Introducción

UNIDADES1. La actividad científica. Magnitudes y Medidas 2. Cinemática3. Dinámica4. Trabajo y energía. Termodinámica 5. Electrostática6. Corriente eléctrica 7. Naturaleza de la materia 8. Estructura atómica y ordenación de los elementos químicos9. Enlace químico. Formulación inorgánica

10. Procesos químicos. Estequiometría 11. Energía de los procesos químicos. Procesos químicos...12. Química del carbono

GlosarioBibliografíaCréditos

Bachillerato a distancia

Subdirección General de Aprendizaje a lo largo de la vida

CIDEAD Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia

cide dGOBIERNODE ESPAÑA

MINISTERIODE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN GENERALDE FORMACIÓN PROFESIONAL

F

Bac

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IVII

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Catálogo de publicaciones del Ministerio: www.mecd.gob.esCatálogo general de publicaciones oficiales: publicacionesoficiales.boe.es

Autores Félix García ZarceroFrancisca Manteca Reverte

Dirección y coordinación editorial Juan Antonio Olmedo González

Revisión técnicaMª Luisa Medina LloretMª Jesús García García

Tratamiento electrónicoFélix García ZarceroConsuelo Solórzano Arévalo

MaquetaJulio Calderón Grande

Diseño de cubiertaMª Luisa Bermejo López

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURAY DEPORTEDirección General de Formación ProfesionalSubdirección General de Aprendizaje a lo largo de la vida

Edita:© SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA

Subdirección Generalde Documentación y Publicaciones

Edición: 2013

NIPO: 030-13-206-5ISBN: 978-84-369-5479-1

Aceleración. Magnitud física que representa la variaciónde velocidad con respecto al tiempo.Aceleración centrípeta. La que va dirigida hacia el centrode curvatura de la trayectoria y es perpendicular a ella.Aceleración instantánea. La que tiene un móvil en un ins-tante determinado.Aceleración media. Cociente entre el incremento de velo-cidad y el incremento de tiempo.Aceleración normal. Igual que la aceleración centrípeta.Aceleración tangencial. Tangente a la trayectoria.Ámbar. Resina fósil, de color amarillo, opaca o semitrans-parente, muy ligera, dura y quebradiza, que arde fácilmen-te y que al frotarla se electriza capturando electrones y car-gándose negativamente.Amperio. Unidad de intensidad de corriente eléctrica delSistema Internacional, que equivale a la intensidad de unacorriente constante que, manteniéndose en dos conducto-res paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección cir-cular despreciable y situados a una distancia de 1 metrouno de otro, en el vacío, produciría entre estos conductoresuna fuerza igual 2 x 10-7 newton por metro de longitud.Ángulo plano. El formado por dos líneas contenidas en elmismo plano.Ángulo sólido. Cada una de las dos porciones del espaciolimitadas por una superficie cónica.Borne. Terminal de metal al cual se unen los hilos conduc-tores en un aparato eléctrico.Caballo de vapor. Unidad de potencia muy utilizada indus-trialmente que equivale a 735 vatios.Campo eléctrico. Región del espacio en la que se mani-fiestan fenómenos eléctricos.Cantidad de movimiento. Magnitud equivalente al produc-to de la masa por la velocidad.Candela. Unidad de intensidad luminosa del SistemaInternacional, que equivale a la intensidad luminosa, en unadirección dada, de una fuente que emite una radiaciónmonocromática de frecuencia 540 x 1012 hercios y cuyaintensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt porestereorradián.Carga puntual. Carga cuyas dimensiones son inapreciables.Componentes cartesianas. Proyecciones de un vectorsobre los ejes cartesianos.Componentes intrínsecas. Referidas a la propia trayecto-ria. Una es la tangencial que tiene la misma dirección quela trayectoria y la otra es la normal que es perpendicular aésta.Condensador electrolítico. Condensador polarizado, quecontiene dos electrodos, uno de ellos formado por un elec-trolito, que bajo la acción de una corriente eléctrica haceaparecer una capa de dieléctrico por oxidación del ánodo.Condensador plano. Condensador formado por dos lámi-nas conductoras planas (armaduras) separadas entre sí porun dieléctrico.Corriente eléctrica transitoria. Corriente eléctrica de muycorta duración.Culombio. Unidad de carga eléctrica del SistemaInternacional, equivalente a la cantidad de electricidad trans-

portada en un segundo por una corriente de un amperio.Desplazamiento. Vector que va desde la posición inicial deun móvil hasta la posición final.Dieléctrico. Sustancia que no conduce la corriente eléctrica.Dinámico. Perteneciente o relativo a la fuerza cuando produ-ce movimiento.Dipolo. Conjunto de dos cargas eléctricas iguales y designo contrario separadas entre sí por una cierta distancia.Ductilidad. Facilidad de un material para transformarse enhilos.Elástico. Que recobra su forma cuando cesa la accióndeformadora.Elongación. Variación de longitud de un cuerpo elásticosometido a tracción o a compresión. Distancia que, en cadainstante, separa a una partícula sometida a oscilación de suposición de equilibrio. Energía mecánica. Suma de la energía potencial (debida ala posición) y de la energía cinética (debida al movimiento).Estático. Que no está en movimiento.Estereorradián. Unidad de ángulo sólido del SistemaInternacional, que equivale al ángulo sólido que, con vérti-ce en el centro de una esfera, subtiende un área de lasuperficie de ésta, igual a la de un cuadrado cuyo lado tienela longitud del radio de la esfera.Exotérmico. Proceso que desprende calor.Faradio. Unidad de capacidad eléctrica del SistemaInternacional, equivalente a la capacidad de un condensa-dor eléctrico cargado con un culombio y con una diferenciade potencial de un voltio.Frecuencia. Magnitud física que indica el número de vuel-tas u oscilaciones por unidad de tiempo. Su unidad es elHercio.Fuerza centrífuga. Fuerza virtual que aparece sobre unmóvil cuando su velocidad cambia de dirección y que va diri-gida hacia el exterior de la curva definida por su trayectoria.Fuerza centrípeta. Fuerza que hace a un móvil cambiar ladirección de su velocidad haciendo que su trayectoria seacurvilínea.Fuerza de inercia. Fuerza virtual que aparece sobre uncuerpo cuando se altera su estado de reposo o movimiento.Es siempre de sentido contrario a la aceleración.Fuerza normal. Sinónimo de fuerza centrípeta, se denomi-na así porque siempre es perpendicular a la trayectoria y vadirigida hacia el centro de curvatura de ésta.Fuerza tangencial. Fuerza que es tangente a la trayectoria.Generador eléctrico. Dispositivo capaz de mantener unadiferencia de potencial entre sus bornes, proporcionandoenergía a un circuito y así mantener una corriente eléctrica.Hercio. Unidad de frecuencia del Sistema Internacional,que equivale a la frecuencia de un fenómeno cuyo períodoes un segundo.Hipótesis. Suposición de algo posible o imposible parasacar de ello una consecuencia.Inducción electrostática. Redistribución de las cargaseléctricas en un conductor por la acción de un campo eléc-trico exterior.

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GLOSARIOGLOSARIO

FísicaFísica

Inercia. Propiedad de los cuerpos de no modificar su esta-do de reposo o movimiento si no es por la acción de unafuerza.Infinitesimal. Tan pequeño como podamos imaginar. Suvalor tiende a cero.Interacción. Acción que se ejerce recíprocamente entredos o más cuerpos, fuerzas, etc.Ion. Átomo o conjunto de átomos que tienen carga eléctri-ca debido a una pérdida o ganancia de electrones.Isobaro. Proceso que se realiza a presión constante.Isocoro. Proceso que se realiza a volumen constante.Isotermo. Proceso que se realiza a temperatura constante.Julio. Unidad de trabajo del Sistema Internacional, queequivale al trabajo producido por una fuerza de un newtoncuyo punto de aplicación se desplaza un metro en la direc-ción de la fuerza.Kelvin. Unidad de temperatura termodinámica del SistemaInternacional. Es la fracción 1/273,16 de la temperatura ter-modinámica del punto triple del agua. Kilogramo. Unidad de masa del Sistema Internacional quees igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.Kilovatio·hora. Unidad de energía eléctrica comúnmenteutilizada por las compañías eléctricas que equivale a 3 600000 julios.Ley empírica. Ley basada en hechos experimentales.Líneas de fuerza. Líneas que son tangentes a la direccióndel campo en cada uno de sus puntos.Masa inerte. Propiedad intrínseca de la materia cuyo valores la relación entre la fuerza que se le aplica y la acelera-ción que adquiere.Masa pesante. Relación entre el peso de un cuerpo y laaceleración de la gravedad. También es denominada masagravitatoria.Médula de saúco. Sustancia muy ligera con gran capaci-dad para cargarse eléctricamente.Metro. Unidad de longitud del Sistema Internacional queequivale a la longitud del trayecto recorrido en el vacío porla luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Modelo. Esquema teórico, generalmente en forma mate-mática, de un sistema o de una realidad compleja, que seelabora para facilitar su comprensión y el estudio de sucomportamientoMol. Unidad de cantidad de sustancia del SistemaInternacional. Es la cantidad de sustancia de un sistemaque contiene tantas entidades elementales como átomoshay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Un mol contiene6,022.1023 entidades elementales.Newton. Unidad de fuerza del Sistema Internacional, equi-valente a la fuerza que, aplicada a un cuerpo cuya masa esde un kilogramo, le comunica una aceleración de un metropor segundo al cuadrado.Ohmio. Unidad de resistencia eléctrica del SistemaInternacional, equivalente a la resistencia eléctrica que dapaso a una corriente de un amperio cuando entre sus extre-mos existe una diferencia de potencial de un voltio.Parábola. Curva cónica cuya ecuación general es de laforma y = ax2 + bx + c

Pascal. Unidad de presión del Sistema Internacional, equi-valente a la presión uniforme que ejerce la fuerza de unnewton sobre la superficie plana de un metro cuadrado.Periodo. Tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta ouna oscilación completa.Permitividad. Capacidad de un dieléctrico para almacenarenergía electrostática en presencia de un campo eléctrico.Polarizar. Separar u orientar en dos direcciones contra-puestas.Polo. Terminal de un generador, puede ser positivo (el queestá a mayor potencial) o negativo.Potencial eléctrico. Energía potencial por unidad de cargapositiva situada en un punto de un campo eléctrico.Radial. Que tiene la dirección de un radio.Radián. Unidad de ángulo plano del Sistema Internacional,que equivale al ángulo plano entre dos radios de un círculoque subtiende un arco en la circunferencia igual en longitudal radio.Rama de parábola. Una parte cualquiera de una parábola.Receptor eléctrico. Dispositivo que transforma la energíaeléctrica que recibe en otra forma de energía.Resistividad. Magnitud física que se define como la resis-tencia de un conductor de 1 m de longitud y 1 m2 de sección.Segundo. Unidad de tiempo del Sistema Internacional. Esla duración de 9 192 631 770 periodos de la radiacióncorrespondiente a la transición entre los dos niveles hiper-finos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Sistema aislado. Sistema que no intercambia materia nienergía con el exterior u otros sistemas.Sistema de referencia inercial. El que no tiene aceleración.Superficie equipotencial. Superficie formada por los puntosque tienen el mismo potencial dentro de un campo eléctrico.Tensión eléctrica. Diferencia de potencial entre dos puntosde un circuito.Tensión. Fuerza de tracción a la que está sometido uncuerpo. Generalmente se aplica en cuerdas, cadenas,cables, etc.Trayectoria. Línea que describe un móvil en su recorrido.Vatio. Unidad de potencia eléctrica del Sistema Internacio-nal, que equivale a un julio por segundo.Vector de posición. El que va desde el origen de coorde-nadas hasta el punto donde considerado.Vector unitario. Vector cuyo módulo es la unidad.Velocidad angular. Cociente entre el ángulo descrito y eltiempo empleado.Velocidad instantánea. Velocidad que tiene un móvil en uninstante determinado.Velocidad media. Cociente entre el espacio recorrido y eltiempo empleado.Voltio. Unidad de potencial eléctrico y fuerza electromotrizdel Sistema Internacional, equivalente a la diferencia depotencial que hay entre dos puntos de un conductor cuan-do al transportar entre ellos un culombio se realiza el traba-jo de un julio.

