Derivada direccional y gradiente de una función de dos variables Tema:
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Derivada direccionaly gradiente de una función
de dos variables
Tema:Tema:
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DERIVADAS DIRECCIONALES
),( yxx
y
z
u
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http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml
Interpretación geométrica de
derivada direccional
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Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:
h
y)f(x, - ) huy ,hu x( f lim y)f(x, 21
0h
u
D
si el límite existe.
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Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:
2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u
D
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Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).
5
2
)2,1(5
1)1,2(),(
y
xyxyxfDu
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GRADIENTE
jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(
x),( yx
),( yxf
y
z
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del sen término direccional Derivada
uyxfyxfDu
),(),(
Q(3,2) a P(2,2)
dedirección laen )2,2( b)Halle
mente.geométrica
lorepreséntey )2,2( ea)Encuentr
),( Sea :Ejemplo 22
fD
f
yxyxf
u
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Teorema
a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0).
b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
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Corolario
a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0)
b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .