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ÀLGEBRA–5AÑO
5 ÁLGEBRA
Profesor: Robert André Vega Catón
I BIMESTRE
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ÀLGEBRA–5AÑO
Tabla de contenido SESIÒN 01: .................................................................................................................................................................... 3
SITUACION 01: CUADRADO PERFECTO ............................................................................................................................. 3 teorìa de exponentes ......................................................................................................................................... 3 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 4
SESIÒN 02: .................................................................................................................................................................... 5 SITUACION 02: ¿BINOMIO O TRINOMIO? .......................................................................................................................... 5
polinomios I .......................................................................................................................................................... 7 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 8 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................... 8
SESIÒN 03: .................................................................................................................................................................... 9 polinomios II ......................................................................................................................................................... 9 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 9 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 10
SESIÒN 04: .................................................................................................................................................................. 11 SITUACION 03: CALCULAMOS EL AREA DE UN TERRENO .................................................................................................... 11
productos notables I ......................................................................................................................................... 11 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 12 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 14
SESIÒN 05: .................................................................................................................................................................. 14 SITUACION 04: CUADRADO PERFECTO ........................................................................................................................... 14
division algebraica ........................................................................................................................................... 15 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 16 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 17
SESIÒN 06: .................................................................................................................................................................. 18 SITUACION 05: PRODUCTO O COCIENTE ......................................................................................................................... 18
cocientes notables .......................................................................................................................................... 18 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 19 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 20
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ÀLGEBRA–5AÑOSituación 01: cuadrado perfecto
Durante la edad media era costumbre competir por equipos en la resolución de problemas matemáticos. Aquellos concursos eran algo así como los acontecimientos deportivos de nuestros tiempos. Un match famoso de este tipo ocurrió en el año 1225. Se enfrentaron el equipo encabezado por el Emperador Federico II contra Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci). Este último era autor del célebre libro ‘‘Liber Abaci’’, probablemente el primer libro europeo que describió de manera amplia y clara los principios que rigen el sistema de numeración decimal y dejó entrever sus enormes ventajas sobre el sistema romano de numeración que se usaba en la época. La autoridad de Fibonacci era tan grande que el Emperador Federico II hizo escala en Pisa con la intención de organizar este torneo matemático y poner a prueba la pericia de Leonardo, de la cual había oído tantos relatos maravillosos.
Uno de los problemas propuestos a Fibonacci fue el siguiente:
Hallar un cuadrado perfecto que permanezca un cuadrado perfecto, cuando se le sume o se le reste cinco.
Fibonacci halló como solución el número:
1681/144
¿Comprueba la respuesta de Fibonacci?
¿Calculamos otro cuadrado perfecto que cumpla con la condición dada? ¿Cómo lo harías?
SESIÓN 01: TEORÍA DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de operaciones de potenciación y radicación.
POTENCIACIÓN
an = P a: base, a Î R
n: exponente n Î Z
P: potencia P Î R
DEFINICIONES 1. Exponente Natural
; " x Î R Ù n Î Z+
2. Exponente Cero
x0 = 1 ; " x Î R – { 0 }
3. Exponente Negativo
; ; " x Î R – {0} Ù n Î Z+
TEOREMAS
I) BASES IGUALES 1. Multiplicación
am . an = am+n
1. División
; " a ¹ 0
II) EXPONENTES IGUALES
2. Multiplicación an . bn = (ab)n
3. División
; b ¹ 0
!! "!! #$vecesn
n x.................x.xx =
nn
x1x =-
nmn
ma
aa -=
n
n
n
ba
ba
÷øö
çèæ=
IBIMESTRE
4
III) EXPONENTE DE EXPONENTE
RADICACIÓN
n: es el índice; n Î N Ù n ³ 2
a: es el radicando
b: es la raíz enésima
DEFINICIONES 1.
; n Î N Ù n ³ 2
(x Î R, además, cuando n es par, x ³ 0)
2.
; n ¹ 0
3.
; n ¹ 0
TEOREMAS
I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA
II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN
; y ¹ 0
III) RAÍZ DE RAÍZ
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. Simplificar:
A) 2 B) 3 C) 1 D) 22 E) 33
02. Efectuar:
E =
A) -27/64 B)-1 C) 8/27 D) -27/8 E) 125/8
03. Reducir:
; x 0
A) x2 B) xx C) D) 1 E) x
04. Simplifique:
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 5
05. A) 5 B) 1 C) 25 D) 625 E) -25
06. Reducir:
A) 1 B) x C) y D) x/y E) y/x
{ } mnpPnm a)]a([ =
ban=
xyyx nn=Û=
nn1
x)x( =
n mmnnm
x)x()x( ==
nnn y.xxy =
n
nn
yx
yx=
p.n.mm n p xx =
294
336
30.14.1580.35.21
=S
13
22
94
254)75.0(
25
32 ---
÷øö
çèæ-+--+÷
øö
çèæ-+÷
øö
çèæ
111
122
)(+-
-
úúû
ù
êêë
é=
-xx
x xxxE ¹
x x
mmm
mmmm
E55.25.25.2
3
2121
+-
=++
422162 )5()5(51412
5691
-+=E
nmmn
nm
yxyx
yxF +
-
--
÷÷ø
öççè
æ=
1
5
ÀLGEBRA–5AÑO07. Si: , hallar el valor numérico de:
a) 9 b) 343 c) 81 d) 27 e) 25 08. Calcular “x” en: a) 1/5 b) 4/5 c) 3/5 d) 6/5 e) 7/5 09. Calcular aproximadamente:
a) 2 b) c) d) 16 e) 10. Determinar el valor de “x” en la ecuación:
a) b) c) d) e) 11. Calcular el valor numérico de:
a) 6 b) 9 c) -5 d) 8 e) 5 12. Reducir la expresión:
a) 8 b) 128 c) 4 d) 64 e) 16 13. Calcular el valor de:
a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 20 14. Simplificar: X +
a) 5/6 b) 1/5 c) 2 d) 3 e) 5
15. Reducir: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 1 e) 0 Situación 2: ¿binomio o trinomio?
SESIÓN 02: POLINOMIOS I
Se caracterizan fundamentalmente porque la incógnita se encuentra como base y su criterio de solución establece el empleo de algunas propiedades: NOTACIÓN POLINÓMICA Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:
Dónde: x, y ® Variables. 4, 3 ® Exponentes. 8m ® Coeficientes. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. – Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces. Ejemplos: P(x,y) = 1 + x + x3 – x6 + x2 E. A. Racional Entera
xx 3=x 1xx+
x 4 2x 13 27+ -=
A 2 4 2 4...=
32 2 24 52
12 73 x(0.5) (0.125)- -- -=
5 2 7 73143 147
= - - ¥E 30 30 30......
2 a a2 2b 2 b2 2
+÷ +
é ù é ùê ú ê úê ú ë ûë û
3 3 360 60 60....K
5 5 5......
16 16 16
+ + ¥=
- - ¥
" ZÎ
x x x xx x2 3 2 3E xx6 1
- -+ + +=
+
1 12 235 4 4E 243 . 27- -- -- -=
34 y . x. 8m )y ,(x P =
IBIMESTRE
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P(x,y) = x5 y-7 + 2x3 + x 6 y4 E.A. Racional fraccionar P(x,y) = 3 6xy4 + x2/5 y3 - 12y5 E.A. Irracional POLINOMIO. – Es aquella expresión racional entera que consta de uno, dos o más términos. Ejemplos:
® Polinomio de 4 términos.
® Binomio
® Monomio
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE
Donde: X®Variable. a0 ; a1 ;a2 ;…; an ® Coeficientes. Grado de P(x) ® Gdo(P) = n; nÎN. a0 ® Coeficiente principal. an ® Término independiente.
Ejemplo: Grado (W) = 3; Coeficiente principal = 5; Coeficiente de término cuadrático = 7; Coeficiente de término lineal = 3; y Término independiente = 11. DEFINICIÓN. – En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”. Ejemplos: * P(x)= 5x + x4 + 3x2 + 7. Gdo (P) = 4; Coeficiente principal = 1 ® P(x) es Mónico.
* Q(x) = 3x2 – x5 + 2. Grado (Q) = 5; Coeficiente principal = – 1 ® Q(x) no es mónico.
VALOR NUMÉRICO. – Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. Ejemplo: P(x)= x2 +3, halla: P (1), T (-2) Solución: x = 1; P (1) = 12 +3 = 4 x = -2; P (-2) = (-2)2 + 3 = 7 VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P (0) = Término independiente y P (1) = Suma de coeficientes. Ejemplo: P(x+3)=5x+16. Calcular T. independiente + åcoefic. Solución: Se pide: P (0) + P (1). P (0): I. x+3=0 II. x = – 3 III. Reemplazando:
P (– 3+3)= 5(–3)+16 Þ P (0)=1. P (1): I. x+3=1. II. x = – 2 III. Reemplazando:
P (–2+3)=5(– 2) + 16 Þ P (1)=6. Nos piden: P (0) + P (1) = 1 + 6 = 7. POLINOMIO CONSTANTE: P (x) = m ; (m¹0). Su grado por definición es cero. Ejemplo: P(x) = 10 Þ P (1)=10; P (236)=10, P(n+3)=10. NOTITA: Si P(x) = 0 es un polinomio cuyo grado no está definido.
GRADOS GRADO. – Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay dos tipos de grados y son: 1. GRADO DE MONOMIOS
El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable. Ejemplo:
752 5x3x x 1 (x) Q +-+=
25yx6x (x) R += 6
27x (x) Q =
0)(a ,nax1na...2nx2a1nx1anx0aP(x) ¹+-++-+-+=
1127x35x3xW(x) +++=
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ÀLGEBRA–5AÑOM(x,y) = 26x5y9®G.A(M) = 5 + 9 = 14.
GR. (x) = 5. GR. (y) = 9.
Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.
2. GRADO DE POLINOMIOS
El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. Ejemplo: P(x,y) = 3x3y7 + 5x5y6 + 7x4y8 G.A(T1)=3+7=10 ; G.A(T2)=5+6=11 ; G.A(T3)=4+8=12. Entonces: G.A(P) = 12.
Asimismo: GR. (x) = 5; GR. (y) = 8
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Sea el polinomio: P(x) = 12 x7 –3x4 + 3x2 –x +1
I. El polinomio es de grado 8 II. El término independiente es
1. III. El coeficiente del término
lineal es 1 IV. El coeficiente del término
cuadrático es 3
V. Suma de coeficientes es 12 ¿Cuántos enunciados son verdaderos? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
2. Sea el polinomio: Calcular:
a) b) c) 2 d) 1
e) ½
3. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:
a) 17 b)16 c) 20 d) 21 e) 22
4. Hallar la suma de coeficientes de la
expresión:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 5. El grado del polinomio:
es: a) 17 b) 16 c) 15 d) 10 e) 20 6. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tales
que; los grados de los polinomios:
P2(x) . Q(x) y , son 27 y 23
respectivamente. Hallar el grado de:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 9 7. Sea , un
polinomio mónico; . Hallar el término que no depende de la variable
a) 2 b) 5 c) 10 d) 17 e) 26 8. Con: , la siguiente expresión se
puede reducir a monomio:
El coeficiente del monomio reducido es: a) -4 b) -5 c) 2 d) 3 e) 4
3576)( 23 -+-= xxxxF
å++
=).()(
)()(FCoefFGrado
FTIFCPM
23
23
bannn yxnyxbayxyxP )1()(),( 12123 -+++= -+
( )232 52x 3x 1 x 2- + +é ùë û
( ) ( ) ( ) ( )2 56 3 3 2P(x) 10 x 1 x 1 100 x 1 x 3= + + - - +
3P (x)
Q(x)
2Q (x)
P(x)
( )3 5 2 2P(x) a 7 x ax a 1= - + + +
( )a Î Â
n 0¹
22 2n(n+1)a -a+22 3 a -a+1 a +a-1n(n -1) x -2x +(n-2)x
IBIMESTRE
8
9. Hallar el grado absoluto del monomio:
a) 1260 b) 1600 c) 1770 d) 2000 e) 1360 10. Calcular: f(2) si:
a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/4 e) 2
11. Hallar “n” para que la expresión:
, sea de grado 6 a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 12. Se tiene ; además:
Hallar el valor de “n” a) -1 b) -1/2 c) -1/3 d) 1/4 e) 1/2
TAREA DOMICILIARIA I
1. El valor de “n” si:
Es de 4to Grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Calcular el valor de “n”, si:
Es de grado 13. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Si: G.A. = 45
Además:
P(x) = abx2a-bya-2b Halle el coeficiente del monomio: a) 8 b) 18 c) 30
d) -36 e) 40
4. En el polinomio: P(x; y) º 2xn+3ym-2z6-n + xn+2ym+3 el G.A. = 16 y G.R.(x) – GR(y) = 5. Calcular el valor de: 2m + n + 1 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
5. Dado el polinomio: P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6
Dónde: G.A. = 17 Ù G.R.(x) = 4 Calcular: (a - b)2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16
“SI ESTUDIAS POCO SERÁS COMO
MUCHOS, PERO SI ESTUDIAS MUCHO SERÁS COMO POCOS “.
SESIÓN 03: POLINOMIOS II
POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = x7y - 5x4y4 + 2x2y6 -z4y8
Es un polinomio de grado 8, a este grado también se le llama grado de homogeneidad.
2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado respecto a una variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen. Ejemplo: P(x,y) = 5x9y2 + 7x6y3 + 8x4y5 “x” está ordenado descendentemente. “y” está ordenado ascendentemente.
1(2) 2(3) 3(4) 15(16)M=x .y .z ....w
1+2m 1+mm mmm -mm mf(m )= mm +1
2n n43M(x)= x x
( )nF x 1 x 1+ = -
( )F 3 7 / 8= -
n12
1n n)x(
x
xP-
=
)x)(x)(x(P n1nn)x(
-=
32
GRGR
)y(
)x( =
9
ÀLGEBRA–5AÑO3. POLINOMIO COMPLETO
Un polinomio es completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente inclusive. Ejemplo: P(x)= x4+ x3-2x2-9+7x PROPIEDAD: Si P(x) es un polinomio completo se cumple que su número de términos es igual al número de su grado aumentado en uno, es decir:
# Términos = Gdo. (P) + 1
Ejemplo: P(x)= x5+x4+6x3+x2+3x+8 Gdo. (P) = 5 Þ # términos = 5 + 1 = 6.
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si y solo sí sus términos semejantes en ambos miembros son iguales. Ejemplo: ax2 + bx + c º 7x2 + 4x – 6 Þ a=7 Ù b=4 Ù c=– 6 NOTA: Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable, es decir: Si: P(x) º Q(x) Þ P(a) = Q(a); "aÎR.
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero, es decir, si: ax2 + bx + c º 0 Þ a=b=c=0. Ejemplo: (a – 2)x5 + (b+3)x3 + (c – 7) º 0 a – 2 = 0 Þ a = 2; b + 3 = 0 Þ b = –3; c – 7 = 0 Þ c = 7. NOTA: Si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces dicho polinomio es idénticamente nulo. Si: P(x) º 0 Þ P(a)=P (b)=P(c)=0; Donde a, b Ù c son constantes numéricos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. El polinomio: ; Posee
18 términos, hallar el término
independiente, si es un polinomio completo y ordenado
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 2. El polinomio: ,
es homogéneo hallar: m + n a) 5 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 3. El polinomio: , es
ordenado y completo ¿Cuántos términos tiene?
a) 3n-2 b) 3n-1 c) 3n d) n3 e) n3n 4. Si el polinomio Q(x) es idénticamente
nulo ,
Hallar: abc; si a >0, b> 0 y c >0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 5. En el polinomio completo y ordenado:
;
Calcular
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/2 e) 5/3 6. Dar la suma de coeficientes del
siguiente polinomio entero completo y ordenado
a) 2 b) c) 4 d) e) 7. Si m, n Î N y además el polinomio:
, es homogéneo, Hallar: m + n a) 2 b) 4 c) 6
2n 1 2n 2x x .... 3x (n 1)- -+ + + + +
m m 1 n 4P(a,b) a a b b-= + +
3n 1 3n 2x x .... 1- -+ + +
3a 2 2 2b 3 3 cQ(x)=(ab-1)x +(a c -4)x +(b c -8)x
n a b cP(x)= x +........+x +x +x +.....+abc
a+c
3b
( ) ( ) ( ) ( )26 3 a b6 a a -b 3 aP x = a +b x + b -a x - b -a
2 2
3 2 2 3
4m(m-1) 3 m-1 m n -4P(x,y)=x y-(x ) y +x y
IBIMESTRE
10
d) 8 e) 10 8. Calcular la suma de los coeficientes del
polinomio homogéneo:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 15 e) 17 9. Determine: (a+b) si el polinomio
, es homogéneo
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
10. Hallar: a + b + c.
Si el polinomio es idénticamente nulo. P(x) = a(3x2 – x + 2) + b(2x - 1) - c(x2 -
x) – 6x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
11. Determinar el valor de “n” en el polinomio.
, Sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153
a) 1 b) 9 c) 17 d) 8 e) 10 12. Hallar: (a + b), si el polinomio es
homogéneo: P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 5
13. En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 +
11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16 b) -16 c) 9 d) -8 e) -4
TAREA DOMICILIARIA
1. En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:
P(x) = xa+b-6 + (a - b)x + 3xa-b Calcular: “ab” a) 16 b) 8 c) 12 d) 10 e) 4
2. Si el polinomio:
Es homogéneo. Calcular:
a) 71/9 b) 55 c) 14 d) 5 e) 8
3. Si el polinomio: P(x) = (a-2b+3)x5 + (b-2c-1)x4 + (c-
2a+2)x7 Se anula para cualquier valor de las variables. Calcular: (a + b + c)2 a) 4 b) 81 c) 16 d) 21 e) 36
4. Si los polinomios: P(x, y) = xayb+1 + xcyd-3
Q(x, y) = xa+1yb + x4-ay3-b Son idénticas, calcular: (a + b + c + d) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
5. Hallar el grado de homogeneidad de : P(x, y) = 8xa+byb + 3bxa+byb+4
Si: GR(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y) a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26
Situación 3: calculamos el área del terreno Se tiene un terreno de forma cuadrada que está dividido como se muestra en la figura.
b a a-b2 a 3 b aP(x,y,z)=a x -b y +abz
a+3 b aa 8 a b +8 20 20P(x,y)=ax y +bx y -abx y
2 3 nP(x)=nx+(n-1)x +(n-2)x +....+x
822ab7ba)z,y,x( )zy(yxxP ++=
ba6ba 22
+++
11
ÀLGEBRA–5AÑO
¿Cuánto mide cada lado? ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Demuéstralo (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)? SESIÓN 04:
PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables, también denominada identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica. Los principales son: 01. Cuadrado de un binomio o Trinomio
cuadrado perfecto:
02. Identidades de Legendre:
03. Cubo de un binomio:
04. Suma por diferencia o diferencia de cuadrados:
05. Producto de binomios con término común:
06. Producto de binomios con igual
variable:
07. Suma de cubos:
Diferencia de cubos:
08. Cuadrado de un trinomio:
09. Cubo de un trinomio:
10. Identidades trinómicas o de Argand:
( ) 222 b2ababa ++=+•( ) 222 b2ababa +-=-•( ) ( ) ( )222 abbaba -=-=+-•
( ) ( ) ( )222 ab +=+=--• baba
( ) ( ) ( )2222 2ba baba +=-++•
( ) ( ) abba 4ba 22 =--+•
( )).(3 b3b3aaba
33
32233
baabbaab+++=
+++=+•
( )).(3 b3b3aaba
33
32233
baabbaab---=
-+-=-•
( )( ) 22aba bba -=-+•
( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++• 2
( )( )( )( ) ( )3 2
x a x b x c
x a b c x ab ac bc x abc
+ + + =
+ + + + + + +
( )( ) ( ) bdxbcadacxdcxbax nnn +++=++• 2n
( )( ) 3322 babababa +=+-+•
( )( ) 3322 babababa -=++-•
( ) ( )bcacabcba +++++=++• 2cba 2222
( )abcbcaccb
abcabac623233
333bacba2
2223333
+++
++++++=++•
( ) ( )( )( )( )( )
3 3 3 3
3 3 3a b c a b c 3 a b a c b ca b c 3 a b c ab ac bc 3abc+ + = + + + + + +
= + + + + + + + -
IBIMESTRE
12
11. Identidades auxiliares:
12. Identidades condicionales:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Para . Simplificar:
a) ab b) 4 ab c) 4(ab)-1 d) 2 ab e) 2 (ab)-1
2. Si:
Hallar: . (a > b)
a) -1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 3. Hallar: , para:
a) -1 b) 1 c) 2 d) 6 e) 20 4. Simplifica
a) 2x b) -2x c) x d) –x e) 0 5. Sabiendo que a > b.
Además: .
Calcular:
a) 18 b) 16 c) 9 d) 4 e) 3 6. Si:
Hallar:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 7. Si: a + b = 6; además:
Hallar:
a) 54 b) 27 c) 18 d) 9 e) -27 8. Siendo: El valor de: es: a) 1/4 b) 5/8 c) 3/2 d) 1/2 e) 7/3
( )( ) 111 2422 ++=+-++• aaaaaa
( )( ) 42242222 b bbaababaaba ++=+-++•
( )( ) 111 2422 ++=+-++• nnnnnn aaaaaa
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 331) a b b c c a a b b c c a- + - + - = - - -
( )( ) ( )( )( )cbcababcacabcba +++=++++ )2
bc)ac2(abcba 2)3abccba 1)
:que cumple se 0,cba :Si
222
333
++-=++
=++
=++
÷øöç
èæ ++=÷
øöç
èæ ++ 4442
2222 )3 cbacba
÷øöç
èæ ++=÷
øöç
èæ ++ 2222224
2222 )4 cbcabacba
÷øöç
èæ ++=++ 2222222444 )5 cbcabacba
ab 0¹
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2 2 2a+b + a-b - 4 a -b
2 23 3 3 3a +b - a -b
é ùê úë û
a b 10+ =
19ab
4=
E a b= -
E=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
5 5x
2
-=
( ) ( ) ( ) ( )1/32 22 2E= x+1 x +2x -1 - x -1 x -2x -1é ù
ê úë û
a b3 3+ =3b a
a bE
b a= -
4 2x -3x +1=088 86 84x +x +x
E= 86x
2 2a +b =302 2a b+
b a
3 3 3a +b +c =30a+b+c=3abc= 4
-1 -1 -1a +b +c
13
ÀLGEBRA–5AÑO
9. Calcular: , Sabiendo que:
a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2 10. Si:
Calcular:
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) 1/y 11. ¿Cuál es el valor de: , Si: ? a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3 12. Al efectuar:
, resulta:
a) b) c) d) e)
13. Si:
Hallar: a) 0 b) c) 3 d) -1 e)
14. Si
Calcular
a) -1 b) 3 c) 0 d) -2 e) 2 15. Calcular el valor numérico:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
16. Si: ;
Calcular el valor de:
a) 116 b) 110 c) 113 d) 120 e) 115 17. Si: xy + xz + yz = 0 Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Simplificar:
a) x b) x4 c) x2 – a2 d) x4 + a4 e) 0
TAREA DOMICILIARIA
1. Si: y Halle el valor de: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 2. Calcular: . Si: , además: a) -7 b) -8 c) -9 d) -10 e) -11
3. Si:
Hallar:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
3 33E= a -3ab+b
( )( )a+b a+1 =b; a 0¹
1 1 4
x y x y+ =
+
x 2-3 x+yy
2r -2r -2
r= 2+1
( )( )( )4 2 2a+ b a +a b+b a- b
3 3a -b 6 3a -b 6 2a -b6 6a -b 6 4a -b
( )22 -2x +x =3
6 -6x +x
33 3
1n+ =1n
( )33 -3n -n
( )( )( )8 4 281+ 2 +1 2 +1 2 +1 3
1x + = 7
x13A = x + 3x
( )( ) ( )( ) ( )( )-1 -1 -1E=x x+z x+y +y z+y z+x +z z+x z+y
( )( )( )( )2 2 4 4 88E= x+a x -a x +a x +a +a ;x>0
( )ab a+b =420 3 3a +b =468
M=a+b+5
2(x - y)
x+y= 7 xy= 4
31
a+ =27a
æ öç ÷è ø
13a + 3a
IBIMESTRE
14
4. Si , entonces al simplificar la expresión:
, se obtiene:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 Situación 4: de compras Constantinito un día va al súper mercado a comparar sus frutas: Precio de manzanas = S/. X Precio de las naranjas S/. Y Cuando se dispone a realizar el pago por los productos comprados el cajero le indica que ha ganado una súper promoción. Es decir, únicamente deberá pagar por la diferencia de los cuadrados del costo de manzanas y naranjas, divida entre la diferencia de manzanas y naranjas respectivamente.
¿Cuál es la expresión algebraica que me permite saber el monto que se debe pagar?
¿Cuánto se tiene que pagar si x=5 y Y=4?
SESIÓN 05: DIVISIÓN ALGEBRAICA División de Polinomios: Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada
cociente [q(x)] conociendo otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor [d(x)]. D(x) = d(x) . q(x) à División exacta D(x) = d(x) . q(x) + r(x) à División inexacta PROPIEDADES 1. El grado del cociente es igual al grado
del dividendo menos el grado del divisor Ósea oQ(x) = oD(x) - od(x)
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno Ósea o RMAX = o d(x) –1
3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo. Osea R 0
4. Si una expresión es divisible por otra al residuo de la división de ambos será nulo
CASOS QUE SE PRESENTAN 1. División de Monomios: En este caso
primero se dividen los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos y a continuación la parte literal de acuerdo con la ley de exponentes.
Ejemplo: Dividir
2. División de un Polinomio entre un monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio
3. División de polinomios
Se desarrolla por cualquier método ordenando los polinomios en forma descendentes y completando con ceros en caso de faltar un término.
I. Método de Horner v Para este método sólo se utilizan los
coeficientes.
( ) ( )2x y z 3 xy xz yz+ + = + +
( ) ( )( )
x x+y +y y+z
z z+x
º
zyx3zyx81
129
61510-
34
6691058
ba7ba56ba35ba42M +-
=
MÉTODOS DE DIVISIÓN
15
ÀLGEBRA–5AÑOv En la linea horizontal escribir los
coeficientes del dividendo con su propio signo
v En la columna escribir los coeficientes
del divisor con signos cambiados excepto el primero, que conserva su signo.
v Separar de derecha a izquierda, tanto
coeficientes como unidades tenga el grado del divisor:
Ejemplo: Dividir:
II. Método de Ruffini
Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax+b. Al igual que en Horner, utilizaremos solo coeficientes.
Ejemplo: Dividir:
Observación: Si el divisor es ax + b , a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto Ejemplo:
Dividir
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales.
Regla práctica: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja el valor de la variable y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto
Ejm. Calcular el resto en
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar el cociente de dividir: , entre:
a) x – 1 b) x c) x + 1 d) x + 2 e) x + 4 2. Hallar el resto de dividir:
, donde
“w” es una constante: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
3. Si la división:
es exacta; calcular: AB a) 84 b) -84 c) 64 d) 48 e) 74 4. Calcular el residuo de dividir:
a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) 1 e) 0 5. Hallar “p” si la división:
; deja como resto 19
a) 2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 6
4x2x211x5x6x8x4x10
2
2345
+-+-++-
2x1x5x11x7x2x3 2345
-++-+-
¹
1x37x8x17x5x3 234
-++-+
2x5x3x5
-++
3 5 2 4x+2x +x +2x +x +2 4x +2
2(x+y) +(x+y)(2w-1)+w(w-1)
x+y+w-3
4 3 2A x Bx 2x 3x 224x x 1
+ - - -
+ +
( ) ( )4 3 216x -24x +28x -5 ÷ 2x-1
4 26x +(p+1)x +6
x+1
TEOREMA DEL RESTO
IBIMESTRE
16
6. Hallar el resto de la división:
a) 2x b) 2x + 12 c) 2x + 5 d) 2x + 7 e) 2x – 12 7. Calcular el resto de dividir:
entre a) 2x + 1 b) 2x – 5 c) 2x d) 2x – 1 e) 3x – 1 8. Hallar el resto de dividir:
a) 2x b) 2x + 4 c) 2x – 4 d) – 2x – 4 e) – 2x+4 9. Hallar el resto en:
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 10. Sean los polinomios:
el cociente y el residuo respectivamente
de la división de: .
Calcular a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Calcular “m+n” Si: es
divisible entre: x – 1 a) -1 b) -2 c) 0 d) 1 e) 3
12. Si el resto de dividir P(x) entre (x – 2)
es el mismo que el dividir P(x) entre (x
– 1) e igual a 8 ¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre (x – 1) (x – 2)?
a) 16 b) 11 c) 3 d) 8 e) 64 13. ¿Qué relación cumplen “p” y “q” tal
que: sea divisible por:
?
a) b) c) d) e) 14. Hallar el residuo de dividir p(x) entre
si al dividir p(x) entre se obtiene como residuo
a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2 d) 2x + 1 e) 2x – 1 15. Al multiplicar y dividir
el resultado entre: , se
obtiene como residuo: a) -4x – 2 b) 4x + 2 c) 2x + 4 d) x + 2 e) 4x – 2 16. Hallar “m + n” , sabiendo que la división
da un
residuo: 5x – 10 a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4 17. Si la división:
deja
como residuo: 3x – 5. Según esa información, hallar: el valor de a + b
a) 2 b) 11 c) 33 d) 36 e) 7
35 28 17(x+1) +7(x+1) +3(x+1) +32x +2x+2
2 3(x -2) +(x -3) 2x -5x+6
2n 2n+1 3(x+3) +3(x+3) -5(x+3) +1
(x+2)(x+4)
425 42427x +81x -5x -19
x+3
2q(x)=ax +bx+c; r(x)=mx+n,
4 3 22x +3x -8x +1- 4x2x -(x+1)
2(a-b - c -m-n)
3 2x +mx +nx+1
3x -pqx+q2x +mx-1 ( )m +Î!
p+q=0 2pq= q +12q -1=pq p-q=12p -1=pq
2x +x+1 3x -12x +3x+2
( )( )22x - x -4 2x+1
( )22x - x -2
( ) ( )5 3 2 23x +mx +nx -x+2 ÷ x +3
( )4 3 2ax +bx +16x-25 ÷2x -x+4
17
ÀLGEBRA–5AÑO14. Hallar el término independiente del
cociente de:
a) 10 b) -15 c) -5
d) 5 e) 10
18. Calcular el residuo de la división
siguiente:
a) b) c)1 d)0 e)-1
19. Hallar “n” si la división es exacta:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16
TAREA DOMICILIARIA 01. Halla el resto de:
a)1 b)2 c)3 d)6 e)9 02. Calcula “m+n+p” si el resto de la división:
,
es .
a)6 b)2 c)3 d) 4 e) 5
03. Indique el resto en:
a) b) c)0
d) e) 04. Determinar el valor de m y n para que el
polinomio: sea divisible por . Dé como respuesta:
a) 11 b) 1 c) 13 d) 10 e) 20 Situación 5: Se tiene un terreno rectangular con las medidas indicadas en la figura. Se desea calcular la superficie total de dicho terreno para lo cual se usa los productos notables.
El área de este terreno está representado por la expresión: a2 +2ab + b2
1. ¿Se podrá hallar el cociente de dos monomios de manera rápida?
2. ¿Cómo se hallará el cociente de un trinomio cuadrado perfecto?
3. ¿Cómo se hallará el cociente de la diferencia de un binomio?
( ) ( )3 2x + -2- m x +15 m+ 2 m-15 x
x- m
( ) ( )23
1212
77
+-----
xxxx
1-x 2-x
4391612 2930
++++
xnxxx
( ) ( )( ) ( )3
1122
+++-+-+++
zyxzzzyxyx
13x1x25x36nx8mx
+-+-+
327 -+ pxx
( ) ( )( )5
43
331
+++
xxx
( )438 +- x ( )438 +x( )33 +x ( )38 +x
( ) 11920 -+-= mxmxnxxP( )21-x
mn9
IBIMESTRE
18
SESIÓN 06: COCIENTES NOTABLES
Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división
Forma general :
Casos de cocientes notables
Forma Cociente Notable
Siempre es C.N
Si “n” es impar
Si “n” es par
Nunca es C.N
Características de un Cociente Notable:
1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen
dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”.
2) Si el denominador es de la forma “x-a” los signos de los términos en el desarrollo serán positivos.
3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.
4) La condición para que una fracción de la forma
Sea un C.N es
Donde “n”; número de términos TÉRMINO GENERAL
Si es un C.N y Tk es el término
que ocupa el lugar “K” en su desarrollo, entonces
El signo se coloca según el caso al que corresponda.
axax nn
±±
+ÎZn
axax nn
--
axax nn
++
axax nn
+-
axax nn
-+
sr
qp
axax
±±
nsq
rp
==
axax nn
±±
( ) 1. --= kknk axsignot
19
ÀLGEBRA–5AÑO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
IBIMESTRE
20
21
ÀLGEBRA–5AÑO
IBIMESTRE
22
TAREA DOMICILIARIA I
01. Hallar el número de términos de la siguiente división notable
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8
02. Simplificar
A) x40 +1 B) x40 – 1 C) x20 + 1 D) x20 E) x4
6
150
yxyx
n
n
++
11
2343638
2747678
++++++++++
=xxxxxxxxE
!
!
23
ÀLGEBRA–5AÑO