe ser normal. Homocedasticidad: homogeneidad de las varianzas.La tcnica fundamental consiste en la separacin de la suma de cuadrados (SS, 'sum of squares') en componentes relativos a los factores contemplados en el modelo. Como ejemplo, mostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de factores en diferentes niveles. (Si los niveles son cuantitativos y los efectos son lineales, puede resultar apropiado un anlisis de regresin lineal)

El nmero de grados de libertad (gl) puede separarse de forma similar y corresponde con la forma en que la distribucin chi-cuadrado ( o Ji-cuadrada) describe la suma de cuadrados asociada.

Tipos de modeloModelo I: Efectos fijosEl modelo de efectos fijos de anlisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta slo a la media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribucin normal.Este modelo se supone cuando el investigador se interesa nicamente por los niveles del factor presentes en el experimento, por lo que cualquier variacin observada en las puntuaciones se deber al error experimental.Modelo II: Efectos aleatorios (componentes de varianza)Los modelos de efectos aleatorios se usan para describir situaciones en que ocurren diferencias incomparables en el material o grupo experimental. El ejemplo ms simple es el de estimar la media desconocida de una poblacin compuesta de individuos diferentes y en el que esas diferencias se mezclan con los errores del instrumento de medicin.Este modelo se supone cuando el investigador est interesado en una poblacin de niveles, tericamente infinitos, del factor de estudio, de los que nicamente una muestra al azar (t niveles) estn presentes en el experimento. Grados de libertadPruebas de significacinEl anlisis de varianza lleva a la realizacin de pruebas de significacin estadstica, usando la denominada distribucin F de Snedecor.Tablas ANOVAUna vez que se han calculado las sumas de cuadrados, las medias cuadrticas, los grados de libertad y la F, se procede a elaborar una tabla que reuna la informacin, denominada "Tabla de Anlisis de varianza o ANOVA", que adopta la siguiente forma:

Fuente de variacinSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrado medioF

Intergrupot - 1

Intragrupo o ErrorN - t

TotalN - 1

Concepto de modelo economtricoLa econometra, igual que la economa, tiene como objetivo explicar una variable en funcin de otras. Esto implica que el punto de partida para el anlisis economtrico es el modelo econmico y este se transformar en modelo economtrico cuando se han aadido las especificaciones necesarias para su aplicacin emprica. Es decir, cuando se han definido las variables (endgenas, exgenas) que explican y determinan el modelo, los parmetros estructurales que acompaan a las variables, las ecuaciones y su formulacin en forma matemtica, la perturbacin aleatoria que explica la parte no sistemtica del modelo, y los datos estadsticos.A partir del modelo economtrico especificado, en una segunda etapa se procede a la estimacin, fase estadstica que asigna valores numricos a los parmetros de las ecuaciones del modelo. Para ello se utilizan mtodos estadsticos como pueden ser: Mnimos cuadrados ordinarios, Mxima verosimilitud, Mnimos cuadrados bietpicos, etc. Al recibir los parmetros el valor numrico definen el concepto de estructura que ha de tener valor estable en el tiempo especificado.La tercera etapa en la elaboracin del modelo es la verificacin y contrastacin, donde se someten los parmetros y la variable aleatoria a unos contrastes estadsticos para cuantificar en trminos probabilsticos la validez del modelo estimado.La cuarta etapa consiste en la aplicacin del modelo conforme al objetivo del mismo. En general los modelos economtricos son tiles para:5. Anlisis estructural y entender como funciona la economa.6. Prediccin de los valores futuros de las variables econmicas.7. Simular con fines de planificacin distintas posibilidades de las variables exgenas.8. Simular con fines de control valores ptimos de variables instrumentales de poltica econmica y de empresa.El mtodo de mnimos cuadrados ordinarios (estimacin MCO)Tambin se conoce como teora de la regresin lineal, y estar ms desarrollado en la parte estadstica de la enciclopedia. No obstante, aqu se dar un resumen general sobre la aplicacin del mtodo de mnimos cuadrados.Se parte de representar las relaciones entre una variable econmica endgena y una o ms variables exgenas de forma lineal, de la siguiente manera:

"Y" es la variable endgena, cuyo valor es determinado por las exgenas, hasta . Cuales son las variables elegidas depende de la teora econmica que se tenga en mente, y tambin de anlisis estadsticos y econmicos previos. El objetivo buscado sera obtener los valores de los parmetros desde hasta . A menudo este modelo se suele completar aadiendo un trmino ms a la suma, llamado trmino independiente, que es un parmetro ms a buscar. As:.En el que es una constante, que tambin hay que averiguar. A veces resulta til, por motivos estadsticos, suponer que siempre hay una constante en el modelo, y contrastar la hiptesis de si es distinta, o no, de cero para reescribirlo de acuerdo con ello.Adems, se supone que esta relacin no es del todo determinista, esto es, existir siempre un cierto grado de error aleatorio (en realidad, se entiende que encubre a todas aquellas variables y factores que no se hayan podido incluir en el modelo) que se suele representar aadiendo a la suma una letra representa una variable aleatoria.As:

Se suele suponer que es una variable aleatoria normal, con media cero y varianza constante en todas las muestras (aunque sea desconocida).Se toma una muestra estadstica, que corresponda a observaciones de los valores que hayan tomado esas variables en distintos momentos del tiempo (o, dependiendo del tipo de modelo, los valores que hayan tomado en distintas reas o zonas o agentes econmicos a considerar).Por ejemplo, en un determinado modelo podemos estar interesados en averiguar como la renta ha dependido de los niveles de precios, de empleo y de tipos de inters a lo largo de los aos en cierto pas, mientras que en otro podemos estar interesados en ver como, a lo largo de un mismo ao, ha dependido la renta de distintos pases de esas mismas variables. Por lo que tendramos que observar, en el primer caso, la renta, niveles de empleo, precios y tipos de inters del ao 1, lo mismo, pero del ao 2, etctera, para obtener la muestra a lo largo de varios aos, mientras que en el segundo caso tendramos que tener en cuenta los valores de cada uno de los pases para obtener la muestra. Cada una de esas observaciones para cada ao, o pas, se llamara observacin muestral. Ntese que an se podra hacer un anlisis ms ambicioso teniendo en cuenta pas y ao.Una vez tomada la muestra, se aplica un mtodo, que tiene su justificacin matemtica y estadstica, llamado mtodo de mnimos cuadrados. Este consiste en, bsicamente, minimizar la suma de los errores (elevados al cuadrado) que se tendran, suponiendo distintos valores posibles para los parmetros, al estimar los valores de la variable endgena a partir de los de las variables exgenas en cada una de las observaciones muestrales, usando el modelo propuesto, y comparar esos valores con los que realmente tom la variable endgena. Los parmetros que lograran ese mnimo, el de las suma de los errores cuadrticos, se acepta que son los que estamos buscando, de acuerdo con criterios estadsticos.Tambin, este mtodo nos proporcionar informacin (en forma de ciertos valores estadsticos adicionales, que se obtienen adems de los parmetros) para ver en qu medida los valores de los parmetros que hemos obtenido resultan fiables, por ejemplo, para hacer contrastes de hiptesis, esto es, ver si ciertas suposiciones que se haban hecho acerca del modelo resultan, o no, ciertas. Se puede usar tambin esta informacin adicional para comprobar si se pueden prescindir de algunas de esas variables, para ver si es posible que los valores de los parmetros hayan cambiado con el tiempo (o si los valores de los parmetros son diferentes en una zona econmica de los de otra, por ejemplo), o para ver en qu grado son vlidas predicciones acerca del futuro valor de la variable endgena si se supone que las variables exgenas adoptarn nuevos valores.

2.4. Comparaciones o Pruebas de Rangos Mltiples

COMPARACIONES MLTIPLES

Con las pruebas F empleadas se demostraba si las diferencias entre varias medias eran significativas, pero no informaban si una media en particular (o medias) difieren en forma significativa de otra media considerada (o grupo de medias). En el caso de los pesos de los recubrimientos puede ser importante que los laboratorios difieran unos de los otros.Si un experimentador tiene ante s k medias, parece razonable probar entre todos los pares posibles, esto es efectuar k.(k-1)/2 pruebas t bimuestrales. Esto no es eficiente. Para ello se utilizan Pruebas de Comparaciones Mltiples, y entre ellas la Prueba del Rango Mltiple de Duncan.Las suposiciones bsicas son, en esencia, las del anlisis de la varianza en una dimensin para tamaos muestrales iguales.La prueba compara el Rango de Mnima Significancia, Rp, dado por:

aqu es una estimacin de:

y puede calcularse como:

donde MSE es la media de los cuadrados de error en el Anlisis de Varianza. El valor de rp depende del valor deseado de significancia y del nmero de grados de Libertad correspondiente a la MSE, que se obtienen de tablas existentes en la bibliografa (Miller y Freund, Estadstica para Ingenieros, tablas 12a, para =0.05 y 12b, para =0.01, con p=2,3,,10 y para varios grados de libertad entre 1 y 120).

