Elementos Logic A

Elementos de logica

Instituto de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

17 de septiembre de 2015

Indice

1 Introduccion

2 Del lenguaje natural al lenguaje logicoProposiciones y conectivos logicosTablas de verdadNegacion de conjunciones, disyunciones e implicacionesCuantificadoresNegacion de cuantificadoresCombinacion de cuantificadoresExistencia unica

3 Metodos de demostracionDemostracion directaDemostracion por contrarrecıprocoDemostracion por contradiccionDemostracion por casosDemostraciones que involucran cuantificadoresRefutacion con contraejemplos

Introduccion

“En matematicas, una de las actividades mas importantes consisteen demostrar, es decir, a partir de unas afirmaciones iniciales enlas que nos ponemos de acuerdo como punto de arranque,deducimos, mediante reglas de razonamiento aceptadas,proposiciones mas complejas. Y para ponernos de acuerdo,necesitamos de la maxima precision en dichas afirmacionesiniciales, para que cualquier matematico de cualquier lugar delmundo entienda perfectamente y sin ambiguedad que se pretendedemostrar.” [de Guzman-Ozamiz, 2004, p. 11]

Introduccion

¿Que es la logica?

La logica es la disciplina que estudia la forma y la validez de lasdeducciones o inferencias.

Hace mas de dos mil anos, Aristoteles y los filosofos estoicos descubrieronque la validez de una deduccion depende de su estructura o forma y no desu contenido, con esto fundaron las bases de la logica formal.

Desde la segunda mitad del siglo XIX y gracias en buena parte a lostrabajos de George Boole y Gottlob Frege, la logica formal tomo pormodelo pautas metodologicas del simbolismo matematico, y comenzo allamarse Logica Simbolica o Logica Matematica, alcanzando un desarrollocomparable al que experimento la fısica en el siglo XVII, gracias a larevolucion cientıfica protagonizada por Galileo Galilei.

Introduccion

¿Que es la logica?

Introduccion

¿Que es la logica?

Introduccion

¿Que es la logica?

Indice

1 Introduccion

Proposiciones y conectivos logicos

Para definir que es una deduccion, es necesario primero definir que es unaproposicion:

Una proposicion (o enunciado) es una sentencia declarativa a la que sepuede asignar un valor de verdad (verdadera o falsa).

Ejemplos de proposiciones:

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.√

2 es irracional.

Existen numeros reales que no son racionales.

Todo triangulo equilatero e isosceles.

Todo entero mayor que 4 es la suma de dos numeros primos.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

Si 4 es divisible por 6, entonces 4 es divisible por 2.

√2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Esta lloviendo.

Las vacas vuelan.

2 es irracional.

Ejemplos de sentencias o expresiones que no son proposiciones:

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.√

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.√

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.√

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.√

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

¿Esta lloviendo?

Hazme un favor.

5 + 7.√

x+ 3 = 5.

N ∪ R.

A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones.

Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).

La construccion de un lenguaje formal, con sımbolos y reglas de formacionde formulas rigurosamente definidos (para representar proposiciones), esutil para el analisis logico de deducciones.

Las proposiciones que contienen conectivos logicos se llaman compuestas ylas que no contienen conectivos logicos se llaman atomicas.

Las proposiciones atomicas se representan por letras mayusculas P , Q,R . . . a las cuales se les llama variables proposicionales.

A las proposiciones se les puede aplicar ciertas operaciones logicas, lo quepermite generar nuevas proposiciones. Los principales operadores (oconectivos) logicos son: negacion (‘no’), conjuncion (‘si’), disyuncion (‘o’),implicacion (‘si... entonces’) y la doble implicacion o bicondicional (‘... si ysolo si...’).

La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P .

En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

¿Cual es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?

Dada una proposicion P , ¿cuales son las condiciones de verdad de ¬P?

P ¬PV F

La negacion de una proposicion P (que en logica se denota ¬P ) es unaproposicion que afirma la falsedad de la proposicion P . En el lenguajeordinario se usa el adverbio ‘no’ para expresar la negacion.

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

Ejemplos:√

2 no es racional.

5 no es primo.

P ¬PV F

En el lenguaje ordinario, en particular en el espanol, algunas veces se usa ladoble negacion de manera retorica para dar mayor enfasis a una afirmacion.

Ejemplo: se dice

‘no ire nunca a Estados Unidos’

para afirmar

‘nunca ire a Estados Unidos’.

En el lenguaje matematico, la doble negacion de una proposicion siempreequivale a la afirmacion de la proposicion.

Ejemplo: se dice

para afirmar

Ejemplo: se dice

para afirmar

La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones.

En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.

Ejemplos:

π es mayor que 2 y es racional.

2 es primo y es par.

Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∧Q?

