Post on 29-Sep-2020
Ejercicio nº 1.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta f x x
. 1 14
y x
Solución:
1'2
f xx
1 1 1La pendiente de la recta es 44 42
m xx
2,4Cuando yx La recta será:
1411
4124
412 xxxy
Ejercicio nº 2.-
Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:
2
3 2
x
xxf
Solución:
Recta tangente horizontal, implica pendiente m=0; luego f´(x)=0
2
2
2
22
2
2
234
2342
2322
'
xxx
xxxx
xxxxxf
0340340' 22 xxxxxf
6,3 Punto 3
2,1 Punto 1
224
212164
x
xx
Ejercicio nº 3.-
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:
123 2 xxxf
Solución:
26' xxf Estudiamos el signo de la derivada:
3126026
31
6226026
31026
xxx
xxxx
xx
Fecha:
SOLUCIONES
.31 en mínimo un tieney ,
31 en crece ,
31, en decrece función La
x
Ejercicio nº 4.-
Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:
• La derivada no se anula en ningún punto.• La función es decreciente.• Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)
xflimxflimxx 22
;
• Tiene una asíntota horizontal en y 1. Además:
Si , 1Si , 1
x yx y
Solución:
Ejercicio nº 5.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):
a ¿En qué puntos se anula la derivada?b ¿Cuáles son sus asíntotas?c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.
Solución: 3,0 en máximo unHay 30
00'a)
ff
b Asíntotas verticales: x 2, x 2
Asíntota horizontal: y 2
)c
xflimxflimxx 22
;
xflimxflimxx 22
;
Ejercicio nº 6.-
Estudia y representa la siguiente función:
xxxxf 44 23
Solución:
xxxlimxxxlimxx
44;44 2323
• Puntos de corte con los ejes:
0,2Punto 2
0,0Punto 0
0)44(44 eje el Con 223
x
x
xxxxxxX
Con el eje 0 0 Punto 0, 0Y x y
• Puntos singulares:
32
642
648
648648
0483' 2
x
xxxxxf
.2732,
32 y 0,2 Puntos
• Gráfica:
Ejercicio nº 7.-
Dada la función:
3
3
x
xxf
estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.
Solución:
• Dominio R {3}
Puntos de corte con los ejes:
00, Punto 003
30 eje el Con
xx
xyX
00, Punto 00 eje el Con yxY
• Asíntota vertical: x 3
3
3;3
333 x
xlimx
xlimxx
Asíntota horizontal: y 3
3 con ,3
3 con ,3
yxflim
yxflim
x
x
• Puntos singulares:
039
3393
3333'
222
xxxx
xxxxf
No tiene puntos singulares.
• Gráfica:
Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos .:
x
xxf 23
Solución:
• Dominio R {0}
• Puntos de corte con los ejes:
02020 eje el Con 3
3
xx
xyX
0;3,1 Punto 3,123 x
Con el eje Y No corta el eje Y, pues x 0 no está en el dominio.
• Asíntota vertical: x 0
xflimxflimxx 00
;
• Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el deldenominador.
xflimxflimxx
;
• Puntos singulares:•
3,1 Punto 11010120'
12222323'
333
2
3
2
3
2
33
2
32
xxxxf
xx
xx
xxx
xxxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 9.-
Dada la función
2
2 12x
xxf
estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.
Solución:
• Dominio R {0}
• Puntos de corte con los ejes:
. eje al corta No0120 eje el Con 2 XxyX Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no pertenece al dominio.
• Asíntota vertical: x 0
xflimxflimxx 00
;
• Asíntota horizontal: x 2
2 con ,2
2 con ,2
yxflim
yxflim
x
x
• Puntos singulares:
0222442124'
344
33
22
22
xxx
xxxx
x
xxxxxf
No tiene puntos singulares.
• Gráfica:
Ejercicio nº 10.-
Estudia de la siguiente función dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.
12
3
xxxf
Solución:
• Dominio R
• Puntos de corte con los ejes:
0,0 Punto 001
0 eje el Con2
3
xx
xyX
0,0 Punto 00 eje el Con yxY
• Asíntotas verticales: No tiene
Asíntota oblicua:
oblicua asíntota es11 22
3xy
xxx
xx
.
asíntota. la de debajo por está curva La01
, Si2
xxx
asíntota. la de encima por está curva La01
, Si2
xxx
• Puntos singulares:
0,0 Punto 0030'
1
3
1
3
1
233
1
213'
22
22
22
22
24
22
424
22
322
xxxxf
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 11.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
4
241
xf xx
Solución:
Dominio R {1, 1}
Puntos de corte con los ejes:
4,14040 eje el Con 44 xxyX
0;4,1 y 0;4,1Puntos 4,0 Punto 40 eje el Con y x Y
Asíntotas verticales: x 1, x 1
xflimxflim
xflimxflim
xx
xx
11
11
;
;
Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.
xflimxflimxx
;
Puntos singulares:
22
24
22
35
22
535
22
423
1
422
1
842
1
8244
1
2414'
x
xxx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxxf
21642
;042;042
4,0 Punto 0020'
2224 zzzzxxx
xxxf
No tiene solución
Gráfica:
Ejercicio nº 12.-
Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva fx 3x2 + x 1.
