Diseño Flex de Vigas

TEMAS DE HORMIGN ARMADO Marcelo Romo Proao, M.Sc.

Escuela Politcnica del Ejrcito Ecuador [email protected]

Octubre-2008 104

CAPTULO VII DISEO A FLEXIN DE VIGAS DE HORMIGN ARMADO

7.1 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DEFINIDOS EN LOS

CDIGOS DE DISEO: Las curvas de descripcin del hormign armado sometido a compresin han sido objeto de estudios por parte de numerosos investigadores. Es frecuente representarlas por un tramo recto (rango de comportamiento elstico) aadido a un tramo aproximadamente parablico (rango de comportamiento inelstico), o por tres tramos rectilneos. Lamentablemente el manejo matemtico de esas representaciones simplificadas del comportamiento del hormign se vuelve algo enredado para fines prcticos.

Figura 7.1: Modelos elasto-parablico y trilineal de descripcin de la curva esfuerzo-

deformacin del hormign. Si se tuviera una viga de hormign armado de seccin rectangular, sometida a flexin, y se quisiera analizar el comportamiento en una seccin transversal especfica (por ejemplo la seccin ms solicitada de la viga), una parte de esa seccin transversal estar sometida a esfuerzos y deformaciones de compresin de magnitud variable, mientras que otra parte de la viga estar sometida a solicitaciones de traccin. La resistencia del hormign a traccin puede considerarse nula pues luego de su fisuracin esas tensiones desaparecen y son reemplazadas por tracciones en el acero de refuerzo.

Los cdigos de diseo ACI y CEC establecen que cuando un elemento trabaja a flexin, el hormign en la zona de compresin no debe sobrepasar de una deformacin mxima unitaria () de 0.003, [ACI 10.2.3] lo que representa una posicin conservadora para hormigones de hasta 420 Kg/cm2 de resistencia caracterstica (estos hormigones tienen deformaciones unitarias de rotura superiores a 0.003 segn los ensayos de laboratorio), y una posicin ajustada a los resultados experimentales para hormigones entre 420 Kg/cm2 y 560 Kg/cm2 de mayor resistencia (en estos hormigones la deformacin mxima es del orden de 0.003). Esa deformacin mxima podra estar en exceso para hormigones de mayor resistencia, por lo que la especificacin debe ser reformulada, mediante una base experimental y matemtica, para estos hormigones.



Octubre-2008 105

Simultneamente los cdigos fijan en sus especificaciones que debe cumplirse que todo el acero de traccin debe superar el esfuerzo de fluencia (y), en proporciones que dependen de que la estructura se ubique en zonas ssmicas o zonas no ssmicas.

qU

M

Figura 7.2: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida y

diagrama de momentos flectores.

E.N.

=0.003

s y

fc

C

T

d

c

Figura 7.3: Diagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo cargas ltimas.

Debido a que las deformaciones unitarias () son proporcionales a la distancia respecto al eje neutro (E.N.), el diagrama de compresiones por flexin tiene la misma geometra que el diagrama esfuerzo deformacin del hormign a compresin.

En la zona de traccin se supone que el hormign se ha fisurado totalmente y que no colabora en la capacidad resistente, por lo que solamente el acero trabaja a traccin [ACI 10.2.5].

La fuerza de traccin (T), dado que el acero debe encontrarse en fluencia, se calcula rpidamente mediante la siguiente expresin:

T = As . Fy Por equilibrio de fuerzas horizontales la magnitud de la fuerza de compresin debe ser igual a la magnitud de la fuerza de traccin.



Octubre-2008 106

C = T Claramente se puede observar que si la viga tiene una armadura importante de traccin, el bloque de compresin ser tambin grande y el eje neutro tender a descender.

E.N.

=0.003

< y

fc

C

T

d

c

Figura 7.4: Diagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo cargas ltimas

en vigas con armadura de traccin importante. El descenso del eje neutro puede conducir en caso extremo a que la deformacin unitaria en el acero sea pequea y el acero no alcance el esfuerzo de fluencia, lo que lleva a un comportamiento frgil de la seccin transversal, en contraposicin con las especificaciones de los cdigos de diseo.

As mismo, si la cantidad de acero es pequea, el bloque de compresin ser pequeo y el eje neutro ascender.

E.N.

=0.003

> y

fc

C

T

d

c

Figura 7.5: Diagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo cargas ltimas

en vigas con armadura de traccin pequea. El ascenso del eje neutro proporcionar deformaciones unitarias importantes al acero, lo que asegura que el acero incursione ampliamente en la zona de fluencia, conduciendo a un comportamiento dctil de la seccin analizada, conforme lo establecen los cdigos de diseo.

En definitiva, es la cantidad de acero de traccin la que controla el tipo de falla de las estructuras bajo solicitaciones flexionantes. Contrariamente a lo que se podra pensar, el



Octubre-2008 107

exceso de armadura de traccin puede ser perjudicial para el comportamiento de una estructura de hormign armado, al volverla ms frgil. 7.2 EL BLOQUE DE COMPRESIN DE WHITNEY: Los aspectos matemticos del manejo de la curva esfuerzo-deformacin del hormign en la zona comprimida del hormign sometido a flexin pueden ser complejos. El Dr. Whitney propuso la utilizacin de un bloque de compresin rectangular cuya rea sea equivalente a la que queda bajo la curva real, y cuyo centro de gravedad coincida aproximadamente con el centro de gravedad de la curva real. La investigacin del Dr. Whitney fue acogida por el ACI [ACI 10.2.7], y posteriormente adoptada por el CEC [CEC 10.2.7].

E.N.

=0.003

s y

fc

C

T

d

C

Rectngulo de Compresin Equivalente

T

c a

0.85fc

Figura 7.6: Rectngulo de compresin equivalente bajo cargas ltimas.

La altura del bloque de compresin rectangular equivalente (de acuerdo al modelo de Whitney), para secciones transversales rectangulares, se calcula mediante la siguiente expresin [ACI 10.2.7.1]:

a = 1 . c Ecuacin (7.1) El valor de 1 se estima a partir de la siguiente tabla [ACI 10.2.3]:

Tabla 7.1: Valores del coeficiente 1. fc

(Kg/cm2) 1

210 0.85 280 0.85 350 0.80 420 0.75 490 0.70

560 0.65



Octubre-2008 108

Hasta resistencias de 280 Kg/cm2, el valor de 1 es de 0.85, y por cada incremento de resistencia de 70 Kg/cm2, 1 decrece en 0.05, sin bajar de 0.65. Para valores de resistencia intermedios se debe realizar una interpolacin lineal.

Los ensayos experimentales han demostrado que el modelo de Whitney es conservador en cuanto al clculo de la magnitud de la fuerza de compresin, lo que provoca que la verdadera posicin del eje neutro sea ligeramente superior a la que aparece en los clculos. Ese hecho es beneficioso desde el punto de vista de aseguramiento de la ductilidad de las estructuras de hormign armado. EJEMPLO 7.1: Determinar la capacidad resistente ltima de la siguiente viga de seccin transversal rectangular, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Solucin: En primer lugar se dibuja el diagrama de deformaciones unitarias, y el diagrama de esfuerzos y fuerzas que se espera que tenga la viga:

El diagrama de deformaciones unitarias se caracteriza por tener un valor de 0.003 en la fibra extrema de compresin del hormign, conforme a los cdigos.

El esfuerzo uniforme equivalente de compresin en el hormign es 0.85 fc. La seccin de acero en la zona traccionada es:

As = 4 x 1.54 cm2 = 6.16 cm2



Octubre-2008 109

Se puede suponer que el acero ha alcanzado el nivel de fluencia (deber verificarse posteriormente) por lo que:

s > y Fs = Fy La fuerza de traccin T es:

T = As . Fy T = (6.16 cm2) (4200 Kg/cm2)

T = 25872 Kg Por equilibrio de fuerzas horizontales la resultante de la compresin en el hormign (Cc) es igual en magnitud a la fuerza de traccin del acero.

Cc = T

Cc = 25872 Kg La fuerza de compresin tambin puede calcularse como el producto del esfuerzo uniforme por el rea sobre la que se aplica ese esfuerzo.

Cc = (0.85 fc).b.a Reemplazando los datos conocidos en la ecuacin previa se tiene:

)a)(25)(210)(85.0()25872( = Despejando a:

)25)(210)(85.0()25872(a =

a = 5.80 cm.

La relacin entre a y c es:

a = 1 . c Despejando c se tiene:

1

ac =

Para hormigones cuya resistencia caracterstica es 210 Kg/cm2, el valor de 1, es de 0.85:



Octubre-2008 110

85.0cm 80.5c =

c = 6.82 cm Se grafica detalladamente, y a escala, la nueva informacin:

El momento flector nominal es igual a la magnitud de la resultante de compresin o traccin multiplicada por el brazo de palanca (d a/2).

=2ad.TMn

Reemplazando los valores correspondientes:

=2

cm 80.5cm 35).Kg 25872(Mn

Mn = 830491 Kg-cm El momento flector resistente ltimo se obtiene al multiplicar el momento nominal por el factor de reduccin de capacidad.

Mu = .Mn Mu = (0.90).(830491 Kg-cm)

Mu = 747442 Kg-cm EJEMPLO 7.2: Disear una viga cuya seccin transversal es de 30 cm de base por 50 cm de altura geomtrica, que est sometida a un momento flector ltimo de 23 T-m. La viga utiliza un hormign con resistencia caracterstica de 210 Kg/cm2, y acero con esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2. La distancia desde la cara exterior hasta el centro de gravedad de las varillas de acero traccionado es de 6 cm.



Octubre-2008 111

Solucin: Se dibuja un diagrama con las fuerzas de compresin y traccin.

A partir del diagrama previo se puede calcular el Momento Flector Nominal Mn.

=2ad.TMn

El momento ltimo se calcula con:

Mu = . Mn De donde:

=2ad.T.Mu

Pero si el acero se encuentra en fluencia, la fuerza de traccin T sera: T = As.Fy

Reemplazando en la ecuacin previa:

=2ad.Fy.As.Mu

Si se conociera la altura del bloque de compresin a, podramos determinar la magnitud de la seccin de acero de traccin As.



Octubre-2008 112

=

2ad.Fy.

MuAs Ecuacin (7.2)

Por equilibrio de fuerzas horizontales, la resultante de compresin Cc debe ser igual a la fuerza de traccin T. Cc = T

La fuerza traccin se defini previamente, y la fuerza de compresin sera:

Cc = 0.85 fc . a . b

De donde:

0.85 fc . a . b = As . Fy

Despejando a se tiene:

b.c'f85.0Fy.Asa = Ecuacin (7.3)

Las 2 ecuaciones (7.11 y 7.12) expresan la interdependencia entre la seccin de acero requerida para absorver un momento flector ltimo y la altura del bloque de compresin.

Primera Aproximacin:

Se supone que a tiene un valor estimado de 8 cm (este es un valor totalmente arbitrario, pero en un diseo acorde a los cdigos un 20% de la altura efectiva es un buen punto de partida 20% de 44 cm).

a = 8 cm Se podra estimar la seccin transversal de acero mediante la Ecuacin (7.2).

=

2ad.Fy.

MuAs

=

2cm 8cm 44).Kg/cm 4200).(90.0(

cmKg 2300000As2

As = 15.21 cm2 Luego se aplica la Ecuacin (7.3) para obtener una mejor estimacin de la altura del bloque de compresin a.

b.c'f85.0Fy.Asa =

)cm 30).(cm/Kg 210).(85.0()cm/Kg 4200).(cm 21.15(a 2

22

=

a = 11.93 cm



Octubre-2008 113

Se estim inicialmente un valor de a de 8 cm, y se concluy que una mejor aproximacin era 11.93 cm, lo que requiere un reajuste del proceso.

Segunda Aproximacin:

El nuevo valor de a es sin duda una mejor aproximacin al valor real, por lo que se lo utilizar en esta segunda fase, que es una repeticin de la primera fase:

a = 11.93 cm

Se utiliza la Ecuacin (7.2) para mejorar la estimacin de As.

=

2ad.Fy.

MuAs

=

2cm 93.11cm 44).Kg/cm 4200).(90.0(

cmKg 2300000As2

As = 16.00 cm2 Con la Ecuacin (7.3) se obtiene la altura del bloque de compresin.

b.c'f85.0Fy.Asa =

)cm 30).(cm/Kg 210).(85.0()cm/Kg 4200).(cm 00.16(a 2

22

=

a = 12.53 cm Debido a que an existe una diferencia importante (mucho menor que en la primera aproximacin) entre el valor de a asumido inicialmente (11.93 cm) y el valor recalculado (12.53 cm), se necesita una tercera etapa de aproximacin.

Tercera Aproximacin:

a = 12.53 cm

Se utiliza la Ecuacin (7.2) para estimar el valor de As.

=

2ad.Fy.

MuAs

=

2cm 53.12cm 44).Kg/cm 4200).(90.0(

cmKg 2300000As2

As = 16.12 cm2 Con la Ecuacin (7.3) se obtiene la altura del bloque de compresin.

b.c'f85.0Fy.Asa =



Octubre-2008 114

)cm 30).(cm/Kg 210).(85.0()cm/Kg 4200).(cm 12.16(a 2

22

=

a = 12.64 cm

El valor de a asumido inicialmente (12.53 cm) y el valor recalculado (12.64) son suficientemente cercanos para afirmar que se ha alcanzado la convergencia. En la siguiente tabla, que resume el proceso anterior, se puede observar tal convergencia:

Iteracin aasumido As arecalculado 1 8.00 cm 15.21 cm2 11.93 cm 2 11.93 cm 16.00 cm2 12.53 cm 3 12.53 cm 16.12 cm2 12.64 cm

Se concluye que:

As = 16.12 cm2 Antes de escoger las varillas que proporcionen la seccin transversal requerida se debe verificar si el acero realmente se encuentra en fluencia.

La relacin entre la posicin del eje neutro c y la altura del bloque de compresin a es:

c.a 1=

1

ac =

85.0cm 64.12c =

c = 14.87 cm Se representa grficamente el diagrama de deformaciones unitarias y el diagrama de fuerzas y esfuerzos.

Por semejanza de tringulos se puede determinar la deformacin unitaria del acero s.

c003.0

cds =

Reemplazando los valores conocidos y simplificando se tiene:



Octubre-2008 115

87.14003.0

87.1444s =

00588.0s = La deformacin unitaria de fluencia es:

EsFy

y =

21000004200

y = 002.0y =

Debido a que la deformacin unitaria en el acero s es mayor que la deformacin de fluencia y, el acero se encuentra en fluencia. La seccin transversal de acero que requiere la viga podra estar conformada por 3 varillas de 20 mm de dimetro ms 2 varillas de 22 mm, que proporcionan un rea total de 17.02 cm2, algo mayor que los 16.12 cm2 requeridos.

El CEC 2001 [CEC 7.7] y el ACI 2008 [ACI 7.7] establecen que el recubrimiento mnimo del acero en vigas debe ser de 4 cm para proteccin de las varillas, lo que aadido al dimetro de los estribos (8 mm) y la mitad del dimetro de las varillas (11 mm) proporciona el siguiente valor:

Distancia al centro de gravedad del acero = 4 cm + 0.8 cm + 1.1 cm = 5.9 cm.

Ese valor es consistente con los 6 cm propuestos desde la cara exterior del hormign hasta el centro de gravedad de las varillas.

Los cdigos de diseo (ACI 2005 y CEC 2001) [ACI 7.6.1, ACI 3.3.2] disponen que para varillas a traccin, el espaciamiento mnimo entre caras exteriores de las varillas debe ser el mayor entre el dimetro de las varillas, 4/3 el tamao mayor del agregado grueso y 25 mm, lo que significa que en este caso el espaciamiento mnimo es de 25 mm.

La distribucin tentativa de las varillas calculadas sera:



Octubre-2008 116

Para varillas longitudinales cuyo dimetro fuera superior a los 22 mm, el ancho de 30 cm de la viga no sera suficiente para colocar 5 varillas aisladas pues no se cumplira con las condiciones bsicas de recubrimiento del acero (slo podran ubicarse hasta 4 varillas).

NOTA: Debe mencionarse, en este punto, que el diseo realizado hasta el momento solamente toma en consideracin aspectos relativos a la capacidad resistente del hormign armado, pero los aspectos relacionados con ductilidad no han sido analizados. Esos aspectos adicionales se estudiarn detalladamente en el numeral subsiguiente de este captulo, en lo referente a cuantas de armado mximo. 7.3 ECUACIONES PARA LA OBTENCIN DE LA SECCIN

TRANSVERSAL DE ACERO EN VIGAS RECTANGULARES: En el ejemplo anterior se dedujeron 2 ecuaciones que permiten realizar el diseo, de manera iterativa, de la seccin de acero requerida en una seccin rectangular, para resistir un momento flector ltimo especfico. Tales ecuaciones son

=

2ad.Fy.

MuAs Ecuacin (7.2)

b.c'f85.0Fy.Asa = Ecuacin (7.3)

Se puede reemplazar la Ecuacin (7.3) en la Ecuacin (7.2):

=

2

b.c'f85.0

Fy.As d.Fy.

MuAs

=

b.c'f70.1Fy.Asd.Fy.

MuAs

Se obtiene el denominador comn en el denominador del miembro derecho, y se simplifica:



Octubre-2008 117

=

b.c'f70.1Fy.Asd.b.c'f70.1.Fy.

MuAs

)Fy.Asd.b.c'f70.1.(Fy.Mu.b.c'f70.1As =

=Mu.b.c'f70.1)Fy.Asd.b.c'f70.1.(Fy.As

Se destruyen los parntesis:

=Mu.b.c'f70.1)Fy.As()Fy.As.(d.b.c'f70.1 2

0Mu.b.c'f70.1)Fy.As.(d.b.c'f70.1)Fy.As( 2 =+

Se llega a una ecuacin de segundo grado en la que la incgnita es As.Fy, cuya forma general es:

0cx.bx 2 =++ La solucin simplificada de este tipo de ecuacin es:

c2b

2bx

2

=

Aplicando la solucin a la ecuacin obtenida:

=Mu.b.c'f70.1)d.b.c'f85.0()d.b.c'f85.0(Fy.As 2

Se puede reorganizar la fraccin dentro del radical de modo que se pueda factorar la expresin (0.85fc.b.d)2

222

d.b.c'f.85.0Mu.2)d.b.c'f85.0()d.b.c'f85.0()d.b.c'f85.0(Fy.As =

= 22

d.b.c'f.85.0Mu.21.)d.b.c'f85.0()d.b.c'f85.0(Fy.As

Se extrae el factor fuera del radical:

2d.b.c'f.85.0Mu.21)d.b.c'f85.0()d.b.c'f85.0(Fy.As =

Se factora:



Octubre-2008 118

= 2d.b.c'f.85.0Mu.211)d.b.c'f85.0(Fy.As

Se puede generar una constante de simplificacin:

d.b.c'f85.0k = Ecuacin (7.4) Reemplazando en la expresin previa se tiene:

= d.k.

Mu.211kFy.As

Despejando As:

= d.k.

Mu.211FykAs

Si bien matemticamente existen 2 soluciones, fsicamente slo existe la que tiene signo negativo en el radical (valor menor).

= d.k.

Mu.211FykAs Ecuacin (7.5)

La representacin grfica de la solucin obtenida (con el signo negativo del radical) sera:

Figura 7.7: Representacin grfica de la solucin de la ecuacin de armadura por

flexin, con el signo negativo del radical. La solucin con el signo positivo corresponde a un bloque de compresin irreal extremadamente grande con un brazo de palanca pequeo, de modo que el momento que se genera (fuerza por brazo de palanca) se mantenga similar al del grfico previo.



Octubre-2008 119

Figura 7.8: Representacin grfica de la solucin irreal de la ecuacin de armadura

por flexin, con el signo positivo del radical. EJEMPLO 7.3: Mediante el uso de las frmulas deducidas previamente, disear la viga del ejemplo previo (ejemplo 7.2).

Solucin: Las frmulas de diseo son:

d.b.c'f85.0k = Ecuacin (7.4)

= d.k.

Mu.211FykAs Ecuacin (7.5)

Los datos de la viga, en unidades compatibles, son:

Mu = 2300000 Kg-cm fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 30 cm d = 44 cm

Utilizando la Ecuacin (7.4) se tiene: d.b.c'f85.0k =

)cm 44).(cm 30).(cm/Kg 210(85.0k 2=



Octubre-2008 120

Kg 235620k = Reemplazando en la Ecuacin (7.5):

= d.k.

Mu.211FykAs

=)cm 44).(Kg 235620).(90.0(

)cmKg 2300000.(211cm/Kg 4200Kg 235620As 2

2cm 15.16As = La diferencia entre la seccin de acero que se obtuvo por medios iterativos y la que se obtuvo con las ecuaciones exactas es mnima (16.12 cm2 y 16.15 cm2).

La seccin transversal de acero ser la misma, es decir podra estar conformada por 3 varillas de 20 mm de dimetro ms 2 varillas de 22 mm, que proporcionan un rea total de 17.02 cm2.

Si se utiliza el signo positivo del radical en el clculo de la seccin de acero se tendra:

+= d.k.

Mu.211FykAs

+=)cm 44).(Kg 235620).(90.0(

)cmKg 2300000.(211cm/Kg 4200Kg 235620As 2

2cm 04.96As = La altura del bloque de compresin, si el acero est en fluencia, sera:

)cm30)(cm/Kg210(85.0)cm/Kg4200).(cm 04.96(a 2

22

=

)cm30)(cm/Kg210(85.0)cm/Kg4200).(cm 04.96(a 2

22

=

cm 33.75a = Esta magnitud es incompatible con la geometra de la seccin transversal, pues una viga de 50 cm de altura jams podra tener un bloque rectangular de compresin de 75.33 cm



Octubre-2008 121

de altura (o una zona comprimida de 75.33/0.85 = 88.62 cm de altura), razn por la que esta solucin irreal debe ser desechada. EJEMPLO 7.4: Disear la viga simplemente apoyada de la figura.

D=3 T/m

L=2.2 T/m

6 m

La seccin transversal de la viga mide 30 cm x 55 cm, el hormign tiene una resistencia caracterstica fc = 210 Kg/cm2, y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Solucin: La carga ltima se calcula mediante la siguiente expresin:

U = 1.4 D + 1.7 L

De donde la carga distribuida ltima ser:

qu = 1.4 (3) + 1.7 (2.2)

qu = 7.94 T/m

El momento flector mximo se producir en el centro de la luz y su valor ser:

8)6).(94.7(M

2

u = Mu = 35.73 T-m Para mantener compatibilidad de unidades el momento ltimo se debe expresar en Kg y cm.

Mu = 3573000 Kg-cm

Aplicando el formulario correspondiente al clculo de la seccin transversal de acero se tiene:

d.b.c'f85.0k = fc = 210 Kg/cm2

b = 30 cm

d = 49 cm

k = 0.85(210).(30).(49)

k = 262395



Octubre-2008 122

= d.k.

Mu.211FykAs

=)49).(262395).(90.0(

)3573000.(2114200

262395As

As = 23.84 cm2 En varillas comerciales la seccin crtica requiere de 5 varillas de 25 mm de dimetro (A = 24.55 cm2), una seccin ligeramente superior a la requerida.

As = 5 25 mm

Las 5 varillas de 25 mm separadas no alcanzan en un ancho de viga de 30 cm, por lo que se presentan 3 alternativas de solucin: se puede incrementar la base de la viga a 35 cm para que quepan todas las varillas; se pueden colocar las varillas en 2 capas con varillas alineadas verticalmente; o se puede recurrir a formar paquetes de 2 varillas en las esquinas y una varilla en el centro.



Octubre-2008 123

NOTA 1: El nmero mximo de varillas de acero que pueden conformar un paquete es cuatro [ACI 7.6.6.1], que deben colocarse dentro de estribos [ACI 7.6.6.2]. Solamente las varillas cuyo dimetro no sobrepase de 36 mm pueden conformar paquetes [ACI 7.6.6.3].

NOTA 2: Al colocar las varillas de acero en capas, se deben ubicar alineadas verticalmente, con la presencia de un separador (un pedazo de varilla de hierro) de al menos 25 mm de espesor entre capa y capa [ACI 7.6.2].

En el presente caso se puede escoger conformacin de paquetes de varillas.

Cuando se tienen paquetes de varillas la separacin mnima entre caras externas se calcula suponiendo que el dimetro del paquete es equivalente al dimetro de una varilla ficticia cuya rea es igual a la suma de las reas de las varillas en dicho paquete [ACI 7.6.6.5].

Tabla 7.2: Dimetro equivalente de los paquetes de varillas.

Nmero de Varillas en el Paquete

Geometra del Paquete

Dimetro de las Varillas

Dimetro Equivalente del Paquete

2 D 1.41D

3

D 1.73D

4

D 2D

7.4 CUANTAS DE ARMADO: a. DEFINICIN:

En una viga, la cuanta de armado es el cociente entre la seccin transversal de acero y la seccin efectiva de hormign; se representa con el smbolo . Para vigas rectangulares se tendra la siguiente expresin:

d.bAs= Ecuacin (7.6)

Donde:

As: Seccin transversal de acero de traccin b: Base de la seccin rectangular



Octubre-2008 124

d: Altura efectiva de la seccin rectangular (distancia desde el centro de gravedad de las varillas de acero hasta la fibra comprimida extrema de hormign)

EJEMPLO 7.5: Determinar la cuanta de armado de una viga que tiene la siguiente seccin transversal:

Solucin:

)cm 49).(cm 30(cm 54.24

d.bAs 2==

= 0.0167 NOTA: Para nuestro medio, cuantas de armado longitudinal promedio en vigas entre 1% y 1.2% denotan un buen diseo tcnico-econmico.

b. CUANTA BALANCEADA:

Es la cuanta de armado en una viga que simultneamente provoca la deformacin unitaria mxima permitida en el hormign de compresin (0.003), y que el acero de traccin empiece a fluir [ACI 10.3.2].

Se dibuja la seccin transversal (en este caso una seccin rectangular) de una viga con su diagrama de deformaciones y de fuerzas para la condicin balanceada.



Octubre-2008 125

Figura 7.9: Deformaciones unitarias, esfuerzos y posicin del eje neutro para la

cuanta balanceada. La deformacin unitaria en el acero, el instante de iniciar la fluencia se puede calcular con la siguiente expresin:

EsFy

y = Se puede calcular la posicin del eje neutro por semejanza de tringulos:

y

cd003.0c

=

Reemplazando y:

EsFy

cd 003.0c =

El mdulo de elasticidad del acero Es es 2100.000 Kg/cm2.

2100000Fy

cd 003.0c =

Simplificando:

cd2100000

Fy.003.0c =

cd6300

Fy.c = )cd(6300Fy.c =

c6300d6300Fy.c = Despejando c:

d6300c6300Fy.c =+ d6300)6300Fy.(c =+



Octubre-2008 126

d6300Fy

6300c +=

La resultante de compresin en el hormign es:

Cc = 0.85 fc.b.a

La relacin entre la altura del bloque de compresin y la posicin del eje neutro es:

a = 1.c Se reemplaza en la ecuacin previa:

c.bc'f85.0C 1c = Reemplazando el valor de c:

d6300Fy

6300.bc'f85.0C 1c +=

Por otro lado, la fuerza de traccin en el acero es:

FyAsT = Pero por equilibrio las fuerzas de traccin y compresin deben ser iguales:

CT = d

6300Fy6300.bc'f85.0FyAs 1 +=

Dado que la cuanta de armado es As/(b.d) conviene reproducir esa expresin en el miembro izquierdo.

6300Fy6300

Fy.c'f85.0

dbAs 1

+=

6300Fy6300

Fy.c'f85.0 1

+=

La cuanta obtenida es la cuanta balanceada de una viga rectangular.

6300Fy6300

Fyc'f85.0 1b += Ecuacin (7.7)

Si se divide numerador y denominador de la fraccin derecha para el mdulo de elasticidad del acero Es, se obtiene una expresin alternativa para la cuanta balanceada de una viga rectangular.

b f cFy FyEs

= +

0 85 0 003

0 0031.

' .

. Ecuacin (7.8)



Octubre-2008 127

EJEMPLO 7.6: Determinar la seccin transversal de acero de traccin que requiere una viga de 25 cm x 50 cm para tener una falla balanceada, si se conoce que la distancia desde la cara exterior al centro de gravedad del acero es de 6cm, que el acero tiene un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2 y el hormign tiene una resistencia caracterstica a la compresin de 280 Kg/cm2. Calcular el momento flector ltimo resistente de la seccin propuesta.

Solucin: La ecuacin que define la cuanta balanceada es:

003.0EsFy

003.0Fy

c'f85.0 1b+

=

Los datos conocidos son: 2cm/Kg 2100000Es =

2cm/Kg 280c'f = 2cm/Kg 4200Fy =

El valor de 1 para un hormign de 280 Kg/cm2 es: 85.01 =

Reemplazando los valores conocidos en la ecuacin de cuanta balanceada se tiene:

003.02100000

4200003.0

4200280)85.0(85.0b

+=

0289.0b = La seccin transversal de acero es:

)cm 44()cm 25()0289.0(dbAs == 2cm 79.31As =



Octubre-2008 128

Una vez calculada la seccin de acero se procede a determinar el momento flector ltimo resistente.

Dado que se trata de la cuanta balanceada, el esfuerzo en el acero es el de fluencia.

Se determina la fuerza de traccin provocada por los 31.79 cm2 de acero.

)cm/Kg 4200()cm 79.31(Fy.AsT 22 == Kg 133518T =

Por equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresin en el hormign es igual a la fuerza de traccin en el acero.

TCc = Kg133518Cc =

La altura del bloque de compresin es:

)25)(280)(85.0(133518

b)c'f85.0(C

a c == cm 44.22a =

El momento flector nominal que resiste la seccin es:

=

=244.2244)133518(

2adTMn

mT 77.43cmKg 4376720Mn == El momento flector ltimo resistente es:



Octubre-2008 129

)77.43()90.0(MnMu == mT 39.39Mu =

NOTA: Cuando la seccin transversal de acero de la viga propuesta es de 31.79 cm2, el acero alcanza la fluencia, a la par que el hormign llega a su deformacin unitaria mxima (0.003). Un diseo de estas caractersticas es til solamente desde el punto de vista acadmico, pues no presentara caractersticas de ductilidad apropiadas como se podr observar en el siguiente acpite.

c. CUANTAS MXIMAS DE ARMADO EN VIGAS: El CEC-2001, al igual que sus versiones anteriores, establece que en zonas no afectadas por sismos, o estructuras cuyo efecto ssmico es despreciable, la mxima cuanta de armado permitida es el 75% de la cuanta balanceada [CEC 10.3.3].

bmx 75.0 = Ecuacin (7.9) Este criterio asegura que el acero entre en fluencia un poco antes de que el hormign ingrese en la zona de decrecimiento de capacidad resistente a la compresin, con lo que se logra un cierto nivel de ductilidad de las secciones antes de la falla.

