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Agosto 2010
“Tiene por misión, la formación de la persona humana,
y el fortalecimiento de la identidad cultural de la
nación, fundado con el conocimiento científico y
tecnológico, en correspondencia con el desarrollo
humano sostenible.”
Sesión 5
Medidas de
Dispersión
Mg. Miriam Mattos
Definición
Es un tipo de indicador que permite
apreciar el grado de dispersión o
variabilidad existente en el grupo de
variantes en estudio.
Las medidas de tendencia central
tienen como objetivo el sintetizar los
datos en un valor representativo, las
medidas de dispersión nos dicen
hasta que punto estas medidas de
tendencia central son
representativas como síntesis de la
información.
Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la
variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central
• Quizá se desee comparar las
dispersiones de diferentes muestras.
Necesitamos tener habilidad de
reconocerlo y evitar escoger
distribuciones que tengan las
dispersiones más grandes.
La dispersión es importante porque:
• Proporciona información adicional
que permite juzgar la confiabilidad
de la medida de tendencia central.
Si los datos se encuentran
ampliamente dispersos, la posición
central es menos representativa de
los datos.
• Ya que existen problemas
característicos para datos
ampliamente dispersos, debemos
ser capaces de distinguir que
presentan esa dispersión antes de
abordar esos problemas.
Importancia
Se tomaron las temperaturas en dos regiones “A"
y "B", se registraron los datos que se muestran en
la tabla adjunta.
Al obtener la media, en ambos casos resultó que
la temperatura promedio fue de 20.68º, cuya
interpretación podría ser que en torno, alrededor o
cerca a 20.68º fluctúan los demás valores.
Pero como puede verse, los datos más alejados
en “A” son 19.3º y 22º, que realmente están
próximos a 20.68º; en cambio, los datos más
alejados en “B” son -3º y 39º, que están muy
distantes del promedio.
A B
19.3 -3
20 0
20.2 6
20.4 22
21 31.5
21.3 34
21.3 36
22 39
Promedio: 20.69 20.69
¿Por qué si en ambos casos se tiene igual promedio, no se puede afirmar lo mismo de los
valores que están a su alrededor?.
La respuesta está en que no se ha tomado en cuenta la dispersión, es decir, la manera en
que se disgregan los datos respecto de la media, pues en “A” casi no se dispersan mientras
que en “B” sí, .Cabría decir que el conjunto de datos “A” es bastante compacto mientras que
el “B” es muy dilatado.
Ejemplo
Medidas de Dispersión absolutas
1. El Rango
2. La Varianza
3. La Desviación Estándar
Medidas de Dispersión Relativas
4. El Coeficiente de Variación
.
Distinguimos entre medidas de
dispersión absolutas, que no
son comparables entre
diferentes muestras y las
relativas que nos permitirán
comparar varias muestras. Las
mas comunes son:
Principales Medidas de Dispersión
max minR X X
Ejemplo1: para una serie de datos de carácter cuantitativo como es
la hemoglobina en 5 arquitectos:
x1 = 18.5, x2 = 16.5, x3 = 17.0, x4 = 18.2, x5 = 15.5
De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y
el mínimo; o, lo que es lo mismo: R = 185-155 = 30.
1. Rango o Recorrido
La medida de dispersión más inmediata es
el recorrido de la distribución estadística,
también llamado rango o amplitud. Dada una
serie de valores x1, x2, ..., xn, su recorrido es la
diferencia aritmética entre el máximo y el
mínimo de estos valores :
Ejemplo2: Sea los siguientes datos el tiempo en minutos que corre un arquitecto, a lo largo de 10 días hábiles consecutivos. Calcular el Rango.
39 29 43 52 39
44 40 31 44 35
Para determinar el rango, los datos se ordenan de menor a mayor
29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
Rango = 52 - 29 = 23
1.1 Ejemplo
La Varianza es un valor numérico que cuantifica el grado de alejamiento de
los valores de una variable respecto a su media aritmética.
VARIANZA POBLACIONAL:
VARIANZA MUESTRAL:
2
22
2 1
1 1
n
ii
i
X XX nX
Varianza Sn n
La varianza es el promedio de los cuadrados de los desvíos respecto a la media
aritmética
2
22
2 1
N
ii
i
X XX N X
VarianzaN N
2. Varianza
Ejemplo: Se pregunto a 10 arquitectos cuántos clientes atendieron en
un mes. Los resultados fueron:
82 66 90 84 75
88 80 94 110 91
Calcular la varianza del numero de pacientes: 10
1
2
2 2 22 1
2
8610
( )(82 86) (66 86) ....(91 86)
1 10 1
1262140.22
9
i
i
n
i
i
x
X h
X X
Sn
S
2.1 Ejemplo
Se lo define como la raíz cuadrada de la Varianza. Es la medida de
dispersión más utilizada y aparece para simplificar la interpretación de la
varianza.