P Q P ∧QV V V

La conjuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∧Q)es una proposicion que afirma la verdad de ambas proposiciones. En ellenguaje ordinario se usa el conectivo ‘y’ para expresar la conjuncion.

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

Ejemplos:

P Q P ∧QV V V

La conjuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en serie.

I II Resultado

En el lenguaje natural, el conectivo ‘y’ se usa algunas veces con unaconnotacion temporal implıcita.

Ejemplo: la proposicion

‘me bane y fui al cine’

tiene un significado diferente a

‘fui al cine y me bane’.

En matematicas las proposiciones son atemporales, y el valor de verdad deuna conjuncion es independiente del orden de las proposiciones.

La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera.

En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.

Ejemplos:

7 es multiplo de 3 o de 5.

Un triangulo A es escaleno o isosceles.

Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad de P ∨Q?

P Q P ∨QV V V

La disyuncion de dos proposiciones P y Q (que en logica se denota P ∨Q)es una proposicion que afirma que al menos una de las dos proposiciones esverdadera. En el lenguaje ordinario se usa el conectivo ‘o’ para expresar ladisyuncion.

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

Ejemplos:

P Q P ∨QV V V

La disyuncion en matematicas funciona de manera similar a un circuitoelectrico con dos interruptores conectados en paralelo.

I II Resultado

En el lenguaje natural, el conectivo ‘o’ se usa algunas veces de maneraexcluyente.

‘ire a jugar futbol o a nadar’

quiere decir que la persona que hizo la afirmacion ira a realizar alguno delos dos deportes, pero no ambos.

Por convencion, en el lenguaje matematico la disyuncion siempre tiene unsignificado inclusivo. Si se quiere hacer una afirmacion excluyente se debehacer de manera explıcita (adicionar ‘pero no ambos’, o algo similar).

Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q).

En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.

Ejemplos:

Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano.

Si 27 es multiplo de 3, entonces 27 es multiplo de 6.

Si las vacas vuelan, entonces yo soy superman.

Si las vacas vuelan, entonces 1 + 1 = 2.

Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente.

En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.

Ejemplos:

Una implicacion es una proposicion que afirma que la verdad de unaproposicion P lleva a la verdad de una proposicion Q (lo que en logica sedenota P → Q). En una implicacion P → Q, la proposicion P se llamaantecedente y la proposicion Q se llama consecuente. En el lenguajeordinario se usa ‘Si. . . entonces. . . ’ para expresar la implicacion.

Ejemplos:

Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP → Q?

P Q P → Q

Otras formas de escribir implicaciones (diferentes de ‘Si..., entonces’) son:

‘Q si P ’ es lo mismo que ‘P → Q’

Ejemplo: Un triangulo A es isosceles si es equilatero.

‘P solo si Q’ es lo mismo que ‘P → Q’

Ejemplo: Juan es antioqueno solo si es colombiano.

P es condicion suficiente para Q si de la verdad de P se sigue la verdad deQ (es decir, si P → Q es verdadero).

P es condicion necesaria para Q si Q es verdadero solo si P tambien lo es(es decir, si Q→ P es verdadero).

Ejemplos:

Ser antioqueno es condicion suficiente para ser colombiano.

Ser antioqueno NO es condicion necesaria para ser colombiano.

Ser colombiano es necesario para ser antioqueno.

Ser colombiano NO es suficiente para ser antioqueno.

Que x = 10 es suficiente para que x ≥ 0.

Que x ≥ 0 es necesario para que x = 10.

Ejemplos:

En logica, una implicacion no necesariamente afirma una relacion decausa-efecto (y se llama implicacion material), pues para que P → Q seaverdadera no importan los significados de P y Q, ni la relacion entre estos,sino sus valores de verdad. Pero en matematicas, en las proposicionesimplicativas normalmente hay una relacion entre el significado delantecedente y el del consecuente.

Ejemplos: proposiciones verdaderas logicamente, pero sin ‘relevancia’matematica.

Si 2 divide a 4, entonces√

2 es irracional.

Si 1 = 2, entonces 8 es primo.

2 es irracional.

Dada una proposicion de la forma ‘P → Q’:

Su recıproca es la proposicion Q→ P .

Su contrarrecıproca (o contrapositiva) es la proposicion ¬Q→ ¬P .

Ejemplo: para la proposicion ‘si A es un triangulo equilatero, entonces esisosceles’.

Su recıproca es ‘si A es un triangulo isosceles, entonces es equilatero’.

Su contrarrecıproca es ‘si A no es un triangulo isosceles, entonces no esequilatero’.

La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q).

En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.

Ejemplos:

El producto de dos numeros enteros es par si y solo si ambos numerosson pares.

Un entero a es par si y solo si a+ 1 es impar.

25 es divisible por 3 si y solo si la suma de los dıgitos de 25 es divisiblepor 3.