Para secciones rectangulares con aceros de 4200 Kg/cm2 de fluencia [CEC 21.2.5.1], la condicin de cuanta balanceada implica una deformacin en el acero de 0.002 cuando el hormign est al borde de la rotura, lo que provocara una rotura frgil de la seccin. Por su parte una cuanta de armado del 75% de la cuanta balanceada es equivalente a una deformacin unitaria mnima del acero de traccin de 0.00367.

Figura 7.10: Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo la cuanta

balanceada.



Octubre-2008 130

Figura 7.11: Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 75% de la

cuanta balanceada. Cuando se trabaja con aceros de 4200 Kg/cm2 de fluencia, y se analizan los diagramas momento-curvatura bsicos, utilizar el 75 % de la cuanta balanceada es equivalente a incrementar en un 33% la curvatura del hormign armado antes de la falla, con relacin a la falla balanceada.

33.1002.0003.0

00367.0003.0

1

2 =++=

M/Mp

1 b 0.75 b

2=

1.33

1 1

Figura 7.12: Diagrama momento flector normalizado curvatura.

Cuando las vigas disponen de armadura de compresin, el CEC-2001 [CEC 10.3.3] exige niveles de ductilidad anlogos a los analizados para vigas sin armadura de compresin (2/1 1.33), de modo que en zonas no afectadas por sismos o en elementos en que el efecto del sismo no es importante, la cuanta mxima del acero de traccin es:

)(75.0 bmx += Ecuacin (7.10) Donde:

b: Cuanta balanceada de armado a traccin : Cuanta de armado a compresin



Octubre-2008 131

Figura 7.13: Armadura de traccin y de compresin.

A partir de la Ecuacin (7.10), si el acero de compresin se encuentra en fluencia, el nivel de ductilidad ser igual al logrado en vigas sin armadura de compresin.

Sin embargo, si el acero de compresin no alcanza el esfuerzo de fluencia [ACI 10.2.4] antes que el hormign llegue a su mxima deformacin (esto ocurre particularmente en vigas de peralte limitado en edificaciones pequeas), los niveles de ductilidad pueden reducirse en alguna magnitud con relacin a las vigas que tienen solamente armadura de traccin (2/1 < 1.33), pues el eje neutro deber descender para compensar la fuerza horizontal de compresin que no puede proveer el acero.

Por su parte el ACI 2005 es ms riguroso en cuanto a niveles de ductilidad especificados para vigas rectangulares, pues exige que la deformacin unitaria en el acero de traccin en vigas sea al menos de 0.005 [ACI 10.3.4].

005.0t Ecuacin (7.11) La deformacin de 0.005 en el acero de traccin, en secciones rectangulares con refuerzo de 4200 Kg/cm2 es equivalente a una cuanta de armado de 0.625 de la cuanta balanceada ( = 0.625b).

Figura 7.14: Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo

deformacin unitaria en el acero de 0.005 Cuando se analizan los diagramas momento-curvatura bsicos, utilizar una deformacin mnima en el acero de 0.005 es equivalente a incrementar en un 60% la curvatura del hormign armado antes de la falla, con relacin a la falla balanceada.



Octubre-2008 132

60.1002.0003.0005.0003.0

1

3 =++=

M/Mp

1 b 0.75 b

2=

1.33

1 1

0.625

b 3=

1.60

1

Figura 7.15: Diagramas momento flector normalizado curvatura. Es importante mencionar que en el caso de la presencia de armadura de compresin, los niveles de ductilidad exigidos por la deformacin de traccin de 0.005 siguen siendo los mismos que cuando no se tiene armadura de compresin, aunque el acero de compresin no alcance la fluencia (2/1 1.60), pues por geometra el eje neutro no puede descender. La versin anterior del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin tomaba del SEAOC (Structural Engineers Association of California) una especificacin an ms rigurosa respecto a la ductilidad de las secciones sometidas a flexin en zonas ssmicas, pues estableca que la mxima cuanta de armado utilizable era del 50% de la cuanta balanceada.

bmx 50.0 = Ecuacin (7.12) Para secciones rectangulares y acero de 4200 Kg/cm2 de fluencia, que es el mximo permitido por el CEC [CEC 21.2.5.1], el 50% de la cuanta balanceada es equivalente a una deformacin unitaria mnima del acero de traccin de 0.007.

Figura 7.16: Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 50%

de la cuanta balanceada.



Octubre-2008 133

El criterio del 50% de la cuanta balanceada para zonas ssmicas permita la formacin progresiva de articulaciones plsticas en diferentes sectores de las estructuras aporticadas.

Cuando se trabaja con aceros de 4200 Kg/cm2 de fluencia, y se analizan los diagramas momento-curvatura bsicos, utilizar el 50 % de la cuanta balanceada es equivalente a incrementar en un 133% la curvatura del hormign armado antes de la falla, con relacin a la falla balanceada.

33.2002.0003.0007.0003.0

1

4 =++=

M/Mp

1 b 0.75 b

2=

1.33

1 1

0.625

b 3=

1.60

1

0.50 b

4=

2.33

1

Figura 7.17: Diagramas momento flector normalizado curvatura.

Para secciones con armadura de compresin, el antiguo CEC y el SEAOC fijaban la siguiente limitacin con criterios de ductilidad anlogos a las vigas sin acero para compresin:

)'(50.0 bmx += Ecuacin (7.13) La nueva especificacin del cdigo ACI (t = 0.005), para aceros de 4200 Kg/cm2, se ubica exactamente en el punto medio entre el 50% y el 75% de la cuanta balanceada ( = 0.625b). En el Captulo 21 de Disposiciones Especiales para el Diseo Ssmico, el CEC-2001 elimin el criterio del SEAOC, y tambin ignor la recomendacin de deformacin mnima del acero del ACI, de modo que predominan los criterios de ductilidad limitada para zonas no ssmicas, con o sin armaduras de compresin.

bmx 75.0 = Ecuacin (7.9) )(75.0 bmx += Ecuacin (7.10)



Octubre-2008 134

Este hecho es a todas luces inconveniente desde el punto de vista de comportamiento dctil de las estructuras de hormign armado en un pas de alta sismicidad como es el nuestro.

De las disposiciones para diseo sismorresistente del ACI (Captulo 21), el CEC solamente incluy que la cuanta mxima de armado a traccin no debe superar el 2.5 % [CEC 21.3.2.1].

025.0mx = Ecuacin (7.12) A pesar de que la disposicin previa aparece en el captulo 21 del ACI y del CEC, en realidad no es un estndar para mejorar la ductilidad de las estructuras, sino una especificacin para controlar la disminucin de ductilidad que puede causar el uso de armadura de compresin controlada por la Ecuacin (7.11).

Por estas circunstancias, a pesar de no especificarse en el CEC, para vigas rectangulares al menos debera incluirse la deformacin mnima de 0.005 del ACI como criterio de ductilidad bsica.

005.0t Ecuacin (7.11) O ms ptimamente se debera limitar la cuanta de armado al 50% de la cuanta balanceada incluido el efecto de la armadura de compresin, como lo fija el SEAOC y se estableca en la versin anterior del CEC.

bmx 50.0 = Ecuacin (7.12) )'(50.0 bmx += Ecuacin (7.13)

Las ltimas 2 ecuaciones tienen la ventaja de que no solamente imponen comportamientos adecuados para vigas rectangulares, sino tambin para vigas T y L, para las que el criterio del ACI (t 0.005) puede ser insuficiente al tratar de asegurar un comportamiento dctil con deformaciones progresivas.

NOTA: El criterio de limitar la cuanta de armado a un mximo del 50% de la cuanta balanceada [ 0.50 b], o al 50% de la cuanta balanceada ms la cuanta de compresin [ 0.50 (b+ )], son ms apropiados para comportamiento dctil con deformaciones progresivas de cualquier seccin transversal que el criterio de una deformacin unitaria mnima [s 0.005]. EJEMPLO 7.7: Determinar el mayor momento flector ltimo que se puede resistir con una viga de 30 cm x 60 cm, en una zona altamente ssmica, si slo posee acero de traccin cuyo esfuerzo de fluencia es de 4200 Kg/cm2, si se conoce que el hormign tiene una resistencia caracterstica a la compresin de 350 Kg/cm2, y que el acero tiene un recubrimiento hasta su centro de gravedad de 6 cm.



Octubre-2008 135

Solucin: Por encontrarse en zona ssmica, la mxima cuanta de armado ser el 50% de la cuanta balanceada.

bmx 50.0 = La ecuacin que permite el cculo de la cuanta balanceada es:

003.0EsFy

003.0Fy

c'f85.0 1b+

=

Para el clculo de la cuanta balanceada se tiene la siguiente informacin bsica:

fc = 350 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2

Para un hormign de 350 Kg/cm2 de resistencia caracterstica, el valor de 1 es: 80.01 =

Se reemplazan los valores conocidos en la ecuacin de la cuanta balanceada:

003.02100000

4200003.0

4200350)80.0()85.0(b

+=

034.0b = La cuanta mxima de armado ser el 50% de la cuanta balanceada.

)034.0(50.0mx = 017.0mx =

La cantidad de acero que proporciona esa cuanta de armado es:

)db(As = [ ])cm54()cm30()017.0(As = 2cm54.27As =



Octubre-2008 136

Una vez determinada la mxima seccin transversal de acero se procede a calcular cual es el momento flector ltimo que resiste la viga.

Dado que el acero est en fluencia, la fuerza de traccin que absorben los 27.54 cm2 de acero sera:

Fy.AsT = )cm/Kg 4200()cm 54.27(T 22 =

Kg 115668T =

Por equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresin en el hormign es igual a la fuerza de traccin en el acero.

TCc = Kg115668Cc =

La altura del bloque de compresin es:

b)c'f85.0(C

a c =

)30)(350)(85.0(115668a =

cm 96.12a = El momento flector nominal que resiste la seccin es:



Octubre-2008 137

=2adTMn

=296.1254)115668(Mn

mT 97.54cmKg 5496543Mn == El momento flector ltimo resistente es:

MnMu = )97.54()90.0(Mu =

m-T 47.49Mu =

d. CUANTAS MNIMAS DE ARMADO EN VIGAS: En aquellas vigas en que las dimensiones geomtricas superan a la capacidad resistente requerida sin rotura por traccin del hormign, se deber proveer un armado mnimo que sea capaz de absorber, con mrgenes de seguridad apropiados, la carga de traccin que le es transferida el instante en que el hormign traccionado se fisura por falta de capacidad. La incapacidad del acero de absorber la totalidad de esa fuerza de traccin provocara una falla frgil indeseable de la viga.

Los cdigos [ACI 10.5.1] establecen que el armado mnimo deber ser:

)db(Fy

c'f79.0As wmn = Ecuacin (7.15)

Donde:

fc: resistencia caracterstica del hormign en Kg/cm2 Fy: esfuerzo de fluencia del acero en Kg/cm2 bw: ancho de la viga rectangular, ancho del alma de la viga T o L cuando est

en traccin el alma d: altura de la viga rectangular, T o L

La cuanta mnima correspondiente es:

Fyc'f79.0

mn = Ecuacin (7.16)

En ningn caso la seccin de acero podr ser menor que:

)db(Fy14As wmn = Ecuacin (7.17)

La cuanta mnima correspondiente es:

Fy14

mn = Ecuacin (7.18)



Octubre-2008 138

Para elementos isostticos en T o L, con el ala en traccin, en la frmula de rea mnima se deber reemplazar bw por 2bw, o el ancho del ala (bf), el que sea menor [ACI 10.5.2].

Figura 7.18: Vigas T y vigas L.

Los cdigos establecen que cuando una viga tiene armadura que supera en un tercio a la necesaria para resistir a las solicitaciones de diseo, no es necesario que se utilicen las armaduras mnimas establecidas en las frmulas previas [ACI 10.5.3].

NOTA: Para zonas ssmicas la disposicin de no usar las cuantas de armado mnimas para transferir la traccin en el hormign al acero, a cambio de incrementar en un tercio las cuantas de diseo, no es aplicable pues las fuerzas reales que actan sobre las estructuras son generalmente muchsimo mayores que las fuerzas que se utilizan en el diseo, y precisamente el mecanismo que permite esa reduccin de solicitaciones es la provisin de amplias capacidades de ductilidad. La insuficiencia de acero de traccin ante cargas mayores que las de diseo provocara una falla frgil por incapacidad de transferir las fuerzas de traccin del hormign al acero. EJEMPLO 7.8: Determinar la cantidad mnima de acero a traccin en una viga de 25 cm x 40 cm, si el esfuerzo de fluencia del acero es 4200 Kg/cm2 y la resistencia caracterstica a la compresin del hormign de 210 Kg/cm2, y que el acero tiene un recubrimiento hasta su centro de gravedad de 6 cm.



Octubre-2008 139

Solucin: El problema es similar al anterior con la variante de que el hormign es de mejores caractersticas (fc = 350 Kg/cm2).

Las dos ecuaciones de armado mnimo son:

)db(Fy

c'f79.0As wmn =

)db(Fy14As wmn =

Los datos conocidos son:

fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 bw = 25 cm d = 34 cm

Reemplazando en las 2 ecuaciones se tiene:

]850[)00273.0()]34()25[(4200

21079.0Asmn == 2

mn cm 32.2As = ]850[)003333.0()]34()25[(

420014Asmn ==

2mn cm 83.2As =

La cantidad mnima de acero requerida es: 2

mn cm 99.2As = La cantidad de acero requerida est gobernada por la segunda ecuacin de cuanta mnima.

Para cubrir el acero necesario se podran escoger 2 varillas de 14 mm (3.08 cm2), que superan ligeramente la cantidad de acero requerida.



Octubre-2008 140

EJEMPLO 7.9: Determinar la cantidad mnima de acero a traccin en una viga de 25 cm x 40 cm, si el esfuerzo de fluencia del acero es 4200 Kg/cm2 y la resistencia caracterstica a la compresin del hormign de 210 Kg/cm2, y que el acero tiene un recubrimiento hasta su centro de gravedad de 6 cm.

Solucin: Las dos ecuaciones de armado mnimo son:

)db(Fy

c'f79.0As wmn =

)db(Fy14As wmn =

Los datos conocidos son:

]850[)003519.0()]34()25[(4200

35079.0Asmn == 2

mn cm 99.2As = ]850[)003333.0()]34()25[(

420014Asmn ==

2mn cm 83.2As =

La cantidad mnima de acero requerida es: 2

mn cm 99.2As = La cantidad de acero requerida est gobernada por la primera ecuacin de cuanta mnima. Nuevamente se podran escoger 2 varillas de 14 mm (3.08 cm2).



Octubre-2008 141

NOTA: En nuestro medio, el armado mnimo en vigas con hormigones de resistencia caracterstica inferior a los 300 Kg/cm2 estn definidos por la segunda ecuacin de cuanta mnima, mientras que los hormigones con resistencia caracterstica superior a 300 Kg/cm2 (propiamente 310 Kg/cm2) estn definidos por la primera ecuacin de cuanta mnima.

El siguiente grfico describe los modos de falla del hormign armado a flexin, para diferentes cuantas de armado.

Figura 7.19: Modos de falla del hormign armado a flexin, para diferentes

cuantas de armado.

7.5 ESPECIFICACIONES DE LOS CDIGOS PARA FLEXIN: a. SECCIN CRTICA EN ZONA DE APOYO:

Se toma como seccin crtica, para el diseo a flexin de vigas, a aquella ubicada a la altura de la cara interna del elemento perpendicular de apoyo [ACI 12.10.2, ACI R.12.10.2, ACI 12.12, ACI R12.12]. Esto significa que en prticos, la zona de



Octubre-2008 142

apoyo de las vigas se disea a flexin a la altura de las caras internas de las columnas extremas, y las columnas se disean a la altura de las caras internas de las vigas transversales.

Figura 7.20: Secciones crticas a fleccin en zonas de apoyo.

Desde el punto de momento crtico hasta el nudo (cruce de ejes) en el que se idealiza la ubicacin del apoyo se extiende todo el acero de flexin requerido para la seccin crtica, y luego se le proporciona el desarrollo longitudinal adecuado al tipo de solicitaciones que actan sobre dicho acero.

Figura 7.21: Armado uniforme en zona de apoyo de vigas de marcos dctiles.

Esta disposicin permite tomar en consideracin que en la zona en que la viga se cruza con la columna (nudo real), la altura de la viga crece considerablemente por lo que su capacidad resistente tambin aumenta, lo que en principio compensa, ms all de lo requerido, el efecto del incremento de momento flector desde la cara de la columna hasta el cruce de ejes centroidales. Lo propio sucede con las columnas en la zona en que se cruzan con las vigas.

b. DISEO SSMICO A MOMENTO FLECTOR REVERSIBLE MNIMO: En la zona de apoyo de las vigas, para asegurar un comportamiento dctil de todo el prtico, el CEC exige disearlas para resistir por lo menos un momento flector reversible positivo igual a la mitad del momento flector principal negativo [CEC 21.3.2.2]. El cdigo ACI tiene una disposicin anloga menos exigente, que requiere resistir un momento reversible de al menos la tercera parte del momento principal [ACI 21.3.4.1]. Se utilizarn las disposiciones del CEC.



Octubre-2008 143

Figura 7.22: Armado uniforme para momento reversible en zona de apoyo de

vigas de marcos dctiles. Esta disposicin permite que ante cargas ssmicas muy severas, en el un extremo de la viga se forme una articulacin plstica (rtula plstica) para momento flector negativo (traccin en las fibras superiores), y en el otro extremo una articulacin plstica para momento flector positivo (traccin en las fibras inferiores), sacando provecho a toda la armadura de la viga (ver numeral 6.4, La Falla Dctil por Flexin en Prticos).

Debido a la movilidad de los diagramas de momentos cuando se incluyen las acciones ssmicas, el ACI exige un armado mnimo tanto positivo como negativo en el tramo central de las vigas correspondiente al menos a la quinta parte del mximo momento flector en la cara de los nudos [ACI 21.3.4.1].

Por consistencia con el momento reversible exigido por el CEC, una disposicin ms apropiada para el tramo sera disponer de una armadura que resista al menos el 30% del mximo momento flector en la cara de los nudos.

c. VIGA DBIL Y COLUMNA FUERTE:

En prticos, en los puntos de confluencia de vigas y columnas, la capacidad resistente de las columnas debe ser mayor que la capacidad resistente de las vigas para lograr que las articulaciones plsticas se formen primeramente en las vigas, lo que permite desarrollar un mayor nmero de articulaciones plsticas y una mayor disipacin de energa antes de llegar al colapso de la estructura.



Octubre-2008 144

Debe cumplirse que la suma de los momentos nominales resistentes de las columnas que lleguen a un nudo exceda al menos en un 20 % a la suma de los momentos nominales resistentes de las vigas que llegan al mismo nudo [ACI 21.4.2.2].

nbnc M2.1M Ecuacin (7.19) Donde:

Mnc: suma de momentos nominales resistentees de las columnas que llegan a un nudo especfico

Mnb: suma de momentos nominales resistentes de las vigas que llegan a un nudo especfico

7.6 DISEO DE VIGAS T Y VIGAS L: En muchos casos las vigas rectangulares de hormign no trabajan aisladamente sino que se integran a losas de hormign conformando vigas T y vigas L [ACI 8.10]. En otras ocasiones puede ser conveniente recurrir a vigas con una geometra en T o en L por as convenir al diseo del elemento.

Figura 7.23: Vigas T y vigas L.

Los criterios expuestos en el diseo de vigas rectangulares deben ser incorporados para disear vigas T y vigas L. Las diferencias de procedimiento con relacin a vigas rectangulares se basan en el anlisis geomtrico de la zona que est comprimida, que en algunos casos puede ser rectangular (slo en el ala o slo en el alma) y en otros una seccin T o L (parte en el ala y parte en el alma). Entre las vigas T y las vigas L no existe prcticamente ninguna diferencia en el dieso, excepto que las vigas T poseen 2 alas y las vigas L tienen 1 ala. Cuando la seccin comprimida de la viga es rectangular, puede ser diseada directamente como viga rectangular cuyo ancho es el ancho de la zona comprimida, pero cuando el rea comprimida es una T o una L se requiere hacer un anlisis especial.

Ante una seccin T o L comprimida, a partir de la definicin de la zona comprimida se puede realizar un diseo razonablemente ajustado mediante la utilizacin de la geometra idealizada del diagrama esfuerzo-deformacin del hormign,



Octubre-2008 145

o se pueden generar bloques rectangulares de compresin anlogos al que se emplea en el modelamiento de vigas rectangulares.

Primer Caso: Ala Comprimida La primera posibilidad de diseo corresponde a un momento flector positivo (tracciones en el alma), cuya ala se encuentra comprimida, y cuyo eje neutro no alcanza a llegar al alma de la viga. En ese caso todo el bloque rectangular de compresin estar ubicado en el ala.

Figura 7.24: Zona comprimida y bloque de compresin equivalente para ala

comprimida.

Figura 7.25: Vista tridimensional del bloque de compresin equivalente para

ala comprimida. La viga deber disearse como una viga rectangular cuyo ancho es el ancho del ala, pues el ancho del bloque de compresin es coincidente con el ancho del ala, y la zona de traccin en el hormign que tiene ancho variable no tiene ninguna influencia en la capacidad resistente de la seccin.

Segundo Caso: Ala y Parte del Alma Comprimidas La segunda posibilidad corresponde tambin a un momento flector positivo, en la que toda el ala y parte del alma se encuentran comprimidas pues el eje neutro alcanza a



Octubre-2008 146

llegar al alma de la viga. En ese caso podra utilizarse el diagrama esfuerzo-deformacin del hormign o, como alternativa de simplificacin, parte del bloque rectangular podra asociarse al comportamiento a flexin del alma y otra parte al comportamiento del ala, por lo que en realidad se produciran 2 rectngulos de compresin.

Figura 7.26: Zonas comprimidas y bloques de compresin equivalentes para

ala y alma comprimidas. La viga deber disearse como una superposicin de una viga rectangular cuyo ancho es el ancho del alma, y otra viga rectangular cuyo ancho de zona comprimida es la diferencia entre el ancho del ala y el ancho del alma.

Figura 7.27: Vista tridimensional de los bloques de compresin equivalentes

para ala y alma comprimidas.

La altura del bloque de compresin en el ala sera 1 veces la altura del ala (es una consideracin que siempre va por el lado de la seguridad), y la altura del bloque de compresin en el alma es 1 veces la altura de la zona comprimida de la viga T o L.



Octubre-2008 147

Tercer Caso: Alma Comprimida La tercera posibilidad corresponde a un momento flector negativo (tracciones en el ala), cuya zona de compresin se ubica totalmente sobre el alma. En ese caso todo el bloque rectangular de compresin estar ubicado en el alma.

Figura 7.28: Zona comprimida y bloque de compresin equivalente para alma

comprimida. La viga deber disearse como una viga rectangular cuyo ancho es el ancho del alma, pues el ancho del bloque de compresin es coincidente con el ancho del alma, y la zona de traccin en el hormign que tiene ancho variable no tiene ninguna influencia en la capacidad resistente de la seccin.

Figura 7.29: Vista tridimensional del bloque de compresin equivalente para

alma comprimida. EJEMPLO 7.10:

Determinar la cantidad acero a traccin requerida en la viga T de la figura, si debe soportar un momento ltimo positivo (tracciones en la fibra inferior) de 50 T-m. El



Octubre-2008 148

hormign empleado tiene una resistencia caracterstica de 210 Kg/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero es de 4200 Kg/cm2. La estructura se construir en zona ssmica.

Solucin:

Inicialmente se puede suponer es una hiptesis que el eje neutro se ubica dentro del ala de la viga (c 12 cm).

El ancho del bloque de compresin ser el ancho del ala (como se observa en la figura previa), de modo que los datos conocidos seran:

Mu = 5000000 Kg-cm fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 90 cm d = 74 cm (6 cm de distancia desde la cara inferior al centro de gravedad de las varillas)

Las ecuaciones para el clculo de la seccin de acero son:

= d.k.

Mu.211FykAs

d.b.c'f85.0k = El valor de la constante k es:

)74()90()210(85.0k = 1188810k =

La seccin de acero es:



Octubre-2008 149

=)74()1188810()90.0(

)5000000(2114200

1188810As

2cm 48.18As = A continuacin se debe verificar la posicin del eje neutro, que inicialmente se supuso que estaba ubicado en el ala.

La fuerza de traccin que genera la seccin de acero es:

FyAsT = )4200()48.18(T =

Kg 77616T = La Fuerza de compresin es igual a la fuerza de traccin:

TCc = Kg 77616Cc =

La altura del bloque rectangular de compresin es:

bc'f85.0C

a c =

)90()210(85.077616a = cm 83.4a =

La posicin del eje neutro es:

1

ac =

85.083.4c =

cm 68.5c =

Debido a que la altura obtenida de la zona comprimida (5.68 cm) es menor que 12 cm (la altura del ala), se ha cumplido con la hiptesis inicial pues la zona en compresin coincide con el ala, por lo que el diseo realizado es correcto y la seccin de acero de



Octubre-2008 150

traccin requerida es de 18.48 cm2. La seccin puede ser cubierta con 4 varillas de 25 mm de dimetro (19.63 cm2).

Para una rpida verificacin del cumplimiento de la cuanta mxima de armado permitida en zonas ssmicas (0.50 b) se puede observar el siguiente grfico relacionado con la falla balanceada (el acero tiene la deformacin de fluencia y el hormign tiene la deformacin unitaria mxima).

El eje neutro para el armado propuesto claramente se ubica en la parte central del alma por lo que al dividir 5.68/12 = 0.473 (5.68 es la posicin del eje neutro y 12 es la altura del ala), se estara comparando las fuerzas de compresin en este problema con la fuerza que se generara si el eje neutro estuviera ubicado en la base del ala, lo que es equivalente a comparar las cuanta de armado correspondientes.

Dado que el valor obtenido en la divisin anterior es inferior a 0.50, y dado tambin que la cuanta balanceada es superior a la cuanta con el eje neutro en la base del ala, la cuanta obtenida en el problema analizado es mucho menor que el 50% de la cuanta balanceada, con lo que se cumple el requisito para zonas ssmicas.

NOTA: Cuando el valor de la divisin rpida supera lo que se especifica en los cdigos, es necesario hacer un anlisis ms detallado como se observar en el siguiente ejemplo.



Octubre-2008 151

EJEMPLO 7.11: Determinar la cantidad acero a traccin requerida en la viga de puente de la figura, si debe soportar un momento ltimo positivo de 500 T-m. El hormign empleado tiene una resistencia caracterstica de 240 Kg/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero es de 4200 Kg/cm2. El puente se construir en zona ssmica.

Solucin: Inicialmente se puede suponer (es una hiptesis) que el eje neutro se ubica dentro del ala de la viga (c 15 cm).

Los datos conocidos seran:

Mu = 50000000 Kg-cm fc = 240 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 100 cm d = 190 cm (10 cm de distancia desde la cara inferior al centro de gravedad de las varillas, pues se esperan 2 capas de varillas)

Las ecuaciones para el clculo de la seccin de acero son:



Octubre-2008 152

= d.k.

Mu.211FykAs


)190()100()240(85.0k = 3876000k =


=)190()3876000()90.0(

)50000000(2114200

3876000As

2cm 46.72As = A continuacin se debe verificar la posicin del eje neutro, que inicialmente se supuso que estaba ubicado en el ala.

La fuerza de traccin que genera la seccin de acero es:

FyAsT = )4200()46.72(T =

Kg 304332T = La Fuerza de compresin es igual a la fuerza de traccin:

TCc = Kg 304332Cc =

La altura del bloque rectangular de compresin es:

bc'f85.0C

a c =

)100()240(85.0304332a = cm 92.14a =

La posicin del eje neutro es:

1

ac =

85.092.14c =

cm 55.17c = Debido a que la altura obtenida de la zona comprimida (17.55 cm) es mayor que 15 cm (la altura del ala), no se ha cumplido con la hiptesis inicial concluyndose que la zona comprimida incluye tanto al ala como a parte del alma.

Debe cambiarse totalmente el proceso de diseo pues el eje neutro estar ubicado sobre el alma de la viga T como aparece en la siguiente figura.



Octubre-2008 153

Fase 1: Momento Flector Absorbido por el Hormign en las Alas Momentneamente se prescinde de la capacidad resistente del alma, y se analiza solamente la capacidad de las alas.

Dado que la parte lateral de las alas se encuentra totalmente a compresin, se desarrollar un bloque rectangular al menos equivalente en una altura igual a 1 veces la altura de las alas.

La altura del bloque rectangular de compresin en las partes laterales del ala es:

)cm 15(a 11 = )15()85.0(a1 =

cm 75.12a1 =



Octubre-2008 154

La magnitud de la fuerza de compresin en las partes laterales de las alas (Cc1) se obtiene multiplicando 0.85fc por el rea del bloque de compresin.

)cm 75.12()cm 60()Kg/cm 240(85.0Cc 21 = Kg 156060Cc1 =

La fuerza de compresin debe estar acompaada por una fuerza de traccin en el acero (T1) que logre el equilibrio.

11 CcT = Kg 156060T1 =

Dado que el acero est en fluencia, la seccin de acero que se requiere para generar esa fuerza es:

FyTAs 11 =

21 cm/Kg 4200Kg 156060As = 2

1 cm 16.37As = El momento flector nominal que puede ser absorbido por las partes laterales de las alas, y la seccin de acero calculada es:

=2ad)FyAs(Mn 11

=2

cm 75.12cm 190)cm/Kg 4200()cm 16.37(Mn 221

cmKg 28658721Mn1 = El momento ltimo correspondiente es:

11 MnMu = )cmKg 28658721()90.0(Mu1 =

cmKg 25792849Mu1 =



Octubre-2008 155

NOTA: El momento ltimo resistente real de las alas es algo mayor que el que se acaba de calcular pues el promedio de los esfuerzos debe ser superior a 0.85 fc por corresponder a la zona con mayores deformaciones de compresin.

Fase 2: Momento Flector Absorbido por el Alma Si el momento flector ltimo que debe absorber la viga es de 500 T-m, y el hormign de la parte lateral de las alas en conjunto con 37.16 cm2 de acero resiste 257.9 T-m, se requiere que el alma y su contraparte de acero resistan la diferencia.

)cmKg 25792849()cmKg 50000000(Mu 2 = cmKg 24207151Mu 2 =

De acuerdo al grfico previo, el momento flector faltante Mu2 debe ser absorbido por una viga rectangular de 40 cm de ancho.

Las ecuaciones que permiten calcular la seccin de acero son:

= d.k.

Mu.211FykAs


)190()40()240(85.0k = 1550400k =


=)190()1550400()90.0(

)24207151(2114200

1550400As2

22 cm40.35As =

Se calcula la altura del bloque de compresin en el alma.



Octubre-2008 156

w

22 bc'f85.0

FyAsa =

)cm 40()cm/Kg 240(85.0cm/Kg 4200)cm 40.35(a 2

22

2 =

cm22.18a 2 = Se calcula la posicin del eje neutro.

1

22

ac =

85.0cm 22.18c2 = cm 44.21c2 =

Fase 3: Momento Flector Absorbido por la Viga T

El momento que absorbe la viga T es la suma de los momentos ltimos absorbidos por las alas y por el alma.

21 MuMuMu += cmKg 24207151cmKg 25792849Mu +=

m-T 500cmKg 50000000Mu == La seccin de acero requerida para absorber ese momento ltimo es la suma de las secciones de acero de las 2 fases previas.

22 cm40.35cm 16.37As += 2cm 56.72As =

Fase 4: Verificacin de la Cuanta Mxima Permitida A continuacin se presenta un grfico de las deformaciones unitarias asociadas a la falla balanceada de la viga, con la localizacin del rea comprimida de hormign (deformacin de fluencia en el acero y 0.003 de deformacin en el hormign).



Octubre-2008 157

La posicin del eje neutro queda definida por semejanza de tringulos en el diagrama de deformaciones unitarias.

d0.0020.003

0.003c +=

)cm 190(0.0020.003

0.003c += cm 114c =

En base al grafico previo se puede identificar la profundidad de los bloques rectangulares de compresin correspondientes a las alas (a1) y al alma (a2).

La magnitud de la altura de los bloques de compresin es:

)cm 15(a 11 = )cm 15()85.0(a1 =

cm 75.12a1 =



Octubre-2008 158

ca 12 = )cm 114()85.0(a 2 =

cm 9.96a2 =

Las fuerzas de compresin asociadas a los bloques de compresin en las alas y en el alma, y las fuerzas de traccin correspondientes son:

La fuerza de compresin en las alas Cc1 es:

)cm 5.12()cm 60(c'f85.0Cc1 = )cm 5.12()cm 60()cm/Kg240(85.0Cc 21 =

Kg 153000Cc1 = La fuerza de traccin correspondiente T1 debe equilibrar a la fuerza de compresin Cc1.

11 CcT =



Octubre-2008 159

Kg 153000T1 = La seccin de acero As1 que se requiere para proveer la fuerza de traccin T1 es:

FyTAs 11 =

21 cm/Kg 4200Kg 153000As = 2

1 cm 43.36As = La fuerza de compresin en el alma Cc2 es:

)cm 9.96()cm 40(c'f85.0Cc2 = )cm 9.96()cm 40()cm/Kg240(85.0Cc 22 =

Kg 790704Cc2 = La fuerza de traccin correspondiente T2 debe equilibrar a la fuerza de compresin Cc2.

22 CcT = Kg 790704T2 =

La seccin de acero As2 que se requiere para proveer la fuerza de traccin T2 es:

FyT

As 22 =

22 cm/Kg 4200Kg 790704As =

22 cm 26.188As =

La seccin de acero total para que se produzca la falla balanceada es:

21b AsAsAs += 22

b cm 188.26cm 43.36As += 2

b cm 69.224As = La relacin entre el armado requerido y el armado balanceado es:

2

2

b cm 69.224cm 56.72

AsAs =

32.0AsAs

b=

La relacin entre secciones de acero es la misma que la relacin entre cuantas, por lo que:

32.0b

=



Octubre-2008 160

Dado que el armado requerido representa el 32% del armado balanceado se ha cumplido con el requerimiento para zona ssmica.

b50.0 NOTA: En el presente problema no se pudo aplicar la frmula de cuanta balanceada pues fue desarrollada para secciones rectangulares, sino que fue necesario recurrir a su definicin (armado balanceado es la cantidad de acero requerida para que al mismo tiempo que el acero de traccin extremo entre en fluencia, el hormign empiece a fallar a compresin con una deformacin unitaria de 0.003).

Fase 5: Escogimiento del Armado El armado de 72.56 cm2 se cubre con 15 varillas de 25 mm de dimetro (73.63 cm2), lo que proporcionar a la estructura una capacidad aproximada de 507.37 T-m (500*73.63/72.56=507.37). Por otro lado, para satisfacer la separacin mnima entre varillas y el recubrimiento mnimo [ACI 7.6.2] se requerira armar 3 capas de varillas (2 capas de 7 varillas y 1 capa de 1 varilla).

No es conveniente que en la tercera capa quede una varilla aislada de 25 mm de dimetro en el centro, por lo que resultara conveniente reemplazarla por 2 varillas esquineras de 20 mm.



Octubre-2008 161

Con esta distribucin de varillas tambin se cumple con el requerimiento de que las varillas ubicadas en varias capas, las varillas de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las de las capas inferiores con una separacin mnima de 25 mm [ACI 7.6.2]. 7.7 DISEO DE VIGAS DE SECCIN TRANSVERSAL

ARBITRARIA: La utilizacin de bloques rectangulares de compresin proporciona facilidades matemticas para el diseo de vigas rectangulares, en T o en L. Para otro tipo de secciones ser necesario utilizar los diagramas esfuerzo-deformacin de los hormigones para distintas resistencias [ACI 10.2.6], y efectuar integraciones numricas para determinar cuantas, cuantas balanceadas y capacidades de secciones especficas.

Diversas modelos se han desarrollado para representar la curva esfuerzo-deformacin del hormign, incluidos modelos bilineales, modelos trilineales, y modelos combinados lineales-parablicos.

Figura 7.30: Modelos lineal parablico, bilineal y trilineal de descripcin de la

curva esfuerzo deformacin del hormign. El uso de este tipo de modelos se vuelve complejo por la necesidad de tomar en cuenta las variaciones geomtricas de la seccin transversal de la viga, interactuando con las variaciones matemticas del modelo esfuerzo-deformacin.



Octubre-2008 162

Figura 7.31: Secciones transversales no tradicionales para vigas.

A travs de este estudio se buscan funciones que definan la curva esfuerzo-deformacin del hormign, de modo que puedan ser utilizadas fcilmente en una hoja electrnica, lo que deja exclusivamente el problema de la variacin geomtrica de las secciones.

Para el desarrollo de los modelos propuestos se han utilizado curvas esfuerzo-deformacin con hormigones de baja, mediana y alta resistencia, segn estndares internacionales.

A continuacin se presenta un diagrama obtenido de datos obtenidos en laboratorio, con curvas esfuerzo-deformacin representativas de hormigones de 280 Kg/cm2 (4 k.s.i.), 490 Kg/cm2 (7 k.s.i.) y 840 Kg/cm2 (12 k.s.i.) de resistencia caracterstica.

Figura 7.32: Curvas esfuerzo-deformacin de hormigones de baja, mediana y alta resistencia (Informacin tomada de Microcracking, Macro Air-void System and

Strength of Superplastiziced Concrete). Si se observan con detenimiento las curvas logradas con hormigones de 280 Kg/cm2 (4 k.s.i.) y de 490 Kg/cm2 (7 k.s.i.), el mximo esfuerzo se obtiene para deformaciones



Octubre-2008 163

unitarias entre 0.002 y 0.0025. Se ha escogido ese rango de resistencias del concreto por ser el que corresponde al de mayor uso en el pas.

As mismo, los hormigones de baja resistencia (280 Kg/cm2) logran deformaciones unitarias ltimas superiores a 0.0035, mientras que los de mediana resistencia (490 Kg/cm2) apenas alcanzan a deformarse hasta 0.003, como se observa en la siguiente figura.

Figura 7.33: Curvas esfuerzo-deformacin de hormigones de baja y mediana

resistencia. Debido a que los hormigones de baja y mediana resistencia son claramente dctiles, pueden ser modelados matemticamente mediante curvas que se ajustan a funciones especficas.

As mismo, ya que el hormign de alta resistencia (840 Kg/cm2) tiene un comportamiento elasto-frgil, conviene modelarlo con 2 lneas rectas, como se puede observar en la siguiente figura.

Figura 7.34: Curva esfuerzo-deformacin de un hormign de alta resistencia.



Octubre-2008 164

La ecuacin que se suele utilizar para describir al mdulo de elasticidad del hormign en funcin de su resistencia en Kg/cm2, de acuerdo a los cdigos de diseo es:

c'f15000Ec = Ecuacin (7.20) Sin embargo, cuando se deben incluir los hormigones de mediana y alta resistencia se logra un mejor ajuste con la siguiente ecuacin (Nilson A., Diseo de Estructuras de Concreto), que es la que se ha utilizado en las herramientas propuestas:

c'f1000072500Ec += Ecuacin (7.21) La ecuacin previa proporciona un mdulo de elasticidad similar al de la ecuacin de los cdigos de diseo para una resistencia de 210 Kg/cm2, pero define mdulos de elasticidad menores para hormigones de mayor resistencia.

Figura 7.35: Mdulos de elasticidad del hormign de acuerdo al ACI y a A. Nilson.

En nuestro medio, debido a las caractersticas del agregado grueso empleado en la fabricacin de hormigones, los valores obtenidos en laboratorio para el mdulo de elasticidad sufren reducciones entre 10% y 20% con relacin a la ecuacin modificada.

Figura 7.36: Mdulos de elasticidad del hormign reducidos para Ecuador.



Octubre-2008 165

Se propone la utilizacin de las siguientes herramientas para el modelamiento matemtico de hormigones entre 210 Kg/cm2 y 490 Kg/cm2:

Curvas esfuerzo-deformacin para diferentes resistencias del hormign Tablas numricas asociadas a las curvas esfuerzo-deformacin Ecuaciones individuales para describir las curvas esfuerzo-deformacin Ecuacin integrada para describir simultneamente todas las curvas esfuerzo-

deformacin

Se han incluido las siguientes propiedades del hormign para describir adecuadamente su comportamiento:

La pendiente inicial de las curvas se aproxima al mdulo de elsticidad del hormign.

Las curvas tienen un rango cuasi lineal que se utiliza para simular el rango de comportamiento elstico del hormign.

Las curvas recogen la tendencia hacia una falla frgil de los hormigones de mayor resistencia

Las curvas incluyen la tendencia a presentar mayor ductilidad de los hormigones de menor resistencia.

La ordenada mxima de esfuerzo define la resistencia caracterstica del hormign al que hace referencia la curva.

Las curvas han sido recortadas en una deformacin unitaria mxima de 0.003, como lo especifican los cdigos, para favorecer su uso en diseo.

La siguiente tabla puede ser utilizada para relacionar los esfuerzos con las deformaciones para distintas resistencias caractersticas del hormign en el rango de resistencias bajas y medias, cuando el peso especfico del hormign es normal (2200-2350 kg/m3 en estado endurecido y seco):

Tabla 7.3: Coordenadas para las curvas esfuerzo-deformacin de hormigones de diversas resistencias.

fc 210 Kg/cm2 240 Kg/cm2 280 Kg/cm2 350 Kg/cm2 420 Kg/cm2 490 Kg/cm2 0,0000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00,0001 14,3 16,2 18,3 21,1 23,2 24,80,0002 28,3 32,1 36,3 42,0 46,3 49,60,0003 42,1 47,7 54,1 62,8 69,3 74,40,0004 55,5 63,0 71,6 83,4 92,2 99,10,0005 68,5 77,9 88,8 103,8 115,0 123,70,0006 81,2 92,5 105,6 123,9 137,6 148,30,0007 93,6 106,7 122,1 143,7 160,0 172,70,0008 105,5 120,5 138,1 163,1 182,2 197,00,0009 116,9 133,8 153,7 182,2 204,1 221,20,0010 127,9 146,5 168,7 200,8 225,7 245,10,0011 138,4 158,7 183,2 218,9 246,9 268,80,0012 148,3 170,3 197,0 236,4 267,6 292,20,0013 157,7 181,3 210,1 253,2 287,8 315,20,0014 166,5 191,5 222,4 269,2 307,3 337,70,0015 174,6 201,0 233,9 284,3 326,0 359,70,0016 182,0 209,6 244,3 298,3 343,8 380,9



Octubre-2008 166

0,0017 188,7 217,4 253,7 311,2 360,4 401,10,0018 194,5 224,1 261,9 322,6 375,7 420,30,0019 199,6 229,8 268,8 332,4 389,3 438,00,0020 203,7 234,4 274,2 340,3 401,0 453,90,0021 206,9 237,6 278,0 346,1 410,3 467,70,0022 209,0 239,6 280,0 349,5 416,8 478,80,0023 210,0 240,0 280,0 350,0 420,0 486,50,0024 209,9 238,8 277,8 347,2 419,2 490,00,0025 208,5 236,0 273,1 340,7 413,6 488,30,0026 205,8 231,2 265,7 329,9 402,3 480,10,0027 201,7 224,4 255,3 314,0 384,2 463,90,0028 196,0 215,3 241,5 292,5 357,9 437,70,0029 188,7 203,9 224,1 264,3 321,8 399,20,0030 179,7 189,9 202,5 228,5 274,0 345,2

La representacin grfica de la tabla anterior se describe en las curvas de la siguiente figura:

Figura 7.37: Curvas esfuerzo-deformacin ideales del hormign.

Las ecuaciones independientes de ajuste para cada resistencia caracterstica, con las que se elaboraron la tabla y las curvas, son:

[ ] ++= 210100007250085.0)1e(15.62 650210 Ecuacin (7.22a) [ ] ++= 240100007250085.0)1e(3.37 9.812240 Ecuacin (7.22b) [ ] ++= 280100007250085.0)1e(5.19 1030280 Ecuacin (7.22c) [ ] ++= 350100007250085.0)1e(4.6 1410350 Ecuacin (7.22d) [ ] ++= 420100007250085.0)1e(027.2 1790420 Ecuacin (7.22e) [ ] ++= 490100007250085.0)1e(6025.0 2170490 Ecuacin (7.22f) Claramente se nota que las ecuaciones tienen un trmino derecho (funcin lineal) que modela el rango elstico de comportamiento del hormign, y un trmino izquierdo (funcin exponencial) que modela el rango inelstico.



Octubre-2008 167

A continuacin se presenta un diagrama combinado de las curvas de 280 Kg/cm2 y 490 Kg/cm2 en conjunto con las curvas obtenidas en laboratorio para resistencias similares (no exactamente iguales pero si suficientemente prximas para analizar semejanzas y diferencias).

Figura 7.38: Comparacin de curvas esfuerzo-deformacin reales del hormign con

curvas ideales. Las similitudes entre las curvas logradas en laboratorio y las curvas generadas mediante las funciones matemticas propuestas son claras.

Igualmente podra emplearse la siguiente ecuacin genrica nica para valores de resistencia del hormign entre 210 y 490 Kg/cm2, no contemplados ni en la tabla, ni en las ecuaciones previas:

[ ] ++

=

+

+

c'f100007250085.01e10 70)210c'f(380 650

70)210c'f(5.0 795.1

Ecuacin (7.23) O simplificando:

[ ] ++

=

+

c'f100007250085.01e10 70c'f380 490

70c'f5.0 295.3

Ecuacin (7.24) Debido a que las curvas obtenidas con la ltima ecuacin presentan ligeras diferencias en el esfuerzo mximo con relacin a fc (hasta un 4%), toda curva deber multiplicarse por un factor nico que logre que el esfuerzo mximo sea exactamente fc.

El siguiente grfico corresponde a las curvas evaluadas con la ecuacin anterior:



Octubre-2008 168

Figura 7.39: Curvas esfuerzo-deformacin ideales unificadas.

Por la complejidad de descripcin matemtica de la ecuacin, de las curvas y de la tabla, el problema de diseo de vigas de hormign armado tiene que ser reenfocado hacia un problema iterativo de comprobacin del diseo, utilizando herramientas de computacin. En el presente trabajo se emple una hoja electrnica.

Para disear y calcular la capacidad resistente de una seccin arbitraria sometida a la flexin se aplican varios principios generales:

La mayor deformacin unitaria en el hormign es 0.003 (especificacin del ACI-2005 y del CEC-2001).

Las deformaciones son proporcionales a la distancia respecto al eje neutro de la viga (Principio de Navier-Bernoulli).

La fuerza de compresin en el hormign es numricamente igual al volumen de presiones que acta sobre la superficie comprimida.

=A

dA)y,x(PCc

La fuerza de compresin en el hormign debe equilibrarse con la fuerza de traccin en el acero (equilibrio de fuerzas horizontales).

TCc = El momento flector nominal es el producto de la fuerza de traccin o de

compresin por el brazo de palanca.

zTMn = El momento flector ltimo proviene de afectar al momento nominal por el factor

de reduccin de capacidad (especificacin del ACI-2005 y del CEC-2001). MnMu =



Octubre-2008 169

Figura 7.40: Deformaciones unitarias y esfuerzos en vigas de seccin transversal

genrica. El procedimiento de diseo contempla las siguientes fases:

Se estima la seccin de acero que se requiere para resistir el momento flector actuante y se calcula la fuerza de traccin que produce esa seccin de acero.

Se estima la posicin del eje neutro. Se calculan mediante tablas los esfuerzos asociados a cada posicin de las fibras

de compresin tomando como base la curva esfuerzo-deformacin.

Se calcula el volumen de presiones que es la magnitud de la fuerza de compresin mediante integracin numrica.

Se calcula el momento que produce el volumen de presiones respecto al eje neutro, mediante integracin numrica.

Se define la magnitud de la fuerza de compresin y su posicin Se recalcula la posicin del eje neutro En caso de existir diferencias importantes (superiores a 3%) entre la posicin

estimada y la posicin recalculada del eje neutro se repite el proceso para la nueva posicin del eje neutro.

Una vez lograda la convergencia en cuanto a la posicin del eje neutro se calcula el momento flector nominal y el momento flector ltimo resistente.

En caso de existir diferencias importantes (superiores al 3%) entre el momento flector resistente y el momento flector actuante, se reajusta la seccin de acero requerida y se reinicia el proceso de ubicacin del eje neutro y de clculo del momento flector resistente.

Una vez lograda la convergencia de la seccin de acero se concluye el diseo mediante la determinacin del armado en varillas de dimetro comercial.

El procedimiento de verificacin de la capacidad resistente incluye las siguientes fases:



Octubre-2008 170

Una vez definida la seccin de acero y su posicin, se estima la ubicacin de su eje neutro.

Se calculan mediante tablas los esfuerzos asociados a cada posicin de las fibras de compresin tomando como base la curva esfuerzo-deformacin.

Se calcula el volumen de presiones que es la magnitud de la fuerza de compresin mediante integracin numrica.

Se calcula el momento que produce el volumen de presiones respecto al eje neutro, mediante integracin numrica.

Se define la magnitud de la fuerza de compresin y su posicin Se recalcula la posicin del eje neutro En caso de existir diferencias importantes (superiores a 3%) entre la posicin

estimada y la posicin recalculada del eje neutro se repite el proceso para la nueva posicin del eje neutro.

Una vez lograda la convergencia en cuanto a la posicin del eje neutro se calcula el momento flector resistente.

EJEMPLO 7.12:

Verificar si la viga T de la figura est en capacidad de soportar un momento Mu de 500 T-m, si el hormign tiene una resistencia caracterstica de 240 Kg/cm2 y el acero un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2.

Solucin: La seccin de acero de traccin provista por las 15 varillas de 25 mm es:

2cm 63.73As = La fuerza de traccin es:



Octubre-2008 171

FyAsT = )cm/Kg 4200()cm 63.73(T 22 =

Kg 309246T = Aproximacin Inicial: Inicialmente se supondr que el eje neutro est ubicado en el sitio que se estableci en el problema anterior.

cm 49.24c =

Debido a la discontinuidad del ancho de la viga en la base del ala, se requiere calcular la distancia desde el eje neutro hasta la base del ala:

cm 15cm 49.24d1 = cm 49.9d1 =

La deformacin unitaria en la base del ala es:

)003.0(cm 49.24

cm 49.91 =

0011625.01 =



Octubre-2008 172

Mediante una integracin numrica realizada con una hoja electrnica, se puede encontrar tanto la magnitud de la fuerza de compresin Cc como la posicin del centro de gravedad d2 de esa fuerza respecto al eje neutro. Para el efecto se suman los volmenes de presiones (fuerzas) y se suman los momentos respecto al eje neutro.

Distancia alEje Neutro

(y)

Area )yy(

2A 1ii1iii +=

Profundidad(b)

Volumen iii bAV =

Centro de Gravedad

Momento

0,0000 0,0000 0,0 0,0001 0,8163 16,2 6,61 40 264,5 0,408 108,00,0002 1,6327 32,1 19,71 40 788,6 1,225 965,60,0003 2,4490 47,7 32,57 40 1302,9 2,041 2658,90,0004 3,2653 63,0 45,18 40 1807,4 2,857 5163,90,0005 4,0817 77,9 57,51 40 2300,4 3,674 8450,60,0006 4,8980 92,5 69,55 40 2782,1 4,490 12491,00,0007 5,7143 106,7 81,31 40 3252,3 5,

Diseño Flex de Vigas

Documents

Transcript of Diseño Flex de Vigas