Distribuciones discretas de Probabilidad

Universidad Andina del Cusco Escuela de Posgrado MAESTRA EN ESTADISTICA ESTADSTICA INFERENCIALMg. Ysabel Adriazola Cruz

1DISTRIBUCIONES MUESTRALESMUESTRA ALEATORIA ESTADSTICO

Un estadstico es una funcin real de la muestra aleatoria X1, X2, , Xn, es decir: T=t(X1, X2, , Xn), el cual no contiene parmetros desconocidos. ESTADSTICOS

DISTRIBUCIN MUESTRAL1. DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS

La distribucin de la media muestral es una de las distribuciones ms importantes, esta permite realizar inferencias relacionadas a las medias poblacionales, a travs de:

POBLACINMuestras de tamao n...X ~ N(, )

Muestra 1Muestra 2Muestra k

......

Para aspectos prcticos slo una muestra es utilizada para realizar las inferencias

DISTRIBUCIN DE LA MEDIA MUESTRAL Teorema:Si X1, X2,,Xn, es una muestra aleatoria seleccionada con reemplazo o sin reemplazo, desde una poblacin cualquiera con media poblacional , entonces:

DISTRIBUCIN DE LA MEDIA MUESTRAL DISTRIBUCIN DE LA MEDIA MUESTRAL Distribucin de la media muestral Caso I: 2 conocidaSi la poblacin desde la cual se selecciona la muestra aleatoria X1,X2,,Xn, tiene distribucin N(,2), entonces:

Teorema:Dada una poblacin cualquiera y X una v.a., tal que E(X) =, V(X)=2, y sea X1,,Xn, una muestra aleatoria seleccionada desde la poblacin en estudio.Si la poblacin es infinita o finita y el muestreo es con reemplazo entonces la varianza de la media muestral es:

b) Si la poblacin es finita de tamao N y el muestreo es sin reemplazo, entonces la varianza de la media muestral es: :

Caso 2: 2 desconocida Si la poblacin desde la cual se selecciona la m.a. X1, X2,,Xn, se distribuye normalmente con media y varianza desconocida, entonces:

Caso 3 :Teorema del Lmite Central (TLC):Si X1, X2,, Xn, es una muestra aleatoria de tamao n, n>30, seleccionada desde una poblacin con media y varianza 2, entonces la distribucin de la media muestral es:

Propiedad:

En todos los casos de la distribucin de la media muestral, si se conoce el tamao de la poblacin, N, se multiplica a la varianza por el factor de correccin por poblacin finita dado por:

DISTRIBUCIN DE LA PROPORCIN MUESTRAL2.Distribucin de la proporcin muestral: p Consideremos una variable aleatoria X tal que:

y = P(X = 1)

Sea X1, X2,, Xn, una m.a. seleccionada desde la poblacin en estudio, entonces se define p, la proporcin muestral, como:

Esta sera la proporcin de elementos en la muestra que presentan la caracterstica de inters en estudio.

DISTRIBUCIN DE LA VARIANZA MUESTRAL3. Distribucin de la varianza muestral: S2

Consideremos que X1,X2,,Xn, es una muestra aleatoria seleccionada de una poblacin con distribucin normal con media y varianza 2. La distribucin de la varianza muestral no es obtenida directamente, lo que se tiene es la distribucin de una funcin de la varianza muestral. Es decir:

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CASO 1CASO 2CASO 3

DISTRIBUCIONES MUESTRALES:DOS ESTIMADORES

Se tiene dos poblaciones y como en el caso de una proporcin, existe una caracterstica de inters en los elementos de las poblaciones, de manera que si el elemento presenta la caracterstica, la variable toma el valor 1, en caso contrario el valor 0. I. Distribucin de la diferencia de proporciones muestrales: p1-p2

II. Distribucin del cociente de varianzas muestrales: S12 /S22La distribucin del cociente de las varianzas muestrales est dada por:

Se puede observar que si la varianza de la poblacin 1 es igual a la varianza de la poblacin 2 ( ) entonces:

DISTRIBUCIONES MUESTRALES:DOS ESTIMADORESDistribucin de la diferencia de medias muestrales:

Distribucin de la diferencia de medias muestrales: Se tiene dos poblaciones normales independientes, con medias 1 y 2, y varianzas 12 y 22. Desde cada poblacin se selecciona una muestra aleatoria de tamao n1 y n2 respectivamente.

Caso I: Varianzas poblacionales conocidas.La diferencia de las medias muestrales tiene la siguiente distribucin:

Caso II: Varianzas poblacionales desconocidas pero iguales. En este caso la distribucin de las diferencias de las medias muestrales est dada por:

Caso III: Varianzas poblacionales desconocidas y diferentes. La distribucin de la diferencia de las medias muestrales est dada por: