Antologia Fisica UTEL

Unidad 1. MECÁNICA

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Contenido

¿Qué es la física? ......................................................................................................................................... 1 ¿Qué es la mecánica?.................................................................................................................................. 1 1. Mediciones técnicas y vectores .............................................................................................................. 2

1.1. Cantidades físicas ............................................................................................................................. 2 1.2. El sistema internacional ................................................................................................................... 3 1.4. Conversión de Unidades .................................................................................................................. 6 1.5. Cantidades vectoriales y escalares .................................................................................................. 8 1.6. Adición de vectores por métodos gráficos ...................................................................................... 9 1.7. La fuerza y su representación vectorial ......................................................................................... 10 1.8. La fuerza resultante ....................................................................................................................... 11 1.9. Trigonometría y vectores ............................................................................................................... 12 1.10. El método de las componentes para adición de vectores ........................................................... 14 1.11. Diferencia de vectores ................................................................................................................. 16

2. Leyes de Newton ................................................................................................................................... 16 2.1 Primera ley de Newton ................................................................................................................... 16 2.2 Segunda ley de Newton .................................................................................................................. 17 2.3 Tercera ley de Newton .................................................................................................................... 17

3. Cinemática ............................................................................................................................................ 17 3.1 El movimiento y su descripción ...................................................................................................... 17 3.2 Definiciones de la cinemática ......................................................................................................... 18

4. La velocidad........................................................................................................................................... 18 5. Segunda ley de Newton ........................................................................................................................ 20

5.1. La relación entre masa y peso ....................................................................................................... 22

¿Qué es la física?

La física puede definirse como la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de materia, energía y espacio, y las relaciones entre ellos. Entre una de las ramas de estudio de la física, está la mecánica que estudia lo pertiente a la posición (estática) y el movimiento (dinámica) de la materia en el espacio. La estática es el estudio de los fenómenos físicos asociados con los cuerpos en reposo, la dinámica revisa el movimiento y sus causas. En ambos casos, el ingeniero o técnico debe medir y describir las cantidades físicas en términos de causas y efectos.

¿Qué es la mecánica?

Puede definirse como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Es dividida en 3 partes:

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mecánica de los cuerpos rígidos

mecánica de los cuerpos deformables

mecánica de los fluidos La mecánica es la base de la mayor parte de las ciencias y la ingeniería y es prerrequisito indispensable para su estudio. El propósito de la mecánica es explicar y predecir los fenómenos físicos y proporcionar las bases para las aplicaciones en la ingeniería. Los conceptos básicos empleados en mecánica son: espacio, tiempo, masa y fuerza.

Espacio se asocia con la noción de la posición de un punto P. para definir un acontecimiento, no es suficiente indicar su posición en el espacio, debe conocerse también el tiempo en que transcurre.

Masa representa la inercia o resistencia del cuerpo a los cambios de estado de movimiento, se utiliza para caracterizar y comparar los cuerpos sobre las bases de ciertos experimentos mecánicos fundamentales. Dos cuerpos de igual masa, por ejemplo, serán atraídos por la Tierra de la misma manera y ofrecerán la misma resistencia al cambio en el movimiento de traslación.

Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro. Se acepta como definición formal que fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Puede ser ejercida por contacto directo o a distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y las magnéticas. Una fuerza se caracteriza por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección, y se representa por un vector.

1. Mediciones técnicas y vectores

En el proceso de una medición física, el técnico está frecuentemente interesado en la dirección y en la magnitud de una cantidad particular. La longitud de una viga de madera se determina por el ángulo que forma con la horizontal. La dirección de una fuerza aplicada determina su eficacia para producir un desplazamiento. La dirección en la cual una banda transportadora se mueve suele ser tan importante como la velocidad con que lo hace. Cantidades físicas como desplazamiento, fuerza y velocidad, son encontradas con frecuencia en la industria. En esta unidad, el concepto de vectores es introducido para permitir el estudio de la magnitud y la dirección de las cantidades físicas.

1.1. Cantidades físicas

Una cantidad física se mide por comparación contra algún estándar conocido. Por ejemplo, podría ser que necesitáramos conocer la longitud de una barra metálica. Con instrumentos apropiados podríamos determinar que la longitud de la barra es de 12 pies. Esta longitud hubiera podido ser representada también como 3.66 m o 4 yardas, si hubiéramos utilizado otras medidas conocidas.

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La magnitud de una cantidad física es dada por un número y una unidad de medida. Ambos son necesarios porque en sí mismos ni el número ni la unidad tienen significado. Con excepción de los números y las fracciones puros, es necesario incluir la mención de la unidad con la del número cuando se enuncia la magnitud de cualquier cantidad. La magnitud de una cantidad física queda completamente especificada mediante un número y una cantidad, por ejemplo 20 metros o 40 litros. Recuérdese que toda cantidad física se define diciendo cómo se mide. Dependiendo de los dispositivos de medición, cada cantidad puede ser expresada en varias unidades diferentes. Por ejemplo, algunas unidades de longitud son metros, kilómetros, millas y pies, y algunas unidades de velocidad son metros por segundo, kilómetros por hora, millas por hora y pies por segundo. Independientemente de las unidades escogidas, la distancia debe ser una longitud y la velocidad debe ser una longitud dividida entre el tiempo. Así longitud y longitud/tiempo son dimensiones de las cantidades físicas distancia y velocidad. Nota: la velocidad se define en términos de dos cantidades más elementales (longitud y tiempo). Longitud y tiempo, no pueden ser definidos en términos más elementales. Por tanto se dice que la longitud y tiempo son cantidades fundamentales y la velocidad no es una cantidad fundamental.

1.2. El sistema internacional

El sistema internacional de unidades es esencialmente lo mismo que conocemos como Sistema métrico. El comité Internacional de Pesos y Medidas ha establecido 7 cantidades fundamentales y les ha asignado unidades básicas oficiales a cada cantidad. Un resumen de estas cantidades, sus unidades básicas y los símbolos de estas unidades se dan en la tabla siguiente:

Tabla de Unidades básicas del SI para cantidades fundamentales y dos complementarias

CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO

Unidades Básicas

Longitud metro m

Masa kilogramo km

Tiempo segundos s

Energía eléctrica ampere A

Temperatura kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Unidades complementarias

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

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Podemos medir muchas cantidades, como volumen, presión, velocidad y fuerza, que son combinaciones de 2 o más cantidades fundamentales. Sin embargo, nadie ha encontrado nunca una medición que no pueda expresarse en términos de longitud, masa, tiempo, corriente, temperatura, intensidad luminosa o cantidad de sustancia. A las combinaciones de estas cantidades se les llama cantidades derivadas, y se miden en cantidades derivadas. Algunas cantidades derivadas comunes están listadas en la tabla siguiente:

Unidades derivadas para cantidades físicas comunes

CANTIDAD UNIDAD DERIVADA SÍMBOLO

Área metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Frecuencia hertz Hz, s-1

Densidad de masa kilometro por metro cuadrado kg/m3

Velocidad metro por segundo m/s

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Fuerza Newton N, kg ∙ m/s2

Presión (tensión mecánica) pascal Pa, N/m2

Viscosidad cinemática metro cuadrado por segundo m2/s

Viscosidad dinámica newton-segundo/metro cuadrado N ∙ s/m2

Trabajo, energía, cantidad de calor joule J, N ∙ m

Potencia watt W, J/s

Cantidad de electricidad coulomb C

Diferencia de potencial, fuerza electromotriz volt V, J/C

Resistencia de campo eléctrico volt por metro V/m

Resistencia eléctrica ohm Ω, V/A

Capacitancia farad F, C/V

Flujo magnético weber Wb, V ∙ s

Inductancia henry H, V ∙ s/A

Densidad de flujo magnético tesla T, Wb/m2

Resistencia de campo magnético ampere por metro A/m

Fuerza magneto motriz ampere A

Flujo luminoso lumen lm, cd ∙ sr

Luminosidad candela por metro cuadrado cd/m2

Iluminación lux lx, lm/m2

Onda número 1 por metro m-1

Entropía joule por kelvin J/K

Capacidad de calor específica joule por kilómetro kelvin J(kg ∙ K)

Conducta térmica watt por metro kelvin W/(m ∙ K)

Intensidad radiante watt por estereorradián W/sr

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Actividad (de una fuerza radiactiva) 1 por segundo s-1

Desgraciadamente, las unidades del SI no han sido totalmente adoptadas en muchas aplicaciones industriales. Por esta razón es necesario familiarizarse con las unidades más antiguas de las cantidades físicas. Las unidades del USCS para varias cantidades importantes se listan en la siguiente tabla:

Sistemas de unidades en Estados Unidos

MAGNITUD UNIDAD DEL SI UNIDAD DEL USCS

Longitud Metro (m) Pies (ft)

Masa Kilogramo (kg) slug (slug)

Tiempo segundo (s) segundo (s)

Fuerza (peso) Newton (N) libra (lb)

Temperatura Kelvin (K) grado rankin (R)

1.3. Medición de la longitud La unidad estándar del SI para la longitud, el metro (m), es la longitud exacta de 1 650 763.73 longitudes de onda de la luz roja-anaranjada del kriptón-86. Por supuesto, no necesitamos conocer esta definición para hacer mediciones precisas. Muchas herramientas, como metros simples y calibradores, se ajustan para concordar con la medida estándar. Una ventaja propia del SI con respecto a los otros sistemas de unidades es el uso de prefijos para indicar múltiplos de la unidad básica. La siguiente tabla define los prefijos aceptados y muestra su empleo para indicar múltiplos y subdivisiones del metro.

Múltiplos y submúltiplos para unidades del SI

PREFIJO SÍMBOLO MULTIPLICADOR EJEMPLO

Tera T 1 000 000 000 000 = 1012 1 terámetro (Tm)

Giga G 1 000 000 000 = 109 1 gigametro (Gm)

Mega M 1 000 000 = 106 1 megametro (Mm)

Kilo K 1 000 = 103 1 kilómetro (Km)

Centi C 0.01 = 10-2 1 centímetro (cm)

Mili M 0.001 = 10-3 1 milímetro (mm)

Micro µ 0.000001 = 10-6 1 micrómetro (µm)

Nano n 0.000000001 = 10-9 1 nanómetro (nm)

- Å 0.0000000001 = 10-10 1 angstrom (Å)

Pico p 0.000000000001 = 10-12 1 pico metro (pm)

De la tabla anterior se puede determinar que:

1 metro (m) = 1000 milímetros (mm) 1 metro (m) = 100 centímetros (cm) 1 kilómetro (km) = 1000 metros (m)

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Es recomendable utilizar el prefijo que permita expresar cada número dentro de una escala de 0.1 a 1000. Por ejemplo, 7 430 000 metros deberá expresarse como 7.43 x 106 m, y entonces debe presentarse como 7.43 megametros, abreviados 7.43 Mm. Normalmente no sería conveniente escribir esta medida como 7 430 kilómetros (7 430 km) a no ser que esta distancia deba compararse con otras distancias medidas en kilómetros. En el caso de la cantidad 0.00064 amperes, es correcto escribir ya sea 0.64 miliamperios (0.64 mA) o 640 microamperios (640 µA). Normalmente los prefijos se escogen para múltiplos de mil. La relación entre el centímetro y la pulgada está dada por definición, 1 pulgada es exactamente igual a 25.4 milímetros. Está definición y otras definiciones útiles se incluyen en seguida (los símbolos de las unidades están entre paréntesis):

1 pulgada (in) = 25.4 milímetros (mm) 1 pie (ft) = 0.3048 metros (m) 1 yarda (yd) = 0.914 metros (m) 1 milla (mi) = 1.61 kilómetros (km) 1 metro (m) = 39.37 pulgadas (in) 1 metro (m) = 3.281 pies (ft) 1 metro (m) = 1.094 yardas (yd) 1 kilómetro (km) = 1.621 millas (mi)

1.4. Conversión de Unidades

A causa de que se requiere gran cantidad de unidades diferentes para diversos trabajos, se hace necesario con frecuencia convertir la medición de una unidad en otra. Por ejemplo, supóngase que un mecánico mide el diámetro exterior de un tubo de 1 3/16 in. Para ordenar un accesorio para el tubo, el mecánico tal vez necesite conocer este diámetro en milímetros. Tales conversiones pueden ser fácilmente realizadas con unidades algebraicas y aplicando el principio de cancelación o eliminación. En el caso anterior, el mecánico debe convertir primero la fracción en un decimal.

1 1/16 in = 1.19 in En seguida, el mecánico debe escribir la cantidad a convertir dando tanto el número como la unidad (1.19 in). Aquí recordaremos la definición que relaciona las pulgadas con los milímetros.

1 in = 25.4 mm Puesto que este planteamiento es una igualdad, podemos formar dos razones, cada una igual a uno. Tales razones son llamadas factores de conversión.

Cualquiera de los factores de conversión arriba indicados puede ser multiplicado por 1.19 in sin cambiar la longitud representada. La multiplicación por la primera razón no da un resultado significativo, nótese que las unidades se tratan como cantidades algebraicas.

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Sin embargo, la multiplicación por la segunda razón da el siguiente resultado:

Por lo tanto, el diámetro exterior del tubo es de 30.2 mm. En la conversión de unidades se utiliza el procedimiento siguiente:

1. Escribir la cantidad a convertir. 2. Definir cada una de las medidas a convertir en términos de las unidades deseadas. 3. Para cada definición, fórmese dos factores de conversión, uno recíproco del otro. 4. Multiplicar la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelen todas las unidades, salvo

las deseadas. A veces es necesario trabajar con cantidades que tienen unidades múltiples. Por ejemplo, velocidad se define como longitud por unidad de tiempo y puede tener unidades de metros por segundo (m/s), pies por segundo (ft/s), u otras unidades. El mismo procedimiento algebraico puede servir para la conversión de unidades múltiples. Ejemplo: Convertir la velocidad de 60 km/h en unidades de metro por segundo. Recordemos dos definiciones que pueden resultar en cuatro posibles factores de conversión.

y Escribimos la cantidad a convertir, y escogemos los factores de conversión que eliminan las unidades no deseadas.

Cuando se trabaja con fórmulas técnicas, simpre es útil sustituir las unidades tanto como los números. Por ejemplo, la fórmula para la velocidad v es:

En donde s = distancia recorrida en un tiempo t. así un autómovil que recorre 400 m en 10 s, su velocidad será:

Cuando la velocidad aparezca en una fórmuladeberá siempre tener unidades de longitud dividida por tiempo. Se dice que estás son las dimensiones de la velocidad. Puede haber muchas unidades

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diferentes para una cantidad física dada, pero sus dimensiones resultan de una definición y éstas no cambian. Al trabajr con ecuaciones y fórmulas físicas, será muy útil recirdar dos reglas relacionadas con las dimensiones: Regla 1. Si dos cantidades hab de sumarse o restarse, deberán ser de la misma dimensión. Regla 2. Las cantidades a ambos lados de un signo de igualdad deben ser de la misma dimensión. Ejemplo: Verifique que la fórmula:

s =vot + ½ at2 Es dimensionalmente correcta si s representa la distancia recorrida en el tiempo t mientras se acelera con una aceleración a a partir de una velocidad inicial vo. Supóngase que la aceleración tiene unidades de metros por segundo ala cuadrado (m/s2). Dado que las unidades de a se especifican, las unidades de s, vo y t deberán ser metros, metros por segundo y segundos, para mantener la congruencia. Ignorando el factor ½ que no tiene dimensiones, tenemos:

Que satisfacen tanto la Regla 1 como la Regla 2. Así, la ecuación es dimensionalmente correcta. Podría ser que aun así no fuera una ecuación verdadera, pero el hecho de que las dimensiones sean congruentes es una prueba importante.

1.5. Cantidades vectoriales y escalares

Una cantidad escalar se específica completamente por su magnitud. Consiste en un número y una unidad. Ejemplos: rapidez (15 mi/h), distancia (12 km) y volumen (200 cm3) Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse de la manera usual. Una cantidad vectorial se específica completamente por su magnitud y su dirección. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular. Ejemplos: desplazamiento (20 m, norte) y velocidad (10 m/s, 30°). La dirección de un vector puede darse con referencia a las direcciones convencionales de norte, este, oeste y sur. Otro método para especificar la dirección que será especialmente útil es hacer referencia a unas líneas perpendiculares llamadas ejes. Estas líneas imaginarias suelen ser horizontal y vertical, la línea imaginaria horizontal usualmente se llama eje x, y la línea imaginaria vertical se llama eje y. Las

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direcciones se dan mediante ángulos medidos en el sentido contrario al avance de las manecillas del reloj a partir de la posición del eje x positivo. Cabe recordar que cuando se realizan adiciones vectoriales deben considerarse tanto la magnitud como la dirección. Las adiciones son geométricas en vez de algebraicas. Es posible que la magnitud de un vector suma menor que la magnitud de cualquiera de los desplazamientos componentes. La magnitud de un vector es siempre positiva, un signo negativo antes del símbolo de un vector únicamente invierte su dirección; por ejemplo, invierte la dirección de la flecha sin afectar la longitud. Si A = 20 m este, entonces –A = 20 m oeste.

1.6. Adición de vectores por métodos gráficos

El método del polígono es el más útil ya que puede ser fácilmente aplicado en la suma de más de dos vectores. El método del paralelogramo es muy útil para la suma de dos vectores cada vez. En ambos casos la magnitud del vector se indica a escala por la longitud de un segmento de recta. Ejemplo del método del polígono: Un barco viaja 100 mi hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 mi hacia el noroeste en el segundo día y 120 mi al este en el tercer día. Encuéntrese el desplazamiento resultante por el método del polígono.

R = D1 + D2 +…+Dn

Una escala apropiada puede ser 20 mi = 1 cm, usando esta escala encontramos que:

Midiendo con una regla, encontramos que la resultante marcada en el diagrama poligonal tiene una longitud de 10.8 cm. Por lo tanto, la magnitud es:

Sin embargo, la Ksuma vectorial de los desplazamientos D1 y D2 debe considerar tanto la dirección como las magnitudes. La cuestión no es ahora la distancia recorrida, sino el desplazamiento resultante. Midiendo el ángulo θ con un transportador, encontramos que la dirección es de 41°. El dezplazamiento resultante es, por tanto, R = (216 mi, 41°).

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El método del polígono puede ser resumido como sigue: 1. Escoger una escala y determinar la longitud de las flechas que correspondan a cada vector. 2. Dibujar a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector. 3. Dibujar la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremo del

primero. 4. Continuar con el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del vector

precedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados. 5. Dibujar el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primer vector) y

terminado en el extremo, que coincide con el extremo del último vector. 6. Medir con regla y transportador la longitud y los ángulos que forman el vector resultante para

determinar su magnitud y su dirección. El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores cada vez, consiste en dibujar los dos vectores a escala con sus origenes coincidiendo en un origen en común, los dos vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo. Los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual longitud. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de las dos flechas que representan los vectores. Ejemplo del método del paralelogramo: Una cuerda se enreda alrededor de un poste teléfonico, en un ángulo de 120°. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 lb y del otro con una fuerza de 20 lb, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico? Usando la escala de 1 cm = 10 lb, obtenemos:

Un paralelogramo se construye al dibujar las dos fuerzas a escala, como un origen en común y formando un ángulo de 120° entre ellas. Se completa el paralelogramo y se dibuja la resultante a partir del origen. Al medir la longitud y el ángulo con regla y transportador, obtenemos valores de 53 lb para la magnitud y 19° para la dirección. Entonces tenemos que:

R = (53 lb, 19°)

1.7. La fuerza y su representación vectorial

A la acción de empujar o tirar de un cuerpo se le llama fuerza. Es probable que la fuerza que nos es más familiar sea la de la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre cada cuerpo. A esta fuerza se le llama peso del cuerpo. El peso es una cantidad vectorial dirigida hacia el centro de la Tierra. El SI de unidades tiene al newton (N) como unidad de fuerza. Su relación con la unidad de SUEU, la libra (lb), es:

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1 N = 0.225 lb 1 lb = 4.45 N Dos de los efectos producidos por fuerzas y que se pueden medir son:

1. Cambiar las dimensiones o forma de un cuerpo 2. Cambiar el movimiento del cuerpo

Dado que en primer caso no existe desplazamiento resultante del cuerpo, el cambio de forma se denomina fuerza estática. Si una fuerza cambia el movimiento del cuerpo, recibe el nombre de fuerza dinámica. La eficacia de cualquier fuerza depende de la dirección en que actúa. Llegamos así a la idea de los componentes de una fuerza, es decir, los valores eficaces de la fuerza en otras direcciones diferentes a la de la fuerza misma, la fuerza F ejercida a un ángulo θ puede ser remplazada por sus componentes horizontal y vertical Fx y Fy.

Ejemplo: Una podadora de césped es empujada hacia abajo con una fuerza de 40 N con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la magnitud del efecto horizontal de esta fuerza? Primeramente hay que dibujar un diagrama, para traducir el problema expresado en palabras en una imagen. Para dibujar el diagrama con precisión se utiliza una regla y un transportador. Una escala de 1 cm = 10 N es conveniente para este ejemplo. El efecto horizontal de la fuerza de 40 N es la componente x, la medición de este segmento de línea nos da:

Fx = 2.57 cm Puesto que un cm = 10 N obtenemos:

Nótese que la fuerza eficaz es bastante menor que la fuerza aplicada. Como ejercicio adicional, muéstrese que la magnitud de la componente hacia debajo de la fuerza de 40 N es Fy = 30.6 N.

1.8. La fuerza resultante

Cuando dos o más fuerzas actúan en un mismo punto de un objeto, se dice que son fuerzas concurrentes. El efecto combinado de tales fuerzas se llama fuerza resultante.

Composición de fuerzas concurrentes Con frecuencia las fuerzas actúan sobre una misma línea, ya sean juntas o en oposición. Si dos fuerzas actúan sobre un mismo objeto en una misma dirección, la fuerza resultante es igual a la suma de las magnitudes de la fuerza; la dirección de la resultante sería la misma que la de cualquiera de las fuerzas. Si las dos mismas fuerzas

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actúan en direcciones opuestas, la magnitud de la fuerza resultante es igual a la diferencia de magnitudes de las dos fuerzas, y actúan en la dirección de la fuerza más grande.

Si las fuerzas actúan a un ángulo comprendido entre 0° y 180° de una con respecto a la otra, su resultante es el vector suma. El método del polígono o el método del paralelogramo para adición de vectores pueden utilizarse para encontrar la fuerza resultante.

1.9. Trigonometría y vectores

La familiaridad con el teorema Pitágoras y alguna experiencia con las funciones seno, coseno y tangente es todo lo que se necesita para esta unidad de estudio. Los métodos trigonométricos pueden mejorar su precisión y velocidad al determinar el vector resultante o al encontrar las componentes de un vector. Cualquier vector puede ser dibujado con su origen en el centro de estas líneas imaginarias. Las componentes del vector pueden verse como efectos a lo largo de los ejes x o y. Ejemplo: ¿Cuáles son las componentes x e y de una fuerza de 200 N con un ángulo de 60°? Se dibuja un diagrama colocando el origen del vector 200 N en el centro de los ejes x e y.

Utilización de la trigonometría para encontrar las componentes de un vector.

Componentes: Fx = F cos θ Fy = F sen θ

Primeramente calculamos la componente x, Fx notando que ésta es el lado adyacente. El vector de 200 N es la hipotenusa. Utilizando la función coseno obtenemos:

De la cual:

Fx = (200 N) cos 60° = 100 N Para propósitos de cálculo reconocemos que el lado opuesto al ángulo de 60° es igual en longitud a Fy. Así, podemos escribir

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O

Fy = (200 N) sen 60° = 173.2 N Cuando tanto la componente x como la y de un vector se expresan en términos del ángulo θ entre el vector y el eje x positivo. Donde θ es el ángulo entre el vector y la parte positiva del eje x medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj. El signo de una componente dada puede ser determinando de un diagrama de vectores. Las cuatro posibilidades se muestran en la siguiente figura, la magnitud de la componente puede ser hallada al utilizar el ángulo agudo φ cuando el ángulo polar θ de la ecuación sea mayor de 90°.

a) En el primer cuadrante, el ángulo θ está entre 0° y 90°; tanto Fx como Fy son positivas. b) En el segundo cuadrante, el ángulo θ está entre 90° y 180°; Fx es negativa y Fy es positiva. c) En el tercer cuadrante, el ángulo θ está entre 180° y 270°; tanto Fx como Fy son negativas. d) En el cuarto cuadrante, el ángulo θ está entre 270° y 360°; Fx es positiva y Fy es negativa.

Ejemplo: Encuéntrese el valor de las componentes x y y de una fuerza de 400 N que actúa con un ángulo de 220° a partir del eje x positivo. Refiérase al inciso c, que describe este problema para θ = 220°. El ángulo agudo φ se encontró mediante la referencia a 180°.

φ = 220° - 180° = 40°

De la figura, ambas componentes x e y son negativas. Por lo que, Fx = - І F cos φ І = - (400 N) cos 40° = - (400 N) (0.766) = - 306 N

Fy = - І F sen φ І = - (400 N) sen 40° = - (400 N) (0.0.643) = - 257 N La trigonometría es también útil para calcular la fuerza resultante. En el caso especial en que dos fuerzas Fx y Fy son perpendiculares entre sí, la resultante (R, θ) se puede encontrar así:

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Si Fx o Fy son negativos, generalmente es más fácil determinar el ángulo agudo φ. El signo de las fuerzas determina el cuadrante que se ha de usar, y la ecuación se convierte en:

Solamente se necesitan los valores absolutos de Fx y Fy. Si se desea, se puede calcular el ángulo θ que parte del eje x positivo al conocer el ángulo agudo φ. En cualquiera de los casos se deberá identificar claramente la dirección. Ejemplo: ¿Cuál es la resultante de una fuerza de 5 N dirigida horizontalmente a la derecha y una fuerza de 12 N dirigida verticalmente hacia abajo? Márquese las fuerzas Fx = 5 N y Fy = - 12 N (hacia abajo). Dibújese un diagrama de la situación (descrita en el inciso d). La magnitud de la resultante se obtiene de la ecuación:

Para calcular la dirección, encuéntrese primero el φ:

φ = 67.4° hacia abajo del eje x. E ángulo θ medido contra las manecillas del reloj a partir del eje x positivo es:

θ = 360° - 67.4° = 292.6° La fuerza resultante es de:

13 N a 292.6°

1.10. El método de las componentes para adición de vectores

Las fuerzas que se intersectan en un punto en común o que tienen el mismo punto de aplicación se denominan fuerzas concurrentes. Cuando dichas fuerzas no están en ángulo recto una respecto de otra, el cálculo de la resultante puede ser más difícil. No siempre los vectores caen a lo largo del eje x o del eje y, y se necesita utilizar el método de adición de componentes de vectores.

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Considerándose los vectores A, B y C, la resultante R es el vector suma A + B + C, pero A y B no se encuentran a lo largo de un eje y no se pueden sumar en la forma usual. Puede utilizarse entonces el procedimiento siguiente:

1. Dibújese todos los vectores a partir del origen en un sistema de ejes coordenados.

2. Resuélvase todos los vectores en sus componentes x y y.

3. Encuéntrese la componente x de la resultante sumando las componentes en x de todos los

vectores. (las componentes hacia la derecha son positivas y las de la izquierda son negativas) Rx = Ax + Bx + Cx

4. Encuéntrese la componente y de la resultante sumando las componentes en y de todos los vectores. (las componentes hacia arriba son positivas y las componentes hacia abajo son negativas)

Ry = Ay + By + Cy

5. Obténgase la magnitud y la dirección de la resultante a partir de los dos vectores perpendiculares Rx y Ry.

Ejemplo. Tres sogas están atadas a una estaca, ejerciéndose las fuerzas siguientes: A = 20 lb hacia el este; B = 30 lb 30° al noroeste y C = 40 lb 52° al suroeste. Determínese la fuerza resultante. Siguiendo los pasos descritos anteriormente. 1. Dibuja un diagrama que represente todas las fuerzas. Dos cosas deben notarse de la figura: 1)

todos los ángulos se miden a partir del eje x, y 2) las componentes de cada vector se marcan y se colocan adyacentes u opuestas a los ángulos conocidos.

2. Encuentra las componentes x y y de cada vector. Debe tenerse cuidado de obtener el signo

correcto para cada componente. Por ejemplo Bx, Cx y Cy son negativos, los resultados se listan en la siguiente tabla:

Fuerza φx Componente x Componente y

A = 20 lb 0° Ax = 20 lb Ay = 0

B = 30 lb 30° Bx = – (30 lb) (cos 30°) = –26 lb By = (30 lb) (sen 30°) = 15 lb

C = 40 lb 52° Cx = – (40 lb) ( cos 52°) = –24.6 lb Cy = (–40 lb) (sen 52°) = –31.5 lb

Rx = ∑ Fx = –30.6 lb Ry = ∑ Fy = –16.5 lb

3. Añade las componentes en x para obtener Rx.

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Rx = Ax + Bx + Cx = 20 lb – 26 lb – 24.6 lb = –30.6 lb

4. Añádanse las componentes en y para obtener Ry. Ry = Ay + By + Cy = 0 + 15 lb – 31.5 lb = –16.5 lb

5. Ahora encontremos R y θ a partir de Rx y Ry.

φ = 28.3° S del E (208.3°) Así, la fuerza resultante es de 34.8 lb a 28.3° al sureste.

1.11. Diferencia de vectores

La diferencia de dos vectores se obtiene realizando la suma de un vector y el negativo del otro vector (el vector que es igual en magnitud pero opuesto en dirección). Por ejemplo, así como en álgebra podemos decir:

a – b = a + (–b) En diferencia de vectores podemos escribir que:

A – B = A + (–B) El proceso de la resta de vectores se ilustra en la siguiente figura.

2. Leyes de Newton

Cuando uno empieza con la física estas leyes sirven básicamente para resolver ejercicios en el que te dan la masa de un cuerpo y la fuerza que actúa sobre él y, a partir de ahí, calculas la aceleración.

2.1 Primera ley de Newton

A esta ley se le llama a veces ley de la inercia; los objetos tienden a seguir a la misma velocidad y en la misma dirección, eso del cambio no va con ellos. Por ejemplo, si se lanza algo lo que se observa siempre es que tiende a pararse; los objetos tienden a seguir a la misma velocidad y en la misma dirección cuando no haya una fuerza actuando sobre ellos.

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¿Qué es una fuerza? Es todo aquello que tiende a cambiar la velocidad o la dirección en la que se mueve un objeto. Para calcular la fuerza que actúa sobre un objeto, pasemos a la segunda ley.

2.2 Segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton es una fórmula que dice F = m∙a, F es la fuerza que actúa sobre el objeto, m es la masa del objeto sobre el que actúa la fuerza y a es la aceleración que adquiere el objeto por culpa de la fuerza. Entonces si, como mencionamos antes, una fuerza lo que hace es variar la velocidad y/o dirección de un movimiento, y además es igual a la masa por la aceleración ¿Qué es lo que cambia en el objeto para que exista una variación? Una pista, la masa de un objeto suele ser constante, por lo tanto, la variación en la velocidad y/o dirección de los objetos se traduce en una aceleración.

2.3 Tercera ley de Newton

También llamada ley de acción – reacción y se denota como F1 → 2 = - F2 → 1, lo cual es equivalente a decir que si un objeto A ejerce una fuerza contra un objeto B, entonces el objeto B ejerce exactamente la misma fuerza contra el objeto A, pero en sentido contrario. Por ejemplo, nosotros estamos ejerciendo siempre una fuerza contra la Tierra, debido a la fuerza de gravedad. Esta fuerza que ejercemos hacia abajo hace que no salgamos flotando, pero a la vez la Tierra ejerce una fuerza hacia arriba igual, gracias a esta segunda fuerza no estamos en el centro del planeta formando parte del núcleo (nos mantiene en la superficie).

3. Cinemática

La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de una parte de la física denominada cinemática, tal descripción se apoya en la definición de una serie de magnitudes que son características de cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos más sencillos son los rectilíneos y dentro de estos los uniformes. Los movimientos circulares son los más simples de los de trayectoria curva.

3.1 El movimiento y su descripción

Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto de la de otros supuestos fijos, o que se toman como referencia. El movimiento es, por tanto, cambio de posición con el tiempo. De acuerdo con la anterior definición, para estudiar un movimiento es preciso fijar previamente la posición del observador que contempla dicho movimiento, en física hablar de un observador equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos que definen el sistema de referencia. Es posible que un mismo cuerpo esté en reposo para un observador – o visto desde un sistema de referencia determinado – y en movimiento para otro.

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El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto, absoluto o independiente de la situación del observador, sino relativo, es decir, depende del sistema de referencia desde el que se observe. El concepto de cinemática Es posible estudiar el movimiento de dos maneras:

a) Describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber: posición, velocidad y aceleración (cinemática) y;

b) Analizando las causa que originan dicho movimiento (dinámica). En el primer caso se estudia cómo se mueve un cuerpo, mientras que en el segundo se considera por qué se mueve. Por lo tanto, la cinemática es la parte de la física que estudia cómo se mueven los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos movimientos.

3.2 Definiciones de la cinemática

Vector de posición: es un vector, en general tridimensional, el cual define la posición de una partícula o cuerpo. En coordenadas cartesianas rectangulares, sus componentes X, Y y Z pueden ser estudiadas por separado. Generalmente se designa por el vector r que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el lugar donde se encuentra la partícula.

Trayectoria: para simplificar el estudio del movimiento, representamos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño. Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del tiempo. Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos.

Vector desplazamiento: si una partícula se mueve desde un punto a otro, el vector desplazamiento o desplazamiento de la partícula, representado por Δr, se define como el vector que va desde la posición inicial a la final, es decir:

Nota que en general el desplazamiento no coincide con la trayectoria que sigue la partícula. ¿En qué caso coincide? En el sistema internacional (SI), el desplazamiento se expresa en m.

4. La velocidad

La descripción de un movimiento supone el conocer algo más que su trayectoria, una característica que añade una información importante sobre el movimiento es la velocidad.

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Velocidad media: en cierto instante t1, una partícula se encuentra en su posición definida por el vector de posición por r1 y luego en el instante t2, con su posición definida por r2. El intervalo de tiempo que ha transcurrido es Δt = t2 – t1 y el desplazamiento que ha efectuado la partícula es Δr = r2 – r1. Se denomina velocidad media por < V > y queda definida por:

En el sistema Internacional, la velocidad se expresa en m/s. sin embargo, resulta muy frecuente la utilización de una unidad práctica de velocidad, el kilógramo/hora [km/hr], que no corresponde al SI. La relación entre ambas es la siguiente:

Velocidad instantánea: en general, la velocidad con la que se mueve un coche, un avión o una motocicleta, por ejemplo, varía de un instante a otro. Ello queda reflejado en el movimiento de la aguja de sus respectivos velocímetros. El valor que toma la velocidad en un instante dado recibe el nombre de velocidad instantánea.

Si se analiza el movimiento de la partícula en el intervalo de tiempo Δt y se divide ese intervalo en sub-intervalos, por ejemplo, las velocidades medias en esos sub-intervalos no tienen necesariamente que coincidir con la velocidad media del intervalo completo. Esto significa que si bien la velocidad media es representativa del movimiento de la partícula en el intervalo de tiempo considerado como un todo, no da cuenta del movimiento de la partícula instante a instante. Si el intervalo de tiempo considerado es realmente grande, usar la velocidad media para describir el movimiento de la partícula instante a instante nos puede llevar a cometer errores grandes. Sin embargo si los intervalos de tiempo son realmente pequeños, la velocidad media describe de mejor forma el movimiento de la partícula en cada instante durante ese pequeño intervalo. Por lo tanto, se define la velocidad instantánea de la partícula como la velocidad media de la partícula en un tiempo muy pequeño, denominado infinitesimal, es decir, el límite cuando Δt tiende a cero.

En lenguaje diferencial:

Observaciones:

1. Nota que a medida que el intervalo de tiempo Δt se hace cada vez más pequeño, el vector Δr se aproxima a la trayectoria, que en el caso infinitesimal, el vector instantánea queda tangente a la trayectoria.

2. La rapidez, en física, se usa para presentar la magnitud del vector velocidad.

Aceleración media: consiste que en los instantes t1 y t2, las velocidades instantáneas de la partícula son V1 y V2. Es decir, en el intervalo de tiempo Δt, la partícula sufre una variación de

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velocidad ΔV = V2 y V1. Por lo tanto, la aceleración media o variación temporal media de la velocidad es dada por:

En el sistema Internacional la aceleración se expresa en:

Por otro lado, una de las características que definen la "potencia" de un automóvil es su capacidad para ganar velocidad. Un modelo que emplea 5.4 s en conseguir los 100 km/hr habrá desarrollado una aceleración que puede calcularse del siguiente modo:

Lo que significa que ha aumentado su velocidad en 5.1 m/s en cada segundo.

Aceleración instantánea: a partir del mismo criterio usado para definir el concepto de velocidad instantánea, se define la aceleración instantánea como:

5. Segunda ley de Newton

De acuerdo con la primera ley de Newton sobre el movimiento, un objeto experimentará un cambio en su estado de reposo o movimiento solamente cuando sea accionado por una fuerza resultante no equilibrada. Ahora ya se sabe que un cambio en el movimiento, por ejemplo un cambio en la velocidad, produce una aceleración. En este capítulo se estudian las relaciones entre fuerza, masa y aceleración. La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada y en la misma dirección de esa fuerza. Esto significa que la relación de fuerza a aceleración es siempre constante:

Más adelante veremos que esta relación constante puede ser considerada como una propiedad del cuerpo denominada su masa m, donde:

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Siempre que haya una fuerza no equilibrada actúe sobre un cuerpo, se produce una aceleración en la dirección de la fuerza que es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

Ejemplo: Si queremos darle la misma aceleración, o sea, alcanzar la misma velocidad en un determinado tiempo, a un automóvil grande y a uno pequeño, necesitaremos mayor fuerza y potencia para acelerar el grande, por tener mayor masa que el más chico. Siempre que la masa permanezca constante, un aumento en la fuerza aplicada resultará en un aumento similar de la aceleración producida. Por otro lado, si la fuerza permanece sin cambio, un aumento en la masa del cuerpo resulta en una disminución proporcional de la aceleración. Si se escogen las unidades apropiadas, se puede escribir esta proporción como una ecuación:

Fuerza resultante = masa x aceleración

F = ma Segunda le de Newton Debido a que en la segunda ley de Newton se utilizan unidades derivadas, es importante conocer las unidades concordantes para cada cantidad.

1. La unidad fundamental de masa en SI es el kilógramo (kg), y la unidad de aceleración es el metro por segundo por segundo (m/s2). La unidad de fuerza derivada de estas unidades recibe el nombre de Newton (N), que es la fuerza resultante requerida para imprimir a una masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Así, las unidades que aseguran concordancia son:

Fuerza (N) = masa (kg) x aceleración (m/s2)

2. En el sistema británico gravitacional (sbg) o sistema inglés, la unidad de masa se deriva de las

unidades elegidas para fuerza que es la libra (lb) y para la aceleración que es el pie por segundo por segundo (ft/s2). Esta unidad derivada de masa recibe el nombre de slug y se define como la masa a la que una fuerza de una libra imprimirá una aceleración de 1 ft/s2. Las unidades concordantes en este sistema son:

Fuerza (lb) = masa (slugs) x aceleración (ft/s2) La unidad de fuerza SI es menor que la unidad del Sistema usual de los EU (SUEU), y la masa de un slug es mucho mayor que la masa de un kg. Los siguientes factores de conversión pueden ser útiles:

1 lb = 4.448 N y 1 slug = 14.59 kg Es importante reconocer que la fuerza F en la segunda ley de Newton representa una resultante o fuerza no equilibrada. Si más de una fuerza actúa sobre un objeto, será necesario determinar la fuerza resultante a lo largo de la dirección del movimiento, puesto que es la causa de la aceleración. Todas las componentes de las fuerzas que sean perpendiculares a la aceleración se equilibrarán. Si el eje x se

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escoge a lo largo de la dirección del movimiento, se podrá determinar la componente x de cada fuerza y escribir:

∑ Fx = max

Se puede escribir una ecuación similar para los componentes en y si el eje fuera escogido a lo largo de la dirección del movimiento.

5.1. La relación entre masa y peso

En química se le dice que el peso se mide en kilómetros; en Termodinámica, la masa algunas veces se expresa en libras, mientras que en Mecánica decimos que la unidad "libra" se reserva para uso exclusivo del peso y la fuerza. Estas aparentes inconsistencias resultan del hecho de que existen cuatro diferentes sistemas de unidades que se utilizan para describir la masa y el peso: el sistema métrico absoluto (SI), el británico absoluto, el métrico gravitacional y el británico gravitacional (sbg). En este caso la libra siempre se refiere al peso y el kilogramo siempre se refiere a la masa de un cuerpo. El peso de cualquier cuerpo es la fuerza con la que tal cuerpo es atraído verticalmente hacia abajo por la gravedad. Cuando un cuerpo cae libremente hacia la Tierra, la única fuerza que actúa sobre él es su peso W. Esta fuerza neta produce una aceleración g, que es la misma para todos los cuerpos que caen, así, de la segunda ley de Newton podemos encontrar la relación entre la masa y el peso de un cuerpo:

W = mg o m = W/g En cualquier sistema de unidades, la masa de una partícula es igual a su peso dividido por la aceleración de la gravedad; el peso tiene las mismas unidades que la unidad de fuerza; y la aceleración de la gravedad tiene las mismas unidades que la aceleración. Por lo tanto, podemos resumir como sigue:

SI: W (N) = m (kg) x g (9.8 m/s2)

USCS: W (lb) x m (slug) x g (32 ft/s2) Se deben recordar dos cosas para comprender completamente la diferencia entre masa y peso:

Masa es una constante universal igual a la relación del peso de un cuerpo a la aceleración gravitacional debida a ese peso.

Peso es la fuerza de atracción gravitacional y es muy dependiente de la aceleración gravitacional.

Por lo tanto, la masa de un cuerpo es sólo una medida de su inercia y no depende de la gravedad. En unidades del sbg, el peso W de un cuerpo se describe en libras. Su masa, si se desea, se calcula a partir de este peso y tiene como unidad es slug. En el SI, la masa de un cuerpo se especifica en kilogramos. El peso, si se desea, se calcula a partir de esta masa y tiene como unidad al newton.

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Ejemplos: 1. Encuéntrese la masa de una persona cuyo peso es de 150 lb.

m = W/g = 150 lb/32 ft/s2 = 4.69 slugs

2. Encuéntrese el peso de un bloque de 18 kg. W = mg = 18 kg (9.8 m/s2) = 176 N

3. Encuéntrese la masa de un cuerpo cuyo peso es de 100 N.

m = W/g = 100 N/9.8 m/s2 = 10.2 kg 3.5. Aplicaciones de la segunda ley de Newton a problemas de un cuerpo La diferencia principal entre los problemas analizados es que existe una fuerza neta, no equilibrada que está actuando para producir una aceleración. Los siguientes ejemplos nos servirán para demostrar la relación entre fuerza, masa y aceleración. Ejemplos:

1. ¿Qué aceleración imprimirá una fuerza de 20 N a un objeto de 10 kg? Solamente hay una fuerza que actúa sobre el cuerpo, por lo que:

F = ma a = F/m = 20 N / 10 kg = 2 m/s2

2. ¿Qué fuerza resultante imprimirá una aceleración de 5 ft/s2 a un cuerpo de 32 lb? Para encontrar la fuerza resultante debemos primero determinar la masa del cuerpo a partir del peso dado.

m = W/g = 32 lb/32 ft/s2 = 1 slug Entonces:

F = ma = (1 slug) (5 ft/s2) = 5 lb

3. ¿Cuál es la masa de un cuerpo si una fuerza de 60 N le da una aceleración de 4 m/s2? Despejando m de la ley de Newton, tenemos:

m = F/a = 60 N/4 m/s2 = 15 kg De acuerdo con la segunda ley de Newton, una fuerza resultante siempre produce una aceleración en la dirección de la fuerza resultante. Esto significa que la fuerza neta y la aceleración por ella producida son del mismo signo y además poseen la misma línea de acción. Por lo tanto, si la dirección del movimiento (aceleración) se considera positiva, se introducirán menos factores negativos en la ecuación F = ma. Por ejemplo;

P – Fx = ma es preferible a la ecuación Fx – P = – ma

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Se debe elegir una dirección positiva para la aceleración. Otra consideración que se desprende de lo anterior es que las fuerzas que actúan normalmente a la línea del movimiento deberán estar en equilibrio para que la fuerza resultante sea constante. En resumen, se aplican las siguientes ecuaciones a los problemas de aceleración:

∑ Fx = max ∑ Fy = may = 0 Donde ∑ Fx y ax se toman como positivas y a lo largo de la línea del movimiento, y ∑ Fy y ay se toman normales a la línea del movimiento. Ejemplo: Una fuerza de 100 lb tira de un bloque de 64 lb horizontalmente por el piso. Si μk = 0.1, encuéntrese la aceleración del bloque.

Diagrama de cuerpo libre

Se escogerá la derecha como positivo. Para evitar confundir el peso del bloque con su masa, se puede calcular cada uno por adelantado. El peso (64 lb) está dado y la masa se encuentra de m = W/g.

m = 64 lb/32 ft/s2 = 2 slugs La fuerza resultante a lo largo del piso es de 100 lb, menos la fuerza de fricción Fk. Si se aplica la segunda ley de Newton, se obtendrá:

Fuerza resultante = masa x aceleración 100 lb – Fk N = ma

Dado que no hay ningún movimiento en dirección vertical, se nota en la figura que:

N = W = 64 lb Si se sustituye N = 64, μk = 0.1 y m = 2 slugs se tiene:

100 lb – (0.1) (64 lb) = (2 slugs) a Si se simplifica y resuelve a, se obtiene:

100 lb – 6.4 lb = (2 slugs) a a = 93.6 lb/ 2 slugs = 46.8 ft/s2 Se debe verificar que libras por slugs equivale a pie por segundo cuadrado.

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5.2 Técnicas para la solución de problemas A continuación se describe una secuencia lógica de operaciones para los problemas relacionados con la segunda ley de Newton.

1. Leer cuidadosamente el problema para una comprensión general. 2. Dibujar un bosquejo y anotar la información dada. 3. Dibujar un diagrama de cuerpo libre con un eje a lo largo de la dirección del movimiento. 4. Indicar la dirección positiva de la aceleración. 5. Determinar la masa y el peso de cada objeto.

W = mg m = W/g 6. Del diagrama de cuerpo libre, determinar la fuerza resultante a lo largo de la dirección del

movimiento. 7. Determinar la masa total (m1 + m2 + m3 +…). 8. Igualar la fuerza resultante ∑ F con la masa total (mt) por la aceleración a:

∑ F = mt a

9. Resolver para la cantidad desconocida. Ejemplos:

1. Un ascensor de 2000 lb es levantado con una aceleración de 4 ft/s2. ¿Cuál es la tensión en el cable de soporte?

Lee el problema. Nota que la dirección positiva de la aceleración (hacia arriba) está indicada en el diagrama de cuerpo libre. Ahora, determina la masa y el peso del ascensor de 2000 lb. El peso, por supuesto, es de 2000 lb. La masa debe calcularse de m = W/g.

W = 2000 lb y m = 2000/32 ft/s2 = 62.5 slugs Puesto que el ascensor es el único objeto en movimiento, los 62.5 slugs representan la masa total mt. La fuerza resultante del diagrama de cuerpo libre es:

∑ F = T – 2000 lb De la segunda ley de Newton, se puede escribir:

Fuerza resultante = masa total x aceleración T – 2000 lb = (62.5 slugs) (4 ft/s2)

T – 2000 lb = 250 lb Finalmente, se resuelve para la T desconocida y se agregan 2000 lb a ambos lados de la ecuación.

T – 2000 lb + 2000 lb = 250 lb + 2000 lb

T = 2250 lb 2. Una bola de 100 kg es descendida por medio de un cable con una aceleración hacia debajo de 5

m/s2. ¿Cuál es la tensión en el cable?

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Al igual que en el problema anterior se hace un esbozo y un diagrama de cuerpo libre. Nota que la dirección hacia abajo se escoge como positiva, puesto que esa es la dirección del movimiento. Esta vez la masa es dada y el peso se debe calcular de W = mg.

m = 100 kg y W = (100 kg) (9.8 m/s2) = 980 N La fuerza resultante es la fuerza neta hacia abajo, o:

∑ F = W – T De la segunda ley de Newton, se puede escribir:

Fuerza neta hacia abajo = masa total x aceleración hacia abajo W – T = ma

Al sustituir las cantidades conocidas, se obtiene:

980 N – T = (100 kg) (5 m/s2) 980 N – T = 500 N

De las cuales se resuelven para T, se agrega T a ambos lados y sustraen 500 N de ambos lados:

980 N – T + T – 500 N = 500 N + T – 500 N 980 N – 500 N = T

T = 480 N 3. Una máquina de Atwood consiste en una polea simple con masas suspendidas a ambos lados.

Es una versión simplificada de muchos sistemas industriales en los cuales se emplean contrapesos para equilibrar. Supóngase que la masa de la derecha es de 10 kg y que la de la izquierda es de 2 kg. a) ¿Cuál es la aceleración del sistema? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

a) Primero se dibuja un bosquejo y un diagrama de cuerpo libre para cada masa. Se determina el peso y la masa de cada objeto.

m1= 2 kg W1 = m1 g = (2 kg) (9.8 m/s2) o W1 = 19.6 N

m2= 10 kg W2 = m2 g = (10 kg) (9.8 m/s2) o W1 = 98 N Ahora el problema radica en determinar la fuerza neta desequilibrada en el sistema completo. Nótese que la polea únicamente cambia la dirección de las fuerzas. La fuerza desequilibrada es, por tanto, sólo la diferencia de los pesos. Esto es justamente lo que se podría esperar de acuerdo con la experiencia. Nótese que la tensión T es la misma de cada lado, puesto que sólo hay cuerda; entonces la tensión se cancela y no figura en la fuerza resultante, que puede escribirse como sigue:

∑ F = W2 – T + T – W1 ∑ F = W2 – W1

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La masa total del sistema es simplemente la suma de todas las masas en movimiento. mt = m1 + m2 = 2 kg + 10 kg = 12 kg masa total

De la segunda ley de Newton sobre el movimiento se tiene:

Fuerza resultante = masa total x aceleración W2 – W1 = (m1 + m2) a

Se sustituye por W2, W1, m1 y m2, se tiene:

98 N – 19.6 N = (2 kg + 10 kg) a De donde se puede resolver para a como sigue:

78.4 N = (12 kg) a a = 78.4 N/12 kg = 6.53 m/s2

b) Para resolver el problema de la tensión en la cuerda, se debe considerar cualquiera de las masas por sí mismas, puesto que al considerar el sistema como un todo, la tensión en la cuerda no intervendría. Supóngase que se consideran las fuerzas que actúan en m1:

Fuerza resultante = masa x aceleración T – W1 = m1 a

Pero a = 6.53 m/s2 y la masa y el peso se conocen; por lo tanto, se tiene:

T – 19.6 N = (2 kg) (6.53 m/s2) T – 19.6 N = 13.06 N

T = 32.7 N Se obtendría el mismo valor para la tensión si se aplica la ley de Newton a la segunda masa. Se debe demostrar este hecho en un ejercicio adicional.

4. Un bloque de 64 lb descansa sobre una mesa sin fricción. Se ata a él un cordel que pasa sobre una polea sin fricción y que está atado en su otro extremo a un peso W. a) ¿Cuál debe ser el valor de W para dar al sistema una aceleración de 16 ft/s2? b) ¿Cuál será la tensión en el cordel?

a) Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos del sistema. Dado que las fuerzas verticales sobre el bloque de 64 lb están equilibradas, la fuerza neta de todo el sistema es simplemente el peso W. por tanto, al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos:

Fuerza resultante = masa total x aceleración

W = (64 lb + W) a/g = (64 lb + W) (16 ft/s2/32 ft/s2) W = 64 lb + W / 2 2W = 64 lb + W

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2W – W = 64 lb W = 64 lb

b) Para obtener la tensión en el cordel, la mejor elección es la fuerza neta sobre el bloque de 64 lb, ya que es la propia tensión T. Así;

Fuerza resultante = masa x aceleración T = 64 lb/32 ft/s2 (16 ft/s2) = 32 lb

5. Considera la masa m1 = 20 kg y m2 = 18 kg. Si el coeficiente de fricción cinética es de 0.1 y el

ángulo de inclinación θ es de 30°, encuéntrese a) la aceleración del sistema y b) la tensión en el cordel que une las dos masas.

Podemos aplicar la segunda ley de Newton al sistema:

Fuerza resultante en el sistema = masa total x aceleración W2 – W1x – F k = (m1 + m2) a

Los símbolos del primer miembro se encuentran como sigue:

W2 = m2 g = (18 kg) (9.8 m/s2) = 176 N W1x = m1 g sen θ = (20 kg) (9.8 m/s2) (sen 30°) = 98 N W1y = m1 g cos θ = (20 kg) (9.8 m/s2) (cos 30°) = 170 N

F k = μk N = μk W1y = (0.1) (70 N) = 17 N Al sustituir en la ecuación del movimiento obtenemos:

176 N – 98 N – 17 N = (20 kg + 18 kg) a De la cual resulta:

a = 1.61 m/s2 b) para encontrar la tensión en el cordel, aplicamos la ley de Newton a la masa de 18 kg.

Fuerza resultante = masa x aceleración m2 g – T = m2 a

T = m2 g – m2 a = m2 (g – a) T = (18 kg) (9.8 m/s2 – 1.61 m/s2) = 147 N

Unidad 2: TRABAJO Y ENERGÍA

Física

1

Contenido

1. Trabajo .................................................................................................................................................... 1

1.1. Trabajo ............................................................................................................................................. 1

1.2. Trabajo resultante ............................................................................................................................ 3

2. Energía .................................................................................................................................................... 4

2.1. Energía potencial ............................................................................................................................. 5

2.2. Conservación de la energía .............................................................................................................. 6

2.3. Potencia ........................................................................................................................................... 8

3. Impulso y momento ................................................................................................................................ 9

3.1 Impulso y movimiento ...................................................................................................................... 9

3.2. La ley de la conservación del momento ........................................................................................ 11

3.3 Choques elásticos e inelásticos ....................................................................................................... 12

3.4. Trabajo y potencia en el movimiento de rotación ......................................................................... 15

4. Sólidos y fluidos .................................................................................................................................... 17

4.1 Densidad ......................................................................................................................................... 17

4.2 Presión ............................................................................................................................................ 18

4.3 Presión del fluido ............................................................................................................................ 19

4.4 Medición de la presión ................................................................................................................... 21

5. El principio de Arquímedes ................................................................................................................... 22

6. Fluidos en movimiento ......................................................................................................................... 24

6.1 Ecuación de Bernoulli...................................................................................................................... 24

1. Trabajo

La razón principal para la aplicación de una fuerza es causar un desplazamiento. Siempre que una fuer-za actúa a través de una distancia se descubrirá que se realiza trabajo, de tal manera que puede ser medido o predicho. La capacidad para realizar trabajo será definida como energía y el ritmo al cual se lleva a cabo será de-finido como potencia. Una comprensión firme de los tres conceptos de trabajo, energía y potencia es esencial.

1.1. Trabajo

El trabajo realizado por una fuerza F provoca un desplazamiento s. Para que se realice trabajo, son necesarias tres cosas:

1. Debe haber una fuerza aplicada. 2. La fuerza debe actuar a lo largo de cierta distancia, llamada desplazamiento. 3. La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

Si se dan las tres condiciones, estamos preparados para dar una definición formal de trabajo. El trabajo es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y de la com-ponente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

Trabajo = Componente de la fuerza x desplazamiento


Física

2

Trabajo = Fxs Dónde: Fx = Es la componente de F a lo largo del desplazamiento s. s = desplazamiento Su magnitud puede encontrarse por trigonometría, y el trabajo puede expresarse en términos del án-gulo θ entre F y s.

Trabajo = (F cos θ) s Con frecuencia, la fuerza que origina el trabajo está dirigida enteramente a lo largo del desplazamien-to. En estos casos simples Fx = F, y el trabajo es el producto simple de la fuerza y el desplazamiento:

Trabajo = F s Otro caso especial ocurre cuando la fuerza aplicada es perpendicular a la dirección del desplazamiento (cos 90° = 0). En este caso el trabajo siempre es igual a cero. Ejemplo: ¿Qué trabajo es desempeñado por una fuerza de 60 N al arrastrar el bloque a una distancia de 50 m, cuando la fuerza es transmitido por una cuerda con un ángulo de 30° con la horizontal?

Se debe determinar la componente Fx de la fuer-za F de 60 N. sólo esta componente contribuye al trabajo. Gráficamente, esto se hace al dibujar el vector de 60 N a escala con un ángulo de 30°. Si se mide Fx y se convierte en néwtones da:

Fx = 52 N Con trigonometría, se podría realizar el mismo cálculo al usar la función coseno.

Fx = (60 N) (cos 30°) = 52 N Ahora al aplicar la ecuación de trabajo, se obtie-ne:

Trabajo = Fx ∙ s = (52 N) (50 m) = 2600 N ∙ m Nota que las unidades del trabajo son unidades de fuerza por distancia. Así, en el SI la unidad del traba-jo es el newton-metro (N ∙ m), que recibe el nombre de joule (J). En el SI, 1 J es igual al trabajo realizado por una fuerza de 1 N para mover un objeto la distancia de 1 m paralela a la fuerza. De manera similar, la unidad de trabajo en el sbg es la libra-pie (ft ∙ lb). No existe algún nombre espe-cial para esta unidad; 1 ft ∙ lb es igual al trabajo realizado por una fuerza de 1 lb para mover un cuerpo en una distancia de 1 ft, paralela a la fuerza. Los siguientes factores de conversión resultan muy útiles:

1 J = 0.7376 ft ∙ lb y 1 ft ∙ lb = 1.356 J


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1.2. Trabajo resultante

Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo resultante (trabajo total) es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales. Esto será también igual al trabajo de la fuerza resultante. Ejemplo: Un empuje P de 200 lb mueve un bloque de 100 lb hacia arriba de un plano inclinado a 30°. El coefi-ciente de fricción cinética es de 0.25 y el plano tiene una longitud de 20 ft.

a) Calcúlese el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Demuéstrese que el trabajo neto realizado por estas fuerzas es el mismo que el trabajo de la

fuerza resultante. a) Hay cuatro fuerzas que actúan sobre el bloque: N, P, Fk y W. La fuerza normal N no realiza ningún trabajo puesto que no tiene ninguna componente en la dirección del des-plazamiento.

(Trabajo)N = 0 El empuje P se encuentra totalmente en la dirección del desplazamiento. Así: (Trabajo)P = Ps = (200 lb) (20 ft) = 4000 ft ∙ lb

La magnitud de la fricción Fk, se calcula como sigue:

F k = μk N = μk W1y = μk W cos 30° F k = (0.25) (100 lb) (cos 30°) = 21.6 lb

Dado que esta fuerza se dirige hacia abajo del plano en una dirección opuesta al desplazamiento, reali-za trabajo negativo, que está dado por:

(Trabajo)F = (– 21.6 lb) (20 ft) = – 432 ft ∙ lb El peso W del bloque también realiza trabajo negativo ya que su componente W, tiene una dirección opuesta al desplazamiento.

(Trabajo)W = – Wx s = – (W sen 30°) (20 ft) (Trabajo)W = – (100 lb) (sen 30°) (20 ft) = – 1000 ft ∙ lb

b) El trabajo neto se obtiene al sumar los trabajos de cada una de las fuerzas.

Trabajo neto = (Trabajo) N + (Trabajo) P + (Trabajo) F (Trabajo) W Trabajo neto = 0 + 4000 ft ∙ lb – 432 ft ∙ lb – 1000 ft ∙ lb = 2568 ft ∙ lb

Para demostrar que éste también el trabajo de la fuerza resultante, debemos primero calcular esta fuerza resultante. De acuerdo con los métodos que hemos estudiado en temas anteriores,

FR = P – F k - Wx FR = 200 lb – 21.6 lb – 50 lb = 128.4 lb

El trabajo de FR es, por tanto: (Trabajo) FR = FR s

(Trabajo)FR = (128.4 lb) (20 ft) = 2568 ft ∙ lb


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Es importante distinguir entre trabajo resultante o neto y el trabajo de una fuerza individual. Si habla-mos del trabajo requerido para mover un bloque a través de una distancia, el trabajo hecho por la fuerza de tracción no es necesariamente el trabajo resultante. El trabajo puede ser hecho por una fuerza de fricción o por otras fuerzas. El trabajo resultante es sim-plemente el trabajo hecho por la fuerza resultante; si ésta es cero, entonces el trabajo resultante es cero aun cuando las fuerzas individuales pueden estar haciendo trabajo positivo o negativo.

2. Energía

Se puede pensar que la energía es cualquier cosa que pueda ser convertida en trabajo. Las unidades de la energía son las mismas que las del trabajo: el joule y la libra-pie. En mecánica, nos interesan dos clases de energía:

Energía cinética: Ek, es la energía que posee un cuerpo en virtud de su movimiento.

Energía potencial: EP, es la energía que posee un cuerpo en virtud de su posición o condición. Se pueden pensar fácilmente en mucho ejemplos de cada clase de energía. Por ejemplo:

2.1. Trabajo y energía cinética

El trabajo realizado por la fuerza F produce una modifi-cación en la energía cinética de la masa m. Considérese un bloque que tiene una velocidad inicial V0 y que la fuerza F actúa a través de una distancia s lo que pro-voca que la velocidad se in-cremente a un valor final Vf. Si el cuerpo tiene una masa m, la segunda ley de Newton

dice que aumentará su velocidad, o acelerará, a un ritmo dado por: a = F/m

Hasta que alcance una velocidad final Vf. Recordamos que:

2as = V 2f – V 20 De la cual obtenemos:

Al sustituir a = F/m obtenemos:

De la cual se puede despejar el producto Fs para tener: Fs = ½ mV2f – ½ mV2

0


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La cantidad en el primer parte de la ecuación es el trabajo realizado sobre la masa m, la cantidad en el segundo término debe ser el cambio de energía cinética que resulta de este trabajo, por lo tanto, po-demos definir la energía cinética Ek como:

Ek = ½ mV20

Este importante resultado se puede enunciar como sigue: El trabajo que realiza una fuerza resultante externa sobre un objeto es igual al cambio en la energía cinética del objetivo. Ejemplos:

1. Calcula la energía cinética de un marro de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/s. Si se aplica la ecuación se obtiene:

Ek = ½ mV2 = ½ (4 kg) (24 m/s)2 = 1152 N ∙ m = 1152 J

2. Calcula la energía cinética de un automóvil de 3200 lb que se mueven con una velocidad cons-tante de 60 mi/h (88 ft/s).

Hacemos el mismo cálculo del ejemplo anterior, excepto que debemos calcular la masa a partir del peso.

Ek = ½ mV2 = ½ (W/g) V2 Al sustituir los valores dados para W y V, tenemos:

Ek = ½ (3200 lb/32 ft/s2) (88 ft/s)2 = 3.87 x 105 ft ∙ lb

3. ¿Qué fuerza media F se requiere para detener una bala de 16 g que viaja a una velocidad de 260 m/s y penetra una distancia de 12 cm en un bloque de madera?

El trabajo total requerido para detener la bala deberá ser igual al cambio en la energía cinética. Dado que la bala es detenida, Vf = 0, por lo que la ecuación queda así:

Fs = – ½ mV20

Al sustituir obtenemos:

F (0.12 m) = – ½ (0.016 kg) (260 m/s)2 Dividiendo entre 0.12 m tenemos:

F = – (0.016 kg) (260 m/s)2/(2) (0.12 m) = – 4510 N El signo negativo del resultado nos indica que la fuerza tiene una dirección opuesta al desplazamiento. Nótese que esta fuerza resultó ser 30 000 veces más grande que el peso de la bala.

2.1. Energía potencial

La energía que un sistema posee en virtud de su posición o condiciones recibe el nombre de energía potencial. Ya que la energía se expresa a sí misma en términos de trabajo, la energía potencial implica que debe haber alguna capacidad para realizar el trabajo. La fuerza externa F requerida para levantar el cuerpo deberá ser cuando menos igual al peso W. Así, el trabajo que realiza sobre el sistema es dado por:

Trabajo = Wh = mg ∙ h


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Sólo fuerzas externas como F o la fricción pueden agregar energía o extraerla del sistema conformado por el cuerpo y la Tierra. La energía potencial gravitacional, es la energía que posee un cuerpo en virtud de su posición o condición. Levantar una masa m hasta una altura h requiere el esfuerzo mgh. El sistema cuerpo - tierra tiene una energía potencial Ep = mgh, y cuando la masa es liberada, ésta tiene capacidad para realizar el trabajo mgh. La Ep, resulta de la posición de un objeto con respecto a la Tie-rra. La energía potencial Ep tiene las mismas unidades que el trabajo y se encuentra de:

Ep = Wh Ep = mgh Donde W o mg es el peso del objeto y h es la altura sobre alguna posición de referencia. Ejemplos:

1. Un carburo de 250 g se mantiene a 200 mm sobre un banco de trabajo que está a 1m del suelo. Calcúlese la energía potencial relativa a: a) La parte superior del banco y b) al piso.

a) La altura h del carburador sobre el banco es de 200 mm (0.2 m), y la masa es de 250 g (0.25 kg). En-tonces, la energía potencial relativa al banco es:

EP = mgh = (0.25 kg) (9.8 m/s2) (0.2 m) = 0.49 J b) La energía potencial con respecto al piso es:

EP = mgh = (0.25 kg) (9.8 m/s2) (1.2 m) = 2.94 J 2. Una unidad de aire acondicionado comercial de 800 lb es lavanda por un montacargas hasta al-

canzar 22 ft por encima del piso. ¿Cuál es la energía potencial relativa al piso? Si se aplica la ecuación: Ep = Wh, se obtiene:

EP = Wh = (800 lb) (22 ft) = 17,600 ft ∙ lb

2.2. Conservación de la energía

Muy a menudo, a velocidades abajas, tiene lugar un intercambio entre las energías cinética y potencial. Energía total = EP + EK = constante

Decimos que la energía mecánica es conservada. Ahora, estamos preparados para invocar el principio de conservación de la energía mecánica. Conservación de la energía mecánica: en ausencia de resistencia del aire u otras fuerzas disipadoras, las sumas de las energías potenciales y cinéticas es una constante, siempre u cuando ninguna energía sea añadida al sistema. Bajo estas condiciones, la energía cinética final de una masa m que se deja caer desde una altura h es:

½ mV2f = mgh

Resolviendo esta relación para Vf se obtiene una ecuación útil para determinar la velocidad final a par-tir de la energía:


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Ejemplo: 1. Una esfera de 40 kg es impulsada hasta que queda a 1.6 m sobre su posición más baja. Sin to-

mar en cuenta la fricción, ¿Cuál será su velocidad cuando regrese a través del punto más bajo? La conservación de la energía mecánica requiere que la energía cinética final sea igual a la energía po-tencial inicial.

½ mV2f = mgh

Así, la ecuación se aplica y solamente se resuelve para Vf.

Consideremos ahora el caso más general en el que alguna energía mecánica se pierde en razón de al-guna fuerza disipadora como el rozamiento. El cambio en la energía mecánica que resulta de tal fuerza será siempre igual al trabajo negativo realizado por la fuerza disipadora. Por el rozamiento debemos escribir este hecho como sigue:

|Energía cinética final| = |energía potencial inicial| – |esfuerzo contra rozamiento| ½ mV2

f = mgh – Fs Una mejor forma de escribir esta declaración sería expresarla en términos de la energía total disponi-ble inicialmente.

mgh = ½ mV2f + Fs

Esta ecuación es un enunciado matemático del principio de conservación de la energía, el cual puede ahora ser re expresado como sigue: Conservación de la energía: la energía total de un sistema es siempre constante, aunque pueden ocu-rrir transformaciones de energía de una forma a otra dentro del sistema. Ejemplo:

1. Un bloque de 64 lb cae sobre un plano inclinado de 300 ft de longitud y 30° de inclinación, si µk = 0.1, encuéntrese la velocidad del bloque al pie del plano inclinado a partir de consideraciones energéticas.

Comencemos por calcular la energía potencial en la parte superior del plano inclinado.

EP = Wh = (64 lb) (300 ft) (sen 30°) = 9600 ft ∙ lb Esta es la energía total disponible inicialmente. Para determinar cuánta energía se perderá al realizar trabajo contra el rozamiento, debemos calcular la fuerza normal N ejercida por el plano contra el blo-que.

N = Wy = (64 lb) (cos 30°) = 55.4 lb Por tanto la fuerza de rozamiento debe ser:

F k = µk N = (0.1) (55.4 lb) = 5.54 lb


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El trabajo así realizado por la fuerza de rozamiento es: F k s = (5.54 lb) (300 lb) = 1660 ft · lb

De acuerdo con la ecuación ½ mV2

f = mgh – Fs, la energía cinética final debe ser igual a la energía po-tencial inicial menos la pérdida de energía sufrida durante la realización del trabajo contra el rozamien-to. Así:

½ mV2f = 9600 ft · lb – 1660 ft · lb = 7940 ft · lb

Dado que la masa del bloque es:

m = W/g = 64 lb/32 ft/s2 = 2 slugs Al sustituir obtenemos:

½ (2 slugs) V2f = 7940 ft · lb

De lo cual: V2

f = 7,940 ft · lb/ slug = 7940 ft2/s2 Obteniendo la raíz cuadrada de ambos miembros, podemos calcular la velocidad final.

Vf = 89 ft/s

2.3. Potencia

Potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo. P = trabajo / t

En las unidades de Sbg, la unidad de la potencia es la libra-pie por segundo. La unidad correspondiente en el SI tiene un nombre especial, el watt (W) y se define como:

1 W = 1 J/s El watt y la libra-pie por segundo son unidades demasiado pequeñas para su uso conveniente en la mayor parte de las aplicaciones industriales. Por lo tanto, se han definido el kilowatt (k W) y el caballo de fuerza (hp) como sigue:

1 k W = 1000 W 1 hp = 550 ft · lb/s

Se puede hablar con toda propiedad de un foco de 0.08 hp o presumir de un motor de 238 000 W. Los factores de conversión son:

1 hp = 746 W = 0.746 k W 1 k W = 1.34 hp

Ya que generalmente el trabajo se realiza de una manera continua, es a veces útil usar otra fórmula para la potencia que incluya la velocidad. Así,

De la cual:


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Donde V es la velocidad del cuerpo sobre el que una fuerza paralela F es aplicada. Ejemplos:

1. Se levanta una carga de 40 kg a una altura de 25 m. si esta operación toma 1 min, encuéntrese la potencia requerida. ¿Cuál es la potencia en caballos de fuerza?

El trabajo desarrollado para levantar la carga es:

Trabajo = Fs = mgh = (40 kg) (9.8 m/s2) (25 m) = 9800 J Por lo tanto, la potencia es:

P = trabajo/t = 9800 J/60 s = 163 W Dado que 1 hp = 746 W, el caballaje desarrollado fue:

P = (163 W) 1 hp/746 W = 0.219 hp

2. Un motor de 60 hp proporciona la potencia necesaria para mover el ascensor de un hotel. Si el peso del elevador es de 2000 lb, ¿Cuánto tiempo se requiere para levantar el ascensor 120 ft?

El trabajo realizado está dado por:

Trabajo = Fs = (2000 lb) (120 ft) = 2.4 x 105 ft · lb Dado que 1 hp = 550 ft · lb/s / 1 hp = 3.3 x 104 ft · lb/s

A partir de la ecuación:

P = Fs / t t = Fs/P

De manera que: t = 2.4 x 105 ft · lb / 3.3 x 104 ft · lb/s = 7.27 s

3. Impulso y momento

La energía y el trabajo son cantidades escalares que no nos dicen absolutamente nada acerca de la dirección. La ley de la conservación de la energía describe tan sólo la relación entre los estados inicial y final de un movimiento; pero no nos dice nada acerca de la distribución de las energías.

3.1 Impulso y movimiento

Cuando un palo de golf golpea la pelota, una fuerza F que actúa durante un intervalo de tiempo Δt pro-voca un cambio en su momento. Por la segunda ley de Newton tenemos que:

Al multiplicar por Δt queda:

F Δt = m (Vf – Vo), es decir, F Δt = mVf – mVo El impulso F Δt es una cantidad vectorial igual en magnitud al producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en que actúa. Su dirección es la misma que la fuerza. El momento P de una partícula es una cantidad vectorial igual en magnitud al producto de su masa por su velocidad V.

P = mV


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Por tanto, la ecuación puede ser enunciada verbalmente: Impulso (F Δt) = cambio del momento (mVf – mVo)

La unidad del impulso en el SI es el newton-segundo (N ∙ s). La unidad para la cantidad de momento es el kilógramo-metro por segundo (kg ∙ m/s). Es conveniente distinguir entre estas unidades aunque realmente sean iguales:

Las unidades correspondientes del sbg son la libra-segundo (lb-s) y el slug-pie por segundo (slug ∙ ft/s). Ejemplos:

1. Un marro de 3 kg tiene una velocidad de 14 m/s en el momento de golpear un perno de acero y es detenido en 0.02 s. Determínese la fuerza media que actúa sobre el perno.

Dado que Vf = 0, tenemos:

F Δt = – mVo Si consideramos que el marro se mueve hacia abajo, sustituimos Vo = – 14 m/s, para tener:

Esta fuerza, ejercida sobre el marro, es de la misma magnitud pero de dirección opuesta que la fuerza ejercida sobre el perno.

2. Una pelota de beisbol de 0.6 lb se mueve hacia el bateador a una velocidad de 44 ft/s y al ser golpeada sale en dirección contraria con una velocidad de 88 ft/s. Encuéntrese el impulso y la fuerza media ejercida sobre la pelota si el bat estuvo en contacto con la pelota un lapso de 0.01 s.

Consideremos la dirección final del movimiento como positiva. Aplicando la ecuación podemos encon-trar el impulso como sigue:

F Δt = mVf – mVo = m (Vf – Vo) Y dado que:

F Δt = 0.0188 slug [88 ft/s – (– 44 ft/s)] = 0.0188 slug (132 ft/s) = 2.48 lb ∙ s…Impulso Para encontrar la fuerza promedio debemos sustituir Δt = 0.01 s

F (0.01 s) = 2.48 lb ∙ s


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3.2. La ley de la conservación del momento

Consideremos la colisión de frente de las masas m1 y m2 que se ilustra en la siguiente figura. Represen-tamos sus velocidades antes del impacto por los símbolos u1 y u2, y después del choque por V1 y V2. El impulso de la fuerza F1 que actúa sobre la masa de abajo es:

F1 Δt = m1V1 – m1u1

De manera similar, el impulso de la fuerza F2 sobre la masa de arriba es:

F2 Δt = m2V2 – m2u2

Durante el lapso Δt, F1 = - F2, de tal manera que: F1 Δt = – F2 Δt

Es decir, m1V1 – m1u1 = – (m2V2 – m2u2)

Y, después de ordenar términos, tenemos: m1u1 + m2u2 = m1V1 + m2V2

La cantidad total de momento antes del impacto = cantidad total de momento después del impacto. Se ha derivado así un enunciado de la ley de la conservación del momento: Cuando dos grupos chocan, la cantidad total del momento antes del impacto es igual a la cantidad total del momento después del impacto.

Ejemplos:

1. Supón que m1 y m2 tienen masas de 8 y 6 kg, respectivamente. La velocidad inicial de m1 es de 4 m/s a la derecha y choca con m2 que tiene una velocidad de 5 m/s a la izquierda. ¿Cuánta canti-dad de momento hay antes y después del impacto?

Escogemos la dirección a la derecha como positiva y tenemos la preocupación de asignar los signos correctos a cada velocidad.

P0 (antes del impacto) = m1u1 + m2u2 P0 = (8 kg) (4 m/s) + (6 kg) (– 5 m/s) = 32 kg ∙ m/s – 30 kg ∙ m/s = 2 kg ∙ m/s

Debe existir la misma cantidad de momento después de la colisión, por lo que escribimos:

Pf = m1V1 + m2V2 = 2 kg ∙ m/s Si V1 o V2 se pueden medir después del choque, la otra puede ser calculada a partir de esta relación.

u1

u2

V1

V2


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2. Un fusil que pesa 8 lb dispara una bala de 0.02 lb con una velocidad de salida de 2800 ft/s. Cal-cúlese la velocidad de retroceso del fusil si está suspendido libremente.

Dado que tanto el fusil m1 como la bala m2 están inicialmente en reposo, al momento total antes del disparo debe ser igual a cero. La cantidad de momento total no puede cambiar, por lo que debe ser también igual a cero después del disparo. Por lo tanto, la ecuación nos dice que:

0 = m1V1 + m2V2 m1V1 = – m2V2

V1 = – m2V2 / m1 V1 = – (0.02 lb/32 ft/s2) (2800 ft/s) / (8 lb/32 ft/s2) = – 7 ft/s

3.3 Choques elásticos e inelásticos

Durante el choque, todos los cuerpos sufren una pequeña deformación y por lo tanto se liberan pe-queñas cantidades de calor. El vigor con que un cuerpo recobra su forma original después de sufrir una deformación viene a ser una medida de su elasticidad o restitución. Si la energía cinética permanece constante en un choque (caso ideal), se dice que la colisión ha sido perfectamente elástica. Una bola de acero templado que se deja caer sobre una placa de mármol se aproxima mucho a un choque perfectamente elástico. Si los cuerpos que chocan se adhieren entre sí y se mueven como un solo cuerpo después del impacto, se dice que la colisión fue perfectamente inelás-tica. Una bala que se incrusta en un bloque de madera es un ejemplo de este tipo de impactos. En una colisión perfectamente elástica entre dos masas m1 y m2, podemos decir que tanto la energía como el momento permanecen sin cambio. Por lo tanto, podemos usar dos ecuaciones: Energía:

½ m1u12 + ½ m2u2

2 = ½ m1V12 + ½ m2V2

2 Momento:

m1u1 + m2u2 = m1V1 + m2V2 Que puede simplificarse para obtener:

m1 (u12 – V1

2) = m2 (u22 – V2

2)

m1 (u1 – V1) = m2 (u2 – V2) Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, factorizamos los numeradores y dividimos para lo-grar:

u1 + V1 = u2 + V2 Es decir,

V1 – V2 = u2 – u1 = – (u1 – u2) Un medio de medir la elasticidad de un choque, se obtiene por la relación negativa de la velocidad re-lativa después del choque entre la velocidad relativa antes del mismo. El Coeficiente de restitución (e) es la relación negativa de la velocidad relativa después del choque en-tre la velocidad relativa antes del mismo.


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Si incorporamos el signo negativo en el numerador de esta ecuación tenemos:

Si la colisión es perfectamente elástica, e = 1. Si la es perfectamente inelástica, e = 0. En el caso inelás-tico, los dos cuerpos salen con la misma velocidad, es decir, V1 = V2. En general, el coeficiente de resti-tución siempre tiene un valor entre 0 y 1. Un método simple para medir el coeficiente de restitución es el que se presenta en el siguiente ejem-plo: Una esfera del material que se va a medir se deja caer sobre una placa fija desde una altura h1. Se mide entonces su altura de rebote h2. En este caso, la masa de la placa es tan grande que V2 tiende a ser igual a cero. Por tanto,

La velocidad u1 es simplemente la velocidad final que adquiere la esfera al caer desde su altura h1, que se calcula así:

u12 – u0

2 = 2gh1

Pero su velocidad inicial u0 = 0, de tal manera que:

u12 = 2gh1

Es decir, u1 = √2gh1

En este caso hemos considerado como positiva la dirección hacia abajo. Si la pelota rebota hasta una altura h2, su velocidad de rebote V1 debe ser igual a – √2gh2 (el signo negativo indica el cambio de di-rección). Así, el coeficiente de restitución se calcula:

El coeficiente resultante es una propiedad conjunta de la esfera y de la superficie de rebote. Para una superficie muy elástica, e tiene un valor de 0.95 o más (acero o vidrio), mientras que para una superficie menos elástica e puede ser mucho menor. Es de gran interés notar que la altura del rebote es una función del vigor con el que se restablece la deformación causada por el impacto.


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Ejemplos: 1. Una pelota de 2 kg que viaja hacia la izquierda a 24 m/s choca de frente con otra pelota de 4 kg

que viaja hacia la derecha a 16 m/s. a) encuéntrese la velocidad resultante si las dos pelotas se quedan pegadas después del choque. b) encuéntrese sus velocidades finales si el coeficiente de restitución es de 0.80.

a) En este caso V2 = V1 y e = 0. Llamemos a la velocidad final V. La ley de la conservación de la cantidad de movimiento nos dice que:

m1u1 + m2u2 = m1V1 + m2V2 = (m1 + m2) V Dado que V1 = V2 = V. Si elegimos la dirección hacia la derecha como positiva, sustituimos y obtene-mos:

(2 kg) (- 24 m/s) + (4 kg) (16 m/s) = (2 kg + 4kg) V - 48 kg ∙ m/s + 64 kg ∙ m/s = (6 kg) V

16 kg ∙ m/s = (6 kg) V Despejamos V y nos queda:

V = 16/6 m/s = 2.67 m/s El hecho de que esta velocidad resulte positiva indica que ambos cuerpos se mueven juntos hacia la derecha después del choque. b) En este caso e no es cero, y las pelotas rebotan después del choque con velocidades diferentes. Por tanto, necesitamos más información de la que podemos obtener de la ecuación de momento por sí sola. Recurrimos al valor dado de e = 0.80 y a la ecuación para lograr esta información adicional.

Es decir,

V2 – V1 = (0.80) (u1 – u2) Sustituimos los valores conocidos de u1 y u2:

V2 – V1 = (0.80) (– 24 m/s – 16 m/s) = (0.80) (– 40 m/s) = – 32 m/s Podemos ahora usar la ecuación del momento para obtener una nueva relación entre V2 y V1, de tal manera que podamos resolver las dos ecuaciones simultáneamente.

m1u1 + m2u2 = m1V1 + m2V2 El primer miembro de esta ecuación ya se valoró en la parte a) de este ejemplo y vale 16 kg ∙ m/s. Por lo tanto, al sustituir los valores de m1 y m2 en la segunda parte de la ecuación, tenemos:

16 kg ∙ m/s = (2 kg) V1 + (4 kg) V2

De la cual: 2V1 + 4V2 = 16 m/s

Es decir, V1 + 2V2 = 8 m/s


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Y así llegamos a nuestras 2 ecuaciones: V2 – V1 = – 32 m/s y V1 + 2V2 = 8 m/s

Que se resuelven para obtener: V1 = 24 m/s y V2 = – 8 m/s Después de la colisión, ambas masas invierten su dirección, quedando m1 moviéndose hacia la derecha con velocidad de 24 m/s y m2 hacia la izquierda con velocidad de 8 m/s.

2. Una bala de 12 g se dispara contra un bloque de madera de 2 kg que cuelga de un hilo, el im-pacto de la bala hace que el bloque oscile hasta una altura de 10 kg sobre su nivel original. Cal-cúlese la velocidad con la que la bala da en el bloque.

Podemos calcular la velocidad combinada de los cuerpos después del impacto a partir de consideracio-nes energéticas. La energía cinética del bloque y de la bala inmediatamente después del impacto se convierte en energía potencial a medida que se elevan hasta la altura h. Así, si V es la velocidad inicial del bloque y la bala, tenemos:

½ (m1 + m2) V2 = (m1 + m2) gh Al dividir entre m1 + m2 nos queda:

V2 = 2gh De la cual:

V = √2gh Por lo tanto, la velocidad combinada justo después de la colisión de:

V = √ (2) (9.8 m/s2) (0.1 m) = 1.4 m/s La ecuación del momento queda entonces:

m1u1 + m2u2 = (m1 + m2) V Y, dado que u2 = 0

(0.012 kg) u1 = (0.012 kg + 2 kg) (1.4 m/s)

0.012 u1 = (2.012 kg) /1.4 m/s)

u1 = 2.82 m/s / 0.012 = 235 m/s Los cuerpos del mundo natural suelen moverse a lo largo de trayectorias curvas, es difícil imaginar un fenómeno físico que no incluya cuando menos dos dimensiones.

3.4. Trabajo y potencia en el movimiento de rotación

Consideremos el trabajo realizado durante una rotación bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Supongamos la fuerza F que actúa sobre el borde de la polea de radio r. El efecto de dicha fuerza consiste en que la polea gira a través de un án-gulo θ mientras que el punto de aplicación de la fuerza se mueve a una distancia s. el arco s se relaciona con el ángulo θ por la fórmula:

s = r θ


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Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza F es, por definición. Trabajo = F s = F r θ

Pero F r es precisamente el momento de torsión de la fuerza, de tal manera que,

Trabajo = τ θ El ángulo θ debe expresarse en radianes en cualquiera de los sistemas de unidades para que el trabajo resulte en joules o en pies-libras, respectivamente. La energía mecánica se transmite por lo general en forma de trabajo rotacional, cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa es la rapidez con que se desarrolla el trabajo rotacional. Por tanto, la potencia rotacional se puede obtener dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior, entre el tiempo t requerida para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ.

Dado que θ/t representa la velocidad angular media , podemos escribir:

Ejemplo:

1. Una rueda de 2 ft de radio tiene un momento de inercia de 8.2 slug ∙ ft2. Una fuerza tangencial constante de 12 lb se le aplica sobre el borde. a) Suponiendo que la rueda parte del reposo, ¿Cuál será su aceleración angular después de 4 s. b) ¿Qué caballaje medio se desarrollará?

a) Primero calcularemos el momento de torsión a partir del producto de la fuerza tangencial por el ra-dio de la rueda.

τ = F r = (12 lb) (2 ft) = 24 lb ∙ ft Al aplicar la segunda ley de Newton, encontramos que la aceleración angular es:

b) la rapidez a la que se realiza el trabajo depende del desplazamiento angular θ que describe la rueda en 4 s. Este desplazamiento es:

θ = ω0 t + ½ α t2 θ = 0 + ½ (2.93 rad/s2) (4 s)2 = 23.4 rad

La potencia media es, por la ecuación:

Potencia = τ


Física

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El mismo resultado puede ser obtenido determinando la velocidad angular y después aplicando la ecuación:

Potencia = τ

4. Sólidos y fluidos

Los líquidos y gases se denominan fluidos porque fluyen libremente y llenan los recipientes que los contienen. Los fluidos pueden ejercer fuerzas sobre las paredes de los recipientes que contienen estas fuerzas, al actuar sobre superficies de área definida crean una condición de presión. Usos, por ejemplo:

Una prensa hidráulica utiliza la presión del fluido para levantar cargas pesadas.

La estructura de los depósitos de agua, las presas y los grandes tanques de petróleo se deter-mina en gran medida por consideraciones de presión.

El diseño de barcos, submarinos y globos meteorológicos debe tomar en cuenta la presión y densidad del fluido circundante.

4.1 Densidad

La cantidad que relaciona el peso de un cuerpo con su volumen se conoce como peso específico. El peso especídfico D de un cuerpo se define como la razón de su peso W a su volumen V. Las unidades son el newton por metro cúbico (N/m3) y la libra por pie cúbico (lb/ft3).

D W=DV

Dónde: D = peso específico W = peso V = volumen Una relación más útil para la densidad toma en cuenta que la masa es una constante universal, inde-pendientemente de la gravedad. La densidad de masa 𝛒 de un cuerpo se define como la razón de su masa m a su volumen V.

ρ

Las unidades de densidad son la razón de una unidad de masa a una unidad de volumen, es decir, gra-mos por centímetro cúbico, kilogramos por metro cúbico o slugs por pie cúbico. La relación entre el peso específico y la densidad se encuentra al recordar que:

W = mg o sea


Física

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D

Tabla. Densidad y peso específico

Sustancia

𝛒 _____________________________

D, lb/ft3 g/cm3 Kg/m3

Sólido Aluminio Latón Cobre Vidrio Oro Hielo Hierro Plomo Roble Plata Acero

169 540 555 162 1204 57 490 705 51 654 487

2.7 8.7 8.89 2.6 19.3 0.92 7.85 11.3 0.81 10.5 7.8

2 700 8 700 8 890 2 600 19 300 920 7 850 11 300 810 10 500 7 800

Líquidos Alcohol Benceno Gasolina Mercurio Agua

49 54.7 42 850 62.4

0.79 0.88 0.68 13.6 1.0

790 880 680 13 600 1 000

Gases (0°C) Aire Hidrógeno Helio Nitrógeno Oxígeno

0.0807 0.0058 0.0110 0.0782 0.0892

0.00129 0.000090 0.000178 0.00126 0.00143

1.29 0.090 0.178 1.25 1.43

Ejemplo: un tanque cilíndrico de gasolina tiene una longitud de 3m y un diámetro de 1.2m ¿Cuántos kilogramos de gasolina pueden almacenarse en el tanque? 1) Encuentra el volumen: V=𝜋r2h =𝜋 (0.6m)2(3m) = 3.39m3 2) Sustituyendo el volumen y la densidad en la ecuación se obtiene:

m=𝜌V = (680kg/m3)(3.39m3) =2310 kg

4.2 Presión

Se llama presión a la fuerza normal (perpendicular) por unidad de área. Simbólicamente, la presión P está dada por:

P

Dónde: A = área sobre la cual se aplica una fuerza perpendicular F.


Física

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La unidad de presión es la razón de cualquier unidad de fuerza a una unidad de área. Algunos ejemplos son: newtons por metro cuadrado y libras por pulgada cuadrada. En unidad de SI, a N/m2 se le da el nombre de pascal (Pa). El kilopascal (KPa) es la medida más apropiada para la presión de un fluido.

1 kPa = 1000 N/m2 = 0.145 lb/in2

Ejemplo: un zapato de golf tiene 10 tacos, cada uno con un área de 0.01 in2 en contacto con el piso. Supón que al caminar, hay un instante en que los 10 tacos soportan el peso total de una persona de 180 lb. ¿Cuál es la presión que ejercen los tacos sobre el piso? Expresa la respuesta en unidades de SI: el área de contacto con el piso es de 0.1in2 (10X0.01 in2). Si se sustituye en la ecuación, se obtiene:

P = 1800 lb/in2

Convirtiendo al SI de unidades, se obtiene:

P= (1800 lb/in2)( = 1.24 x 104kPa

A medida que el área del zapato en contacto con el piso disminuye, la presión aumentará. Es fácil ver por qué debe considerarse este factor al construir un piso.

4.3 Presión del fluido

La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo con-tiene, siempre actúa perpendicularmente a dichas paredes. Los fluidos ejer-cen presión en todas las direcciones. La figura 2 muestra un líquido bajo presión. Las fuerzas que actúan sobre la cara del pistón, las paredes del recipiente y sobre las superficies de un objetos suspendido en el fluido también se muestra en la figura 2. Al igual que los objetos sólidos de gran volumen ejercen grandes fuerzas sobre sus soportes, los fluidos también ejercen una presión mayor al aumentar la pro-fundidad. El fluido que se encuentra en el fondeo de un recipiente está siempre sometido a una presión mayor que en la superficie.

Esto se debe al peso del líquido que hay arriba. Debe señalarse que existe una diferencia entre la pre-sión ejercida por los sólidos y la ejercida por los líquidos. Un objeto sólido puede ejercer solamente una fuerza hacia abajo debido a su peso. A cualquier profundidad en un fluido, la presión es la misma en todas las direcciones (figura 1). Si esto no fuera verdad, el fluido se derramaría bajo la influencia de una presión resultante hasta que se alcanzara la nueva condición de equilibrio. Puesto que el peso que se encuentra por arriba es proporcional a su densidad, la presión a cualquier profundidad también corresponderá a la densidad del fluido. Esto puede observarse al considerar la columna rectangular de agua que se extiende desde la superficie hasta una profundidad h, como se muestra en la figura 3:

Fig. 2 Los fluidos ejercen presión en todas las direc-ciones y sentidos.

Fig. 1 Las fuerzas que un fluido ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene son perpendiculares en cada punto.


Física

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El peso de toda la columna actúa sobre el área de superficie A en el fondo de la columna. La ecuación para el peso de la columna es:

W= DV =DAh Dónde: D = Densidad del peso del fluido

h = la presión (por unidad de área) a la profundidad será: P = o en tér-

minos de densidad de masa La presión de un fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad por debajo de la superficie del mismo. Ejemplo: El peso específico del agua es 62.4 lb/ft3. La presión es 160 lb/in2.

Para evitar una discordancia en las unidades, la presión se convierte en unidades de libras por pie cua-drado.

Considere una serie de recipientes interconectados de diferentes áreas y formas: Es de suponer que el mayor volumen de agua que hay en el recipiente B debe ejercer una presión mayor en el fondo que el líquido del recipiente D. El efecto de dicha diferen-cia en las presiones tendría que elevar el nivel en el recipiente D. Sin embargo, cuando se llenan los recipientes con líquido se observa que el nivel es el mismo en ambos.

Parte del problema para comprender esta paradoja se origina en la confusión de los términos presión y fuerza total. La presión se mide en términos de un área unitaria, no se considera el área total cuando se resuelven problemas que incluyen presión. Por ejemplo, en el recipiente A, el área del líquido en el fondo del mismo es mucho mayor que en el fondo del recipiente D. Esto significa que el líquido en el primer recipiente ejercerá una fuerza total mayor en el fondo que el líquido del recipiente D. Pero si una fuerza mayor es aplicada sobre un área más grande, la presión permanece constante en ambos recipientes. Si los fondos de los recipientes B, C y D tienen la misma área, puede decirse que las fuerzas totales tam-bién son iguales en los fondos de estos recipientes. (Por supuesto que las presiones son iguales para cualquier profundidad). Puede resultar sorprendente cómo las fuerzas totales pueden ser iguales cuando los recipientes A y B contienen un volumen mayor de agua. En cada ca-so, el agua extra es soportada por componentes vertica-les de las fuerzas ejercidas por las paredes del recipiente del fluido. Cuando las paredes de un recipiente son verti-

Fig. 5 La presión en el fondo de cada recipiente solo es función de la profundidad del líquido y es la misma en todas las direcciones. Ya que el área en el fondo es la misma para ambos recipientes, la fuerza total que se ejerce sobre el fondo de cada uno de ellos también es la misma.

Fig. 4 El agua busca su propio nivel indicando que la presión es independiente del área o forma del recipiente que la contiene.

Fig. 3 La relación entre presión, densidad y profundidad.


Física

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cales, las fuerzas que actúan sobre los lados no tienen componentes hacia arriba. La fuerza total en el fondo de un recipiente es, por lo tanto, igual al peso de la columna recta de agua sobre el área de la base. Ejemplo. Los recipientes de la figura 4 se llenan con alcohol hasta que nivel del fluido está 1ft por arri-ba de la base de cada recipiente. Las áreas de las bases de los recipientes A y B son 20 y 10 in2, respec-tivamente. Calcula la presión y fuerza total en la base de cada recipiente. La presión es la misma en cualquiera de los dos recipientes y está dada por:

La fuerza total en cada caso es el producto de la presión por el área de la base ( . De este mo-do:

Antes de considerar otras aplicaciones de la presión de los fluidos, se resumirán los principios estudia-dos en esta sección para fluidos en reposo:

1. Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene son siempre perpendiculares a las mismas.

2. La presión del fluido es directamente proporcional a su profundidad y densidad. 3. A cualquier profundidad, la presión del fluido es la misma en todas las direcciones. 4. La presión del fluido es independiente de la forma o área del recipiente que lo contiene.

4.4 Medición de la presión

Cualquier líquido en un recipiente abierto, por ejemplo, es afectado por la presión atmosférica además de la presión originada por su propio peso. El líquido es relativamente incompresible, la presión exter-na de la atmósfera se transmite en igual medida a través de todo el volumen del líquido. Este hecho, se llama ley de Pascal:

Una presión externa aplicada a un fluido confinado se transmite uni-formemente a través del volumen del fluido.

La mayor parte de los dispositivos que miden la presión directamente, miden en realidad, la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. El resultado se llama presión manométrica.

Presión absoluta = presión manométrica + presión atmosférica


Física

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Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio se elevará en el extre-mo abierto hasta que las presiones se igualen. La diferencia entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica, es decir, la diferencia entre la presión absoluta en la cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto. Es tan común el empleo del manó-metro en trabajos de laboratorio, que las presiones atmosféricas se expresan en centímetros de mercurio, o bien en pulgadas de mercurio.

Medidas equivalentes a la presión atmosférica:

1atm =101.3 kPa =14.7 lb/in2 =76 cm de mercurio = 30 in de mercurio =2116 lb/ft2

Ejemplo. El manómetro de mercurio se utiliza para medir la presión de un gas dentro de un tanque (Figura 6). Si la diferencia entre los niveles de mercurio es de 36 cm, ¿cuál es la presión absoluta dentro del tanque? La presión manométrica es de 36 cm de mercurio y la presión atmosférica de 76 cm de mercurio. En este caso, la presión absoluta se encuentra a partir de la ecuación: Presión absoluta = 36 cm + 76cm = 112 cm de mercurio La presión en el tanque es equivalente a la presión que debe ejercerse por una columna de mercurio de 112 cm de altura.

=(43 600 kg/m3)(9.8 m/s2)(1.12 m)

= 1.49 x 105 N/m2 = 149 kPa

Se debe verificar que esta presión absoluta es también 21.6 lb/in2, o sea, 1.47 atm.

5. El principio de Arquímedes

Un objeto está completa o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza de abajo hacia arriba (empuje) igual al peso del fluido desalojado.

Presión que está siendo medida.

Fig. 6 Manómetro de tubo abierto. La presión se mide mediante la altura h de la columna de mercurio. Ima-gen recuperada de: http://www.unet.edu.ve/~fenomeno/F_DE_T-47.htm

Al nivel del mar, la presión atmosférica es 101.3 KPa, o 14.7 lb/in2. Debido a que la presión atmosférica es utilizada en muchos cálculos, con frecuencia se usa la unidad de presión atmosférica (atm), definida como la presión media que la atmósfera ejerce a nivel del mar, o sea, 14.7 lb/in2. Un dispositivo común para medir la presión manométrica es el manómetro de tubo abierto (figura 6). El manómetro consiste en un tubo en U que contiene un líquido, por lo general, mercurio. Cuando ambos extremos del tubo están abiertos, el mercurio busca su propio nivel ya que en ambos extremos del tubo hay una presión de 1 atm.

Fig. 7 Barómetro imagen recupe-rada de: http://www.urbipedia.org/index.php?title=Archivo:Bar%C3%B3metro_de_mercurio.jpg

http://www.unet.edu.ve/~fenomeno/F_DE_T-47.htm

http://www.urbipedia.org/index.php?title=Archivo:Bar%C3%B3metro_de_mercurio.jpg




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El principio de Arquímedes se puede demostrar al estudiar las fuerzas que un fluido ejerce sobre un objeto suspendido. Considérese un disco de área A y altura H el cual está completamente sumergido en un fluido. Recuérdese que la presión a cualquier profundidad h en un fluido está dada por:

Dónde: P = densidad de masa del fluido g = aceleración de la gravedad Si se desea representar la presión absoluta dentro del fluido, se debe sumar la presión externa ejercida por la atmósfera. La presión total hacia abajo P1 en la cara superior del disco, por lo tanto:

hacia abajo Dónde: Pa = presión atmosférica h1 = profundidad superior del disco Análogamente la presión total hacia arriba P2 sobre el fondo del disco:

hacia arriba Dónde: h2 = profundidad inferior del disco Puesto que h2 es mayor que , la presión sobre la base del disco excederá la presión sobre la cara superior, y el resultado será una fuerza neta hacia arriba. Si la fuerza hacia abajo se representa por F1 y la fuerza hacia arriba por F2 puede escribirse:

La fuerza hacia arriba ejercida por el fluido sobre el disco se llama empuje y se expresa mediante:

)

Dónde:

es la altura del disco Finalmente, si se recuerda que el volumen del disco es se obtiene el siguiente resultado importante:

Empuje = peso del fluido desalojado

el cual es el principio de arquímedes. Ejemplo. Un flotador de corcho tiene un volumen de 2ft3 y una densidad de 15 lb/ft2

Fig. 8 El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que desaloja. Imagen recuperada de: http://www.educarchile.cl/UserFi-les/P0001/Image/Mod_3_conteni-dos_estudiantes_ciencias_fisica/fig%2069.JPG

http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0001/Image/Mod_3_contenidos_estudiantes_ciencias_fisica/fig%2069.JPG







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a) ¿Qué volumen del corcho está por debajo de la superficie cuando el corcho flota en el agua? b) ¿Qué fuerza hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho completamente?

Solución a) El corcho desalojará un volumen igual a su propio peso, el cual es:

)(2 )

Puesto que el agua tien un peso específico de 62.4 , el volumen del agua desalojado es:

Por tanto, el volumen del corde debajo del nivel del agua es también Solución b) A fin de sumergir el corcho, debe aplicarse una fuerza F es, por lo tanto, W del corcho de tal manera que su suma sea igual FB simbolicamente:

La fuerza necesaria F es, por lo tanto, igual a la diferencia entre el empuje y el peso del corcho.

En este caso, el empuje puede encontrarse al calcular el peso de 2 ft3 de agua (la cantidad de agua desalojada cuanto el corcho está completamente sumergido). Se obtiene así:

La fuerza F necesaria para sumergir el corcho es:

6. Fluidos en movimiento

6.1 Ecuación de Bernoulli

En el estudio de los fluidos, se revisan cuatro conceptos: la presión P, la densidad ρ, la velocidad v y la altura h por arriba de algún nivel de referencia. La relación entre estas cantidades y su capacidad para describir el movimiento fue establecida por Bernoulli:

Como el fluido tiene masa, debe obedecer las mismas leyes de conservación establecidas para los sólidos. En consecuencia, el trabajo necesario para mover cierto volumen de fluido a través de un tubo debe ser igual al cambio total en energía cinética y potencial. Para mo-ver un fluido de un punto a a uno b en la figura 9. El trabajo neto realizado por la fuerza de entrada F1 y el trabajo negativo efectuado por la fuerza de resistencia F2.

