FUNCIONES

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I. Se representa por:

f:DI

El conjunto D recibe los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, a la que se conoce como variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por la letra y. A la variable y se la conoce como variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

f: D I x f(x)=y

1.1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda función definida desde un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f: D R x f(x)=y

Para que una función quede definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final o imagen de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo

elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f: R R x x2

asigna a cada número real su cuadrado. Esta función tiene por dominio todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Además, tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

Im(f) = R+

La regla de asignación es que dado cualquier número real x, debemos calcular su cuadrado para obtener la imagen.

Ejemplo : Hallar el Dominio de la función f definida por:

Solución: La función anterior asigna a cada número x, el valor

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f. Esta expresión está definida para todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real.

Como el denominador x - 2 se anula cuando x = 2, nos queda que el Dominio de la función es R - {2}. Esto se representa mediante intervalos: Dominio = (-, 2) (2, +)

Ejemplo : Hallar el Dominio de la función g definida por:

Solución: La expresión de la función está definida cuando el radicando es mayor o igual que cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de todos los números reales. Por lo tanto se trata de hallar qué valores de x hacen que x2-9≥0:

Luego el Dominio = (-, -3] [3, +).

Ejemplo : Hallar el Dominio de la función h definida por:

Solución: La expresión de la función está definida cuando el denominador no se anula, por lo que tenemos que:

  Por tanto, al Dominio pertenecen todos los números reales excepto el 3 y el -2, es decir, Dominio = (-∞, -2) U (-2, 3) U (3, +∞).

Ejemplo : Hallar el Dominio de la función f definida por:

 Solución: El denominador nunca se hace cero, ya que x2 + 2 > 0 para cualquier valor que tome x. Por lo tanto el Dominio de esta función es toda la recta real R.

2. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Dado que una función f asigna a cada número x del Dominio, un número y = f(x) del conjunto imagen, el conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo o gráfica de la función.

Para obtener los pares de números basta con dar valores a la variable independiente x, para obtener los correspondientes valores de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente (x); el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente (y). A cada par de números le corresponde un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

Ejemplo : Representar gráficamente la función definida por

Solución: Esta función toma el valor -2 para todos los puntos cuya abscisa sea negativa o cero, y toma el valor 3 para todos los puntos cuya abscisa sea positiva.

En este caso: Im(f) = {-2, 3}, con lo que la gráfica es la siguiente:

3. OPERACIONES CON FUNCIONES

3.1. Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g (x)

3.2. Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g (x)

  Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

3.3. Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f · g)(x) = f(x) · g (x)

3.4. Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

 

  (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

3.5. Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a · f )(x) = a · f(x)

Ejemplo : Dadas las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x – 4, definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Solución: La función f + g se define como:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

(f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

  Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

Ejemplo: Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x) y calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Ejemplo: Dadas las funciones f y g, calcular la función f·g:

  Solución:

  Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo : Dadas las funciones Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g y calcular las imágenes de los números -1, 2 y 3/2.

Solución: La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula. Así tenemos que:

  Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo : Dada la función f(x), calcula 3f y 1/3·f. Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

3.6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).  

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

 1. Se calcula la imagen de x mediante la función, f(x).

 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de los valores 1, 0 y -3.

Solución:

La imagen de los números 1, 0, -3, mediante la función gof es:

Ejemplo: Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g ) (-1)

Solución:

a) La función g o f está definida por:

b) La función f o g está definida por:

Observar que f o g ≠ g o f. 

  c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

4. SIMETRÍAS

4.1. Funciones pares

Una función f es par cuando cumple f(x) = f(-x) para cualquier valor de x. Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

 

4.2. Funciones impares

Una función f es impar si cumple f(-x) = - f(x). Es decir, a valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la de 1...).

f(2) = -f(2); f(-5) = -f(-5); f(1/3) = -f(1/3)

  Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo: Indicar cuáles de estas funciones son pares: f(x)=x2; g(x)=3x+2; k(x)=ІxІ.

Solución:

La función f(x) es par.

 

La función g(x) no es par.

 

k(x) = |x| es una función par.

Ejemplo: ¿Cuáles de estas funciones son impares?:

 

S olución :

Esta función es impar.

 

Esta función es impar.

 

h(x) no es una función impar.

4.3. Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)

Así, la función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple:

sen (x + 2π) = sen x

5. Función inversa

 Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a.

Para que una función tenga inversa es necesario que dicha función proporcione siempre imágenes distinta para orígenes distintos, es decir, debe verificarse siempre que si x1≠ x2

entonces, f(x1) ≠ f(x2).

Para determinar la función inversa seguimos los siguientes pasos:

  _ Despejar la variable independiente x.

  _ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

  La función así obtenida es la inversa de la función dada. Además, las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y del 3.er cuadrante.

Ejemplo: Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Solución:

Se despeja x:

  Se intercambian ambas variables y obtenemos la función inversa:

Ejemplo: Dada la siguiente función, halla su función inversa y su domino:

Solución: El dominio de esta función está formado por todos los números positivos, incluido el cero.

Se despeja x: x=y2

Se intercambian las variables: y=x2

Así, la función inversa es y = x2.

Ejemplo: Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

S olución:

1º Se despeja x: x = -y + 4.

2º Se intercambian ambas variables: y = -x + 4.

3º La función dada coincide con su inversa.

6. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función y=f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende o se acerca la función en puntos muy próximos a x0.

Ejemplos: Considérese la función lineal y = 2x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 3?

Solución:

Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3. Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:

x 2 2,5 2,9 2,99 3,01 3,1 3,5 4f(x) 5 6 6,8 6,98 7,02 7,2 8 9

Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la proximidad de f(x) a 7.

Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2x + 1 es 7, y se escribe

6.1. Límites de funciones racionales (cociente de polinomios)

Usaremos los límites en dos casos:

1. Determinación del límite en las proximidades de asíntotas verticales. Cuando haya una asíntota vertical usaremos los límites para determinar si la función tiende

a + ó -. Esto ocurre en aquellos puntos que hacen 0 el denominador. Pueden ocurrir los

siguientes casos:

a. Indeterminación del tipo ó . Ocurre en los casos en los que el grado del

polinomio del numerador es igual o menor que el del denominador. Tendremos que

hallar los límites laterales:

a. Límite lateral por la izquierda: sustituyo la x por x=t-

b. Límite lateral por la derecha: sustituyo la x por x=t+

Siendo t el punto que anula el denominador.

Ejemplo: Estudiar en x=0.

. El punto que anula el denominador es x=0, que es el que estudiaremos.

Límite lateral por la izquierda:

x=0-

Límite lateral por la derecha:

x=0+

b. Indeterminación del tipo . Ocurre en los casos en los que el grado del polinomio del

numerador es mayor que el del denominador. Desaparece factorizando numerador y

denominador, y simplificando, de manera que en la nueva función obtenida, puede no

haber indeterminación (si es un polinomio), o si nos queda una función racional, el

límite se calculará como en el caso .

Ejemplo: Estudiar . Aparentemente, habrán asíntotas en los puntos x=-1 y

x=1, que son los que anulan el denominador. Vamos a factorizar los dos miembros:

De este modo reescribo la función:

, que es la misma de antes,

expresada de forma más simple, y en la que habrá una

asíntota vertical en x=-1, y en la que tendremos que

calcular los límites laterales.

Ejemplo: Estudiar . Aparentemente el punto a estudiar deberá ser x=0, ya

que anula el denominador y al sustituir obtengo . Simplifico la función:

. El punto a estudiar será x=3.

Límite lateral por la izquierda:

x=3-

Límite lateral por la derecha:

x=3+

2. Determinación del límite de la función cuando tiende a + ó - : asíntotas horizontales. Dado que el límite de los polinomios cuando tienden a infinito es siempre infinito, nos

encontraremos con indeterminaciones del tipo . Se resuelven dividiendo todos los términos

por el de mayor grado.

Generalmente para las funciones racionales con igual grado en numerador y denominador,

la asíntota será la misma recta horizontal en + y en -, y será el resultado de dividir los

coeficientes de los términos de mayor grado.

Ejemplo: Determinar si tiene asíntotas horizontales.

Según lo dicho antes, la asíntota será el resultado de dividir . Vamos a

comprobarlo calculando el límite a + (que será igual al de -).

La asíntota horizontal es y=4

Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal será la

recta y=0, es decir, el eje de abcisas.

Ejemplo: calcular las asíntotas horizontales de

La asíntota horizontal es y=0

Ejercicio:La altura media (en metros) de una determinada especie de pinos viene dada por la función:

, donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.

a) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de cinco años?

Para resolver esto calculo el valor de la función para t=5

, lo cual no tiene sentido físico.

b) ¿En algún momento la altura de los pinos será de 5 metros?

; ; ;

; ; las soluciones son x=1 y x=-7.

Por tanto, la altura media de los pinos será de 5 metros cuando pase 1 año.

c) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?

Se calculará en base al límite de la función cuando t tiende a +.

Por tanto la altura media tiende a 12 metros.

7. FUNCIÓN CONTINUA

Una función f(x) es continua en un punto x0 de su dominio si los valores de f(x) en las proximidades de x0 son muy aproximadas al valor que f(x) tiene en x0. De forma más rigurosa tenemos que una función f(x) es continua en x=x0 si y sólo si se cumple que:

1º) Existe lim f(x)=L cuando x tiende a x0.

2º) Existe f(x0) tal que f(x0)=L

Si una función no es continua en un punto x0 de su dominio, se dice que es discontinua en ese punto. La discontinuidad de una función puede deberse a:

1. Que no esté definida en el punto considerado.2. Que no tenga límite definido en el punto considerado.3. Que el valor de la función en el punto considerado sea diferente del límite

correspondiente

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejemplo: Establecer si f(x) es o no continua para x = 5.

Solución: Según la definición:

1º) =3, es decir, existe lim f(x) cuando x 5.

2º) f(5)=24/8=3, o sea, existe f(5) tal que f(5)=3=lim f(x) cuando x 5.

Ejemplo: Probar que la función f(x) es discontinua en el punto x0=3

Solución: Para probar la discontinuidad de la función en x0=3, hay que ver cuál de las tres condiciones de continuidad no se cumple.

  En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3,

pues los límites laterales no coinciden:  

  Por tanto, la función es discontinua en x0=3.

Ejemplo: Probar que la función f(x) es discontinua en x0=3.

  S olución: En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1, pues los dos límites laterales coinciden:

Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f (3).

Por tanto, la función es discontinua en x0 = 3.

Ejemplo: Estudia la continuidad de la función f(x) en el punto x0=2.

Solución: En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:

La función está definida para x = 2 y vale 5: f (2) = 5, sin embargo el valor del límite de la función cuando x = 2 no coincide con f (2):

Por lo tanto, la función es discontinua en x0=2.

8.   FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro:

t.v.= f(x+h) - f(x)

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición de que x1 < x2, se verifica que f( x1 ) ≤ f( x2 ).

Una función es estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

  Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 < x2, entonces f(x1 )≥ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

8.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EN UN PUNTO

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a-ε, a+ε), ε>0, cumpliéndose que:

f(x) < f(a) si x pertenece al intervalo (a - ε, a). f(x) > f(a) si x pertenece al intervalo (a, a + ε).

Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a-ε, a+ε), en el que

f(x) > f(a) si x pertenece al intervalo (a - ε, a). f(x) < f(a) si x pertenece al intervalo (a, a + ε).

  La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo ≤ por < y el ≥ por el >.

  Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y=x2 en los puntos ½, -1 y 0.

Solución: La función y=x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +) puesto que si

Por lo tanto es estrictamente creciente en x=1/2.

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-∞, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 x3

2 > x42 (por ejemplo: -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Por ello es

estrictamente decreciente en x = 0.

  Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

  Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo. Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

9. Funciones acotadas

9.1. Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que f(x) ≤ k para cualquier valor que tome x. El número k se llama cota superior.

9.2. Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que f(x) ≥ k′ para cualquier valor de x. El número k′ se llama cota inferior.

9.3. Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente. Es decir, si existen dos valores k’ y k tales que k′ ≤ f(x) ≤ k.

k = ½ k′ = -½

10. MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto a, si existe un intervalo (a - ε, a + ε) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente al intervalo (a- ε, a + ε). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva.

 La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - ε, b + ε) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente al intervalo (b - ε, b + ε). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

 A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

11. Clasificación de funciones 11.1. Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio:

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Dentro de las funciones polinómicas podemos encontrar distintos tipos:

a) Funciones constantes

La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas de manera que su pendiente es 0. La función constante es del tipo:

f(x)= k

Las rectas paralelas al eje de ordenadas o rectas verticales no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

b) Funciones polinómicas de primer grado o Función lineal afín

La función afín es del tipo:

y = mx + n ó f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. El valor de m es la pendiente de la recta y si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Por lo tanto, la pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto si dos funciones tienen la misma pendiente, sus gráficas serán rectas paralelas.

c) Función cuadrática

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Las funciones cuadráticas tienen la expresión:

f(x) = ax² + bx +c

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

11.2. Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

11.3. Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

11.4. Funciones racionales

Son las funciones formadas por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Existen varios tipos de funciones racionales, entre ellas la función de proporcionalidad inversa:

  .

Sus gráficas son hipérbolas.   

Propiedades de la función de proporcionalidad inversa:

a) Función y=a/x; con a>0:

La función es decreciente. La función es discontinua en x=0. El límite de la función cuando x0 es ∞. El dominio de la función es (-∞, 0) U (0, ∞).

b) Función y=a/x; con a<0.

La función es creciente. La función es discontinua en x=0. El límite de la función cuando x 0 es ∞. El dominio de la función es (-∞, 0) U (0, ∞).

11.5. Funciones irracionales

Son todas aquellas funciones en que la variable x aparece bajo el signo radical.

Función radical de índice impar

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

Función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

11.6. Función exponencial

La función exponencial es del tipo:

f(x) = ax

Donde a es un número real positivo.

Propiedades de la función exponencial:

Dominio: R. Recorrido: R+

Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Creciente si a >1. Decreciente si a < 1.

Las curvas y = ax ; y = (1/a)x  son simétricas respecto del eje OY.

11.7. Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a, es decir:

f(x) = loga x

Donde a > 0 y a ≠ 1.

Propiedades de las funciones logarítmicas:

Dominio: R+. Recorrido: R Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Creciente si a>1. Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er

cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Simetrías entre funciones logarítmicas y exponenciales:

11.8. Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas expresan el valor de la variable x en función de una expresión trigonométrica. Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

a) Función seno: f(x) = sen x

Dominio: R Recorrido: [−1, 1] Período: 2П radianes Continuidad: Continua en todo R Impar: sen(−x) = −sen x

b) Función coseno: f(x) = cos x

Dominio: R Recorrido: [−1, 1] Período: 2П radianes Continuidad: Continua en todo R Par: cos(−x) = cos x

c) Función tangente: f(x) = tg x

Dominio: R - {(2k+1)·п/2, k Є Z} = R - {…, -п/2, п/2, 3п/2, …} Recorrido: R Continuidad: Continua en x Є R - {(П/2 + kП)} Período: П radianes. Impar: tg(−x) = −tg x

d) Función cotangente: f(x) = cotg x

Dominio: R - {k·п, k Є Z} = R - {…, -п, 0, п, …} Recorrido: R Continuidad: Continua en x Є R - {П·k, k Є Z} Período: П radianes. Impar: cotg(−x) = −cotg x

e) Función secante: f(x) = sec x

Dominio: R - {(2k+1)·п/2, k Є Z} = R - {…, -п/2, п/2, 3п/2, …} Recorrido: (-∞, -1]U[1, ∞). Período: 2П radianes Continuidad: Continua en x Є R - {(П/2 + kП)} Par: sec(−x) = sec x

f) Función cosecante: f(x) = cosec x

Dominio: R - {k·п, k Є Z} = R - {…, -п, 0, п, …} Recorrido: R Continuidad: Continua en x Є R - {П·k, k Є Z} Período: П radianes. Impar: cosec(−x) = −cosec x