Solución:
' 6 1f x x
La pendiente de la recta es 7 6 1 7 1m x x .y,x 31 Cuando
La ecuación de la recta será:
47773173 xxxy
Ejercicio nº 13.-
Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:
193 23 xxxy
Solución:
2
12420323963' 22 xxxxxy
263 Punto 3
61 Punto 1242 ,x
,x
Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:
193193 2323 xxxlimxxxlimxx
Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26).
Ejercicio nº 14.-
Dada la función:
f x x x32 6 1
determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.
Solución:
2' 6 6f x x Estudiamos el signo de la derivada:
6x2 6 0 x 16x2 6 > 0 x , 1 1, 6x2 6 < 0 x 1, 1
La función es creciente en , 1 y 1, y decreciente en (1, 1.
Ejercicio nº15.-
:siguiente lo conocemos que la de(x), función una tegráficamen Representa f
.41, en y 41, en anula se derivada Su No corta a los ejes.
xflimxflimxx 00
;
Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:
Solución:
Ejercicio nº 16.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:
a Máximos y mínimos.b Puntos de corte con los ejes.c Ramas infinitas.d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Solución:
33, en mínimo unHay
3303a)
f'f
30, en máximo unHay 30
00
f'f
b) 4, 0 , 2, 0 , 3, 0 y 0, 3 .
)c
xflimxflimxx
;
) Decrece en , 3 y en 0, ; crece en 3, 0 .d
Ejercicio nº 17.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
xxxf 123
Solución:
xxlimxxlimxx
12;12 33
• Puntos de corte con los ejes:
0,21 Punto 120,0 Punto 0
0,12 Punto 12 01212 eje el Con 23
xxx
xxxxX
Con el eje Y x = 0 y = 0
• Puntos singulares:
162, Punto2
162, Punto240123' 22
x
xxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 18.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
13
xxxf
Solución:
• Dominio R {1}
• Puntos de corte con los ejes:
03, Punto 3030130 eje el Con
xxxxyX
3,0 Punto 31
30 eje el Con
yxY
• Asíntota vertical: x 1
xflimxflimxx 11
;
Asíntota horizontal: y 1
1con,1
1con,1
yxflim
yxflim
x
x
• Puntos singulares:
01
4
1
31
1
31'222
xxxx
xxxxf
No tiene puntos singulares.
• Gráfica:
Ejercicio nº 19.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
2
3
xxxf
Solución:
• Dominio R {2}
• Puntos de corte con los ejes:
0,0 Punto 002
0 eje el Con3
xxxyX
0,0 Punto 00 eje el Con yxY
• Asíntota vertical: x 2
xflimxflimxx 22
;
• Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador.
xflimxflimxx
;
• Puntos singulares
2
2
2
23
2
323
2
32
2
32
2
62
2
63
2
23'
xxx
xxx
xxxx
xxxxxf
2
0 Punto 0, 0' 0 2 3 0
3 Punto 3, 27
xf x x x
x
• Gráfica:
Ejercicio nº 20.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
4
22
2
xxxf
Solución:
• Dominio R {2, 2}
• Puntos de corte con los ejes:
0,0 Punto 00204
20 eje el Con 22
2
xxx
xyX
0,0 Punto 00 eje el Con yxY
• Asíntotas verticales: x 2, x 2
xflimxflim
xflimxflim
xx
xx
22
22
;
;
Asíntota horizontal: y 2
2 con ,2
2 con ,2
yxflim
yxflim
x
x
• Puntos singulares:
0,0 Punto 00160'
4
16
4
4164
4
2244'2222
33
22
22
xxxf
x
x
x
xxx
x
xxxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 21.-
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :
2
4 1x
xxf
Solución:
• Dominio R {0}
• Puntos de corte con los ejes:
XxyX eje al corta no010 eje el Con 4 Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no está en el dominio.
• Asíntota vertical: x 0
xflimxflimxx 00
;
Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.
xfxfxxlim;lim
• Puntos singulares:
3
4
4
4
4
5
4
55
22
423 121222224214'x
xxxx
xxx
xxxx
x
xxxxxf
2,1y 2,1 Puntos1 11010120' 4444 xxxxxf
• Gráfica: