UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, Decana de Amrica)

E.A.P INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

(2015-0)

TRABAJO DE METODOS NUMERICOS II

TEMA: MODELADO NUMERICO DE TANQUE CON FORMA DE CONO (METODO DE RUNGE-KUTTA IV)

ALUMNO:

- CHARA CARUAYO EDGARD

PROFESOR:

- VICTOR YZOCUPE

Lima Per Jueves 22 de Enero del 2015

INTRODUCCION

Dentro de la Ingeniera y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en

trminos de ecuaciones diferenciales .Por ejemplo ,trayectorias balsticas ,estudio de

redes elctricas , deformacin de vigas, estabilidad de aviones, teora de vibraciones y

otras aplicaciones de aqu la importancia de su solucin

En el paso del tiempo y en la vida se han presentado problemas, de igual manera en

nuestra carrera se presentan situaciones que pueden ser resueltas por medio de

ecuaciones, dichas ecuaciones se pueden expresar en funcin del tiempo que transcurre

a esto se le llama una razn de cambio donde una variable cambia en funcin de un

tiempo t, dichas ecuaciones han sido resueltas a travs de los mtodos de integracin y

clculos extensos, engorrosos y complicados; pero al aparecer alrededor del ao 1900

un mtodo numrico planteado por los matemticos alemanes Carl Tolm Runge y

Martin Wilhelm Kutta que consiste en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden

sin necesidad de realizar integrales y esto mezclado con las herramientas de tecnologa

como Excel hacen mucho ms fcil la solucin de dichas ecuaciones, a continuacin en

el siguiente informe se presenta el mtodo de Runge-Kutta y un ejemplo de cmo se

puede utilizar para resolver problemas de ingeniera tales como problemas de dinmica

de fluidos.

MARCO TEORICO:

METODO DE RUNGE-KUTTA

El mtodo de Runge-Kutta es un mtodo genrico de resolucin numrica de ecuaciones

diferenciales.

El mtodo de Runge-Kutta no es slo un nico mtodo, sino una importante familia de

mtodos iterativos, tanto implcitos como explcitos, para aproximar las soluciones de

ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.Os); estas tcnicas fueron desarrolladas

alrededor de 1900 por los matemticos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin

Wilhelm Kutta.

Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a

menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta.

Definamos un problema de valor inicial como:

Donde:

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto

del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio

ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en

el punto

usando el mtodo de Euler. Es otra vez la pendiente del punto medio,

pero ahora usando para determinar el valor de y es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Entonces para hallar el ( )

( )

[ ]

Esta forma del mtodo de Runge-Kutta, es un mtodo de cuarto orden lo cual significa

que el error por paso es del orden de ( ), mientras que el error total acumulado tiene el orden ( ).

PROBLEMA DE APLICACIN METODO DE RUNGE-KUTTA IV

A un tanque cnico de 7m de altura y 3m de radio, que contiene un lquido a una

altura h0=6.5m, se le hace llegar un caudal de 7 lt/s. Treinta minutos despus este

flujo se interrumpe por falla de la bomba, la cual se repara y arranca una hora

despus. Determine el caudal necesario para que el nivel se recupere y se mantenga

en 5m; as como el tiempo necesario para alcanzar ese nivel (rgimen permanente).

El caudal de salida es igual a 3.457 (lt/s) ininterrumpidamente.

SOLUCION:

Primero planteamos la siguiente ecuacin:

Diferencia de volumen= Caudal de entrada Caudal de salida

Cono

( )

De dato tenemos que Qe= 7x10-3

m3/s y Qs=3.457x10

-3 m3/s

Ahora hallamos el volumen del cono para una altura cualquiera

(2)

A x lo pasamos en funcin de y para poder integrar .

Por semejanza de tringulos tenemos lo siguiente:

Reemplazamos x en la ecuacin (2) e integramos de 0 a h:

(

)

Derivando el volumen respecto al tiempo obtenemos:

Reemplazamos todo lo obtenido en la ecuacin (1):

( )

Despejando

:

( )

Con esta ecuacin podemos usar el mtodo de runge kutta de cuarto orden en este caso

us el programa matlab para hacer los clculos en este caso usaremos dt=900 que es el

intervalo de tiempo dado en clase, h0=6.5m tenemos q hallar el descenso los primeros

30 minutos.

PROGRAMA MATLAB:

clear all

disp(' Aplicacin de descenso de fluido') disp(' RESULTADOS

UTILIZANDO RUNGE KUTTA-IV'); fprintf('\n') fprintf('\n %3s %5s %7s %7s %7s %7s %7s

%10s \n','No','t(seg)','altura(m)','K1','K2','K3','K4','altura

n+1(m)' ) n=1; %Numero de divisiones h=6.5; %Valor inicial de la altura t=0; %Valor inicial para el tiempo en segundos i=0; dt=(900-0)/n; %Intervalo de tiempo while (h1800 break end end

Obtenemos el siguiente cuadro:

En tres iteracin vemos q para un tiempo de 1800 segundos desciende hasta 6.3657m

Ahora el problema nos dice que justo pasado los treinta minutos la bomba deja de

funcionar entonces ya no habra caudal de entrada y para reparar la bomba se demorara

1 hora que son 3600 segundos.

La ecuacin sera la siguiente:

Donde nuestra nueva altura inicial es 6.3657m.

Entonces haciendo los clculos en nuestro programa obtenemos el siguiente cuadro:

Para 3600 segundos la altura del lquido en el cono ha vuelto a descender y ahora est

en 4.6320m.

Nuestra nueva altura inicial es h0=4.6320m

Ahora que pas 1 hora y la bomba ha vuelto a funcionar tenemos que calcular el caudal

de entrada necesario para que el lquido vuelva a su altura inicial, entonces para hallar

ese caudal tenemos que reemplazar 6.5 en la ecuacin de caudal de salida

Qs=

Qe=8.814*10-3

m3/s aprox.

Ese valor hallado anteriormente es nuestro nuevo caudal de entrada el cual usaremos en

el programa matlab para hallar en que tiempo el lquido regresa a su altura inicial y se

mantiene.

La siguiente ecuacion nos ayudara a calcular el tiempo aproximado en el que el lquido

llega a su altura inicial:

( )

Despus de ejecutar el programa obtenemos los siguientes resultados:

RESULTADOS UTILIZANDO RUNGE KUTTA-IV

No t(seg) altura(m) K1 K2 K3 K4 altura n+1(m)

1 0.00 4.6320 0.1010 0.0911 0.0921 0.0920 4.7252

2 900.00 4.7252 0.0919 0.0835 0.0842 0.0842 4.8105

3 1800.00 4.8105 0.0841 0.0769 0.0775 0.0775 4.8889

4 2700.00 4.8889 0.0774 0.0712 0.0717 0.0716 4.9614

5 3600.00 4.9614 0.0716 0.0662 0.0666 0.0665 5.0286

6 4500.00 5.0286 0.0665 0.0617 0.0620 0.0620 5.0913

7 5400.00 5.0913 0.0620 0.0577 0.0580 0.0580 5.1498

8 6300.00 5.1498 0.0579 0.0541 0.0544 0.0543 5.2047

9 7200.00 5.2047 0.0543 0.0509 0.0511 0.0511 5.2562

10 8100.00 5.2562 0.0510 0.0479 0.0481 0.0481 5.3048

11 9000.00 5.3048 0.0481 0.0453 0.0454 0.0454 5.3506

12 9900.00 5.3506 0.0454 0.0428 0.0430 0.0430 5.3939

13 10800.00 5.3939 0.0429 0.0406 0.0407 0.0407 5.4350

14 11700.00 5.4350 0.0407 0.0385 0.0386 0.0386 5.4739

15 12600.00 5.4739 0.0386 0.0366 0.0367 0.0367 5.5109

16 13500.00 5.5109 0.0367 0.0348 0.0349 0.0349 5.5461

17 14400.00 5.5461 0.0349 0.0332 0.0333 0.0333 5.5796

18 15300.00 5.5796 0.0333 0.0317 0.0317 0.0317 5.6116

19 16200.00 5.6116 0.0317 0.0302 0.0303 0.0303 5.6421

20 17100.00 5.6421 0.0303 0.0289 0.0290 0.0290 5.6713

21 18000.00 5.6713 0.0290 0.0277 0.0277 0.0277 5.6992

22 18900.00 5.6992 0.0277 0.0265 0.0265 0.0265 5.7260

23 19800.00 5.7260 0.0265 0.0254 0.0254 0.0254 5.7516

24 20700.00 5.7516 0.0254 0.0243 0.0244 0.0244 5.7761

25 21600.00 5.7761 0.0244 0.0234 0.0234 0.0234 5.7997

26 22500.00 5.7997 0.0234 0.0224 0.0225 0.0225 5.8223

27 23400.00 5.8223 0.0225 0.0216 0.0216 0.0216 5.8440

28 24300.00 5.8440 0.0216 0.0207 0.0208 0.0208 5.8649

29 25200.00 5.8649 0.0208 0.0200 0.0200 0.0200 5.8850

30 26100.00 5.8850 0.0200 0.0192 0.0192 0.0192 5.9044

31 27000.00 5.9044 0.0192 0.0185 0.0185 0.0185 5.9230

32 27900.00 5.9230 0.0185 0.0178 0.0179 0.0179 5.9410

33 28800.00 5.9410 0.0178 0.0172 0.0172 0.0172 5.9583

34 29700.00 5.9583 0.0172 0.0166 0.0166 0.0166 5.9750

35 30600.00 5.9750 0.0166 0.0160 0.0160 0.0160 5.9911

36 31500.00 5.9911 0.0160 0.0154 0.0155 0.0155 6.0066

37 32400.00 6.0066 0.0155 0.0149 0.0149 0.0149 6.0216

38 33300.00 6.0216 0.0149 0.0144 0.0144 0.0144 6.0361

39 34200.00 6.0361 0.0144 0.0139 0.0139 0.0139 6.0501

40 35100.00 6.0501 0.0139 0.0134 0.0135 0.0135 6.0636

41 36000.00 6.0636 0.0135 0.0130 0.0130 0.0130 6.0767

42 36900.00 6.0767 0.0130 0.0126 0.0126 0.0126 6.0894

43 37800.00 6.0894 0.0126 0.0122 0.0122 0.0122 6.1016

44 38700.00 6.1016 0.0122 0.0118 0.0118 0.0118 6.1135

45 39600.00 6.1135 0.0118 0.0114 0.0114 0.0114 6.1250

46 40500.00 6.1250 0.0114 0.0110 0.0110 0.0110 6.1361

47 41400.00 6.1361 0.0110 0.0107 0.0107 0.0107 6.1468

48 42300.00 6.1468 0.0107 0.0104 0.0104 0.0104 6.1572

49 43200.00 6.1572 0.0104 0.0100 0.0100 0.0100 6.1673

50 44100.00 6.1673 0.0100 0.0097 0.0097 0.0097 6.1771

51 45000.00 6.1771 0.0097 0.0094 0.0094 0.0094 6.1866

52 45900.00 6.1866 0.0094 0.0091 0.0091 0.0091 6.1958

53 46800.00 6.1958 0.0091 0.0089 0.0089 0.0089 6.2047

54 47700.00 6.2047 0.0089 0.0086 0.0086 0.0086 6.2133

55 48600.00 6.2133 0.0086 0.0083 0.0083 0.0083 6.2217

56 49500.00 6.2217 0.0083 0.0081 0.0081 0.0081 6.2299

57 50400.00 6.2299 0.0081 0.0079 0.0079 0.0079 6.2378

58 51300.00 6.2378 0.0079 0.0076 0.0076 0.0076 6.2454

59 52200.00 6.2454 0.0076 0.0074 0.0074 0.0074 6.2529

60 53100.00 6.2529 0.0074 0.0072 0.0072 0.0072 6.2601

61 54000.00 6.2601 0.0072 0.0070 0.0070 0.0070 6.2671

62 54900.00 6.2671 0.0070 0.0068 0.0068 0.0068 6.2739

63 55800.00 6.2739 0.0068 0.0066 0.0066 0.0066 6.2805

64 56700.00 6.2805 0.0066 0.0064 0.0064 0.0064 6.2869

65 57600.00 6.2869 0.0064 0.0062 0.0062 0.0062 6.2932

66 58500.00 6.2932 0.0062 0.0060 0.0060 0.0060 6.2992

67 59400.00 6.2992 0.0060 0.0059 0.0059 0.0059 6.3051

68 60300.00 6.3051 0.0059 0.0057 0.0057 0.0057 6.3109

69 61200.00 6.3109 0.0057 0.0055 0.0055 0.0055 6.3164

70 62100.00 6.3164 0.0055 0.0054 0.0054 0.0054 6.3218

71 63000.00 6.3218 0.0054 0.0052 0.0052 0.0052 6.3271

72 63900.00 6.3271 0.0052 0.0051 0.0051 0.0051 6.3322

73 64800.00 6.3322 0.0051 0.0049 0.0050 0.0050 6.3372

74 65700.00 6.3372 0.0050 0.0048 0.0048 0.0048 6.3420

75 66600.00 6.3420 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 6.3467

76 67500.00 6.3467 0.0047 0.0046 0.0046 0.0046 6.3513

77 68400.00 6.3513 0.0046 0.0044 0.0044 0.0044 6.3558

78 69300.00 6.3558 0.0044 0.0043 0.0043 0.0043 6.3601

79 70200.00 6.3601 0.0043 0.0042 0.0042 0.0042 6.3643

80 71100.00 6.3643 0.0042 0.0041 0.0041 0.0041 6.3684

81 72000.00 6.3684 0.0041 0.0040 0.0040 0.0040 6.3724

82 72900.00 6.3724 0.0040 0.0039 0.0039 0.0039 6.3763

83 73800.00 6.3763 0.0039 0.0038 0.0038 0.0038 6.3800

84 74700.00 6.3800 0.0038 0.0037 0.0037 0.0037 6.3837

85 75600.00 6.3837 0.0037 0.0036 0.0036 0.0036 6.3873

86 76500.00 6.3873 0.0036 0.0035 0.0035 0.0035 6.3908

87 77400.00 6.3908 0.0035 0.0034 0.0034 0.0034 6.3942

88 78300.00 6.3942 0.0034 0.0033 0.0033 0.0033 6.3975

89 79200.00 6.3975 0.0033 0.0032 0.0032 0.0032 6.4007

90 80100.00 6.4007 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 6.4038

91 81000.00 6.4038 0.0031 0.0030 0.0030 0.0030 6.4068

92 81900.00 6.4068 0.0030 0.0030 0.0030 0.0030 6.4098

93 82800.00 6.4098 0.0030 0.0029 0.0029 0.0029 6.4127

94 83700.00 6.4127 0.0029 0.0028 0.0028 0.0028 6.4155

95 84600.00 6.4155 0.0028 0.0027 0.0027 0.0027 6.4182

96 85500.00 6.4182 0.0027 0.0027 0.0027 0.0027 6.4209

97 86400.00 6.4209 0.0027 0.0026 0.0026 0.0026 6.4235

98 87300.00 6.4235 0.0026 0.0025 0.0025 0.0025 6.4260

99 88200.00 6.4260 0.0025 0.0025 0.0025 0.0025 6.4285

100 89100.00 6.4285 0.0025 0.0024 0.0024 0.0024 6.4309

101 90000.00 6.4309 0.0024 0.0023 0.0023 0.0023 6.4332

102 90900.00 6.4332 0.0023 0.0023 0.0023 0.0023 6.4355

103 91800.00 6.4355 0.0023 0.0022 0.0022 0.0022 6.4377

104 92700.00 6.4377 0.0022 0.0022 0.0022 0.0022 6.4399

105 93600.00 6.4399 0.0022 0.0021 0.0021 0.0021 6.4420

106 94500.00 6.4420 0.0021 0.0020 0.0020 0.0020 6.4441

107 95400.00 6.4441 0.0020 0.0020 0.0020 0.0020 6.4461

108 96300.00 6.4461 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 6.4480

109 97200.00 6.4480 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 6.4499

110 98100.00 6.4499 0.0019 0.0018 0.0018 0.0018 6.4518

111 99000.00 6.4518 0.0018 0.0018 0.0018 0.0018 6.4536

112 99900.00 6.4536 0.0018 0.0017 0.0018 0.0018 6.4553

113 100800.00 6.4553 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017 6.4570

