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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE GERENCIA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN

Tema No. 4 Análisis de Sensibilidad

Algunas Aplicaciones Computacionales en la Investigación de Operaciones

Aplicación computacional del software Denis & Denis para la

resolución del problema Protac Inc.

Protac Inc. Produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas

de productos (llamada equipo de remoción de escombros) se destina

esencialmente a las aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada

equipos forestales) está destinada a la industria maderera. El miembro más

grande de la línea de equipos para remover escombros (el E-9) y el mimbro

mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo

departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones

económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de Protac

juzga que durante ese periodo será posible vender todos los E-9 y F-9 que

la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una

cedula de producción para el próximo mes. Es decir ¿Cuántos E-9s y F-9s

deben producirse?

Consideraciones Principales

1. Protac tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda y

$4000 por cada F-9.

2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el

departamento A como en el departamento B.

3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen

disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10

horas de operación mecánica en el departamento A y 20 horas en el

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departamento B, mientras que cada F-9 consume 15 horas en el

departamento A y 10 horas en el departamento B.

DEPARTAMENTO HORAS

Para los E-9 Para los F-9 Total disponible

A 10 15 150

B 20 10 160

Datos de la programación de máquinas

Protac.

4. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de

horas de trabajo que se dedicaran a la comprobación del acabado de

los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en

10% a una meta establecida de 150 horas. Esta comprobación se

realiza en un tercer departamento que no tiene relación de las

actividades del departamento A y B. Cada E-9 requiere 30 horas de

comprobación y cada F-9 10. Puesto que el 10% de 150 es 15, el

total de horas de trabajo destinadas a la comprobación no puede ser

de menos de 135.

1 E-9 1 F-9

REQUERIMIENTO EN TOTAL DE HORAS

Horas para comprobación

30 10 135

Datos de la comprobación Protac.

5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado la alta

gerencia ha decretado que para la política de operaciones es

necesario construir al menos un F-9 por cada 3 E-9s.

6. Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo menos cinco

aparatos (en cualquier combinación de E-9s y F-9s) para el próximo

mes, así que por lo menos debe producirse esa cantidad.

Max 5000E + 4000F

3

S.a:

E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción)

E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado)

10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A)

20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B)

30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo)

E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)

Solución del problema con el programa computacional

1. En el software Denis & Denis seleccionar la opción START.

2. Seleccionar la opción LINEAR PROGRAMMING

4

3. Se selecciona el método para la solución del problema, para este caso

en particular el método GRAPHIC

4. Se selecciona el método de entrada de datos TABULAR ENTRY

5

5. Se selecciona el tipo de problema, bien sea, maximizar o minimizar

(MAX/MIN). Para efectos del problema se escoge MAX.

6. Luego de haber seleccionado MAX se muestra una ventana en donde

solicitan el número de restricciones

6

7. Se muestra una ventana en la cual pide los coeficientes de las

restricciones y los operadores (<,=,>)

8. Luego de haber llenado la tabla se presiona F10 para que el

programa computacional acepte las entradas de valores, y se

mostrará la gráfica.

7

9. Luego en el menú se selecciona la opción F4 donde muestra la región

factible.

10.Luego escoge la opción F5 para mostrar los puntos de la función.

8

11.Luego escoge la opción F6 donde muestra punto de la solución

óptima.

12.Luego presiona F10 en donde muestra un menú en donde se elige la

opción LIST SOLUTION VALUES.

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Solver es un paquete agregado para Excel que optimiza

numéricamente los modelos sujetos a restricciones, como los

modelos de PL. Solver emplea una técnica llamada algoritmo

matemático de programación, con la cual encuentra las decisiones

óptimas para un modelo determinado en una hoja de cálculo. Los

algoritmos son sencillamente rutinas escritas en código de

computadora que aplican en forma iterativa una receta, con la cual

logran hallar las decisiones óptimas. Para la PL, Solver usa un

algoritmo de optimización muy eficiente (que solo trabaja con

modelos de PL) llamado método Simplex.

Como se usa Solver

El paquete suplementario Solver consiste

esencialmente en dos programas. El primero es un programa de

Visual Basic para Excel que traduce el modelo de la hoja de cálculo en

una representación interna utilizada por el segundo programa. El

segundo programa, que reside en la memoria como modulo de

software independiente, fuera de Excel, realiza la optimización y

devuelve la solución al primero, para que actualice la hoja de cálculo.

Recomendaciones para

diseñar un modelo de PL en

una hoja de cálculo

electrónica

Instructivo para la Resolucion del

Problema Protac Inc. con la

aplicación de SOLVER

10

� Cada variable de decisión se asigna a una columna por

separado y cada restricción a una fila individual de la hoja de

cálculo.

� Las variables de decisión se agrupan en un bloque contiguo

de columnas y, excepto para los rótulos opcionales, las

restricciones se agrupan en un bloque contiguo de filas.

� Cada celda de variable de decisión y también la celda de la

función objetivo tienen un rotulo en la parte superior de su

respectiva columna, y cada restricción tiene a su vez un

rotulo en la celda del extremo izquierdo de su respectiva fila.

(No divida un rotulo escribiendo las distintas partes del

mismo en varias celdas. Si el rotulo no cabe en una sola

celda, amplíe la celda o utilice la opción “Ajustar texto” bajo

la ficha Alineación en el menú Formato de Celdas, para

expandir verticalmente las dimensiones de dicha celda)

� Los coeficientes de retribución unitaria (por ejemplo, el

margen de contribución o el costo) están contenidos en una

fila de celdas independientes, justamente arriba o debajo de

sus respectivas variables de decisión, y la formula de la

función objetivo aparece en una celda de la misma fila.

� A las celdas de variables de decisión y a la celda de función

objetivo (retribución) se les da formato con bordes y/o

sombrados, para hacer más clara la lectura

� Para cada restricción, el coeficiente que corresponde a una

variables de decisión determinada se introduce como

información en la celda que se encuentra en la intersección

de la columna donde esta dicha variable y la fila donde se

encuentra la restricción.

� A continuación de los coeficientes, en cada fila de

restricciones, se incluye una celda que calcula la función de

restricción (totales del lado izquierdo, LI), seguida por una

celda que indica la dirección de desigualdad, y después por

la celda que contiene la condición del lado derecho (LD).

Opcionalmente se puede incluir una formula de celda de

“holgura” para contener la diferencia entre las cifras del LI y

el LD, calculadas de manera que el valor de la celda sea no

negativo siempre que se cumpla la restricción.

La celda de holgura es = LD – LI para las restricciones ≤

(por limitación) y la celda de holgura es = LI – LD para las

restricciones ≥ (por requerimiento).

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� En caso de las filas de restricción, las celdas del lado derecho

deben contener constantes o formulas en las q no

intervengan las variables de decisión. Para evitar problemas

posteriores durante la interpretación del informe de Solver,

cualquier fórmula del lado derecho de una restricción que

esté relacionada directa o indirectamente con las variables

de decisión deberá moverse en forma algebraica al lado

izquierdo de dicha restricción.

� No emplee SI(), ABS(), MAX(), MIN() y demás funciones, o

alguna otra función no lineal, dentro de las celdas que use

para la formulación de su modelo de PL. Tales funciones son

aceptables en las demás celdas de la hoja de cálculo, pero

solo si su evaluación no puede afectar directa o

indirectamente el cálculo de la celda de la función objetivo

durante el proceso de optimización de Solver, en el cual se

ensaya con valores de decisión alternativos.

� La inclusión de cualquier restricción de no negatividad para

las variables de decisión en la hoja de cálculo misma es

opcional y por lo común se omite, pues se prefiere

especificarla directamente en el cuadro de dialogo de Solver.

La forma preferible de generar un modelo de PL sin errores consiste

en dividir el proceso en dos etapas:

1. Escriba y depure el modelo simbólico de PL: Describa su

modelo en una hoja de papel, como un PL simbólico. Depúrelo,

es decir, examine su formulación escrita y busque posibles

errores en la lógica de la formulación.

2. Traduzca y depure la representación del modelo

simbólico de PL en la hoja de cálculo: Use el modelo

simbólico de PL como guía para crear la representación en la

hoja de cálculo. Después continúe depurando la representación

del modelo en la hoja de cálculo, ensayando los distintos

grupos de valores candidatos para las variables de decisión, a

fin de comprobar si se producen errores obvios (violación de

restricciones en el caso de decisiones que se sabe son factibles,

valores sin sentido en el LI o en las celdas de medición del

desempeño, etc.)

A continuación intente optimizarlo con Solver. Un modelo mal

formulado con frecuencia disparara un mensaje de error de Solver.

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Ahora debe depurar de nuevo su trabajo, posiblemente regresando

el paso 1.

El modelo simbólico del paso 1 es útil para propósitos de

documentación y le permite “ver” el modelo completo antes de

abordar todos los detalles de sus representaciones la hoja de

cálculo. Las formulas introducidas en las hojas de cálculo

frecuentemente son un mal sustituto de esta perspectiva global

del modelo de PL y de cómo se relaciona este con la situación real

original.

Análisis de caso

Protac Inc. Produce dos líneas de equipo pesado. Una

de estas líneas de productos (llamada equipo de

remoción de escombros) se destina esencialmente a las aplicaciones

de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está

destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea

de equipos para remover escombros (el E-9) y el mimbro mayor de la

línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo

departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las

predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de

mercadotecnia de Protac juzga que durante ese periodo será posible

vender todos los E-9 y F-9 que la empresa pueda producir. La

administración debe ahora recomendar una cedula de producción

para el próximo mes. Es decir ¿Cuántos E-9s y F-9s deben

producirse?

CONSIDERACIONES PRINCIPALES

7. Protac tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda

y $4000 por cada F-9.

8. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el

departamento A como en el departamento B.

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9. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos

tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9

consume 10 horas de operación mecánica en el departamento A

y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9

consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el

departamento B.

Departamento Para los

E-9

Para los

F-9

Total

Disponible

A 10 15 150

B 20 10 160

10. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato,

el total de horas de trabajo que se dedicaran a la comprobación

del acabado de los productos terminados del próximo mes no

puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas.

Esta comprobación se realiza en un tercer departamento que no

tiene relación de las actividades del departamento A y B. Cada

E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada F-9 10. Puesto

que el 10% de 150 es 15, el total de horas de trabajo

destinadas a la comprobación no puede ser de menos de 135.

1 E-9 1 F-9 Requerimientos

en total de

horas

Horas para

comprobación

30 10 135

11. Con el objeto de mantener su posición actual en el

mercado la alta gerencia ha decretado que para la política de

operaciones es necesario construir al menos un F-9 por cada 3

E-9s.

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12. Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo

menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9s y F-

9s) para el próximo mes, así que por lo menos debe producirse

esa cantidad.

Max 5000E + 4000F

S.a:

E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción)

E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado)

10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A)

20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B)

30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo)

E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)

PASOS

1. Arranque Excel y ejecute normalmente las operaciones de

construcción del modelo. Usted puede desarrollar su modelo

Excel, efectuar análisis de ¿Qué pasaría si? Y de depuración e

imprimir los resultados en la forma habitual.

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2. Una vez desarrollado y depurado el modelo (y guardado en

disco), optimícelo eligiendo el comando “Solver” del menú

herramientas de Excel o en la ficha Datos en Excel 2007.

Se optimiza eligiendo el comando “Solver” del menú herramientas de

Excel o en la ficha Datos en Excel 2007.

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3. El programa complementario Solver y su modelo de

optimización e cargaran en la memoria. Al terminar el proceso

de carga, Solver presente un cuadro de dialogo en el cual

solicita información para el proceso de optimización.

El tipo de información requerida por lo general es la cantidad y el tipo

de restricciones presentes en el modelo.

Las especificaciones para el modelo PROTAC para Solver deberán

tener ahora el aspecto que se muestra en la figura anterior. Aunque

es este caso no se necesita, los botones de restricción “cambiar” y

“eliminar”, que aparecen bajo el botón “Agregar” en el cuadro de

dialogo Parámetros de Solver, funcionan de manera parecida a

“Agregar”. En primer lugar, resalte la restricción que desea cambiar o

eliminar y haga clic en cualquiera de estos botones.

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Si se desea reordenar varias filas de restricciones contiguas, con el

fin de reagrupar las que sean del mismo tipo de desigualdad, es decir

todas las que son “<= o >=”, puede indicarlas todas al mismo tiempo

por medio de intervalos de celdas. De otra manera, tendrá que

ingresar las restricciones una por una, haciendo clic cada vez en el

botón “agregar” del cuadro de dialogo Agregar Restricción.

4. Después de especificar ciertos detalles de reorganización, como

la celda que contiene la formula de la función objetivo por

optimizar, y las celdas con las variables de decisión, haga clic

en el botón “Resolver” del cuadro de dialogo.

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Si no se ha equivocado hasta ahora, al cabo de un par de

segundos deberá presentarse el cuadro de dialogo de

Resultados de Solver con un mensaje de terminación.

Asegúrese de leer las declaraciones que a parecen en la parte

superior del cuadro de dialogo. Es posible que Solver termine

sin haber encontrado el valor óptimo.

Entonces, Solver traducirá su modelo e iniciara el proceso de

optimización. Cuando se trata de modelos pequeños de PL, este

proceso tarda algunos segundos; con modelos grandes tarda varios

minutos o más.

5. Suponiendo que no haya errores en el modelo de PL de su hoja

de cálculo, Solver le presentara un cuadro de dialogo de

Resultados en el que usted podrá solicitar informes y ordenar

que Solver actualice las celdas de decisión de su modelo

original con los valores óptimos. Solver crea cada uno de los

informes solicitados en una hoja electrónica de cálculo nueva,

que puede usted guardar o imprimir.

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6. Ahora ya está usted listo para continuar con las proyecciones

“¿Qué pasaría si?” para, por ejemplo, llevar a cabo diversos

análisis de sensibilidad en la región vecina a las decisiones

optimas.

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Guarde el modelo final y salga de Excel

Inicie Excel

Construya o abra su modelo de optimización

Seleccione “Solver…” en la ficha “Datos”

Especifique, dentro del cuadro de

dialogo de Solver:

1. La celda que va a optimizar

2. Las celdas cambiantes

3. Las restricciones

Haga clic en el botón “Resolver” para que principie la optimización

Lea atentamente el mensaje de

Solver “Solver…” en la ficha

Haga clic en “Utilizar la solución de

Solver” y a continuación en el botón

“Aceptar”

Si

Si

No

No

¡Grabe su libro!

Modifique el

modelo

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INSTRUCTIVO PARA LA RESOLUCION DE EJERCICIOS DE

PROGRAMACION LINEAL ENTERA USANDO EL SOFTWARE

DENNIS & DENNIS.

Considérese el siguiente problema:

Protac Inc. Produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas

de productos (llamada equipo de remoción de escombros) se destina

esencialmente a las aplicaciones de construcción. La otra línea

(llamada equipos forestales) está destinada a la industria maderera.

El miembro más grande de la línea de equipos para remover

escombros (el E-9) y el mimbro mayor de la línea de equipos

forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el

mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el

próximo mes, el gerente de mercadotecnia de Protac juzga que

durante ese periodo será posible vender todos los E-9 y F-9 que la

empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar

una cedula de producción para el próximo mes. Es decir ¿Cuántos E-

9s y F-9s deben producirse?

Maximizar 18E + 6F

Sujeto a E + F ≥ 5 (1)

42.8E + 100F ≤ 800 (2)

20E + 6F ≤ 142 (3)

30E + 10F ≥ 132 (4)

E – 3F ≤ 0 (5)

E y F ≥ enteros

Las restricciones:

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(1) refleja una necesidad para cumplir un compromiso previo. (2) y (3) son limitaciones del tiempo de producción de los

departamentos A y B respectivamente.

(4) representa en parte un acuerdo sindical.

(5) se impone debido a un criterio del administrador relativo a la adecuación de la producción mixta.

En el análisis, E es el numero de los E-9 y F el de los F-9 que la empresa Protrac que produce equipo pesado para la construcción.

PARA RESOLVERLO SE SIGUEN LOS SIGUIENTES PASOS

PASO N. 1:

Acceder a la carpeta Investigación de Operaciones.

PASO N. 2:

Click en la opción START

23

PASO N. 3:

Luego de acceder a START

PASO N. 4:

Con las flechas direccionales bajar y seleccionar la segunda opción

INTEGER PROGRAMMING. Cabe destacar que cada una de las

operaciones se realizan con las teclas direccionales.

24

PASO N. 5:

Seleccionar la segunda opción TABULAR ENTRY

PASO N. 6:

Seleccionar ALL INTEGER

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PASO N. 7:

Acto seguido se observara la siguiente ventana

Dependiendo del tipo de la funcion objetivo si es maximizar o minizar

se escoge la adecuada. En este caso como mostramos al inicio se

trata de maximizar (MAX)

PASO N. 8:

Se pedira ingresar el numero de variables, en este caso dos (2).

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Luego de ingresar las variables el sistema se solicita la cantidad de

restricciones, cinco (5) en este problema.

PASO N. 9:

Se teclea enter y se visualiza el siguiente cuadro:

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En la parte superior izquierda se puede observar la palabra “OF”

seguida a la derecha de un rectángulo sombreado que es donde se

introducirán las variables, 18E y 6F.

Luego donde en la opción variable se procede a escribir las

restricciones cambiando X1 y X2 por E y F respectivamente.

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Una vez de haber introducido los valores se procede a darle F10 para

que el programa corra.

PASO N. 10:

Al hacer click en F10 se visualiza la siguiente ventana

Se muestran dos (2) opciones, hacer click en “FINAL SOLUTION”

29

Y aparece el cuadro con la solución optima del problema.

Para finalizar de presiona la tecla “ENTER” y se visualiza el cuadro

siguiente:

30

Presionar la opción “QUIT AND EXIT DOS” y se finaliza la operación.

INSTRUCTIVO PARA LA RESOLUCION DE EJERCICIOS DE

PROGRAMACION LINEAL ENTERA USANDO EL SOFTWARE

LINDO 6.1

Considérese el siguiente problema:

Una empresa manufacturera elabora tres componentes: 1, 2 y 3 para

vender a compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en

dos máquinas A y B. La máquina A está disponible por 120 horas y la

máquina B está disponible por 110 horas. No más de 200 unidades de

componente 3 podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades de cada uno

de los otros dos componentes pueden ser vendidas. De hecho, la empresa

tiene ya órdenes de 600 unidades de componente 1 que deben ser

satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1, 2 y 3 son

de Bs. 8, 6 y 9 respectivamente. Los tiempos en minutos necesarios para

elaborar cada componente en cada máquina son:

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Max = 8C1+6C2+9C3 Función Objetivo de beneficios

Sujeto a:

6C1+ 4C2+ 4C3 ≤ 7200 Minutos disponibles en la máquina 1

4C1+ 5C2+ 2C3 ≤6600 Minutos disponibles en la máquina 2

C3 ≤ 200 Cantidad de componente 1 a fabricar

C1 ≤ 1000 Cantidad de componente 1 a fabricar

C2 ≤1000 Cantidad de componente 1 a fabricar

C1 ≥600 Cantidad de componente 1 a fabricar

Paso Nº1

Acceder al software Lindo 6.1

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Paso Nº2

Copiar el ejercicio en la hoja en blanco, sustituir “sujeto a” por “subject to”

y al terminar de copiar las restricciones se finaliza con la palabra “end”.

Para que el programa corra, en la parte superior hacer click en “Solve” y

luego nuevamente en “Solve”

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Paso Nº3

En cuadro de información seleccionar la opción si.

Luego en el cuadro “LINDO Solver Status” seleccionar la opción “close”

34

Minimizar la ventana “untiled” donde esta tipeado el ejercicio y a

continuación se verá la solución.

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