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Ácido. Según Arrhenius, sustancia que, en disoluciónacuosa, se disocia soltando iones H+.Afinidad electrónica. La afinidad electrónica de un átomoes la energía que se desprende cuando un átomo neutro, enestado gaseoso, gana un electrón y forma un ion negativoAleación. Disoluciones entre metales; para prepararlas esnecesario que los metales (al menos uno) se encuentren enestado líquido, luego se solidificanAnaeróbica. En ausencia de aire.Ánodo. Electrodo de una pila en el que se produce la oxi-dación.Apolar. Se puede referir a enlaces o a moléculas. La cargaeléctrica (los electrones) tiene una distribución simétrica. Locontrario de polar.Base. Según Arrhenius, sustancia que, en disolución acuo-sa, se disocia soltando iones OH-.Cambio físico. Es un proceso de la materia en el que nocambian las sustancias que forman esa materia.Cambio químico. Es un proceso de la materia en el que sealtera la composición de la materia, se altera la naturalezade las sustancias que la forman. Se forman nuevas sustan-cias y desaparecen las que había al principio.Carbono asimétrico. Átomo de carbono unido a cuatroátomos o grupos de átomos diferentes.Catalizador. Sustancia que, incluso en cantidades muypequeñas, puede modificar ampliamente la velocidad deuna reacción. Si aumenta la velocidad de la reacción, es uncatalizador positivo y si la disminuye es un catalizadornegativo.Cátodo. Electrodo de una pila en el que se produce lareducción.Choques eficaces. Son los choques entre moléculas queproducen reacción.Compuesto. Es una sustancia pura que está formada pordiferentes tipos de átomos. Por métodos químicos se puedeseparar en los elementos que lo forman.Concentración. Es una magnitud que nos indica la compo-sición de una disolución. Relaciona la cantidad de soluto conla cantidad de disolvente o de disolución.Configuración electrónica. Forma de distribuirse los elec-trones de la corteza del átomo en distintos niveles y subni-veles energéticos.Coque. Residuo carbonoso que resulta al calentar el car-bón en ausencia de aire.Corteza. Parte externa del átomo, casi vacía. En ella seencuentran los electrones.Disolución saturada. Es una disolución que contiene lamáxima cantidad posible de soluto.Disolución. Es una mezcla homogénea, tiene aspecto uni-forme y tiene la misma composición en toda la mezcla.Disolvente. Es uno de los componentes de una disolución,

el que se encuentra en mayor proporción y que conserva suestado físico al producirse la mezcla.Ecuaciones termoquímicas. Ecuaciones químicas queincluyen el calor que interviene en el proceso.Electrolisis. Descomposición de una sustancia a partir dela electricidad.Electrón diferenciador. Último electrón que se sitúa enuna configuración electrónica.Electrón. El electrón es una partícula constituyente de losátomos, con carga eléctrica negativa y el valor de estacarga es 1,6·10 -19 C y masa 1/ 1836 u.m.a.Electronegatividad. Se define como la capacidad de unátomo para atraer hacia sí los electrones de otro elementoquímico que se combina con él. La electronegatividad se rela-ciona con la energía de ionización y la afinidad electrónica.Elemento. Es una sustancia pura que está formada por unsolo tipo de átomos, no se puede descomponer en sustan-cias más simples.Endoenergética. Reacción que absorbe o consume ener-gía al producirse.Endotérmica. Reacción que absorbe calor.Energía de activación. La energía que se debe alcanzar pa-ra que se inicie la reacción. Esta energía se utiliza para rom-per o debilitar los enlaces de las moléculas reaccionantes.Energía de enlace. Energía que se desprende cuando seforma un enlace. Esa misma cantidad de energía es la quese deberá aportar para romper dicho enlace.Energía de ionización. Se define como energía de ioniza-ción de un átomo la necesaria para arrancar un electrónexterno a dicho átomo, cuando éste se encuentra en esta-do gaseoso, y formar así un ion positivoEnergía reticular. Energía que se desprende cuando losiones de distinto signo que constituyen una sustancia ióni-ca se atraen y se unen formando una red cristalina.Enlace covalente coordinado. Es el enlace entre dos áto-mos que comparten una pareja de electrones, pero que sonaportados tan sólo por uno de los dos átomos que se enlazan.Enlace covalente doble. Los dos átomos que se unencomparten dos parejas de electrones.Enlace covalente sencillo. Los dos átomos que se unencomparten sólo una pareja de electrones.Enlace covalente triple. Los dos átomos que se unencomparten tres parejas de electrones.Enlace covalente. El enlace covalente une átomos de ele-mentos electronegativos. Los átomos que se unen compar-ten parejas de electrones. Cada pareja de electrones com-partida entre dos átomos constituye un enlace covalente.Enlace iónico. Se produce entre átomos de muy diferenteelectronegatividad y es una fuerza electrostática que man-tiene unidos iones.Enlace metálico. Es el enlace que se produce entre áto-mos de elementos electropositivos.

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QuímicaQuímica

Enlace químico. Unión que se da entre dos o más átomos.Espectro. Distribución de la intensidad de las radiacionesque absorbe o emite un cuerpo.Estequiometría. Se encarga del estudio cuantitativo de losproductos y los reactivos que intervienen en las reaccionesquímicas.Estereoisomería. Isomería espacial, los átomos de los isó-meros están ordenados de la misma forma; se diferencianen su disposición espacial.Exoenergética. Reacción que desprende energía.Exotérmica. Reacción que desprende calor.Fórmula empírica. Indica qué elementos están presentesen una sustancia y la relación mínima existente entre susátomos.Fórmula empírica. La fórmula empírica de una sustanciaestá formada por los símbolos de los elementos químicosque forman dicha sustancia acompañados de un subíndicenumérico. En ella se indica la proporción en que se combi-nan los distintos elementos que forman esa sustancia.Fórmula estructural desarrollada. Fórmula en la que serepresentan todos los enlaces entre los átomos.Fórmula estructural semidesarrollada. Fórmula en la quetan sólo se representan los enlaces entre los átomos decarbono.Fórmula molecular. Indica la cantidad exacta de átomosque forman una molécula.Fuentes de energía no renovables. No se regeneran;según las vamos utilizando, se van agotando.Fuentes de energía renovables. Se regeneran; a pesar deque las utilicemos no se agotan.Fuentes de energía. De donde sacamos la energía.Fuerzas de dispersión. Fuerzas de débil intensidad entremoléculas no polares.Fuerzas de orientación. Fuerzas intermoleculares queunen a las moléculas polares.Fuerzas intermoleculares. Son las fuerzas de unión quese producen entre moléculas cuyos átomos están unidospor enlaces covalentes.Grupo funcional. Átomo o grupo de átomos responsabledel comportamiento químico de la sustancia que lo contiene.Hidrófoba. Moléculas que no tienen afinidad por le agua.Tienden a separarse de las moléculas del agua.I.U.P.A.C. Siglas en inglés de Unión Internacional deQuímica Pura y Aplicada.Índice de coordinación. Número de átomos que rodean acada átomo en una red cristalina. En el caso de las sustan-cias iónicas es el número de iones de distinto signo querodean a cada ion.Inmiscibles. Se dice de las sustancias que no se puedenmezclar.

Isomería. Fenómeno que se da con frecuencia entre lassustancias orgánicas cuando algunas de ellas, teniendo lamisma fórmula molecular, son sustancias diferentes.Isómeros. Sustancias diferentes que presentan la mismafórmula molecular.Isótopo. Átomos del mismo elemento químico con diferen-te masa.Macromoléculas. Molécula gigante que puede contenervarios miles, e incluso, varias decenas o centenas de milesde átomos.Materia. Todo aquello que ocupa un lugar en el espacio yque tiene masa.Metal. Elemento químico con tendencia a formar a ionespositivos.Mezcla. Está formada por dos o más sustancias puras queconservan sus propiedades características. Las mezclas notienen una composición constante.Modelo atómico. Forma de imaginarse cómo es el átomopara poder justificar hechos experimentales.Mol. Es la cantidad de sustancia que contiene 6,022 · 10 23

partículas. El número que indica la masa de un mol en gra-mos coincide con el que indica la masa de un átomo o unamolécula en u.m.a.Molaridad. Es una forma de expresar la concentración deuna disolución e indica la cantidad de moles de soluto quehay en 1 litro de disolución.Neutrón. Partícula constituyente de los átomos con masaparecida a la del protón y sin carga eléctrica.Núcleo. Parte central del átomo, muy pequeña comparadacon el total del átomo. En ella se sitúan los protones y neu-trones.Número atómico. Número de protones del núcleo de unátomo.Número de oxidación. El número de oxidación de unátomo en un compuesto químico es el número de cargas,positivas o negativas, que tendría ese átomo si los electro-nes de cada enlace del compuesto fueran transferidos total-mente al átomo más electronegativo.Número másico. Número de protones y neutrones que hayen el núcleo de un átomo.Orbital. Zona alrededor del núcleo atómico donde existe lamáxima probabilidad de encontrar al electrón.Oxidación. Se produce cuando un átomo pierde electrones.Polar. Se puede referir a enlaces o a moléculas. La cargaeléctrica (los electrones) no está centrada, la parte haciadonde se desplaza la carga negativa tiene polaridad nega-tiva y la otra parte tiene polaridad positiva.Polímeros. Moléculas formadas por la repetida unión demoléculas más pequeñas llamadas monómeros.Presión parcial. En una mezcla de gases es la presión quecada gas ejercería si estuviera solo.

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Procesos redox. Reacciones en las que se produce simul-táneamente oxidación y reducción.Producto (de la reacción). Sustancias nuevas que se for-man en una reacción química.Protón. Partícula constituyente de los átomos, con cargapositiva y de valor 1,6·10 -19 C y su masa es aproximada-mente 1 u.m.a.Radiactividad. Propiedad que presentan algunos elemen-tos químicos de núcleo inestable de evolucionar hacianúcleos más estables emitiendo radiaciones.Radio atómico. El radio atómico es la mitad de la distanciaentre los núcleos de dos átomos que se encuentran unidos.Reacción química. Proceso o cambio químico.Reacciones redox. Reacciones en las que se producesimultáneamente oxidación y reducción.Reactivo limitante. Reactivo que primero se agota en unareacción química. Reactivo. Sustancias iniciales que se transforman en otrasen el transcurso de una reacción química.Reduccción. Se produce cuando un átomo gana electrones.Rendimiento (de una reacción). Indica la relación entre lacantidad real obtenida de un determinado producto y la queen teoría se podría obtener.

Resto positivo. El núcleo y los electrones de las capasinternas de un átomo de un elemento electropositivo.Sólido covalente. Sustancia formada por redes cristalinasdonde todas las uniones existentes entre los átomos sonenlaces covalentes.Solubilidad. Es la concentración de una disolución saturada.Soluto. Es un componente de la disolución, el que está enmenor proporción.Sustancia pura. tiene una composición constante que sepuede representar por una fórmula y tiene una serie de pro-piedades características que permiten identificarla.u.m.a. unidad de masa atómica. Es la doceava parte de lamasa de un átomo de carbono-12.Valencia. Nos indica la capacidad de combinación de unelemento químico. Este concepto es equivalente al denúmero de oxidación.Volumen molar normal. Es el volumen que ocupa un molde un gas en condiciones normales de presión y tempera-tura. Es prácticamente igual a 22,4 litros.

362

10

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

l concepto de cultura engloba en la actualidad todas las expresiones

que son resultado de la creación humana (arte, literatura, ciencia, filoso-

fía, tecnología...).

En este ámbito, uno de los agentes impulsores de la sociedad actual es, sin

duda, la ciencia, no sólo por los avances tecnológicos que se basan en ella, sino por

las nuevas perspectivas e interrogantes que plantea sobre cuestiones tan importan-

tes como la vida, el universo, la materia o la energía. Ello explica la importancia que

tiene el estudio de la física y de la química, pues forman parte de la cultura de nues-

tro tiempo.

Además, la física y la química son ciencias básicas, en las que se tienen que

apoyar otras ciencias como la medicina, la biología, la geología... Se puede decir que

ambas son ciencias experimentales sometidas a la disciplina matemática.

La física estudia las propiedades de la materia y de la energía, considerando tan

solo los atributos capaces de medida.

La química estudia las distintas clases de materiales, sus estructuras, sus pro-

piedades y sus transformaciones.

Quizá, el propio nombre de la asignatura sugiere que se van a tratar temas com-

plicados y extraños. Ya verás como no es así.

En cada una de las unidades se ha procurado que puedas relacionar los conte-

nidos con fenómenos que ya conoces, pues ocurren a tu alrededor, aunque desco-

nozcas su interpretación teórica.

También se ha pretendido que veas la importancia de la física y de la química en

el desarrollo de la sociedad actual y el papel que pueden desempeñar en la solución

de los problemas medioambientales que se nos plantean.

En definitiva, se pretende que te acerques a estas ciencias, que empieces a

entender algunos de sus conceptos más importantes y, ante todo, que empieces a

interesarte, a sentir curiosidad por lo que se puede llegar a hacer y a entender pro-

fundizando en ellas.

Cada Unidad Didáctica presenta un índice de contenidos, una breve introducción

al tema que vas a estudiar, así como un esquema de los conceptos que se van a tra-

tar y la relación existente entre ellos (Mapa Conceptual).

E

11

Te será útil, antes de ponerte a estudiar, leer detenidamente esta parte, pensar

en los contenidos que conoces, escribirlos y, a medida que vayas avanzando en el

estudio de la Unidad Didáctica, esforzarte en asimilar, sobre todo, aquellos concep-

tos que entren en contradicción con lo que tú pensabas anteriormente.

A veces, no se consigue profundizar en un tema porque interpretamos los fenó-

menos a partir de ideas previas, intuitivas, que tenemos de la realidad, pero que son

erróneas.

Los contenidos se desarrollan de una forma sencilla y directa, pero, aunque el

lenguaje es sencillo, deberás incorporar a tu vocabulario palabras nuevas propias de

la asignatura. Es muy importante que te acostumbres a la concisión del lenguaje

científico, tanto para interpretarlo como para expresarte.

No memorices sin comprender; procura expresar los conceptos de la forma que

mejor entiendas, pero asegúrate de que, aunque expreses algo de forma diferente a

como se hace en el libro, estés diciendo lo mismo.

En los distintos apartados de la Unidad Didáctica hay ejemplos para aclarar los

conceptos. En el Solucionario, no sólo están resueltas las actividades, sino que se

explica cómo se resuelven.

Cuando tengas que hacer problemas, lee detenidamente el enunciado, intentan-

do comprender y definir la situación que se plantea, anota qué datos te da el proble-

ma, repasa tus conocimientos sobre el tema y elabora posibles estrategias de reso-

lución, elige la que te parezca más sencilla y segura y, cuando obtengas un resulta-

do, acostúmbrate a analizarlo ¿Es un resultado posible, real o es un disparate? Un

resultado te puede indicar si has equivocado la estrategia o si has cometido algún

error matemático en la resolución del problema. Procura que el desarrollo sea siem-

pre ordenado y lógico.

No obstante, se recomiendan, al final, algunos libros de consulta y de resolución

de problemas relacionados con los distintos temas.

Esperamos que, cuando finalice el curso, además de haber ampliado tus cono-

cimientos sobre física y química y de haber aprendido nuevos conceptos, éstos te

hayan despertado nuevas inquietudes e intereses.

12

UNIDAD

La actividad científica.Magnitudes y medidas

1

n esta primera Unidad conoceremos las características fundamentales de la actividad

científica, su metodología y repercusiones.

Estudiaremos las magnitudes físicas, cómo se relacionan matemáticamente entre ellas y

en qué unidades se miden. El Sistema Internacional de Unidades nos permitirá expresar de modo

unívoco el resultado de la medida de una determinada magnitud.

Como todos sabemos, nada es perfecto pero no por ello inválido; llegaremos a la conclusión de

que no es posible obtener medidas totalmente exactas pero que son válidas si podemos apreciar

el error cometido y los métodos a utilizar para obtener la aproximación deseada.

Para finalizar la Unidad veremos cómo se representan gráficamente los valores obtenidos en

una serie de medidas y cómo, observando y analizando las gráficas, podemos encontrar las rela-

ciones matemáticas que existen entre ellas y expresar los resultados de un modo claro e intuitivo.

Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:

1. Conocer las características básicas del trabajo científico.

2. Plantear hipótesis fundamentadas.

3. Elaborar estrategias adecuadas para la resolución de problemas.

4. Valorar las posibles aplicaciones, repercusiones medioambientales y sociales.

5. Conocer las magnitudes físicas y sus diferentes tipos, así como las unidades en las que se

miden.

6. Estimar la precisión de las medidas y calcular el error cometido.

7. Realizar representaciones gráficas de datos y funciones.

E

13

MAGNITUDES

ESCALARES

se

clasifican

FUNDAMENTALES

por su

definición

por su

naturaleza

DERIVADAS VECTORIALES

su valor se

conoce

por las

MEDIDAS

INDIRECTAS

DIRECTAS

ERRORES

siempre

y se

expresan

en

UNIDADES

generalmente

pertenecientes al

SISTEMAINTERNACIONAL

que se pueden

expresar como

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

se reflejan

en una

TABLA DE VALORES

existen

EN LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA

se

utilizan

1. LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. MAGNITUDES Y DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244. MEDIDAS DE MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. Medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. La notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. ERRORES EN LA MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1. Aproximación al valor real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1. Magnitudes directamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2. Magnitudes inversamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

14

1. La actividad científicaLa actividad científica consiste en una serie de procesos de reflexión, sistemáticos y metódicos

encaminados a ampliar los conocimientos del ser humano o encontrar soluciones a problemas

de tipo científico.

Se fundamenta en la aplicación del método científico que consiste en observar un fenómeno,

reproducir condiciones idóneas para su estudio, experimentar realizando medidas fiables, establecer

relaciones entre éstas, describir el fenómeno mediante una ley empírica, emitir hipótesis, formular

una teoría o un modelo y, por último, darlo a conocer.

Observación y experimentación

Cuando queremos estudiar un fenómeno cualquiera; por ejemplo, la flotabilidad de los cuerpos,

lo primero que hacemos es elegir varios cuerpos, ponerlos sucesivamente en un recipiente que

contenga agua u otro líquido y observar atentamente lo que ocurre.

Normalmente la simple observación no es suficiente para comprender y explicar el fenómeno,

además es necesaria la experimentación que consiste en reproducir el fenómeno en condiciones

controladas y reproducibles de modo que podamos realizar medidas que agruparemos en tablas

que nos permitirán realizar representaciones gráficas y a través de ellas interpretar los datos con

facilidad y establecer relaciones entre ellos.

Obtención de leyes empíricas

Una vez que hemos obtenido los datos y las relaciones entre ellos estamos en condiciones

de realizar una descripción adecuada del fenómeno mediante una ley empírica que es una ley

formulada a partir de datos obtenidos mediante un experimento.

Un ejemplo de ley empírica que puede obtenerse del ejemplo anterior podría ser: “Los cuerpos

que tienen menos densidad que el líquido en el que se encuentran flotan y los que tienen más

densidad, se hunden”.

Normalmente el estudio no puede ser completo; en este caso, no es posible probar con todos

los cuerpos pero estamos convencidos, según los resultados obtenidos, de que esta ley es

generalizable a todos lo cuerpos. Cuando se obtiene una ley general basándose en datos o leyes

particulares se realiza un proceso inductivo. Newton estableció la ley de la Gravitación Universalbasándose en un proceso inductivo observando que los cuerpos caían debido a la fuerza de

atracción que la Tierra ejercía sobre ellos.

Formulación de hipótesis, teorías y modelos

En nuestro ejemplo hemos obtenido una ley empírica que nos permite saber lo que ocurrirá

cuando introducimos un cuerpo en un líquido, pero aún desconocemos la causa. ¿Por qué unos

cuerpos flotan y otros no?: para responder a ello formulamos una hipótesis (una suposición)

que podría ser “todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual al

peso del líquido que ha desalojado”.

Una vez formulada la hipótesis, si ésta es cierta, podremos saber si un cuerpo cualquiera

va a flotar o no conociendo su densidad.

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1UNIDAD

15

En este caso utilizamos un proceso deductivo que es el que se sigue cuando una hipótesis

general se aplica a casos particulares. Este proceso es el inverso del proceso inductivo que hemos

visto anteriormente.

Albert Einstein aplicó el proceso deductivo para elaborar la Teoría de la Relatividad partiendo

de una teoría que él imaginó y que en un principio era contradictoria con los fenómenos que

entonces se observaban en la naturaleza, pero experimentos realizados posteriormente pusieron

de manifiesto que su teoría era cierta.

A veces, cuando se pretende explicar un fenómeno complejo en el que intervienen muchas

variables se simplifica mediante un modelo en el que se utilizan sólo las variables fundamentales

que permitan explicar el fenómeno de un modo simplificado. Por ejemplo, el modelo atómico de

Bohr.

Consideración de perspectivas y repercusiones

Una vez que se ha finalizado el proceso de investigación deben estudiarse las posibles ventajas

e inconvenientes de la aplicación de los resultados obtenidos, teniendo en cuenta no sólo los

beneficios que se puedan obtener sino también las posibles repercusiones negativas en el medio

ambiente, en la sociedad, etc.

Por ejemplo, el descubrimiento de la dinamita favoreció enormemente las explotaciones

mineras, la realización de obras, etc., pero también se aplicó en guerras ocasionando una enorme

pérdida de vidas humanas. Por esta razón Nobel, su inventor, dedicó los ingresos obtenidos

con este descubrimiento a la institución del premio que lleva su nombre y que se otorga a los

científicos y pensadores más destacados del mundo, como el premio Nobel de Medicina o el

premio Nobel de la Paz.

Otros ejemplos significativos de posibles repercusiones negativas los podemos encontrar en

la energía nuclear para uso bélico, la utilización masiva e inadecuada del petróleo y sus derivados,

etc.

Comunicación de resultados

Una vez terminada una investigación es imprescindible comunicar los resultados obtenidos

a los demás miembros de la comunidad científica, así como los medios y métodos utilizados.

Habitualmente se realiza a través de un informe redactado con claridad, concisión y precisión.

Los apartados más habituales que contiene un informe son los siguientes:

Título y resumen.

Introducción.

Metodología.

Instrumentación.

Procedimiento.

Resultados.

Discusión y conclusiones.

Apéndices, si fueran necesarios.

Referencias y Bibliografía.

16

2. Magnitudes y dimensionesUna magnitud física es toda propiedad que pueda ser medida. Se puede medir la masa de

un cuerpo, la longitud, la densidad, etc.

Por su propia definición, las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. Si

atendemos a su naturaleza, también las podemos clasificar en magnitudes escalares y vectoriales.

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas

Existen unas magnitudes que sirven de referencia (magnitudes fundamentales) y todas las

demás se definen en función de ellas (magnitudes derivadas).

En mecánica las magnitudes fundamentales son la longitud, la masa y el tiempo. Todas las

demás como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. se definen en función de algunas o de

todas las fundamentales.

Asimismo en electricidad la magnitud fundamental es la intensidad de corriente, en

termodinámica la temperatura, en óptica la intensidad luminosa y en química la cantidad de

sustancia.

Ecuación de dimensiones

Como acabamos de decir, las magnitudes derivadas se definen en función de las

fundamentales. Pues bien, una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de esta

definición.

Esta ecuación se obtiene partiendo de fórmulas que relacionan a las magnitudes en cuestión,

u otras que, a su vez, se relacionen con ellas.

En general, las ecuaciones de dimensiones se escriben siguiendo unas normas:

• las magnitudes fundamentales se expresan en letras mayúsculas;

• no se utilizan fracciones, los términos que pudieran aparecer en el denominador se pasan

al numerador cambiando el signo de su exponente;

• los términos constantes, si existen, se desprecian ya que éstos no afectan a las

dimensiones;

• la magnitud derivada, una vez despejada, se escribe entre corchetes.

Veamos esto con unos sencillos ejemplos:

¿Cuál es la ecuación de dimensiones de la velocidad?

velocidad espacio recorridotiempo empleado

=

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1UNIDAD

17

El espacio se mide por su longitud que es una magnitud fundamental y el tiempo también lo

es. Siguiendo las reglas que acabamos de indicar, podemos escribir directamente la ecuación de

dimensiones de la velocidad:

¿...y la ecuación de dimensiones de la fuerza?

Hemos ido utilizando las fórmulas adecuadas hasta expresar la fuerza en función de magnitudes

fundamentales, ahora solamente queda escribir la ecuación de dimensiones según los criterios

antes indicados:

Toda ecuación física debe ser dimensionalmente correcta, es decir: los dos miembros de la

ecuación han de tener las mismas dimensiones. En caso contrario, no sería homogénea y los

resultados obtenidos no tendrían sentido; sería como obtener el resultado del cálculo de una

velocidad en kilogramos.

F M L T[ ] = ⋅ ⋅ −2

F m a m vt

mltt

m lt

m l t= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅2

2-

v L T[ ] = ⋅ −1

1. La expresión de la energía cinética es y la de la energía potencial Ep=m·g·h. Halla

la ecuación de dimensiones de ambas y comprueba que en los dos casos se obtiene el mismo

resultado.

2. El teorema del impulso mecánico, que estudiaremos en la Unidad 3, se expresa matemática-

mente como . Comprueba que esta expresión es dimensionalmente correcta.F t m v⋅ = ⋅ Δ

E m vc = ⋅1

2

2

A c t i v i d a d e s

o b ` r b o a^

T Una magnitud física es toda propiedad que se pueda medir.

T Las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales.

T Una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de la definición de una magnitud

derivada en función de las fundamentales.

18

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1UNIDAD

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales

Existen magnitudes como la masa, el tiempo o la energía en las que solamente necesitamos

conocer su valor numérico y la unidad en que se expresa para que estén perfectamente

determinadas, éstas son magnitudes escalares. También hay otras, llamadas magnitudesvectoriales, como la velocidad o la fuerza, que para determinarlas sin ambigüedad es necesario

conocer no solamente su valor numérico, sino también su dirección y su sentido.

Estas magnitudes se escriben colocando una flecha encima de la letra que las identifica y

se representan gráficamente por un vector que es un segmento orientado en el que hay que considerar

el origen, la dirección, el sentido y el módulo o longitud.

Cuando hacemos referencia al módulo de un vector, se escribe entre dos barras verticales .

Habitualmente, los vectores se representan en un sistema de coordenadas cartesianas que

se compone de dos ejes perpendiculares entre sí cuando la representación se realiza en un plano

(dos dimensiones) o de tres ejes cuando se tienen en cuenta las tres dimensiones del espacio.

En este sistema un vector se caracteriza por sus componentes cartesianas que son las proyecciones

del extremo del vector sobre los ejes cartesianos.

Para facilitar la expresión matemática de un vector se utilizan los vectores unitarios

que son vectores cuya longitud es la unidad y su dirección la correspondiente a los ejes X, Y y

Z respectivamente. De este modo, un vector cuyas componentes cartesianas son Ax, Ay, Az, se

expresa:

r r r rA A i A j A kx y z= + +

( , , )

r r ri j k

rA

origen sentido

dirección

módulo

Fígura 1: Elementos de un vector

( )

rA

X

YA

Ax

Ay

j

Fígura 2: Representación de un vector en dos

dimensiones

r r rA A i A jx y= +

B

xByB

zB

X

Yk

ji

Z

Fígura 3: Representación de un vector en tres

dimensiones

r r r rB B i B j B kx y x= + +

19

En la figura 2 podemos ver representado en el plano el vector , cuyas componentes son

Ax y Ay, de valor 3 y 4 respectivamente. Y en la figura 3, el vector , de componentes Bx = 2,

By =3 y Bz =5 representado en las tres dimensiones del espacio.

Es fácil demostrar, basándose en el teorema de Pitágoras, que el módulo de un vector en función

de sus componentes viene dado por la expresión:

2.3. Operaciones con vectores

Suma

a) Vectores con la misma dirección

Los dos vectores a sumar pueden tener el mismo sentido o el contrario. En el primer caso,

el resultado es otro vector con la misma dirección y el mismo sentido, cuyo módulo es

la suma de los módulos de los sumandos.

En el segundo caso, el resultado es un vector con la misma dirección, sentido el del mayor

de los sumandos y módulo la diferencia de los módulos.

b) Vectores con distinta dirección

Si el origen de un vector coincide con el extremo del otro, el resultado de la suma es

sencillamente otro vector que va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo.

Fígura 6: Suma de vectores con distinta dirección

rA

rB

r rA B+

rArB

rA A A Ax y z= + +2 2 2

Fígura 5: Suma de vectores con la misma dirección y sentido contrario

rB

r rA B+

rA

Fígura 4: Suma de vectores con la misma dirección y sentido

rB

r rA B+

rA

20

Si tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo que consiste en trazar por

el extremo de cada uno de ellos una paralela al otro formando un paralelogramo. La suma

de los dos vectores es otro vector que coincide con la diagonal del paralelogramo.

Analíticamente para sumar dos vectores se suman sus componentes. Por ejemplo, dados

los vectores y , el vector suma de ambos será:

Resta

Para restar un vector de otro, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. El vector

opuesto a uno dado es otro vector con la misma dirección, el mismo módulo y de sentido contrario.

Si queremos realizar la operación , en realidad lo que hacemos es .

Así pues la operación de restar es igual que la de sumar, una vez obtenido el vector opuesto

del sustraendo.

Fígura 7: Suma de vectores. Regla del paralelogramo

r rA B+

rB

rA

r r rC B A= −

r r rC B A= + −( )

Fígura 8: Vectores opuestos

rA −

rA

r r r rA B A B i A B jx x y y+ = + + +( ) ( )

r r rA A i A jx y= +

r r rB B i B jx y= +

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1UNIDAD

Dados los vectores de la figura:

a) Exprésalos analíticamente y realiza las operaciones y

b) Realiza gráficamente las operaciones anteriores.

c) Halla el módulo de y de

r rA B+

r rA B−

r rA B+

r rA B−

E j e m p l o

A B

X

Y

21

Producto de un vector por un escalar

El resultado es otro vector de la misma dirección, de módulo igual al producto del escalar por el

módulo del vector, y su sentido es el mismo si el escalar es positivo y el contrario si éste es negativo.

Analíticamente, el resultado es el de multiplicar por el escalar cada una de sus componentes.

Así, si queremos multiplicar el vector por el escalar c, el resultado será:

Producto escalar de dos vectores

Se representa por el signo “·” entre los dos vectores y el resultado es un escalar cuyo valor

es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman sus direcciones.

c A c A i c A j c A kx y z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r

rA

Fígura 9: Producto de un vector por un escalar

2

rA

rA −2

rA

Solución:

a) ; ; ;

b)

c) ;

r rA B+ = + =3 7 7 6

2 2

,

r rA B− = − + − =( ) ( ) ,7 1 7 1

2 2

A B

X

Y BA+

A B

X

Y

B-

BA--

-

r r r rA B i j− = − −7

r r r rA B i j+ = +3 7

r r rB i j= +5 4

r r rA i j= − +2 3

3. Dados los vectores y :

a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.

b) Halla gráfica y analíticamente los vectores y .

r rA B−

r rA B+

r r rB i j= −4 2

r r rA i j= + 3

A c t i v i d a d e s

22

También puede definirse como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro

sobre él. Si observamos la figura anterior podemos comprobar que la proyección de sobre

vale precisamente .

Analíticamente, el resultado se obtiene multiplicando sus componentes homólogas; así el

resultado de multiplicar será:

r rA B⋅

r rA B A B A B A Bx x y y z z⋅ = + +

A ⋅ cos α

rA

rB

Fígura 10: Producto escalar de dos vectores

r r r rA B A B⋅ = ⋅ ⋅ cos α

rA

rB

α

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1UNIDAD

Dados los vectores y :

a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.

b) Halla la expresión del vector

c) Realiza su producto escalar

d) ¿Qué ángulo forman entre sí?

Solución:

a)

b)

c)

d) Sabemos que ; despejando:

Nos falta por conocer y

rA

rB

r r r rA B A B⋅ = ⋅ ⋅ cos α cosα = ⋅

⋅

r r

r rA BA B

r rA B A B A B A Bx x y y z z⋅ = + + = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −4 3 6 4 5 4 32

r r r r r r r r rC A B i j k i j k= + ⋅ = + ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ = − +2 4 2 3 6 2 4 5 2 4 10 2 3( ) ( ) ( )

Y

Z

X

A

B

r rA B⋅

r r rC A B= + 2

r r r rA i j k= + −4 6 5

r r r rB i j k= − +3 4 4

E j e m p l oE j e m p l o