Trabajo neto =

Pero y así que:

Fig. 9 Deducción de la ecuación de Bernoulli. Imagen recuperada de: http://alexmonrzg.files.wordpress.com/2010/02/le3.jpg

http://alexmonrzg.files.wordpress.com/2010/02/le3.jpg


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Trabajo neto =

El producto del área por la distancia representa el volumen V del fluido movido a través del tubo. Pues-to que este volumen es el mismo en la parte inferior y en la parte superior del tubo, puede sustituirse:

Obteniéndose:

Trabajo neto =

La energía cinética Ek de un fluido se define como

Dónde: m = masa del fluido V = velocidad Ya que la masa permanece constante, un cambio en la energía cinética ∆Ek es el resultado solamente de la diferencia de la velocidad del fluido. En el ejemplo, el cambio en energía es cinética:

La energía potencial del fluido a una altura h por arriba de un punto de referencia, se define como

Dónde:

= peso del fluido El volumen del fluido desplazado a lo largo del tubo es constante. De esta manera, el cambio en la energía potencial resulta del incremento en altura del fluido de h1 a h2.

Ya se está en condiciones de aplicar el principio de la conservación de la energía. El trabajo neto reali-zado sobre el sistema debe ser igual a la suma de los incrementos de energía cinética y potencial. De modo que:

Trabajo neto

Si la densidad del fluido es ρ, puede sustituirse por dando:

Si se multiplica por y se reordena, se obtiene la ecuación de Bernoulli.


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Puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera, la ecuación de Bernoulli puede establecerse en forma más simple como:

La ecuación de Bernoulli tiene aplicación en casi cualquier aspecto relacionado con el flujo de fluidos. La presión P debe reconocerse como la presión absoluta y no como la presión manométrica. Recuér-dese que ρ es la densidad de masa y no el peso específico del fluido. Adviértase que las unidades de cada uno de los términos en la ecuación de Bernoulli son unidades de presión.

1

Unidad 3: MOVIMIENTO Física

Contenido

1. Rapidez y velocidad ................................................................................................................................. 1

2. Movimiento rectilíneo uniforme ............................................................................................................ 3

3. Movimiento acelerado .......................................................................................................................... 10

4. Movimiento uniformemente acelerado ............................................................................................... 10

5. Movimiento circular uniforme .............................................................................................................. 13

5.1 Movimiento en una trayectoria circular ......................................................................................... 13

5.2 Aceleración centrípeta .................................................................................................................... 14

5.3 Fuerza centrípeta ............................................................................................................................ 15

6. Gravedad y caída libre de los cuerpos .................................................................................................. 17

7. Movimiento de proyectiles ................................................................................................................... 19

7.1 Lanzamiento horizontal .................................................................................................................. 19

7.2 El problema general de las trayectorias ......................................................................................... 21

8. Vibraciones y ondas .............................................................................................................................. 23

8.1 Ondas mecánicas ............................................................................................................................ 23

8.2 Tipos de ondas ................................................................................................................................ 24

8.3 Cálculo de la velocidad de onda ..................................................................................................... 25

9. Sonido ................................................................................................................................................... 26

9.1 Producción de una onda sonora ..................................................................................................... 26

9.2 La velocidad del sonido ................................................................................................................... 27

Uno de los trabajos del físico es analizar el movimiento y representarlo en términos de relaciones fun-damentales.

1. Rapidez y velocidad La clase más simple de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento rectilíneo uniforme. Si un objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que el objeto se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8m de vía cada segundo que se mueve, decimos que tiene una rapidez constante de 8m/s. sea la rapidez constante o no, la rapidez media de un objeto se define como:

Rapidez media =

2


La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez es un valor promedio para un intervalo de tiempo t. Hay que recordar que la dimensión de la rapidez es la relación de una longitud con intervalo de tiempo. Por ello, las unidades típicas de rapidez son kilómetros por hora, metros por segundo, millas por hora, pies por segundo o centímetros por segundo.

Ejemplo. Un golfista hace un hoyo en uno e s después de que la pelo-ta fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿qué tan lejos se encontraba el hoyo? Solución. Despejamos la ecuación para s:

(3 s) S= 2.4 m

La rapidez es una cantidad escalar completamente independiente de la dirección. En el ejemplo, no fue necesario conocer la velocidad de la pelota de golf en un instante dado, ni la naturaleza de su trayectoria. En forma similar, la rapidez promedio de un automóvil que viaja de México a Acapulco es función tan solo de la distancia que marca su odómetro y del tiempo que empleó en hacer el viaje. Para efectos del cálculo, no importa si el conductor tomó la carretera libre o la del sol; ni siquiera si se detuvo en Tres Marías a comer quesadillas. Debemos aclarar la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional velocidad. También debemos recordar la diferencia entre distancia y desplazamiento. Si un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria punteada de A y B, estamos ante el desplazamiento. Si la distancia realmente recorrida está dada por s, mientras que el desplazamiento está representado por coordenadas polares.

Como un ejemplo, digamos que la distancia s de la figura 1 es de 500 mi y que el desplazamiento es de 350 mi a 45°. Si el tiempo de viaje fuera de 9 h, la rapidez sería:

Sin embargo, la velocidad media debe considerar la magnitud y dirección del desplazamiento. La velo-cidad promedio está dada por:

Fig. 1. El desplazamiento y la velocidad son canti-dades vectoriales, mientras que la distancia y la rapidez son independientes de la dirección; distan-cia s, desplazamiento D, velocidad v y tiempo t. Imagen retomada de: http://1.bp.blogspot.com/_SPuKaCF3bpk/TQJdJya4A_I/AAAAAAAAByw/Gjzb_b5_vW0/s320/Cinem%25C3%25A1tica+1.PNG

http://1.bp.blogspot.com/_SPuKaCF3bpk/TQJdJya4A_I/AAAAAAAAByw/Gjzb_b5_vW0/s320/Cinem%25C3%25A1tica+1.PNG



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Por lo tanto, si la trayectoria de un objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y veloci-dad es la dirección, así como la magnitud. Los automóviles no siempre viajan a rapidez constante du-rante largos periodos de tiempo. Para ir de un punto A al B, quizá no sea necesario frenar o aumentar la rapidez por las condiciones de la carretera. Por ello es a veces útil hablar de rapidez instantánea o velocidad instantánea.

Rapidez instantánea es una cantidad escalar que expresa la rapidez que el automóvil tiene en un instante dado en un punto arbitrario C. Es, por tanto, la relación de cambio de la distancia al tiempo transcurrido.

Velocidad instantánea es una cantidad vectorial que expresa su velocidad en el punto C. es la relación de cambio del desplazamiento al tiempo transcurrido.

Cuando el movimiento es rectilíneo (sin cambio de dirección) se puede utilizar rapidez o velocidad in-distintamente, sin embargo, conservaremos la diferencia de términos para los casos en los que se re-quiera describir el movimiento en forma más completa.

2. Movimiento rectilíneo uniforme Fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes términos: "Por movimiento igual o uni-forme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómese como se tomen, resultan iguales entre sí", o dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad constante. En física decimos que un cuerpo se encuentra realizando un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) cuando se desplaza a lo largo de una trayectoria recta con una velocidad constante en el tiempo (es decir, posee una aceleración nula). El MRU se caracteriza por:

Es un movimiento que se realiza sobre una línea recta.

Su velocidad constante, lo que implica magnitud y dirección constantes.

Su aceleración es nula. Aunque muchos de los conceptos mencionados son de uso común, igual reiteraremos su significado:

a) Posición: es el lugar que ocupa el cuerpo que se está moviendo. b) Velocidad: es la rapidez que posee el cuerpo en movimiento. c) Aceleración: es la rapidez con la que su velocidad aumenta o disminuye. d) Trayectoria: es la curva que describe el objeto que se mueve. En caso del MRU, la trayectoria es

una recta. e) Sistema de referencia: Por supuesto, para poder referirnos a la posición que ocupa un cuerpo

necesitamos un sistema de referencia. Sabemos que las distancias se miden en metros (aunque a menudo se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, como kilómetros o centímetros), pero no tie-ne sentido decir que un móvil "está a 10 metros" si no hemos previamente acordado desde donde estamos tomando esa medida. Es por eso que para encarar cualquier problema relacio-nado con el MRU necesitamos primero establecer un sistema de referencia:

4


Como puede verse en el gráfico, en el caso del MRU es muy fácil elegir un sistema de referencia, ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión. Elegimos una posición como "cero" u origen, y to-mamos todas las medidas a partir de allí. También necesitamos definir una dirección como positiva y otra como negativa, porque puede darse el caso de que el (o los) móviles que intervienen en nuestro análisis se desplacen en sentido opuesto al que hemos elegido como positivo. En la imagen siguiente vemos un móvil que se encuentra a una distancia determinada a la derecha del punto de origen.

Si en nuestro sistema los valores positivos se encuentran a la derecha, el móvil se encuentra en una posición positiva. Aunque ahora pueda resultarte extraño, tienes que aprender que no importa donde este el "cero" o hacia donde hayamos elegido la dirección positiva en tu sistema de referencia: los resultados siempre serán los mismos. Pero eligiéndolos de forma adecuada, los cálculos suelen ser muchos más simples. Ya lo verás en los ejemplos que hemos preparado. Bien, volvamos a nuestro móvil. Su posición actual, supongamos, es x = 200 m. Eso significa que está a 200 metros del punto que hemos tomado como cero.

Supongamos que en un momento determinado, que llamaremos t0 (por "tiempo cero") el móvil se en-cuentra en la posición x0, que coincide con el "cero" de nuestro sistema de referencias. Diez segundos más tarde, se ha desplazado hasta la posición x1, que se encuentra a 200 m de la posición inicial.

Dado que estamos estudiando el movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad con la que se ha despla-zado para pasar de un punto a otro ha sido constante. Pero ¿Cómo podemos calcularla? La ecuación de la velocidad es muy simple. La velocidad de nuestro móvil se puede encontrar divi-diendo el espacio recorrido por el tiempo que ha empleado para ello. Matemáticamente sería así:

Esta ecuación se puede escribir coloquialmente más o menos así:

5


En el caso de nuestro móvil, podemos calcular la velocidad a partir de los datos disponibles:

Este resultado significa que nuestro móvil tiene una velocidad "positiva" en nuestro sistema de refe-rencia (se desplaza hacia la derecha) y que avanza 20 metros cada segundo. Seguramente notaste que si empleas las unidades correspondientes en la resolución de los problemas y trabajas con ella correc-tamente, los resultados estarán expresados en las unidades adecuadas (es muy importante hacerlo). Conociendo la posición inicial de un móvil y su velocidad podemos averiguar donde se encontrará en un instante dado. Dado que como en MRU la aceleración es cero y por lo tanto la velocidad constante, para ello nos vasta hacer:

Si seguimos con el mismo ejemplo, transcurridos 15 segundos el móvil se encontrará a una distancia que podemos calcular así:

¿Te das cuenta de donde ha salido cada valor que ves en la fórmula anterior? ¡Perfecto! Ahora resol-vamos la ecuación para hallar la posición buscada:

Es decir, a los 15 segundos de partir nuestro móvil se encuentra a 300 metros del punto que hemos tomado como origen de nuestro sistema de referencia. ¿Fácil, verdad? Esta ecuación, junto con la de la velocidad y la aceleración, se llaman "ecuaciones horarias" del MRU y son la base para resolver cualquier problema que nos presenten:

Donde x es la posición, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración. Algunos ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):

1. Un móvil pasa por el punto A a las 12 horas. Si su velocidad es de 10 km/h y pasa por el punto B a las 15 horas. ¿Qué distancia separa A de B?

Lo primero que hacemos, para tener en claro el problema, es realizar un diagrama de la situación que se nos plantea:

6


Como puedes ver, lo que debemos encontrar es la distancia "X" que hemos marcado en rojo. La veloci-dad, por tratarse de un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), es constante. La fórmula que deter-mina la posición del móvil en función del tiempo es:

Si elegimos un sistema de referencia que sea positivo hacia la derecha (tal como lo hemos dibujado en nuestro esquema) y asumimos que el origen (el cero) de dicho sistema coincide con el punto A, la ecuación anterior se simplifica mucho:

Lo que demuestra que a pesar de que se puede elegir cualquier sistema de referencia, siempre hay alguno cuya elección simplifica la resolución del problema. Si reemplazamos en la fórmula los valores proporcionados, nos queda que:

Es decir, Esto significa que el punto B se encuentra a 30 kilómetros del punto A, distancia que nuestro móvil re-corre en 3 horas.

2. Dos motociclistas pasan por el punto A al mismo tiempo. Aníbal conduce a una velocidad cons-tante de 72 km/h y Belén lo hace a 54 km/h. ¿A qué distancia de A estará el punto B si Belén lle-ga a él 16.88 segundos después de que ha pasado Aníbal?

Comenzamos haciendo un diagrama de la situación que debemos resolver:

Y antes de seguir, vamos a pasar las velocidades a metros por segundo, para que el dato de los 16.88 segundos sea "compatible" (es decir, tenga las mismas unidades) con las velocidades. Procedemos así:

7


Ahora sí, podemos intentar resolver el problema. Planteamos la ecuación de la posición para cada uno de los motociclistas, tomando como origen de nuestro sistema de referencia el punto A:

Como ves, hemos descartado los valores que se hacen cero en nuestro sistema de referencia. Como sabemos que cuando pasan por el punto B Belén pasa 16.88 segundos después de Aníbal, podemos reescribir la segunda ecuación de la siguiente manera:

Ahora que tenemos ambas ecuaciones escritas en función de tAníbal podemos despejar en ambas tA e igualar para hallar su valor:

Reemplazamos las velocidades de ambos motoristas por su valor y nos queda:

De allí es fácil encontrar el valor de tAníbal, que es el tiempo que le toma a Aníbal llegar desde A hasta B:

Ahora que sabemos cuántos segundos tarda ese motorista en alcanzar el punto B, podemos multiplicar ese tiempo por su velocidad para encontrar la distancia buscada:

Es decir, el punto B está algo más de un kilómetro por delante del punto A.

3. Dos vehículos se encuentran en un determinado momento en las posiciones A y B. Si las veloci-dades de cada uno son 30 m/s y 20 m/s respectivamente y están separados por 120 m ¿Cuánto tiempo hará falta para que el primero alcance al segundo? ¿A qué distancia de la posición inicial del primer vehículo lo hará?

Comenzamos, como no, haciendo un pequeño esquema de la situación a resolver:

Podemos ver el primer vehículo en la posición A, el segundo en la posición B, y hemos marcado un tercer punto (C) que será el sitio en el que ambos móviles se encontrarán. Sabemos que esto ocurrirá tarde o tem-

8


prano, porque el vehículo que marcha más rápido se encuentra detrás del que va más lento, así que en algún momento futuro ambos estarán en la misma posición. Obviamente, un instante más tarde el vehículo que ahora se encuentra en A se adelantará al que está en B, pero a nosotros solo nos interesa determinar el momento y el sitio en que se encuentran. Vamos a tomar como origen de nuestro siste-ma de referencia al punto A (ese será el 0 de nuestra recta x) y como tiempo inicial a t = 0 segundos. Esto va a simplificar un poco nuestras ecuaciones. Comencemos: si un vehículo alcanzara a otro, significa que ambos estarán, en ese momento, en la misma posición. Así que podemos plantear la ecuación correspondiente a la posición de cada uno e igualarlas (ya que x será la misma en ambos casos) y de allí despejar el valor de tC (que es el nombre que hemos elegido para el momento en que los móviles alcanzan el punto C). La fórmula que determi-na la posición del móvil en función del tiempo es:

Si la planteamos para cada uno de los móviles, nos quedan las dos ecuaciones siguientes:

Como dijimos, en tC ambos móviles estarán en el mismo sitio (C), así que podemos igualar las posicio-nes y despejar tC:

Es decir, Esto significa que ambos móviles ocuparan el mismo sitio a los 12 segundos de la situación inicial. Aho-ra resta encontrar el valor de x en el punto C. Para eso, basta con reemplazar el valor de tC en cualquie-ra de las ecuaciones que determinan la posición de los móviles. Por ejemplo, en la primera de ellas:

O sea, el punto C se encuentra a 360 metros del punto A. Ya hemos resuelto el problema. Pero ¿que hubiésemos obtenido como resultado si elegíamos la segunda ecuación en lugar de la primera? Tendría que ser el mismo valor. Comprobémoslo:

9


Efectivamente, el resultado es el mismo.

4. Dos trenes se encuentran en un determinado momento en las estaciones A y B. Si las velocida-des de cada uno son 30 m/s y -20 m/s respectivamente y están separados por 400 m, corriendo ambos por la misma vía ¿Cuánto tiempo hará falta para que choquen? ¿A qué distancia de la posición inicial del primer vehículo lo harán?

El problema es bastante similar al anterior, pero igualmente conviene que hagamos un pequeño es-quema para tener bien en claro la situación a resolver:

Podemos ver el primer tren en la posición A, el segun-do en la posición B, y hemos marcado un tercer punto (C) que será el sitio en el que ambos se encontrarán. Sabemos que esto ocurrirá tarde o temprano, porque el vehículo que se encuentra en la posición B marcha

en sentido contrario al que está en A. En efecto, eso es lo que significa el signo negativo antepuesto a su velocidad. Vamos a tomar como origen de nuestro sistema de referencia al punto A (ese será el 0 de nuestra recta x) y como tiempo inicial a t = 0 segundos. Esto, nuevamente, va a simplificar nuestras ecuaciones. Comencemos: si los trenes colisionarán significa que ambos estarán, en ese momento, en la misma posición. Así que podemos plantear la ecuación correspondiente a la posición de cada uno e igualarlas (ya que x será la misma en ambos casos) y de allí despejar el valor de tC (que es el nombre que hemos elegido para el momento en que los trenes chocan en el punto C). La fórmula que determina la posición del móvil en función del tiempo es:

Si la planteamos para cada uno de los móviles, nos quedan las dos ecuaciones siguientes:

Como dijimos, en tC ambos móviles estarán en el mismo sitio (C), así que podemos igualar las posicio-nes y despejar tC:

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Es decir, Esto significa que ambos trenes chocan a los 8 segundos de la situación inicial. Ahora resta encontrar el valor de x del punto C. Para eso, basta con reemplazar el valor de tC en cualquiera de las ecuaciones que determinan la posición de los móviles. Sin embargo, es más fácil hacerlo en la primera de ellas:

O sea, el punto C se encuentra a 240 metros del punto A. Ya hemos resuelto el problema.

3. Movimiento acelerado La velocidad de un objeto cambia a medida que el movimiento evoluciona. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento acelerado. La relación de cambio de la velocidad al tiempo transcurrido recibe el nombre de aceleración. Por ejemplo, supóngase que observamos el movimiento de un cuerpo durante un lapso t. definiremos la velocidad inicial v0 del cuerpo como la velocidad que tenía al iniciar un periodo de tiempo, es decir, cuando t=0. La velocidad final vf será definida como la velocidad del cuerpo al final del periodo de tiempo, cuando t = tf. Así si podemos decir ue su aceleración está dada por:

(Ecuación 1)

La aceleración es una cantidad vectorial y por lo tanto, depende de cambios en la dirección, tanto co-mo en cambios de la magnitud. Si la dirección del movimiento es en línea recta, solo la rapidez del ob-jeto está cambiando. Si sigue una trayectoria curva, ocurren cambios tanto direccionales como de magnitud y, por tanto, la aceleración no tiene la misma dirección del movimiento. De hecho, si la tra-yectoria curva siguiera un círculo perfecto, la aceleración siempre sería perpendicular al movimiento. En ese caso, solo la dirección del movimiento cambia, mientras que la rapidez en cualquier punto del círculo es constante.

4. Movimiento uniformemente acelerado La clase más simple de aceleración es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez cambia con una razón constante. A este tipo de movimiento generalmente se le denomina movimiento uniformemente acelerado o de aceleración constante. Ya que no hay cambio de dirección, la diferencia de vectores de la ecuación 1, se convierte en la simple resta algebraica entre la magnitud de la velocidad final y la

magnitud de la velocidad inicial . Así la aceleración es uniforme:

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(Ecuación 1)

Ejemplo. Un automóvil se mueve con una aceleración constante del punto A al B como se muestra en la figura 2. La velocidad del auto en A es de 40ft/s y su velocidad en B es de 60ft/s.

t = tiempo

t = 5s

Si para aumentar esa velocidad se requiere de 5s, la aceleración se puede calcular por medio de la ecuación:

Solución. Cuatro pies por segundo por segundo o cuatro pies por segundo cuadrado. Esto quiere decir que cada segundo el automóvil incrementa su velocidad en 4 ft/s. Al principio contaba con una veloci-dad de 40 ft/s en (t=0), después de 1, 2 y 3 s habrá adquirido velocidades de 44, 48 y 52 ft/s, respecti-vamente. Solución de problemas de aceleración Esta clase de problemas de física a menudo se refieren a algún movimiento que comienza del reposo o detienen totalmente un movimiento con alguna velocidad inicial. En cualquiera de los casos, las ecua-ciones que hemos derivado se pueden simplificar al sustituir V0 = 0 o Vf = 0, según sea el caso. La si-guiente tabla resume las fórmulas generales.

Fig. 2. Movimiento uniformemente acelerado

60 ft/s ft⁄s

A B

ft⁄s ft⁄s

A B

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Fórmulas de aceleración

Ecuación Contenido

s V0 Vf a t

Vf = V0 + at

2as = Vf 0 – V0

2

Un examen minucioso de las cuatro ecuaciones revela un total de cinco parámetros: s, V0, Vf, a y t. Da-das cualquiera de tres de estas cantidades, las dos restantes pueden ser calculadas con las ecuaciones generales. Si se tienen dificultades en la elección de la fórmula apropiada, puede ser de ayuda recordar las condiciones que dicha fórmula debe satisfacer.

1. Debe contener el parámetro desconocido. 2. Todos los demás parámetros que aparezcan en la fórmula deben ser conocidos.

Por ejemplo, si un problema proporciona los valores de V0, Vf, y t, se puede despejar a de la segunda ecuación de la tabla. Ejemplos:

1. Una lancha de motor que parte del reposo, alcanza una velocidad de 30 mi/h en 15 s. ¿Cuál fue su aceleración y cuán lejos viajo?

Datos: Encontrar: V0 = 0 a =? Vf = 30 mi/h = 44 ft/s s =? t = 15 s Para encontrar la aceleración, debemos elegir una fórmula que contenga a, pero que no contenga s.

Vf = V0 + at De la cual:

La distancia se puede obtener de la fórmula:

De la cual:

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2. Un avión aterriza en la cubierta de un portaviones a 200 mi/h y es detenido en 600 ft. Encuén-

trese la aceleración y el tiempo que se requirieron para detenerlo. Datos: Encontrar: V0 = 200 mi/h = 294 ft/s a =? Vf = 0 t =? s = 600 ft Utilizamos la fórmula:

2as = Vf 0 – V0

2 Y despejamos a como sigue:

(2a) (600 ft) = 0 – (294 ft/s)2

⁄

Luego, despejamos el tiempo de la fórmula:

Vf = V0 + at

3. Un tren que inicialmente viaja a 16 m/s, recibe una aceleración constante de 2 m/s2. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?

Datos: Encontrar: V0 = 16 m/s s =? a = 2 m/ss Vf =? t = 20 s De la ecuación:

Tenemos: s = (16 m /s) (20 s) + ½ (2 m/s2) (20 s)2 = 320 m + 400 m = 720 m

La velocidad final la obtenemos de la ecuación:

Vf = V0 + at Sustituyendo valores tenemos:

Vf = 16 m/s + (2 m/s2) (20m) = 16 m/s + 40 m2/s2 = 56 m/s

5. Movimiento circular uniforme

5.1 Movimiento en una trayectoria circular La clase más simple de movimiento en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa cons-tante actúa siempre en ángulo recto con la trayectoria de una partícula en movimiento. En este caso, la fuerza resultante producirá una aceleración que afectará únicamente la dirección del movimiento, de-

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jando inalterada la rapidez constante de la partícula. Este tipo simple de movimiento recibe el nombre de movimiento circular uniforme. Movimiento circular uniforme es aquel en el que no existe cambio en la rapidez, solamente en la di-rección. Podemos desarrollar un ejemplo del movimiento circular uniforme haciendo dar vueltas en una trayec-toria circular a una piedra atada a un cordel

5.2 Aceleración centrípeta En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de la partícula en movimiento al cambiar su dirección. Por definición, la aceleración es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo. Por tanto,

El cambio en la velocidad ΔV está representado gráficamente en la siguiente figura. Dado que las velocidades V2 y V1 tienen la mis-ma magnitud, forman los lados de un triángulo isósceles cuya base es ΔV. Si construimos el triángulo semejante ABO, puede verse que la magnitud de ΔV tiene la misma relación con la magnitud de cualquiera de las velocidades co-

mo la cuerda s al radio r. Esta proporcionalidad puede expresarse simbólicamente como:

Donde V es la magnitud absoluta de cualquier de las velocidades V1 o V2. La distancia que la partícula recorre realmente al moverse de A y B no es la distancia s sino la longitud del arco entre A y B. Cuanto más corto sea el intervalo de tiempo Δt, más cerca estarán estos dos pun-tos entre sí, hasta que, el límite, la longitud de la cuerda es igual a la longitud del arco. En este caso la longitud s está dada por:

s = V Δt Que, al sustituirse en la ecuación, resulta

Dado que según la primera ecuación, la aceleración es igual a ΔV / Δt, podemos reordenar los términos para obtener:

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Por tanto, la razón de cambio de la velocidad, en la unidad de tiempo, o aceleración centrípeta, está dada por:

Donde V es la rapidez lineal de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio r. El término centrípeta significa que la aceleración está siempre dirigida hacia el centro. Obsérvese que en la figura el vector ΔV no apunta hacia el centro. Esto se debe a que hemos elegido un intervalo de tiempo muy largo entre las mediciones en los puntos A y B, si restringimos la separación de estos dos puntos a una distancia infinitesimal, el vector ΔV estaría dirigido hacia el centro. Ejemplos:

1. Un cuerpo de 4 lb se ata a una cuerda y se le hace girar en un círculo horizontal de 6 ft de radio. Si el cuerpo realiza tres revoluciones completas cada segundo, determínese su velocidad lineal y su aceleración centrípeta.

Si el cuerpo realiza 3 rev/s, el tiempo requerido para recorrer una circunferencia completa es de 1/3 s. Por lo tanto, su velocidad lineal es:

A partir de la fórmula podemos calcular la aceleración centrípeta, que es:

Si definimos el periodo como el tiempo requerido para completar una revolución y le asignamos la letra

T, la velocidad lineal puede calcularse al dividir la circunferencia entre el periodo. Así,

Otro parámetro muy útil para resolver problemas de ingeniería es la velocidad rotacional, expresada en revoluciones por minuto (rpm) o en revoluciones por segundo (rev/s). A esta cantidad se le llama frecuencia de la rotación y es la recíproca del periodo.

f = 1 / T La validez de esta fórmula se demuestra observando que el recíproco de rev/s es segundos por revolu-ción, es decir, el periodo. Al sustituir esta definición en la ecuación obtenemos una ecuación alterna para encontrar la velocidad lineal.

= 2π f r

5.3 Fuerza centrípeta Se define fuerza centrípeta como la fuerza dirigida hacia el centro que se requiere para mantener un movimiento circular uniforme. Debido a la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. Así,

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Donde m es la masa de un objeto que se mueve con la velocidad a lo largo de una trayectoria circular de radio r. las unidades que se utilicen para Fc, m, V y r deben ser congruentes con el sistema de unida-des elegido. Por ejemplo, las unidades de m V2/r en el Bgs son:

Podemos observar que la fuerza centrípeta Fc es directamente proporcional al cuadrado de la veloci-dad del objeto en movimiento. Esto significa que para aumentar la velocidad lineal al doble de su valor original se requerirá de una fuerza 4 veces mayor que la fuerza inicial. De manera similar se puede observar que para duplicar la masa del objeto o reducir el radio de giro a la mitad, se requerirá de una fuerza centrípeta 2 veces mayor que la original. Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de frecuencia, la fuerza cen-trípeta se puede calcular a partir de:

Se obtuvo esta relación al sustituir la ecuación que expresa la velocidad lineal en términos de la fre-cuencia de rotación. Ejemplos:

1. Una pelota de 4 kg se hace girar en círculos horizontales por medio de una cuerda de 2 m de longitud. ¿Cuál es la tensión de la cuerda si el periodo es de 0.5 s?

La tensión de la cuerda debe ser igual a la fuerza centrípeta requerida para hacer que la pelota de 4 kg describa una trayectoria circular. Obtenemos la velocidad lineal dividiendo la circunferencia entre el periodo de revolución:

Y entonces la fuerza centrípeta será de:

⁄

2. Dos pesas de 4 lb giran alrededor de un eje central a razón de 12 rev/s, a) ¿Cuánto vale la fuerza

centrípeta que actúa sobre cada uno de los cuerpos? b) ¿Cuál es la tensión de la barra? a) La fuerza total hacia abajo de las pesas y la barra se equilibra con la fuerza hacia arriba ejercida por el soporte central. Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre cada pesa está dirigida hacia el centro y es igual a la fuerza centrípeta. La masa de cada pesa es:

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Sustituyendo los valores dados de frecuencia, masa y radio, obtenemos:

⁄

Los mismos cálculos son válidos para la otra pesa. b) La fuerza resultante que acabamos de calcular es la fuerza centrípeta que la barra ejerce sobre cada pesa. De acuerdo con la tercera ley de Newton, debe existir una fuerza de reacción igual y opuesta que las pesas deben ejercer sobre la barra.

Recuérdese que aunque estas dos fuerzas son iguales en magnitud y opues-tas en dirección, no actúan sobre el mismo cuerpo. Debido a que la fuerza que las pesas ejercen sobre la barra hacia afuera o en fuga de centro, recibe a veces el nombre de fuerza centrífuga. Es precisamente esta fuerza centrí-fuga la que determina la tensión de la barra. Y dado que es igual en magni-tud a la fuerza centrípeta, la tensión de la barra debe también ser de 1066 lb.

6. Gravedad y caída libre de los cuerpos Gracias a Galileo Galilei se demostró que ante la ausencia de fricción, todos los cuerpos, sin importar tamaño o peso, caen a la Tierra con la misma acele-ración. La resistencia al movimiento es una propiedad de los cuerpos que se conoce como inercia. Así en el vacío, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo, es decir, el efecto inercial es mayor para la bola que para la pluma (ve la figura 3).

La aceleración gravitacional es un movimiento uniforme acelerado. Al nivel del mar y a 45° latitud, esta aceleración se ha medido y vale 32.17 ft/s2 o 9.806 m/s2 y se representa por el símbolo g. adoptaremos los siguientes valores:

Ya que la aceleración gravitacional g es una aceleración constante, se le aplican las mismas leyes gene-rales del movimiento. Si la constante g se inserta en las ecuaciones generales, se obtendrán las siguien-tes fórmulas modificadas:

(1ª)

(2ª)

(3ª)

(4ª)

Antes de usar estas fórmulas, es conveniente hacer unos comentarios generales:

En los problemas de caída libre de los cuerpos, es muy importante escoger una dirección positiva y mantenerla congruente en la sustitución de los valores conocidos.

Fig. 3 En el vacío, todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Imagen recuperada de: http://3.bp.blogspot.com/-AMWBgq5rEcc/Tac9qBFJF0I/AAAAAAAAADM/TU9CTLVY7fk/s1600/a045.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-AMWBgq5rEcc/Tac9qBFJF0I/AAAAAAAAADM/TU9CTLVY7fk/s1600/a045.jpg




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El signo de la respuesta es necesario para terminar la localización de un punto o la dirección de una velocidad en tiempo específico.

La distancia s en las fórmulas de la tabla representa la distancia sobre o bajo el origen.

Si la dirección hacia arriba se elige como positiva, un valor positivo de s implica una distancia sobre el punto de partida.

Si s es negativa, representa una distancia bajo el punto de partida.

De manera similar, los signos de y y g indican sus direcciones.

Ejemplo. Una pelota de hule se deja caer del reposo como se muestra en la figura 4. ¿Cuál es la veloci-dad y posición después de 1, 2, 3 y 4 s? Solución. Dado que todos los parámetros se medirán hacia abajo, será más conveniente en este caso elegir la dirección hacia abajo como positiva. Organizando los datos tenemos: Dados:

La velocidad es una función del tiempo y está dada en la fórmula (2ª) en que

=(32 ft/s2)t Después de 1 s tenemos:

(

) hacia abajo

Sustituciones similares de t=2, 3 y 4 nos darán velocidades de 64, 96 y 128 ft/s. todas estas velocidades están dirigidas hacia abajo ya que esa dirección fue elegida como positiva. La posición en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación 3ª. Dado que la velocidad inicial es cero, escribimos:

De la cual:

(

) (

)

Después de 1 s, el cuerpo caerá una distancia de:

(

) 2= (16ft/s2)(1s2)

Después de 2 s:

(

) 2= (16ft/s2)(4s2)

Encontrar:

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De manera similar, el cálculo nos dará posiciones de 144 y 256 ft después de 3 y 4 s. Los resultados anteriores se resumen en la tabla:

7. Movimiento de proyectiles Un objeto que es lanzado al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil, si despreciamos la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre un proyectil es su peso W, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta. Recibe una aceleración constante hacia abajo por efecto de la gravedad, pero difiere de los movimien-tos estudiados con anterioridad. Generalmente, la dirección de esta gravedad no coincide con la direc-ción de su velocidad inicial. Un proyectil tiene una velocidad horizontal constante y su velocidad verti-cal varia constantemente bajo la influencia de la gravedad.

7.1 Lanzamiento horizontal Si un objeto es lanzado horizontalmente, se puede describir más fácilmente su movimiento si se consi-deran su movimiento horizontal y su movimiento vertical en forma separada. Movimiento de un proyectil que se dispara horizontalmente. La velocidad y la posición verticales au-mentan con el tiempo de la misma manera que en el caso de un objeto de caída libre.

Nótese que la distancia horizontal aumenta linealmente con el tiempo, indicando la existencia de una velocidad horizontal cons-tante. La siguiente tabla muestra una comparación entre las fór-mulas para el movimiento uniformemente acelerado y las del movimiento de proyectiles. Por ejemplo, la ecuación que relacio-na la distancia recorrida con la velocidad inicial y el tiempo es:

s = V0 t + ½ at2

Y que puede ser escrita como: y = V0 t + ½ gt2

Tiempo t, s

Posición al final del tiempo t, ft/s

Velocidad al final del tiempo t, ft/s

0 1 2 3 4

0 32 64 96

128

0 16 64

144 256

𝑠 𝑓𝑡 𝑣 𝑓𝑡 𝑠

Fig. 4 Un cuerpo en caída libre posee una aceleración hacia abajo constante e igual a 32 ft/s2

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No Movimiento uniformemente

acelerado Movimiento de Proyectiles

1

x = V0x t

2 Vf = V0 + at Vy = V0y + gt

3 s = V0 t + ½ at2 y = V0y t + ½ gt2

4 2as = V 2f – V 20 2gy = V 2y – V 20y

Dónde: y = posición vertical V0y = Velocidad inicial vertical g = aceleración gravitacional Para los problemas en los que la velocidad inicial es puramente horizontal, la posición final resultará por debajo del origen y la velocidad final habrá de estar dirigida hacia abajo. Dado que la aceleración gravitacional también tiene una dirección que apunta hacia abajo, resulta más conveniente elegir la dirección hacia abajo como positiva. Para el lanzamiento horizontal tenemos:

V0x = Vx y Vy = 0 Dado que la velocidad horizontal es constante y que la velocidad inicial vertical es igual a cero. Por lo tanto, las posiciones vertical y horizontal en cualquier instante están dadas por:

x = V0x t Posición horizontal

y = ½ gt2 Posición vertical De manera similar, las componentes vertical y horizontal de la velocidad en cualquier instante están dadas por:

Vx = V0x y Vy = gt Tanto la posición como la velocidad final se calculan a partir de sus componentes, en todas las fórmu-las se deberá sustituir un valor positivo de g si elegimos como positiva la dirección vertical hacia abajo. Ejemplo:

1. Una bala de cañón se dispara horizontalmente con una velocidad inicial de 120 m/s desdelo al-to de un acantilado de 250 m de altura sobre el nivel de un lago.

a) ¿Qué tiempo tardará la bala en caer en el agua? b) ¿Cuál será la distancia horizontal del pie del acantilado al punto de impacto de la bala?

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c) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la bala cuando cae al agua?

a) El tiempo de caída es función únicamente de los parámetros verticales. La velocidad inicial en la

dirección y es igual a cero y la bala debe caer a una distancia de 250 m. Por lo tanto, y = ½ gt2

Que al sustituirla resulta: 250 m = ½ (9.8 m/s) t2

Simplificando tenemos: (4.9 m/s2) t2 = 250 m

De lo cual obtenemos: t = √250 s2 / 4.9 = 7.14 s b) La distancia horizontal es función exclusivamente de la velocidad inicial horizontal y del tiempo

requerido para caer en el agua. Por tanto, x = V0x t = (120 m/s) (7.14 s) = 857 m

c) La componente horizontal de la velocidad permanece constante y es igual a 120 m/s. por otro la-

do, la componente vertical está dada por,

Vy = gt = (9.8 m/s2) (7.14 s) = 70 m/s

7.2 El problema general de las trayectorias Un caso general de proyectiles es aquel que ocurre cuando un proyectil se lanza con un ángulo de ele-vación. Podemos utilizar las mismas fórmulas que listamos en la tabla, pero será más conveniente ele-gir la dirección hacia arriba como positiva. Así, si la posición final resulta por arriba del origen será posi-tiva, pero si está abajo del mismo nos dará negativa. De manera similar, las velocidades hacia arriba serán positivas. Dado que la aceleración siempre es hacia abajo, deberemos sustituir un valor negativo g. El procedimiento que sigue resulta muy útil para resolver problemas de proyectiles:

1. Descompóngase la velocidad inicial V0 en sus componentes x y y: V0x = V0 cos θ y V0y = V0 sen θ

2. Las componentes horizontal y vertical de su posición en cualquier instante estarán dadas por:

Vx = V0x t Vy = V0y t + ½ gt2

3. Las componentes horizontal y vertical de la velocidad en cualquier instante estarán dadas por:

x = V0x y = V0y + ½ gt2

4. La posición y velocidad finales se pueden calcular a partir de sus componentes.

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El punto más importante a recordar al aplicar estas fórmulas es el de ser consientes con las convencio-nes de signos y unidades que se elijan. Ejemplo: Una bala de cañón se dispara con una velocidad inicial de 400 ft/s y con un ángulo de elevación de 30° sobre la horizontal. Encuéntrese,

a) Su posición y velocidad después de 8 s. b) El tiempo requerido para alcanzar su altura máxima c) El alcance horizontal R.

a) Las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial son,

V0x = V0 cos θ = (400 ft/s) (cos 30°) = 346 ft/s

V0y = V0 sen θ = (400 ft/s) (sen 30°) = 200 ft/s La componente x de su posición después de 8 s es:

x = V0x t = (346 ft/s) (8 s) = 2770 ft La componente y de su posición en ese tiempo está dada por:

y = V0y t + ½ gt2 De la cual

y = (200 ft/s) (8 s) + ½ (-32 ft/s2) (8 s)2 = 1600 ft – 1024 ft = 576 ft

Por tonto, la posición de la bala después de 8 s, es de 2770 ft de alcance horizontal y a 576 ft sobe su posición original. Al calcular la velocidad en este punto, debemos primero reconocer que la velocidad horizontal no cambia, por lo que:

Vx = V0x = 346 ft/s Su componente y deberá calcularse de:

Vy = V0y + gt De tal manera que:

Vy = 200 ft/s + (-32 ft/s) (8 s) = 200 ft/s – 256 ft/s = –56 ft/s El signo negativo nos indica que el proyectil ya está en su camino hacia abajo. Por último, podemos calcular la velocidad resultante a partir de sus componentes. El ángulo φ se obtiene de:

De lo que: φ = 9.2°

La magnitud de la velocidad es:

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b) En el punto de altura máxima de la trayectoria del proyectil, su velocidad tendrá una componente y, igual a cero. Por tanto, el tiempo requerido para alcanzar este punto se puede calcular a partir de:

Vy = V0y +gt

Al sustituir los valores dados de V0y y g obtenemos:

0 = 200 ft/s + (–32 ft/s) t De la cual:

c) Para calcular el alcance, debemos darnos cuenta de que el tiempo de vuelo de la bala t' es el doble

del tiempo requerido para alcanzar la altura máxima. por tanto,

t = 2t = (2) (6.25 s) = 12.5 s Y el alcance es:

R = V0x t' = (346 ft/s) (12.5 s) = 4325 ft Por lo tanto, podemos decir que el proyectil se eleva durante 6.25 s hasta alcanzar una altura de 625 ft y después cae a una distancia horizontal de 4325 ft del punto de lanzamiento.

8. Vibraciones y ondas

8.1 Ondas mecánicas Cuando se lanza una piedra al agua, se origina una perturbación que se propaga en círculos concéntricos y que al final alcanza todas las partes de la superficie acuática. Un corcho pequeño que flota sobre la superficie del agua, se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida que pasa la turbación. Se ha transferido energía desde el punto de impacto de la piedra en el agua hasta cierta distancia donde se en-

cuentra el trozo de corcho. Esta energía se transmite mediante la agitación de partículas vecinas de agua. El movimiento real de cualquier partícula de agua es comparativamente pequeño. La propaga-ción de la energía por medio de una perturbación en un medio, en lugar del medio en sí, se llama mo-vimiento ondulatorio. El ejemplo anterior se llama onda mecánica ya que su existencia depende de una fuente mecánica y un medio material.

Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico.

Es necesario reconocer que no todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas; por ejemplo, las ondas de luz y de radio y radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléc-

24


tricas y magnéticas. No hay necesidad de un medio físico para la transmisión de ondas electromagnéti-cas.

8.2 Tipos de ondas Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento de una parte local del medio con respec-to a la dirección de la propagación de la onda.

En una onda transversal la vibración de las partículas individuales del medio es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda.

Por ejemplo, uno de dos extremos de una cuerda sujetada a un poste y al otro se da el movimiento de la mano: Al moverse el extremo libre hacia arriba y hacia abajo, se envía un pulso por la cuerda. La per-turbación se desplaza hacia la derecha con velocidad v.

Otro tipo de onda que ocurre en un resorte helicoidal se muestra en la figura 2. Las espiras cerca del extremo iz-quierdo se comprimen para formar una condensación. Cuando se suprime la fuerza de distorsión, un pulso de condensación se propaga a lo largo de la longitud del resor-te. Ninguna parte del resorte se mueve mucho de su posi-ción de equilibrio, pero el pulso continúa su vieja a lo largo de él. Una onda de este tipo se llama onda longitudinal ya que las partículas del resorte se desplazan a lo largo de la dirección misma en la que viaja la perturbación.

En una onda longitudinal la vibración de las partículas indivi-duales es paralela a la dirección de propagación de la onda. Si las espiras del resorte considerado en el ejemplo se forzaran para separase hacia la izquierda, se formaría una rarefacción. Después de retirar la fuerza perturbadora, se propagará un pulso de rarefacción a lo largo del resorte. En general, una onda longitudinal consiste en una serie de compresiones y rarefacciones que se mueven en una dirección determinada.

Fig. 1 En una onda transversal, las partí-culas individuales se mueven perpendi-cularmente a la dirección de propaga-ción. Imagen recuperada de: http://aprendefisica.galeon.com/Fisiweb/grupo1/imagenes/evaluacion1_7.gif

Fig. 2 Ondas longitudinales y transversales. Imagen recuperada de: http://1.bp.blogspot.com/-TU6qHBKiEGQ/TcM6TsjI36I/AAAAAAAAABE/nm9_XKIgDD0/s1600/ondas-trans-y-longi.png

http://aprendefisica.galeon.com/Fisiweb/grupo1/imagenes/evaluacion1_7.gif

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Fig. 5. Cálculo de la velocidad de un pulso transversal en cuerda

8.3 Cálculo de la velocidad de onda La velocidad con la que se propaga un pulso a través de un medio depende de la elasticidad de éste y de la inercia de las partículas. Los materiales más elásticos producen fuerzas de restitución mayores cuando son distorsionados. Los materiales menos densos ofrecen menos resistencia al movimiento. En uno u otro caso, se desarrolla la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las partí-culas vecinas, y el pulso se desplazará más rápidamente. Considera el movimiento de un pulso transversal que se mueve hacia la derecha de la cuerda (Figura 5). La cuerda de masa m, longitud l se mantiene bajo una tensión constante F mediante el peso suspendido. Cuando la cuerda se mueve rápidamente una sola vez cerca del extremo izquierdo, un pulso transversal se propaga a lo largo de la misma. La elasticidad de la cuerda se mide por su tensión F. La inercia de las partículas individuales se determina por la masa por unidad de longitud μ de la cuerda. Puede demostrarse que la velocidad de un pulso transversal de la cuerda está dada por:

√

√

Fig. 4 Movimiento longitudinal de un pulso de rarefacción en un resorte helicoidal. https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTY-rI5CavGDXiWyHpfn_NeWghUONwIgYeMikvnyrsxdPkpV93Fm

Fig. 3. En una onda longitudinal, el movimiento de las partículas individuales es paralelo a la dirección de propagación de la onda. En la imagen se muestra el movimiento de un pulso de condensación. Imagen recuperada de: http://img19.imageshack.us/img19/8301/longitudinales.jpg

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTYrI5CavGDXiWyHpfn_NeWghUONwIgYeMikvnyrsxdPkpV93Fm





http://img19.imageshack.us/img19/8301/longitudinales.jpg

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La masa por unidad de longitud μ suele denominarse densidad lineal de la cuerda. Si F se expresa en newtons y μ en kilógramos por metro, la velocidad estará dada en metros por segundo. Ejemplo. La longitud de la cuerda en la figura 5 es de 2m, y la cuerda tiene una masa de 0.3g. Calcula la velocidad del pulso transversal de la cuerda si está bajo una tensión de 20 N. Solución. Como primer paso, se calcula la densidad lineal de la cuerda.

De la ecuación se obtiene:

√

√

=365 m/s

9. Sonido Cuando se produce una perturbación periódica en el aire, se originan ondas sonoras longitudinales. Por ejemplo, si se golpea con un martillo un diapasón, las ramas vibratorias emiten ondas longitudinales como se muestra en la figura 6. Un oído actúa como receptor de estas ondas periódicas, las interpreta como sonido. Sonido es una onda mecánica longitudinal que se propa-

ga a través de un medio elástico.

9.1 Producción de una onda sonora Deben existir dos cosas para que se produzca una onda sonora:

1. Una fuente mecánica de vibración 2. Un medio elástico a través del cual se pueda propagar la perturbación.

La fuente puede ser un diapasón, una cuerda o una columna de aire vibrante en un tubo de órgano. Los sonidos se producen por materia vibrante. ¿Te has preguntado cómo funciona un timbre eléctrico?

Fig. 6 Un diapasón actúa en el aire como fuente de ondas longitudinales. Imagen recuperada de: http://u.jimdo.com/www61/o/sa014c1f81b4024bd/img/ia157cc25317e937c/1369843885/std/image.jpg

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Un timbre se conecta a una fuente eléctrica de modo que suene continuamente, la campana se evacúa en forma lenta. A medida que se bomba más aire fuera de la campana, el sonido del timbre se escucha cada vez menos hasta que no puede oírse. Cuando se permite que vuelva a entrar aire a la campana, se escucha de nuevo el sonido del timbre. Por lo tanto, el aire es necesario para transmi-tir el sonido. Si se tiene una tira delgada de metal sujeta en su base y se tira de uno de sus lados y se suelta, al oscilar el extremo libre de un lado a otro producirá un movimiento armónico simple, es decir, una serie de ondas sonoras longitudinales periódicas propa-gadas a través del aire alejándose de la fuente. Las moléculas de aire junto a la lámina metálica se comprimen y expanden alterna-damente transmitiendo una onda igual a la que se muestra en la figura 7. Las regiones densas en donde el empaquetamiento de las moléculas es muy concentrado se llaman compresiones. Éstas son iguales a las condensaciones que vimos para ondas longitudinales en un resorte helicoidal. Las regiones con pocas moléculas se denominan rarefacciones. En el medio se alternan las compresiones y rarefac-ciones a medida que las partículas de aire individuales oscilan de un lado a otro en dirección de la pro-pagación de la onda. Ya que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefac-ción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora también puede representar al trazar la gráfica del cambio en presión P como una función de la distancia x. [Véase la Figura 7 (b)] La distan-cia entre dos compresiones o rarefacciones sucesivas es la longitud de onda.

9.2 La velocidad del sonido Si alguna vez has disparado un proyectil a cierta distancia, has observado el fogonazo antes de escu-char la detonación. De igual manera, puedes observar el destello del rayo antes de oír el trueno. Aun-que tanto la luz, como el sonido viajan en velocidades infinitas, la velocidad de la luz es tan grande en comparación que puede considerarse instantánea. La velocidad del sonido puede medirse directa-mente al observar el tiempo requerido por las ondas para moverse a través de una distancia conocida. En el aire a 0°C, el sonido viaja a una velocidad de 331 m/s o 1087 ft/s. Las ondas sonoras longitudinales en un alambre o barra, puede darse por:

√

Dónde: Y = módulo de Young para el sólido ρ densidad Esta relación es válida solo para barras cuyos diámetros son pequeños en comparación con las longitu-des de onda longitudinales del sonido que se propagan a través de ellas. En un sólido extendido la velocidad de la onda longitudinal es una función del módulo de corte S, el módulo volumétrico B y la densidad del medio ρ. La velocidad de la onda puede calcularse a partir de:

Fig. 7 a) Compresiones y rarefacciones de una onda sonora en el aire en un instante particular. b) La variación sinusoidal de la presión como función del desplazamiento. Imagen recuperada de: http://alextord17.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderpictures/image1238.gif

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√

Para ondas longitudinales en un fluido la velocidad se encuentra de la expresión:

√

Dónde: B = módulo volumétrico para el fluido ρ densidad Al calcular la velocidad de propagación del sonido en un gas, el módulo volumétrico es:

Dónde: γ = constante adiabática (γ 1.4 para el aire y gases diatómicos) P = presión del gas La velocidad de las ondas longitudinales en un gas está dada por la ecuación:

√

√

Pero para el gas ideal:

Dónde: R = constante universal de los gases T = temperatura absoluta del gas M = masa molecular del gas

La sustitución de la ecuación

conduce a:

√

√

para gas

Ejemplo. Calcula la velocidad del sonido en una barra de aluminio. Solución. El módulo de Young y la densidad del aluminio son:

De la ecuación:

√

√

√

Esta velocidad es aproximadamente 15 veces la velocidad del sonido en el aire.

1

Unidad 4: TERMODINÁMICA Física

Contenido

4.1 Calor y trabajo ....................................................................................................................................... 1

4.2 Función de la energía interna ............................................................................................................... 2

4.3 Primera ley de la termodinámica .......................................................................................................... 3

4.4 Diagrama PV .......................................................................................................................................... 3

4.5 Caso general para la primera ley .......................................................................................................... 4

4.6 Procesos adiabáticos ............................................................................................................................. 4

4.7 Procesos isocóricos ............................................................................................................................... 5

4.8 Procesos isotérmicos ............................................................................................................................ 5

4.9 Segunda ley de la termodinámica ......................................................................................................... 5

La termodinámica estudia la transformación de la energía térmica en energía mecánica y el proceso inverso, la conversión de trabajo en color. Casi toda la energía disponible de la materia prima se libera en forma de calor, por tanto, la termodinámica juega un papel preponderante en la ciencia y la tecno-logía. Existen dos leyes básicas que deben obedecerse al hablar de energía térmica:

1. Principio de conservación de la materia 2. Impone restricciones sobre el uso eficiente de la energía disponible

4.1 Calor y trabajo El trabajo, al igual que el calor, implica una transferencia de energía pero hay una distinción, en mecánica se defi-ne trabajo como “una cantidad escalar”, igual en magni-tud al producto de la fuerza por el desplazamiento. La temperatura no juega ningún papel en esta definición. El calor, por otro lado, es la energía que fluye desde un cuerpo hasta otro debido a una diferencia en temperatu-ra. Esta última es una condición necesaria para que se realice la transferencia de calor, al igual que el desplaza-miento es la condición para que se realice trabajo. Tanto el calor, como el trabajo representan cambios que ocu-rren en un proceso dado, generalmente acompañados de un cambio en la energía interna.

