GEOMETRÍAGEOMETRÍA

Circunferencia y CírculoCircunferencia y Círculo

Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

• Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia.

• Calcular área y perímetro del sector y segmento circular.

• Calcular ángulos en la circunferencia

• Calcular medidas de trazos en la circunferencia

1. Definición

Contenidos

1.1 Circunferencia

2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo2.1 Radio

2.2 Cuerda

2.3 Diámetro

1.2 Círculo

2.4 Secante

2.5 Tangente

2.6 Sagita y Apotema

2.7 Arco de circunferencia

2.8 Sector Circular

2.9 Segmento Circular

3. Áreas y Perímetros3.1 Área del Círculo

3.2 Perímetro de la Circunferencia

3.3 Medida de un arco de circunferencia

3.4 Área y Perímetro de un sector circular

3.5 Perímetro de un segmento circular

1. Definición1.1 Circunferencia

Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.

1.2 CírculoRegión del plano limitado por una circunferencia

•o

•o CircunferenciaCírculo

2. Elementos de laCircunferencia y del Círculo

2.1 Radio (r)

o rA O: centro de la circunferencia

OA: radio = r

Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia.

2.2 CuerdaSegmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.

AB: CuerdaA

B

2.3 Diámetro (d)Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Corresponde a la cuerda de mayor longitud.

AB: diámetro = d = 2r

A Brr

d

O•

O: centro de la circunferencia

El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferenciasiguales, es decir, Arco AB = Arco BA

2.4 SecanteRecta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.

A

B•

•

AB: Cuerda

AB: Secante

A: Punto de tangencia

2.5 TangenteRecta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.

O: centro de la circunferencia

OA ┴ L

OA: radio

LA

r

O

2.6 Sagita y ApotemaSi el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.

O: centro de la circunferencia

OA: radio

D

CA

O

P

•

•

•

sagita

PA: sagita

OP: apotema

En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD

2.7 Arco de circunferenciaCorresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).

A

B

•

•

Los puntos A y B de la circunferencia,determinan el arco AB.

AB : arco de circunferencia

2.8 Sector CircularCorresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia.

Sector circular

O: centro de la circunferencia

r : radio

A

BAB : arco de circunferencia

B

A

2.9 Segmento CircularEs una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia.

Segmento circular

O : centro de la circunferencia

AB : arco de circunferencia

AB : cuerda

3. Áreas y Perímetros

Área círculo = ∙ r2

3.1 Área del CírculoSi r es el radio, entonces:

Ejemplo:

Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.

Solución:

Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:

A = ∙ 102 A = 100cm2

Perímetro = 2∙r

3.2 Perímetro de la circunferencia

Perímetro = ∙ d

Si r es el radio y d el diámetro, entonces:

Ejemplo:

ó

Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.

Solución:

P = 2∙15 P = 30 cm.

Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2r) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ().

3.3 Medida de un Arco de Circunferencia

AB :arco de circunferencia

O:centro de la circunferencia

r :radio

Arco 2r ∙ 360°

=

=

3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular

O: centro de la circunferencia

r : radio

A

B

AB : arco de circunferencia

A sector ∙ r2

360°=

Psector = + 2r

Psector 2r ∙ 360°

+ 2r=

B

A

3.5 Perímetro de un Segmento Circular

AB : cuerda

AB : arco de circunferencia

Psegmento = + AB

Psegmento 2r ∙ 360°

+ AB=

Segmento circular

O : centro de la circunferencia

Ejemplo de aplicación:

Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.

Solución:

A Sector 80∙∙42

360°=

A Sector 2∙∙16

9=

=

A Sector 32 9

Psector 24 ∙80

360°+ 2∙4=

Psector 16 9

+ 8=

1. Teoremas fundamentales - Ángulos

Ángulos en la Circunferencia

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

1.5 Teorema del ángulo exterior

1.6 Teorema del ángulo interior

2.3 Teorema de las tangentes

2.4 Teorema de las cuerdas

2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

2. Teoremas fundamentales - Trazos

2.1 Teorema de las secantes

2.2 Teorema de la tangente y la secante

1. Teoremas fundamentales (ángulos)

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 40º, entonces = 40º

O: centro de la circunferencia

40°

Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 50º, entonces = 25º

50°

Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.

2

Además, se cumple que:

Ejemplo:

En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.

70°

O: centro de la circunferencia

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.

180°

O: centro de la circunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

Ejemplo:

1.5 Teorema del ángulo exterior

Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

1.6 Teorema del ángulo interior

Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

2. Teoremas fundamentales (trazos)

2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:

PA ∙ PD = PB ∙ PC

Ejemplo:

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD= 10

PA ∙ PD = PB ∙ PC

En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.

PA y PB secantes.

2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC ∙ PD

2.3 Teorema de las tangentes

PA = PC

Sean PA y PC dos tangentes, entonces:

2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

2.5 Cuadrilátero circunscrito

a + c = b + d

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

2.6 Cuerdas Paralelas:

Dos cuerdas paralelas en una circunferencia determinan arcos interiores congruentes.

A B

D C

AB//CD

DA=BC

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