!!! ART - Finitud Intuitiva e Infinitud Simbolica en La Filosofia de La Aritmetica y La Crisis de...

Revista de FilosofaVol. XX, N 2, 2008

pp. 285-302

.: finitud intuitiva e infinitud simblica en la Filosofa de la aritmtica y la Crisis de Husserl

Rosemary Rizo-PatrnPontificia Universidad Catlica del Per

Resumen: Desde su origen, la fenomenologa de Husserl oscila entre una valo-racin positiva del clculo tcnico, para compensar la limitada capacidad de los seres humanos, y una denuncia de la ceguera que su desarrollo extraordinario ha ocasionado respecto de la verdadera naturaleza del pensamiento cientfico y filosfico, en su sentido de `. Asimismo, respecto de la intuicin, la fenome-nologa oscila entre una valoracin positiva del carcter fundacional y autntico de las representaciones intuitivas bsicas y la observacin de su finitud radical. En esta ocasin exploramos algunos rasgos de estas oscilaciones.Palabras clave: intuicin, representacin, pensamiento simblico, finitud, infinitud

Abstract: Intuitive Finitude and Symbolic Infinitude in Husserls Philosophy of Arithmetic and Crisis. Since its inception, Husserls phenomenology oscillates between a positive valuation of technical calculus in order to compensate for the limited capacity of human beings, and a denunciation regarding the blindness that its extraordinary development has brought about regarding the true nature of scientific and philosophical thinking, in their sense as `. Likewise, regard-ing intuition phenomenology oscillates between on one side a positive valuation of the foundational and authentic character of the basic intuitive representations and, on the other, the observation of their radical finitude. This paper explores some salient features of these oscillations.Key words: intuition, representation, symbolic thought, finitude, infinitude

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Revista de Filosofa, vol. XX, N 2, 2008 / ISSN 1016 - 913X

Si tuvisemos representaciones (Vorstellungen) autnticas de todos los nmeros, como tenemos de aquellos del inicio de la serie numrica, no existira la aritmtica, pues sera completamente superflua1.

1. Introduccin

El proyecto fundacional de Husserl desde la Filosofa de la aritmtica hasta La crisis de las ciencias europeas y la fenomenologa trascendental se ha caracterizado por una ambigedad en relacin al valor, lugar y papel jugado en l por las representaciones intuitivas, de un lado, y los conceptos simblicos, del otro. Adems, ha trazado una clara diferencia entre el pensamiento filos-fico (esto es, lgico), de un lado, y el arte o tcnica del clculo, del otro entre Z y P. En efecto, el pensamiento filosfico o conceptual tanto el primariamente autntico o intuitivo como el secundariamente inautntico o simblico, a pesar de ser fundacional en relacin a toda forma de proceder calculante, es empero limitado y finito en su capacidad representativa. Los signos de las tcnicas calculatorias reemplazan por ende ambos tipos de representaciones conceptuales (autnticas e inautnticas), permitiendo al en-tendimiento superar sus limitaciones operativas y extender sus posibilidades a construcciones abiertas e infinitas.

Por ende, la fenomenologa de Husserl oscila desde su inicio entre una valoracin positiva del clculo tcnico, para superar la limitada capacidad de los seres humanos, y una denuncia de la ceguera que su extraordinario desarrollo ha causado en los ltimos siglos respecto de la verdadera naturaleza del pensa-miento cientfico y filosfico en tanto `. Asimismo, en relacin a la intuicin, Husserl oscila entre una valoracin positiva del carcter fundacional y autntico de las representaciones intuitivas bsicas y la observacin de su radical finitud. Exploraremos a continuacin algunos rasgos de estas oscilaciones.

1 Husserl, Edmund, Philosophie der Arithmetik, editado por Lothar Eley, Husserliana XII, La Haya: Nijhoff, 1970, p. 191. En adelante, citado como Hua XII.

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2. Del mundo finito al universo infinito

La crisis de las ciencias europeas y la fenomenologa trascendental de 1936 toma una clara posicin respecto de la caracterizacin global del racionalismo fisicalista moderno2 que ha olvidado su fundamento de sentido en el mundo de la vida3. All sostiene que la concepcin galileana de la naturaleza como universo matemtico est en el origen de una nueva idea de la universalidad de la ciencia, una ciencia matemtica natural sin precedentes, desconocida por los antiguos4. Ms all de la geometra euclidiana y su idea de una teora deductiva sistemtica y unitaria todava dentro de las fronteras de una silogstica aristotlica que descansa en conceptos y principios fundamentales axiomticos o en verdades incondicionada(s) mediata e inmediatamente evidentes5, una nueva infinitud ideal matemtica surge en la Modernidad a partir de una abstraccin formalizante, que empieza con la aritmetizacin de la geometra y la extensin de sus posibilidades con la introduccin del lgebra6. El resultado de la introduccin del lgebra, la geometra analtica y la matemtica de los continuos es una nueva ciencia natural seguida y retomada por un racionalismo matemtico. Un mundo en s mismo, infinito e ideal, parece por fin asequible al conocimiento humano. Los datos empricos intuitivos y la induccin proveen solo el suelo para un mtodo matemtico idealizante, para encontrar leyes exactas del mundo7, mientras que la nueva matemtica formalizada provee la idea de una omnisciencia (Allwissenheit) idealmente consumada8. El naturalismo, mediante el cual todo el universo debe pensarse en trminos de la naturaleza fsica o su anlogo, es una consecuencia de ello. La humanidad asegura su dominio sobre el mundo circundante fsico, psico-fsico y aun cultural viviendo en la tranquilizadora certeza de poseer un mtodo infalible para ampliar el conocimiento y en virtud del cual, a partir

2 Husserl, Edmund, Die Krisis der europischen Wissenschaften und die transzendentale Phnomenologie: Eine Einleitung in die phnomenologische Philosophie, Husserliana VI, La Haya: Nijhoff, 1962, p. 66. Traduccin castellana: La crisis de las ciencias europeas y la fenomenologa trascendental, traduccin de Jacobo Muoz y Salvador Ms, Barce-lona: Crtica, 1991, p. 68. En adelante, citado como Hua VI con referencia a la pgina en alemn, y como Crisis con referencia a la pgina en castellano.3 Cf. Hua VI, p. 48; Crisis, p. 50 passim. 4 Cf. Hua VI, p. 18; Crisis, p. 20. 5 Hua VI, pp. 18-19; Crisis, p. 21.6 Cf. Hua VI, pp. 43-44; Crisis, p. 45.7 Hua VI, p. 295; Crisis, p. 303.8 Hua VI, p. 66; Crisis, p. 68.

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del Todo del ser, realmente todo debera resultar conocido en la plenitud de su ser-en-s en un progreso infinito9.

La paradoja resultante es que el naturalismo habiendo supuestamente destruido la teologa y la metafsica como desvaros de mentes enfebrecidas ex-presa in extremis el punto de vista teolgico de que el conocimiento de las matemticas nos otorga una visin absoluta de las leyes del universo y sus determinaciones. Galileo, en Il saggiatore (1623, 48) y en sus Discorsi (1638), introdujo la concepcin luego retomada y fundada filosficamente por Descar-tes de que (a) el libro del universo ha sido escrito en lenguaje matemtico, sub specie aeternitatis; mediante dicho lenguaje, si lo adquieren, los seres hu-manos pueden contemplar el universo como Dios mismo lo hace10; y, (b) que las matemticas son el nico paradigma cientfico que ha de ser imitado por la filosofa. Un par de siglos despus, el matemtico y cientfico alemn Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que no era un religioso conservador sino ms bien un partidario del empirismo cientfico perpetu el punto de vista galileano con el dictum .11. En su Was sind and was sollen die Zahlen?, Dedekind, uno de los antiguos alumnos de Gauss, parafrasea el dictum de Gauss con una expresin similar, aunque no idntica, .12. Husserl rechaza esta versin en una nota al inicio de la segunda parte de su Filosofa de la aritmtica13, pues aunque la idea de un Dios aritmtico all se ve reemplazada por la de un ser humano aritmtico, esta nueva expresin preserva todava la idea de un ordenamiento aritmtico eterno del universo.

9 Hua VI, p. 67; Crisis, pp. 68-69. Modificamos ligeramente la traduccin.10 La filosofa est escrita en ese grandioso libro que est continuamente abierto ante nuestros ojos (lo llamo universo). Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que est escrito. Est escrito en lenguaje matem-tico, siendo sus caracteres tringulos, crculos y figuras geomtricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender una palabra; sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto (Galilei, Galileo, Il saggiatore, 6; citamos de la Introduccin de Carlos Sols en: Galilei, Galileo, Consideraciones y demostraciones matemticas sobre dos nuevas ciencias, editado por C. Solis y J. Sdaba, Madrid: Editora Nacional, 1976, p. 29).11 Cf. Smid, R.N., Introduccin del editor, en: Husserl, Edmund, Die Krisis der euro-pischen Wissenschaften und die transzendentale Phnomenologie, Ergnzungsband, Texte aus dem Nachlass 1934-1937, Husserliana XXIX, Dordrecht: Kluwer, 1993, pp. xxxiv-xxxv. En adelante, citado como Hua XXIX.12 Con respecto a la influencia de Weierstrass, Cantor y Dedekind en la concepcin y desarrollos tempranos de la aritmtica y el anlisis por parte de Husserl, cf. Strohmeyer, Ingeborg, Introduccin de la editora, en: Husserl, Edmund, Studien in Geometrie und Arithmetik. Texte aus dem Nachlass (1886-1901), Husserliana XXI, La Haya: Nijhoff, 1983, p. xiv. En adelante, citado como Hua XXI.13 Cf. Hua XII, p. 192.


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A Gauss se le menciona nuevamente en uno de los textos complemen-tarios de la Crisis de 193614, donde este paradigma y el concepto moderno matematizante del universo explicable sobre la base de aritmtica es fuerte-mente criticado. La teora aritmtica aqu aludida no es aquella por la que los conceptos se refieren a nmeros cardinales y conjuntos (Menge) construidos simblicamente como series ilimitadas, sino aquella de nmeros lgicos con-ceptuales concebidos en su generalidad incondicional y construidos sistem-ticamente siguiendo un mtodo conceptual para la construccin continua de ms nmeros15. As, la aritmtica deviene para Husserl el prototipo de toda ciencia moderna, incluyendo la geometra y la fsica: El mos geometricus es en verdad mos arithmeticus16. Indirectamente, bajo la hiptesis de poder construir una matematizacin gradual de la naturaleza17, los fsicos moder-nos y filsofos racionalistas sostienen que la totalidad de los cuerpos fsicos es alcanzable sistemtica y directamente (pasible de ser construida concep-tualmente) desde sus mbitos ya asegurados (fertige) hasta una infinitud pre-dada como horizonte de construcciones adicionales posibles.

La concepcin de Gauss inspirada por el racionalismo fisicalista moder-no es errada, segn Husserl. El universo no puede jams tener un horizonte lgicamente determinable (logifizierbaren) en una lgica que es logstica18. Esta concepcin ha dominado al mundo occidental por trescientos aos; sin embargo, no se ha explicado cmo es tericamente construible en una expe-riencia humana (trascendental).

Husserl ya manifiesta sus reparos respecto de esta incomprensin histrica de la naturaleza de la aritmtica en su Filosofa de la aritmtica de 1891. Con el objeto de explicarla en trminos de experiencia humana, propone

14 Cf. Hua XXIX, pp. 203-207. Dicho pasaje est destinado a reemplazar el comienzo del 60 de la Crisis.15 Cf. ibid., p. 204.16 Husserl contina: La fsica alcanza su dominio en la medida en que hipotticamente presupone un analogon de la cerrada infinitud de la serie numrica aunque pueda faltar aqu la evidencia constructiva por medio de la cual el dominio a priori es pre-dado como pasible de ser construido (ibid., pp. 204-205).17 Ibid., p. 205.18 As como cualquiera puede empezar con nmeros alcanzados individualmente, con lo que puede ser conducido a todos los dems nmeros pensables evidentes para todos, cada uno puede idealiter extender la evidencia de su propia experiencia del universo in infinitum. Por ende, cada uno se concibe a s mismo como un Dios hecho finito, y concibe a Dios como un individuo hecho infinito, con lo que uno puede expandir su percepcin finita limitada al infinito. Cf. ibid., pp. 205-206.

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reemplazar las frases de Gauss y Dedekind: Yo simplemente dira: El ser humano aritmetiza. Pero es importante entender por qu dice esto.