Ejemplo: Con respecto a los datos de los pesos de los recubrimientos de estao, aplicar la prueba del Rango Mltiple de Duncan para probar cules medias de los laboratorios difieren de las otras empleando un nivel de significancia de 0.05.

Para ello se ordenan, en orden creciente, las cuatro medias muestrales:

LaboratorioBCDA

Media0.2270.2300.2500.268

luego, se calcula usando MSE = 0.0015 del Anlisis de Varianza:

siendo el nmero de grados de libertad = k.(n-1) = 44. Por interpolacin, en la Tabla 12-a, se obtienen los valores de rp:

p234

rp2.853.003.09

multiplicando rp por = 0.011:

P234

Rp0.0310.0330.034

El rango de las cuatro medias es 0.268 0.227 = 0.041, que excede a R4 = 0.034, que es el rango significativo mnimo.Esto era de esperar, porque la prueba F indic que las diferencias entre las cuatro medias eran significativas con a = 0.05. Para probar que hay diferencias significativas entre tres medias adyacentes, se obtienen los rangos de 0.038 y 0.023 respectivamente para 0.230, 0.250, 0.268 y 0.227, 0.230, 0.250. Puesto que el primero de estos valores sobrepasa a R3 = 0.033, las diferencias correspondientes no son significativas.Por ltimo en el caso de parejas adyacentes de medias, ningn par adyacente tiene rango mayor que el rango significativo mnimo R2 = 0.031. Esto se resume:

donde se ha dibujado una lnea bajo cualquier conjunto de medias adyacentes para las cuales el rango es menor que un valor correspondiente de Rp , esto es, bajo cualquier conjunto de medias adyacentes, para las cuales las diferencias no son significativas.Se concluye as que el Laboratorio A obtiene los pesos medios de recubrimiento ms alto que los Laboratorios B y C.

2.5. Verificacin Supuestos del Modelo

Para estimar los parmetros , 1, 2, 3 y 4 se puede emplear mnimos cuadrados minimizando:

con respecto a y a las i , sujetas a la restriccin

Esto se puede hacer por el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange. Derivando la penltima expresin respecto de e igualando a cero:

para un i dado:

Ejemplo: Estimar los parmetros del modelo con un criterio de clasificacin para los revestimientos de estao del ejemplo anterior.

2.5.1. Eleccin del Tamao de Muestra

TAMAOS MUESTRALES DISTINTOS

El Anlisis de Varianza descrito, se aplica a criterios de clasificacin en que cada muestra tiene el mismo nmero de observaciones. Si no es as, y los tamaos muestrales son n1, n2, , nk se tiene que sustituir N = ni por n.k en todo lo anterior, quedando el siguiente esquema de partida:

Medias

Muestra 1y11y12y1j.

Muestra 2y21y22y2j

.

Muestra iyi1yi2yij

.

Muestra kyk1yk2ykj

Se obtiene la varianza dentro de la muestra:

y

la varianza de las k medias muestrales es:

y

con lo cual se determina:

La varianza muestral de las N observaciones est dada por:

se puede demostrar que:

SST = SSE + SS(Tr)

Con:

siendo:

Problema: El contenido de aflatoxina, en partes por milln, de algunas muestras de crema de man se prueba y se consiguen los siguientes resultados:

Total

Marca A0.50.03.21.40.01.08.62.917.6

Marca B4.76.20.010.52.10.824.3

Total41.9

a) Emplear Anlisis de Varianza para probar si las dos marcas difieren en contenido de aflatoxina, con un nivel de significancia a=0.05.b) Probar la misma hiptesis usando la prueba t-bimuestral.

Respuesta:a)

SSE = SST SS(Tr) = 146.25 11.74 = 134.51

Fuentes de Variacin Grados de LibertadSuma de CuadradosMedia CuadradaF

Tratamientos111.7411.741.05

Error12134.5111.21

Total13146.25

Dado que 1.05 < 4.75 (valor de F, de Tablas, con =0.05, =1 y =12) se rechaza la Hiptesis de que las dos marcas difieren en el contenido de aflatoxina.

b) El estadstico para esta prueba es:

siendo t0.025= -2.18 con = n1 + n2 2 = 8 + 6 - 2=12 grados de libertad, se aprecia que t > t0.025 por lo tanto se rechaza la Hiptesis de que las dos marcas difieren en el contenido de aflatoxina.Puede comprobarse que el estadstico t con grados de libertad y el estadstico F con grados de libertad estn relacionados por:

F(1,t

lo se puede verificar para este caso:

2.6. Uso de un software estadsticoEjemplo completo: