Aplicación de Máximos y Mínimos

7/24/2019 Aplicacin de Mximos y Mnimos

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Aplicacin de mximos y mnimos


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fig.1


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Crculo de radio r con centro

en

Ecuacin:

Circunferencia:rea:

2.Sector circular;

rea: donde es el ngulo centralmedio en radianes.

rea: donde ses la longitud del arco AB3.

ra!ecio

rea: " donde B es lalongitud de la #ase ma$or" # esla de la #ase menor $ % es la

altura del tra!ecio.&.

Cilindro circular recto de


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altura h$ radio de la #ase r.'olumen:rea lateral:

rea total:

(.

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Cono circular recto de altura h$ radio de la#ase r.

'olumen:Su!erficie lateral: . Ldonde Les lageneratri) est dada !or:

*.

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Esfera de radio r.

'olumen:

Su!erficie:

c.E+em!los:

1.,eterminar dos n-meros no negatios cu$a suma sea 1/ $ cu$o !roducto tenga el ma$oralor !osi#le.
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cilindro.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/cilindro.html


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Solucin:

Se de#e de ma0imi)ar el !roducto de dos n-meros !ositios.

Sean estos n-meros: 0" $

uego

Como la suma de esos n-meros es 1/" entonces es la ecuacin auxiliar" de

donde .

Entonces:

Se de#e de determinar el alor de 0 ue %ace m0ima la funcin

,eriando:

'alores crticos:

En se tiene un alor crtico" $ se de#e estudiar si es un alor mnimo o un alorm0imo.

Como entonces !or lo ue en se tiene un alor m0imo.

Si entonces . uego" los n-meros !ositios cu$o !roducto es m0imo $cu$a suma es 1/ son am#os iguales a (.

2.4n rectngulo tiene 12/ m. de !ermetro. Cules son las medidas de los lados delrectngulo ue dan el rea m0ima5

Solucin:

Se de#e ma0imi)ar el rea A de un rectngulo:

,esignemos con 6x6" 6y6 las longitudesde los lados del rectngulo.

uego


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Como el !ermetro del rectngulo es 12/ m. entonces la ecuacin au0iliar es:

de donde .

uego

Como $ entonces es un alor crtico.

Analicemos si este alor es m0imo o mnimo utili)ando el criterio de la segundaderiada.

Como $ " entonces es un alor m0imo.

Si entonces !or lo ue un cuadrado de lado 3/ es el rectngulo de ma$or rea

$ !ermetro 12/m.

3.

4na recta aria#le ue !asa !or el !unto corta al e+e 7 en $ al e+e 8 en .9allar el rea del tringulo de su!erficie mnima" su!oniendo A $ B !ositios.

Solucin:

Se de#e minimi)ar el rea de un tringulo.

rficamente se tiene:

El tringulo es rectngulo $ su rea est dada !or

a recta !asa !or los !untos " $ " !or lo ue la !endiente est dada comosigue:


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i.

omando $ :ii.

omando $ :

uego: es la ecuacin au0iliar" de donde


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&.4na entana tiene forma de rectngulo" culminando en la !arte su!erior con un tringuloeuiltero. El !ermetro de la entana es de 3 metros. Cul de#e ser la longitud de la #asedel rectngulo !ara ue la entana tenga el rea m0ima5

Solucin:

En este caso se de#e ma0imi)ar el rea de la siguiente figura geom>trica:

Se %an se?alado con las letras 6x6"6y6 las longitudes delos lados de la entana.

El rea de la entana est dada !or la suma de las reas del tringulo $ del rectngulo.

rea del tringulo:

rea del rectngulo:

rea total:

Como el !ermetro de la entana es 3 metros entonces: de donde esuna ecuacin au0iliar.

uego: . ,e#emos escri#ir % tam#i>n en t>rminos de 0.

Se tiene en el tringulo:


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"

uego:

,eterminamos los alores crticos

uego:

El alor crtico es

4tili)ando el criterio de la segunda deriada se tiene ue


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" $ "

de donde es un alor m0imo.

uego" la longitud de la #ase del rectngulo de#e ser !ara ue la entana tenga elrea m0ima.

a altura del rectngulo de#e ser: $ el lado del tringulo es .

(.4n faro se encuentra u#icado en un !unto A" situado a ( @m. del !unto ms cercano deuna costa recta. En un !unto B" tam#i>n en la costa $ a * @m. de " %a$ una tienda. Si el

guardafaros !uede remar a " $ !uede cam#iar a " dnde de#e desem#arcar enla costa" !ara ir del faro a la tienda en el menor tiem!o !osi#le5

Solucin:

Se de#e minimi)ar el tiem!o de recorrido

rficamente la situacin es la siguiente:

Sea Cel !unto de la !la$a en el ue desem#oca el guarda faros" designemos con 0 ladistancia .

es la distancia en ue de#e remar desde A%asta C

es la distancia en ue de#e caminar desde C%asta B

ote ue $

Adems se tiene ue la distancia Srecorrida en un tiem!o t es igual a la elocidad !or eltiem!o: o sea;


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de donde .

a distancia es recorrida con una elocidad de " $ la distancia con una

elocidad de " !or lo ue el tiem!o total de recorrido ser:

siendo esta la funcin a minimi)ar.

uego:

ara determinar los alores crticos %acemos

4tilicemos el criterio de la segunda deriada !ara determinar si el alor crtico es unmnimo.

" ealuando en se o#tiene

!or lo ue es un alor mnimo.

uego" el guarda faros de#e desem#arcar en un !unto C ue est a @m. de !unto C"!ara llegar a la tienda en el menor tiem!o !osi#le.

*.,eterminar las dimensiones del cono de ma$or rea lateral ue !uede inscri#irse en uncono circular recto de radio 1cm $ altura 3cm" como se muestra en la figura siguiente:


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Solucin:

9a$ ue ma0imi)ar el rea lateral del cono inscrito.

as dimensiones de >ste son: 0 radio de la #ase" % altura $ se es!ecifican en la figura de lasiguiente manera:

El rea lateral de un cono es .

4na ecuacin au0iliar se !uede o#tener !or medio de seme+an)a de tringulos de lasiguiente forma:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/Figura42.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/Figura42.html


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Adems

Sustitu$endo en la ecuacin del rea lateral

,eterminemos los !untos crticos:

"

or lo tanto" los alores crticos son $

,eterminemos cul de esos alores es un alor m0imo utili)ando el criterio de la!rimera deriada.


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Como crece !ara $ decrece !ara entonces es un alorm0imo.

Como decrece !ara $ crece !ara entonces es un alor

mnimo.

uego el alor ue nos interesa es

or lo tanto" el radio de la #ase del cono inscrito es cm." $ la altura es cm.

.,eterminar las dimensiones del cono de olumen mnimo circunscrito a una semiesferade radio D" de tal forma ue el !lano de la #ase del cono coincida con el de la semiesfera.

Solucin:

9a$ ue minimi)ar el olumen del cono circunscrito.

Si el radio de la #ase del cono es 0 $ su altura es %" su olumen est dado !or:

rficamente se tiene:

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9aciendo un corte transersal se tiene:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera-cono.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/software/esfera-cono.html


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odemos utili)ar seme+an)a de tringulo !ara o#tener una ecuacin au0iliar:

de donde

Sustitu$endo en la ecuacin del olumen del cono:

4tili)ando el criterio de la !rimera deriada" analicemos cul alor crtico corres!onde aun alor mnimo:


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Como decrece !ara $ crece !ara entoncescorres!onde a un alor mnimo ue era lo ue nos interesa#a. uego" las dimensiones del

cono circunscrito a la esfera son: radio de la #ase " altura

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