3. Comprensin filosfica versus dominio de tcnicas

A pesar de estar familiarizado con el anlisis y haber trabajado con el clculo de variaciones para su tesis doctoral, Husserl sorprendentemente se ala con la concepcin de Weierstrass, segn la cual la aritmtica, y su concepto de nmero entero bsico19, parece ofrecer la posibilidad de una fundacin unitaria de las matemticas como un todo. l seriamente piensa que el desarrollo de las tcnicas operatorias matemticas durante los siglos XVIII y XIX no ha trado un desarrollo concomitante de la filosofa de las ma-temticas20, esto es, que aquellas tcnicas providenciales21 no son el modo de alcanzar una comprensin filosfica de su naturaleza esencial22. En efecto, Husserl distingue claramente las tcnicas calculatorias del logos propio del pensamiento cientfico-filosfico, y reafirma su preocupacin por la falta de claridad filosfica sobre los fundamentos de las matemticas23.

Por ello, la comprensin de la naturaleza esencial de la matemtica, comenzando con la aritmtica, es una tarea filosfica; sostiene que fundarla filosficamente significa explicar la naturaleza lgica de sus conceptos. Ahora bien como Husserl mismo afirma en su Sobre el concepto del nmero de 1887, la lgica se comprende, segn una de las principales tendencias de su tiempo, como (a) una tecnologa o ars de juzgar correctamente; y, como (b) fundada ella misma en una nueva psicologa. Esta estara a cargo de plantear la cuestin del origen intuitivo (psicolgico o autntico) y el carc-ter fenomenal de las representaciones primitivas lgicas y matemticas, tales como las representaciones primitivas de tiempo, espacio, nmero, etc. Solo sobre esta base psicolgica previa abandonando propiamente el terreno

19 Cf. Hua XII, pp. 289-338.20 Cf. ibid., p. 7.21 Cf. Hua VI, p. 46; Crisis, p. 45.22 En su resea ulterior del libro de Schrder, Vorlesungen ber die Algebra der Logik (Exakte Logik), Husserl denuncia el intento de sustituir el dominio estrecho de la de-duccin lgica pura con tcnicas inferenciales, a saber, aquellas del clculo lgico. Cf. Husserl, Edmund, Aufstze und Rezensionen (1890-1910), Husserliana XXII, La Haya: Nijhoff, 1979, pp. 3-43. En adelante, citado como Hua XXII.23 La aritmtica general, la ms altamente desarrollada de las disciplinas calculantes, florece en adelante y hacia arriba aun cuando los ms dotados de sus representantes estn, y siempre han estado, muy distantes de una captacin ms profunda de sus principios fundamentales Esto tambin vale para el clculo lgico (ibid., p. 22).


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aritmtico, en cierto sentido desnaturalizndolo, puede ser luego planteada apropiadamente la cuestin de la naturaleza lgica de sus conceptos simb-licos o inautnticos24.

As, Husserl empieza siguiendo los pasos de Brentano, rechazando los procedimientos fundacionales puramente analticos como los de Helmholtz o Riemann25. Sin embargo, existen otras razones por las que las investigaciones sobre el origen psicolgico e intuitivo de las representaciones deben preceder a aquellas del origen lgico de los mtodos simblicos o inautnticos. Ellas tienen que ver, por un lado, con el hecho esencial de la constitucin finita, temporal de las facultades cognitivas humanas y, por el otro, con la extensin y carcter portentoso de las posibilidades abiertas por la formalizacin del pensamiento aritmtico26. Husserl sostiene mutatis mutandis las mismas ideas hasta el final de su vida27.

Sin embargo, la matematizacin de la ciencia natural en la Crisis de Husserl tiene una contraparte: tambin nos enfrenta a un vaciamiento de su sentido a travs de la tecnificacin. Ya antes de Galileo desde Vieta en adelante, este vaciamiento de sentido comienza con la aritmetizacin de la geometra. Primero, ocurre una liberacin del pensamiento aritmtico de toda realidad intuitiva, pasando a ser un pensamiento apririco sobre nmeros en general, sobre relaciones y leyes numricas28, etc. Pero esta aritmetizacin, a su vez, se supera por una formalizacin completamente universal que mejora y ampla la teora algebraica de los nmeros y de las magnitudes en un anlisis universal puramente formal; camino de una teora de la multiplicidad, de una logstica29 cuyo alcance primero apareci

24 Cf. Desanti, Jean-Toussaint, Postface en: Frege-Husserl Correspondance, Mauvezin: T.E.R., 1987, p. 69.25 Cf. Hua XII, pp. 290-293.26 Una extensin simblica de la construccin substancialmente finita de grupos, es, segn Husserl, necesaria puesto que somos seres finitos y temporales. Un ser eterno e infinito no calcula. La infinitud de las matemticas sera pues concebida como una forma peculiar de finitud. Un infinito actual sera de entrada absurdo (Eley, Lothar, Introduccin del editor, en: ibid., pp. xiii-xiv). 27 Hay que tener aqu en cuenta la poderosa difusin de las notaciones y de los mo-dos de pensamiento algebraico, que tiene lugar en la poca moderna desde Vieta... Esto significa, ante todo, un prodigioso acrecentamiento de las posibilidades del pensar arit-mtico heredado en las viejas frmulas primitivas formas que vienen a ser ahora en su totalidad algebraicamente formalizadas con un propsito metdico. Toma cuerpo as la aritmetizacin de la geometra del dominio total de las formas puras Son concebidas idealiter como mensurables de un modo exacto (Hua VI, pp. 43-44; Crisis, p. 44). 28 Hua VI, p. 43; Crisis, p. 45.29 Hua VI, p. 45; Crisis, p. 46.

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en la idea leibniziana de una mathesis universalis. La aritmtica, desde los tiempos modernos, gradualmente se convierte en una tcnica calculatoria: Se opera con letras, con signos de relacin y de enlace (+, x, =, etc.) y obedeciendo las reglas de juego de su coordinacin; de hecho, y en lo esencial, no de otro modo que en el juego de cartas o de dados. El pensamiento originario, que confiere autntico sentido a este proceso tcnico y verdad a los resultados obtenidos de acuerdo con las reglas, aunque se trate solo de la verdad formal caracterstica de la mathesis universalis formal, est aqu excluido30.

Como consecuencia de ello, tambin se drena el sentido de todos los do-minios de las matemticas y de la ciencia natural. Los mtodos experimentales de la ciencia son mecanizados. La complicidad ntima y el juego interactivo entre la ciencia natural y la tchne dan lugar a la fsica experimental y ma-temtica31. La estrategia de la Crisis no muy distante en su meta que aquella de la Filosofa de la aritmtica es comprender (y as recuperar) el olvidado fundamento de sentido de esta ciencia natural matematizada32. En ese sentido, Galileo es un genio descubridor y encubridor (entdeckender und verdeckender Genius)33, que revela al universo bajo la luz de la ley de la legaliformidad exacta verdadera (idealizada y matematizada), mientras que al mismo tiempo oculta el sentido de la matematizacin. Husserl aqu exige preguntar retrospectivamente por el sentido originario de todas [las] configuraciones de sentido [del cientfi-co] y de todos sus mtodos: por el sentido histrico de la fundacin originaria y, sobre todo, por el sentido de todas las herencias de sentido asumidas inadver-tidamente, as como por el de todas las posteriores en igual situacin34.

Bien, hasta ahora hemos visto dos exigencias antitticas en Husserl: a) la de buscar una fundacin filosfica en la experiencia intuitiva dadora de sentido, a pesar de su finitud radical; y, b) la de superar la experiencia finita para dar cuenta del dominio universal de la mathesis universalis, pasible de ser construido primero algebraicamente y luego a travs de una formalizacin sofisticada de la aritmtica en un proceso inacabado, a costas del vaciamiento de su fundamento de sentido. La primera exigencia se lleva a cabo a travs de un movimiento reflexivo hacia el sujeto experimentante; la segunda se expresa en un movimiento orientado objetivamente, alejndose del sujeto. Ambas exi-gencias son necesarias, ninguna es completa sin la otra.

30 Hua VI, p. 46; Crisis, pp. 47-48.31 Hua VI, p. 48; Crisis, p. 50.32 Cf. Hua VI, pp. 48ss; Crisis, pp. 50ss.33 Hua VI, p. 53; Crisis, p. 54.34 Hua VI, p. 57; Crisis, p. 59.


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4. Fundacin intuitiva y fundacin simblica de la aritmtica

En la Filosofa de la aritmtica, la primera exigencia es dar cuenta de la realizacin, o del origen, de la aritmtica en actos intuitivos, subjetivos, cogni-tivos y concretos. El concepto husserliano de intencionalidad todava no se ha desarrollado y el de Brentano ni es mencionado, aunque su punto de partida sea una distincin del maestro entre representaciones autnticas (intuitivas o plenas) e inautnticas (simblicas o vacas). Inicialmente, el concepto de intuicin (o representacin autntica) de Husserl parece muy limitado y preso de un cierto inmanentismo o fenomenalismo heredado del propio Bren-tano. La evolucin del concepto husserliano de intuicin durante la dcada que sucede a la publicacin de la Filosofa de la aritmtica es muy relevante, puesto que el alcance de este concepto se ampla considerablemente con la inclusin de la idealidad, sin dejar nunca su terreno finito. No obstante, pensamos que ya en la Filosofa de la aritmtica el concepto husserliano de intuicin muestra rasgos de apartarse de la explicacin psicolgico-descriptiva de Brentano.

Siguiendo a Weierstrass, Husserl empieza con el concepto del nmero cardinal, positivo y natural (Grundzahl o Anzahl), que l interpreta como una pluralidad (Vielheit) esto es, una cantidad, agregado o reunin35. Para trans-formar una pluralidad en un nmero, es preciso determinarla36. Husserl se pregunta cul es el fenmeno concreto, intuitivo y originario, de donde puede abstraerse el concepto de pluralidad. Responde que debe ser una totalidad o suma (Inbegriff) determinada de cualesquiera objetos37. A dichos objetos desprovistos de sus contenidos cualitativos respectivos y reducidos a meras unidades o algo se aade otra cosa: la relacin de la combinacin colec-tiva38. Esta ltima puede ser representada intuitivamente (autnticamente) a

35 Euclides haba definido los nmeros como una pluralidad de unidades a inicios del Libro VII de sus Elementos. Cf. Hua XII, p. 14. 36 Cf. ibid., p. 15.37 En sus escritos tempranos, Husserl se refiri a los objetos de las intuiciones como contenidos, repitiendo con ello el equvoco en el que incurri su maestro al caracte-rizar los objetos intencionales como in-existencias, esto es, contenidos. Husserl, en cambio, s distingue claramente entre objetos y contenidos de los conceptos inau-tnticos. 38 Cf. Hua XII, p. 79. En efecto, contra John S. Mill o incluso los filsofos escolsticos, y alindose con Leibniz o Locke, Husserl sostiene que todo objeto de representacin, fsico o psquico, abstracto o concreto, dado a travs de la sensacin o la imaginacin, puede ser relacionado con otro o con cualesquiera otros y, as, enumerado, como por ejemplo rboles determinados, el sol, la luna, la tierra y Marte La naturaleza de los

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travs de un acto de reflexin guiado por un inters unitario39. Puesto que hay muchos tipos de totalidades con sus respectivos tipos de conexiones, debe sealarse la exacta naturaleza de la combinacin colectiva. Apoyndose en la distincin de Brentano entre fenmenos psquicos y fsicos, Husserl distingue entre relaciones fsicas (o internas) y psquicas (o externas). Las primeras pueden ser relaciones metafsicas (como las que se dan entre la extensin espacial y el color; o entre el tallo, las espinas y las flores en una rosa), o inclusiones lgicas (como la del color y el rojo). Las relaciones psqui-cas, en cambio, estn caracterizadas por la in-existencia intencional de sus contenidos o elementos40. La conexin colectiva que caracteriza el fenmeno de totalidad a la base del concepto de pluralidad es una relacin psquica (externa), sostiene Husserl; tiene una naturaleza psicolgica41.

El concepto de pluralidad se abstrae pues de una totalidad cuyos elementos estn conectados psquicamente. l se expresa bajo la forma del uno ms uno ms uno etc., cuya relacin se representa por el y y los contenidos o funda-mentos por las unidades aadidas42. Si suspendemos la indeterminacin del concepto de pluralidad, o si nos detenemos en cualquier lugar de la serie 1+1+1+1 etc., y denominamos (determinamos) las unidades alcanzadas, dicho concepto da lugar al concepto de nmero. Puesto que este proceso es limitado y torpe, el concepto general y abstracto de nmero se obtiene preferentemente mediante una

contenidos individuales no interviene para nada (ibid., p. 16). Dentro de la totalidad se observa una conexin de elementos individuales en el todo (ibid., pp. 18-19). l usar, en adelante, el nombre de conexin colectiva para determinar la relacin que caracteriza la totalidad (ibid., p. 20). 39 Cf. ibid., p. 74.40 En una nota a pie de pgina, Husserl se refiere a la famosa Distincin entre fen-menos psquicos y fsicos de Brentano, resaltando su relevancia y denunciando en ella el uso de terminologa ambigua. As, las relaciones primarias (horizontales) (en lugar de fenmenos fsicos) se dan entre sus fundamentos y al mismo nivel que ellos (luego denominados siguiendo a Stumpf contenidos dependientes), y cualquier cambio en ellos afecta la relacin misma (cf. ibid., pp. 19-20, 68-70). Por el contrario, si las relaciones psquicas siguiendo a Brentano estn caracterizadas por la in-existencia intencional de sus contenidos (o fundamentos) (cf. ibid., p. 70), es porque se hallan en un distinto nivel que ellos. Cualquier cambio o variacin en los contenidos no afec-ta la relacin misma (cf. ibid., p. 73). Adems, las relaciones psquicas son captadas inmediatamente a travs de actos reflexivos, mientras que sus fundamentos solo de forma mediata (cf. ibid., pp. 69-70). 41 Para Brentano, solo hay percepcin adecuada de fenmenos psquicos, no de sus contenidos intencionales (fenmenos fsicos), siendo captados estos ltimos solo a travs de una Falschnehmung. Cf. ibid., p. 64. 42 Cf. ibid., p. 80.


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abstraccin de segundo nivel por el que se determina claramente la cantidad de unidades combinadas colectivamente por decir, desde abajo43.

Ahora bien, tanto el concepto de pluralidad como aquel abstracto y general de nmero son ambos conceptos autnticos, pues estn fundados directa e intui-tivamente en los Konkreta a su base. Solo ofrecen el fundamento de la aritmtica. Pero no bastan para explicar el edificio entero de la aritmtica, y mucho menos del conjunto de las matemticas. De all que deba realizarse una abstraccin simblica, para reemplazar estos conceptos con conceptos inautnticos o va-cos. El primer problema que emerge aqu concierne a las limitaciones humanas en el aprehender, construir y determinar multiplicidades infinitas mayores, del tipo de las series o procesos, en los que algunos grupos entran mientras otros caen44: Si tuvisemos autnticas representaciones (Vorstellungen) de todos los nmeros, como los que poseemos del inicio de la serie numrica, entonces no existira aritmtica alguna, pues sera totalmente superflua. Las relaciones ms complejas entre los nmeros, que descubrimos ahora con dificultad a travs de largos clculos, seran intuidas simultneamente con evidencia tales como las proposiciones del tipo 2+3=5 De hecho, empero, estamos limitados en nuestras capacidades de representacin. El hecho que hallamos algn tipo de lmite en nosotros mismos, yace en la finitud de la naturaleza humana. Solo pueden esperarse representaciones autnticas de todos los nmeros en una mente infinita As la aritmtica entera, como veremos, no es otra cosa que la suma de medios tcnicos para superar las imperfecciones (Unvollkommenheiten) esenciales de nuestro intelecto, que aqu mencionamos45.

As, para Husserl la simbolizacin es el proceso de sustitucin realizado por la mente para compensar aquella finitud de su constitucin y de su

43 Ibid., pp. 81-83. Burt Hopkins argumenta sobre la necesidad de comprender ade-cuadamente el concepto general de nmero cardinal. No tiene el sentido del concepto universal ms tardo de Husserl, como correlato de una intuicin ideal o categorial que determina a las unidades o pluralidades desde arriba, sino ms bien el sentido de conceptos de la especie de los nmeros mismos, donde lo que da lugar al concepto de nmero ideal al que nos referimos aqu es una abstraccin de objetos primero determi-nados por el acto de combinacin colectiva. Cf. Hopkins, Burt, Authentic and Symbolic Numbers in Husserls Philosophy of Arithmetic, en: The New Yearbook of Phenomenology and Phenomenological Philosophy, II (2002), pp. 39-71, especialmente, pp. 58-63. 44 Hua XII, p. 198. Los nmeros propiamente aritmticos no son las propiedades figu-rativas cuasi cualitativas que pertenecen a tipos grupales (que nos permiten reconocer rebaos, montones, filas, etc.). Estos estn construidos en la vida ordinaria (perceptiva), referidos con nombres generales, con un horizonte de posibilidades abiertas que posi-bilita que otros tipos puedan construirse o denotarse siguiendo ciertos intereses. 45 Ibid., pp. 191-192.

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capacidad autntica o intuitiva de representacin por la que apenas puede superar los doce elementos46. La construccin de la aritmtica, segn Husserl, ms que la de cualquier otra ciencia, manifiesta el carcter finito e imperfecto de la constitucin cognitiva humana. Este es el contexto en el que Husserl introduce su frase h nthropos aritmettzei. As, aunque el concepto simblico no es una representacin fundamental (o fundacional) pues reemplaza a la intuitiva, incluso cuando esta s es realizable, tiene un papel preponderante, pues ofrece una solucin a las limitaciones inherentes a la aprehensin consciente humana de las series temporales: Pensar que cualquier extensin de nuestra facultad cognitiva pueda capacitarnos para representar aquellos grupos [series numricas], de un modo efectivo, o por lo menos por medio de una sucesin exhaustiva, es imposible. He aqu una limitacin incluso en nuestro poder de idealizacin47.

Sin embargo, la simbolizacin y formacin de las series numricas con-ceptuales que propiamente da lugar al desarrollo de las matemticas no puede ser construida por conceptos puramente simblicos, inautnticos o vacos. El nico modo de superar verdaderamente la finitud de nuestra capacidad representativa es yendo incluso ms all de las representaciones conceptuales inautnticas, determinndolas, nombrndolas y denotndolas con signos fsicos para facilitar operaciones que de otro modo seran fcticamente imposibles de realizar. Los procedimientos deductivos son as reemplazados por clculos que no deducen de conceptos, sino que solo operan con signos sensibles que facilitan dichas operaciones como es el caso de las figuras y reglas de un juego48. La sustitucin simblica tiene as un doble carcter: por un lado, el concepto general autntico de nmero se ve primero sustituido por el concepto simb-lico, y este se ve luego sustituido por un signo ya que ni siquiera operamos con conceptos abstractos o generales, por ejemplo con el concepto 5, sino con objetos o signos que los substituyen y representan en general; y, por el otro lado, las actividades psquicas reales se ven sustituidas por operaciones matemticas de clculo por las cuales los signos se relacionan entre s.

46 Cf. ibid., pp. 191-196.47 Ibid., p. 219.48 Cf. ibid., pp. 256-258. Como hemos dicho, hay diferentes tipos de representaciones simblicas (cf. nota 44 supra): a) en la aprehensin perceptiva del carcter relacional de conjuntos o grupos ms grandes rebaos, manadas, filas, colas, etc. (Captulo XI); b) aquellos construidos culturalmente que representan nmeros o series numricas ms grandes, cuya aprehensin necesita de apoyos sensibles (Captulo XII); y, finalmente, c) la representacion simblica que da lugar a la aritmtica con el clculo, siendo su tarea hallar nmeros a partir de nmeros dados. Cf. Dallas, Willard, Introducin del traductor, en: Husserl, Edmund, Philosophy of Arithmetic, Psychological and Logical Investigations with Supplementary Texts from 1887-1901, Dordrecht: Kluwer, 2003, pp. liii-liv.


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Pero pronto para Husserl este proceso originalmente sustitutivo ad-quiere no solo un papel preponderante en las matemticas, sino tambin uno fundacional cuando aparece absolutamente divorciado de la representacin y del concepto intuitivo en su base, de toda actividad de idealizacin, y aun de toda funcin sustitutiva, como en las operaciones ms elevadas de la aritmtica y las matemticas, v. gr. al tratar de conjuntos infinitos y sus contradicciones lgicas.

Como consecuencia, la idea inicial de la Filosofa de la aritmtica de determinar las fuentes lgicas de toda la arithmetica universalis49, pasando previamente por una fundacin psicolgica de la misma, es claramente absurda, irrealizable idealiter50. Y, sin embargo, cmo pueden justificarse los procesos formales calculantes si no hay un cierto paralelismo entre con-ceptos y signos? Yendo ms lejos, cmo se puede legitimar la extensin del dominio numrico?

En un manuscrito de 1890 que trata sobre ese tema, donde Husserl critica cuatro teoras de la extensin y luego discute aqullas que son verdaderas51, su respuesta parecida a la cuarta teora criticada consiste en afirmar que la extensin del dominio numrico no depende de un fundamento conceptual, sino de las reglas de los signos y de un clculo propio de la tcnica aritmtica. De este modo, no hay propiamente extensin del dominio conceptual numrico, sino solamente de la tcnica aritmtica. Esta extensin es pues solo el producto de la matemtica formal o de una filosofa del clculo, a saber, del formalismo puro libre de su base conceptual52. La investigacin para el segundo volumen

49 Incluyendo el dominio numrico de nmeros negativos, racionales, irracionales e imaginarios, siendo la introduccin de nmeros irracionales lo ms difcil puesto que implica la inclusin de operaciones y conjuntos infinitos, y el infinito actual o ma-temtico (cf. Strohmeyer, I., Introduccin de la editora, en: Hua XXI, p. xvii). 50 Cuando uno se refiere a conjuntos infinitos (como los puntos de una lnea, o los l-mites en un continuum) y lo que podemos representar propiamente de ellos (un proceso determinado ilimitado o lo que est incluido en su unidad conceptual), Husserl admite que est tratando con un concepto esencialmente nuevo, que no es el concepto de un conjunto en el sentido real de la palabra (Hua XII, p. 221). Las cursivas son nuestras. 51 Las cuatro Erweiterungstheorien criticadas son: 1) la escptica; 2) la dada a travs de la definicin de nuevos nmeros; 3) la extensin a otros dominios conceptuales a travs de intuiciones ilustrativas (Veranschaulichungen); y, 4) la legitimacin de la extensin de un modo no conceptual. Cf. Hua XXI, pp. xviii-xxiii y Apndices II y III. 52 Strohmeyer observa que Husserl, en dicha poca, mientras conceba la construc-cin de la arithmetica universalis mediante un algoritmo extendido y justificado por una tcnica calculante, no necesitaba fundarla en axiomas (cf. ibid., pp. xxxii-xxxvi; cf. tambin Text 5, en: ibid.). Solo cuando se muda a Gotinga en 1901 y cae bajo la influencia de Hilbert, l reinterpreta su teora previa de modo axiomtico acercndose

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proyectado y finalmente nunca redactado de la Filosofa de la aritmtica conduce a Husserl a desarrollar una filosofa del clculo que, sobre la base del carcter formal de la aritmtica y de modo unitario, pretende: a) desarrollar el funda-mento lgico de la aritmtica general como una ciencia del clculo; b) resolver el problema de la extensin del dominio numrico como su extensin algortmica entendida formalmente; y, c) analizar la posibilidad de aplicar la aritmtica a diferentes dominios conceptuales con idntico algoritmo53. En consecuencia, Husserl concluye que el dominio de los nmeros naturales no es el fundamento de la aritmtica, y en adelante no modifica su concepcin inicial de esta ltima como una teora general de las operaciones o una ciencia del clculo54.

5. Tcnicos, lgicos y filsofos

La resea que Husserl escribe en 1891 sobre el lgebra de la lgica de Schrder tambin trata de la distincin entre la tcnica o arte del clculo, por un lado, y el pensamiento lgico o filosfico, por el otro. Este ltimo es originalmente autntico, esto es, intuitivo, y secundariamente inautntico, esto es, conceptual o simblico, y en ambos sentidos limitado en su capacidad representativa. As, el arte del clculo los signos de la tcnica calculante substituye a ambas operaciones conceptuales autnticas e inautnticas y compensa las limitaciones de las capacidades humanas mentales.