Fig. 1. Incremento de la energía interna de un sis-tema por medio de a) trabajo mecánico efectuado sobre el sistema; b) suministrando calor al sistema. Imagen recuperada de: http://fisicazone.com/wp-content/uploads/antisnews-cache-thumbs/a0d74886abf6f28e965ca107670141bb_598_324_826.png

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2


4.2 Función de la energía interna Se dice que un sistema está en equilibrio termodinámico sin o hay una fuerza resultante que actúe so-bre el sistema y si la temperatura de éste es la misma de sus alrededores. Esta condición requiere que no se realice trabajo sobre o por el sistema y que no haya un intercambio de calor entre éste y sus al-rededores. En esas condiciones, el sistema tiene una energía interna definida ∪. Su estado termodiná-mico puede describirse con tres coordenadas:

1. Presión P 2. Volumen V 3. Temperatura T

Siempre que un sistema absorba o libere energía, ya sea en forma de calor o trabajo, se alcanzará un nuevo estado de equilibrio, de modo que la energía se conserva. Un proceso termodinámico general en el cual un sistema cambia de un estado de equilibro a un estado de equilibrio 2. Véase la figura 2. En el primer caso, se encentra un sistema en equilibrio termodinámico que de un estado 1 pasa a uno 2, con una energía inicial ∪1 y coordenadas termodinámicas ( ). En la segunda figura, el sistema reacciona con sus alrededores. El calor Q puede absorberse por el sistema y/o liberarse de su medio

ambiente. La transferencia de calor se considera positiva para entrada de calor y negativa para salida de calor. El calor neto que absorbe el sistema se representa por . El trabajo W puede realizarse por y/o sobre el sistema. La salida de trabajo se considera positivo, y la entrada negativo. Es de-cir, representa el trabajo neto efectuado por el sistema (salida de trabajo). En la última figura (c) se muestra al sistema cuando ha alcanzado su estado final 2 y está de nuevo en equilibrio, con una energía interna final ∪2. Sus nuevas coorde-nadas termodinámicas son ( ).

Si ha de conservarse la energía, el cambio en energía interna:

∪ ∪ ∪ Debe representar la diferencia entre el calor neto absorbido por el sistema y el trabajo neto realizado por el mismo sobre sus alre-dedores.

∪ Por lo tanto, el cambio de energía interna se de-fine únicamente en términos de cantidades men-surables de calor y trabajo. La ecuación ∪ establece la existencia de una función de energía interna que determina por las coordenadas termodinámicas de sus sistemas. Su

𝑄

𝑃 𝑉 𝑇

𝑊

Fig. 2 Diagrama esquemático de un proceso termodinámico

3


valor en el estado final menos su valor en el estado inicial representa el cambio de energía del sistema.

4.3 Primera ley de la termodinámica Consiste en el principio de conservación de la materia:

La energía no puede crearse ni destruirse, solo se transforma. Al aplicar esta ley a la primera ley a un proceso termodinámico tenemos la siguiente ecuación:

∪ Lo cual se traduce como: En cualquier proceso termodinámico, el calor neto absorbido por un sistema es igual a la suma del equivalente térmico del trabajo realizado por él y el cambio en su energía interna. Ejemplo. En cierto proceso, un sistema absorbe 400 cal de calor al mismo tiempo efectúa un trabajo de 80 J sobre sus alrededores. ¿Cuál es el aumento de la energía interna del sistema? Solución. Aplicando la primera ley se obtiene:

∪

Por lo tanto, las 400 cal de energía térmica de entrada se emplean para realizar 19.1 cal de trabajo, en cuanto que la energía interna del sistema se incrementa en 380.9 cal. La energía se conserva.

4.4 Diagrama PV Muchos procesos termodinámicos incluyen cambios de energía que le ocurren a gases encerrados en cilindros. Aquí será de utilidad deducir una expresión para calcular un tra-bajo efectuado por un gas que se expande. En la figura 2, se muestra un sistema que consiste en un cilindro de gas y émbolo mó-vil. El émbolo tiene un área de sección trans-versal A y descansa sobre una columna de gas a una presión P. Puede fluir calor hacia dentro o hacia afuera del gas a través de las paredes del cilindro. Puede realizarse trabajo

sobre o por el gas al empujar el émbolo hacia abajo o al permitir que se expanda hacia arriba. Hay que considerar el trabajo hecho por el gas cuando se expande a presión constante P. La fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo será igual a PA. Si el émbolo se desplaza hacia arriba a una distancia x, el trabajo ∆W de esta fuerza será:

Pero A x V, donde V representa el cambio en el volumen de gas. Por lo tanto:

𝑃 𝑉 𝑇

Fig. 2 Diagrama esquemático de un proceso termodinámico.

𝑥

F=PA

𝑃 𝐹

𝐴

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑃 𝑉

Fig. 2 a) Cálculo del trabajo realizado por un gas al expandirse a presión constante. b) El trabo es igual al área bajo la curva de un diagrama P-V

4


En otras palabras, el trabajo realizado por un gas al expandirse a presión constante es igual al producto de la presión por el cambio en volumen del gas.

Cuando un proceso termodinámico implica cambios en volumen y/o presión, el trabajo realizado por el sistema es igual al área

bajo la curva en un diagrama PV.

4.5 Caso general para la primera ley La primera ley de la termodinámica estipula que la energía debe conservarse en cualquier proceso termodinámico:

∪ Hay tres cantidades (energía, materia o gas en este caso, trabajo) pueden sufrir cambios, por ejemplo, en la figura 3, al aplicar calor con la llama, se trans-fiere calor al gas ∆Q. Esta energía se emplea de dos formas:

1. La energía interna ∆U del gas se incrementa por una porción de la energía térmica de en-trada.

2. El gas efectúa una cantidad de trabajo ∆W sobre el émbolo que es equivalente al resto de energía disponible.

Se originan casos especiales de la primera ley cuando una o más de las cantidades - , o - no sufre cambio.

4.6 Procesos adiabáticos Cualquier proceso que ocurre dentro de una cámara aislada se llama proceso adiabático y se caracteri-za porque en él no hay intercambio de energía térmica entre un sistema y sus alrededores. La fór-mula es:

Otro ejemplo de proceso adiabático es el aplicado a la refrigeración industrial conocido como proceso de estrangulación. Es aquel en el que el fluido a alta presión se filtra adiabáticamente a través de una pared porosa o abertura estrecha en una presión de baja presión. Para hacer esto posible, se utiliza una válvula de estrangulación. La válvula debe aislarse bien para obtener . En refrigeración, un líquido refrigerante sufre una caída de temperatura y una vaporización parcial como resultado del pro-ceso de estrangulación.

F

𝑥 Gas

𝑄

W

∪

La energía interna se incrementa

Fig. 3 La fracción de la energía Q suministrada al gas por la llama se transforma en un trabajo externo ∆W. El resto incrementa la energía inter-na ∪ del gas.

5


4.7 Procesos isocóricos Otro proceso especial es cuando no se realiza trabajo por o sobre el sistema. Se conoce también como proceso isovolumétrico ya que no hay cambio en el volumen sin que se efectúe trabajo. Este proceso es aquel en el que el volumen del sistema permanece constante.

Un ejemplo es al suministrar calor al sistema, el incremento de energía interna da por resultado una elevación de temperatura del agua hasta que comienza a hervir. Incrementando aún más la energía interna se produce la vaporación, pero el volumen del sistema que consta de agua y vapor permanece constante y no se realiza el trabajo.

4.8 Procesos isotérmicos Cuando la presión y el volumen del gas varíen sin que lo haga la temperatura, el gas puede comprimir-se tan lentamente que en principio puede considerarse en equilibrio térmico con sus alrededores. La presión aumenta a medida que el volumen decrece, pero la temperatura permanece básicamente constante. Entonces, un proceso isotérmico es aquel en el que la temperatura del sistema permanece constante.

En este proceso, toda la energía absorbida por el sistema se convierte en salida de trabajo.

4.9 Segunda ley de la termodinámica Es imposible construir una máquina que si opera continuamente, no produzca otro efecto que la extrac-ción de calor de una fuente y la realización de una cantidad equivalente al trabajo. En la operación de máquinas térmicas se dan res procesos:

1. Se suministra una cantidad de calor Qent a la máquina desde un recipiente a alta temperatura Tent

2. La máquina efectúa un trabajo mecánico Wsal producido por una parte del calor de entrada 3. Cierta cantidad de calor Qsal se libera al recipiente a baja temperatura Tsal

Para medir la eficiencia de una máquina térmica, se define como la razón del trabajo de salida al calor de entrada y es comúnmente expresada como un porcentaje.

1

Unidad 5: ELECTRICIDAD Física

Contenido

1. La carga eléctrica..................................................................................................................................... 1

1.1 El electrón ......................................................................................................................................... 2

1.2 Aisladores y conductores .................................................................................................................. 2

2. Ley de Coulomb....................................................................................................................................... 2

3. El campo eléctrico ................................................................................................................................... 4

3.1 Concepto de campo .......................................................................................................................... 4

3.2 Cálculo de la intensidad del campo eléctrico ................................................................................... 6

3.3 Líneas del campo eléctrico ................................................................................................................ 7

4. Ley de Gauss............................................................................................................................................ 8

4.1. Aplicaciones de la ley de Gauss ....................................................................................................... 9

5. Energía de potencial eléctrico............................................................................................................... 10

5.1 Cálculo de la energía potencial ....................................................................................................... 11

6. Ley de Ohm; resistencia ........................................................................................................................ 13

7. Circuitos de corriente continua ............................................................................................................ 14

8. Leyes de Kirchhoff ................................................................................................................................. 16

1. La carga eléctrica Un peine de plástico duro o una barra del mismo material adquieren una capacidad extraña para atraer otros objetos después de frotarlos con la manga de un abrigo se dice que se electrifican. Esto es, se cargaron por un proceso de frotamiento. A este tipo de fenómeno se le conoce como electrostática. Un electroscopio es un instrumento sensible de laboratorio que se emplea para detectar la presencia de cargas eléctricas. Los objetos electrificados pueden dividirse en dos grupos:

1. Los que tienen una carga positiva (+) 2. Los que tienen carga negativa (-)

De aquí surge la primera ley cualitativa de la electrostática: Cargas de signo igual se repelen, cargas

de signo contrario se atraen.

(-)(-) (+)(+) = repulsión (-)(+) = atracción

2


1.1 El electrón ¿Qué es lo que realmente ocurre durante el proceso de frotamiento que es el causante del fenómeno de la electrificación? Franklin supuso que cuando dos sustancias se frotaban entre sí, se acumulaba el exce-so de fluido y se cargaba positivamente en tanto que la otra perdía fluido y se cargaba negativamente. No es precisamente fluido, sino electrones. Según la teoría atómica moderna de la materia, todas las sus-tancias están constituidas por átomos y moléculas. Cada átomo tiene un núcleo central cargado positivamente, rodeado por una nube de electrones cargados negativamente. El núcleo consta de cierto núme-ro de protones, cada uno con una sola unidad natural de carga positi-va, y (excepto el hidrógeno) uno o más neutrones. Como su nombre lo indica el neutrón es una partícula electrónicamente neutra. Nor-malmente, un átomo de materia está en un estado neutro o sin carga debido a que contiene en su núcleo el mismo número de protones que electrones que lo rodean. Si por alguna razón, un átomo neutro pierde uno o más de los electrones exteriores, el átomo adquiere una carga positiva neta que se denomina ion positivo. Un ion negativo es un átomo que ha ganado una o más cargas (electrones) adicionales.

Un objeto que tiene exceso de electrones está cargado negativamente. Si tiene deficiencia de electrones está cargado positivamente.

1.2 Aisladores y conductores Un pedazo de materia se compone de muchos átomos arreglados de una manera específica para dicho material. Algunos materiales, principalmente los metales, tienen gran número de electrones libres, los cuales pueden moverse por el material. Éstos tienen la capacidad de transferir electrones de un objeto a otro y se llaman conductores. Un conductor es un material por el cual puede transferirse carga fácil-mente. Así como hay materiales que conducen bien la carga, hay otros que son malos conductores y se denominan aisladores, es decir, resisten el flujo de carga. Existen, a su vez, otros materiales que son semiconductores por ser materiales con una capacidad intermedia para llevar o transportar carga co-mo: silicio, germanio y arseniuro de galio.

2. Ley de Coulomb La tarea del físico es medir las interacciones entre los objetos cargados de alguna forma cuantitativa. No es suficiente con establecer que existe una fuerza eléctrica, hay que medir su magnitud. Coulomb determinó que la fuerza de atracción o repulsión entre dos objetos cargados es inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia de separación, es decir, si la distancia entre dos objetos cargados se reduce a la mitad, la fuerza de atracción o repulsión se cuadruplicará. La ley de Coulomb establece:

Fig. 1 El átomo de neón consta de un núcleo empaquetado estrechamente que contiene 10 protones (p) y 10 neutrones (n). el átomo es eléctricamente neutro porque está rodeado por 10 electrones. Imagen recuperada de: http://www.cepa.if.usp.br/e-fisi-a/imagens/moderna/universitario/cap02/fig361b.gif

http://www.cepa.if.usp.br/e-fisi-a/imagens/moderna/universitario/cap02/fig361b.gif



3


La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directa-mente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que las separa.

A fin de establecer matemáticamente la ley de Coulomb, se obtiene lo siguiente: 1. La fuerza de repulsión se da entre cargas de igual signo (+q y +Q). 2. La fuerza de atracción F se da entre cargas de signo contrario (+q y –Q) 3. En cada caso, la magnitud de la fuerza se determina de las mag-nitudes de las cargas q y q’ y de su separación. Se escribe:

La constante de proporcionalidad k toma en consideración las propiedades del medio que separa a los cuerpos cargados y tiene las dimensiones dictadas por la ley de Coulomb. En unidades del SI, la unidad de carga se expresa en coulombs (C). En este caso no se define la cantidad de carga mediante la ley de Coulomb sino que se relaciona con el flujo de carga a través de un conductor.

Un coulomb es la carga que se transfiere a través de cualquier sección transversal de un conducto en un segundo por una corriente constante de un ampere.

electrones La carga de un electrón en coulombs es:

Dónde: electrón y el signo menos denota la naturaleza de la carga. La unidad para la electroestática es el microcoulomb (μC):

1 μC =

Puesto que en el SI las unidades de fuerza, carga y distancia no dependen de la ley de Coulomb, la constante k debe determinarse experimentalmente. La fuerza se expresa en newtons, la distancia en metros y la carga en coulombs, la constante de proporcionalidad sería:

Cuando la ley de Coulomb se aplica en el SI de unidades, se debe sustituir este valor para k en la ecua-ción:

Fig. 2 Ilustración de la Ley de Coulomb. Imagen recuperada de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/CoulombsLaw.svg/280px-CoulombsLaw.svg.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/CoulombsLaw.svg/280px-CoulombsLaw.svg.png



4


(

)

Debe recordarse que F representa la fuerza sobre una partícula cargada y es una cantidad vectorial. La dirección y el sentido de la fuerza se determinan sobre la base de la naturaleza de las cargas q y q’ en la ley de Coulomb (formula anterior). Recuérdese entonces que las cargas semejantes se repelen y las opuestas se atraen para obtener la dirección de la fuerza. Sobre todo cuando una fuerza actúa en una carga, la fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas separadas. Ejemplo. Una carga se coloca a 100 mm de una carga de . Calcula la fuerza entre dos car-gas. Solución. Primero, convierte a unidades apropiadas:

A continuación se usan los valores absolutos, de tal manera que q y q’ sean iguales a . Si se aplica la ley de Coulomb se obtiene:

(

) ( )( )

( )

Atracción Esta es la atracción porque las cargas tienen signos opuestos.

3. El campo eléctrico Si realmente se quiere comprender el universo, se deben desarrollar leyes para predecir la magnitud y dirección de las fuerzas que no se transmiten por contacto, éstas son: La ley de Newton predice la fuerza mutua que existe entre dos masa separadas por una distancia r; la ley de Coulomb trata con la fuerza electrostática. Al aplicar estas leyes se encuentra que es útil desa-rrollar ciertas propiedades del espacio que rodea las masas o las cargas.

3.1 Concepto de campo Tanto la fuerza eléctrica como la gravitacional, son ejemplos de fuerza de acción a distancia. La presen-cia de la masa altera el espacio que rodea el espacio, de modo que se produce una fuerza gravitacional sobre otra masa cercana. A esta alteración de las propiedades del espacio se le conoce como campo gravitacional que rodea todas las masas. Un campo de este tipo puede decirse que existe en cualquier región del espacio donde una masa testigo o de prueba experimentará una fuerza gravitacional. La

Ley de Newton de la gravitación universal :

Ley de Coulomb de las fuerzas electrostáticas:

5


intensidad del campo en cualquier punto, sería proporcional a la fuerza que experimenta cierta masa dada en dicho punto. En cualquier punto cercano a la Tierra, el campo gravitacional se representa por:

Dónde: g= aceleración gravitacional debía a la fuerza de gravedad F= fuerza gravitacional m= masa testigo o de prueba

Si se conoce g en cualquier punto por encima de la Tierra, la fuerza F que actúa sobre cierta masa m colocada en dicho punto puede determinarse a partir de la ecuación anterior. El concepto de un campo también puede aplicarse a ob-jetos cargados eléctricamente. El espacio que rodea un obje-to cargado se altera por la presencia de un campo eléctrico en ese espacio. Se dice que un campo eléctrico existe en una región del espa-

cio en la que una carga eléctrica experimenta una fuerza eléctrica.

Esta definición da la prueba de la existencia de un campo eléctrico. Se define la intensidad el campo eléctrico E en un punto en términos de fuerza F experimentada por una carga positiva pequeña +q cuando se coloca en dicho punto. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico es dada por:

En el sistema métrico, una unidad de la intensidad del campo eléctrico es el newton por coulomb (N/C). Si se conoce el campo en un punto dado, puede predecirse la fuerza que actuará sobre cualquier otra carga colocada en dicho punto. La intensidad del campo eléctrico se define en términos de una carga positiva, su dirección en cualquier punto es la misma que la fuerza electrostática sobre la carga positiva de prueba en dicho punto. La dirección (y sentido) de la intensidad del campo eléctrico E en un punto del espacio, es la misma que la dirección (y sen-tido) en la cual una carga positiva se movería si fuera colo-

cada en dicho punto. La intensidad del campo eléctrico es una propiedad que se asocia con el espacio que rodea al cuerpo cargado. Un cam-po gravitacional existe alrededor de la Tierra y no depende de que exista o no una masa encima de ésta. De igual mane-ra, existe un campo eléctrico en la vecindad de un cuerpo cargado, independientemente de si se coloca o no una carga en el campo. Si se coloca una carga en el campo, experimen-tará una fuerza F dada por:

𝑔 𝐹𝑔

𝑚

Fig. 3 El campo gravitacional en cualquier punto por encima de la Tierra puede representarse por la aceleración gravitacional g que una pequeña masa m experimentaría si fuera colocada en ese punto. Imagen recuperada de: http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo_legenda/9df3855c15db4dd6f45bf20fa53e1ec5.jpg

Fig. 4 La dirección de la intensidad del campo eléctrico en un punto es la misma que correspon-de a la dirección del movimiento de una carga positiva +q cuando se coloca en ese punto; su magnitud es la fuerza por unidad de carga (F/q). Imagen recuperada de: http://erenovable.com/wp-content/uploads/2012/01/image_thumb.png

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6


Dónde: E= intensidad del campo eléctrico q= magnitud de la carga colocada en el campo Si q es positiva, E y F tendrán la misma dirección; si q es negativa, la fuerza F se dirige opuestamente al campo E. Ejemplo. La intensidad del campo eléctrico entre dos placas mostradas en la figura 5 es constante y dirigida hacia abajo. La magnitud de la intensidad de la intensidad del campo eléctrico es 6 x 104 N/C. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica ejercida sobre un electrón que se lanza hori-zontalmente entre las dos placas?

Solución. Ya que la dirección de la intensidad del campo E se define en términos de una carga positiva, la fuerza sobre un electrón actuará hacia arriba, u opuesta a la dirección del campo. La carga del elec-trón es . Así que la fuerza eléctrica está dada por la ecuación:

( )( )

Recuerda que se utiliza el valor absoluto de la carga. Las direcciones de F y E son las mismas para car-gas positivas y opuestas para cargas negativas.

3.2 Cálculo de la intensidad del campo eléctrico Para calcular la intensidad del campo eléctrico, se utiliza la derivada de la ley de Coulomb:

Si este valor se sustituye para F en la ecuación

se tiene:

Fig. 5 Un electrón proyectado dentro de un campo eléctrico de intensidad constante.

7


Dónde: k= 9 x 10-9 N·m2/C2 Q= el sentido del campo es opuesto a Q si Q es positiva y hacia Q si Q es negativa lo cual permite la intensidad del campo en un punto sin necesidad de colocar una segunda carga en dicho punto. Ejemplo. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de -12 ? Solución. Ya que la carga Q es negativa, la intensidad del campo estará dirigida hacia Q. De la ecuación

su magnitud es:

(

)( )

( )

Cuando más de una carga contribuye al campo, como en la figura 6, el campo resultante es la suma vectorial de las contribuciones de cada una de las cargas.

+

En forma abreviada, el campo resultante junto a un número de cargas está dado por:

∑

Debe recordarse que ésta es una suma vectorial y no una suma algebraica.

3.3 Líneas del campo eléctrico Faraday creó un método que permite ver con facilidad las líneas del campo magnético. El método con-siste en representarlas con líneas imaginarias llamadas líneas del campo eléctrico:

Las líneas del campo eléctrico son líneas imaginarias dibujadas de tal modo que su dirección (y sentido) en cualquier punto es la misma que la dirección y sentido de la intensidad del campo eléctrico en dicho punto.

1. La dirección de la línea de campo en cualquier punto es

la misma que la dirección en la cual se movería una carga positiva si fuera colocada en ese punto.

2. El espaciado de las líneas de campo debe ser de tal modo que están más juntas donde se tiene un campo fuerte y alejadas entre sí donde el campo es débil.

Fig. 6 El campo eléctrico en la vecindad de un nú-mero de cargas es igual al vector suma de los cam-pos debido a las cargas individuales.

Fig. 7 a) Representación gráfica de las líneas de campo eléctrico en los alrededores de un dipolo. B) Las líneas de campo eléctrico entre dos cargas positivas. Imagen recuperada de: http://2.bp.blogspot.com/-LaN1BAuIcio/TZlRR3kirNI/AAAAAAAAAIQ/r1BhiJbkR8E/s1600/campo%252520electrico%2525202.jpg

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8


Como una consecuencia de la manera en que se dibujan las líneas, éstas siempre divergen de las car-gas positivas y convergen en las negativas. Las líneas no pueden originarse o finalizar en el espacio, aunque el extremo de una línea eléctrica pueda proseguir al infinito.

4. Ley de Gauss Para cualquier distribución de carga dada, pueden dibu-jarse un número infinito de líneas eléctricas. Es claro que si el espaciado de las líneas puede estandarizarse para indicar la intensidad del campo, debe establecerse un límite sobre el número de líneas dibujadas en cualquier situación. Por ejemplo, considera las líneas del campo dirigidas radialmente hacia afuera de una carga puntual positiva, ve la figura 8. Se usará la letra N para represen-tar el número de líneas dibujadas. Imagina una superficie

esférica que rodee a la carga puntual a una distancia r de la carga; la intensidad del campo en cual-

quier punto sobre dicha esfera estará dada por:

De la forma en que se dibujen las líneas del campo, también puede decirse que el campo en una pe-queña porción de su área es proporcional al número de líneas AN que penetran en dicha área. En otras palabras, la densidad de líneas del campo (líneas por unidad de área) es directamente proporcio-nal a la intensidad del campo, simbólicamente:

El subíndice n indica que el campo es en cada punto normal a la superficie. Esta proporcionalidad es cierta, independientemente del número total de líneas N que puedan dibujarse. Sin embargo, una vez

seleccionada la constante de proporcionalidad para la ecuación

automáticamente se estable-

ce un límite para el número de líneas dibujadas en cualquier situación. Se ha encontrado que la selección más conveniente para esta constante de espaciamiento es ; a esta constante se le llama permisividad del espacio libre o del vacío y se define como:

Dónde: k= de la ley de Coulomb. Por tanto, la ecuación debe escribirse:

o

Cuando es constante sobre toda la superficie, el número total de líneas que emanan radialmente hacia afuera de la carga encerrada es:

Fig. 8 La intensidad del campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual es directa-mente proporcional al número de líneas que atraviesan la unidad de área de una superficie esférica imaginaria construida a esa distancia.