114 101700.00 6.4570 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017 6.4587

115 102600.00 6.4587 0.0017 0.0016 0.0016 0.0016 6.4603

116 103500.00 6.4603 0.0016 0.0016 0.0016 0.0016 6.4619

117 104400.00 6.4619 0.0016 0.0015 0.0015 0.0015 6.4635

118 105300.00 6.4635 0.0015 0.0015 0.0015 0.0015 6.4650

119 106200.00 6.4650 0.0015 0.0015 0.0015 0.0015 6.4664

120 107100.00 6.4664 0.0015 0.0014 0.0014 0.0014 6.4679

121 108000.00 6.4679 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 6.4693

122 108900.00 6.4693 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 6.4706

123 109800.00 6.4706 0.0014 0.0013 0.0013 0.0013 6.4719

124 110700.00 6.4719 0.0013 0.0013 0.0013 0.0013 6.4732

125 111600.00 6.4732 0.0013 0.0013 0.0013 0.0013 6.4745

126 112500.00 6.4745 0.0013 0.0012 0.0012 0.0012 6.4757

127 113400.00 6.4757 0.0012 0.0012 0.0012 0.0012 6.4769

128 114300.00 6.4769 0.0012 0.0012 0.0012 0.0012 6.4781

129 115200.00 6.4781 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 6.4792

130 116100.00 6.4792 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 6.4803

131 117000.00 6.4803 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 6.4814

132 117900.00 6.4814 0.0011 0.0010 0.0011 0.0011 6.4825

133 118800.00 6.4825 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 6.4835

134 119700.00 6.4835 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 6.4845

135 120600.00 6.4845 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 6.4855

136 121500.00 6.4855 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 6.4864

137 122400.00 6.4864 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4874

138 123300.00 6.4874 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4883

139 124200.00 6.4883 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4892

140 125100.00 6.4892 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4900

141 126000.00 6.4900 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 6.4909

142 126900.00 6.4909 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4917

143 127800.00 6.4917 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4925

144 128700.00 6.4925 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4933

145 129600.00 6.4933 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4940

146 130500.00 6.4940 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 6.4948

147 131400.00 6.4948 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4955

148 132300.00 6.4955 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4962

149 133200.00 6.4962 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4969

150 134100.00 6.4969 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4975

151 135000.00 6.4975 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4982

152 135900.00 6.4982 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 6.4988

153 136800.00 6.4988 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 6.4995

154 137700.00 6.4995 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 6.5001

El tiempo para que regrese a su altura original esta entre 136800 y 137700 segundos

interpolando esos valores obtenemos que para una altura de 6.5m han transcurrido

137550 segundos en horas sera 38.2 horas.

ANEXO

En esta parte mostraremos las grficas de cada suceso primero graficaremos para

0

Ahora se graficara para cuando la bomba se malogr el rango seria 0

Ahora se graficar el ascenso del fluido hasta que llegue a 6.5m con un altura inicial de

h0=4.6320m

CONCLUSIONES

1. El mtodo de runge-kutta es un conjunto de mtodos iterativos para la aproximacin de ecuaciones diferenciales ordinarias que derivan

del mtodo de Taylor

2. Runge kutta es un mtodo numrico que aproxima la solucin de un problema de manera sencilla

3. La efectividad o exactitud del mtodo consiste en saber escoger un buen incremento

4. Se pueden resolver ecuaciones diferenciales sin tener necesidad de resolver las integrales , para resolver una ecuacin se necesita saber

una pendiente hallada a travs de la ecuacin :

.