al programa hilbertiano de la fundacin de la aritmtica. As, su concepcin inicial no estaba sujeta a la crtica ulterior de K. Gdel a los sistemas axiomticos (cf. Gdel, K., ber formal unentscheidbare Stze der Principia Mathematica und verwandter Syste-me, en: Monatshefte fr Mathematik und Physik, XXXVIII (1931), pp. 173-198). 53 Cf. Hua XXI, p. xxxviii. El concepto ms general del dominio aritmetizable no es un concepto numrico ni cuantitativo, sino un conjunto (Menge) o una multiplicidad (Mannigfaltigkeit) Estos conceptos son ms generales en la medida que estn ab-solutamente abstrados de la naturaleza particular, cuantitativa de sus objetos, y solo representan un objeto o un algo (ibid., p. 66; cf. tambin Hua XII, p. 493). De all el prlogo de las Investigaciones lgicas: Cuando luego descubr en la lgica matemti-ca una matemtica que efectivamente no tiene nada que ver con la cantidad se me plantearon los importantes problemas sobre la esencia de lo matemtico en general y especialmente sobre la relacin entre lo formal de la aritmtica y lo formal de la lgica (Husserl, Edmund, Logische Untersuchungen I: Prolegomena zur reinen Logik, edicin de Lothar Eley, Husserliana XVIII, La Haya: Nijhoff, 1975, /A VI/; traduccin castellana: Investigaciones lgicas, Tomo I, traduccin de Manuel G. Morente y Jos Gaos, Madrid: Revista de Occidente, 1967; en adelante, citado como Hua XVIII, con referencia a las pginas en alemn, y como IL I, con referencia a las pginas en castellano). 54 De hecho, ya en 1890 comenta Strohmeyer Husserl escribe a Stumpf que los an-lisis de otros conceptos numricos (originales, negativos, etc.) llevan al conocimiento de que el concepto del nmero natural no constituye el fundamento de la aritmtica general (Hua XXI, p. xiv).


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Adems de la ambigedad ya mencionada entre una valoracin posi-tiva del desarrollo extraordinario del clculo tcnico y una denuncia de su ceguera respecto de la naturaleza del pensamiento cientfico y filosfico, otra ambigedad relacionada con la anterior aparece claramente en esta resea crtica. Concierne a los equvocos derivados de la relacin entre la deduccin lgica y el clculo. En efecto, dice Husserl: todas las disciplinas deductivas desarrolladas utilizan tcnicas simblicas adicionales para la derivacin de verdades: calculan con diversos algoritmos. Pero, acaso el clculo es deduc-cin? De ninguna manera. El clculo es un procedimiento ciego con smbolos, de acuerdo a reglas mecnicamente reiteradas para la transformacin y trans-posicin de signos en el respectivo algoritmo Fue un error fundamental de la vieja lgica formal que, mientras se limitaba a este dominio estrecho de la pura deduccin, segua creyndose capaz de alcanzar las metas de la lgica. La lgica algortmica, que de hecho es la heredera directa de la vieja lgica, adopt ese error Ya la lgica escolstica degenera en una mera tcnica deductiva. Estaba esencialmente dedicada al desarrollo de reglas tcnicas. Siguiendo estas reglas dentro de las formas que, en general, tom en conside-racin aquella lgica, se podan construir mecnicamente las conclusiones de cualquier conjunto dado de premisas, y as librarse de una deduccin genuina. Esta tcnica primitiva y limitada es la semilla de donde ha crecido el orgulloso edificio del clculo lgico. Lejos de ser una teora de la deduccin pura es, ms bien, un mecanismo para volver superflua a tal deduccin55.

Los argumentos crticos de Husserl respecto de las implicaciones y con-secuencias del lgebra de la lgica son particularmente fuertes, puesto que intenta mostrar que a este supuesto clculo no se le puede llamar lgica, en el sentido propio de la palabra, sino solamente una tcnica para manipular signos56. Husserl entonces deriva las consecuencias necesarias para distinguir entre las tareas y cualidades propias de los filsofos de la lgica, por un lado, y de los tcnicos lgicos, por el otro. No solamente no van de la mano, sino que frecuentemente se hallan enfrentados unos a otros57.

55 Hua XXII, p. 7.56 No es otra cosa que una tcnica para manipular signos Pero el clculo no es de-duccin. Es ms bien un sustituto externo (usserliches) de la deduccin El clculo lgico es, pues, un clculo de la pura deduccin; pero no es su lgica. l no es una lgica, como tampoco la arithmetica universalis, extendida a todo el dominio de los nmeros, es una lgica de dicho dominio (ibid., p. 8). 57 Se puede ser un extraordinario tcnico de la lgica, siendo a la vez un filsofo de la lgica muy mediocre; y, uno puede ser un extraordinario matemtico, siendo a la vez un filsofo de la lgica muy mediocre Es casi como si las actividades mentales

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Esta distincin le permite a Husserl subrayar una vez ms el carcter primordial en su opinin de la lgica de contenidos (Inhaltslogik) con respecto a la lgica extensional denominada tambin lgica de clases (Umfangslogik): Pues este clculo trata con relaciones de clases. Pero las clases mismas no son sino colectividades, y el clculo solamente las trata en tanto colectividades58. Schrder, por cierto, argumenta a favor de la lgica de clases, supuestamente debido a la capacidad limitada de los seres humanos para determinar datos de contenido conceptual; puesto que las especificaciones extensionales compen-san tal limitacin, solo ellas debieran estar a la base de la lgica59. Asimismo, los referidos datos de contenidos son segn Schrder los supuestos cons-tituyentes del contenido ideal de los conceptos, debindose su imperfeccin a que los contenidos no son nunca completamente enumerados con dichos conceptos. Sin embargo, Husserl considera que Schrder se debate con un contrincante inexistente, pues en verdad ningn ser humano posee intuitiva-mente un contenido conceptual ideal (a saber, la totalidad de las propiedades comunes de todos los objetos que caen bajo el concepto), y considera que el modo de referirse a dicho contenido ideal conceptual es a travs de las formas simblicas que los mientan al vaco60.

