Sucesiones Cuadráticas

Mtro. Ricardo Aguilar García

MATEMÁTICAS III

Abril 2, 2020

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 1 / 40

Contenido

1 Sucesiones

2 Sucesiones Cuadráticas

3 Características de una Sucesión Cuadrática

4 Término n-ésimo de una Sucesión CuadráticaMétodo de EliminaciónRegla de Cramer

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Definición de Sucesión

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, tales que, puedenencontrarse uno a uno a través de una regla.

Ejemplo de suceciones son:

1 2, 4, 6, 8,...2 4, 8, 12, 16,...3 -5, -1, 3, 7,...

Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como términode la sucesión.

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Definición de Sucesión

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, tales que, puedenencontrarse uno a uno a través de una regla.

Ejemplo de suceciones son:

1 2, 4, 6, 8,...2 4, 8, 12, 16,...3 -5, -1, 3, 7,...

Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como términode la sucesión.

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Definición de Sucesión

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, tales que, puedenencontrarse uno a uno a través de una regla.

Ejemplo de suceciones son:

1 2, 4, 6, 8,...2 4, 8, 12, 16,...3 -5, -1, 3, 7,...

Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como términode la sucesión.

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Término n-ésimo de una sucesión

El n-ésimo término de una sucesión determina como se calculan lostérminos de la misma. Esto implica que para encontrar el n-ésimo términode la sucesión debemos identificar el patrón de la misma.Por ejemplo:

1 2, 4, 6, 8, ... Regla: 2n

2 -5, -1, 3, 7,... Regla: 4n− 9

Observese que los terminos de cada sucesion se van obteniendo al sustituirn por 1,2,3,...

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Sucesiones dado el término n-śimo

Ejercicio: Dada la sucesión cuyo término n-ésimo es 3n− 2, obtener susprimeros 3 términos.Solución:

1 Cuando n=1, 3(1) − 2 = 1

2 Cuando n=2, 3(2) − 2 = 4

3 Cuando n=3, 3(3) − 2 = 7

Los términos de la sucesíon son:

1, 4, 7, ....

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Sucesiones dado el término n-śimo

Ejercicio: Dada la sucesión cuyo término n-ésimo es 3n− 2, obtener susprimeros 3 términos.Solución:

1 Cuando n=1, 3(1) − 2 = 1

2 Cuando n=2, 3(2) − 2 = 4

3 Cuando n=3, 3(3) − 2 = 7

Los términos de la sucesíon son:

1, 4, 7, ....

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Sucesiones dado el término n-śimo

Ejercicio: Dada la sucesión cuyo término n-ésimo es 3n− 2, obtener susprimeros 3 términos.Solución:

1 Cuando n=1, 3(1) − 2 = 1

2 Cuando n=2, 3(2) − 2 = 4

3 Cuando n=3, 3(3) − 2 = 7

Los términos de la sucesíon son:

1, 4, 7, ....

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Sucesiones dado el término n-śimo

Ejercicio: Dada la sucesión cuyo término n-ésimo es 3n− 2, obtener susprimeros 3 términos.Solución:

1 Cuando n=1, 3(1) − 2 = 1

2 Cuando n=2, 3(2) − 2 = 4

3 Cuando n=3, 3(3) − 2 = 7

Los términos de la sucesíon son:

1, 4, 7, ....

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Sucesiones dado el término n-śimo

Ejercicio: Dada la sucesión cuyo término n-ésimo es 3n− 2, obtener susprimeros 3 términos.Solución:

1 Cuando n=1, 3(1) − 2 = 1

2 Cuando n=2, 3(2) − 2 = 4

3 Cuando n=3, 3(3) − 2 = 7

Los términos de la sucesíon son:

1, 4, 7, ....

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Ejercicios para el alumno

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones, con los siguientestérminos n-ésimos:

a) 4n− 1

b) −3n + 5

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Definición de Sucesión Cuadrática

Una sucesión cuadrática consta de un término n-ésimo cuya expresiónalgebraica es de grado dos. Esto es, de la forma,

an2 + bn + c.

donde a, b y c son número reales.

Ejemplo de términos n-ésimos de sucesiones cuadráticas son:1 3n2 + 2n− 5

2 −2n2 + 4n

3 5n2 − 7

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Definición de Sucesión Cuadrática

Una sucesión cuadrática consta de un término n-ésimo cuya expresiónalgebraica es de grado dos. Esto es, de la forma,

an2 + bn + c.

donde a, b y c son número reales.

Ejemplo de términos n-ésimos de sucesiones cuadráticas son:1 3n2 + 2n− 5

2 −2n2 + 4n

3 5n2 − 7

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Definición de Sucesión Cuadrática

Una sucesión cuadrática consta de un término n-ésimo cuya expresiónalgebraica es de grado dos. Esto es, de la forma,

an2 + bn + c.

donde a, b y c son número reales.

Ejemplo de términos n-ésimos de sucesiones cuadráticas son:1 3n2 + 2n− 5

2 −2n2 + 4n

3 5n2 − 7

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Definición de Sucesión Cuadrática

Una sucesión cuadrática consta de un término n-ésimo cuya expresiónalgebraica es de grado dos. Esto es, de la forma,

an2 + bn + c.

donde a, b y c son número reales.

Ejemplo de términos n-ésimos de sucesiones cuadráticas son:1 3n2 + 2n− 5

2 −2n2 + 4n

3 5n2 − 7

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Términos de una sucesión cuadrática

Para encontrar los términos de una sucesión cuadrática a partir de su reglao término n-ésimo se tiene que sutituir la variable n por los númerosnaturales 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Para la sucesión con regla 2n2 − 3 se tiene que,Para n = 1, 2(1)2 − 3 = 2(1) − 3 = −1

Para n = 2, 2(2)2 − 3 = 2(4) − 3 = 5

Para n = 3, 2(3)2 − 3 = 2(9) − 3 = 15.

Así los primeros tres términos de la sucesión son: −1, 5, 15, ...

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Términos de una sucesión cuadrática

Para encontrar los términos de una sucesión cuadrática a partir de su reglao término n-ésimo se tiene que sutituir la variable n por los númerosnaturales 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Para la sucesión con regla 2n2 − 3 se tiene que,Para n = 1, 2(1)2 − 3 = 2(1) − 3 = −1

Para n = 2, 2(2)2 − 3 = 2(4) − 3 = 5

Para n = 3, 2(3)2 − 3 = 2(9) − 3 = 15.

Así los primeros tres términos de la sucesión son: −1, 5, 15, ...

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Términos de una sucesión cuadrática

Para encontrar los términos de una sucesión cuadrática a partir de su reglao término n-ésimo se tiene que sutituir la variable n por los númerosnaturales 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Para la sucesión con regla 2n2 − 3 se tiene que,Para n = 1, 2(1)2 − 3 = 2(1) − 3 = −1

Para n = 2, 2(2)2 − 3 = 2(4) − 3 = 5

Para n = 3, 2(3)2 − 3 = 2(9) − 3 = 15.

Así los primeros tres términos de la sucesión son: −1, 5, 15, ...

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Términos de una sucesión cuadrática

Para encontrar los términos de una sucesión cuadrática a partir de su reglao término n-ésimo se tiene que sutituir la variable n por los númerosnaturales 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Para la sucesión con regla 2n2 − 3 se tiene que,Para n = 1, 2(1)2 − 3 = 2(1) − 3 = −1

Para n = 2, 2(2)2 − 3 = 2(4) − 3 = 5

Para n = 3, 2(3)2 − 3 = 2(9) − 3 = 15.

Así los primeros tres términos de la sucesión son: −1, 5, 15, ...

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Términos de una sucesión cuadrática

Para encontrar los términos de una sucesión cuadrática a partir de su reglao término n-ésimo se tiene que sutituir la variable n por los númerosnaturales 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Para la sucesión con regla 2n2 − 3 se tiene que,Para n = 1, 2(1)2 − 3 = 2(1) − 3 = −1

Para n = 2, 2(2)2 − 3 = 2(4) − 3 = 5

Para n = 3, 2(3)2 − 3 = 2(9) − 3 = 15.

Así los primeros tres términos de la sucesión son: −1, 5, 15, ...

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Ejercicios de sucesiones cuadráticas

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones cuadráticas con lassiguientes reglas o términos n-ésimos:

a) −2n2 − 7. Términos: −9,−15,−25,−39,−57, ...

b) n2 − 2n + 1. Términos: 0, 1, 4, 9, 16, ...

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Ejercicios de sucesiones cuadráticas

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones cuadráticas con lassiguientes reglas o términos n-ésimos:

a) −2n2 − 7. Términos: −9,−15,−25,−39,−57, ...

b) n2 − 2n + 1. Términos: 0, 1, 4, 9, 16, ...

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Ejercicios de sucesiones cuadráticas

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones cuadráticas con lassiguientes reglas o términos n-ésimos:

a) −2n2 − 7. Términos: −9,−15,−25,−39,−57, ...

b) n2 − 2n + 1. Términos: 0, 1, 4, 9, 16, ...

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Ejercicios de sucesiones cuadráticas

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones cuadráticas con lassiguientes reglas o términos n-ésimos:

a) −2n2 − 7. Términos: −9,−15,−25,−39,−57, ...

b) n2 − 2n + 1. Términos: 0, 1, 4, 9, 16, ...

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Ejercicios de sucesiones cuadráticas

Encontrar los primeros 5 términos de las sucesiones cuadráticas con lassiguientes reglas o términos n-ésimos:

a) −2n2 − 7. Términos: −9,−15,−25,−39,−57, ...

b) n2 − 2n + 1. Términos: 0, 1, 4, 9, 16, ...

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Términos de una sucesión cuadrática

Observemos la sucesión:

−9,−15,−25,−39,−57, ...

Calculando la diferencia entre cada uno de sus términos se obtiene que,

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Características de las segundas diferencias

En toda sucesión cuadrática las segundas diferencias de los términos de unasucesión son una constante diferente de cero. Por ejemplo en la sucesión:

0, 1, 4, 9, 16, ....

Las primeras diferencias son: 1, 3, 5, 7, ...

Las segundas diferencias son:

2, 2, 2, ...

Por lo tanto, la suceción es cuadrática.

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Características de las segundas diferencias

En toda sucesión cuadrática las segundas diferencias de los términos de unasucesión son una constante diferente de cero. Por ejemplo en la sucesión:

0, 1, 4, 9, 16, ....

Las primeras diferencias son: 1, 3, 5, 7, ...

Las segundas diferencias son:

2, 2, 2, ...

Por lo tanto, la suceción es cuadrática.

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Características de las segundas diferencias

En toda sucesión cuadrática las segundas diferencias de los términos de unasucesión son una constante diferente de cero. Por ejemplo en la sucesión:

0, 1, 4, 9, 16, ....

Las primeras diferencias son: 1, 3, 5, 7, ...

Las segundas diferencias son:

2, 2, 2, ...

Por lo tanto, la suceción es cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 12 / 40

Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Identificaión de sucesiones cuadráticas

Ejercicio: Comprueba si las siguientes sucesiones son cuadráticas:

a) 9, 18, 31, 48, 69, ... Si es sucesión cuadrática.b) 3, 8, 15, 24, 34, ... No es sucesión cuadrática.c) 5, 7, 12, 20, 31, ... Si es sucesión cuadrática.

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Término n-ésimo de una suceesión cuadrática

Recordemos que el término n-ésimo de toda sucesión cuadrática, es de laforma:

an2 + bn + c

Dada una sucesión cuadrática, por ejemplo: 2, 4, 9, 17, 28, ...¿Cómo encontramos su término n-ésimo?, esto es, ¿cómo podemosencontrar a,b y c?

Sabemos que el primer término de la sucesión es el resultado de evaluaran2 + bn + c, cuando n = 1, esto es,

a(1)2 + b(1) + c = 2

a + b + c = 2

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Término n-ésimo de una suceesión cuadrática

Recordemos que el término n-ésimo de toda sucesión cuadrática, es de laforma:

an2 + bn + c

Dada una sucesión cuadrática, por ejemplo: 2, 4, 9, 17, 28, ...¿Cómo encontramos su término n-ésimo?, esto es, ¿cómo podemosencontrar a,b y c?

Sabemos que el primer término de la sucesión es el resultado de evaluaran2 + bn + c, cuando n = 1, esto es,

a(1)2 + b(1) + c = 2

a + b + c = 2

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Término n-ésimo de una suceesión cuadrática

Recordemos que el término n-ésimo de toda sucesión cuadrática, es de laforma:

an2 + bn + c

Dada una sucesión cuadrática, por ejemplo: 2, 4, 9, 17, 28, ...¿Cómo encontramos su término n-ésimo?, esto es, ¿cómo podemosencontrar a,b y c?

Sabemos que el primer término de la sucesión es el resultado de evaluaran2 + bn + c, cuando n = 1, esto es,

a(1)2 + b(1) + c = 2

a + b + c = 2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 13 / 40

Término n-ésimo de una suceesión cuadrática

Recordemos que el término n-ésimo de toda sucesión cuadrática, es de laforma:

an2 + bn + c

Dada una sucesión cuadrática, por ejemplo: 2, 4, 9, 17, 28, ...¿Cómo encontramos su término n-ésimo?, esto es, ¿cómo podemosencontrar a,b y c?

Sabemos que el primer término de la sucesión es el resultado de evaluaran2 + bn + c, cuando n = 1, esto es,

a(1)2 + b(1) + c = 2

a + b + c = 2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 13 / 40

Cuando n = 2 se tiene que,

a(2)2 + b(2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Cuando n = 3 se tiene que,

a(3)2 + b(3) + c = 9

9a + 3b + c = 9

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 14 / 40

Cuando n = 2 se tiene que,

a(2)2 + b(2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Cuando n = 3 se tiene que,

a(3)2 + b(3) + c = 9

9a + 3b + c = 9

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 14 / 40

Cuando n = 2 se tiene que,

a(2)2 + b(2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Cuando n = 3 se tiene que,

a(3)2 + b(3) + c = 9

9a + 3b + c = 9

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 14 / 40

Cuando n = 2 se tiene que,

a(2)2 + b(2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Cuando n = 3 se tiene que,

a(3)2 + b(3) + c = 9

9a + 3b + c = 9

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Uniendo las tres ecuaciones obtenidas se tiene el siguiente sistema 3x3:

a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 4 (2)9a + 3b + c = 9 (3)

¿Cómo resolvemos el sistema de ecuaciones?Por eliminación.Por determinantes (Regla de Cramer).

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 15 / 40

Uniendo las tres ecuaciones obtenidas se tiene el siguiente sistema 3x3:

a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 4 (2)9a + 3b + c = 9 (3)

¿Cómo resolvemos el sistema de ecuaciones?Por eliminación.Por determinantes (Regla de Cramer).

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 15 / 40

Método de eliminación

Pasos a seguir:Tomar las ecuaciones (1) y (2), luego eliminar la variable c.Tomar las ecuaciones (1) y (3), luego eliminar la variable c.Resolver el sistema 2x2 que resultó, para encontar a, b y c.Sustituir los valores encontrados en an2 + bn + c.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 16 / 40

Método de eliminación

Pasos a seguir:Tomar las ecuaciones (1) y (2), luego eliminar la variable c.Tomar las ecuaciones (1) y (3), luego eliminar la variable c.Resolver el sistema 2x2 que resultó, para encontar a, b y c.Sustituir los valores encontrados en an2 + bn + c.

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Método de eliminación

Pasos a seguir:Tomar las ecuaciones (1) y (2), luego eliminar la variable c.Tomar las ecuaciones (1) y (3), luego eliminar la variable c.Resolver el sistema 2x2 que resultó, para encontar a, b y c.Sustituir los valores encontrados en an2 + bn + c.

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Método de eliminación

Pasos a seguir:Tomar las ecuaciones (1) y (2), luego eliminar la variable c.Tomar las ecuaciones (1) y (3), luego eliminar la variable c.Resolver el sistema 2x2 que resultó, para encontar a, b y c.Sustituir los valores encontrados en an2 + bn + c.

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Método de eliminación

Pasos a seguir:Tomar las ecuaciones (1) y (2), luego eliminar la variable c.Tomar las ecuaciones (1) y (3), luego eliminar la variable c.Resolver el sistema 2x2 que resultó, para encontar a, b y c.Sustituir los valores encontrados en an2 + bn + c.

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De esta manera la sucesión 2, 4, 9, 17, 28, ... tiene como término n-ésimo oregla general la expresión:

3

2n2 − 5

2n + 3

Ejercicios para el alumno: encontrar el término n-ésimo de las sucesiones:

3, 6, 11, 18, 27, ...

−1, 0, 3, 8, 15, ...

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De esta manera la sucesión 2, 4, 9, 17, 28, ... tiene como término n-ésimo oregla general la expresión:

3

2n2 − 5

2n + 3

Ejercicios para el alumno: encontrar el término n-ésimo de las sucesiones:

3, 6, 11, 18, 27, ...

−1, 0, 3, 8, 15, ...

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Para encontrar el término n-ésimo de la sucesión 3, 6, 11, 18, 27, ... se tieneque,

a(1)2 + b(1) + c = 3,

a + b + c = 3,

además

a(2)2 + b(2) + c = 6,

4a + 2b + c = 6,

Por último

a(3)2 + b(3) + c = 11,

9a + 3b + c = 11,

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Nuevamente uniendo las tres ecuaciones obtenidas se tiene el siguientesistema 3x3:

a + b + c = 3

4a + 2b + c = 6

9a + 3b + c = 11

¿Que observas de este sistema de ecuaciones, con respecto al anterior?

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Nuevamente uniendo las tres ecuaciones obtenidas se tiene el siguientesistema 3x3:

a + b + c = 3

4a + 2b + c = 6

9a + 3b + c = 11

¿Que observas de este sistema de ecuaciones, con respecto al anterior?

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 19 / 40

Para la sucesión −1, 0, 3, 8, 15, ..., su sistema de ecuaciones 3x3 es:

a + b + c = −1

4a + 2b + c = 0

9a + 3b + c = 3

En general dada cualquier sucesión cuadrática a1, a2, a3, a4, ...., su sistemade ecuaciones 3x3 es:

a + b + c = a1

4a + 2b + c = a2

9a + 3b + c = a3

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Para la sucesión −1, 0, 3, 8, 15, ..., su sistema de ecuaciones 3x3 es:

a + b + c = −1

4a + 2b + c = 0

9a + 3b + c = 3

En general dada cualquier sucesión cuadrática a1, a2, a3, a4, ...., su sistemade ecuaciones 3x3 es:

a + b + c = a1

4a + 2b + c = a2

9a + 3b + c = a3

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En general dada la sucesión a1, a2, a3, a4, a5, ...., los coeficientes a y b de laexpresión an2 + bn + c se encuentran al resolver,

3a + b = a2 − a1

8a + 2b = a3 − a1,

el coeficiente c se encuentra con,

c = a1 − a− b

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Ejercicio:

Encontrar la regla general de:4, 7, 12, 19, ...

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Determinantes

En matemáticas un determinante me permite obtener a partir de unarreglo de números, mediante operaciones, un número real. Por ejemplo:∣∣∣∣ 3 4

2 1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ −6 −71 0

∣∣∣∣ ,ambos son determinantes 2x2.

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¿Cómo se calcula un determinate 2x2?∣∣∣∣ 3 42 1

∣∣∣∣ = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5.

∣∣∣∣ −6 −71 0

∣∣∣∣ = (−6)(0) − (−7)(1) = 0 + 7 = 7.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 24 / 40

¿Cómo se calcula un determinate 2x2?∣∣∣∣ 3 42 1

∣∣∣∣ = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5.

∣∣∣∣ −6 −71 0

∣∣∣∣ = (−6)(0) − (−7)(1) = 0 + 7 = 7.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 24 / 40

¿Cómo se calcula un determinate 2x2?∣∣∣∣ 3 42 1

∣∣∣∣ = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5.

∣∣∣∣ −6 −71 0

∣∣∣∣ = (−6)(0) − (−7)(1) = 0 + 7 = 7.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 24 / 40

Determinantes 3x3

Un determinante 3x3 tiene 3 columnas y tres filas, por ejemplo:∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣

1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ .

Para calcular este determinate vamos a utilizar la Regla de Sarrus.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 25 / 40

Determinantes 3x3

Un determinante 3x3 tiene 3 columnas y tres filas, por ejemplo:∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣

1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ .

Para calcular este determinate vamos a utilizar la Regla de Sarrus.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 25 / 40

Regla de Sarrus

Pasos para calcular un determinante 3x3 por la regla de Sarrus:1 Aumentar el determinate, con dos filas más.2 Trazar líneas auxiliares de forma diagonal, y multiplicar los números de

cada diagonal.3 Efectuar sumas y restas para obtiener el resultado.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 26 / 40

Ejemplo

Calcular el siguiente determinante:∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣Primero aumentamos dos filas, agregando la primera y segunda fila al final,esto es: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 13 −1 24 2 31 2 13 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 27 / 40

Ejemplo

Calcular el siguiente determinante:∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣Primero aumentamos dos filas, agregando la primera y segunda fila al final,esto es: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 13 −1 24 2 31 2 13 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

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Posteriormente trazamos diagonales auxiliares y multiplicamos los númerosde cada diagonal,

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 28 / 40

Finalmete sumamos los números que resultaron en las multiplicaciones delas líneas azules y restamos los números que resultaron en lasmultiplicaciones de las líneas rojas, esto es,

−3 + 6 + 16 − (−4 + 4 + 18) = 19 − 18 = 1,

Por lo tanto, ∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1

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Finalmete sumamos los números que resultaron en las multiplicaciones delas líneas azules y restamos los números que resultaron en lasmultiplicaciones de las líneas rojas, esto es,

−3 + 6 + 16 − (−4 + 4 + 18) = 19 − 18 = 1,

Por lo tanto, ∣∣∣∣∣∣1 2 13 −1 24 2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 29 / 40

Ejercicios

Calcular los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ b)

∣∣∣∣∣∣0 1 30 2 20 3 1

∣∣∣∣∣∣

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Regla de Cramer

Otro método que permite resolver un sistema de ecuaciones 3x3 es la reglade Cramer. En particular se puede resolver el siguiente sistema deecuaciones,

a + b + c = a1,

4a + 2b + c = a2,

9a + 3b + c = a3,

donde a1, a2 y a3 son los primeros tres términos de una sucesión cuadrática.

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 31 / 40

Pasos de la regla de Cramer

1.- Calcular el determinate que se forma por los coefientes de a, b y c,esto es, ∣∣∣∣∣∣

1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ = ∆

2.- Calcular un segundo determinate cambiando los elementos de laprimera columna por a1, a2, a3 es decir,∣∣∣∣∣∣

a1 1 1a2 2 1a3 3 1

∣∣∣∣∣∣ = ∆a

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3.- Calcular un tercer determinate cambiando los elementos de lasegunda columna por a1, a2, a3 es decir,∣∣∣∣∣∣

1 a1 14 a2 19 a3 1

∣∣∣∣∣∣ = ∆b

4.- Calcular un cuarto determinate cambiando los elementos de latercera columna por a1, a2, a3 es decir,∣∣∣∣∣∣

1 1 a14 2 a29 3 a3

∣∣∣∣∣∣ = ∆c

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5.- Finalmente se tiene que,

a =∆a

∆, b =

∆b

∆, c =

∆c

∆,

estos valores se sustituyen en an2 + bn + c.

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Ejemplo

Encontrar el término n-ésimo de la siguiente sucesión,

−1,−5,−11,−19,−29, ....

Se tiene el sistema de ecuaciones 3x3 siguiente,

a + b + c = −1

4a + 2b + c = −5

9a + 3b + c = −11

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Sabemos que,

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ = −2.

Luego calculamos

∆a =

∣∣∣∣∣∣−1 1 1−5 2 1−11 3 1

∣∣∣∣∣∣ ,esto es,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 1 1−5 2 1−11 3 1−1 1 1−5 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2 − 15 − 11 − (−22 − 3 − 5) = −28 + 30 = 2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 36 / 40

Sabemos que,

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 1 14 2 19 3 1

∣∣∣∣∣∣ = −2.

Luego calculamos

∆a =

∣∣∣∣∣∣−1 1 1−5 2 1−11 3 1

∣∣∣∣∣∣ ,esto es,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 1 1−5 2 1−11 3 1−1 1 1−5 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2 − 15 − 11 − (−22 − 3 − 5) = −28 + 30 = 2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 36 / 40

∆b =

∣∣∣∣∣∣1 −1 14 −5 19 −11 1

∣∣∣∣∣∣ ,luego,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 14 −5 19 −11 11 −1 14 −5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −5 − 44 − 9 − (−45 − 11 − 4) = −58 + 60 = 2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 37 / 40

∆c =

∣∣∣∣∣∣1 1 −14 2 −59 3 −11

∣∣∣∣∣∣ ,así,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 −14 2 −59 3 −111 1 −14 2 −5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −22 − 12 − 45 − (−18 − 15 − 44) = −79 + 77 = −2

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 38 / 40

Finalmente,

a =∆a

∆=

2

−2= −1, b =

∆b

∆=

2

−2= −1, c =

∆c

∆=

−2

−2= 1,

por lo tanto el término n-ésimo es:

−n2 − n + 1

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 39 / 40

Ejercicios

Encontrar el término n-ésimo de las sucesiones:-4, -1, 4, 11, 20, ...2, 4, 8, 14, 22, ...

Mtro. Ricardo Aguilar García (IEPCA) Matemáticas III Abril 2, 2020 40 / 40