CTARIT-4S-IIIP

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4º SECUNDARIA – III PERIODO - 2008

V. DIVISIVILIDAD DE UN NÚMERO

1. DEFINICIÓN:

Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta.

A B donde : K Z

0 K A = BK

Se lee :

A “es divisible por” B B “es divisible de“ A B “divide a“ A

También :

A “es múltiplo de” BB “es factor de” A

Notación : A =

2. OBSERVACIONES :

a) El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.

b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número.

c) Todo número es divisor de la unidad.

d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros.

e) Un número negativo puede ser múltiple de otro positivo.

3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de no serlo nos dará a conocer el residuo.

3.1 DIVISIBILIDAD POR 2Cuando termina en cero o cifra.

N = c = cero o par.

3.2 DIVISIBILIDAD POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

N = a + b + c =

3.3 DIVISIBILIDAD POR 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

N =

3.4 DIVISIBILIDAD POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco.

N = d = 0 v 5

3.5 DIVISIBILIDAD POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3.

N =

3.6 DIVISIBILIDAD POR 7

3 1-2 -3-1 2 3 1

h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a =

3.7 DIVISIBILIDAD POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8.

N =

3.8 DIVISIBILIDAD POR 9

Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

N = a + b + c =

3.9 DIVISIBILIDAD POR 11 Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11.

N =

- + - + - +

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la siguiente sucesión cuantos números múltiplos de 5 existen.

2; 5; 7; 10; 12; 15; 25; . . . 50

Solución :

5; 10; 15; 20; 25; . . . 50

Factorizando 5

5(1; 2; 3; 4; 5; . . ; 10)

Existen 10 números.

2. Sea : A = {3436; }

Cuantos múltiplos de 4 existen.

Solución :

3436 =

= porque 48 =

= porque 28 =

porque 50

Existen 3 números

3.

4. De los 100 primeros números naturales cuantos múltiplos de 7 existen.

Solución :

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; . .. ; 100

: 7; 14; 21; 28; 35; . . . 98

7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14

Existen 14 números

5. Si : = ; halla “a”

Solución :

Se sabe que :

4a – (4 + 3 + 2 + 1) =

4a – 10 =

4a = + 10

a = + 8 a = 8

6. Cuántos números múltiplo de 4 existen en los 200 primeros números naturales.

Solución :

1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . 198; 199; 200

: 4; 8; 12; 16; 20; . . . 200

4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50

Existen 50 números.

7. Del siguiente conjunto :

A =

Cuántos múltiplos de 5 existen.

Solución :

porque termina en 0.

91



porque termina en 5

porque termina en 5

Existen 3 números.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 06

1).- ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 12?a) 71 b) 72 c) 73 d) 74 e) 75

2).- ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 35? a) 26 b) 28 c) 31 d) 29 e) 27

3).- ¿Cuántos números de la forma

existen que sean ?

a) 15 b) 17 c) 13 d) 18 e) 16

4).- Halla el mínimo valor de “b”

=

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

5).- Halla el mínimo valor de “b”

=

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

6).- Halla el valor de “a”max

a) 1 b) 4 c) 7 d) 9 e) 8

7).- Halla “b” máximo

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 9

8).- Halla (a+b) mínimo:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12

9).- Halla (amínimo + bmáximo)

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10).- Un comerciante cuenta las botellas que tiene de 12 en 12; de 10 en 10; y de 15 en 15, sobrando siempre 7 botellas. Calcular la cantidad de botellas, si es mayor que 400 y menor que 440. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e)16

11).- Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 14?

a) 61 b) 62 c) 63 d) 64 e) 65

12).- El número de vacantes de cierta universidad está comprendida entre 3500 y 3700. Hallar el número sabiendo que si se cuenta de 8 en 8, de 6 en 6 de 5 en 5, siempre sobran 2.

a) 3609 b) 3501 c) 3602 d) 360 e) 3700

13).- Si: . ¿Cuántos valores puede tomar “a”?

a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 1

14).- Sabiendo que el número x y97 es divisible por 88. Hallar (x + y)

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

15).- Sabiendo que el número es múltiplo de 8. Hallar el valor de “x”.

a) 1 b) 2 d) 3 d) 4 e) 5

16).- Halla el menor número de la forma

7a361b para que sea divisible entre 55. Dar la suma de sus cifras

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

17).- Calcula el valor de:(x+y), si se conoce que: 3 42 56x y ma) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 4

18).- Calcula “a + b”, si

a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8

19).- Calcula “x”, si

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

20).- Si :

Halla : a+b

a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10

21).- Determina el valor de “a”; si es divisible entre 72.

a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2

22).- Si el costo de 12 manzanas es de tres soles calcule el menor costo de cierto numero de manzanas que agrupadas de 24, 15 y 18 siempre sobran 12.a) 61 b) 92 c) 63 d) 93 e) 95

23).- Tenemos que: . Hallar la

suma de todos los valores de “b”

a) 1 b) 6 c) 9 d) 8 e) 5

24).- Si se sabe : . ¿cuántos

valores puede tomar “b”?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

25).- En un barco donde viajaban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes se observa que la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados.¿Cuantos murieron?.

a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

26).- En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

27).- Un granjero compró pavos, patos y pollos, cada pavo costó 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo 5 soles. Si compró en total 100 animales con 1000 soles. ¿Cuántos pollos compró?.

a) 50 b) 10 c) 85d) 90 e) 70

28).- Hallar el menor número N tal que:

N= + 3 y 4N= + 13

a) 59 b) 45 c) 46d) 52 e) 31

29).- ¿Cuántos valores puede tomar “a” sí N es múltiplo de 9?.

N =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30).- Hallar un número capicúa de 3 cifras sabiendo que es múltiplo de 7 y al agregar

92



3 unidades a este número se convierte en múltiplo de 5 y al restarle 3 unidades al número original se convierte en múltiplo de 2. dar como respuesta la cifra de las decenas.

a) 2 b) 0 c) toma 2 valoresd) 7 e) 6

31).- En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes.¿Cuántos hombres no usan lentes?

a) 22 b) 28 c) 2d) 20 e) 4

32).- Si : = , ¿Cuántos valore puede

tener “a”?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

33).- Hallar “x” para que :,

sea divisible por 11

a) 7 b) 1 c) 0d) 6 e) 5

34).- Hallar : a + b -c

si: = y =

a) 6 b) 9 c) 7

d) 5 e) 8

CLAVES DE RESPUESTAS

1) e 2) a 3) b 4) b 5) e

6) c 7) d 8) b 9) d 10) b

11) d 12) c 13) c 14) c 15) b

16) a 17) c 18) b 19) b 20) d

21) e 22) d 23) d 24) d 25) b

26) d 27)d 28) d 29) c 30) c

31) d 32)b 33) e 34) e

VI. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

1. DEFINICIÓN

Número primo o primo absoluto, es aquel que solamente tiene 2 divisores, la unidad y si mismo. El menor y único número par primo es el 2, lo únicos números consecutivos que son primos absolutos son el 2 y el 3.La siguiente es la sucesión de los números primos.

2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . .

2. CLASIFICACI ÓN

2.1. NÚMERO SIMPLE .- Un número simple es el que tiene no más de dos divisores. Son números simples la unidad y los números primos.

2.2. NÚMERO COMPUESTO .- Es el que tiene mas de dos divisores, la siguiente es la sucesión de los números compuestos:

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . .

2.3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ, COPRIMOS O PRIMOS RELATIVOS (PESI)Dos o más números son primos entre si (PESI). Cuando no tienen otro divisor común que la unidad, aunque cada uno separadamente no sea primo.Ejemplo :

a. 11; 12 y 15b. 10; 8 y 9

2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICATodo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

Ejemplo :144 = 24 . 32

En general :

Sea : N = A . B . C

Donde : A, B y C son números primosSe cumple lo siguiente :

2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D(N)]

D(N) = ( + 1) ( + 1) (+1)

2.4.2 SUMA DE DIVISORES [SD(N)]

SD(N) =

2.4.3 SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES [SID(N)]

SID(N) =

2.4.4 PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO [PD(N)]

PD(N) =

2.4.5 INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER [(N)]

Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él.

Sea : “N” un número compuesto. N = A . B . C . . . . . . (D.C)

Se calcula :

(N) = A-1 (A-1) . B-1(B-1) . C-1(C-1)

PROBLEMAS RESUELTOS

93



1) Si : 25 x 15 tiene 24 divisores . Halla el valor de .Solución :

N = 25 . 15 = 52 . (3 . 5) = 5 . 3 . 5

N = 3 . 5+2

D(N) = (+1)(+2+1)=(+1)(+3)

Dato :

D(N) = 24

(+1)(+3) = 24

(+1)(+3) = 4 x 6

Por identificación de factores.

= 3

2) Halla el producto de divisores del número : 152 x 213

Solución :

N = 152 . 213

N = (3 . 5)2 . (3.7)3

N = 32 . 52 . 33 . 73

N = 35 . 52 . 73 (D.C)

D(N) = (5+1) (2+1) (43+1) = 72

PD(N) = (152 . 213)

PD(N) = (152 . 213)36 = 1572. 21108

3) Si : 122n tiene 63 divisores más que 12n. Halla “n”

Solución :

122n = 24n . 32n D(N) = (4n+1) (2n+1)

12n = 22n . 3n D(12n) = (2n+1)(n+1)

Restando :

D(122n) – D(12n) = (2n + 1) (3n) = 63

(2n+1)n = 7 . 3

n = 3

4) Calcula el indicador de 980.Solución :

980 = 22 . 72 . 5

(980) = 25(2-1) (7) (7.1)50(5-1)

(980) = 2 . 1 . 7 . 6 . 1 . 4

(980) = 336

5) Halla el valor de “x” si N = 6 . 8x

tiene 16 divisores.Solución :

N = (2 . 3) . (23)x

N = 2 . 3 . 23x

N = 23x+1 . 3

D(N) = (3x+2) (1+1) = (3x+2) (2)

Dato : D(N) = 16

(3x+2)(2) = 16

3x+2=8

x = 2

6) Cuántos divisores de 1176 tienen 2 cifras.Solución :

1176 2 1176 = 23 x 3 x 72

588 2 294 2 1 1 1 147 3 2 3 7 49 7 4 49 7 7 8 1

Elaborando la tabla de divisores

1 2 4 8

3 6 12 24

7 14 28 56

21 42 84 168

49 98 196 392

Los divisores de 1176 que tiene 2 cifras son 10.


1) .- Sea el número :N= 32x5x7x112

¿Cuántos divisores tiene N?

a) 4 b) 9 c) 18 d) 36 e) 48

2).- ¿Cuantos divisores posee 231000?

a) 124 b) 125 c) 128d) 127 e) 118

3) .- Sea el número :N= 23x3x55

¿Cuántos divisores tiene N?

a) 12 b) 48 c) 40 d) 35 e) 54

4).- ¿Cuántos divisores tiene el número 914760?

a) 182 b) 178 c) 194d) 196 e) 192

5).-¿Cuántos divisores compuestos tiene 3872?

a) 14 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

6).- ¿Cuántos divisores menos tiene el numero 360 que el número 1800?

a) 12 b) 24 c) 6d) 10 e) 5

7).- ¿Cuántos divisores más tiene 1203 que 643?

a) 47 b) 59 c) 63d) 141 e) 99

8).- Entre los números: 180; 756; y 900, ¿Cuál es el que tiene tantos divisores como 360?

a) 900 b) ninguno c) 180d) 756 e) todos

9) .- Si : N= 2nx34 tiene 35 divisores. Halla “n”.

a) 5 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6

10).-Si : 25 x 15 tiene 24 divisores . Halla el valor de .

a) 5 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6

11).- Determina el valor de “n”; si M= 12x15n

tiene 60 divisores.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12).-Halla el valor de “x” si N = 6 . 8x tiene 16 divisores.

a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 10

13).- Halla “n”, si M= 77x9n tiene 60 divisores.

a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 3

94



14).- Si: N=15x30n tiene 294 divisores. Hallar “n”.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

15).- Si P = 21n-3 tiene 169 divisores. Hallar “n”

a) 14 b)16 c) 11 d) 17 e) 15

16).- Si P =

tiene 114 divisores compuestos hallar “n”

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

17).- Diga Ud. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en bases 7?

13(7); 31(7); 61(7); 25(7)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

18).- Si : 122n tiene 63 divisores más que 12n. Halla “n”

a) 6 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

19).- Halla “x” si : N = 6 x 162x tiene 40 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

20).- ¿Cuántos ceros debe tener?N = 2000 . . . 00

Para que el resultado tenga 56 divisores?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

21).- Sea N=3yx5z, al dividir N entre 3 se suprimen 6 divisores, al dividir N entre 5 se suprimen 4 divisores. Halla y +z.

a) 10 b) 6 c) 8d) 5 e) 7

22).- La suma de las inversas de todos los divisores de 360 es:

a) 2.2 b) 2.8 c) 2.1d) 2.5 e) 3.25

23).- ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 11?

13(11); 31(11); 61(11); 29(11)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

24).- Halla el valor de “n” si el número de divisores de : P = 3 x 21n sea 2/3 del número de divisores de : Q = 98n.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

25).- Si : 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcula “x”.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7

26).- Si : N = 13k+2 – 13k tiene 75 divisores compuestos. Halla “k”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

27).- Cual es el menor número por el que se debe multiplicar a 648 para obtener 40 divisores.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 16 e) 12

28).- si : P = 72 x 72 x 72 x . . . x 72

“n” factoresHalla “n” para que “P” tenga 176 divisores.

a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7

29).- Si: E = 10.102.103...10n tiene 2116 divisores. Halla el valor de “2n”

a) 16 b) 19 c) 18

d) 12 e) 15

30).- Determina el valor de x2 si el número :16x . 53x posee 130 divisores.

a) 3 b) 16 c) 9 d) 25 e) 49

31).- Si : 300n tiene igual cantidad de divisores que 16 x 90n. Halla el valor de “n”.

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 4

32).- Si : N = 52p + 52p+1 + 52p+2+ 52p+3

tiene 156 divisores. Halla “P”.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9

33).- Halla un número primo mayor que 3 tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido entre 8, da como cociente un número primo.

a) 13 b) 11 c) 5d) 7 e) 17

34).- Halla el valor de “n” si se sabe que el número 1960n, tiene 105 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

35).- Si : P = 4 – 4-2 tiene 60 divisores. Halla el valor de “”

a) 8 b) 6 c) 7d) 3 e) 9

36).- Al multiplicar N por 27 su número de divisores aumenta en 90.

N = 16 x 5

Halla

a) 3 b) 4 c) 6d) 5 e) 7


1) d 2) c 3) b 4) e 5) c

6) a 7) d 8) d 9) e 10) d

11) c 12) a 13) c 14) c 15) e

16) b 17) c 18) b 19) a 20) c

21) c 22) e 23) c 24) c 25) b

26) c 27) a 28) d 29) c 30) c

31) e 32) c 33) c 34) a 35) e

36) d

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VII. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.):

El Máximo Común Divisor de 2 ó más polinomios es otro que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes afectados por sus menores exponentes.

2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) :

El Mínimo Común Múltiplo de 2 ó más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios, y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados por sus mayores exponentes.

Ejemplo: Halla el M.C.M y M.C.D de los polinomios:

A(x) = (x+3)4(x2+1)6 (x-2)2(x+7)6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x-2)4(x+5)6

C(x) = (x+5)4(x2+1)2(x-2)3(x+3)3

Rpta : Como ya están factorizados el:

M.C.D . (A,B,C) = (x2 + 1)2 (x-2)2

M.C.M.(A,B,C)=(x2 + 1)6 (x-2)4 (x+3)4

(x+7)6(x+5)6

PROPIEDAD:

Sólo para 2 polinomios: A(x), B(X)Se cumple:M.C.D.(A, B) . M.C.M.(A, B)= A(x) . B(x)

3. FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Una fracción algebraica se obtiene como la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomio no constante.

Denotado :

Donde:N(x) : polinomio numerador (no nulo).D(x) : polinomio denominador (no constante).Ejm :

SIGNOS DE UNA FRACCIÓN: a) Signo del Numerador : +b) Signo del Denominador : -c) Signo de la Fracción propiamente

dicha : -

F =

Observaciones:Si intercambiamos un par de signos por un mismo signo el valor de la fracción no se altera en el ejemplo anterior, es decir:

F =

También:

Ejm : Suma: x y

S =

S =

REGLA PARA SIMPLIFICAR FRACCIONES:

Debemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes.Ejemplo:

Simplifica:

F =

Solución:Factorizando y simplificando

F =

4. OPERACIONES CON FRACCIONES:

4.1. ADICIÓN O SUSTRACCIÓN:

Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores. Se presentan los siguientes casos:

Para Fracciones Homogéneas:Ejm :

Para Fracciones HeterogéneasEjm :

Para 2 Fracciones:Regla práctica:

4.2. MULTIPLICACIÓN: En este caso se multiplica numeradores entre si y lo mismo se hace con los denominadores. Antes de efectuar la operación puede Simplificase cualquier numerador con cualquier denominador.Ejm :

4.3. DIVISIÓN: En este caso se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios.Ejm :

. . . invirtiendo

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Halla el MCD y MCM entre:A = x4 – 2x2 + 1B = x4 – 1

Solución:A = x4 – 2x2 + 1 = (x2 – 1)2

= (x+1)2(x-1)2

B = (x4–1) = (x2+1) (x2 –1) = (x2+1) (x+1)(x-1)

Luego :

MCD (A : B) = (x+1) (x-1)

MCM (A:B) = (x2 + 1) (x+1)2(x-1)2

2) Simplifica:

Solución:Factorizando

96



3) Simplifica:

Solución: Factorizando tenemos:

4) Simplifica:

Solución:

Factorizando:

x2(x+3)

5) Simplifica:

T + 16

esSolución:

Factorizamos :

(16x2 + 16x – 12)2 = 42(4x2 + 4x – 3)

16(4x2 + 4x – 3) = 16(2x+3)2 (2x-1)2

Luego :4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

T =

T = 16(2x - 16) = 32x – 16

T + 16 = 32x – 16 + 16 = 32x

6) Simplifica: C =

Luego: C – 3x es

Solución: C= =

C = 3x + 3Luego :C- 3x = 3x + 3 - 3x = 3

7) Simplifica: H =

Entonces: H – 4 es

Solución:

H=

H = 4 + 4 x + 4x2

4 + 4 + 4x2 - 4 - 4 x

4x2


I. Halla el M.C.M. , M.C.D., de: (1 pt. c/u)

1) x2 – 9 y x2 – 15x + 36

.......................................................

2) x2 –1 y x3 + 1

.......................................................

3) x4 – 2x2 + 1 y x4 – 1

.......................................................

4) m2 + 2m – 15 y m3 + 125

.......................................................

II. Simplifica las siguientes fracciones:

1) Simplifica:

a) x+4 b) x-4 c) x+2d) x-2 e) N.A

2) Simplifica:

a) b) c)

d) e) N.A

3) Simplifica:

a) b) c)

d) e) N.A

4) Simplifica:

a) b)

c) d)

e) N.A

5) Simplifica:

a) b)

c) d)

e) N.A

6) Simplifica:

a) 2(x+2) b) 2(x2-4)c) x - d) 2(x - ) e) 5x

7) Simplifica:

C = ; E = x2 – 16x + 64

Entonces: C – E, es:

a) 0 b) x2 c) 1d) –x2 e) 3

8) Si: K = ; M = -(x2 + 1)

Entonces: K + M es

a) –x b) x c) –2xd) 2x e) 5

9) Si: F = ; S = x2(x - 5)

97



Luego, F + S es

a) x3 + 1 b) 2x3

c) 2x3 – 1 d) 3x2 – 2 e) 1

10) Si: N =

L = 5(x-1)

N + L es:

a) 4x – 9 b) 2x –6 c) 3x + 8d) 5x –1 e) 4x - 5

11) Si: J = 8 ; halla “x” donde

J=

a) 12 b) 10 c) 11 d) 15 e) N.A

12) Si: H =14; halla “x”, donde:

H =

a) –5 b) 3 c) –6 d) 5 e) 2

13) Halla el M.C.D. de:P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1Q(x) = x3 + x2 - x -1

a) x + 1 b) (x + 1)2

c) (x + 1)3 d) x - 1 e) x - 2

14) Halla el M.C.M. de: P(x) = x3 - 5x2 - x + 5Q(x) = x4 + 4x3 - 4x – 1

a) (x-5)(x2+4x+1) b) x2 - 1c) x2 + 1 d) x2+4x+1 e) x - 5

15) Halla la suma de los F.P. del M.C.D de: P(x,y) -= x3- xy2 + x2y - y3

Q(x,y) = x4 - 2x2y2 + y4

a) x b) y c) 2x +2yd) 2x e) 2y

16) Halla el M.C.D. de:P(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) (x - 4) + 24Q(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8

a) x2 - x - 6 b) x2 - x - 8c) x - 3 d) x - 2 e) x + 2

17) Simplifica:

a) x2 + 1 b)

c) d) e)

18) Simplifica:

a) 0 b) 1 c) 2 d) a e) ab

19) Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3 d) xy e) x/y

20) Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 2xd) 2x + 1 e) x – 1

21) Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

22) Simplifica:

a) x + 2 b) x - 2 c) x2 + 1d) x2 e) x2 + 2

23) Simplifica:

a) x + 1 b) x – 1 c)

d) e) x/2

24) Simplifica:

a) 1 b) -2 c) 2 d) -1 e) 3x

25) Simplifica:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

26) Simplifica:

a) x + 1 b) x - 2 c) x - 2 x - 2 x + 1 x – 1

d) x - 1 e) x - 1 x - 2 x – 2

27) Halla el número de F.P. del M.C.M. de: P(x) = x3 - 5x2 - x + 5 Q(x) = x4 + 4x3 - 4x –1

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

28) Halla la suma de los F.P. del M.C.M. de:P(x,y) = x3- xy2+x2y - y3

Q(x,y) = x4 - 2x2y2 + y4

a) x b) y c) 2y d) 2x e) 0

29) Simplifica:

a) b)

c) d) e)

30) Halla el MCD de:A = 2x3 - 5x2 + 4x - 4B = 2x3 - 3x2 + 3x – 2

a) x – 2 b) 2x2 – x + 2c) (x - 1)(x - 2)d) (x - 1)(2x2 – x + 2) e) (x - 1)

31) Reduce:

M =

a) xn + 1 b) x2n + 1c) x2n + 2 d) x2n – 1 e) x2n - 2

32) Si:

indica: (A + B + C)a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

33) Simplifica:

E=

a) 2x b) 4x2 c) x d) –x e) 1

CLAVES DE RESPUESTAS1) b 2) d 3) b4) b 5) d 6) d7) a 8) d 9) b10)a 11)b 12)c13)b 14)a 15)d16)e 17)d 18)a19)a 20)a 21)c22)e 23)c 24)d25)b 26)a 27)a28)d 29)a 30)b31)c 32)a 33)c

98



VIII. BINOMIO DE NEWTON

1. FACTORIAL Factorial de un Número Natural.Se define como el producto que se obtiene de multiplicar todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta n.

N! = 1 x 2 x 3 ….x (n-1).(n) ,n N, n > 1

* Obs. 1! = 1 0! = 1

Notación:

n! ; n ; n

Propiedades:

n! = (n – 1)!n , n > 1

n! = 1 n = 1 v n = 0

2. NÚMERO COMBINATORIO:

1.1. Definición :Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.

; donde n, k N

n ≥ k ≥ 0

1.2. Notación:

1.3. Regla Práctica:

Ejm:

1.4. Propiedades : Combinatorios Complementarios:

Teorema :

Si :

1.5. Degradación de Índices:

a) Ambos Índices:

b) Sólo el Superior:

c) Sólo el Inferior:

1.6. SUMA DE COMBINATORIOS:

PROBLEMAS RESUELTOS

1) - Reduce:

Solución:

E =

E =

2).- Reduce:

Solución:

Pero:

Luego :

E =

E = 3

3).- Reduce: EC C C

C C C

1222

1322

1422

721

821

921

2

2Solución:

E = 2,4

4).- Determina el valor de:

S =

Solución:

S =

S = 15 + 20 + 15

S = 50

5).- Halla “A” y da como respuesta la suma de sus cifras.

A =

Solución:A =

A =

A = = 53

99



A = 125

6).- Reduce:

E =

Solución:

E =

E =

E = 2

7).- Halla el valor de “x”, si :

Además . x =

Solución:

20a! + 120 = a!2 + a!

Luego :a!2 – 19!a – 120 = 0a! -24a! +5a! = 24 a! = 5 no es posiblea! = 4!a = 4

Además :

x = =

20

x = 20

8).- Halla “x” en:

x! + 5 -

Solución:

x! + 5 =

(x! + 5) (x! – 5) = 22(x! + 1) + 1x!2 - 25 = 22x! + 23x!2 – 22x! – 48 = 0x! -24x! +2

(x! – 24) (x! + 2)

x! = -2 no es posible.

x! = 24

x! = 4! x = 4


1).- Calcula “n”, si (n+1)! – 7!n = n!

a)0 b) 7 c) 5d) 6 e) N.A.

2).- Halla “x”, si = 5!

a)2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3).- Si: 3 x 6 x 9 x 12 x . . . x 45 = 3k (q!)halla: “k + q”

a)10 b) 20 c) 30d) 400 e) 150

4).- Calcula el valor de “n”, si:

si:

a)-4 b) 5 ó –4 c) 5d) 4 e) 4 ó 5

5).- Al reducir, se obtiene:

a)1/2 b) 10 c) 7/6d) 40 e) 50

6).- Al efectuar:

a)1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 8 e) 1

7).- Reduce:

a)2 b) 5 c) d) 4 e) 8

8).- Calcula el valor de “n”.

Si: =(3!+1!)(0!+2!)(4!)

a)2 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

9).- Halla “n”: n!+(n+1)!=144

a)2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10).- Simplifica:

a)2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

11).- Reduce:

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) N.A.

12).- Reduce:

E

n n

n n

! !

! !

2

3 1

a) (n-2) / (n+1) b) (n+1) / (n-2)c) (n-2) / (n-1) d) (n-2) / n e) N.A.

13).- Sabiendo: 3 11777

7 176C Ck k

Calcula: K !

a) 3 b) 6 c) 9d) 11 e) N.A.

14).- Reduce: E C C C CX X X X 7 8 9 10

22

a) CX10

3 b) CX10

2 c) C X10

d) CX9

2 e) N.A.

15).- Reduce:EC C C

C C C

510

610

710

49

59

69

2

2

a) 12/7 b) 11/7 c) 9/7d) 5/7 e) 2/7

16).- Halla “n” si:

C C C C Cn n n n n4 5 5

26

15

3

a) 2 b) 3 c) 8d) 10 e) 18

17).- Reduce: EC

C 5

8

28

a) 2 b) -2 c) 1/2d) 3 e) 1/3

100



18).- Reduce:

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 1/2

19).- Reduce:

a) 3n-6 b) 3n-5 c) 3n-4d) 3n-3 e) N.A.

20).- Si: n! ! ! ! 2 4 20

Calcula “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

21).- Reduce: E 10 7 8 9! ! ! !

a) 9 ! b) 9 !/2 c) 8 !d) 8 !/2 e) 7 !

22).- Da un posible valor de “m+n”

a) 41 b) 42 c) 43d) 47 e) 18

23).- Calcula “X” en:

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) N.A.

24).- Si : (x+1)!- x! = 4320; Calcula (x-1)!

a) 6 b) 24 c) 100

d) 120 e) 720

25).- Calcula el valor de :

a) 55 b) 66 c) 67d) 120 e) 100

26).- Dada la igualdad:

Determina el valor de (n2 + n)

a) 10 b) 110 c) 120d) 130 e) 132

27).- Halla el valor de la expresión:n2 + 2n – 1, si =28

a) 79 b) 62 c) 98d) 34 e) 47

28).- Halla el valor de , si :

2( ) = 3( ) ; n Z+

a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9d) 6/5 e) 4/3

29).- Reduce y determine el valor de “n” en:

C + C = 21

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

30).- Determina el valor de “M” en

M =

Resulta igual a C

a) 14 b) 12 c) 10d) 18 e) 20

31).- Luego de resolver la ecuación:

;

halla el valor de: n2 – n + 1

a) 21 b) 23 c) 25d) 30 e) 35

32).- Si: 2x4x6x8x ... x20=

halla: m+n

a) 10 b) 20 c) 30d) 400 e) N.A.


1) b 2) b 3) c

4) c 5) c 6) b

7) c 8) d 9) c

10)d 11)c 12)a

13)b 14)a 15)a

16)c 17)a 18)a

19)a 20)b 21)b

22)d 23)d 24)d

25)b 26)b 27)a

28)a 29)a 30)a

31)a 32)b

BINOMIO DE NEWTON

Se da este nombre a la potencia indicada de un binomio. Ejm:

(a + b)5 ; (x + 1)8 ; etc

1. DESARROLLO DEL BINOMIO (a+b)n:

Ejm:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

EN GENERAL:(a+b)n=

2. TRIÁNGULO DE PASCAL : Nos sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio para exponente natural.

1 (x+a)0 = 1 1 1 (x+a)1= x + a 1 2 1 (x+a)2=x2 + 2ax + a2

1 3 3 1 (x+a)3=x3+3x2a+3xa2 +a3

1 4 6 4 1 (x+a)4=x4+4x3a+6x2a2+4xa3+a4

. .

. .

3. FÓRMULA GENERAL DEL

TERMINO DE POSICIÓN k+1 ( )

=

Nota: La Expansión del Binomio (x+a)n

1° Presenta n+1 términos.

2° Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

Además:

=

* Si x = 1 =

2n

*Si x=-1 =

4. PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON:

101



(x+y)n ,n Z+

a) El número de términos que resultan es: n+1

b) Los signos de los términos se definen del esquema:

(x + y)n = + , +, +, +, ........ +(x – y)n = +,-,+,-,+,-,..........

Si n par : +,+,+,+,....(-x – y)n =

Si n impar: -,-,-,-,-,-, ..

c) La suma de los coeficientes del desarrollo de: (x + y)n es:

S = ( + )n

Si : = = 1 S = 2n

d) La suma de los exponentes del desarrollo de: (x + y)n es:

Sexp =

e) La posición del término central o medio del desarrollo se calculará:

i) Si n PAR :

ii) Si n

IMPAR : ;

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla el T5 de (x+a)10

Solución:T5

K+1 = 5

K = 4 n=10

Luego:

T5 =

Pero:

T5 = 210x6a4

2.- Halla el T4 de (x2+2y)8

Solución:T4 k + 1 = 4

K = 3 n = 8

Luego:

T4 =

*

* (2y)3 = 8y3

T4 = 56(x10)(8y3)

T4 = 448x10y3

3.- Halla T10 de (x3-y2)30

Solución:

T10 =

T10 =

4.- De (x-a)20, halla T15

Solución:

T15 =

T15 =

T15 = 38760x6a4

5.- Halla el término independiente en el desarrollo de:

Solución:

(x2)12-k (-x -1) k

Luego : 2(12 – k) – k = 0 (T.I.)k = 8

Por lo tanto: = 495

6.- Halla el valor de “n” si el término de lugar 25 en el desarrollo de:

(x2 + )n contiene a x12.

Solución:

t25 = (x2)n-24 (x-3)24 = x12

2(n–24) – 72= 12 2n – 48 – 72= 12

Luego: n = 66

7.- El 4to término del desarrollo de: (x+2)n es 80xm.

Calcula :

Solución:

t4 = (x)n-3 (2)3 = 80xm

8 xn-3 = 80xm

Luego : 8 = 80 = 10

xn-3 = xm

n-3 = m n – m = 3Luego :

3

8.- Uno de los términos de las expresión de (x4 + x-3)15 es de la forma nx32. Calcula el valor de “n”.

Solución:

tk+1 = ( x4 )15-k( x-3 )k

x60-4k-3k = nx32

60 – 7k = 32k=4

Luego: = n

n = 2145

9.- Calcula el lugar que ocupa el término que contiene x5, en el desarrollo de:

Solución:

tk+1 = (x5)13-k (x-1)k

Luego :

x65-5k . x -k = x 5

65 - 6k = 5k = 10

Luego : k + 1 = 11

10.- Halla (n + k) si se sabe que el cuarto término de (x + 2)n es 80xk.

Solución:

102



t4 = xn-3 23 = 80xk

8 xn-3 = 80 xk

Luego :

= 10

= 10

n(n-1) (n-2) = 60

Luego : n = 5

Ahora :

xn-3 = xk

n – 3 = k5 – 3 = k

2 = k

n + k = 5 + 2 = 7


1).- Halla el T8 de (x+a)10

Rpta: ...............................................

2).- Halla el término sexto de (x-a)8

Rpta: ...................

3).- Halla el T6 de (x2+2y)8

Rpta: ...............................................

4).- Halla el T28 de (x3-y2)30

Rpta: ...............................................

5).- Halla “n” si el octavo término del desarrollo de:

contiene a “ x12 ”

a) 20 b) 25 c) 33d) 35 e) 40

6).- Calcula el lugar que ocupa el término que contiene a “x5 “ en el desarrollo de:

a) 10 b) 11 c) 12d) 15 e) 20

7).- Calcula el coeficiente del quinto término de:

a) 30 b) 35 c) 33d) 40 e) 1

8).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x+3y)n el exponente de “x” es 3.

a) 30 b) 28 c) 25d) 15 e) 12

9).- Halla el lugar que ocupa el término independiente de:

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 29

10).- Calcula el lugar que ocupa el término independiente de:

a) 9 b) 13 c) 35d) 45 e) 55

11).- Halla el valor de “n” si el término de

lugar 25 en el desarrollo de

contiene a “x 12 ”

a) 30 b) 40 c) 66d) 70 e) 78

12).- Determina el valor de “n” para que los términos de lugares 9 y 10 de (x+3)n tengan igual coeficiente.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

13).- En la expansión de: B(x,y)=(x2+y3)20

determina el grado absoluto del noveno término. a) 24 b) 48 c) 60d) 32 e) 44

14).- Si el grado absoluto del quinto término

de: (x3+x2)n es 26. Calcula Cn9 .

a) 10 b) 8 c) 6d) 7 e) 9

15).- El noveno término del binomio (x+x-3)n

es de grado 8, halla el grado del quinto término.

a) 6 b) 14 c) 18d) 24 e) 28

16).- Halla (n+m), si se sabe que el cuarto término de (x+2)n es 80mxm.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

17).- Calcula el tercer término en el desarrollo

de:

a) 21 x1/2 b) 21x3/2 c) 35xd) 35x3/2 e) 21

18).- Halla “p” si t16 de (x5 + yp)30

contiene a : x75 y60

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

19).- En el desarrollo de , el

término de lugar (k+1) posee xk+1. Halla dicho lugara) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

20).- Halla el sétimo término sabiendo que es independiente de “x” en el desarrollo de:

a) 50 b) 80 c) 84d) 95 e) 1

21).- El término independiente del binomio: (x2+x-2)n se encuentra en el lugar 11.Halla el segundo término.

a) 20x36 b) 19x36 c) 20x40

d) 190x36 e) 190x40

22).- Halla el término central de :

a) b)

c) d)

e)

23).- Halla el valor de “m”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos noveno y quinto del desarrollo del

binomio es 8.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

24).- En el desarrollo de

existen dos términos consecutivos uno de

103



ellos es independiente de “x”, y el inmediato superior independiente de “y”. Halla el valor de “n”.

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 100

25).- Halla el 4° término en el desarrollo de:

si se cumple:

a) b)

c) d) e)

26).- Uno de los términos de la expansión de:

Es de la forma: Kx32. Calcula ”k”

a) 1450 b) 1550c) 1536 d) 1366 e) 1365

27).- En el desarrollo de (2+3x2)n el coeficiente de “x24” es cuatro veces el coeficiente de “x22”. Calcula el valor de “n”.

a) 41 b) 42 c) 44d) 45 e) 43

28).- Si el G.A del 7mo término del desarrollo de:

P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30Halla el grado de su término central.

a) 27 b) 28 c) 29d) 31 e) 41

29).- De la expresión:

E(x) =

Halla el lugar que ocupa el T.I

a) 27 b) 26 c) 25d) 24 e) 23

30).- Si un término del desarrollo de:

Tiene la forma: xayby. Calcula el lugar de dicho término.

a) 9 b) 10 c) 11d) 13 e) 14

31).- Halla el lugar que ocupa el término de la forma: Ax24y12z12 en el desarrollo de:

(x2y + z3)n

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

32).- Halla el coeficiente del 7° término del desarrollo de: (2x + y)9

a) 8 b) 495 c) 672d) 132 e) 612


1)... 2)... 3)...

4)... 5) c 6) b

7) b 8) a 9) e

10)b 11)c 12)c

13)b 14)a 15)d

16)c 17)b 18)b

19)d 20)c 21)a

22)a 23)d 24)c

25)c 26)e 27)e

28)b 29)c 30)b

31)b 32)c

V. TRIÁNGULOS(continuación)

1. TRIANGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

CONCEPTO Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos. Se puede saber la proporción existente entre sus lados.En general:

OTROS :

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula “x” en :

Solución :

Por Pitágoras : x2 = (3 )2 + 42 x2 = 43

x =


Solución :

Por Pitágoras : x2 =22 + 72 x2 = 4 + 49

x =


Solución :

104

30°

60°

a

2aa

45°

45°a

a

a

45°

45°a

37°

53°

4a

5a

3a

18,5°

3a

aa

26,5°

2a

a

16°

24a

25a

7a74°

14°

4a

aa76°

60°

7

x6

60°

4

x6

3

3

5

x2

135°

5

x 2

135° 45°

2

2

45° 37°

48

x



En la figura :

x = 112


Solución :

Se observa :a = 48

a = 16

x + 16 = 48

x = 32


Solución :

en la figura : x = 20


1).- Calcula “” :

a) 45°b) 60°c) 30°d) 53°

2).- Calcula “x” :

a) b) 5c) 6d) e) 7


a)

b) 2c) 5d) 4

e) 3


a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

5).- Calcula “x” :a) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A


a)

b)

c) d) 5e) 3


a) 3b) 6c) 9d) 10e) 11

8).- En la figura mostrada. Calcula “x” :

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

9).- En un ABC se traza la mediana de manera que mA = 37 y mC=14. Calcula m DBC.

a) 15 b) 30 c) 23d) 45 e) 26,5

10).- En un ABC se que AC = BC, “F” es punto medio de y mC=37°. Calcula mFBC.

a) 22,5 b) 18,5 c) 26,5d) 37 e) 30

11).- En un ABC se ubica el punto “P” en tal que PC=2AB, mC=15 y además

mPBC=90°. Calcula : mABP.

a) 30 b) 60 c) 15d) 45 e) 22,5

12).- En un ABC se ubica el punto “D” en tal que AD=2BC, mDBC=15 y

además mC=30. Calcula : mA.

a) 22,5 b) 26,5 c) 15d) 14 e) 18,5

13).- En la figura mostrada, calcula “”

a) 30 b) 37 c) 45d) 53 e) 60

14).- Calcula “x” del gráfico sabiendo que AC=20.

a) 6 b) 8 c) 9d) 12 e) 14

15).- En la figura: AB = 12 .Calcula BD.

a) 10b) 20c) 10

d) 15e) 18

16).- En un ABC, mB=90°mA = 75° , si AB=1Calcula BC.

a) 2 + b) 2 -

c) d) -1 e)

105

45° 37°

48

48

48

64

x

48

30°

60°

x x

30°

60°

30°

16

16

a

30° 60°

x

40

30° 60°

x

40

40°

30°

37°

10

14

60°

x

5

6

135° 6

x

2

x

82°7

7

5

x

x

33

x

5

7

60°

3 +

37° 30°

5

x

xF

E

CA H

P

10

B

8 60°

60°

A

B

C

D

37°53°

68°

30°

A C6°

Bx

°

D

26,5°

A C

B



17).-En un ABC, mA = 53°. AC =6 +8mC = 30. Calcula BC - AB

a) 6 b) 8 c) 10 d) 2 e) 5

18).- Si AC=12. Calcula BD.

a) 3b) 4 c) 2

d) 4e) N.A.

19).- En la figura, halla “x” :

a) 4 b) 3 c) 14/3 d) 16/3 e) 5

20).- En un triángulo ABC mA=15 y mC=30. Si AB= 7 . Halla .

a) 10 b) 16 c) 14 d) 12 e) 8

21).- Calcula “AE”, si: EC = 6.

a) 3 b)

c)

d) e) 12

22).- En la figura, calcula “ ”.Si: BC = .

a) 4

b) 6c) 8 d) 10e) 12

23).- En la figura, calcula la distancia de “C” sobre “ ”.

a) 8b) 6c) 4 d) 2e) 1

24).- En la figura es bisectriz, calcula “ ”, si: = 2.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 10

25).- Calcula “x”.

a) 2b) 3c) 4 d) 8e) 10

26).- Calcula “x”.

a) b) c) d)

e) 150

27).- En la figura, AB = 9, Calcula “ ”

a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 20

28).- En la figura, AC = 20. Calcula “ ”

a) 5 b) c)

d) e)

29).- En el gráfico, calcula “ ”. Si: TI = 6.

a) 6+8 b) 3 c) 4 d) 8 e) 10

30).- En el gráfico, calcula “ ”.Si: AB = 15, AD =25.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 10


1) a 2) a 3) b 4) c 5) b

6) a 7) d 8) e 9) c 10)c

11)d 12)e 13)b 14)c 15)c

16)a 17)a 18)c 19)a 20)c

21) e 22) b 23) c 24) c 25) d

26) c 27) b 28) a 29) a 30)b

2. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

106

37° 45° 53°

3x

A

C

D

15°

B

45°

15°

A

B CE

CA

135°

B

H

A C

B

30°

D

30°

100

x

A

B

H

C30°

45°

N

60°

37°A

T I

H

C

D37°

A

B T

E

230°

x

150°

B

A C

8

A

B

D

C15° 22°



CONCEPTO

Dos triángulos son iguales si tienen sus lados y ángulos respectivamente iguales. Para que dos triángulos sean iguales deben cumplir con algunos de los casos de igualdad. En ellos se menciona como requisito que presenten tres pares de elementos iguales, siendo por lo menos uno de ellos un lado.

CASOS DE CONGRUENCIA

A).- PRIMER CASO (ALA) Si tienen un lado igual e iguales los ángulos interiores adyacentes a ellos.

FGH MNP

B).- SEGUNDO CASO (LAL)Si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido por dichos lados también iguales.

ABC PQR

C).- TERCER CASO (LLL)Si tienen lados respectivamente iguales.

DEF RST

D).- CUARTO CASO (LLA)Si tienen dos lados respectivamente iguales e igual al ángulo interior opuesto al lado mayor.

Si : AB > BC y C = F ABC PQR

TEOREMAS FUNDAMENTALES

A).- TEOREMA DE LA BISECTRIZCualquier punto de la bisectriz equidista de

los lados del ángulo.

Además

B).- TEOREMA DE LA MEDIATRIZCualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.

C).- TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS

La paralela a un lado de un triángulo, trazada por el punto medio de otro, corta al tercero en su punto medio. El segmento determinado se llama base media y mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.

Además

D).- TEOREMA DE LA MEDIANAEn un triángulo rectángulo, la medida relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- En un triángulo ABC, B = 90° y C = 42°, se traza la ceviana BP de modo que ABP = 36°, si AC = 72m. Calcula “BP”.Solución: Graficando se traza la mediana BM = 36,

luego PBM es isósceles.

x = 362).- En un cuadrilátero ABCD, AB =10;

CD = 11 ; A = 53°; C = 98° y D = 45°. Calcula “AD”.

Solución:

* En la figura por triángulos notables.

x = 6 + 4 + 11

x = 21

3).- En un triangulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH perpendicular a BM. Si AH = 16m, HM = 6m. Calcula la longitud de “HC”

Solución:* En la figura AHM CPM (ALA) Luego: CP =16; PM =6APH: notable

x = 20

4).- En un triángulo ABC , B = 135°, C = 37/2°, luego se traza AM. Calcula la medida del ángulo MAC.

Solución:

107

° ° ° °

F NG M

H P

°°

A

C

P

R

QB

D

F

E R

T

S

P

BA

A

C

P

R

QB

B

°°

P

A

O

PA = PB

OA = OB

PA = PB

B

FE

A C

// //

EF = EF =

E

B

CA

BE = BE =

A CP H42°

B

48°

36°

84° 84°

42°

72

x

A

P

M

H

C

B

16

16

6

5a 2a 3a

135°

x 26,5° 18,5

53°

37°

45°

98°3

4

8 8

6

10

11

4 11



* En la figura: AN = NC = 5aLuego: AHM es de 8° y 82°

x = 8°

5).- En un triangulo ABC, las mediatrices BC Y AC se cortan en “O”. Halla mAOB, si la mACB = 52°

Solución:

* En la figura: x = 2( +)Pero: + = 52°

x = 104°


1).- En la figura mostrada = 6 y =

11. Calcula

a) 5b) 4c) 4,5d) 6e) 5,5

2).- En la figura, halla

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

3).- En la figura = , = , //

y = 8. Halla

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

4).- Halla . Si = 8; = 3

a) 6b) 5c) 4d) 3,5e) 2,5

5).- Halla la longitud del segmento que une los puntos medios de y . Si = 24

a) 12b) 9c) 6d) 4e) 3

6).- En la figura mostrada. Calcula AB si:

AC cm6 . ,y BP cm1 .

a) 4cm b) 6cm c) 5cm d) 8cm e) 7cm7).- Si: AB = 7; BC = 8; AC = 10, y

mediana y altura. Halla el perímetro del triángulo MNH.

a) 16b) 15c) 12,5d) 16,5e) 17,5

8).- Halla “ ”, si = =

a) 30°b) 37°c) 71,5°d) 53°e) 60°

9).- Halla , si ABCD es un cuadrado.

a) 30°b) 37°c) 45°d) 53°e) 60°

10).- En la figura, halla “x”, si AM = MC.

a) 45b) 60c) 15d) 30e) 24

11).- Se tiene un triángulo ABC, tal que la mediana BM es cortada en su punto

medio por la ceviana AD . Si BC = 12. Calcula "BD".

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

12).- Calcula “”

a) 60°b) 53°c) 37°d) 30°e) 17°

13).- Si: , calcula .

a) 32

b) 72c) 24d) 48e) 60

14).- E y F son puntos medios. Si m + n = 30.Halla “m”

a) 4b) 6c) 8d) 20e) 30

15).- En la figura, =2, =5 y =8.

Halla

a) 10b) 15c) 13d) 9e) 8

16).- Si = y = . Halla

a) 100°b) 120°c) 60°d) 90°e) 95°

17).- Dado un triángulo isósceles ABC, sobre su base se ubican los puntos P y Q

tales que AP = QC. Si:

=30°. Calcula .a) 65° b) 45° c) 70°d) 75° e) 80°

108

BH

C

N

A M

E Fn

m

B

C

A

D E N

B

NA C

M x°

D

B

F

A C

H

A

E

5

B 3 C D

C

B 60°

A E D

B

Q P

A H C

B

M

A H C

B

A C

B C

x°

A D

B

P

A C

B

A H MC

x

4

6

C

60°

30°A B

x



18).- Si: son bisectrices, calcula

, si = 8 y = 10, MP = PB, BQ = QN.

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 15

19).- El perímetro de un triángulo es 84cm. Halla el perímetro del triángulo que tiene como vértices los puntos medios de los lados del primero.

a) 42 b) 21 c) 28 d) 56 e) N.A

20) .- En un triángulo ABC, mA = m2C, se traza la altura BH , si AB m18 . ,

. Calcula la medida de AH.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21).- En un ABC se ubica el punto “D” en tal que AD=2BC, mDBC=15 t además

m =30. Calcula : mA.

a) 22,5 b) 26,5 c) 15d) 14 e) 18,5

22).- En la figura mostrada, calcula “”.

a) 30b) 37c) 45d) 53e) 60

23).- En un ABC se traza la mediana de tal forma que mA=30 y mABD=105. Calcula . mC.

a) 26,5 b) 15 c) 18,5d) 16 e) 22,5

24).- En un ABC se trazan las cevianas interiores intersectándose en

“O”, luego se traza paralelo a (“F” en AE). Si mA=40, mABP=mECB y CE=FB. Calcula : mEOP.

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 140

25).- Del gráfico los triángulos ABC y EBF son equiláteros. Calcula “x” :

a) 150b) 135c) 105d) 115e) 120

26).- En la figura mostrada se sabe que AB=BE, AD=EC y BD=BC. Calcula “x” :

a) 15b) 16c) 14d) 18e) 22,5

27).- En el interior de un ABC (AB=BC) se ubica el punto “P” de tal forma que mPAB=40, mPAC y mPCB=2PBA. Calcula : mABP.

a) 15 b) 25 c) 30d) 20 e) 35

28).- En la figura se sabe que AD + BC = AB. Calcula “x” :

a) 120b) 150c) 135d) 112,5e) 105

29).- En la figura mostrada si EC=2AE. Calcula “x”:

a) 30 b) 26,5 c) 15d) 22,5 e) 18

30).- Exteriormente a un ABC (mB=90) se construye el BEC (BE=EC), luego se ubican los puntos medios “P” y “Q” y “R” de

respectivamente. SI se sabe que mEBC=2PQR. Calcula :mBCE.

a) 45 b) 60 c) 63,5d) 75 e) 71,5


1) a 2) a 3) c 4) b 5) c

6) a 7) c 8) c 9) b 10)d

11)e 12)d 13)a 14)d 15)d

16)d 17)d 18)c 19)a 20)b

21) d 22) b 23) b 24) b 25) e

26) e 27) d 28) c 29) c 30) b

VI. CUADRILÁTEROS1.- CONCEPTOEs aquella figura geométrica que tiene cuatro lados.

2.- CLASIFICACIÓN

2.1.- PARALELOGRAMO Son aquellos cuadriláteros, cuyos lados opuestos son paralelos.

En todo paralelogramo sus diagonales se bisecan.

En todo paralelogramo sus ángulos opuestos son iguales.

En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a uno de sus lados son suplementarios.

A).- CLASES DE PARALELOGRAMOS

ROMBOIDE.- Es el paralelogramo propiamente dicho.

ROMBO.- También llamado losange, es aquel paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus diagonales se bisecan, se cortan perpendicularmente y viene a ser bisectrices de sus ángulos.

RECTÁNGULO.-También llamado cuadrilongo, es el paralelogramo cuyos ángulos interiores miden 90°, sus lados opuestos son iguales en longitud; sus

109

ba

a

bb

a a

B

P Q

M O N

A C

25,5°

B

CAD

A C

E

P

E

B

x°

A

B

C

D

3x

2x E

°

°x°

D

C

B

A

45°-x°

EC

B

H

2



diagonales son iguales en longitud y se bisecan.

CUADRADO.- Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus ángulos interiores miden 90°, sus diagonales son iguales en longitud, se bisecan y vienen a ser bisectrices de sus ángulos y se cortan perpendicularmente.

3.2.2.- TRAPECIOS Son aquellos cuadriláteros, que tiene dos lados opuestos paralelos.

MEDIANA : ALTURA : hBASES :

A).- CLASES DE TRAPECIOS

TRAPECIO ESCALENO.- Tiene sus lados no paralelos de diferente longitud.

a + b = + = 180°

TRAPECIO RECTÁNGULO .- Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos viene a ser la altura del trapecio.

+ = 180°

TRAPECIO ISÓSCELES .- Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales en longitud.

x =

B).- PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

- En todo trapecio, la mediana siempre es paralela a la base.

- En todo trapecio, la mediana biseca a las diagonales.

BQ = QD

- En todo trapecio, la mediana mide la semisuma de sus bases.

MN =

- En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, mide la semidiferencia de sus bases.

PQ =

3.2.3.- TRAPEZOIDEEs el cuadrilátero propiamente dicho.

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (T. Bisósceles)

= 90°

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si ABCD es un paralelogramo. Calcula

Solución :

Del grafico:* m BAD = mBCD = 4pero : EC bisectriz mBCE = mECD=2También :mBCE = mCED = 2

(ángulos alternos internos)

Obs : * triángulo ECD isósceles

ED = CD = 6 * AFE = mFAE =

110

b ba

M N h

B C

A D

6

8

3

F

C B

D A E

6

8

3

F

C B

D A E

2

x 6

2 2

a

b

M N

B C

A D

M N

B C

A D

Q

M N

b

a

b

a

QP

b

x xa

45°45°

45°

45°



AFE isósceles AE = EF = x

Luego : x + 6 = 8

x = 2

2).- Calcula “x”

Solución :

Del gráfico: mCMB = mCDA = x Trazamos : CH altura CH=2a Obs : * CHD MBC

CH = BC = 2a

* MBC notable de 26°30’

x = 63°30’

3) Si ABCD trapecio . Calcula ; si además: BF = 6

Solución : Prolongamos tal que = H m CHD = 90°

Obs : *AF = AH = a = BC* BFA BCE CE = BF

x = 6

4) Si: AB + BC = CD. Calcula “x”

Solución :

Trazamos : AH altura m BAH = m DCE = 2

m CAH =

Obs : * BC= CH = b* AH=AB = a

Por dato : CD = a + b HD = a

Luego : AHD Notable de 45°

x = 45°

5.- Las medidas de los ángulos A, B, C y D de un cuadrilátero ABCD son entre si como 3, 4, 5 y 6. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de A y B.Solución :

Del dato:

se sabe: = 360°

3k + 4k + 5k + 6k = 360

18k = 360

k = 20

= 3(20) = 60 ; = 5(20) = 100 ;

= 6(20) = 120 ; = 4(20) = 80

En el APB

x = 110°


1).- Si : mD=3(mA); mB=mC=2(mA), halla : mD

a) 30° b) 40° c) 70°

d) 100° e) 135°

2).- En la figura, halla “x” :

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

3).- En la figura, halla “EC”, si : ABCD es un romboide.

a) 4 b) 5 c) 2d) 1 e) 3

4).- Halla “x”, si : a° + b° + c° = 440°

a) 40° b) 50° c) 60°d) 70° e) 80°

111

A D

C

B

A D

C

B

3x

2x

4x

ab

c

x

x

x

2a

H

a

a

M

A

B C

D

2a

x

F

E

DA

B C

x

F

E

DA

B C

x

a

2

H

a

2 6

a

2

D

CB

A

x

2

D

CB

A

x

a H

a

b

b

a

E

40 40

120°

30

30

x

P

DC

BA

A

B CE

D11

7



5).- Si : ABCD es un paralelogramo; AC=15, BD=22, halla “OB + OC”

a) 17 b) 18 c) 19d) 17,5 e) 18,5

6).- En un trapecio el segmento de mediana comprendido entre las diagonales es 36. Si la base mayor es el triple de la menor, la mediana mide:

a) 35 b) 60 c) 72d) 70 e) N.A.

7).- Halla el perímetro de un trapecio isósceles de base 2 y 4, en el que dos de sus ángulos miden “x” y “3x”.

a) 2(3+ ) b) 3,6

c) 1,8 d) 3 +3e) N.A.

8).- Los ángulos adyacentes a la base mayor de un trapecio miden 45° y 30°. Si las bases del trapecio miden 5cm y (7 + 2 ) cm, halla el perímetro del trapecio.

a) 2(4+ + ) b) 4+2 +2

c) 2(8+ + ) d) 8+ + )e) N.A.

9).- Las bases y la mediana de un trapecio suman 6m, halla la mediana.

a) 3m b) 2 c) 1,5d) 1 e) F.D.

10).- Las bases de un trapecio isósceles ABCD miden 14 y 6cm y su altura 8cm, siendo la base mayor. Si “M” y “N” son los puntos medios de los lados no paralelos de ABCD , halla los lados no paralelos de AMND.

a) 12cm b) 16 c) 24d) 8 e) N.A.

11).- En un trapecio rectángulo ABCD, recto en “A” y “D”, se traza la bisectriz interior

, (“Q” en ). Si : BQ=BC, DQ=2 y BQ=6, halla la mediana del trapecio.

a) 5,5 b) 6,5 c) 6d) 7 e) 8

12).- Se tiene un triángulo equilátero ABC de lado igual a 6cm, en el cual se trazan las alturas y . Determina la longitud del segmento que une los puntos medios de dichas alturas.

a) 2,5cm b) 4,5 c) 1,5d) 3 e) 2

13).- En un trapecio la relación entre el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana es 3/5. Calcula la relación que existe entre las bases del trapecio (base menor / base mayor)

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2d) 2/3 e) 3/4

14).- Si los diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales, ¿en qué relación están las base? (Base mayor sobre base menor).

a) 3:2 b) 3:1 c) 2:1d) 4:1 e) N.A.

15).- En la figura, ABCD es un rectángulo “M” y “N” son puntos medios de

, respectivamente. Si : AC =12m, halla “GB”.

a) 3m b) 4,5 c) 4d) 6 e) N.A.

16).- En un paralelogramo ABCD, mB = 135°; AD=8 y es perpendicular a .

Halla la distancia del vértice “C” la lado.

a) 4 b) 2 c) 6d) 3 e) 5

17).Si: ,mADE=m BDC, halla “BD”

a) 5 b) 6 c)

d) 7 e) 4 .

18).- Siendo ABCD un trapecio (BC//AD), halla mADC.

a) 37° b) 53° c) 90°d) 30° e) 60°

19).- Los lados laterales de un trapecio miden 5u y 9u. Calcula el máximo valor entero que puede tomar el segmento que une los puntos medios de sus diagonales.

a) 5u b) 6 c) 7d) 8 e) 10

20).- En la figura, ABCD es un rectángulo, “M” “N”, “E” y “F” son puntos medios de

, , y respectivamente.Si : AD=12m, calcula “PR”.

a) 5m b) 2 c) 3d) 6 e) 4

21).- En la figura ABCD es un paralelogramo tal que AH = 4. Calcula: ED.

a) 3b) 5c) 6d) 2e) 4

22).- La suma de las distancias de los vértices de un paralelogramo a una recta

112

O

CB

A D

C

M

D

B

N

A

G

F

AB

28D

24

C

E

14

68

4CB

A D

A

O

D

B CR

N

F

M

E

P

B

AH E D

C..



exterior es 100. Calcula la distancia del punto de intersección de sus diagonales a la misma recta.

a) 20 b) 25 c) 40d) 45 e) 50

23).- La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta exterior es 30. Calcula la suma de las distancias de los puntos medios de sus lados a la misma recta.

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

24).- Exteriormente a un cuadrado ABCD, se construye el triángulo equilátero CED. Calcula AED.

a) 15 b) 12 c) 10d) 18 e) 20

25).- En un romboide ABCD, la bisectriz del B intersecta a AD en el punto E. Calcula la distancia entre los puntos medios de BD y EC, si AB = 12.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

26).- En un trapecio ABCD (BC//AD) se sabe que AB = 5, BC = 4, CD = 7 y las bisectrices interiores de los ángulos B y C se intersectan en un punto que pertenece a AD. Calcula la mediana de dicho trapecio.

a) 8 b) 7 c) 3d) 6 e) 10

27).- En un trapezoide simétrico ABCD, se ubica el punto medio E de la diagonal mayor AC tal que ABED es cuadrado .

Calcula : m BCD.

a) 53 b) 45 c) 30d) 37 e) 60

28).- Exteriormente a un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se construye el cuadrado BCEF. Calcula m CAF.

a) 30 b) 45 c) 30d) 37 e) 53

29).- Interiormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero BEC. Calcula m AEB.

a) 60 b) 45 c) 37d) 75 e) 74

30).- En un paralelogramo ABCD se ubica el punto E en BC tal que los ángulos BAE y EDC son complementarios. Calcula mAED.

a) 75 b) 60 c) 90d) 120 e) 150


1)e 2)e 3)a 4)e 5)e

6)c 7)a 8)c 9)b 10)e

11)b 12)c 13)b 14)c 15)c

16)a 17)e 18)b 19)b 20)e

21) e 22)b 23)d 24)a 25)c

26) a 27)d 28)b 29)d 30)c

113



VII. TRANSFORMACIONESTRIGONOMÉTRICAS

1. INTRODUCCIÓN

Es este capítulo vamos a realizar operaciones de funciones trigonométricas realizando la adición y multiplicación con sus respectivas propiedades, para lo cual tenemos que aplicar lo estudiado anteriormente.

2. PROPIEDADES

2.1.- TRANSFORMACIONES DE SUMA A PRODUCTO

a) SenA+SenB = 2Sen Cos

b) SenA–SenB = 2Sen Cos

c) CosA+CosB = 2Cos Cos

d) CosB–CosA = 2Sen Sen

2.2.- TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA

a) 2Senx Cosy = Sen(x+y)+Sen(x – y); x>y

b) 2Senx Cosy=Sen(x+y) – Sen(y – x); x<y

c) 2Cosx Cosy = Cos(x+y)+Cos(x – y)

d) 2Senx Seny = Cos(x – y) – Cos(x+y)

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Simplifica :

J =

Solución :

Tenemos :

J =

Transformando :

J =

J =

sen(-x) = -senx

J =

Reduciendo :

J =

J = 1

2).- Reduce :

J =

Solución :

En la expresión :

J =

Transformando :

J =

Operando :

J =

J = tan3x

3).- Reduce :

J =

Solución :

En la expresión :

J =

Multiplicamos x 2 :

2J =

transformando :

2J=

2J =

reduciendo :

2J=

transformando a producto :

cos8x+cos4x=2cos cos

2J =

simplificando :

J = cos2x

4).- Simplifica :

J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+ senx.cos6x

Solución :

En la expresión : J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x

Multiplicamos x 2 :

2J=

transformando :

2J=sen5x+senx+sen7x-senx + sen7x-sen5x

reduciendo :

2J = 2sen7x

J = sen7x

5).- Reduce :

J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

Solución :En la expresión :

J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

114



Multiplicamos x 2 :

2J=2cos5x.cos2x+2sen6x.senx-2cos4x.cosx

transformando :

2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – (cos5x+ cos3x)

2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – cos5x – cos3x

reduciendo :

2J = 0 J = 0


1).- Simplifica :

E =

a) tanx b) tan2x c) tan3xd) tan4x e) tan5x

2).- Calcula el valor de :

E =

a) - b) - c) -

d) - e) -

3).- Reduce la expresión : E = Cos(300°+x) + (Cos300°-x)

a) Cosx b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos5x

4).- Simplifica :

E =

a) tanx b) tan2x c) tan3xd) tan4x e) tan5x

5).- Transforma a producto.

E = + 2Cos10°

a) 4Cos20°Cos10°b) 4Cos20°Cos20°c) 4Cos10°Cos10°d) 4Cos40°Cos10°e) 4Cos50°Cos10°

6).- Si : Sen5=0,25-Sen3Halla : 4sen4.Cos

a) 1 b) 1/3 c) 1/4d) 1/2 e) 2/3

7).- Factoriza :E : 1+ Sen14° + Cos14°a) 2 Cos38°Cos7°

b)2 Cos40°Cos17°

c) 2 Cos48°Cos27°

d) 2 Cos40°Cos7°

e) 2 Cos38°Cos17°

8).- Calcula : E : Cos10° + Cos110° + Cos130°

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

9).- Si : A+ + B + C = 180°. Transforma a producto :

E = SenA + SenB + SenC

a) 2Cos Cos Cos

b) 3Cos Cos Cos

c) 4Cos Cos Cos

d) 5Cos Cos Cos

e) 6Cos Cos Cos

10).- Calcula : M = Tag Tag ,

si :

a) b) c)

d) e)

11).- Calcula :

E = 4SenaSen(a+60°)Sen(a+120°)

a) Sena b) Sen2a c) Sen3ad) Sen4a e) Sen5a

12).- Factoriza :

E =

a) – SenxCsc4x b) – Sen2xCsc4xc) – Sen3xCsc4x d) – Sen4xCsc4xe) – Sen5xCsc4x

13).- Factoriza :

E = + 10Cos12°

a) 30Cos47°Cos35° b) 20Cos47°Cos35°c) 20Cos48°Cos35° d) 30Cos47°Cos36°e) 20Cos47°Cos33°

14).- Reduce :

a) Senx b) Sen3x c) Sen5xd) Sen7x e) N.A.

15).- Reduce :

a) 1 b) 1/2 c) 3 2/d) 1/4 e) 3 4/

16).- Simplifica :

a) Tg2x b) Tg6x c) 2d) 1/2 e) 1

17).- Dado que :

Sen2x Sen5x+Cosx Cos6x=Senx Cos4xCalcula: “Ctgx”

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 1/4 e) 4

18).- Calcula :

M = 4Senx(60°+x)Sen(60°-x)

a) Senx b) Sen2x c) Sen3x d) Sen4x e) Sen5x 19).- Calcula :

N = 4Cosx(60°+x)Cos(60°-x)

a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x d) Cos4x e) Cos5x

20).- Calcula : Cos3xSen2x – Cos4xSenx

a) Cos2xSenx b) Cos4xSenx c) Cos3xSenx d) Cos2xSen2x e) CosxSen2x

115



21).- Calcula aproximadamente :

E = Sen23º Cos7º

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,39

22).- Expresa en factores :

P=Sen(3x+y)Sen(3x-y)-Sen(x+y)Sen(x+y)

a) Sen2ySen4y b) Sen2xSen4xc) Sen2xSeny d) Sen2xSen2ye) Sen2ySen4x

23).- Factoriza la expresión:

K = 1 + 2Sen16º

a) 4Sen23ºSen7º b) 4Sen28ºCos7ºc) 4Sen23ºCos7º d) 4Sen23ºCos7ºe) 4Sen23ºCos7º

24).- Simplifica la expresión : K = Cosx + Cos(120º-x)+ Cos(120º+x)

a) -1 b) -Cosx c) 0 d) Cos2x e) 2Cosx

25).- Reduce la expresión

E = :

a) Tgx b) Ctgx c) Tg2x d) Ctg2x e) Tg3x

26).- Calcula el valor de la expresión :

W =

a) 1/2 b) 3 4/ c) 1

d) e) 2

27).- S = CosaSen(b-c) + CosbSen(c-a) + Sen(a-b)Cosc :

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2

28).- Calcula el valor de : M = Sen81ºSen9º - Sen48ºSen12º

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

29).- Calcula el valor de :Q = Csc10º – 4Sen70º

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

30).- Siendo Cos2x = 1/4

Calcula : Q = 8Sen(x+60º)Cos(x+30º)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3

31).- Calcula : Sen(a+b)Sen(a-b)

Si : Cosa = 1/4 y Cosb = 1/3

a) 7/12 b) 7/144 c) 5/12d) 25/144 e) 45/144

32).- Siendo : x+ y = y SenxSeny = 0,25Calcula el valor de Cos2(x+y)

a) 1 b) -1/2 c) 2d) -1 e) 2

33).- Reduce :E = Cos10º + Cos30º + Cos50º + Cos70º

a) 2 b) 1/2 c) 2Tg10ºd) 2Ctg10º e) N.A

34).- Halla la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de :

M = Sen(2x+10º)Sen(20º-2x)

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

35).- Transforma a producto : E = Sen23x – Sen2x

a) SenxSen3x b) SenxSen4xc) 2SenxSen3x d) 2SenxSen4xe) Sen2xSen4x

36).- A que es igual la expresiòn : M = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x

a) 4SenxSen2xSen4x b) 4CosxCos2xCos4xc) 4CosxCos2xSen4x d) 4CosxSen2xSen4x e) N.A

37).- Si: 19x= , calcula el valor de la expresión:

a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) N.A

38).- Si : 13x = , calcula :

M =

a) -2 b) -1 c) -1/2d) 1/2 e) 1

39).- Si : a + b = 45º y a – b = 60ºCalcula el valor de:

K = Sen2a - Sen2b

a) b) c)

d) e) N.A.

40).- Calcula el valor màximo de la expresión :

W = Sen(65º+x) + Sen(25º -x)

a) 1 b) c)

d) 2 e) 2

41).- Simplifica:

a) Sen b) Sen3c) Sen5 d) Cos5 e) 1

42).- Halla el valor de :P = Cos2 (A+B)+Cos2(A–B)– Cos2A.Cos2B

a) 0 b) 1 c) 2d) 1/2 e) 1/4

43).- Em um triángulo ABC, se cumple que:

3SenA = , calcula “CosA”

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5 d) 5/6 e) 6/7

44).- Si en un triángulo ABC, se cumple que:SenA+SenB+SenC=

luego, el triángulo, es :

a) Escaleno b) Isóscelesc) Equilátero d) Rectánguloe) Rectángulo e Isósceles

45).- Si x – y , calcula el valor de la

expresión :

M =

a) 1/3 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

116




1) d 2) a 3) a 4) c 5) a

6) d 7) a 8) b 9) c 10)e

11)c 12)a 13)b 14)d 15)c

16)e 17)a 18)c 19)c 20)a

21) e 22) b 23) d 24)c 25)c

26)d 27)b 28)a 29)d 30)c

31)b 32)b 33)e 34)a 35)e

36)b 37)b 38)a 39)c 40)b

41)c 42)b 43)a 44)e 45)a

VIII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS

1. NOTACIÓN

F.T. ()=N = ATC F.T. (N)

Ejemplos:

a) Sen = 2/3 = ARC Sen 2/3

b) Tan = = ARC Sen

2. DEFINICIÓN DE LAS F.T.I.

2.1) Función Seno Inverso

y = ARC Sen x Sen y = x

-1 x 1

2.2) Función Coseno Inverso

y = ARC Cos x Cos y = x

0 y -1 x 1

2.3) Función Tangente Inverso

y = ARC Tg x Tg y = x

x R

2.4) Función Cotangente Inverso

y = ARC Ctg x Ctg y = x

0 < y < x R

2.5) Función Secante Inverso

y = ARC Sec x Sec y = x

0 y x R - < -1; 1> y /2

2.6) Función Cosecante Inverso

y = ARC Csc x Csc y = x

x R - < -1; 1> y 0

3. PROPIEDADES

3.1.- F.T. (ARC F.T x) = x

3.2.- ARC F.T. (F.T. y) = y

3.3.-ARCTgx+ARCTgy= ARCTg +K

Si : xy <1 K=0

Si: xy >1; x>0 K=1 Si: xy >1; x<0 K=-1

3.4.- ARCSenx+ARCCosx = /2 x [-1; 1]

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Calcula.

= arcsen + arccos

Solución:Tenemos:

= arcsen + arccos = +

Hacemos:

arcsen = “ es un arco cuyo

seno vale ½”

= ... (30°)

arccos = “ es un arco cuyo coseno

vale ”

= ... (45°)

Luego:

= =

2).- Calcula.

= arctan - arctan

Solución:Tenemos:

= arctan - arctan = -

Hacemos: = arctan “ es un arco cuyo tangente

vale ”

= ... (60°)

= arccos “ es un arco cuyo tangente

vale ”

= ... (30°)

Luego:

= =

3).- Calcula.

= arcsen - arccos

Solución:Tenemos:

117



= arcsen - arccos = +

Hacemos:

= arcsen = - arcsen = -

= arccos = - arccos + =

- + =

Luego:

= - =

4).- Calcula.

= arccos - arctan

Solución:

Tenemos:

= arccos - arctan = -

Hacemos:

= arccos = - arccos + =

= arctan = - arctan = -

Luego:

= + = =

5).- Calcula.

J = tan(arccos1/5)

Solución:En la igualdad

J = tan(arccos1/5)Por lo general se recomienda hacer cambios de variable; así:J = tan(arccos1/5) J = tan

Pero:

= arccos cos =

como piden:J = tan J = 2


1).- Reduce: Sen (Arc Sen 1/5)

a) 1/8 b) 1/4 c) 1/5d) 1/3 e) N.A.

2).- Reduce: Tan (Arc Cot 2)

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) N.A.

3).- Calcula: ArcTg1 + ArcTg

a) /2 b) /4 c) /3 d) /7 e) 7/12

4).- Calcula el mayor valor de “x” a partir de:

y = ArcSen

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5).- Reduce: Cos [Arc Cos (Sen /6)]

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3d) 1/2 e) N.A.

6).- Calcula: E= Sec [Arc Cos 1/2 - Arc Sen 1/2 ]

a) /3 b) 2/3 c) 2 /3

d) 3/ e) N.A.

7).- Calcula: Q = Csc (Arc Sen /2+ Arc Tan 1)

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

8).- Calcula “Tan Q” en:Q = Arc Cos [ Sen (Arc Cot ) ]

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) N.A.

9).- Calcula la medida de “Q” en Q=ArcCot

a) 4/ b) /3 c) /4d) /5 e) N.A.

10).- Calcula:H= Sen(ArcTan1/2)+ Cos(ArcCos /3)

a) /2 b) +1 c) +2

d) +5 e) N.A.

11).- Resuelve: Arc Tan (x+y)=/4 Arc Tan (x – 2y)=-/4

a) x= 2/3; y=3/2 b) x=1/3; y=2/3c) x=3/2; y=1/2 d) x=5/2; y=2/3e) N.A.

12).- Calcula el valor de:K=Tg2 (Arc Sec2) + Ctg2 (Arc Csc 3)

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

13).- A que es igual:Arc Tg 1/6 + Arc Tg 5/7

a) /12 b) /8 c) /6d) /4 e) /2

14).- El equivalente de: J = tan(arcsen2/3).ctg(arccos1/3) es

a) b) c)

d) e) N.A.

15).- Calcula el valor de:

C Sec Arc Tg . . 8

a) b) c)

d) e)

16).- Calcula el valor de:

B Csc Arc Tg

3

5

5

12. .

a) 16/5 b) 21/5 c) 32/5d) 41/5 e) 51/5

17).- Simplifica la expresión:

A Sen Arc Cos

8

13

12

13. .

a) –1 b) 1 c) 0d) 2 e) N.A.

18).- Calcula el valor de “x”, si:

Arc Senx – Arc Cosx = /6

a) 1/2 b) /2 c) /2d) 1 e) N.A.

19).- Calcula :

118

2 5

1



a) 2 b) 0 c) /2

d) /4 e) 1/2

20).-Calcula:

a) 1 b) –3/4 c) –2/3d) –1/2 e) –1/3

21).-Calcula :

M = Sen

a) b) c) 1

d) 2 e) 3

22).-Calcula : N = Tan(2arctan1/3)

a) 1/2 b) 3/2 c) 3/4d) 3/5 e) 3/7

23).-Calcula :

F = Cos(arcsen4/5+arccos12/13)

a) 16/13 b) 16/15 c) 17/14d) 15/14 e) 13/17

24).-Calcula :

D = Tan(arctan3/5+arcsen3/5)

a) 25/13 b) 29/13 c) 27/11d) 16/15 e) 14/11

25).-Calcula :

N = Cos(arcsen2/3-2arcsen1/3)

a) b)

c) 1 d) 2 e) 3

26).-Calcula :

P = arccos3/ + arccos2/

a) /5 b) /4 c) /6d) /3 e) /8

27).-Calcula : P = Sen(2arctan2/3)

a) 12/11 b) 12/7 c) 12/13d) 13/11 e) 13/17

28).-Calcula : C = Cos(3arccos1/3)

a) 25/26 b) -27/28 c) -23/27 d) 27/29 e) 29/25

29).-Calcula : R = Tan(1/2arccos1/3)

a) 1 b) 2 c) /2

d) /3 e) /5

30).-Calcula : F = Cos(4arcsen1/ )

a) -7/2 b) -7/6 c) -7/9d) -8/3 e) 9/2

31).-Calcula : R = Sen(arctan +arccsc2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

32).-Calcula : F = Sec(2arctan2)

a) -5/3 b) 2/5 c) 5/3d) -6/7 e) -8/9

33).-Calcula : A = Tan(3arccot3)

a) 13/11 b) 13/12 c) 13/14 d) 13/15 e) 13/17

34).-Determina el valor de la expresión :

F = Cos(arcsen2/3+arccos2/3 + /3 )

a) /3 b) /4 c) /6

d) - /2 e) /2

35).- De la siguiente igualdad, halla el valor de “x”.2arcsenx + arccosx =5/6

a) /3 b) /6 c) /8

d) /7 e) /2

36).- Resuelve la siguiente igualdad.arcsenx = arccosx

a) /3 b) /4 c) /2

d) e) /5

37).-Calcula el valor de “x”.x = arctan3/4 + arctan1/7

a) /2 b) /3 c) /4d) /6 e)

38).-Calcula el valor de “y”. y = arctan2 + arctan4

a) - arctan6/7 b) - arctan5/7c) - arctan4/7 d) - arctan3/7e) - arctan2/7

39).-Calcula :

D = Sen(13 + arccsc1,5)

a) 2/5 b) 2/7 c) -2/3 d) -2/9 e) 2/9

40).-Calcula : N = Tan(arccot(1- ))

a) –( +1) b) –( +2)

c) –( +3)

d) –( +4) e) –( +5)

41).-Calcula : P = Cot(arctan2+arctan5)

a) 5/3 b) 5/4 c) -9/7d) 9/7 e) 9/5

42).- Halla el valor de :

R = Sen(arctan1/3 + arctan1/4)

a) b)

c) d)

e)

43).- Halla el valor de

F = Cos(arcsen(3/5) + arccot(1/3))

a) b) c)

d) e)

119




1) c 2) a 3) e 4) b 5) d

6) c 7) b 8) d 9)c 10) c

11) b 12) c 13)d 14)a 15) b

16) a 17) b 18)c 19)c 20)a

21) a 22) c 23) b 24) c 25)a

26) b 27) c 28) c 29)c 30) c

31) a 32) a 33)b 34)d 35) e

36) c 37) c 38)a 39)c 40)a

41) c 42) a 43)b

120



VIII. CRONOMETRÍA

1. CALENDARIO Es un sistema de medida del tiempo, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, años, etc.

Observaciones :

a) Considerar el número de días que atrae cada mes.

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio31 28 ó 29 31 30 31 30 31

año normal año bisiesto

Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre31 30 31 30 31

b) Un día se vuelve a repetir cada 7 días.

+7 +7 +7k

Martes Martes Martes . . . Martes 1 8 15

c) Con respecto a un año.

365 días ó Normal 12 meses (febrero trae 28 días) ó 52 semanas

Año366 días

Bisiesto Febrero (29 días)

Se repite cada 4 años ( )

2. RELOJES Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos.

H : Horariom : minutero : ángulo formado por el horario y el minutero

Observación:En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego:

1h <> 60 div <> 60 min <> 360°

1 div = 1 min = 6°

2.1. RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO

En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es:

Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones.

2.2. CALCULO DEL ÁNGULO “”

1er CASO : Cuando el minutero adelanta al horario.

= m - 30H

”m” antes que “H”

2do CASO : Cuando el horario adelanta al minutero.

= 30H - M

”H” antes que “m”

3. CAMPANADAS

En general :

Número de campanadas :

Del gráfico:

n° Campanadas = n° intervalos + 1

Ejemplo :

T = 4 x 2 = 8seg

Tiempo = n° de x Tiempo de Total intervalos cada intervalo

3.1. ADELANTOS Y ATRASOS Estas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta.

ADELANTOS

HM = HR + AD

ATRASOS

HM = HR - AT

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5min cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 10 pm del mismo día?Solución :

Se adelantó durante :22h - 8h = 14h

Tiempo Adelanto 1h 5min 14h x

x = 70 min = 1h 10min

Sabemos :HM = HR + adelantoHM = 10h + 1 h 10min

= 11 h 10min p.m.

2) Hace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8 min. cada 4 horas. Si en éste

121

12

6

39

m

H

m/12 div

m div.

12

6

39

Hm

12

6

39

H

m

3 4 n+1

1° 2° 3° (n-1)° n°

I I I I I

tiempo de cada intervalo

1C 2C 3C 4C

1° 2° 3°

2seg 2seg 2 seg 2seg

5C

4°

Hora marcada por

un reloj atrasado

Horareal

Hora marcada por

un reloj adelantado

(-) atraso total

(+) adelantototal

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m

H

30°

5 divisiones(1 división <> 1min)

Donde:HM : Hora marcadaHR : Hora realAD : Adelanto

Donde:HM : Hora marcadaHR : Hora realAT : Atraso



instante marca 8h 57min. ¿Cuál es la hora correcta?Solución :

Tiempo Atraso 4h 8min

12,5 x

x = = 25min

Sabemos : HM = HR - atraso

8h 57min = HR - 25 min

9h 22 min = HR

3) Qué ángulo forman el horario y minutero a las 5h 10min.Solución :

° = - (10) + 30(5)

° = -55° + 150° = 95°

4) Halla la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h 40min.

Solución :

° = (40) - 30(3)

° = 220° - 90° = 130°

5) Si el 1 de enero de 1942 cae jueves. ¿Qué día caerá el 1 de mayo del mismo año?Solución :N° de días =31 Ene +28Feb + 31Mar + 30Abr = 120 días

Pero : 120 = + 1

Lo cual significa que caerá un día después de jueves, es decir viernes.


NIVEL I

1).- ¿A que será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana. a) Ayer b) Mañanac) Anteayer d) Pasado mañanae) F.D

2).- Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) Lunes b) Juevesc) Viernes d) Martese) Sábado

3).- En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

4).- Si el 1 de enero de 1843 cae jueves. ¿Qué día caerá 1 de mayo del mismo año?a) Lunes b) Martesc) Miércoles d) Jueves e) Viernes

5).- En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábado y 5 domingos. ¿Qué día será el 18 de dicho mes?a) Domingo b) Lunesc) Martes d) Miércolese) Jueves

6).- Si el lunes es el martes del miércoles y el jueves es el viernes del sábado. ¿Qué día es el domingo del lunes?a) Martes b) Miércolesc) Jueves d) Viernese) Sábado

7).- Si el ayer del mañana es sábado. ¿Qué día será el mañana del ayer de pasado mañana?a) Lunes b) Martesc) Miércoles d) Juevese) Viernes

8).- Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer?a) Lunes b) Martesc) Domingo d) Juevese) Viernes

9).- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan?a) 11 de abril b) 12 de abrilc) 13 de abril d) 10 de abrile) N.A.

10).- En un determinado mes el primer día cayó martes y el último también. ¿Qué día cayó el 20 de mayo de dicho año?a) Lunes b) Miércolesc) Sábado d) Jueves e) Martes

11).- ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos?a) 0,52 b) 0,37 c) 0,71d) 0,41 e) 0,49

12).- Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. En cuantos segundos dará 12 campanadas?a) 12 s b) 10 s c) 11 sd) 9 s e) 13 s

13).- Una alarma suena 5 veces por segundo, cuántas veces sonará en un minuto?a) 300 b) 240 c) 301d) 241 e) 299

14).- ¿Cuántas campanadas dará en un día un reloj que indica cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada?a) 178 b) 179 c) 160d) 168 e) N.A

15).- ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?

I. A las 12h30min las agujas del reloj están diametralmente opuestas.

II. Cuando el horario recorre 30° el minutero recorrer 60 minutos.

III. A las 6h 30min las agujas están superpuestas.

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y II e) I, II, III

16).- Un ciego da 20 golpes de bastón en cierto tiempo. ¿Cuántos golpes de bastón dará en el triple de tiempo?a) 60 b) 59 c) 58d) 61 e) 62

17).- Un boxeador da 5 golpes en 40 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 20 golpes?

a) 3min 10 segb) 3min 20 segc) 3min 30segd) 2min 50sege) 2min 40seg

18).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es?

a) 6 pm b) 5 am c) 3 amd) 4 pm e) 3 pm

19).- Si las horas transcurridas del día exceden en 4 a los 2/3 de las horas no transcurridas, entonces la hora es :a) 12:00 b) 13:00 c) 12:45d) 08:40 e) 08:30

20).- Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00. ¿Qué hora es?a) 7:50 b) 8:10 c) 8:20

122

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m

H

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m H



d) 8:40 e) 8:30

NIVEL II

1).- Un reloj demora “x” segundos en dar (x+y) campanadas. ¿Cuánto tiempo demora en dar “xy” campanadas?

a) b)

c) d) e)

2).- Un reloj que se atrasa 6min cada 2 h sincronizado el 4 de mayo a las 4p.m. ¿Cuál seré l próximo día en la que volverá a marcar la hora exacta.a) 14 de mayo b) 16 de mayoc) 15 de mayo d) 12 de mayoe) 13 de mayo

3).- Un reloj se adelanta 1 min por hora si empieza correctamente a las 12 del medio día del jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá a señalara la hora correcta?a) 10 de octubre b) 16 de octubrec) 30 de setiembre d) 4 de octubree) 20 de octubre

4).- Un reloj se atrasa 2 min, cada hora y otro se adelanta 3min cada hora. Si los dos se sincronizan al medio día con un reloj normal. Cada cuanto tiempo volverán a marcar la hora exacta los res relojes:

a) 4 días b) 8 días c) 10 díasd) 5 días e) 6 días

5).- Un reloj marcará la hora exacta a las 12 del medio día, al cabo de cuántos días tendrá un atrasó de 2 días si se atrasa 10 min cada hora?a) 10 días b) 12 días

c) 14 días d) 8 díase) 9 días

6).- Un reloj se adelanta 2min cada 3h a que hora empezó adelantarse si a las 11h 15min de la noche marca las 11h 27min.a) 5:15 am b) 4:15 amc) 6:15 am d) 4: 27 ame) 5: 15 pm

7).- Rita sale de su casa a las 1 pm (según su reloj) y llega al colegio a las 2pm (según su colegio); luego se percata que su reloj estaba atrasado 6min y el del colegio adelantado 14min. ¿Cuánto tiempo se demoró Rita?a) 32’ b) 40’ c) 48’d) 52’ e) 42’

8).- Un reloj adelanta 5min cada hora y otro adelanta 2min cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día. ¿Después de cuántas horas el primero estará adelantado una hora respecto al otro?a) 20h b) 18h c) 10hd) 15h e) 40h

9).- Un reloj se atrasa 2 min cada 45 min se puso a la hora a las 7:45pm. ¿Qué hora marcará cuando realmente sean las 8:30 am del día siguiente?a) 7:56 b) 8:04 c) 7:54d) 7:45 e) 8:15

10).- Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y cada vez gira una vez a su eje. ¿Qué hora marcará a las 4pm?a) 5h b) 6h c) 4hd) 3h e) 2h

11).- Un reloj que tiene 30h gira una sola vez en torno a su eje al día.?Qué ángulo forman las manecillas de dicho reloj cuando en un reloj normal sean las 12 del día?a) 0° b) 90° c) 180°d) 120° e) 150°

12).- Faltan para las 6 tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es?a) 3:36 b) 5:30 c) 5:28

d) 5:32 e) 5:42

13).- Qué ángulo forman las manecilla de un reloj a las 2h 20’?a) 40° b) 50° c) 55°d) 45° e) 35°

14).- ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h40’?a) 70° b) 75° c) 80°d) 85° e) 90°

15).- ¿A que hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj se superponen?

a) 4h 20 min b) 4h21

min

c) 4h22 min d) 4h21 min

e) 4h 21 min

16).- ¿A que hora entre las 1 y las 2 se forma un ángulo recto por primera vez?

a) 1h20 min b) 1h22 min

c) 1h21 min d) 1h23 min

e) 1h21 min

17).- Una persona confunde a las agujas del reloj creyendo ver las 7h48min. ¿Cuál era la hora exacta?a) 9h 38min b) 9h 39minc) 9h 37min d) 9h 36mine) 9h 41min

18).- ¿Qué hora es en el gráfico adjunto?

a) 3:30b) 3:30’ 33’’

c) 3:13 min

d) 3:13 min

e) 3:15’12’’

19).-Según la figura. ¿Qué hora es?

a) 7h24 2/3b) 7h 23 1/13c) 7h 24 1/13d) 7h 24 3/13 e) 7h 23 2/13

20).- ¿Cuántas veces se superponen las agujas de un reloj?

a) 12 b) 24 c) 11d) 22 e) 23


NIVEL I1) b 2) a 3) d 4) e 5)b6) e 7) a 8) d 9) b 10)c11)d 12)c 13)d 14)e 15)b16)c 17) a 18)e 19)a 20)c

NIVEL II1) d 2) a 3) b 4) e 5)b6) a 7) b 8) a 9) a 10)b11)c 12) d 13)b 14)c 15)c16)c 17)b 18)d 19)b 20)e

123

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

mH

° °

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m

H

°°



IX. FRACCIONES

1. CONCEPTO Los números racionales son aquellos números que pueden ser representados como una fracción, obviamente, entre 2 enteros, donde el denominado será diferentes de cero.Es decir :

a, b Z ; b 0

2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS.

Los números fraccionarios se clasifican según la comparación entre sus términos como:

(i) Menor que uno cuando a < b denominado fracción propia.

(ii) Igual a uno cuando a = b denominado fracción unidad.

(iii) Mayor que uno cuando a > b denominador fracción impropia.

Entre otras clasificaciones, las fracciones, pueden ser homogéneas, heterogéneas, equivalente, reductibles, ordinarias, decimales, etc.

Ejemplo 1:Simplifique la siguiente expresión :

E =

Solución :Ordenando se tiene :

E=

E =

E = (1) E = 1

Observación :

FRACCIÓN =

Ejemplo 2:

¿ (a + b) , que parte es de (a2 – b2)?

Solución :Recordar que en una fracción el denominador representa el total de partes en que ha sido dividida la unidad y el numerador el número de partes que se toma del total.

F =

F =

Observación:

* más =1+ =

* menos = 1 - =

3. GENERATRIZ DE UNA FRACCIÓN Son aquellos decimales que dan origen a una fracción determinada.

3.1. DECIMAL EXACTO

* 0.25 =

* 2.75= 2

* 0.064 =

FRACCIÓN GENERATRIZNumerador : Se coloca la parte decimal.Denominador : Se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado.

3.2. DECIMAL INEXACTO

Periódico Puro

* 0.6 = * 0.81 =

* 15.3 = 15 +

FRACCIÓN GENERATRIZNumerador : Se coloca el periodo.DENOMINADOR : Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo.

0,ab =

a, bc = a +

Periódico Mixto

0.36 =

8.0063 = 8 +

0.123 = =

FRACCIÓN GENERATRIZNumerador : Se coloca la parte decimal y se resta la parte no periódicaDenominador : Se coloca tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantas ceros cifras no periódicas tenga el número.

a, ab =

a, 0bc = a +

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una caja de herramientas en un taller pesa 55kg más los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la caja de herramientas?

Solución : El peso total (PT) según el

enunciado :

PT = 55kg + 6/11 kg

La unidad o PESO TOTAL tiene ONCE ONCEAVOS ó 11/11. Esto significa que 55kg corresponde a CINCO ONCEAVOS del peso total :

55 = 5/11 PT o también :

5 x 11 = 5 x PT/11

124

Numerador

Denominador SON , ES , . . . de, del, . . .

Parte (ES)

Todo(DE)



Para que la igualdad se mantenga :

11 = PT/11

Si la onceava parte del peso total es 11kg entonces el peso total (PT) será igual a :

11 x 11

Es decir : PT = 121

La caja de herramientas pesa 121kg

2. Una piscina tiene agua hasta los 2/5 de su capacidad total. Si extraemos 80 litros en una cubeta, el nivel de agua disminuye hasta los 2/7. ¿Cuántos litros de agua había al inicio?

Solución :

Sea V el volumen total de la piscina en litros.

En el inicio había agua hasta los 2/5 V.

Salen 80 litros y quedan V, es

decir :

V - V = 80

Efectuando por “productos cruzados” :

V = 80

o también : 4 x = 4 x 20

Identificando : = 20

V = 20 x 35 litros V = 700 litros

Al inicio se tenía 2/5 de V, esto es 2/5 x 700 = 280

3. En un colegio mixto hay 800 alumnos entre hombres y mujeres. Se sabe que 3 de cada 4 alumnos son mujeres, y de estas 2 de cada 5

gustan escuchar música cuando estudian. ¿Cuántas mujeres estudian en silencio si se sabe que todas estudian?

Solución : Si de todos los alumnos 3 de cada 4

son mujeres, entonces ellas pueden ser representadas así :

3/4 de 800 ó 3/4 x 800 = 600

2 de cada 5 mujeres escuchan música cuando estudian, esto es :

2/5 de 600

Luego las que o escuchan música cuando estudian estarán representadas así :

3/5 de 600 ó 3/5 x 600 = 360

Las mujeres que estudian en silencio son 360.

3) Se tiene un depósito con una mezcla de 90 litros de leche y 30 de agua. Si luego se extraen 12 litros de mezcla y se reemplazan por agua. ¿Cuántos litros de leche hay en la nueva mezcla?

Solución :Establecemos las fracciones de leche y agua de la mezcla original :

30l agua

90l leche

Total 120l

Al extraer 12 litros de esta mezcla : 1/4 de 12 es de agua

1/4 de 12 ó 1/4 x 12 = 3 litros de agua.

y 3/4 es de leche :

3/4 de 12 ó 3/4 x 12 = 9 litros son de leche

Al haber salido 9 litros de leche quedan :

Al reemplazar los 12 litros de mezcla por 12 litros de agua la cantidad de leche que hay en la nueva mezcla no se altera, sigue siendo 81.

En la nueva mezcla hay 81 litros de leche.

4) Un vendedor de periódicos tiene una cierta cantidad de ejemplares de “EL CLARÍN”, de la que vende la tercera parte. Si a media mañana vende las 2/5 partes del resto habiéndole quedado 72 ejemplares: ¿cuántos de éstos tenía al inicio?

Solución :

Leemos la parte final: “ . . . vende las 2/5 partes del RESTO habiéndole QUEDADO 72 . . “. Si vende 2/5 del RESTO entonces le QUEDAN 3/5 del RESTO que es 72, así :

3/5 del RESTO = 72 ó = 3/5 x RESTO = 72

ó = 3 x = 3 x 24

de donde : = 24

RESTO = 24 x 5 = 120

Leemos la parte anterior a la parte final :“. . . de la que vende la tercera parte . . . “

Entonces el RESTO 120 representa las dos terceras partes de la cantidad inicial :

2/3 C = 120 C =

C = 180

5) Dos señoras compran una bolsa d cada una del mismo detergente. La primera emplea los 4/7 en su lavado

mientras que la segunda emplea sólo los 2/5 del suyo. ¿Qué fracción del total de detergente comprado por ambas señoras queda sin usar?

Solución :Sea T el contenido de una bolsa de detergente nueva; luego el contenido total comprado por las dos juntas es 2T.La primera señora emplea 4/7 de T luego le quedan :

3/7 T

La segunda señora emplea 2/5 de T luego le quedan:

3/5 T

Si sumamos lo que les queda a ambas tendremos :

T

Pero lo que nos piden es la fracción del contenido total (“T) que se compró al inicio; esto nos lleva a hacer el siguiente arreglo :

ó ó

Del total de detergente comprado por

ambas señoras queda sin usar 18/35


1).- Si 1/3 de dos docenas de pelotas son azules, ¼ son verdes, 1/12 son violetas y el resto son amarillas, ¿cuántas son amarillas?

a) 3 b) 6 c) 8d) 2 e) 16

2).- Si a varía entre 4 y 40 y b varía entre 5 y 12, entonces, a/b varía entre:

a) 1/8 y 3 b) 3 y 8c) 2.4 y 4.10 d) 1/3 y 8

125



e) 0.8 y 10/33).- Tres personas forman una sociedad con

4800 dólares de capital. El primero aporta los 3/8; el segundo, los 8/15 del resto. Entonces, el tercero aportó:

a) 1400 b) 700 c) 1620d) 2800 e) 1600

4).- Si gaste 2/3 de lo que no gasté, entonces, lo que no gaste representa:

a) 3/5 de mi dinerob) 1/3 de mi dineroc) 4/5 de mi dinerod) 3/2 de mi dineroe) 2/5 de lo que gastó

5).- Dos números consecutivos son tales que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. el número mayor es :

a) 110 b) 109 c) 55d) 111 e) 54

6).- Hallar “a + b” si = 0,969696...

a) 5 b) 8 c) 6d) 7 e) 9

7).- Si a/b + b/a = 62, entonces, el valor de [(a+b) / ]1/3 es :

a) 3 b) (a+b) /2 c) 2d) ab e) ab/2

8).- ¿Cuál es la relación de la fracción transcurrida de la semana a la fracción transcurrida del día cuando son las 6 a.m. del miércoles?. Considerar al día lunes primer día de la semana.

a) 8/7 b) 6/7 c) 3/5d) 1/7 e) 9/7

9).- Al preguntársele a un postulante qué parte del examen ha resuelto, éste

responde : he contestado los 4/5 de lo que no contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado?

a) 5/9 b) 4/9 c) 1/5d) 1/9 e) 2/5

10).- Sea “a” es un número racional tal que el numerador exceda al denominador en una unidad. Si dicho número es aumentado en 2 unidades, el numerador queda aumentado en 8,. El valor de “a” es:

a) 6/5 b) 5/4 c) 3/2d) 7/6 e) 9/4

11).- Si x e y son números enteros positivos tal que x>y, entonces, el valor de la verdad de las proposiciones siguientes (en el orden que se presenta)

I. < 0 II. < 0

III. > 0

a) FVV b) FFV c) FVFd) VVF e) VVV

12).- De un depósito lleno de agua se extrae la sexta parte. ¿Qué fracción del resto se debe volver a sacar para que quede solo los 3/5 de su capacidad inicial?

a) 18/5 b) 22/25 c) 18/25d) 7/25 e) 7/30

13).- Una pelota rebota 1/3 de la altura desde la cual es lanzada. Si parte de 18 m de altura entonces, la distancia total recorrida hasta detenerse es :

a) 24m b) 27 c) 38d) 30 e) 36

14).- Una varilla de “a” cm de longitud se corta en 2 partes. La parte menor mide ¼ del, total, luego, con la parte mayor se

repite el procedimiento. ¿Cuánto mide el pedazo más largo?

a) 3a/8 b) a/4 c) 3a/4d) 9a/16 e) 3a/16

15).- ¿Cuál es el numerador de la fracción equivalente a 3/13 tal que la suma de su dos términos sea 480?

a) 90 b) 80 c) 30d) 70 e) 60

16).- Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción x/y, con x y, se obtiene la fracción original invertida. ¿Cuál es aquella cantidad?

a) xy b) –xy c) x-yd) y-x e) x+y

17).- Existen dos números consecutivos tal que le menor excede en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor. el menor de los números es :

a) 131 b) 160 c) 124d) 180 e) 138

18).- Los 3/5 de “a” es “b” y los 8/9 de “b” es “c”. ¿Qué parte de “a” es “c”.

a) 7/11 b) 8/15 c) 12/13d) 6/13 e) 7/15

19).- Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los dos números es:

a) 18 b) 17 c) 20d) 21 e) 19

20).- Simplifica la siguiente expresión:

;

luego calcula el valor de :

a) 4/3 b) 2/3 c) 9/4d) 16/3 e) 16/9


1) c 2) e 3) a

4) a 5) d 6) b

7) c 8) e 9) b

10)b 11)a 12)d

13)e 14)d 15)a

16)e 17)c 18)b

19)a 20)a

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