Desviación Estándar Poblacional
Desviación Estándar Muestral
2
22
1
N
ii
i
X XX N X
N N
2
2 2
1
1 1
n
ii
i
x xx nx
sn n
3. Desviación Estándar para Datos no Agrupados
Ejemplo: Calcular la desviación estándar del número de meses que
trabajan 10 arquitectos en COSAPI:
82 66 90 84 75 88 80 94 110 91
2
2 1
2 2
( )
1
140.22
n
i
i
X X
Sn
S h
3.1 Ejemplo
En promedio los meses que llevan los arquitectos en COSAPI se alejan de la media en 12 meses aproximadamente.
. ( )Desv estandar s V x 2.Desv estandar
Se utilizan cuando los datos están agrupados en una tabla de
distribución de frecuencias. Su formulas de cálculo son:
POBLACIONAL:
MUESTRAL:
2 2
2
2 1 1
m m
ii i
i iin X X n X N X
VarianzaN N
2 2
1 1
2
2
1 1
m m
i
i ii i i
n x x n x nx
Varianza sn n
2.Desv estandar s s
4. Varianza y Desviación Estándar para Datos Agrupados
Se esta analizando el numero de clientes de 80 arquitectos al año, en cierta
inmobiliaria internacional, y se ha obtenido la siguiente distribución de
frecuencias:
Calcular la varianza:
2 2
2
12 46324 80 22.6865.49
1 80 1
m
i
ii
n x nx
sn
N° de yi ni ni*yi ni*yi2 Clientes
Li Ls 5 12 8.5 10 85 722.5
12 19 15.5 14 217 3363.5
19 26 22.5 28 630 14175
26 33 29.5 20 590 17405
33 40 36.5 8 292 10658
TOTAL 80 1814 46324
181422.68
80
i in y
xn
4.1 Ejemplo
265.49 8.09s s
Del ejemplo anterior calcular e interpretar la desviación estándar
4.2 Ejemplo de Desviación Estándar
En promedio el número de clientes se alejan de su media aritmética en
8 clientes aproximadamente.
Artesco realizó una encuesta a 60 empresas sobre el número de días que les
dura el papel cansón. Los datos son:
N° de dias xi ni ni*xi ni*xi2 Li Ls
1 5 3 6 18 54
5 9 7 24 168 1176
9 13 11 15 165 1815
13 17 15 10 150 2250
17 21 19 5 95 1805 TOTAL 60 596 7100
2
2
1
2
2 7100 60 9.9319.995
1 60 1
n
ii i
n x nx
sn
5969.93
60
i in x
xn
19.995 4.47s
4.3 Ejemplo
En promedio los días de permanencia del papel cansón se desvían de la media
en 5 días aproximadamente.
5. Aclaraciones
Dadas dos poblaciones existe
mayor dispersión en aquella que
posee mayor varianza que
equivale a mayor desvío
estándar.
Se interpreta que menor
dispersión implica mayor
concentración de los datos
alrededor de la media aritmética,
obteniendo o logrando mayor
precisión en el tratamiento de la
información.
Teniendo en cuenta las
observaciones anteriores en los
procedimientos y métodos
estadísticos se buscará minimizar
varianzas
. .% 100S
C Vx
Muestral
Poblacional
. .% 100C V
OBSERVACIÓN:
1. Al realizar comparaciones entre dos variables, el C.V. mas pequeño será el que tenga menor
dispersión relativa.
2. Un C.V. mayor a 0.3 ó 30% indica un alto grado de dispersión y pequeña representatividad de
la media, pero cuanto menor sea a 30% la media será mas representativa.
6. Coeficiente de Variación
Mide la dispersión en los datos
con relación a la media .Es más
útil cuando se trata de hacer
comparaciones entre muestras.
No tiene unidades de medida.
Siempre se expresa en
porcentajes, no en términos de la
unidad de medida de los datos
estudiados
Calcular el coeficiente de variación del número de horas que leen
diez arquitectos en un mes:
82 66 90 84 75 88 80 94 110 91
11.84. 100
86
. (0.137)(100)
. 13.7%
SC V
x
C V
C V
Sabemos por cálculos que:
86X h 11.84 S horas
El coeficiente de variación es 13.7%<30% por lo tanto la
distribución del número de horas que leen es homogénea o
uniforme
6.1 Ejemplo
6.2 Ejemplo
a) 2var 0X S ; la varianza de una variable X es siempre positiva.
b) var 0C : donde C es una constante
c) var X C Var X
d) 2Var CX C Var X ;
e) 2Var CX b C Var X ; C y b constantes
7. Propiedades de la Varianza
Gracias…