La proposicion que afirma la implicacion de dos proposiciones P y Q enambos sentidos se llama doble implicacion (o bicondicional) (en logica sedenota P ↔ Q). En el lenguaje ordinario se usa ‘si y solo si’ para expresarla doble implicacion.

Ejemplos:

Dadas proposiciones P y Q, ¿cuales son las condiciones de verdad deP ↔ Q?

P Q P ↔ Q

Ejemplo de representacion simbolica de una proposicion compuesta:

Proposicion: ‘1238 es multiplo de 3 y no es multiplo de 6, si es impar y esmultiplo de 3’.

Representacion simbolica: bajo las convenciones:

P : ‘1238 es multiplo de 3’.

Q: ‘1238 es multiplo de 6’.

R: ‘1238 es impar’.

La proposicion anterior se representa por (R ∧ P )→ (P ∧ ¬Q).

Ejemplo de pasar de representacion simbolica a lenguaje natural:

P : ‘soy paisa’.

Q: ‘me gustan los frijoles’.

R: ‘me gusta la arepa’.

S: ‘me gusta el ajiaco’.

Proposiciones:

P → (Q ∧R) representa ‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.

(¬Q ∧ S) ∨ P representa ‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.

Proposiciones:

P → (Q ∧R) representa

‘si soy paisa, entonces me gustan los frijoles yla arepa’.

Proposiciones:

(¬Q ∧ S) ∨ P representa

‘no me gustan los frijoles y me gusta el ajiaco,o soy paisa’.

Proposiciones:

Indice

1 Introduccion

Tablas de verdad

Una tabla de verdad es una tabla en la que se muestran todos los posiblesvalores de verdad que se pueden asignar a una proposicion compuesta.

¿Como construir una tabla de verdad para una formula α?

1 Construir una tabla, donde las columnas corresponden a lassubformulas de α y las filas corresponden a las posibles combinacionesde valores de verdad para las variables proposicionales de α (si n es elnumero de variables proposicionales de α, ¿cuantas filas debe tener sutabla de verdad?).

2 Colocar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para lasvariables proposicionales de α.

3 Asignar valores de verdad a subformulas mas complejas, hasta llegar aα, teniendo en cuenta los valores de verdad asignados a las subformulasanteriores y las condiciones de verdad de los conectivos logicos.

Tablas de verdad

Tabla de verdad para (¬P ∨Q)→ (P → Q):

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V

F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V V

V F F F F VF V V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F

F F F VF V V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F V

F V V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V

V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V V

F F V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F

V V V V

Tablas de verdad

P Q ¬P ¬P ∨Q P → Q (¬P ∨Q) → (P → Q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

Tablas de verdad

Una proposicion es:

Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.

Ejemplos:

¬¬P ↔ P (doble negacion).

P ∨ ¬P (tercer excluido).

((P ∨ (Q ∧R))↔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨R)) (Ley distributiva).

Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.Ejemplos:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.Ejemplos:

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

Tautologıa: si solo puede tomar valor de verdad ‘V ’. Las tautologıastambien se llaman leyes logicas o formulas logicamente validas.Ejemplos:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

Contradiccion: si solo puede tomar valor de verdad ‘F ’.

Ejemplos:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

Contingencia: si puede tomar valor de verdad ‘V ’ y ‘F ’. Las contingenciastambien se llaman enunciados condicionales.

Ejemplos:

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Tablas de verdad

Una proposicion es:

P ∧ ¬P .

P ↔ ¬P .

P → ¬P .

¬P ∨ (P ∧Q).

Indice

1 Introduccion

Negacion de conjunciones, disyunciones e implicaciones

La negacion de

‘2 es primo y es par’

es equivalente a

‘2 no es primo o no es par’.

Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a ¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

Negacion de una conjuncion: ¬(P ∧Q) es equivalente a

¬P ∨ ¬Q (Ley deDe Morgan).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

‘7 es multiplo de 3 o de 5’

es equivalente a

‘7 no es multiplo de 3 y no es multiplo de 5’.

Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a ¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

Negacion de una disyuncion: ¬(P ∨Q) es equivalente a

¬P ∧ ¬Q (Ley deDe Morgan).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

‘Si Juan es antioqueno, entonces es colombiano’

es equivalente a

‘Juan es antioqueno y no es colombiano’.

Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a P ∧ ¬Q.

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

Negacion de una implicacion: ¬(P → Q) es equivalente a

P ∧ ¬Q.

La negacion de

es equivalente a

Indice

1 Introduccion

Cuantificadores

Para representar adecuadamente afirmaciones mas complejas esnecesario el uso de variables, funciones proposicionales ycuantificadores.

Las variables son letras que representan objetos indeterminados sobreun cierto universo de discurso (o dominio de interpretacion).

Las funciones proposicionales son expresiones cuyos valores de verdaddependen de los valores asignados a ciertas variables.