requeridas en uno y en otro fueran en extremo heterogneas, pues es solo muy rara vez que se hallan unidas en una persona (ibid., p. 9). Apreciaciones similares con respecto a las diferencias en las actitudes de filsofos y cientficos (matemticos, lgicos), as como entre las actitudes crtico-fenomenolgicas y dogmticas, se ofrecen en otras obras: Ideen zu einer reinen Phnomenologie und phnomenologische Philosophie. I. Band: Allgemeine Einfhrung in die Phnomenologie, editado por Karl Schuhmann, Husserliana III/1, La Haya: Nijhoff, 1977, 25, 26, 62. Traduccin castellana: Ideas relativas a una fenomenologa pura y una filosofa fenomenolgica. I: Introduccin general a la fenomenologa pura, traduccin de Jos Gaos, Mxico D.F.: FCE, 1993. En adelante, citado como Hua III/1 con referencia a la pgina en alemn. Cf. tambin Entwurf einer Vorrede zu den Logischen Untersuchungen (1913), en: Tijdschrift voor Filosofie, I (1939), 5. Ms tarde Husserl caracteriza a los matemticos como siendo totalmente indiferentes a la fundacin positiva de una lgica de la verdad formal, y al posible ser de las objetividades que quizs correspondan a [sus] juicios, quedando su trabajo en el nivel de una mera lgica de la no-contradiccin, sosteniendo que las matemticas no son un paradigma para el pensamiento filosfico y que hay una superioridad de la evidencia filosfica con respecto a la evidencia matemtica (cf. Formale und transzendentale Logik, Versuch einer Kritik der logischen Vernunft, edicin de Paul Janssen, Husserliana XVII, La Haya: Nijhoff, 1974, 52, 69, 59 passim; traduccin castellana: Lgica formal y lgica trascendental. Ensayo de una crtica de la razn lgica, traduccin de Luis Villoro, Mxico D.F.: Universidad Nacional Autnoma de Mxico, 1962). 58 Hua XXII, pp. 14-15.59 Cf. ibid., p. 16.60 Cf. ibid., pp. 17-20.


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ntimamente relacionada a la confusin de Schrder, y de la tradicin, entre el clculo y el pensamiento deductivo, o entre P y Z, est segn Husserl la confusin adicional segn la cual el pretendido desarrollo de un lenguaje exacto, tcnico, libre de las ambigedades y equvocos del lenguaje natural, explica por s solo la transformacin de la vieja lgica en la nueva, comprendida esta como un clculo. Asimismo, una nueva distincin tendra que introducirse entre lenguaje y algoritmo (en el sentido sui generis que Husserl da a este trmino): Un lenguaje no es un mtodo simblico para la derivacin de conclusiones, y un clculo no es un mtodo simblico para la expresin sistemtica de fenmenos mentales61. De hecho, con uno no est dado automticamente el otro. Y es sobre todo seguro que el clculo lgico es solo un clculo, y no es en absoluto un lenguaje62.

En consecuencia, Husserl trata en esta resea de dos parejas de opo-siciones: por un lado, entre el clculo y la deduccin lgica, en donde, a pesar de la finitud de la deduccin lgica y la infinitud (potencial) del clculo, la deduccin es fundadora respecto del clculo; y, por el otro lado, entre len-guaje y clculo, asimilando la deduccin lgica a este ltimo63.

6. Entre la finitud intuitiva ideal y la finita infinitud formal

Lothar Eley comenta que Husserl, en su Filosofa de la aritmtica, com-prendi que una aritmtica general solo puede fundarse tomando en consi-deracin el infinito actual. Y si no public su segundo volumen esto significa que el plan de Husserl para construir una aritmtica finita estaba condenada al fracaso64. Esto poda ser visto como su imposibilidad de dar cuenta de la tensin interna entre, por un lado, la naturaleza finita de la instanciacin de la aritmtica en actos subjetivos, cognitivos, concretos, y, por el otro, el carcter infinito del dominio objetivo, verdadero, ideal y trascendente de la mathesis universalis65.

61 Ibid., p. 21.62 Ibid., p. 22.63 Husserl trata el mismo tema en El clculo deductivo y la lgica de los contenidos. Cf. ibid., pp. 44-66, 67-72. 64 Hua XII, p. xx.65 Bien conocido es el registro del diario de Husserl con fecha 25 de setiembre de 1906: Desde inicios de este mes me he visto seriamente imbuido en mi trabajo He ledo bastante de la Filosofa de la aritmtica. Cun inmaduro, cun ingenuo y casi infantil me ha parecido este trabajo. Bueno, no fue por nada que mi conciencia me atorment cuando lo publiqu. En verdad, ya lo haba superado cuando lo publiqu. Despus de

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La frase de Husserl el hombre aritmetiza se refiere a la capacidad virtual de los seres humanos de construir simblica y tcnicamente dominios infini-tos sobre la base de herramientas intuitivas muy limitadas, y as superar su constitucin imperfecta. En efecto, como hemos visto, los seres humanos que aritmetizan lo hacen presuponiendo que las herramientas a la base de su estra-tegia a pesar de su finitud no son puramente empricas ni individuales (como afirma Brentano en su perodo tardo), sino que contienen una idealizacin sui generis de las representaciones originales en dos etapas: una que conduce de los elementos arbitrarios unificados por la combinacin colectiva hasta el concepto general abstracto de nmero; y la otra que conduce de la simbolizacin de las series numricas autnticas aunque inasequibles por ser abiertas hasta su formacin conceptual puramente simblica. La finitud inherente a estos dominios conceptuales explica la necesidad de reemplazarlos por una infinitud tcnica de la extensin algortmica del dominio numrico; de ese modo Husserl resuelve la imposibilidad ideal de hallar en el dominio conceptual las fuentes lgicas de la arithmetica universalis. Pronto no queda paralelismo entre los conceptos y los signos. La extensin (Erweiterung) del dominio numrico se legitima por otras vas, cuyos instrumentos Husserl todava no ha desarrollado en 1891. El formalismo puro libre de su base conceptual tendr que reemplazar a los anteriores procedimientos fundacionales. Posteriormente, Husserl como seala en sus Investigaciones lgicas de 1900 tendr que reformular los importantes problemas sobre la esencia de lo matemtico en general sobre la relacin entre lo formal de la aritmtica y lo formal de la lgica66, replantear la distincin kantiana entre juicios sintticos y analticos, y superar las huellas de un psicologismo sui generis que l detecta posteriormente en este trabajo inicial.

Y sin embargo, hasta la Crisis, Husserl nos recuerda continuamente que la superacin de la finitud, y la infinitud alcanzada a travs de la formalizacin tcnica, se da y constituye desde la estructura temporal de la experiencia hu-mana. La infinitud formal no es actual ni divina, sino ms bien una infinitud temporal, humanamente finita.

todo, haba sido esencialmente escrito en los aos 1886-87. Yo era un principiante (Biemel, Walter (ed.), Edmund Husserl - Persnliche Aufzeichnungen, en: Philosophy and Phenomenological Research, XVI (1956), p. 294). 66 Hua XVIII, /A VI/; IL I, p. 20.

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