9


Puede verse que la elección de es conveniente al sustituir la ecuación

en la ecuación

:

Si esta expresión se sustituye en la ecuación y si se recuerda que el área de una superficie esférica , se obtiene:

La selección de como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número total de líneas que cruzan normalmente a través de una superficie cerrada de Gauss es numéricamente igual a la carga contenida dentro de la misma. Aunque este resultado se obtuvo utilizando una superficie esférica, también se aplicará a cualquier otra superficie cerrada. El planteamiento más general del re-sultado se conoce como ley de Gauss. La ley de Gauss puede aplicarse para calcular la intensidad del campo cerca de superficies cargadas. Eso representa una ventaja distinta sobre los métodos desarrollados hasta ahora ya que las ecuaciones previas solo se aplican a cargas puntuales.

4.1. Aplicaciones de la ley de Gauss La mayoría de los conductores cargados tienen grandes cantida-des de carga sobre ellos, no es práctico tratar individualmente cada carga. Suele hablarse de la densidad de carga definida como la carga por unidad de área de la superficie:

Ejemplo. Calcule la intensidad del campo eléctrico a una distancia r de una placa infinita de carga posi-tiva como se muestra en la figura 9. Solución. La resolución de problemas en donde se aplica la ley de Gauss suele requerir la construcción de una superficie imaginaria de forma geométrica simple, por ejemplo, una esfera o un cilindro. A estas

∑ ∑

El número de líneas eléctricas de fuerza que cruzan cualquier superficie cerrada hacia afuera o hacia adentro es numéricamente igual a la carga total encerrada por dicha superficie.

Fig. 9 Cálculo del campo fuera de la lámina o placa delgada cargada positivamente. Imagen recuperada de: http://www.gayatlacomulco.com/tutorials/electymagnet/tem1_4_.htm

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superficies se les llama superficies gaussianas. En este ejemplo, se imagina una superficie cilíndrica cerrada que penetra en la placa de carga positiva de tal modo que se proyecta a una distancia r sobre cada lado de la placa delgada. El área A en cada extremo del cilindro es la misma que el área corta so-bre la placa de la carga. Por tanto, la carga total dentro del cilindro es:

∑

Dónde representa la densidad superficial de la carga.

Debido a la simetría, la densidad del campo E resultante debe estar dirigida perpendicularmente a la placa de carga en cualquier punto cerca de la misma. Esto significa que las líneas del campo no pene-tran la superficie lateral del cilindro y los dos extremos de área A representarán el área total por las que penetran las líneas de campo. De la ley de Gauss:

∑ ∑

Nótese que la intensidad del campo E es independiente de la distancia r de la placa. Antes de que se suponga que el ejemplo de una placa infinita de carga es impráctico, debe señalarse que el sentido práctico, “infinito” implica solamente que las dimensiones de la placa están más allá del punto de interacción eléctrica. Es decir, la ecuación anterior se aplica cuando la longitud y anchura de la placa son muy grandes en comparación con la distancia de la placa.

5. Energía de potencial eléctrico

Una de las mejores formas de comprender el concep-to de energía potencial eléctrico es el compararla con la energía de potencial gravitacional. Vea la figura 10 en donde la masa m es movida del nivel A al B. Una fuerza externa F igual al peso mg debe aplicarse para mover la masa contra la gravedad. El trabajo realiza-do por esta fuerza es el producto de mg por h. Cuando la masa m llega al nivel B, tiene un potencial para hacer un trabajo respecto al nivel A. El sistema tiene una energía potencial (E.P.) que es igual al tra-bajo realizado contra la gravedad.

Fig. 10 Una masa m levantada contra el campo gravitacional g resulta en una energía potencial de mgh en el nivel B. Cuando se suelta, esta energía será transformada enteramente en energía cinética conforme cae al nivel A.

11


Esta expresión representa el potencial para realizar trabajo, después de que la masa m es soltada del nivel B y cae la distancia h. por lo tanto, la magnitud de la energía potencial en B no depende de la tra-yectoria tomada para llegar a ese nivel. Ahora considérese una carga positiva +q en reposo en el punto A, en un campo eléctrico uni-forme E, entre dos placas cargadas opuestamente. (Ve la figura 11). Una fuerza eléctrica qE actúa hacia abajo en una carga. El trabajo realizado contra el campo eléctrico al mover la carga desde A hasta B es igual al producto de la fuerza qE y la distancia d. por consiguiente, la energía de potencial eléctrico en el punto B respecto al punto A es:

opuesto a la situación para una carga positiva.

Siempre que una carga positiva se mueve en contra del campo eléctri-co, la energía potencial se incrementa; siempre que una carga negativa se mueve en contra del campo eléctrico, la energía potencia decrece.

La regla anterior es una constancia directa del hecho de que la dirección del campo eléctrico se define en términos de una carga positiva.

5.1 Cálculo de la energía potencial Cuando se considera entre dos placas cargadas opuestamente, los cálculos del trabajo son relativa-mente sencillos debido a que el campo eléctrico es uniforme. La fuerza eléctrica que experimenta una carga es constante en tanto que permanezca entre las placas. Sin embargo, generalmente el campo no será constante, y se debe tener en cuenta que la fuerza puede variar.

Existe una diferencia importante entre energía poten-cial gravitacional y energía potencial eléctrica. En el caso de la gravitacional, solo hay una clase de masa y las fuerzas que intervienen son siempre de atracción. Por consiguiente, una masa a alturas elevadas siempre da como resultado una mayor energía potencial relati-va a la Tierra. Éste no es el caso en electricidad debido a la existencia de carga negativa. En el ejemplo de una carga positiva, como se ve en la figura 11, hay una energía potencial mayor en el punto A que en el punto B. Esto es cierto, independientemente del punto de referencia para medir la energía potencial debido a que se ha realizado trabajo en contra del campo. Véase la figura 12. Por otro lado, si una carga negativa se des-plaza del punto B al A, el trabajo sería realizado por el campo. En el caso de una carga negativa, habría una menor energía potencial en A, lo cual es exactamente

Fig. 11 Una carga positiva +q es desplazada contra un campo eléctrico constante E, a través de una distancia d. en el punto B la energía potencial será qEd respecto al punto A. Cuando se suelte la carga ganará una cantidad equivalente de energía cinética.

Fig. 12 Una carga positiva incrementa su energía potencial cuando se desplaza de A a B; una carga negativa pierde energía potencial cuando se desplaza de A a B.

12


Considera, por ejemplo, el campo eléctrico junto a una carga positiva Q como se muestra en la figura 13. El campo está dirigido radicalmente hacia afuera, y su intensidad decae inversamente con el cuadro de la distancia desde el centro de la carga. La intensidad del campo eléctrico en los puntos A y B es:

Dónde: rA y rB son las distancias respectivas a los pun-tos A y B. La fuerza eléctrica promedio que experimenta una carga +q cuando se mueve del punto A al punto B es:

En consecuencia, el trabajo realizado por el campo eléctrico al mover la carga +q a través de la distan-cia es igual a:

( )

(

)

Observa que el trabajo es función de las distancias rA y rB. La trayectoria recorrida carece de importan-cia. El campo realizaría el mismo trabajo al mover la carga desde cualquier punto sobre el círculo pun-teado que pasa por A a cualquier punto sobre el círculo que pase por B. Supón que ahora se calcula el trabajo efectuado por las fuerzas eléctricas al mover una carga positiva +q desde un punto a una dis-

tancia r de la carga Q, al infinito. En la ecuación (

) el trabajo será:

(

)

Ya que se ha demostrado que el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual a la disminución de

energía potencial, la ecuación (

) es la energía potencial en r respecto al infinito.

Con frecuencia se toma la energía potencial como cero en el infinito, de modo tal que la energía po-tencial de un sistema constituido por una carga q y por otra Q separadas por una distancia r es:

La energía potencial del sistema es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas eléctricas al mo-ver la carga +q desde el infinito a ese punto.

Fig. 13 La energía potencial, debi-do a una carga colocada en un campo eléctrico, es igual al traba-jo realizado en contra de las fuerzas eléctricas al llevar la carga desde el infinito hasta el punto en cuestión. Imagen recuperada de: https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSwPTlI4EIQxOEuWfWXgoaV-MH10Bg-0RDGD8lXaX-0Mp__3zmG

https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSwPTlI4EIQxOEuWfWXgoaV-MH10Bg-0RDGD8lXaX-0Mp__3zmG





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Ejemplo. Una carga de +2 está separada 20 cm de otra carga de +4 a) ¿Cuál es la energía poten-cial del sistema? b) ¿Cuál es el cambio en energía potencial si se mueve la carga de +2 a una distan-cia de 10 cm de la carga de +4 Solución a) La energía potencial a 20 cm se encuentra a partir de la ecuación:

(

) ( )( )

b) La energía potencial a la distancia de 8 cm es:

(

) ( )( )

El cambio de energía potencial es Adviértase que la diferencia es positiva e indica un incremento de energía potencial. Si la carga Q fuera negativa y los demás parámetros fueran mantenidos sin cambio, la energía potencial hubiera disminui-do por esta misma cantidad.

6. Ley de Ohm; resistencia La resistencia (R) se define como la oposición al flujo de carga eléctrica. Aunque la mayor parte de los metales son buenos conductores de electricidad, todos ofrecen alguna oposición al flujo de carga eléc-trica que pasa a través de ellos. Esta resistencia eléctrica es estable para muchos materiales específicos de tamaño, forma y temperatura conocidos; es independiente de la fem aplicada y de la corriente que pasa a través de ella. Los efectos de la resistencia al limitar el flujo de carga fue estudiado por Ohm, quien descubrió que para un resistor dado, a determinada temperatura, la corriente es directamente proporcional al voltaje aplicado. Al igual que la velocidad del flujo de agua entre dos puntos depende de la diferencia de potencial entre ellos. Esta proporcionalidad suele establecerse como ley de Ohm:

La corriente producida en cierto conductor es directamente proporcional a diferencia de potencial entre dos puntos extremos

La corriente I que se mide para determinado voltaje V es por ende, una indicación de la resistencia. Matemáticamente, la resistencia R de un conductor dado puede calcularse de:

14


Cuando sea mayor la resistencia R, menor será la corriente I para un voltaje V dado. La unidad de me-dida de la resistencia es el ohm y el símbolo con que se denota es la letra griega mayúscula omega ( ):

1

Una resistencia de un ohm permitirá una corriente de un ampere cuando se aplica entre sus terminales una diferencia de potencial de 1 volt. Ejemplo. La diferencia potencial entre las terminales de un calentador eléctrico es de 80 V cuando la corriente es de 6 A. ¿Cuál será la corriente si el voltaje se incrementa a 120 V? Solución. Conforme la ley de Ohm, la resistencia del devanado del calentador es:

Por tanto, si el voltaje se incrementa a 120 V, la nueva corriente será:

Aquí se ha depreciado cualquier cambio en la resistencia debido a un aumento en la temperatura del devanado del calentador.

7. Circuitos de corriente continua Un circuito consta de cierta cantidad de ramas unidas entre sí de tal forma que cuando menos se tiene una trayectoria cerrada para que circule la corriente. El circuito más simple consta de una ola fuente de fem conectada a una resistencia externa como se muestra en la figura 14. Si representa la fem y R indica la resistencia total, de la ley de Ohm se obtiene:

Dónde: I es la corriente alrededor del circuito. Toda la energía ganada por la carga al pasar a través de la fuente de fem es perdida al fluir a través de la resistencia. Considera, además que se pueden agre-gar elementos al circuito. Si se agregan dos o más elementos, se dice que están en serie y tienen un punto en común que no se encuentra conectado a un tercer elemento. La corriente solo puede fluir por una trayectoria a través de los elementos co-nectados en serie.

Fig. 14 Circuito eléctrico elemental. Imagen recuperada de: http://www.paginasprodigy.com.mx/jjcaldera/Ley%20de%20

Ohm%204.jpg

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Los resistores R1 y R2 de la figura 15 están en serie debi-do a que el punto A es común a ambos resistores. Con-sidera que los tres resistores (R1, R2, R3) están conecta-dos en serie y encerrados en una caja como lo indica el recuadro azul. La resistencia eficaz R de los tres resisto-res puede determinarse a partir del voltaje externo V y la corriente I, valores que pueden registrarse mediante medidores. De la ley de Ohm.

Pero, ¿cuál es la relación de R con las tres resistencias internas? La corriente que circula por cada resistor debe ser idéntica, puesto que solo se tiene una sola trayectoria. Así pues:

Si se utiliza este hecho y se advierte que la ley de Ohm se aplica por igual a cualquier parte del circuito, se escribe:

El voltaje externo V representa la suma de las energías perdidas por unidad de carga al circular a través de cada resistencia. De aquí que:

Finalmente, si se sustituye la ecuación y se divide en-tre la corriente, se obtiene:

Resistores en serie

Para resumir lo aprendido: 1. La corriente en todas las partes de un circuito en serie es la misma. 2. El voltaje a través de cierto número de resistores conectados en serie es igual a la suma de los

voltajes a través de los resistores individuales. 3. La resistencia eficaz de cierto número de resistores conectados en serie es equivalente a la su-

ma de las resistencias individuales. Ejemplo. Las resistencias R1 y R2 en la figura 15 son 2 y 4 , respectivamente. Si la fuente de fem man-tiene una diferencia de potencial constante de 12 V, ¿cuál es la corriente en el circuito externo? ¿cuál es la caída de potencial a través de cada resistor? Solución. La resistencia efectiva es La corriente se encuentra por la ley de Ohm:

Fig. 15 Resistores conectados en serie. Método del voltímetro-Amperímetro para medir la resistencia eficaz de un número de resistores conectados en serie. Imagen recuperada de: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/gra_339.gif

V

𝑉 𝐼𝑅

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Las caídas de potencial o voltaje son, por lo tanto:

( )( ) ( )( )

Nótese que la suma de las caídas de voltaje ( ) es igual al voltaje aplicado 12 V.

8. Leyes de Kirchhoff Una red eléctrica es un circuito complejo que consta de cierto número de trayectorias de corrientes o mallas. Para analizar este tipo de circuitos, Kirchhoff desarrolló un método que requiere la aplicación de dos leyes:

∑ ∑

La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo nodo.

∑ ∑

La suma de las fems alrededor de cualquier ma-lla de corriente cerrada es igual a la suma de todas las caídas de potencial IR alrededor de dicha malla.

1

Unidad 6. MAGNETISMO Física

Contenido

1. Magnetismo ............................................................................................................................................ 1

2. Ley de Faraday ........................................................................................................................................ 2

3. Fem inducida por un alambre en movimiento ....................................................................................... 5

4. Ley de Lenz .............................................................................................................................................. 5

1. Magnetismo Los primeros fenómenos magnéticos se observaron asociados a pie-dras de imán o magnetita (óxido de hierro). Estos imanes naturales atraían trozos pequeños de hierro no magnetizado. A fuerza de atracción se le daba el nombre de magnetismo y al dispositivo que ejerce una fuerza magnética, se le llama imán. Si un imán de barra se introduce en un recipiente que contenga limadura de hierro y se reti-ra, puede observarse que los trozos pequeños de hierro se adhieren con mayor intensidad en las áreas pequeñas cercanas a los extremos (Figura 1). Estas regiones en donde se aprecia que la intensidad del imán se concentra se llaman polos magnéticos. Los polos magnéticos correspondientes a Norte y Sur son diferentes, es decir, su polariza-ción es distinta por ello son útiles como las brújulas para navegar. De

este comportamiento surge la ley de la fuerza magnética que establece: Polos aislados no existen. No importa cuántas veces se parta un imán por la mitad, cada parte será un imán y tendrá un polo norte y uno sur. La atracción que ejerce un imán sobre hierro no magnetizado y las fuerzas de atracción entre los polos magnéticos actúan a través de todas las sustancias.

Todo imán rodeado por un espacio en el cual sus efectos magnéticos están presentes; tales regio-nes se llaman campos magnéticos. Al igual que las líneas de campo eléctrico fueron útiles para des-cribir campos eléctricos, a las líneas del campo magnético se les llama líneas de flujo y se utilizan para visualizar campos magnéticos. La dirección de una línea de flujo en cualquier punto es la misma que la dirección de la fuerza magnética que ejerce su acción sobre un polo norte imaginario

Fig. 1 El campo magnético se concentra cerca de los extremos del imán. Imagen recuperada de: http://3.bp.blogspot.com/-0ATJjYv_pnw/T-IkWWQamxI/AAAAAAAAAHo/mDQ0RMRbHxo/s1600/campo_magnetico.jpg

Polos magnéticos de igual naturaleza se repelen y los de diferente naturaleza se atraen mutuamente.

Fig. 2 a) Las líneas de flujo magnético están en la dirección de la fuerza ejercida sobre un polo norte independiente. b) Líneas de flujo en la vecindad de una barra magnética. Imágenes recuperadas de: http://rabfis15.uco.es/proyecto/Fund_teoricos/imagenes/lineas_iman2.gif y http://1.bp.blogspot.com/-MgJq6XsS8jo/Twds-NaMzGI/AAAAAAAAAew/1TjqfvaSY1M/s1600/Fig+9.png

http://3.bp.blogspot.com/-0ATJjYv_pnw/T-IkWWQamxI/AAAAAAAAAHo/mDQ0RMRbHxo/s1600/campo_magnetico.jpg




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aislado situado en dicho punto, observa la figura 2a. las líneas del flujo magnético salen del polo norte de un imán y entran en el polo sur. A diferencia de las líneas de campo eléctrico, las líneas de flujo magnético no tienen puntos de origen ni extremo. Forman circuitos continuos que pasan a través de la barra metálica, como se muestra en la figura 2b. Las líneas de flujo en la región comprendida entre dos polos iguales o diferentes se muestran en la figura 3.

2. Ley de Faraday

Faraday descubrió que cuando un conductor corta líneas de flujo magnético, se produce una fem entre los puntos extremos del conductor. Por ejemplo, se induce una corriente eléctrica en el conductor de la figura 4a, a medida que se mueve hacia abajo y corta las líneas de flujo. (La letra i se utilizará para corrientes inducidas y para corrientes variables). Cuanto más rápido sea el movimiento, más pronun-ciada será la derivación o deflexión de la aguja en el galvanómetro. Cuando el conductor se mueve ha-cia arriba y corta las líneas de flujo, se observa un fenómeno análogo, excepto que la corriente se in-vierte (figura 4b). Si no se cortan las líneas de flujo, es decir, si el conductor se mueve paralelamente al campo, no se induce corriente. Supón que cierta cantidad de conductores se mueve a través de un campo magnético, como la figura 5. La magnitud de la corriente inducida es directamente proporcional al número de espiras y a la rapidez del movimiento. Es evidente que se induce una fem debido al movimiento relativo entre el con-ductor y el campo magnético. El mismo efecto se observa cuando la bobina se mantiene estacionada y el imán se mueve hacia arriba.

Fig. 3 a) Las líneas del flujo magnético entre dos polos magnéticos diferentes. b) Líneas de flujo en el espacio entre dos polos magnéticos iguales. Imagen recupe-rada de: http://fisipedia.angelfire.com/index_archivos/image242.jpg

Fig. 4 Cuando un conductor corta líneas de flujo magnético, se induce una corriente eléctrica. Imagen recu-perada de: http://2.bp.blogspot.com/-ZV_L5KEDzuA/US5WB03jH_I/AAAAAAAADXk/C_37tKQ6j9o/s1600/lenz.JPG Ley de Faraday (inducción).

http://fisipedia.angelfire.com/index_archivos/image242.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-ZV_L5KEDzuA/US5WB03jH_I/AAAAAAAADXk/C_37tKQ6j9o/s1600/lenz.JPG



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En resumen:

1. El movimiento relativo entre un conductor y un campo magnético induce una fem en el conduc-tor.

2. La dirección de la fem inducida depende de la dirección del movimiento del conductor con res-pecto al campo.

3. La magnitud de la fem es directamente proporcional a la rapidez con la cual las líneas del cam-po magnético son cortadas por el conductor.

4. La magnitud de la fem es directamente proporcional al número de vueltas del conductor que corta las líneas de flujo.

Dónde: = Fem inducida media = cambio en el flujo magnético que ocurre durante un intervalo de tiempo Un flujo magnético que cambia con rapidez de un weber por segundo inducirá una fem de un volt por cada vuelta de conductor. El signo negativo en la ecuación significa que la fem inducida está en una dirección tal que se opone al cambio que la produce. Ahora bien, se verá cómo puede el flujo magnético que eslabona a un conductor. En el caso simplemente de un alambre recto que se mueve a través de las líneas de flujo, representa la rapidez con la cual varía el flujo que eslabona al conductor. Si es necesario que exista un circuito cerra-do para que haya una corriente inducida y con mayor frecuencia, la fem inducida está en una espira o bobina de alambre. Hay que recordar que el flujo magnético que pasa a través de una espira de área efectiva A está dada por:

Dónde: B es la densidad del flujo magnético. Cuando B está en teslas (webers por metro cuadrado) y A se expresa en metros cuadrados, estará dado en webers. Un cambio de flujo puede ocurrir básicamente de dos formas:

1. Al cambiar la densidad del flujo B que pasa a través de una espira de un área A constante: ( )

2. Al cambiar el área efectiva A en un campo magnético de densidad de flujo B constante:

( ) En la figura 6 se muestran dos ejemplos de cambio de la densidad de flujo a través de una espira de área constante. En la figura 6a, el polo norte de un imán se desplaza a través de una espiral circular.

Fig. 5. La fem inducida en una bobina es proporcional al número de vueltas de alam-bre que cruza el campo. Imagen recuperada de: http://laplace.us.es/wiki/images/6/6b/Experimento-faraday-03.png

http://laplace.us.es/wiki/images/6/6b/Experimento-faraday-03.png



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El cambio en la densidad de flujo induce una corriente en la espira, como se indica por medio del gal-vanómetro. En la figura 6b, se observa que no se induce ninguna corriente en la espira B en tanto que en la espira A es constante. No obstante, al variar rápidamente la resistencia en el circuito de la iz-quierda, la densidad de flujo magnético B que eslabona a la espira puede incrementarse o disminuir. Mientras varía la densidad del flujo se induce una corriente en la bobina de la derecha. Observa que cuando el polo norte (N) de un imán es movido dentro de la bobina figura 6a, la corriente fluye en una dirección igual al sentido de las manecillas del reloj, si vemos hacia el imán. por lo tanto, el extremo de la bobina cercano al polo N del imán se vuelve también un polo N (por la regla del pulgar de la mano derecha). El imán y la bobina experimentarán una fuerza de repulsión, lo que provoca que se ejerza una fuerza para mantenerlos juntos. Si se saca el imán de la bobina, se creará una fuerza de atracción que hará necesario ejercer una fuerza para separarlos. Ejemplo. Una bonina de alambre con un área de se coloca en una región de densidad de flujo constante igual a 1.5 T. en un intervalo de tiempo de 0.001 s, la densidad del flujo se reduce a 1.0 T. Si la bobina consiste en 50 vueltas de alambre, ¿cuál será la fem inducida? Solución. El cambio en la densidad de flujo es:

De la ecuación ( ) el cambio de flujo es: ( )( )

Sustituyendo la ecuación, se obtiene:

La segunda manera general en la cual el flujo que eslabona a un conductor puede cambiar es variar el área efectiva penetrada por el flujo.

Fig. 6 a) Inducción de una corriente mediante el movimiento de un imán dentro de una bobina. b) Una corriente que cambia en la bonina A induce una corriente en la bobina B. imágenes recuperadas de: http://electronicaengeneral.files.wordpress.com/2013/05/386eb-induc-cion_electromagnetica.png?w=223&h=176 y http://www.fisicanet.com.ar/fisica/electrodinamica/ap1/induccion_electromagnetica01.jpg

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3. Fem inducida por un alambre en movimiento Otro ejemplo de un área variable en un campo B constante se muestra en la figura 7. Un conductor en movimiento de longitud l se desliza a lo largo de un conductor en forma de estacionario con velocidad v. El flujo magnético que penetra en la espi-ra. En consecuencia, se induce una fem en el alambre en movimiento y circula una corriente alrededor de la espira.

El origen de la fem puede entenderse si se recuerda que una carga en movimiento dentro de un campo magnético experimenta una fuerza dada por:

En la figura 7, las cargas libres en el conductor en movmiento se mueven hacia la derechaa través de un campo magnético de arriba hacia debajo de la hoja.

La fuerza magnética F que actúa sobre las cargas las hace que se muevan a través de la longitid l del alambre en una dirección dada por la regla del tornillo de rosca derecha (alejándose del lector para una corriente convencional). El trabajo por unidad de carga representa la fem inducida, la cual se expresa:

Si la verlocidad v del alambre en movimiento forma un ángulo con respecto al campo B, es necesario una forma más general para la ecuación:

Ejemplo. Un alambre de 0.2 m de longitud se mueve con una velocidad constante de 4 m/s en una dirección que está a 40° con respecto a la densidad del flujo magnético de 0.5 T. Calcula la fem inducida. Solución. Se sustituye directamente en la ecuación:

( )( ) (

) ( )

El signo menos no aparece en la ecuación ya que la dirección de la fem inducida es la misma que la dirección de la fuerza magnética y efectúa trabajo sobre la carga en movimiento.

4. Ley de Lenz La Ley de Lenz establece: Una corriente inducida fluirá en una dirección tal que se opondrá por su campo magnético al movimien-to del campo magnético que produce.

Fig. 7 La fem inducida en un alambre que se mueve perpen-dicularmente a un campo mag-nético. Imagen recuperada de: http://termodinamica2012-1.wikispaces.com/Maquinas+Electricas

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La dirección de la corriente inducida en un conductor recto que se mueve a través de un campo mag-nético, puede ser determinada a partir de la ley de Lenz, sin embargo hay un método más sencillo que establecer con la regla de Fleming.

Si el pulgar, el dedo índice y el dedo medio de la mano derecha se ponen en ángulo recto con respecto al otro, con el pulgar apuntando en dirección en la que se mueve el alambre y el índice apuntando en la dirección del campo (N a S), el dedo medio apuntará en dirección convencional de la corriente inducida.

Fig. 8 La regla de la mano derecha para determinar la dirección de la corriente inducida.

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