Apuntes Gases Analisis Dimensional y Otros
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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE VVAALLPPAARRAAIISSOO
EESSCCUUEELLAA DDEE IINNGGEENNIIEERRAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL
IICCII 331122 MMeeccnniiccaa ddee fflluuiiddooss
AAllggoo mmss,, aacceerrccaa ddee TTrraannssppoorrttee ddee FFlluuiiddooss
PPrrooffeessoorr:: JJooss TToorrrreess TTiittuuss
22001133
-
1144..-- MMEEDDIIDDOORREESS DDEE FFLLUUJJOO
Estos instrumentos nos permiten cuantificar el material que entra y sale de un
proceso o equipo para poder mantener un efectivo control sobre l. Entre los
diferentes tipos de medidores de flujo conocidos, los que se emplean ms
ampliamente son los de tipo de carga variable (Tubo pitot, Venturi y plato orificio) y
los del tipo de rea variable (Rotmetro).
1144..11..-- TTuubboo PPiittoott
Este es un aparato que sirve para medir la velocidad local a lo largo de una lnea de
corriente.
El principio se indica en la Figura 14.1.
El objetivo de este instrumento es
medir la presin de estagnacin en un
punto dado del ducto. El valor
obtenido para la velocidad al aplicar la
ecuacin de Bernoulli, corresponder a
la velocidad en un punto, no al
promedio.
Para fluidos incompresibles, la
velocidad estar dada por :
r
DPgv c
20
Figura 14.1 Tubo Ptot
El hecho de entregar la velocidad local es la principal desventaja del Tubo Pitot. Si
se desea obtener la velocidad promedio se puede :
H
Flujo
-
a) Ubicar el Pitot justo en el centro del ducto, midiendo de esta forma la
velocidad mxima. Mediante relaciones conocidas se puede pasar de esta
velocidad mxima a la promedio en el ducto.
b) Efectuar varias medidas en localizaciones conocidas y despus integrar sobre
toda la seccin.
En el caso a), para estas perturbaciones se debe asegurar de colocar el Tubo Pitot
por lo menos 100 dimetros agua abajo de cualquier perturbacin.
Otra desventaja del Pitot es que entrega lecturas muy bajas para gases.
1144..22..-- MMeeddiiddoorr VVeennttuurrii
Este medidor consiste en un tubo con dos conecciones para medir presiones
estticas o diferencias de presin segn lo muestra la Figura 14.2.
El tubo incluye una parte convergente,
una estrangulacin y una parte
divergente. La primera fase aumenta la
velocidad del fluido y disminuye la
presin esttica. Entonces se tendr
una diferencia de presin entre el
punto 1 y el punto 2 que es de menor
rea. Esta diferencia puede
correlacionarse con el flujo msico o
volumtrico.
En la parte divergente, disminuye la
velocidad y aumenta la presin, aqu las
prdidas deben ser mnimas.
Figura 14.2 Medidor Venturi
La cada de presin puede medirse con un manmetro diferencial o dos manmetros
independientes.
P2 P1
D2
D1
-
Aplicando un balance de energa entre 1 y 2 se tiene:
P2 + V22 = P1 + V1
2 (para = 0)
2gc 2gc
Reemplazando se llega a:
Pg
A
A
AQ c
*2
*
1
2
1
2
2
Esta es una relacin ideal, la diferencia entre flujo ideal y real se puede
determinar en forma experimental, determinndose el coeficiente de descarga (Cd).
FLUJO REAL : Q = Cd * Qi
A travs de un anlisis dimensional puede demostrarse que Cd = f (Re). A partir de
valores experimentales de Cd se ha construido un grfico del tipo mostrado en la
Figura 14.3. El valor de Cd varia entre 0,9 y 1,0.
Figura 14.3 Valores Constante Medidor Venturi
Para obtener mediciones seguras se debe calibrar el venturi en su ubicacin
definitiva. Puede hacerse midiendo o pesando la cantidad de lquido que pasa por un
perodo t de tiempo (cada de Presin = Cte.)
C
100
0.94
N Re
i
-
1144..33..-- FFllooww--NNoozzzzllee
Los nozzles se refieren a un tubo en el cual
la velocidad se aumenta en direccin del
flujo disminuyendo la presin esttica.
El trmino de nozzle se refiere a un nozzle
puesto al final de, o en una caera para
mediciones de flujo.
Este puede ser analizado como un venturi
mas corto y simplificado, ya que no tiene
estrangulamiento como se muestra en la
Figura 14.4.
Figura 14.4 Medidor Flujo Nozzle
La ecuacin es la misma que la del venturi.
QC A
A
A
g Pc
**
*2
2
1
2
1
2
La constante de descarga C tiene un valor cercano a 1 y es constante en un amplio
rango de Re.
Se ha definido
KC
F
Donde F es el factor de velocidad de aproximacin definido como:
P1 P2
Flujo
-
FA
A
1
1 2
1
2
Para finalmente tener que:
Q K Ag Pc *
*2
2
K = f (Re, tamao y forma del nozzle)
Valores de K se muestran en la Figura 14.5
Figura 14.5 Valores K, Flow Nozzle
D1
D2 0.65
0.75
0.45
0.35
0.96
1.0
1.20
Re1
Coeficiente
de flujo, K
-
1144..44..-- PPllaattoo OOrriiffiicciioo
El arreglo o disposicin ms comn es
aquella en la cual una delgada lamina
se pone en flanges de una caera, y
esta lmina tiene un orificio circular
concntrica con la caera como se
aprecia en la Figura 14.6.
Las conecciones para medir las
presiones estticas se ubican a los
lados del plato orificio. 1,5 veces el
dimetro aguas arriba y 1,5 veces
aguas abajo.
Figura 14.6
Para este caso:
QC A
A
A
g Pc
**
*2
2
1
2
1
2
Haciendo,
KC
A
A
1
2
1
2
1
Q K Ag Pc 1 2
2*
*
El valor de K1 vara entre 0,56 y 0,64 (ver Figura 14.7)
P1 P2
Flujo D1
D2
-
Las lneas de flujo convergen al aproximarse al orificio a una distancia del plano de
esta, el jet del fluido tiene una seccin mnima en la cual las lneas son paralelas.
Esta seccin mnima se denomina VENA CONTRACTA.
Figura 14.7 Valores K1 para Plato Orificio
1144..55..-- MMeeddiiddoorr ddee FFlluujjoo ddee RReessiisstteenncciiaa LLiinneeaall
Este consiste en una pieza recta
de caera o tubo con un
elemento de resistencia y un
manmetro diferencial (Figura
14.8). En un cierto rango de
flujo, el flujo volumtrico a
travs del medidor es
directamente proporcional a la
cada de presin a travs del
medidor.
Flujo P1
P2
D1
D2 0.7
0.75
0.6
0.4
0.58
0.80
Re1
0.3
K
-
1144..66..-- RRoottmmeettrroo
El rotmetro es un aparato que tiene
un flotador libre rotatorio (ms
pesado que el lquido) como elemento
indicador, (ver Figura 14.9)
La parte de mayor seccin es siempre
la superior. El flotador esta
suspendido libremente en el fluido.
Cuando el caudal es cero, el flotador
queda en reposo en el fondo. Hay una
posicin correspondiente del
flotador para cada flujo. Este
medidor de flujo se clasifica como
medidor de rea (variables).
Este medidor se debe calibrar antes
de usarlo.
La posicin de equilibrio esta dado por
el empuje del fluido sobre el flotador
y por el peso del flotador, los que son
iguales en un punto determinado para
un flujo dado.
V r r A Pf f F* ( ) * Figura 14.9 Rotmetro
A partir de este balance se llega a que el flujo depende del nmero de Reynolds,
forma del flotador, tipo de material, etc.
Flotador
-
1155..-- FFLLUUIIDDOOSS CCOOMMPPRREESSIIBBLLEESS
1155..11 PPeerrddiiddaass ddee CCaarrggaa
El clculo de las prdidas de carga en el caso de flujo de fluidos compresibles se efecta en forma
similar al caso de flujo de lquidos. Tambin para ciertos sistemas particulares se han desarrollado
frmulas especficas semiempricas que entregan resultados bastante aceptables, desde el punto de
vista de la desviacin en clculos de ingeniera. Los resultados de estas ecuaciones estn dentro del
rango de error que comnmente se tiene en los clculos ingenieriles.
1155..11..11 CCaaddaa ddee pprreessiinn ppaarraa fflluujjoo ddee vvaappoorr
Mediante la ecuacin de Darcy:
La relacin de Darcy ( o Fanning) para flujo de vapor es:
P x fw V
d100
3 36 10 4 2
5,
,
P x f q Sg
d
h
100
1 959 10 62 2
5,
',
Donde:
w : Flujo msico (lb/hr)
V : Volumen especfico del fluido (pie3/lb)
d : Dimetro (pulgadas)
qh : Flujo de vapor a condiciones estndar (14,7 psi y 60F) (pie3/hr - SCFH)
Sg : Gravedad especfica del vapor (PM gas / 29) : Densidad (lb/pie3)
P : Cada de prein (psi)
Esta relacin se aplica a los fluidos compresibles bajo las siguientes condiciones:
a.- Cuando PT < 10 % de la presin inicial se sigue el procedimiento tradicional usado para flujo de
lquidos, usando o V medido a las condiciones iniciales o finales.
b.- Cuando 10 % P1 < PT < 40 % P1, o V deben ser calculado a condiciones promedio.
c.- Si PT > 0,40 P1 debe usarse la frmula de Babcock, o bien se debe dividir la longitud de la lnea
en tramos que en lo posible queden en la condicin a.
-
Mtodo Grfico
El grfico mostrado a continuacin puede usarse para resolver problemas comunes
de flujo de vapor. Este grfico est basado en la relacin modificada de Darcy con
factores de friccin fijos. Para bajas velocidades de vapor, los resultados pueden
ser bajos. El grfico es del tipo:
Figura 15.1 Valores de Factor Descarga
W: Flujo msico: miles de (lb/hr)
C1 : Factor de descarga.
C2 : Factor de tamao.
La prdida de carga est dada por:
-
P C C VC C
100 1 2
1 2
CP
C V
P
C1
100
2
100
2
Los valores de C2 se encuentran tabulados y su valor depende del dimetro y del
Schedule (Figura 15.2).
FFrrmmuullaa ssiimmpplliiffiiccaaddaa ppaarraa ccaaddaa ddee pprreessiinn ddee fflluuddooss ccoommpprreessiibbllee,, fflluujjoo yy ddiimmeettrroo ddee ccaaeerraass
VVaalloorreess ddee CC22
Dimetr
o
Nominal
Pulg
Nmero
Catlog
o
Valor
de C2
Dimetr
o
Nominal
Pulg
Nmero
Catlog
o
Valor
de C2
Dimetr
o
Nominal
Pulg
Nmero
Catlog
o
Valor
de C2
1/8 40 s
80 x
7920000.
26200000
.
5 40 s 80 x
120
1.59
2.04
2.69
16 10 20
30 s
0.00463
0.00421
0.00504
40 s 80 x
1590000.
4290000. 160
...xx
3.59
4.93 40 x
60
80
0.00549
0.00612
0.00700
3/8 40 s
80 x
319000.
718000. 6 40 s
80 x
120
0.610
0.798
1.015
100 120
140
0.00804
0.00926
0.01099
40 s 80 x
160
...xx
93500.
186100.
4300000.
11180000
.
8
160
...xx
20
30
1.376
1.861
0.133
0.135
18
160
10
20
... s
30
0.01244
0.00247
0.00256
0.00266
0.00276
40 s 80 x
160
...xx
21200.
36900.
100100.
627000.
40 s 60
80 x
100
120
0.146
0.163
0.185
0.211
0.252
... x 40
60
80
100
0.00287
0.00298
0.00335
0.00376
0.00435
1 40 s 80 x
160
...xx
5950.
9640.
22500.
114100.
10
140
... xx
160
20
0.289
0.317
0.333
0.0397
20
120
140
160
10
0.00504
0.00573
0.00669
0.00141
1 40 s
80 x
160
...xx
1408.
2110.
3490.
13640.
30 40 s
60 x
80
100
0.0421
0.0447
0.0514
0.0569
0.0661
20 s 30 x
40
60
80
0.00150
0.00161
0.00169
0.00191
0.00217
1 40 s
80 x
160
...xx
627.
904.
1656.
4630.
12
120
140
160
20
0.0753
0.0905
0.1052
0.0157
100 120
140
160
0.00251
0.00287
0.00335
0.00385
2 40 s 80 x
160
...xx
169.
236.
488.
899.
30 ... s
40
... x
60
0.0168
0.0175
0.0180
0.0195
0.0206
24 10 20 s
... x
30
40
0.000534
0.000565
0.000597
0.000614
0.000651
2 40 s
80 x
160
...xx
66.7
91.8
146.3
380.0
80 100
120
140
160
0.0231
0.0267
0.0310
0.0350
0.0423
60 80
100
120
140
0.000741
0.000835
0.000972
0.001119
0.001274
3 40 s 80 x
160
...xx
21.4
28.7
48.3
96.6
14
10
20
30 s
40
0.00949
0.00969
0.01046
0.01099
160 0.001478
3 40 s 80 x
10.0
37.7 ... x
60
80
0.01155
0.01244
0.01416
Nota :
Las letras s, x, y xx
-
4 40 s 80 x
160
...xx
100 120
140
160
0.01557
0.01898
0.0218
0.0252
en la columna de
Nmeros de Catlogo
(Schedule) indica
caeras standard,
extra, y doble extra
respectivamente.
Figura 15.2 Valores Factor de Tamao
Para el clculo de la prdida de carga el procedimiento es el siguiente:
1.- Si P > 0,4 P1, no usar ste mtodo.
Si 0,1 P1 < P < 0,4 P1, V condiciones promedio
Si P < 0,1 P1, V a P1 o P2.
2.- Darse una velocidad recomendable, con sta determinar dimetro de caera.
Velocidades recomendables para vapor:
0 - 30 psi saturado 4000 - 6000 p/min
30 - 150 psi saturado o
recalentado
6000 - 10000 p/min
sobre 150 psi (vap - recalentado) 6500 - 15000 p/min
Lneas cortas 15000 p/min
(mximo)
3.- Determinar C1 y C2 ( de grfico y tabla respectivamente).
4.- Leer el volumen especfico para las condiciones del problema (de tablas de
vapor)
5.- Calcular P/100 = C1 C2 V
6.- Calcular los largos equivalentes de los fitting y de las contracciones y
expansiones.
-
7.- Determinar las cadas de presin a travs de orificios y vlvulas de control (si
las hay)
8.- Calcular la cada de presin total del sistema:
PL Leq
PTOT
( )
( / )100
100 7
9.- Si PTOT es demasiado grande, reestimar el dimetro de la lnea y repetir los
clculos.
Mediante Frmula de Babcock
De todas las frmulas empricas sugeridas para flujo de vapor, la ecuacin de
Babcock en un buen promedio para la mayora de los propsitos de diseo, para
presiones de hasta 500 psia.
Para caeras menores de 4 esta relacin puede entregar valores altos (0 - 40 %)
La ecuacin es:
P P P x dW L
d1 2
42
51 31 10 1 3 6 , ( , / )
P W F
100
2
'
W : Flujo msico (lb/hr)
L : Largo (pies)
El factor F se encuentra tabulado y depende del tipo de caera y del dimetro
(Figura 15.3)
-
Factor F para Frmula de Babcock
Dimetro
Nominal
Pulgadas
Caera
Standard
Caera Extra
955.1 x 10-3
2.051 x
184.7 x 10-3
340.8 x 10-3
1
45.7 x 10-3
77.71 x 10-3
1 9.432 x 10-3
14.67 x 10-3
1 3.914 x 10-3
5.865 x 10-3
2
951.9 x 10-6
1.365 x 10-3
2 351.0 x 10-6
493.8 x 10-6
3 104.7 x 10-6
143.2 x 10-6
3
46.94 x 10-6
62.95 x 10-6
4 23.46 x 10-6
31.01 x 10-6
5 6.854 x 10-6
8.866 x 10-6
6
2.544 x 10-6
3.354 x 10-6
8 587.1 x 10-9
748.2 x 10-9
10 176.3 x 10-9
225.3 x 10-9
12
70.32 x 10-9
90.52 x 10-9
14 O.D. 42.84 x 10-9
55.29 x 10-9
16 O.D. 21.39 x 10-9
27.28 x 10-9
18 O.D.
11.61 x 10-9
14.69 x 10-9
20 O.D. 6.621 x 10-9
8.469 x 10-9
24 O.D.
2.561 x 10-9
3.278 x 10-9
Figura 15.3 Factor F para frmula de Babcook
Para la mayora de los problemas de transporte de vapor es conveniente usar el
siguiente grfico, que est basado en la frmula de Babcock.
-
Figura 15.4 Carta para Flujo de Vapor
Para lneas largas (sobre 200), la lnea debera ser calculada en secciones, para
restablecer la densidad. Normalmente, debera estimarse una densidad promedio
para cada seccin para obtener buenos resultados.
-
1155..11..22 PPrrddiiddaass ddee ccaarrggaa ppaarraa fflluujjoo ddee ggaasseess
Para el clculo o diseo de tuberas en flujos de gases, es necesario definir la
velocidad snica.
La velocidad snica o velocidad crtica (velocidad del sonido en el fluido) es la
velocidad mxima que puede alcanzar un fluido compresible en una caera.
La velocidad snica (vs) est definida como:
vs cp cv PMt
32 2
1544460
12
,
68 1
12
,cp
cvP
Donde:
P
M
: Peso molecular del fluido
vs : Velocidad snica (p/s)
t : Temperatura (F)
P : Presin (psia)
Las propiedades son evaluadas en las condiciones de flujo snico.
La limitacin de velocidad snica debe evaluarse separadamente de las relaciones de
cada de presin.
La velocidad snica se podr establecer en cualquier punto de la caera si la cada
de presin es bastante grande para establecer la velocidad requerida. Una vez
alcanzada la velocidad snica, la cada de presin en el sistema no incrementar.
1155..11..33 PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa eell ccllccuulloo ddee llaass pprrddiiddaass ddee ccaarrggaa::
A.- Clculo del dimetro de la caera para capacidad y cada de presin dada.
1.- Darse un dimetro de la caera con la capacidad (Q) y calcular la velocidad (v2).
-
2.- Calcular la velocidad snica para el fluido (v1).
3.- Si v2 < v1, calcular la cada de presin de la lnea usando las ecuaciones usuales.
Si v2 = v1, se calcula la cada de presin con las ecuaciones usuales y esta ser
la mxima para la lnea.
Si v2 > v1, darse otro dimetro y repetir el clculo.
Para vapor puede usarse una figura del tipo:
Figura 15.5 Grfico Presin de Descarga
Este grfico entrega la presin de descarga en caeras de vapor, a mxima
capacidad.
B.- Clculo de la capacidad para un dimetro y cada de presin dados.
Este tambin es un mtodo de tanteo, similar al anterior. En este caso se tantea las
capacidades y se calcula la cada de presin para encontrar la presin de entrada,
calculando hacia atras desde la presin de salida. Para vapor puede usarse la figura
anterior.
1
0
-
10
Temperatura inicial
del vapor
Vapor inicialmente
seco y saturado
lb/hr-
(pulg)2
V
a
c
o
-
5
5
ps
ig Presin
de
descarga
en
el
extremo
a max.
capacida
d
600
F
700
F
800
F
-
C.- Clculo de la presin de entrada, conociendo la capacidad y el dimetro.
1.- Calcular la velocidad snicas con las condiciones de salida y comparar con la
velocidad calculada usando Q. Si la velocidad snica es menor, sta deber
usarse como lmite y la capacidad estar limitada a la correspondiente a esta
velocidad.
2.- Usando la velocidad menor, y la capacidad correspondiente, calcular la cada de
presin con las ecuaciones usuales. Para la mayor seguridad partir desde el
extremo de salida, dividiendo la lnea en varias secciones y usando las
propiedades fsicas del sistema en estos puntos, calculando hasta el extremo de
entrada de la lnea las cadas de presiones de las diferentes secciones.
El procedimiento anterior descrito se recomienda particularmente para el caso de
turbinas a vapor o equipos similares evacuando a la atmsfera o a vaco.
La presin a la entrada de la lnea ser entonces la suma de la presin de descarga y
todas las cadas de presin en las diferentes secciones.
Uso de Relacin Racional de Darcy para gases y vapores (Fluidos Compresibles)
1.- Determinar el dimetro de la lnea usando velocidad recomendable.
2.- Calcular el N de Reynolds y f usando el grfico de Moody, o bien la siguiente
figura para caeras de acero comercial .
3.- Determinar el largo total de caera recta.
4.- Calcular el largo equivalente total.
5.- Calcular las prdidas en: plato orificio, vlvulas de control, equipos,
contracciones, etc.
6.- Calcular la cada de presin (P/100) usando la ecuacin de Darcy.
-
P
x fW
d
x fTSg q
d
h
100
4 2
5
7 2
5
3 36 10 7 26 10'
', ,
T = temperatura absoluta (R)
7.- Calcular la cada de presin total
P
L LeqPT
1005100'
8.- Si la cada de presin es excesiva, examinar las prdidas debido a la friccin en
la caera y la debida a otros factores en el sistema. Si la cada de presin en la
lnea es una parte pequea del total, poco se ganar incrementando el dimetro,
lo que hay que tratar de reducir son las prdidas debidas a los otros factores.
1155..11..44 CCaaddaa ddee PPrreessiinn ppaarraa AAiirree
La mayora de los problemas con aire pueden resolverse usando tablas para aire
(Tabla 15.1). Estas tablas sirven para aire libre (14.7 psia y 60F), pero tambin se
entrega correcciones para temperatura y presiones diferentes.
-
Figura 15.6 Valores N Reynolds
-
TTaabbllaa 1155..11 FFlluujjoo ddee AAiirree eenn CCaaeerraass SScchheedduullee 4400
(Usar slo para estimaciones; para clculos detallados usar factores de friccin, f)
Aire
Libre
q m
pie3/min
a 60 F
y 14.4
psia
Aire
Comprim
ido
pie3/mi
n
a 60 F
y
100
psia
Cada de Presin de Aire en psi
por cada 100 pies de caera Schedule 40
Para aire a 100 psig y 60 F
1/8 3/8 1 0.128 0.361 0.083 0.018 2 0.256 1.31 0.258 0.064 0.0
20
3 0.384 3.06 0.605 0.133 0.0
42
4 0.513 4.83 1.04 0.226 0.0
71
5 0.641 7.45 1.58 0.343 0.1
06
0.02
7
1
6 0.769 10.6 2.23 0.408 0.1
48
0.03
7
8 1.025 18.6 3.89 0.848 0.2
55
0.06
2
0.01
9
10 1.282 28.7 5.96 1.26 0.3
56
0.09
4
0.02
9
1 1
15 1.922 ... 13.0 2.73 0.8
34
0.20
1
0.06
2
20
2.563 ... 22.8 4.76 1.4
3
0.34
5
0.10
2
0.02
6
25 3.204 ... 35.6 7.34 2.2
1
0.52
6
0.15
6
0.03
9
0.01
9
30 3.845 ... ... 10.5 3.1
5
0.74
8
0.21
9
0.05
5
0.02
6
35 4.486 ... ... 14.2 4.2
4
1.00 0.29
3
0.07
3
0.03
5
40 5.126 ... ... 18.4 5.4
9
1.30 0.37
9
0.09
5
0.04
4
45
5.767 ... ... 23.1 6.9
0
1.62 0.47
4
0.11
6
0.05
5
2
50 6.408 28.5 8.4
9
1.99 0.57
8
0.14
9
0.06
7
0.01
9 60 7.690 2 40.7 12.
2
2.85 0.81
9
0.20
0
0.09
4
0.02
7 70 8.971 ... 16.
5
3.83 1.10 0.27
0
0.12
6
0.03
6 80 10.25 0.019 ... 21.
4
4.96 1.43 0.35
0
0.16
2
0.04
6
-
90
11.53 0.02
3
... 27.
0
6.25 1.80 0.43
7
0.20
3
0.05
8 100 12.82 0.02
9
3 33.
2
7.69 2.21 0.53
4
0.24
7
0.07
0 125 16.02 0.04
4
... 11.9 3.39 0.82
5
0.38
0
0.10
7 150 19.22 0.06
2
0.021 ... 17.0 4.87 1.17 0.53
7
0.151
175 22.43 0.08
3
0.028 ... 23.1 6.60 1.58 0.72
7
0.20
5 200
25.63 0.107 0.036 3 ... 30.0 8.54 2.05 0.93
7
0.26
4 225 28.84 0.134 0.045 0.022 37.9 10.8 2.59 1.19 0.33
1 250 32.04 0.164 0.055 0.027 ... 13.3 3.18 1.45 0.40
4 275 35.24 0.191 0.066 0.032 ... 16.0 3.83 1.75 0.48
4 300 38.45 0.23
2
0.078 0.037 ... 19.0 4.56 2.07 0.57
3 325 41.65 0.27
0
0.090 0.043
4
... 22.3 5.32 2.42 0.67
3 350 44.87 0.313 0.104 0.050 ... 25.8 6.17 2.80 0.77
6 375 48.06 0.35
6
0.119 0.057 0.0
30
... 29.6 7.05 3.20 0.88
7 400 51.26 0.40
2
0.134 0.064 0.0
34
... 33.6 8.02 3.64 1.00
425 54.47 0.45
2
0.151 0.072 0.0
38
... 37.9 9.01 4.09 1.13
450
57.67 0.50
7
0.168 0.081 0.0
42
... ... 10.2 4.59 1.26
475 60.88 0.56
2
0.187 0.089 0.0
47
... 11.3 5.09 1.40
500 64.08 0.62
3
0.206 0.099 0.0
52
... 12.5 5.61 1.55
550 70.49 0.74
9
0.248 0.118 0.0
62
... 15.1 6.79 1.87
600 76.90 0.88
7
0.293 0.139 0.0
73
... 18.0 8.04 2.21
650
83.30 1.04 0.342 0.163 0.0
86
5 ... 21.1 9.43 2.60
-
TTaabbllaa 1155..11 ((CCoonnttiinnuuaacciinn))
Flujo de Aire en Caeras Schedule 40
(Usar slo para estimaciones; para clculos detallados usar factores de friccin, f)
Aire
Libre
q m
pie3/min
a 60 F
y 14.4
psia
Aire
Comprimido
pie3/min
a 60 F y
100 psia
Cada de Presin de Aire en psi
por cada 100 pies de caera Schedule 40
Para aire a 100 psig y 60 F
700 89.71 1.19 0.39
5
0.18
8
0.09
9
0.03
2
24.3 10.9 3.00
750 96.12 1.36 0.45
1
0.21
4
0.11
3
0.03
6
27.9 12.6 3.44
800 102.5 1.55 0.51
3
0.24
4
0.12
7
0.04
1
31.8 14.2 3.90
850 108.9 1.74 0.57
6
0.27
4
0.14
4
0.04
6
35.9 16.0 4.40
900
115.3 1.95 0.64
2
0.30
5
0.16
0
0.05
1
6 40.2 18.0 4.91
950 121.8 2.18 0.71
5
0.34
0
0.17
8
0.05
7
0.02
3
... 20.0 5.47
1000 128.2 2.40 0.78
8
0.37
5
0.19
7
0.06
3
0.02
5
... 22.1 6.06
1100 141.0 2.89 0.94
8
0.45
1
0.23
6
0.07
5
0.03
0
... 26.7 7.29
1200 153.8 3.44 1.13 0.53
3
0.27
9
0.08
9
0.03
5
... 31.8 8.63
1300
166.6 4.01 1.32 0.62
6
0.32
7
0.10
3
0.04
1
... 37.3 10.1
1400 179.4 4.65 1.52 0.71
8
0.37
7
0.119 0.04
7
11.8
1500 192.2 5.31 1.74 0.82
4
0.43
1
0.13
6
0.05
4
13.5
1600 205.1 6.04 1.97 0.93
2
0.49
0
0.15
4
0.06
1
8 15.3
1800 230.7 7.65 2.50 1.18 0.61
6
0.19
3
0.07
5
19.3
2000
256.3 9.44 3.06 1.45 0.75
7
0.23
7
0.09
4
0.023 10
23.9
2500 320.4 14.7 4.76 2.25 1.17 0.36
6
0.14
3
0.035 37.3
3000 384.5 21.1 6.82 3.20 1.67 0.52
4
0.20
4
0.051 0.016
3500 448.6 28.8 9.23 4.33 2.26 0.70
9
0.27
6
0.068 0.02
2
4000 512.6 37.6 12.1 5.66 2.94 0.91
9
0.35
8
0.088 0.02
8
4500
576.7 47.6 15.3 7.16 3.69 1.16 0.45
0
0.111 0.03
5
12
5000 640.8 ... 18.8 8.85 4.56 1.42 0.55
2
0.136 0.04
3
0.018
6000 769.0 ... 27.1 12.7 6.57 2.03 0.79
4
0.195 0.061 0.02
5
-
7000 897.1 ... 36.9 17.2 8.94 2.76 1.07 0.262 0.08
2
0.03
4 8000 1025 ... ... 22.5 11.7 3.59 1.39 0.339 0.107 0.04
4 9000
1153 ... ... 28.5 14.9 4.54 1.76 0.427 0.134 0.05
5 10000 1282 ... ... 35.2 18.4 5.60 2.16 0.526 0.164 0.06
7 11000 1410 ... ... ... 22.2 6.78 2.62 0.633 0.197 0.081 12000 1538 ... ... ... 26.4 8.07 3.09 0.753 0.23
4
0.09
6 13000 1666 ... ... ... 31.0 9.47 3.63 0.884 0.27
3
0.112
14000
1794 ... ... ... 36.0 11.0 4.21 1.02 0.316 0.129
15000 1922 ... ... ... ... 12.6 4.84 1.17 0.36
4
0.148
16000 2051 ... ... ... ... 14.3 5.50 1.33 0.411 0.167 18000 2307 ... ... ... ... 18.2 6.96 1.68 0.52
0
0.213
20000 2563 ... ... ... ... 22.4 8.60 2.01 0.64
2
0.26
0 22000
2820 ... ... ... ... 27.1 10.4 2.50 0.771 0.314
24000 3076 ... ... ... ... 32.3 12.4 2.97 0.918 0.371 26000 3332 ... ... ... ... 37.9 14.5 3.49 1.12 0.43
5 28000 3588 ... ... ... ... ... 16.9 4.04 1.25 0.50
5 30000
3845 ... ... ... ... ... 19.3 4.64 1.42 0.52
0
Existe tambin grficos para aire. Estos grficos estn basados en la ecuacin de
Harris (Figura 15.7) :
PLV
d R
0 10255 31
,,
Donde:
L : Largo de la caera (pies)
R : Razn de compresin (de aire libre) a la entrada de
la caera
d : Dimetro interno (pulg)
V : Flujo de aire pie3/seg
Para usos prcticos, la tabla es ms exacta.
-
Figura 15.7 Grfico para Flujo de aire Comprimido
-
1155..22 FFlluujjoo eenn ddooss FFaasseess
Respecto del flujo de fluido en dos fases, la experiencia ha demostrado que:
a) Si el contenido de vapor de una mezcla lquido vapor aumenta, la cada de presin
ser mayor que la de la fase lquida sola y ser mayor que la cada de presin
calculada con la densidad promedio.
b) Para una razn dada lquido-vapor y las propiedades fsicas asociadas, se
desarrollar un modulo de flujo caracterstico.
c) Entre los varios modelos de flujo, las cadas de presin unitarias pueden ser
diferentes cuando se compara los casos de frontera.
El flujo de fluido en dos fases en un problema que se ha estudiado bastante. Sin
embargo, las determinaciones generales de cada de presin para las lneas de
plantas de proceso solamente pueden ser aproximadas.
El mtodo de diseo ms simple y de mayor aplicacin prctica, que se entregar
aqu, consiste en dos pasos fundamentalmente
1.- Seleccionar el modelo de flujo
2.- Determinar la cada de presin, calculando solamente las prdidas de la fase
vapor, corregida por una correlacin aplicable al flujo en dos fases.
1155..22..11 MMooddeelloo ddee FFlluujjoo::
Comnmente se consideran 6 a 7 modelos de flujo (ver figura 15.8) al evaluar el
flujo en dos fases.
Para determinar el modelo de flujo particular es necesario calcular los parmetros
de Baker, definidos como X e Y.
Y G /
X W Gm /
g L
0 075 62 3
12
, .
-
73 62 32
13
LL
,
Donde:
G : Velocidad especfica (lb/hr -pie2) (gas o vapor)
Wm : Velocidad Especfica lquido (lb/hr-pie2) Para ambas se considera toda
el rea de flujo.
g,
L
: densidad (lb/pie3)
: Tensin superficial (dinas/cm)
L : viscosidad del lquido (cp).
Figura 15.8 Modelos de Flujo para Flujo en dos Fases
Solamente puede existir un tipo de flujo en una lnea dada; pero como las
condiciones son cambiantes (velocidad, rugosidad, elevacin, etc.) el tipo puede
cambiar. La cada de presin vara considerablemente entre los diferentes tipos
-
Modelos de Flujo: (caeras horizontales)
- Burbuja : burbujas dispersas en el lquido.
- Estratificado: Lquido y gas en capas estratificadas.
- Ondas : El gas fluye en el tope y el lquido en la parte inferior.
- Slug : Burbujas de gas fluyendo a travs del lquido ( en masa)
- Anular : El lquido forma un anillo continuo sobre la pared y el gas fluye por el
centro.
- Pistn : Lquido - Gas - Lquido - Gas ......
- Disperso : Gas y lquido disperso.
1155..22..22.. CCaaddaa ddee pprreessiinn TToottaall ddeell SSiisstteemmaa
La cada de presin total para un sistema horizontal y vertical (o inclinado) es la
suma de la cada de presin horizontal ms la cada de presin adicional atribuida a
cada elevacin vertical.
PT = PP ( L caera horizontal) + n h Fe L / 144
Mtodo de Clculo:
a) Determinar el tipo ms probable de flujo, calculando los parmetros de Baker y
usando el grfico de modelos de flujo. Como el mtodo no es rigurosamente
exacto, es conveniente considerar el tipo de flujo adyacente.
b) Calcular la cada de presin para el lquido y el gas en forma separada.
1.- En general PL y PG pueden calcularse con la ecuacin general de Darcy.
P P
fLW
dG L,
,
3 36 102 4
5
-
Figura 15.9 Modelos Representativos de Flujo en dos fases
2.- Para gases se tiene la frmula general:
P
q LSgTzf
d PavG
D
14 65
520000
,
z : Factor de compresibilidad
-
q D14 65, : miles de pie3 estndar de gas/da (medido a 60 F y 14,65 psia)
Pav : Presin absoluta promedio en la lnea. Este es un valor estimado
y puede requerir correccin.
Para flujo de aceite en gas natural:
PfLQ
dL
b
181916 5
Qb : Barriles / da
c) Calcular
XP
PL
G
12
d) Calcular GTT para los tipos de flujo seleccionados del grfico.
Tipo de Flujo Ecuacin para GTT
Burbuja = 12,2 X0,75 / Wm 0,1
Pistn = 27,315 X0,855 / Wm 0,17
Estratificado = 15400 X / Wm 0,8
Slug = 1190 X0,185 / Wm 0,5
Anular (*) = (4,8-0,3125d)X0,343-0,021d
(*) Usar d = 10, para caeras mayores de 10
-
e) Calcular la cada de presin de las dos fases, para secciones horizontales de
caera. Para todos los tipos de flujo excepto para ondas y spray.
PP = PG GTT 2 (psi/pie)
Para ondas:
P f G g d gP P ' / ,2
193 2
f W Gp m L g 0 00430 214
, /,
G : lb/seg-pie2
f) Calcular la cada de presin total, incluyendo las secciones horizontales y
verticales de la lnea.
Multiplicar el valor obtenido por 1,1 - 2,0 de pendiendo de la naturaleza crtica de la aplicacin.
PT = PP L + n h Fe L / 144
Fe : Factor de elevacin
Para v > 10 p/s (velocidad del gas)
Fe = 0,00967 Wm0,5 / v0,7 Fe = 1,7156 Vg-0,702
-
Para v < 10 p/s Fe se obtiene del grfico, presentado en la figura 15.10:
Figura 15.10 Grfico para Determinar Fe
Para flujo spray, Baker sugiere usar la correlacin de Martinelli y multiplicar el
resultado por 2,0.
-
1166..-- CCOOMMPPRREESSOORREESS
1166..11..-- TTeeoorraa ddee CCoommpprreessiinn
En cualquier proceso continuo de compresin la relacin de la presin absoluta (P) al
volumen se expresa por la frmula:
P * Vn = K
Figura 16.1 Proceso de Compresin
El grfico de P/V de Figura 16.1 para cada valor del exponente n es conocido como
curva politrpica. El trabajo realizado para llevar el fluido de P1 a P2, a lo largo de
cualquier curva politrpica, es:
W PdV 1
2
El valor del exponente n define los 4 procesos bsicos de compresin, a saber:
n = 0 Proceso Isobrico
n = 1 Proceso isotrmico
1
2
P
V
-
n = k Proceso Adiabtico
n = Proceso Isocrico
De aqu se desprende que el trabajo requerido depende de la curva politrpica
involucrada y que aumenta con el incremento de n.
El camino que requiere menos cantidad de trabajo es para n = 1, el cual equivale a
compresin isotrmica. Para compresin adiabtica se tendr n = k (k = razn entre
el calor especfico a presin constante y el calor especfico a volumen constante).
Como en la prctica es imposible operar sobre la curva n = 1, ya que no se puede
disipar el calor de compresin, la mayora de los compresores tienden a operar
sobre la curva n = k.
1166..22..-- FFrrmmuullaass ppaarraa CCoommpprreessiinn AAddiiaabbttiiccaa ((PPaarraa GGaasseess PPeerrffeeccttooss))
Las ecuaciones que relacionan las variables de estado en una compresin adiabtica
para gases ideales son las siguientes:
Altura adiabtica:
Hk
kR T
P
Pad
k
k
111
2
1
1
* * *
Potencia adiabtica = W * Had
T = _R
W = lbm/seg
Had = pie-lbf/lbm
HPW Had
*
550
Temperatura adiabtica de descarga (T2)
-
T TP
P
k
k
2 12
1
1
*
Si el ciclo de compresin se aproxima a la condicin isoterma (P * V = Cte), como en
el caso de compresin en varias etapas con enfriamiento entre etapas, una
aproximacin simple de la potencia se obtiene mediante la frmula:
Hp P QP
P
0 0044 1 1
2
1
, * * * ln P = (Psi) , Q = (GPM)
Bajo el rango normal de presiones de operacin, la densidad de un gas es
considerablemente menor que la de un lquido; por lo tanto en el caso de
compresores (centrfugos) podr emplearse velocidades ms altas.
La construccin de un compresor debe considerar el cambio de volumen del gas al
ser comprimido.
Una gran proporcin de la energa de compresin aparece como calor en el gas,
entonces habr un aumento considerable en la temperatura del gas, el cual puede
limitar la operacin del compresor, a menos que se efecte enfriamiento. Por esta
razn la compresin de un gas frecuentemente se lleva a cabo en varias etapas y el
gas es enfriado entre cada etapa.
Cualquier gas que no sea expelido del cilindro al finalizar la compresin (espacio
muerto) debe ser nuevamente expandido a la presin de entrada antes de admitir
carga fresca. Esta compresin y expansin continua de gas residual es una perdida
de eficiencia, porque ni la compresin ni la expansin pueden llevarse a cabo en
forma completamente reversible. Con lquidos, este hecho no tiene efecto sobre la
eficiencia, porque el lquido residual no es comprimido.
Los compresores pueden dividirse en:
Recprocos : Puede consistir en 1 o ms etapas y es el
nico tipo que puede desarrollar altas
presiones.
Sopladores y compresores : Estos pueden dividirse en dos clases
-
rotatorios
Aquellos que desarrollan una razn
de compresin alta.
Sopladores de baja razn de
compresin.
Sopladores y compresores
centrfugos
: Estos dependen de la conversin de
energa cintica en energa de
presin. Se subdividen en :
Ventiladores
Sopladores
Compresores.
1166..33..-- SSeelleecccciinn ddee CCoommpprreessoorreess
Para hacer una seleccin satisfactoria de un compresor se debe considerar una gran
variedad de tipos, cada uno de los cuales tendr ventajas particulares para un
sistema dado.
Entre los factores a considerar, arreglados de acuerdo a su importancia, se tiene:
velocidad de flujo, altura o presin, limitaciones de temperatura, mtodo de sellado,
mtodo de lubricacin, potencia consumida, versatilidad y costos.
En la Figura 16.2 se muestra un grfico que entrega los rangos normales de
operacin para los diferentes tipos de equipos.
-
Figura 16.2 Seleccin de Equipos de Transporte de Gas
1166..44..-- MMqquuiinnaass SSooppllaaddoorraass CCeennttrrffuuggaass
Las mquinas soplantes centrfugas se pueden dividir en tres clases generales, que, a semejanza de
las bombas, no tienen marcada una clara lnea de separacin entre ellas. Estas tres clases se las
designa con las denominaciones de ventiladores, sopladores y compresores.
a) Ventiladores: Los ventiladores se usan cuando se requiere bajas presiones
(hasta 1 psi) y grandes volmenes, comparativamente. Funcionan a velocidades
relativamente pequeas, estando por lo general, la cubierta y el rodete
construidos de planchas de hierro.
b) Sopladores (Turbo Sopladores) Segn el "Compressed Air Institute", un soplador es una mquina destinada a la compresin del aire o de un gas
mediante la fuerza centrfuga hasta una presin final no superior a 2,46
-
kgf/cm2 (2,4 atm.). No se usa en ellos la refrigeracin con agua, pues el costo
adicional del sistema refrigerante no resulta justificado, en vista de la
ganancia relativamente pequea que se obtiene con estas presiones de
trabajo.
Cuando se usan en aplicaciones especiales se les da algunas veces otras
denominaciones. En la industria del gas, los sopladores usados para extraer
gas de los hornos de coquificacin son conocidos con la denominacin de
Aspiradores. Si la presin en la aspiracin es superior a la atmosfrica (caso
que se da algunas veces en la industria qumica, donde debe generarse una
presin que sea suficiente para poner en circulacin los gases a travs del
proceso de fabricacin) el soplador es conocido con el nombre de
Compensador o Alimentador.
c) Compresores (o Turbocompresores): El Instituto Americano de Aire
Comprimido define el compresor centrfugo como una mquina destinada a
comprimir aire o un gas hasta una presin final superior a 2,46 kgf/cm2,
estableciendo asimismo, que tales compresores estn invariablemente
refrigerados con agua. Algunas veces se aplica esta denominacin a las
mquinas multicelulares en general, independientemente de las presiones
finales o de la refrigeracin. Aunque se ha construido compresores
centrfugos para presiones que exceden las 7 atmsferas, son las mquinas
alternativas las que comnmente se emplean para presiones mayores de 3,5
atm.
1166..44..11..-- VVeennttiillaaddoorreess
Los ventiladores centrfugos se pueden dividir en tres tipos generales: aleta radial,
aletas hacia adelante y aletas hacia atrs.
- Radiales Tiene rotores de dimetro con unas pocas (5 -12) aletas. Estas
operan a velocidades bajas (relativamente), a menudo se usan
como evacuadores (exhausters).
-
-Hacia
adelante
: Comnmente tiene muchas aletas (20 - 64) de tipo Sirocco.
Los rotores son ms pequeos que las anteriores y trabajan a
velocidades mas altas.
- Hacia atrs : 10 - 50 aletas.
Los ventiladores de tipo Axial en general se fabrican de dos tipos: de disco o
impulsor (propeller).
El de tipo disco, tiene aletas planas o curvadas similares a las de un ventilador
domstico. En general se usan como extractores.
El tipo impulsor tiene hojas similares al de diseo aeronutico. Estos ventiladores
pueden ser de dos etapas.
Curva Caracterstica de Ventiladores
La teora de operacin de un ventilador centrfugo es muy parecida a la de una
bomba centrfuga. La presin desarrollada proviene de dos fuentes; estas son la
fuerza centrfuga debida a la rotacin de un volumen encerrada de aire o gas, y la
velocidad entregada al aire o el gas por las paletas y parcialmente convertida en
presin por la voluta o pasajes de la caja del ventilador.
La fuerza centrfuga desarrollada por el rotor produce una compresin del aire o
gas la cual es llamada presin esttica. La cantidad desarrollada de esta presin
esttica depende de la razn: velocidad del aire dejando las hojas a la velocidad del
aire entrando al ventilador por el comienzo de las hojas. Entonces mientras mas
larga sea la hoja, mas grande la presin esttica desarrollada por el ventilador.
La eficiencia de operacin de los ventiladores estn en un rango de 40 - 70%. La
presin de operacin es la suma de la presin esttica y la altura de velocidad del
aire dejando el compresor.
La potencia de un ventilador est dada por: (energa entregada al fluido):
-
33000
)(144 12 PPQAirHp
Potencia al eje = Air HP/ Shaft HP
Donde:
Q = Volumen de operacin (pie cbico/min)
P1 = Presin de entrada (psi)
P2 = Presin de salida (psi)
Las figura 16.3, 16.4 y 16.5 muestran las curvas caractersticas de los ventiladores.
Comportamiento de los Ventiladores
El comportamiento de un ventilador centrfugo vara con los cambios en la
temperatura, velocidad y densidad del fluido con que se est trabajando. Es
importante tener presente al mirar o examinar los catlogos de los fabricantes, que
estos datos estn basados comnmente en condiciones standars, (70 F y 29,92 pulg
de presin baromtrica o 68 F y 50% de humedad relativa). Luego ser necesario
hacer las correcciones correspondientes.
Al igual que las bombas centrfugas, los ventiladores siguen las leyes de semejanza.
Por lo tanto, cuando vara la velocidad:
La capacidad vara directamente con la razn de las velocidades:
Q Qn
n2 1
2
1
*
La presin vara con el cuadrado de la razn de las velocidades:
P Pn
n2 1
2
1
2
*
La potencia vara con la razn de las velocidades al cubo:
-
HP HPn
n1 2
1
2
3
*
Limitacin: Al igual que las bombas estas relaciones se cumplen si la variacin de
velocidad no es excesiva.
Variacin con la temperatura del aire o del gas
El BHP y la presin varan inversamente con la temperatura absoluta (para
velocidad y capacidad constante).
Variacin con la densidad del aire o el gas
BHP y P varan directamente con la densidad (para n y capacidad
constante).
NOTA: Todas estas relaciones se cumplen para puntos de igual eficiencia.
Seleccin de Ventiladores
Es una prctica comn entre los fabricantes de ventiladores publicar una lista
completa tabulada mostrando capacidades, presin, velocidades y potencia de sus
ventiladores bajo condiciones standards de temperatura y densidad del aire.
En la figura 16.6 se entrega una gua para la seleccin de ventiladores.
La seleccin se puede hacer a partir de estos datos, o bien solicitar la
recomendacin para el servicio a realizar a los fabricantes.
-
Figuras 16.3, 16.4 y 16.5. Curvas caractersticas de ventiladores
F
i
g
.
1
6
.
3
El ventilador centrfugo tubular produce un fuerte aumento en la presin, dentro de amplios lmites (rango) de capacidad.
F
i
g
.
1
6
.
4
Curvas de eficiencia para ventiladores centrfugas y axiales.
F
i
i
g
.
1
6
.
5
Comparacin de rendimientos: presin total y caballaje al de los ventiladores axial en comparacin con los centrfugos
-
1166..44..22..-- CCoommpprreessoorreess CCeennttrrffuuggooss yy SSooppllaaddoorreess
Estos equipos son vastamente usados para operar con grandes volmenes de gas a
presiones que van desde 0,5 hasta cientos de psi. El criterio ms importante, ms
que la elevacin de presin, es la razn de compresin. Para presiones menores de
0,5 psi ordinariamente se usar un ventilador.
Los turbo-sopladores son usados en una gran variedad de servicios, incluyendo
enfriamiento y secado, suministro de aire de combustin a hornos, transporte de
materiales slidos (Meln- cemento), procesos de flotacin, para agitacin y
aireacin, para ventilacin, etc.
El principio en que se basa el funcionamiento de un turbo-soplador es el mismo de
una bomba centrfuga, la diferencia principal es que el aire o gas del turbo-soplador
es compresible mientras que los lquidos en una bomba son prcticamente
incompresibles. Como la presin se desarrolla mediante fuerza centrfuga es muy
importante conocer la densidad del gas con el cual se va operar.
Al seleccionar el tamao apropiado de un turbo-soplador, se debe determinar la
mayora de las condiciones adversas que podran ocurrir simultneamente. Las
condiciones a considerar son las siguientes:
La presin baromtrica ms baja.
Menor o ms baja presin de entrada.
Mxima temperatura de entrada.
La razn ms alta de calores especficos (k)
La menor gravedad especfica.
Mximo volumen de entrada.
Mxima presin de descarga.
La mayora de los turbo-sopladores operan a velocidades de 3.500 rpm o mayores,
un factor limitante ser la consideracin de esfuerzos sobre las aletas. Avances
recientes en el diseo de mquinas y su tecnologa ha significado la produccin de
unidades cuya velocidad es superior a las 30.000 rpm. Los turbo-sopladores
funcionan mediante motores elctricos o turbinas a vapor o gas, con o sin
engranajes para aumentar la velocidad.
-
Figura 16.6
En un turbo-soplador, como en una bomba centrfuga, la altura, en pies, es
independiente del fluido.
-
Al hacer un anlisis a las ecuaciones vistas anteriormente se concluye que la razn
de compresin depende de la temperatura de entrada, peso molecular y de la razn
de los pesos especficos.
Los turbo-sopladores multietapas generalmente tienen de 6 a 7 etapas. Si con una
de estas no se alcanza a obtener la presin requerida se debe ubicar dos o mas
unidades en serie con enfriamiento interetapas.
Curvas Caractersticas para Sopladores de Multietapas
La Figura 16.7 muestra la curva caracterstica para un soplador.
De estas curvas puede deducirse que el turbo-soplador es esencialmente una
mquina de Presin Constante y que la potencia consumida es casi directamente
proporcional al volumen entregado.
Hay una capacidad mnima para cada soplador, a cada velocidad, bajo la cual la
operacin ser inestable. Esta inestabilidad va acompaada de un ruido
caracterstico conocido como Punto lmite de Bombeo o Surge. El lmite de
bombeo est ampliamente influenciado por el ngulo de descarga del alabe y para la
mayora de los sopladores este lmite est en las cercanas del 50% de la capacidad
en el B.E.P.. La causa primaria de esta conducta reside en la forma de la curva
Altura - Capacidad la cual, despus de alcanzar un mximo de cerca de un medio
de la capacidad normal o de operacin, comienza a caer hacia el punto de capacidad
cero.
