NOMBRES:

Julio Siguencia, Mauricio Tipan, Juan Diego Placencia

CARRERA: Ingeniería Electrónica

DOCENTE: Ing. Diego Chacon

FECHA:

01/04/2013

CICLO:

4º

Realizar los ejercicios de la unida 5 desde el 5.1 hasta el 5.15 los pares.

5.2 Determine las raíces reales de ( ) – –

a) Gráficamente b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use

los valores iniciales xl = 0 y xu = 1 iterando hasta que el error estimado se encuentre debajo de = 10%.

Graficamos y determinamos el cruce con x que es la raíz solución de la

función para este caso solo raíces reales:

Posición x= 0.417725 y=0

Para el literal b utilizamos el método de la bisección:

Condiciones iniciales xl = 0 y xu = 1

Entonces realizamos la primera iteración utilizando la siguiente formula:

^

Para calcular el error aproximado utilizamos la siguiente formula:

|

|

|

|

Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que

subintervalo está la raíz:

Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo izquierdo.

Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

Si ( ) ( ) entonces termina el cálculo.

f(0)*f(0.5)= -2*0.375= - 0.75

Segunda iteración:

|

|

f(0)*f(0.25)= -2*-0.73= +1.5

Tercera iteración:

|

|

f(0.25)*f(0.375)= -0.73*-0.18= +0.1314

Cuarta iteración:

|

|

f(0.375)*f( )= -0.18*+0.086= -0.015

Quinta iteración:

|

|

La respuesta es x = 0.406 ya que

Tabla comparativa.

Iteración Xi Xu Xr Ea(%)

1 0 1 0.5 100

2 0 0.5 0.25 100

3 0.25 0.5 0.375 33.3333333

4 0.375 0.5 0.4375 14.2857143

5 0.375 0.4375 0.40625 7.69230769

5.4 Calcule las raíces reales de ( ) : a) Gráficamente. b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de Es correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más pequeña.

f(xl)=(-1, 29.75) f(xu)=(0, -12) Usando el método de la falsa posición que trata de unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

Primera Iteración

( )

( )

Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo.

Segunda iteración ( ) ( )

( )

( )

| ( )

|

( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Tercera Iteración ( ) ( )

( )

( )

| ( )

|

Cuarta Iteración ( ) ( )

( )

( )

| ( )

|

Quinta Iteración ( ) ( )

( )

( )

| ( )

|

Sexta Iteración ( ) ( )

( )

( )

| ( )

|

Séptima Iteración ( ) ( ) 0.0108

( )

( )

| ( )

|

Por lo tanto:

Iteración Xl Xu Xr Ea(%)

1 -1 0 -0.2873 2 -1 -0.2873 -0.3794 24.27%

3 -1 -0.3794 -0.4052 6.36% 4 -1 -0.4052 -0.4121 1.67%

5 -1 -0.4121 -0.4139 0.43% 6 -1 -0.4139 -0.4144 0.12%

7 -1 -0.4144 -0.4146 0.04%

5.6 Determine la raíz real de ln = 0.7:

a) Gráficamente

X ≈ 1,4

b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales xl = 0.5 y xu = 2.

( ) ( ) si >0 sustituye a

Iteración 1 Y

( ) ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2

Iteración 2 Y

( ) ( ) ( ) ( ) <0 reemplazo por en iteración 3

Iteración 3 Y

c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con los mismos valores iniciales de b).

( )( )

( ) ( )

Iteración 1

Y ( ) ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2

Iteración 2

Y ( ) ( )

( ) ( ) <0 reemplazo por en iteración 3

Iteración 3

Y ( ) ( )

true

5.8 Calcule la raíz cuadrada positiva de 18 usando el método de la falsa posición

con = 0.5%. Emplee como valores iniciales xi = 4 y xu = 5.

Primero calculamos la raíz cuadrada positiva de 18 que es igual a 4.243

Método de la falsa posición:

( )

( )( )

( ) ( )

Valores iniciales

Condición hasta

Primera iteración

( ) , ( )

( )( )

( ) ( ) 4.47

|

|

( )( )

( ) ( ) 4.22

|

|

( )( )

( ) ( ) 4.34

|

|

( )( )

( ) ( ) 4.27

|

|

( )( )

( ) ( ) 4.24492

|

|

( )( )

( ) ( ) 4.235

|

|

La respuesta es x = 4.235 ya que

5.10 Encuentre la raíz positiva de ( ) ,

utilizando el método de la falsa posición. Tome como valores iniciales a xl=4.5 y

xu=6, y ejecute cinco iteraciones. Calcule los errores tanto aproximado como

verdadero, con base en el hecho de que la raíz es 5.60979. Emplee una gráfica

para explicar sus resultados y hacer el cálculo dentro de un Es=1.0%

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

Primera Iteración

( )

Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo

está la raíz:

Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo izquierdo.

Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

Segunda iteración ( ) ( )

( )

| )

|

( ) ( ) ( )( )

Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

Tercera iteración ( ) ( )

( )

| )

|

( ) ( ) ( )( )

Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

Cuarta iteración ( ) ( )

( )

| )

|

( ) ( ) ( )( )

Por lo tanto:

Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del

subintervalo derecho.

Quinta iteración ( ) ( )

( )

| )

|

Iteración Xl Xu Xr Ea(%) Et(%)

1 4.5 6 5.0175 10.55% 2 5.0175 6 5.1404 2.39% 8.36%

3 5.1404 6 5.2539 0.021% 6.34%

4 5.2539 6 5.3569 0.019% 4.50% 5 5.3569 6 5.4425 0.015% 2.98%

Después de cinco iteraciones, el error verdadero sólo se ha reducido al 2.9%.

Además observamos que Ea<Et. Por lo que el error aproximado es engañoso. Se

obtiene mayor claridad examinando la gráfica.

5.12 Dada

f(x) = Use el método de la bisección para determinar el máximo de esta función. Haga elecciones iniciales de xl = 0 y xu = 1, y realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor que 5%.

|

|

Iteración 1

Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2

|

|

Iteración 2

Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 3

|

|

Iteración 3

Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 4

|

|

Iteración 4

Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 5

|

|

Iteración 5

Y ( ) ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 6

|

|

En la iteración número 6 se logró el máximo ya que se llegó a un

porcentaje menor a 5%.

(%)

5.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5.14. Emplee el

método de bisección para resolver la posición dentro de la viga donde no hay

momento.

Encontrando las reacciones en los apoyos:

∑ M1 = 100 (3) +100 (6) -R2 (100) + 100 (12) = 0

R2 = 285 LBS

∑ M2 = -100 (8) -000 (5.5 ) +R1 (10) + 100 (2) = 0

R1 = 265 LBS

R1=100 lbs. R2= 100 lbs.

La ecuación de momento es:

0 < x < 3 La ordenada en el punto x sera igual a (100/3)x , por

consiguiente:

La carga en el intervalo x sera igual a (100/3)x * x /2 ubicada a 2/3 de

x

por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que:

∑ Mx = M + (100/6)x^2 (x/3) - 265 x = 0

∑ Mx = M + (100/18)x^3 - 265 x = 0

3 < x < 6 La ordenada en el punto x sera igual a 100 lb , por

consiguiente:

La carga en el intervalo x sera igual a 100(x-3) ubicada a (x-3)/2

por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x, tenemos que:

∑ Mx = M + 100 (x-3) (x-3) (1/2) + 150 (x-2) - 265 x= 0

∑ Mx = M + 50 (x^2-6 x + 9 + 150 x -300 - 265 x = 0

∑ Mx = M + 50 x^2 -300 x +450 + 150 x -300 - 265 x = 0

∑ Mx = M + 50 x^2 - 415 x + 100 = 0

6.2 Determine la raíz real más grande de

f(x) =

a) En forma gráfica.

La raíz real más grande es x ≈ 3.5

b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota: asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz.

c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x0 = 3,

d = 0.001).

( )

( )

( )

( )

Iteración 1 ( ) ( )

Iteración 2 ( ) ( )

Iteración 3 ( ) ( )

d) Con el método de la secante (tres iteraciones x–1 = 3, x0 = 4).

( )

( )( )

( ) ( )

Iteración 1 ( ) ( )

Iteración 2 ( ) ( )

Iteración 3 ( ) ( )

e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones, x0 = 3, d = 0.01). Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones.

( )

( )

( ) ( )

Iteración 1 ( ) ( )

Iteración 2 ( ) ( )

Iteración 3 ( ) ( )

( )

%

%

6.4 Localice la primera raíz positiva de f(x) = sen x + cos(1 + x2) – 1

donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro iteraciones

del método de la secante con valores iniciales de

a) xi–1 = 1.0 y xi = 3.0;

b) xi – 1 = 1.5 y xi = 2.5,

c) xi–1 = 1.5 y xi = 2.25.

Primera iteración

Xi-1=3 f(x-1)=-1.6979

Xi=1 f(Xi)=-0.5746

Xi+1= ( )

-0.023

Segunda iteración

Xi-1=3 f(x-1)= -1.6979

Xi=-0.023 f(Xi)=-0.4822

Xi+1= ( )

-1.2218

Tercera iteración

Xi-1=-0.023 f(x-1)=-0.4822

Xi=-1.2218 f(Xi)=-0.964

Xi+1= ( )

Iteración Xi-1 Xi Xi+1

1 1 3 -0.023

2 3 -0.023 -1.2218

3 -0.023 -1.2218 1.176

Primera iteración

Xi-1=1.5 f(x-1)=-0.9966

Xi=2.5 f(Xi)=0.1993

Xi+1= ( )

2.3565

Segunda iteración

Xi-1=2.5 f(x-1)= 0.1663

Xi=2.3565 f(Xi)=-0.6706

Xi+1= ( )

Tercera iteración

Xi-1=2.54 f(x-1)=-0.0845

Xi=2.3565 f(Xi)=0.1663

Xi+1= ( )

Iteración Xi-1 Xi Xi+1

1 1.5 2.5 2.3565

2 2.5 2.3565 2.54

3 2.3565 2.54 2.611

Primera iteración

Xi-1=1.5 f(x-1)=-0.9966

Xi=2.25 f(Xi)=0.7538

Xi+1= ( )

Segunda iteración

Xi-1=2.25 f(x-1)= 0.7538

Xi=1.927 f(Xi)=-0.618

Xi+1=1.927 ( )

Tercera iteración

Xi-1=1.927 f(x-1)=-0.0618

Xi=1.9514 f(Xi)=0.0238

Xi+1= ( )

Iteración Xi-1 Xi Xi+1

1 1.5 2.25 1.927

2 2.25 1.927 1.9574

3 1.927 1.9574 1.9449

6.6 Determine la raíz real más pequeña de f( ) – – –

a) En forma gráfica.

b) Con el empleo del método de la secante para un valor de que

corresponda a tres cifras significativas.

Graficamos y determinamos la raíz real más pequeña:

Posición x= 2.050633 y=0

Método de la secante

Valores iniciales

La raíz es 2.05

Primera iteración

( )

( )

( )

=2.01

|

|

Segunda iteración:

( )

( )

( )

=2.05

|

|

La solución es 2.05

6.8 Determine la raíz real de , con el método de la secante modificado dentro de Ea = 0.1%, con el uso de una elección inicial de Xo= 3.5 y d = 0.01.

( ) Función

Formula del método de la secante modificada

( )

( ) ( )

Iteración 1 ( ) ( )

Iteración 2

( ) ( )

( )

%

6.10 Determine la menor raíz positiva de ( ) ( )

a) En forma gráfica.

b) Con el uso del método de Newton-Raphson(tres iteraciones, xi=0.3).

c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).

La menor raíz positiva es: 0.14501

( ) ( ) ( )

Primera Iteración

( ) ( )

( )

( )

Segunda Iteración

( ) ( )

Tercera Iteración

( ) ( )

Iteracion X1 f(x1) f´(x1) Xi+1 1 0.3 -0.9689 5.8954 0.4643

2 0.4643 -0.9592 4.9876 0.6566 3 0.6566 -0.9524 4.1010 0.8888

c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi-1=0.5 y xi=0.3).

Primera Iteración

( )

( )=

( )( )

( ) ( )

( )

Segunda Iteración

( ) 17.4415

( )

( )( )

( ) ( )

( )

6.18 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el Método de la secante, con base en la figura 6.4 y la sección 6.3.2. Pruébelo con la repetición de los cálculos del ejemplo 6.6.

Option explicit

Sub Secmod()

Dim imax As Integer, iter As Integer

Dim x As Single, es As Single, ea As Single

x=1

es=0.01

imax=20

Msgbox “raiz: ” & ModSecant(x, es, imax`, iter, ea )

MsgBox “iteraciones: ” & iter

MsgBox “error estimado: ” & ea

End Sub

Function f(x)

f=Exp(-x)-x

End Function

Function ModSecant(x, es, imax, iter, ea )

Dim xr As Single, xrold As Single, fr As Single

Const del As Single=0.01

xr=x

iter=0

Do

xrold=xr

fr = f(xr)

xr=xr – fr * del * xr / (f(xr+del*xr)-fr)

iter= iter + 1

If(xr<> 0) Then

ea= Abs((xr-xrold)/xr)*100

End If

If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do

Loop

ModSecant = xr

End Function