Trabajo Metodos Numericos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones.

Los métodos numéricos de una manera nos permite desarrollar problemas muy tediosos de forma algebraica (manual), ya sea en programas o por los diferentes métodos, nos va a dar una solución, que tendrán una exactitud (se refiere a que tan cercano está el valor calculado).

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas, son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica.


OBJETIVOS

Dar a conocer mediante la aplicación del trabajo, el número de iteraciones y la diferencia que hay en el promedio o recurrencia (xr) y su error en los 4 métodos que vamos a conocer.


METODOS CERRADOS:

METODO DE BISECCION:

Si f es una función continua sobre el intervalo [a;b] y si f(a).f(b)<0, entonces f debe tener un cero en (a;b). Dado que f(a).f(b)<0, para que cumpla bolsano la función cambia de signo en el intervalo [a;b] y, por lo tanto, tiene por lo menos un cero en el intervalo. Ésta es una consecuencia del teorema del valor intermedio para funciones continuas.

El método de bisección explota esta idea ya que los extremos del intervalo se van a ir acercando sistemáticamente hasta obtener un intervalo de longitud suficientemente pequeña en el que se localiza un cero. El proceso de decisión para subdividir el intervalo consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y luego analizar las tres posibilidades que pueden darse.

El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]

A continuación se verifica que

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)

Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.

AUTOR: (http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n)

M. DE BISECCIÓN: El método de bisección es un método de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad.Para que cumpla este método, tiene que cumplir bolsano, ósea [ -a,b] como [a,-b] en pocas palabras tiene que ser menor que cero.

(AUTORES: ALUMNOS INTEGRANTES DE DICHO TRABAJO)

METODO DE LA REGLA FALSA:

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n


1.- Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

2.-Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))

3.- Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada.

4.- Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

5.- El proceso se repite, hasta que se supera una tolerancia previamente fijada o se alcanza un número de iteraciones predeterminado.

AUTOR (WIKIPEDIA/ REGLA FALSA)


Consiste en considerar un intervalo (Xi, Xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

Para calcular la recurrencia o promedio se hace de la siguiente manera.

FORMULA:

AUTORES (ALUMNOS INTEGRANTES DE DICHO TRABAJO)

METODOS ABIERTOS:

Se basan en fórmulas que requieran únicamente de un solo valor de inicio (X0) que


empiezan con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raíz.

METODO DE NEWTHON RAPHSON:

Tal vez de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de newton sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial por la raíz es Xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [Xi, f(Xi)].

Aparte es un método eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función, también puede ser usado para encontrar el máximo y mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada:

su fórmula es la siguiente:

Autor: Métodos Numéricos (Steven C. Chapra y Raymond P. canale)


METODO DE LA SECANTE:

Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera X0, X1, para los cuales se evalúan los valores de la función: f(X0) y f(X1).

EJERCICIOS


METODO DE BISECCION:

f(x)=x2 ex−1

Para que nos cumpla nuestra función, tiene que cumplir bolsano, para ello se trabaja con el [0,1].

Iteraciones Xi Xs f(Xi) f(Xs) Xr f(Xr) error f(Xi) f(Xr) f(Xs)

1 0 1 -1 1.71 0.5 -0.5878 0.5 Negativo negativo positivo

2 0.5 1 -0.5878 1.71 0.75 0.19 0.25 Negativo positivo positivo

3 0.5 0.75 -0.5878 0.19 0.625 -0.27 0.125 Negativo negativo positivo


5 0.687 0.75 -0.061 0.19 0.718 0.056 0.031 Negativo positivo positivo


7 0.7025 0.718 -0.0071 0.056 0.7102 0.0261 0.0077 Negativo positivo positivo


f(x)=e− x−x


iteración xi xs f(xi) f(xs) xr f(xr) e

1 0 1 1 -0.6321205 0.61269984 -0.0708139

2 0 0.61269984 1 -0.0708139 0.5266 0.064 0.0869984

METODO DE NEWTON:

f(x)=x3+2x2+7 x−20,


f’(x)=3 x2+4 x+7 , para quecumplabolsano [1,2 ]

x2=1−−1014

=1,714285x3=1,714285−2.915435722.67345918

=1.585701369

x4=1,585701369−0.115972200920.88615197

=1.580148781

Iteración Xi f(Xi) f'(xi) e

1 1 -10 14

2 1.714285 2.9154357 22.6734592 0.714285

3 1.58570137 0.11597722 20.886152 0.12858363

4 1.58014878 0.00020816 20.8112056 0.00555259

5 1.58013878 0.00000003 20.8110708 0.00001

METODO DE LA SECANTE:

f ( x )=e−X−x

para [0,1], donde x−1=0 x0=1

f (x¿¿−1)=1¿ f (x0 )=−0.63212❑❑❑❑❑❑ x1=1−−0.63212 (0−1 )1− (−0.63212 )

=0.61270

:x2=0.61270−−0.07081 (1−0.61270 )−0.63212−(−0.07081)

=0.56384


x3=0.56384−0.00518(0.61270−0.56384)

−0.07081−(−0.00518)=0.56717

APLICACIONES:

Un ingeniero agrícola desea analizar la situación de un flujo estacionario que ofrece el cruce de una viga pequeña de un puente. Una sola fila de

columnas de madera de 1 pie de diámetro cubre 60.96 m de ancho de un rio, en un lugar donde se sabe que el lecho del canal disminuye 0.30 m. la

velocidad del flujo corriente arriba es de 3.47 m/s y la velocidad y profundidad corriente debajo de las columnas son respectivamente de 3.23

m/s y 1.79 m. para esta distancia de transición calcule:

La profundidad corriente arriba y el número de FROUDE(Para calcular froude, desarrolle y calcule el promedio con bisección, para

n=13).

Q= V2A2= 3.23*60.96*1.79= 352.452m^3/s

calculo del tirante h1


Q1=V1A1=H1=352.452/3.47*60.96=1,67m

el número de froude

F1=V 1

√g∗promedio(Xr final )

P= 12x-h2 h2= 1,79

Trabajamos con el intervalo [2,4],

P = ½ (2)- 1,79 = -0,79P = ½ (4) – 1,79 = 0,21


como vemos cumple Bolzano, es menor que cero, porque al momento de multiplicar nos da -0.1659.

CONCLUCIONES

como vemos en los métodos de newton y la secante se diferencia de los métodos de la bisección y regla falsa, ya que comienzan con un punto

inicial (x0).

Hay métodos más que se puede encontrar el error y la raíz más rápido.


BIBLIOGRAFIA

Métodos Numéricos para Ingenieros (Steven c. chapra y

Raymond P. canale) sexta edición.

WIKIPEDIA( Método de bisección/ y aplicaciones).

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