Cuando la capacidad se reduce bajo este punto, la presin en la caera de descarga
excede a la producida por el soplador y el flujo tiende a invertirse
momentneamente. Sin embargo, tan pronto como el flujo se reduce, la presin en la
caera de descarga baja y el soplador comienza a descargar en la caera
nuevamente. Tales pulaciones en la presin y capacidad son magnificados por la
respuesta del gas compresible en el sistema de descarga. Los sopladores no deben
operarse a volmenes bajo el punto de bombeo, y para evitarlo existe una serie de
tcnicas de control que normalmente vienen asociadas a la operacin de los equipos.
-
1188..-- AANNAALLIISSIISS DDIIMMEENNSSIIOONNAALL
1188..11..-- AAnnlliissiiss DDiimmeennssiioonnaall eenn IInnggeenniieerraa::
El Anlisis dimensional se aplica prcticamente en todos los campos de la ingeniera.
Los procesos fsicos, pueden describirse por una ecuacin entre cantidades fsicas o
variables dimensionales. A travs del anlisis dimensional estas cantidades se
arreglan en grupos adimensionales. Al aplicar el anlisis dimensional, es necesario
que todas las variables dimensionales que afecten al proceso sean conocidas. Los
grupos adimensionales obtenidos no entregan informacin sobre el mecanismo del
proceso, pero ayudan a correlacionar los datos experimentales y a desarrollar
relaciones funcionales entre las variables. Tambin, una vez que la relacin funcional
entre grupos adimensionales se ha obtenido experimentalmente, el efecto de
cualquier factor dimensional se puede determinar. Esto es particularmente til
cuando es difcil cambiar alguna variable experimentalmente.
1188..22..-- PPrriinncciippiioo ddee SSiimmiilliittuudd
El principio de similitud tiene que ver con las relaciones entre sistemas fsicos de
diferentes tamaos y es fundamental para el scale-up (escalamiento) de procesos
qumicos y fsicos.
El principio de similitud comnmente va acompaado, y es frecuentemente
confundido, con el mtodo de anlisis dimensional. Aunque, histricamente, los dos
se han encontrado juntos, ellos son muy distintos. El principio de similitud es un
principio general de la naturaleza, y el anlisis dimensional es solamente una de las
tcnicas por la cual el principio puede ser usado en casos especficos, la otra tcnica
es a partir de las ecuaciones generalizadas de movimiento del sistema. En este y en
los captulos siguientes, similitud y anlisis dimensional sern discutidos
separadamente, mientras que las ecuaciones de movimiento sern tratadas tambin
en un captulo aparte.
-
A continuacin se analiza los tipos de similitud y la significancia fsica entre estados
similares.
Los objetos materiales y los sistemas fsicos en general se caracterizan por tres
cualidades: tamao, forma y composicin, las tres son variables independientes, as
que dos objetos pueden ser de tamaos diferentes, pero tener la misma forma y
composicin qumica o ser iguales en forma, y variar en composicin y tamao. El
principio de similitud est ms particularmente relacionado en el concepto general
de forma, aplicando a sistemas complejos y tomando en cuenta el hecho, de que la
forma es independiente del tamao y de la composicin.
En trminos ms precisos, el principio establece que: La configuracin espacial y
temporal de un sistema fsico est determinada por razones de magnitudes dentro
del sistema mismo y no depende del tamao o naturaleza de las unidades en la cual
se mide estas magnitudes.
El campo de la ingeniera est relacionado con sistemas complejos de campos slidos
y fluidos en los cuales puede haber lugar a transferencia de materia y energa, como
tambin cambios qumicos. El concepto de forma aplicado a estos sistemas envuelve,
no solamente las proporciones geomtricas de sus elementos y superficies slidas,
sino tambin factores tales como: modelo de flujo de fluidos, gradientes de
temperatura, perfiles de concentracin, etc. Aquellos sistemas que tengan la misma
configuracin en uno o ms de stos aspectos, se dice que son similares.
La similitud puede definirse de dos maneras: especificando las razones entre
diferentes medidas en el cuerpo mismo o medidas correspondientes en cuerpos
diferentes. La forma geomtrica de un cuerpo est determinada por sus
proporciones intrnsecas, por ejemplo, : razn altura/ancho, ancho/espesor de
pared, etc. En cuerpos geomtricamente similares, todas stas razones (o factores
de forma) son constantes. Por otro lado, cuando se comparan dos cuerpos
geomtricamente similares, hay una razn constante entre sus respectivas alturas,
anchos y otras medidas correspondientes, las que son llamadas razones de escala. El
segundo mtodo tiene la ventaja prctica que una razn de escala simple, se
sustituye por un nmero de factor de forma. Por esta razn, la similitud geomtrica
se define mejor en trminos de correspondencia y razn de escala. Similitud con
respecto a otras variables, tales como: velocidad, fuerza o temperatura puede
definirse generalmente por una razn intrnseca simple para cada sistema. Estas
razones intrnsecas son los grupos adimensionales que definen similitud bajo
diferentes condiciones.
-
Una correspondencia geomtrica punto a punto entre dos sistemas asegura que si
los valores totales para las razones son iguales, tambin sern iguales en puntos
correspondientes.
En ingeniera son cuatro los estados de similitud importantes:
Similitud geomtrica
Similitud Mecnica
Similitud Trmica
Similitud Qumica
Estrictamente hablando; cada uno de estos estados de similitud necesita todos los
previos. Por ejemplo, una similitud qumica completa requerira similitud trmica,
mecnica y geomtrica. En la prctica, a menudo es necesario aceptar una
aproximacin a similitud qumica con divergencias sustanciales de similitud mecnica.
Todos los casos de similitud, de hecho, contienen un elemento de aproximacin,
porque siempre hay factores de perturbacin presente; los cuales no permiten
alcanzar la similitud ideal. Por ejemplo, dos ductos pueden ser diseados y
fabricados con dimensiones similares (geomtricamente), pero es virtualmente
imposible hacer, por ejemplo, la rugosidad superficial geomtricamente similar, y
cualquier diferencia tendr alguna influencia sobre el modelo de flujo. A menudo los
efectos de stas desviaciones de la similitud ideal son despreciables. Cuando no son
despreciables, ellos darn lugar a efectos de escala y una correccin de alguna
clase, se deber hacer cuando los resultados experimentales sean escalados.
Algunas veces los requerimientos para similitud con respecto a dos factores
importantes son totalmente incompatibles, dando lugar a un caso ms difcil de
tratar, que es el de rgimen mezclado (concepto de rgimen se ver ms adelante),
en los cuales, una aproximacin a la similitud puede ser imposible de alcanzar sin
drsticos cambios en el proceso.
Al discutir similitud es necesario frecuentemente referirse a cantidades
correspondientes y sus razones en sistemas similares. Los smbolos primados
siempre se referirn al sistema grande o prototipo, y el smbolo sin comilla
corresponder al modelo:
L : longitud dada en el prototipo
-
L : largo correspondiente en el modelo geomtricamente similar.
Con stas cantidades tendremos:
L'
LL
razn de escala lineal
v
vv
' razn de velocidades correspondientes.
1188..22..11..-- SSiimmiilliittuudd GGeeoommttrriiccaa
La similitud geomtrica, como ya se ha dicho, se define mejor en trminos de
correspondencia. Consideremos dos cuerpos slidos, cada uno con 3 ejes imaginarios
que se intersectan en el espacio, de tal forma que cada punto se describe
nicamente por tres coordenadas. Supongamos que tenemos un punto en el
primer cuerpo, cuyas coordenadas son: x, y, z y un segundo punto dentro
del segundo cuerpo, con coordenadas x
, y , z ,
que estn relacionadas con el primer
conjunto de coordenadas por la
ecuacin:
x
x
y
y
z
zL
' ' '
Estos dos puntos y todos los otros
pares, cuyas coordenadas estn
similarmente relacionadas en trmino de
L, son conocidos como puntos
correspondientes.
Dos cuerpos sern geomtricamente
similares cuando para cada punto en un
cuerpo, existe un punto correspondiente
en el otro.
X
Y
Z
Mo
del
o
L
P
X
Y
Z
Prototipo
L
P
-
Es posible que cada punto en el primer cuerpo pueda tener ms de un punto
correspondiente en el segundo. Esto ocurre cuando el 2 cuerpo, tiene una
multiplicidad de elementos idnticos, cada uno de ellos geomtricamente similar al
primer cuerpo.
No necesariamente la razn de escala ser la misma a lo largo de cada eje, y una
definicin ms general de puntos correspondientes, est dado por las relaciones:
x
xx
'
y
yy
'
z
zz
'
donde, x , y y z son las razones de escala, no necesariamente con el mismo valor. La
relacin entre dos cuerpos en las cuales las razones son distintas en distintas
direcciones es llamada similitud distorsionada.
La aplicacin de estos conceptos geomtricos a plantas de procesos, sugiere varias
clases de aparatos a pequea escala, que seran considerados similar a un aparato a
gran escala. Una rplica geomtrica similar del prototipo a pequea escala, con
razn de escala igual en diferentes direcciones, se llama modelo. Con razones de
escala diferente en diferentes direcciones, el aparato se llama modelo
distorsionado. Por conveniencia, el aparato de gran escala (grande) siempre se
llamar prototipo, independiente si fue hecho antes o despus.
Cuando el prototipo tiene una estructura mltiple compuesta de elementos
sustancialmente iguales, como por ejemplo, un intercambiador tubular, torre de
relleno, filtro prensa, reactor cataltico, etc.; el modelo o aparato en escala pequea
puede ser: un elemento, una rplica de igual tamao de una o ms clulas completas o
unidades del prototipo o el aparato a pequea escala puede ser un modelo del
elemento; un modelo a escala de un elemento y por ltimo, es posible tener un
modelo distorsionado del elemento.
El concepto de un elemento es til solamente cuando cualquier efecto debido a la
pared del estanque, pueda despreciarse o controlarse independientemente. Este es
el caso, por ejemplo, en un reactor cataltico: la superficie de la pared, es
despreciable comparado con la superficie interior.
-
La esencia de un elemento es que, bajo condiciones idnticas, producir el mismo
grado de cambio que produce el prototipo, pero en una cantidad pequea de materia.
Una torre de relleno es divisible verticalmente en elementos, teniendo cada uno la
misma altura de relleno como el prototipo.
1188..22..22..-- SSiimmiilliittuudd MMeeccnniiccaa
La similitud mecnica comprende similitud esttica, similitud cinemtica y similitud
dinmica. Cada uno de estos, puede ser mirado como una extensin del concepto de
similitud geomtrica a sistemas estacionarios o sistemas en movimiento, sujetos a
fuerzas.
Similitud Esttica
La similitud esttica est relacionada con cuerpos slidos o estructuras que estn
sujetas a esfuerzos constantes.
Todos los cuerpos slidos se deforman bajo esfuerzos y ciertas partes comienzan a
desplazarse de sus posiciones de equilibrio. La similitud esttica puede definirse de
la siguiente manera: Cuerpos geomtricamente similares, son estticamente
similares cuando bajo esfuerzos constantes, sus deformaciones relativas son tales,
que permanecen geomtricamente similares.
La razn de los dos desplazamientos correspondientes, entonces ser igual a la
razn de escala y la deformacin (unitaria) en puntos correspondientes ser el
mismo.
En el caso de deformacin elstica, la condicin para igualdad de deformacin
correspondiente es que, los esfuerzos correspondientes deben estar en la razn de
sus mdulos elsticos.
La razn de las fuerzas netas, actuando en puntos correspondientes en sistemas
estticamente similares ser:
-
F
FF LE
' 2
donde:
E = E / E : razn del mdulo elstico en prototipo y modelo
L : razn de escala
la igualdad de deformacin correspondiente es:
F = Y L2
Y = Y / Y : Razn de los puntos de fluencia (yield point) del prototipo y
modelo.
Cuando hay similitud geomtricamente distorsionada, las razones requeridas de
puntos correspondientes para similitud esttica sern diferentes en distintas
direcciones.
Similitud Cinemtica
La similitud cinemtica est relacionada con sistemas slidos o fluidos en
movimiento. La similitud geomtrica, envolva coordenadas en tres dimensiones. La
similitud cinemtica introduce la dimensin adicional de tiempo. Los tiempos son
medidos desde un cero arbitrario para cada sistema y los tiempos correspondientes
estn definidos de tal forma que t / t = t es constante. t es la razn de escala para
el tiempo. Las diferencias entre pares de tiempos correspondientes se llaman
intervalos correspondientes.
Partculas geomtricamente similares, que se encuentran ubicadas en puntos
correspondientes, son llamadas partculas correspondientes.
-
Sistemas geomtricamente similares en movimiento sern cinemticamente
similares cuando las partculas correspondientes tracen caminos geomtricamente
similares en intervalos de tiempos correspondientes.
Ilustracin de similitud cinemtica.
Si la razn de escala para el tiempo t es > 1, el
prototipo describir movimientos
correspondientes, ms lentamente que el modelo y
viceversa.
El concepto de una razn de escala para el tiempo,
es menor familiar que el de razn de escala lineal,
y para propsitos de ingeniera, a menudo es ms
conveniente el clculos en trminos de velocidades
correspondientes, las que corresponden a las
velocidades de partculas correspondientes en
tiempos correspondientes.
La razn de las velocidades correspondientes es:
V' = V
=
L
V t
En el caso de similitud geomtrica distorsionada, las razones de velocidades
correspondientes seran diferentes en distintas direcciones.
La similitud cinemtica es de particular inters en Ingeniera Qumica porque, si dos
sistemas fluidos geomtricamente similares son cinemticamente similares, el
modelo de flujo ser geomtricamente similar, y las velocidades de transferencia
de calor o masa en los dos sistemas estarn relacionadas por una ecuacin simple.
Similitud Dinmica
La similitud dinmica est relacionada con las fuerzas que aceleran o retardan el
movimiento de masas en un sistema dinmico. Fuerzas de la misma clase
-
(gravitacional, centrfuga, etc.) que actan sobre partculas correspondientes, se
llamarn fuerzas correspondientes.
En sistemas fluidos o compuestos de partculas slidas discretas, una similitud
cinemtica, necesariamente implica una similitud dinmica, ya que el movimiento del
sistema es funcin de las fuerzas aplicadas. En mquinas o movimientos mecnicos
cuyas partes estn obligadas a seguir caminos fijos, es posible tener similitud
cinemtica sin tener similitud dinmica (razones de fuerzas correspondientes
diferentes).
En una mquina slo algunas de las fuerzas sirven para acelerar el movimiento de
masas, otras fuerzas ejercen esfuerzos estticos en las piezas y otras son
disipadas.
Sistemas geomtricamente similares en movimiento, sern dinmicamente similares
cuando la razn de todas las fuerzas correspondientes sea igual.
Si las fuerzas actuando sobre un punto dado son de n clases diferentes; F1,
F2,.........Fn, es necesario que:
F
F
F
F
F
FnFn1
1
2
2
' '...............
' etc.
Los paralelogramos o polgonos de fuerzas para partculas correspondientes sern
geomtricamente similares. Otra conclusin, es que las razones entre fuerzas
distintas en el mismo sistema sern constantes:
F
F
F
F
1
2
1
2
'
' ;
F
F
F
Fn n
1 1'
' ; etc.
Estas son razones o proporciones intrnsecas, que determinan la forma dinmica de
un sistema, de la misma forma en que las razones entre dimensiones lineales,
determinan la forma geomtrica. En sistemas fluidos, las principales fuerzas que
actan son: de presin, inercia, gravitacional, viscosa e interfacial, y las razones
entre las magnitudes de estas fuerzas en puntos correspondientes, expresada como
grupos dimensionales, constituye el criterio de similitud dinmica.
-
Para sistemas dinmicos geomtricamente similares, en los cuales las propiedades
fsicas y qumicas de los componentes son los mismos (sistemas homlogos),
generalmente no es posible establecer ms que dos razones entre tres clases de
fuerzas, constantes en ambos sistemas.
Cuando se emplea materiales de propiedades diferentes en los dos sistemas, es
posible llegar a mantener tres razones constantes, envolviendo 4 clases diferentes
de fuerzas.
En sistemas de flujos de fluidos, la similitud dinmica, es de gran importancia
cuando se desea predecir cadas de presin o potencia consumida.
1188..33..-- AAnnlliissiiss DDiimmeennssiioonnaall
1188..33..11..-- HHiissttoorriiaa
El anlisis dimensional ha sido usado, de una u otra manera, desde hace largo tiempo,
particularmente en la mecnica de fluidos. En 1850 Stokes mostr que en flujos de
sistemas geomtricamente similares, el nmero de Reynolds poda usarse como
criterio de similitud dinmica. Algn tiempo ms tarde Hemholtz obtena el mismo
resultado usando la ecuacin diferencial de momento de flujo. En 1899 Rayleigh us
el primer mtodo de anlisis dimensional, que an est en uso. En 1914 Buckingham
estableci su teorema, conocido como teorema de Buckingham, el cual es la base del
anlisis dimensional.
1188..33..22..-- UUnniiddaaddeess yy DDiimmeennssiioonneess
En el anlisis adimensional, es necesario determinar las dimensiones de las
cantidades fsicas. Las dimensiones fundamentales masa, longitud, tiempo y
temperatura son suficiente para expresar las dimensiones de cualquier variable
fsica. En la prctica, en ingeniera es comn usar los trminos lbf y lbm y expresar
las dimensiones de las variables en trminos de las cantidades fundamentales de
fuerza, masa, longitud, tiempo y temperatura. En anlisis dimensional, si este ltimo
-
conjunto de cantidades fundamentales es usado, es necesario incluir el factor de
conversin entre poundal y lbf como una cantidad dimensional adicional en el
sistema.
Para la ley de Newton, para el peso de un cuerpo:
W = m * g Si se trabaja en slug y lbf o lbm y poundal.
Trabajando en lbm y lbf
Wm g
gc
*
1188..33..33..-- HHoommooggeenneeiiddaadd DDiimmeennssiioonnaall
Se dice que una ecuacin es dimensionalmente homognea, si la forma de la ecuacin
no depende de las unidades fundamentales de medicin. Por ejemplo, la ecuacin
para el perodo de oscilacin de un pndulo simple T L g 2 es vlida, si la
longitud se mide en pies, metros o millas y si el tiempo se mide en minutos, das o
segundos. Entonces por definicin sta ecuacin es dimensionalmente homognea. Si
el valor g = 32,2 pies / seg 2, se sustituye en la ecuacin, la ecuacin quedar:
T L 111, . Esta ecuacin es correcta para pndulos sobre la tierra, pero no es
dimensionalmente homognea, ya que el factor 1,11 slo se aplica si la longitud es
medida en pies y el tiempo en segundos. Se podra argumentar que el factor 1,11
tiene las dimensiones de L -1/2 T. Sin embargo, las dimensiones no deben asignarse a
los nmeros, porque entonces cualquier ecuacin podra mirarse como
dimensionalmente homognea.
Se puede deducir de la ecuacin de homogeneidad dimensional, que una ecuacin
de la forma x = a + b + c ...... es dimensionalmente homgenea si, y slo si, las
variables x, a, b, c ... tienen todas las mismas dimensiones. Si una ecuacin derivada,
contiene una suma o diferencia de dos trminos que tienen dimensiones diferentes,
se ha cometido un error. Este principio puede aplicarse a ecuaciones diferenciales y
ecuaciones integrales, tanto como a ecuaciones algebraicas. No se debe suponer, sin
embargo, que una ecuacin emprica necesariamente sea dimensionalmente
homognea.
-
1188..33..44..-- NNaattuurraalleezzaa ddeell AAnnlliissiiss DDiimmeennssiioonnaall
La aplicacin del anlisis dimensional a un problema prctico, se basa en la hiptesis
que la solucin del problema pueda expresarse por medio de una ecuacin
dimensionalmente homognea en trminos de variables especficas. Esta hiptesis
se justifica por el hecho de que las ecuaciones fundamentales de fsica son
dimensionalmente homogneas (unidades inventadas por el hombre y los fenmenos
naturales tienen lugar de forma completamente independiente de las unidades
creadas por el hombre) y que las relaciones deducidas de estas ecuaciones, en
consecuencia, sern dimensionalmente homogneas.
Sin embargo, no podemos lgicamente suponer a priori, que una ecuacin
desconocida sea dimensionalmente homognea, a menos que sepamos que la ecuacin
contiene todas las variables que apareceran en una derivacin analtica de la
ecuacin.
El primer paso en el anlisis dimensional de un problema es decidir qu variables
entrarn en el problema. Si se introduce variables que realmente no afectan al
fenmeno. aparecern demasiados trminos en la ecuacin final. Si se omite
variables que lgicamente pueden influenciar el fenmeno, el clculo ser errneo e
incompleto. An aquellas variables constantes (o prcticamente constantes, ej.
aceleracin de gravedad) son importantes, pues al combinarse con otras variables
forman productos adimensionales.
Para hacer un anlisis dimensional de algn fenmeno, se debe entender bastante
acerca de l, para poder explicar el cmo y porqu las variables influyen en el
fenmeno.
Antes de cometer algn error en el anlisis dimensional de un problema es
conveniente tratar de formular una teora acerca del mecanismo del fenmeno. An
una teora hecha a grosso modo, descubre la accin de alguna variable importante.
La naturaleza del anlisis dimensional se puede aclarar con un ejemplo:
Consideremos el problema de la determinacin del arrastre F sobre una esfera lisa
de dimetro D, que se mueve a travs de un fluido viscoso incompresible a velocidad
v. Otras variables involucradas, son la densidad y la viscosidad del fluido.
-
El arrastre F puede establecerse como una funcin desconocida de estas variables.
Es decir,
F = ( D, V, , )
La determinacin de esta relacin experimentalmente encierra gran dificultad, ya
que slo debe variarse una de las variables encerradas en el parntesis, cada vez, lo
que supone el manejo y obtencin de muchos grficos.
Un ejemplo de representacin sera el siguiente:
D1
D2
D3
V
F
d
(
1
,
1
)
D1 D2
D3
V
(
1
,
m
)
D1
D2
D3
V
F
d
(
n
,
1
) V
(
m
,
m
)
D2
D3
D1
F
d
F
d
-
En esta representacin posible, se ha representado F en funcin de D, para diversos
valores de V como parmetro. Cada familia de grficos corresponde, sin embargo, a
valores fijos de y de , lo que pone de manifiesto que, para una descripcin
efectiva del proceso, se requerira muchos grficos. Adems, este mtodo supondr
la utilizacin de muchas esferas con dimetros distintos, y de cierto nmero de
fluidos con viscosidades y densidades distintas. Queda patente por lo tanto, que la
investigacin sera extremadamente larga y muy cara.
Como se ver ms adelante, al aplicar el anlisis dimensional este problema puede
formularse mediante una relacin funcional entre dos grupos adimensionales
solamente. As se obtendr:
F
V Dg
DV
2 2
donde se desconoce la naturaleza de la funcin g. Sin embargo, por experimentacin
se puede obtener una sola curva que relaciona estos grupos.
Con una sola grfica de este tipo,
puede obtenerse una informacin
cuantitativa tan completa como la que
dan centenares de grficos de los
estudiados en primer lugar.
Supngase que se desea conocer el
arrastre F para las condiciones Va, Da,
a, a. Puede calcularse
inmediatamente
2 a
a a a
a
D V
correspondiente a este valor de
( 2) a puede obtenerse ( 1)a .
Entonces puede calcularse Fa, como:
Fa = a Va 2 Da 2 ( 1)a
1
1,a
2,a
2
-
Para establecer una curva de este tipo puede utilizarse un tnel aerodinmico o
hidrodinmico, en el que para una esfera dada puede ajustarse los valores de 2,
fcil y continuamente, con slo variar la velocidad de la corriente libre. Los valores
de F se miden para cada uno de los valores, de forma que pueden calcularse
fcilmente los correspondientes valores de 1. Por tanto, con un tiempo y un gasto
considerablemente menores, queda establecida una curva entre grupos
adimensionales que, como uno de los resultados del anlisis dimensional, es vlido
para cualquier dimetro de esfera y cualquier fluido, cuyos grupos estn dentro del
intervalo de variacin de la curva.
La cuestin ahora es saber el nmero de grupos adimensionales que hay que formar
a partir de un conjunto de variables conocidas, que intervienen en un fenmeno
fsico. Con este propsito veremos a continuacin el teorema de Buckingham.
1188..33..55..-- TTeeoorreemmaa DDee BBuucckkiinngghhaamm
Este teorema establece lo siguiente:
1. La solucin de cualquier ecuacin fsica dimensionalmente homognea tiene la
forma:
( 1, 2, ................ n ) = 0
donde 1, 2, ................ n representan un conjunto de grupos adimensionales de
las variables y constantes dimensionales de la ecuacin.
2. Si una ecuacin contiene n variables y constantes dimensionales, y estas se
pueden expresar por dimensiones bsicas o fundamentales, se podr establecer
n-r grupos adimensionales.
En el ejemplo precedente las variables eran F, D, V, y ; o sea n = 5. Adems para
expresar dimensionalmente estas magnitudes debe emplearse tres dimensiones
bsicas o fundamentales M L T, o bien, F L y T, de forma que: n - r = 2.
Es tambin evidente que los grupos adimensionales empleados son independientes,
es decir, no pueden relacionarse entre s mediante operaciones algebraicas, ya que
-
F aparece en uno slo de los grupos y slo en el otro grupo. el teorema anterior
establece tambin que no puede existir otros grupos independientes.
El clculo de r en el teorema de Backingham, como el nmero de dimensiones
fundamentales necesarias para expresar las variables dimensionales, no siempre es
correcto. Por ejemplo, en anlisis de tensiones intervienen normalmente fuerzas y
longitudes. Entonces las dimensiones fundamentales pueden ser dos (F,L) si se
utiliza el sistema F, L, T o bien tres (M, L, T) si el sistema empleado es el M, L, T. A
continuacin veremos un procedimiento correcto para averiguar al valor de r.
Este procedimiento consiste en construir la matriz dimensional del problema.
F D
M
L
T
1 0 0 1 1
1 1 1 -3 -1
-2 -1 0 0 -1
V
Para ello se coloca las variables en una lnea
horizontal y las dimensiones fundamentales en
una lnea vertical. En la columna que figura
bajo cada una de las variables se coloca
enfrente de cada una de las dimensiones
fundamentales un nmero igual al exponente
con que figura en la expresin dimensional de
la variable.
Entonces tendremos que el nmero de grupos
adimensionales ser igual al nmero de
variables menos el rango de la matriz ( r =
rango de la matriz).
Rango: # de filas o columnas del mayor determinante diferente de cero ( En el
ejemplo r = 3)
1188..44..-- GGrruuppooss AAddiimmeennssiioonnaalleess IImmppoorrttaanntteess eenn MMeeccnniiccaa ddee FFlluuiiddooss
En la mayora de los fenmenos de flujo de fluidos en que pueda despreciarse la
transferencia de calor, las siguientes pueden ser las variables de importancia:
Presin : P
Viscosidad :
-
Longitud : L
Tensin Superficial :
Velocidad de propagacin del
sonido
: c
Aceleracin de gravedad : g
Densidad :
Velocidad : v
Todas estas variables se representan dimensionalmente con las tres dimensiones
bsicas o fundamentales, M L T. Por lo tanto:
n = 8
r = 3
y n - r = 5
Luego a partir de estas variables podr formarse 5 grupos adimensionales, y estos
son:
1. Nmero de Reynolds Re = D V /
2. Nmero de Froude Fr = V2 / L g
3. Nmero de Mach M = V / c
4. Nmero de Weber W = V2 L /
5. Nmero de Euler E = P / V2
Afortunadamente, en muchos de los problemas de ingeniera, slo intervienen en
forma significativa y simultnea algunas de las variables enumeradas. Por ejemplo,
en trabajos de aeronutica, la tensin superficial y la gravedad no son lo
suficientemente importantes para tenerlos en consideracin, de forma que no
intervienen ni en el N de Froude ni en el de Weber.
-
88..44..11..-- SSiiggnniiffiiccaaddoo FFssiiccoo ddee llooss GGrruuppooss AAddiimmeennssiioonnaalleess
Nmero de Reynolds
Relacin de la fuerza de inercia a la fuerza de
friccin, normalmente en funcin de parmetros
geomtricos y de flujo adecuados.
Nmero de Mach
Relacin de la raz cuadrada de la fuerza de
inercia a la raz cuadrada de la fuerza que tiene
su origen en la compresibilidad del fluido. Es de
gran importancia en los flujos de elevada
velocidad, donde las variaciones de densidad,
debidas a la presin son significativas.
Numero de Froude
Relacin de las fuerzas de inercia, a la fuerza de
gravedad. Si existe una superficie libre, tal
como es el caso de los ros, la forma de esta
superficie, al formarse ondas, se ver afectada
directamente por la fuerza de gravedad y, por
lo tanto, en este tipo de problemas el N de
Froude ser significativo.
Numero de Weber
Relacin de la fuerza de inercia a la fuerza
debida a la tensin superficial. Tambin se
requiere la presencia de superficies libres, pero
cuando se trata de cuerpos de grandes
dimensiones, como barcos en un fluido tal como
el agua, este efecto es muy pequeo.
Nmero de Euler
-
Relacin de la fuerza de presin a la fuerza de
inercia. En los ensayos de tipo prctico se utiliza
normalmente el coeficiente de presin P / ( V2
/ 2) igual al doble del N de Euler.
Con un conocimiento del significado fsico de estos grupos adimensionales, es mucho
ms sencillo ver que grupos sern significativos y cuales pueden despreciarse en una
investigacin.
1188..55..-- UUssooss yy LLiimmiittaacciioonneess ddeell AAnnlliissiiss DDiimmeennssiioonnaall
Ya se ha indicado que el anlisis dimensional no entrega informacin acerca del
mecanismo del proceso estudiado. Esto constituye una de las limitaciones serias del
mtodo. Otra limitacin de este mtodo es que el anlisis no tiene validez si
cualquiera variable significativa no se ha considerado. Sin embargo es
extremadamente til para correlacionar datos experimentales, y son numerosas las
relaciones, en el campo del flujo de fluidos y transferencia de calor que se
obtuvieron de esta manera, los grupos obtenidos por medio del anlisis dimensional
son de gran utilidad en el estudio bsico de un proceso.
1188..66..-- CCoonncceeppttoo ddee RRggiimmeenn
El rgimen distingue al proceso que determina la velocidad de cambio de un sistema
en el cual puede estar ocurriendo varios procesos. En otras palabras el rgimen est
definido por la fuerza, flujo o factor que controla la velocidad total de cambios.
Para que un sistema sea escalable se requiere que est controlado por slo un
factor. En este caso hablaremos de rgimen puro. Se tendr rgimen mezclado
cuando la velocidad total de cambio est controlado por dos o ms factores. En este
ltimo caso para escalar ser necesario o cambiar el sistema o bien hacer un
anlisis ms exhaustivo para determinar cul es el proceso con mayor influencia
sobre la velocidad