En logica y matematica se trabaja basicamente con doscuantificadores, el cuantificador universal (que en logica se denota ∀, yque significa “para todo”) y el cuantificador existencial (que en logicase denota ∃, y que significa “existe al menos un”).

Cuantificadores

Ejemplos de funciones proposicionales:

‘x+ 5 = 0’.

‘x2 ≥ 0’.

Adicionando cuantificadores a funciones proposicionales se obtienensentencias con significado completo, a las que se les puede asignarvalor de verdad (bajo un determinado universo de discurso).

Ejemplo de sentencias con cuantificadores:

‘Existe un x tal que x+ 5 = 0’ (verdadero en Z, falso en N). Se puederepresentar por ‘∃x(x+ 5 = 0)’.

‘Para todo x, x2 ≥ 0’ (verdadero en N,Z,Q y R). Se puede representarpor ‘∀x(x2 ≥ 0)’.

Cuantificadores

‘x+ 5 = 0’.

‘x2 ≥ 0’.

Cuantificadores

‘x+ 5 = 0’.

‘x2 ≥ 0’.

Cuantificadores

‘x+ 5 = 0’.

‘x2 ≥ 0’.

Cuantificadores

‘x+ 5 = 0’.

‘x2 ≥ 0’.

Cuantificadores

Se usa la notacion P (x1, . . . , xn) para representar funciones proposicionalesP cuyo valor de verdad depende de las variables x1, . . . , xn.

Ejemplos:

P (x): ‘x es primo’.

Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.

Cuantificadores

Ejemplos:

Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.

Cuantificadores

Ejemplos:

Q(x, y): ‘x ≥ 0→ x+ y ≥ y’.

Cuantificadores

Si P (x) es una funcion proposicional que depende de x:

∀x(P (x)) representa ‘para todo x, P (x)’, y es verdadera en un universode discurso U si P (c) es verdadera para todos los objetos c quepertenecen a U .

∃x(P (x)) representa ‘existe (al menos un) x tal que P (x)’, y esverdadera en un universo de discurso U si existe un objeto c quepertenece a U tal que P (c).

Cuantificadores

Si P (x) es una funcion proposicional que depende de x:

∀x(P (x)) representa ‘para todo x, P (x)’, y es verdadera en un universode discurso U si P (c) es verdadera para todos los objetos c quepertenecen a U .

∃x(P (x)) representa ‘existe (al menos un) x tal que P (x)’, y esverdadera en un universo de discurso U si existe un objeto c quepertenece a U tal que P (c).

Cuantificadores

Ejemplo: La sentencia ‘∀x(0 ≤ x)’:

Es verdadera en los numeros naturales, pues para cualquier numeronatural n se tiene que 0 ≤ n es verdadero.

Es falsa en los numeros enteros, pues no todos los numeros naturalesson mayores o iguales a 0 (por ejemplo, 0 ≤ −2 es falso).

Ejemplo: La sentencia ‘∃x(x2 = 5)’:

Es verdadera en los numeros reales, pues tanto√

5 como −√

5satisfacen la ecuacion x2 = 5.

Es falsa en los numeros racionales, pues no existe ningun racional queelevado a la dos de 5.

Cuantificadores

5 como −√

Cuantificadores

5 como −√

Cuantificadores

5 como −√

Cuantificadores

5 como −√

Cuantificadores

5 como −√

Cuantificadores

Para especificar que una variable x toma valores en un dominio (o universode discurso) U , se usa ‘∀x ∈ U ’ o ‘∃x ∈ U ’.

Ejemplos:

‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.

‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.

La expresion ‘∀x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∀x(x ∈ U → P (x))’.

La expresion ‘∃x ∈ U(P (x))’ es equivalente a ‘∃x(x ∈ U ∧ P (x))’.

Cuantificadores

Ejemplos:

‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.

‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.

Cuantificadores

Ejemplos:

‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.

‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.

Cuantificadores

Ejemplos:

‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.

‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.

Cuantificadores

Ejemplos:

‘∃x ∈ Z(x+ 5 = 0)’.

‘∀x ∈ R(x2 ≥ 0)’.

Indice

1 Introduccion

Negacion de cuantificadores

La negacion de

‘todos los gatos son negros’

es equivalente a

‘existen gatos que no son negros’.

Negacion de un cuantificador universal:

¬∀x(P (x)) es equivalente a ∃x(¬P (x)).

¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∃x ∈ U(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

¬∀x(P (x)) es equivalente a

∃x(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

¬∀x ∈ U(P (x)) es equivalente a

∃x ∈ U(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

‘existen vacas que vuelan’

es equivalente a

‘ninguna vaca vuela’ (o ‘todas las vacas no vuelan’).

