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CÍRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIÓN
UDA 6. Análisis de esfuerzos y deformación
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DEFORMACIÓN PLANA
Las deformaciones normal y cortante en un punto de un cuerpo varían con la
dirección, en forma análoga a la de los esfuerzos
En el plano xy pueden ocurrir tres componentes de deformación: la deformación
normal , y la deformación por cortante . Un elemento sometido a estas
deformaciones está en estado de deformación plana, y está definida por las
siguientes condiciones:
x y xy
000 yzxzz
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El incremento total en la longitud de la diagonal es:
La deformación normal , es igual al incremento en longitud, dividido entre la
longitud inicial de la diagonal ds, y como y , la deformación
plana será:
coscos dysendydxd xyyx
1x
cos/ dsdx sendsdy /
coscos 22
1sensen xyyxx
Para la deformación normal , se sustituye por .
1y 90
Las deformaciones , y en el plano xy producen un alargamiento del
elemento en la dirección x igual a , en y igual a y un acortamiento del
ángulo entre las caras x y y igual a .
x y xy
dxx dyy
xy
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Suponiendo que la línea Oa representa una línea en el material que
inicialmente estaba a lo largo del eje x1, y la línea Ob a lo largo del eje y1, las
deformaciones ocasionan que estas líneas giren un ángulo en sentido antihorario, y
un ángulo en sentido horario, respectivamente.
La deformación angular es igual a la reducción total en el ángulo de las líneas que
inicialmente formaban un ángulo recto:
11yx
11yx
donde los ángulos y son:
2cos)( sensen xyyx
2coscos)( xyyx sen
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por lo tanto, la deformación angular resulta la siguiente:
)(cos2
cos)(2
2211
sensenxy
yx
yx
Las ecuaciones de transformación para deformación plana, en términos del
ángulo 2, se obtienen sustituyendo identidades trigonométricas y son:
22
2cos221
senxyyxyx
x
2cos2
222
11 xyyxyxsen
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CÍRCULO DE MOHR
UDA 6. Análisis de esfuerzos y deformación
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El centro del círculo está en
El punto A representa las deformaciones asociadas con la dirección x (=0).
La deformación lineal máxima es 1, y la mínima es 2. Los sentidos de las
deformaciones lineales coinciden con los sentidos de los esfuerzos principales.
Como puede deducirse del círculo, la expresión analítica para las deformaciones
principales es:
donde el signo positivo antes del radical corresponde a 1 (deformación principal
máxima), el signo negativo a 2 (deformación principal mínima).
Los planos en que actúan las deformaciones principales se pueden definir
analíticamente a partir de la siguiente ecuación igualándola a cero:
2
yx
22
2222,1
xyyxyx
2cos2
222
11 xyyxyxsen
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Por lo tanto:
yx
xy
12tan
La mayor deformación por corte máx es igual a dos veces el radio del círculo, por
lo tanto:
La deformación angular mínima tiene la misma magnitud pero es negativa.
La suma de las deformaciones lineales en dos direcciones mutuamente
perpendiculares es invariante, esto es, 1 + 2 = x + y = cte.