Negacion de un cuantificador existencial:

¬∃x(P (x)) es equivalente a ∀x(¬P (x)).

¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a ∀x ∈ U(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

¬∃x(P (x)) es equivalente a

∀x(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

La negacion de

es equivalente a

¬∃x ∈ U(P (x)) es equivalente a

∀x ∈ U(¬P (x)).

La negacion de

es equivalente a

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1 Introduccion

Combinacion de cuantificadores

En una sentencia se pueden usar varios cuantificadores.

Ejemplo: sea A un subconjunto de numeros reales, se dice que A tiene cotasuperior si existe un numero real que es mayor o igual que todos loselementos de A.

¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?: A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).

¿A = [0, 1) tiene cota superior?.

¿A = N tiene cota superior?.

¿Cuando A no tiene cota superior?: cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).

¿Como expresar esta definicion con sımbolos logicos?:

A tiene cotasuperior si ∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x).

¿Cuando A no tiene cota superior?:

cuando ¬∃x ∈ R ∀y ∈ A(y ≤ x),que es equivalente a ∀x ∈ R ∃y ∈ A¬(y ≤ x) (o ∀x ∈ R ∃y ∈ A(y > x)).

¿El orden en los cuantificadores es importante?

Ejemplos:

¿‘∃x∃y(x+ y = 0)’ es equivalente a ‘∃y∃x(x+ y = 0)’?

¿‘∀x∀y(x · y = y · x)’ es equivalente a ‘∀y∀x(x · y = y · x)’?

¿‘∀x∃y(x < y)’ es equivalente a ‘∃y∀x(x < y)’?

Nota: Cuando los cuantificadores son diferentes el orden es importante.

Ejemplos:

Indice

1 Introduccion

Existencia unica

Se usa ∃!x(P (x)) para representar ‘existe exactamente un x tal que P (x)’, yesta sentencia es verdadera en un universo de discurso U si existeexactamente un elemento c en U tal que P (c).

Ejemplo: sea P (x): ‘x es primo’ y Q(x): ‘x es par’. La sentencia ‘existe ununico primo par’ se representa por:

∃!x(P (x) ∧Q(x)).

¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).

Existencia unica

∃!x(P (x) ∧Q(x)).

Existencia unica

∃!x(P (x) ∧Q(x)).

¿Como representar la existencia unica sin usar ‘∃!’?:

∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y))→ x = y).

Existencia unica

∃!x(P (x) ∧Q(x)).

Metodos de demostracion

Una deduccion es una secuencia de proposiciones, relacionadas de talmanera que aceptar la verdad de las proposiciones iniciales (llamadashipotesis o premisas) debe llevar a aceptar la verdad de la proposicion final(llamada conclusion).

Una demostracion o prueba es un argumento deductivo logicamente validoque justifica la verdad de una determinada proposicion.

¿Que se puede usar en una demostracion?

Definiciones.

Axiomas.

Proposiciones previamente demostradas (llamadas teoremas).

Leyes logicas.

Reglas de inferencia.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones.

Axiomas.

Leyes logicas.

Definiciones: descripciones claras y precisas de los conceptos matematicos.

Ejemplos:

Sean x y y numeros enteros, se dice que x divide a y, lo que se denotax|y, si existe un entero k tal que y = k · x.

Sea x un numero natural, x es primo si x 6= 1 y es divisible solo por 1 yel mismo.

Dos numeros enteros son coprimos (o primos relativos) si sus unicosdivisores comunes son 1 y −1 (en sımbolos: x, y son coprimos si(k|x ∧ k|y)→ (k = 1 ∨ k = −1)).

Un polıgono regular es un polıgono cuyos lados y angulos interiores soncongruentes entre sı.

Las definiciones siempre son en ambas direcciones (es decir, sonsentencias de tipo “si y solo si”, aunque no se haga explıcito elbicondicional).

Ejemplos:

Por supuesto, una definicion NO requiere demostracion. Sin embargo,existen buenas y malas definiciones.

¿Cuando una definicion es ‘buena’?:

Cuando es lo suficientemente clara y precisa.

Cuando efectivamente separa una clase de objetos entre los quesatisfacen la definicion y los que no la satisfacen.

Cuando los objetos que satisfacen la definicion tienen algunaspropiedades interesantes.

Cuando crea un nuevo concepto que permite dar solucion a unproblema (ejemplo: la definicion de la unidad imaginaria i =

√−1).

Los nombres dados a los objetos matematicos muchas veces estanrelacionados con sus propiedades (ejemplos: ‘cota superior’, ‘lımite de unafuncion’) en otros casos se deben al nombre de su creador (ejemplos:‘Algebra Booleana’, ‘Conjunto de Cantor’).

√−1).

Axiomas: proposiciones que se aceptan como verdaderas en una teorıa.

Ejemplos: dos axiomas de la geometrıa Euclidiana son:

Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica paralela(axioma equivalente al axioma de las paralelas (o quintopostulado de Euclides)).

Leyes logicas: proposiciones logicamente validas.

Reglas de inferencias: deduccion valida de proposiciones a partir de otrasproposiciones.

Si de la verdad de un conjunto de sentencias {P1, . . . , Pn} se siguenecesariamente la verdad de la sentencia Q, se tiene la regla deinferencia:

Ejemplos de reglas de inferencia:

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

Silogismo hipotetico

P → QQ→ R

P → R

Silogismo disyuntivo

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

P → QQ→ R

P → R

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

P → QQ→ R

P → R

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

P → QQ→ R

P → R

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

P → QQ→ R

P → R

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Modus ponens

P → QPQ

Modus tollens

P → Q¬Q¬P

P → QQ→ R

P → R

P ∨Q¬PQ

Disyuncion de casos

P ∨QP → RQ→ R

Pasos a seguir en la construccion de una demostracion (siguiendo las reglasde Polya):

Comprension: identifique y comprenda las hipotesis y la conclusion.

Diseno de un plan de solucion: escoja un metodo de demostracion.

Ejecucion del plan: construya la demostracion siguiendo el metodode demostracion elegido y las reglas de construccion de demostraciones.

Analisis retrospectivo: una vez demostrada la proposicion, hagase elsiguiente tipo de preguntas: ¿se puede generalizar el teorema? ¿vale elrecıproco? ¿que pasa si elimino una de las hipotesis? etc.

Indice

1 Introduccion

Demostracion directa

Demostracion directa: Para demostrar una proposicion (usualmente de laforma P → Q), se parte de las hipotesis (P ) y se van obteniendo nuevasproposiciones (usando leyes logicas, reglas de inferencia, definiciones,axiomas o proposiciones previamente demostradas) hasta obtener laproposicion Q.

Nota: para obtener la secuencia de proposiciones que llevan de P a Q es utiltambien pensar de atras hacia adelante (preguntarse ¿a que proposicion Sdebo llegar para obtener Q? ¿y para obtener S a que debo llegar? yası sucesivamente, hasta que los caminos que se estan construyendo demanera progresiva y regresiva se encuentren).

Demostracion directa: Para demostrar una proposicion (usualmente de laforma P → Q), se parte de las hipotesis (P ) y se van obteniendo nuevasproposiciones (usando leyes logicas, reglas de inferencia, definiciones,axiomas o proposiciones previamente demostradas) hasta obtener laproposicion Q.

Nota: para obtener la secuencia de proposiciones que llevan de P a Q es utiltambien pensar de atras hacia adelante (preguntarse ¿a que proposicion Sdebo llegar para obtener Q? ¿y para obtener S a que debo llegar? yası sucesivamente, hasta que los caminos que se estan construyendo demanera progresiva y regresiva se encuentren).

Ejemplo de demostracion directa.

Proposicion: Si a, b y c son numeros enteros tales que a|b y b|c, entoncesa|c.

Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.

Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.

Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.

Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.

Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.

Hipotesis: (1) a, b y c son numeros enteros; (2) a|b y (3) b|c.Conclusion: a|c.Demostracion: Sean a, b y c numeros enteros, tales que a|b y b|c.Entonces a · k = b, para algun entero k y b · l = c, para algun entero l.Luego (a · k) · l = c y por asociatividad del producto se tiene quea · (k · l) = c. Por lo tanto a|c.

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1 Introduccion

Demostracion por contrarrecıproco

Demostracion por contrarrecıproco: Para demostrar una proposicion de laforma P → Q, se demuestra la proposicion ¬Q→ ¬P .

Justificacion: como P → Q y ¬Q→ ¬P son formulas equivalentes, si sedemuestra ¬Q→ ¬P , por equivalencia logica se tiene P → Q. En algunoscasos puede resultar mas facil demostrar ¬Q→ ¬P que P → Q.

Demostracion por contrarrecıproco: Para demostrar una proposicion de laforma P → Q, se demuestra la proposicion ¬Q→ ¬P .

Justificacion: como P → Q y ¬Q→ ¬P son formulas equivalentes, si sedemuestra ¬Q→ ¬P , por equivalencia logica se tiene P → Q. En algunoscasos puede resultar mas facil demostrar ¬Q→ ¬P que P → Q.

Ejemplo de demostracion por contrarrecıproco.

Proposicion: Sea m un numero entero. Si m2 es impar entonces m esimpar.

Demostracion: Sea m un numero entero. Supongamos que m no es impar,entonces m es par. Luego, m = 2n para algun numero entero n. Se tieneentonces que m2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2). Como 2n2 es un numero entero,entonces m2 es par, y por lo tanto m2 no es impar.

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1 Introduccion

Demostracion por contradiccion

Demostracion por contradiccion (o reduccion al absurdo): Para demostraruna proposicion P , se supone ¬P y se deduce una contradiccion (es decir,se deduce Q ∧ ¬Q para alguna proposicion Q).

Justificacion: Si se supone ¬P y se llega a Q ∧ ¬Q, se ha demostrado¬P → (Q ∧ ¬Q), que es equivalente a (Q ∨ ¬Q)→ P . Por la ley del tercerexcluido y modus ponens se tiene P .

Nota: Si la proposicion P a demostrar es de la forma Q→ R, se supone Q y¬R (que es equivalente a ¬(Q→ R)) y se deduce una contradiccion.

Ejemplo de demostracion por contradiccion.

Proposicion:√

2 es irracional.

Definicion: Un numero real r es racional si existen numeros enteros a, btales que r = a

b, y es irracional en caso contrario.

Demostracion: Suponga que√

2 es racional. Sean a, b numeros enterostales que

√2 = a

b. Se puede suponer que a

bes irreducible (si no lo es, se

puede reducir ab, y se obtienen enteros a′, b′ tales que

√2 = a′

b′ y a′

b′ esirreducible). Se tiene entonces que:

2)2 =(ab

2b2 = a2.

Proposicion:√

2 es irracional.

√2 = a

√2 = a′

b′ y a′

2)2 =(ab

2b2 = a2.

Proposicion:√

2 es irracional.

√2 = a

√2 = a′

b′ y a′

2)2 =(ab

2b2 = a2.

Luego, a2 es par, y por lo tanto a es par. Sea a = 2k, donde k es un numeroentero. Entonces:

2b2 = (2k)2,

2b2 = 4k2,

b2 = 2k2.

Luego, b2 es par y b tambien lo es. Entonces ab

es reducible (contradiccion).

Por lo tanto,√

2 es irracional.

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1 Introduccion

Demostracion por casos

Demostracion por casos: Para demostrar una proposicion P → Q, si Ppuede dividirse en casos P1, . . . , Pn (es decir, si P es equivalente aP1 ∨ . . . ∨ Pn), se demuestran las proposiciones P1 → Q, . . . , Pn → Q.

Justificacion: (P1 ∨ . . . ∨ Pn)→ Q es equivalente a(P1 → Q) ∧ . . . ∧ (Pn → Q).

Demostracion por casos: Para demostrar una proposicion P → Q, si Ppuede dividirse en casos P1, . . . , Pn (es decir, si P es equivalente aP1 ∨ . . . ∨ Pn), se demuestran las proposiciones P1 → Q, . . . , Pn → Q.

Justificacion: (P1 ∨ . . . ∨ Pn)→ Q es equivalente a(P1 → Q) ∧ . . . ∧ (Pn → Q).

Ejemplo de demostracion por casos.

Proposicion: Sea n un numero entero, entonces n2 + n es par.

Demostracion: Sea n un numero entero, entonces n es par o n es impar.

Caso 1 (si n es par): existe un entero k tal que n = 2k y se tiene quen2 + n = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k). Como k es entero,2k2 + k tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.

Caso 2 (si n es impar): existe un entero k tal que n = 2k + 1 y se tieneque n2 + n = (2k + 1)2 + 2k + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 =4k2 + 6k + 2 = 2(2k2 + 3k + 1). Como k es entero, 2k2 + 3k + 1tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.

Ejemplo de demostracion por casos.

Proposicion: Sea n un numero entero, entonces n2 + n es par.

Demostracion: Sea n un numero entero, entonces n es par o n es impar.

Caso 1 (si n es par): existe un entero k tal que n = 2k y se tiene quen2 + n = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k). Como k es entero,2k2 + k tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.

Caso 2 (si n es impar): existe un entero k tal que n = 2k + 1 y se tieneque n2 + n = (2k + 1)2 + 2k + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 =4k2 + 6k + 2 = 2(2k2 + 3k + 1). Como k es entero, 2k2 + 3k + 1tambien lo es, y por lo tanto n2 + n es par.

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1 Introduccion

Demostraciones que involucran cuantificadores

Demostracion de sentencias universales: para demostrar una sentencia de laforma ∀x ∈ U(P (x)), comience por suponer un objeto arbitrario x ∈ U ymuestre que x satisface la propiedad P . Como el objeto elegido al comienzoes arbitrario, la propiedad mostrada vale para todos los objetos en U .

Ejemplo: en el ejemplo anterior, la sentencia ‘Sea n un numero entero,entonces n2 +n es par’ es equivalente a la sentencia ‘∀n ∈ Z(n2 +n es par)’,y la demostracion se hizo suponiendo al comienzo que n es un numeroentero arbitrario, por lo tanto, la demostracion vale para todo n ∈ Z.

Demostracion de sentencias universales: para demostrar una sentencia de laforma ∀x ∈ U(P (x)), comience por suponer un objeto arbitrario x ∈ U ymuestre que x satisface la propiedad P . Como el objeto elegido al comienzoes arbitrario, la propiedad mostrada vale para todos los objetos en U .

Ejemplo: en el ejemplo anterior, la sentencia ‘Sea n un numero entero,entonces n2 +n es par’ es equivalente a la sentencia ‘∀n ∈ Z(n2 +n es par)’,y la demostracion se hizo suponiendo al comienzo que n es un numeroentero arbitrario, por lo tanto, la demostracion vale para todo n ∈ Z.

Demostracion de sentencias existenciales: una forma de demostrar unasentencia de la forma ∃x ∈ U(P (x)) es exhibir o construir un objeto x ∈ Uque satisface la propiedad P .

Ejemplo:

Proposicion: ‘Existen dos numeros primos tales que su suma esnumero primo’.

Demostracion: 2 y 3 son numeros primos y su suma (5) tambien esnumero primo.

¿2 y 3 son los unicos numeros primos cuya suma es primo?

Ejemplo:

Ejemplo: ‘Si a, b, c, d, e y f son numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienesolucion’.

¿Donde esta el cuantificador existencial en la proposicion anterior?

‘el conjunto de ecuaciones {ax+ by = e, cx+ dy = f} tienen solucion’ esequivalente a ‘Existen numeros reales x y y tales que ax+ by = e ycx+ dy = f ’.

Proceso para llegar a la demostracion: razonando de atras haciaadelante, se supone ax+ by = e y cx+ dy = f ’, y mediante operacionesalgebraicas se llega a:

x =de− bfad− bc , y =

af − cead− bc .

Demostracion: Sean a, b, c, d, e y f numeros reales tales que ad− bc 6= 0,entonces x = de−bf

ad−bcy y = af−ce

ad−bcson numeros reales y satisfacen las

ecuaciones ax+ by = e y cx+ dy = f .

af − cead− bc .

Existen pruebas no constructivas de existencia, en las que se demuestraque un determinado tipo de objeto existe sin exhibir o construir un objetocon esas caracterısticas.

Ejemplo: la existencia de irracionales puede ser deducida de la‘numerabilidad’ de los racionales y la ‘no numerabilidad’ de los reales.

Existen pruebas no constructivas de existencia, en las que se demuestraque un determinado tipo de objeto existe sin exhibir o construir un objetocon esas caracterısticas.

Ejemplo: la existencia de irracionales puede ser deducida de la‘numerabilidad’ de los racionales y la ‘no numerabilidad’ de los reales.

Demostracion de existencia unica: como una sentencia de la forma∃!x(P (x)) es equivalente a ∃x(P (x)) ∧ ∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y), parademostrar ∃!x(P (x)) se debe demostrar primero la existencia (∃x(P (x))) yluego la unicidad (∀x, y((P (x) ∧ P (y))→ x = y)).

Ejemplo ‘Para todo numero real positivo y, existe un unico numero real xtal que 2x = y.

Demostracion:

Existencia: se prueba como se indico anteriormente.

Unicidad: sean x y z numeros reales tales que 2x = y y 2z = y,entonces:

2x = 2z,

log2(2x) = log2(2z),

x = z.

Demostracion:

2x = 2z,

x = z.

Demostracion:

2x = 2z,

x = z.

Demostracion:

2x = 2z,

x = z.

Indice

1 Introduccion

Refutacion con contraejemplos

Un contraejemplo es un ejemplo que muestra que una determinadaproposicion es falsa.

Los contraejemplos son utiles para refutar proposiciones.

Pregunta: ¿la proposicion ‘Todos los subconjuntos de los numeros realestienen cota superior’ es verdadera?

Un contraejemplo para la proposicion anterior es N, pues para cualquiernumero real siempre existe un numero natural que es mayor que el (parteentera del numero real mas 1, por ejemplo).

Nota: siempre que se intenta establecer la verdad de una proposicion sedebe, por un lado, buscar una demostracion, y por otro buscar uncontraejemplo; para finalmente lograr demostrar o refutar, respectivamente,dicha proposicion.

Referencias bibliograficas

de Guzman-Ozamiz, M. (2004).Como Hablar, Demostrar y Resolver en Matematicas.Base Universitaria. Anaya.

Houston, K. (2009).How to Think Like a Mathematician.A Companion to Undergraduate Mathematics. Cambridge UniversityPress.

Solow, D. (1993).Como Entender y Hacer Demostraciones en Matematicas.Limusa, Noriega Editores.Traduccion del libro How to Read and Do Proofs.

Uzcategui-Aylwin, C. (2011).Logica, Conjuntos y Numeros.Consejo de Publicaciones, Universidad de los Andes, Venezuela.

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