22
222
xyyxmáx
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Ejemplo:
Un elemento sometido a deformación plana, tiene las siguientes deformaciones:
x= 340x10-6, y= 110x10-6, xy = 180x10-6
Calcular:
(a) Las deformaciones para un elemento girado 30°
(b) Las deformaciones principales
(c) Las deformaciones angulares máximas
Considerar únicamente las deformaciones en el plano-
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Ejemplo:
Un elemento sometido a deformación plana, tiene las siguientes deformaciones:
x= 340x10-6, y= 110x10-6, xy = 180x10-6
Calcular:
(a) Las deformaciones para un elemento girado 30°
(b) Las deformaciones principales
(c) Las deformaciones angulares máximas
Considerar únicamente las deformaciones en el plano-
6
66666
10360
602
10180º60cos
2
1011010340
2
1011010340
22
2cos22
1
1
x
senxxxxx
sen
x
xyyxyx
x
6
6
666
10110
10552
º60cos2
10180º60
2
1011010340
2cos2
222
11
11
11
x
x
xsen
xx
sen
yx
yx
xyyxyx
66 109010)360110340(1
11
11
xxy
xyxy
yxyx
(a)
Como la suma de las deformaciones lineales
en dos direcciones perpendiculares es
constante:
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6
2
6
1
66
26
26666
2,1
22
2,1
107910371
10146102252
10180
2
1011010340
2
1011010340
222
xx
xxxxxxx
xyyxyx
6
6
22
10292
10146222
x
x
máx
xyyxmáx
(b) Las deformaciones principales son:
(c) Las deformaciones angulares máximas
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Ley de Hooke Generalizada
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LEY DE HOOKE GENERALIZADA
INTRODUCCIÓN
Cuando un material elástico lineal es cargado axialmente
(unidimensional), el esfuerzo σ se relaciona con la
deformación unitaria ε mediante la propiedad del material:
σ = Eε
conocida como ley de Hooke, donde E es el modulo de
elasticidad del material. Así, para un caso unidimensional sólo
se requiere una propiedad para relacionar el esfuerzo y la
deformación para un material con comportamiento elástico.
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INTRODUCCIÓN
Para un caso tridimensional la ley de Hooke establece que
cada componente del tensor de esfuerzo es una funcion lineal
de los componentes del tensor de deformación:
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En realidad las ecuaciones anteriores no son una ley pero si una aproximación razonable para muchos materiales sujetos a peque-
ñas deformaciones.
Donde los 36 coeficientes , C11,..….…, C66 son llamados
coeficientes elásticos y caracterizan al material, sin embargo mediante
consideraciones de energía de deformación se demuestra que sólo 21 de
éstas constantes son independientes. Estos coeficientes deben obtenerse en
forma experimental. En general para un cuerpo, éstas dependen de la
temperatura, tiempo y localización.
Materiales que requieren 21 coeficientes elásticos independientes para la
relacion esfuerzo-deformación son llamados Anisotrópicos.
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Aplicando la primera ley de la termodinámica, se establece a un solido como VC
sometido a fuerzas externas, en ausencia de flujo de calor y despreciando cambios
en la energía cinética y potencial, se tiene :
δW = δU Donde δW es el trabajo realizado sobre el VC y δU el cambio
en la energía interna del VC.
δW = ∫ (σxδεx + σyδεy + σzδεz + 2σxyδεxy + 2σyzδεyz + 2σzxδεzx ) dV
U = ∫ Uo dV → δUo = ∫ δUodV , con Uo la densidad de energía interna.
De las dos ecuaciones anteriores y la 1ª ley de la Termodinámica se deduce:
δUo = σxδεx + σyδεy + σzδεz + 2σxyδεxy + 2σyzδεyz + 2σzxδεzx ... (1)
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Los esfuerzos estan relacionados con los componentes de deformacion, así la
densidad de energia interna puede ser expresada por las componentes del tensor
deformación:
Uo = Uo(εx, εy, εz, εxy, εyz, εzx)
δUo = (∂Uo/∂εx)δεx + (∂Uo/∂εy)δεy + (∂Uo/∂εz)δεz + (∂Uo/∂εxy)δεxy +
(∂Uo/∂εxz)δεxz + (∂Uo/∂εyz)δεyz ... (2)
... (3)
Comparando la ecuacion(2) con la (1) se obtiene:
∂εxy ∂εxz ∂εyz
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Comparando las (3) con la ley de Hooke para un material anisotrópico se tiene:
∂Uo/∂εy = σy = C21 εx + C22εy + C23εz + C24γxy + C25γxz + C26γyz
Ahora, aplicando una diferenciación apropiada a las ecuaciones anteriores
Estas ecuaciones muestran que los
coeficientes elásticos Cij = Cji son
simétricos en los subíndices i.j. Por lo
tanto, hay únicamente 21 constantes
diferentes.
... (4)
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Uo = ½C11εx² + ½C12εxεy + ... + ½C16εxγyz + ½C12εxεy + ½C22εy² + ... + ½C26εyγyz
+ ½C13εxεz + ......... + ½C16εxγyz + ½C26εyγyz + ...+ ½C66γyz
Resolviendo las ecuaciones (4) se llega a que la densidad de energía de deformación es:
... (5)
Ley de Hooke Generalizada
Dado que las componentes del esfuerzo y de la deformación dependen de la elección
del sistema coordenado, las constantes elásticas también.
Un material isotrópico tiene en un punto dado las mismas propiedades en cualquier
dirección (propiedades son invariantes a una rotación del sistema coordenado).
Si el material es homogéneo entonces sus propiedades son idénticas en cualquier
punto del cuerpo (propiedades son invariantes a una translación del sistema
coordenado).
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Para un material elástico isotrópico, la densidad de energía de deformación depende
únicamente de las deformaciones principales:
Uo = ½C11ε1² + ½C12ε1ε2 + ½C13ε1ε3 +½C12ε1ε2 + ½C22ε2² + ½C23ε2ε3 +
+ ½C13ε1ε3 + ½ C23ε2ε3 + ½C33ε3² ... (6)
Por simetría, la dirección de los ejes principales es arbitraria, por lo que :
C11 = C22 = C33 = CI y C12 = C23 = C13 = λ.
Por lo que la densidad de energía de deformación es:
Uo = ½λ ( ε1 + ε2 + ε3 )² + G( ε1² + ε2² + ε3² ) ... (7)
Con G = (CI − λ )/ 2 ; con λ y G llamados los coeficientes elásticos de Lamé.
Mediante el uso de los invariantes de deformación se obtiene la densidad de energía de
deformación expresada en coordenadas cartesianas:
Uo = ½λ ( εx + εy + εz )² + G( εx² + εy² + ε3z² + 2εxy² + 2εxz² + 2εyz² ) ... (8)
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Mediante la ecuación (7) y la (3) se llegan alas ecuaciones de la Ley de Hooke
generalizada:
Con υ la relación de Poisson. Se cumplen las siguientes relaciones:
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En forma inversa se tiene:
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Ley de Hooke De acuerdo con el concepto básico
de la ley de hooke, existe una relación
lineal entre el esfuerzo aplicado y la
deformación unitaria resultante.
Durante este proceso tiene lugar una contracción o una
expansión lateral del cuerpo .
La magnitud de la deformación lateral es formulada analíticamente
usando la razón de Poisson.
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Ley Generalizada de Hooke
Si el material en un punto se somete a un estado de esfuerzo triaxial, sx, sy, sz, en el material se desarrollan deformaciones normales
asociadas x, y, z.
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Los esfuerzos se pueden relacionar con las deformaciones mediante el principio de superposición, la razón de poisson y la ley de hooke.
Para demostrar cómo se hace esto, primero se considerará la deformación normal del elemento en la dirección x.
Cuando se aplica sx, el elemento de alarga en la dirección x y la deformación ´x en esta dirección es
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La aplicación de sy, provoca que el elemento se contraiga con una deformación ´´x en la dirección x. En este caso
Asimismo, la aplicación de sz,
provoca que una contracción
en la dirección x de tal modo que:
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Si ahora se aplica un esfuerzo cortante t xy al elemento, observaciones experimentales indican que el material se deformará sólo debido a la
deformación cortante xy; esto es, txy no inducirá otras deformaciones en el material.
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Asimismo, tyz y tzx sólo provocarán las deformaciones cortantes yz y zx, respectivamente.
Por consiguiente la ley de Hooke para esfuerzo cortante y deformación cortante se puede escribir como sigue
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Esfuerzo Plano Requisitos :
• Cuerpo plano.
• Espesor delgado ( t < Lmin /10 ).
• Sometido a carga plana sobre su borde.
, εz
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Tensor de
Esfuerzo
Tensor de
Deformación
Esfuerzo Plano
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Deformación Plana Requisitos :
• Cuerpo plano largo.
• Sección transversal uniforme.
• Sometido a carga transversal a lo
largo de toda su longitud axial.
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Tensor de Esfuerzo
Tensor de Deformación
Deformación Plana
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Si un cuerpo hecho de un material isotrópico linealmente elástico
esta sometido a un cambio de temperatura ΔT junto con los esfuerzos, la ecuaciones de la ley de Hooke generalizada se convierten
Para el caso de materiales isotrópicos un cambio de temperatura no genera deformaciones angulares.
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Ejemplo 1:
El estado de deformación en el punto A de la ménsula mostrada en la figura (a) se mide por medio de la roseta de deformación ilustrada en la figura (b). Debido a las
cargas, las lecturas dan a=60(10-6), b=135(10-6) , c=264(10-6).
Determine: 1.- Las deformaciones principales
2.- Los esfuerzos principales
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Solución I:
Donde a=0º, b=60º y c=120º
El valor de la deformación unitaria en una dirección con cosenos directores (l, m, n)
respecto al sistema XYZ es : M = l²εx + m²εx + n²εx + lmγxy + lnγxz + mnγxy
* Los cosenos directores para cada dirección son :
εa: (cosθa, senθa, 0) ; εb: (cosθb, senθb, 0) ; εc: (cosθc, senθc, 0)
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Utilizando la ec(1) y resolviendo las ecuaciones (2) y (3) simultáneamente,
se obtiene
Las deformaciones principales en el plano se pueden determinar con el círculo de Mohr. El punto de referencia es A(60(10-6), -74.5(10-6)) y el centro C
del círculo, se localiza en prom = 153(10-6).
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Las deformaciones Principales en el plano son, por tanto
El radio es:
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Aplicando la ley de Hooke generalizada para un estado de
esfuerzo plano.
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente se obtiene
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El problema también se puede resolver valiéndose del estado de
deformación dado.
Solución II:
Aplicando la ley de Hooke generalizada en el plano x-y, se obtiene
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El esfuerzo cortante se calcula mediante la aplicación de la ley de
Hooke para cortante.
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El círculo de Mohr para este estado de esfuerzo plano tiene un
punto de referencia A ( 29.4MPa, -11.46Mpa ) y el centro en
sprom=43.7. El radio se determina a partir del triángulo sombreado
Por consiguiente,
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Ejemplo 2:
La barra de cobre mostrada en la figura se somete a una carga uniforme a lo largo de sus bordes como se muestra. Si tiene una longitud a = 300 mm, ancho b = 50 mm y espesor t = 20 mm antes de la aplicación de la carga, determine sus nuevas dimensiones al cabo de la aplicación de la carga. Considere Ecu = 120 GPa, vcu=0.34
x
y
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Se ve que la barra esta sometida a un esfuerzo plano. Por la
carga se tiene
Las deformaciones normales asociadas se determinan mediante la ley
generalizada de Hooke
Solución :
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Por consiguiente, las nuevas dimensiones de la barra son
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Una clase importante de materiales, llamados ortotrópicos, la
madera, plásticos laminados, acero cold rolled, concreto
reforzado, varios materiales compuestos unidireccionales
reforzados con fibras y materiales forjados pueden ser
tratados como ortotrópicos . Los materiales ortotrópicos
tienen tres planos mutuamente perpendiculares de simetría
elástica. Denotaremos con 1, 2 y 3 los ejes principales del
material que son normales a los planos de simetría.
Materiales Ortotrópicos
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Por ejemplo, la figura muestra una sección transversal de un árbol, en el
que 1 es el eje a lo largo de las fibras de madera (grano), 2 es el eje
tangencial a los anillos anulares y 3 es el eje a lo largo de la dirección
radial.
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La ley de Hooke generalizada, referida al sistema coordenado
1, 2 y 3 puede escribirse como
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Donde E1, E2 y E3 son los módulos de Young a lo largo de los ejes
principales del material;
V 12 es la razón de Poisson que caracteriza el decremento en la
dimensión 2 al aplicar una tensión en la dirección 1; V 21 es la
razón de Poisson que caracteriza el decremento en la dirección 1
debido a una tensión aplicada en la dirección 2, etc;
G23, G13, G12 son los módulos cortantes que caracterizan los
cambios en los ángulos entre las direcciones principales 2 y 3,
1 y 3 y 1 y 2, respectivamente.
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Esfuerzo Plano
Consideraremos un cuerpo delgado que se encuentra en el plano 1, 2.
En materiales Ortotrópicos
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