REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

UNIDADES CURRICULARES ESPECIALIZADAS

ESTADÍSTICA IESTADÍSTICA I

Primer Trayecto – Tercer Trimestre

horas

Trabajo Acompañado

Trabajo Independiente

Horas por semana

Total horas en el período

Material elaborado por:

Márquez Zambrano, Luisa

“1805 -2005 Bicentenario del Juramento del Libertador Simón Bolívar en el Monte Sacro”

Índice

pp.

Índice ii

Objetivo y Contenidos de la Unidad Curricular iv

Instrucciones Generales vi

Introducción vii

Unidad 1. Aspectos Generales de la Estadística 1

▪ Concepto, objeto y rama de la estadística. Síntesis histórica. 1▪ Tipos de estadística 4▪ Universo, población y variable 5▪ Concepto de medición. Niveles y Escalas de medida. ▪ Clasificación de las escalas de medida. 8▪ Tipos de investigación estadística. 11▪ Importancia de la estadística en las ciencias administrativas y económicas 12

Unidad 2. Obtención, Ordenamiento y Representación de Datos Estadísticos 15

▪ Fuentes y métodos de recolección de datos. Ventajas y limitaciones. 15▪ Preparación de datos estadísticos. 18▪ Razones, proporciones y porcentajes. 18▪ Distribución de frecuencias. 20▪ Presentación de los datos estadísticos mediante gráficos. Tipos, normas y elementos. 21

Unidad 3. Medidas Estadísticas de Posición Central y No Central 25▪ Medidas de tendencia central para datos simples

Media aritmética. 25Media ponderada. 26Media geométrica. 27Mediana y moda. 28

▪ Medidas de tendencia central para datos simplesMedia aritmética. 30Mediana. 31Moda. 32Media geométrica. 33

▪ Medidas de tendencia no centralPercentiles, cuartiles y deciles. 33

ESTADÍSTICA I

ii

Unidad 4. Medidas de Dispersión o Variablidad 40▪ La dispersión. ▪ Medidas de dispersión absolutas

Rango o recorrido 40Desviación media 42Varianza y desviación típica 42

▪ Medidas de dispersión relativas. Coeficiente de variación 44

ESTADÍSTICA I

iii

Objetivos y Contenidos de la Unidad Curricular

Estadística I

El presente curso se estructura en cuatro unidades, las cuales permitirán analizar de

forma estadísticas los datos de tus actividades empresariales con el propósito de lograr

una toma de decisiones eficientes, es decir, que te permitan realizar evalúo económico y

social de las actividades que realices dentro de la organización en la cual te desempeñas.

Cada una de las unidades programáticas de este material contempla la presentación

teórica de los contenidos. A continuación se presentan el objetivo general de la unidad

curricular y los contenidos de la misma.

Objet ivo General :

1. Analizar los datos estadísticos para la toma de decisiones apropiadas en el

diagnóstico, planificación e interpretación de los procesos inherentes a la

administración.

Contenidos:

UNIDAD 1. ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA

▪ Concepto, objeto y rama de la estadística. Síntesis histórica.▪ El dato estadístico: cuantitativo y cualitativo. Universo, población y variable▪ Concepto de medición. Niveles y Escalas de medida. Clasificación de las

escalas de medida▪ Importancia de la estadística en las ciencias administrativas y económicas.▪ Tipos de investigación estadística.

UNIDAD 2. OBTENCIÓN, ORDENAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS

▪ Fuentes y métodos de recolección de datos. Ventajas y limitaciones.▪ Preparación de datos estadísticos.▪ Presentación de los datos estadísticos mediante tablas y gráficos. Tipos,

normas y elementos.▪ Análisis de los datos estadísticos. Razones, proporciones y porcentajes.▪ Distribución de frecuencias.

ESTADÍSTICA I

iv

▪ Lectura e interpretación de tablas y gráficos.

UNIDAD 3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NO CENTRAL.

▪ Media aritmética. Concepto, propiedades y cálculo para datos simples y distribuciones de frecuencia.

▪ Media ponderada. Concepto, propiedades y cálculo para datos simples y distribuciones de frecuencia. Concepto, propiedades y cálculo para datos simples y distribuciones de frecuencia.

▪ Media geométrica. Concepto y propiedades para datos simples y distribuciones de frecuencia.

▪ Mediana y moda. Concepto y propiedades para datos simples y distribuciones de frecuencia.

▪ Percentiles, cuartiles y deciles. Concepto y propiedades para datos simples y distribuciones de frecuencia.

UNIDAD 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD.

▪ La dispersión. Estadísticos de dispersión. Medidas absolutas y medidas relativas. Fuentes y métodos de recolección de datos. Ventajas y limitaciones.

▪ Recorrido: concepto características y formas de cálculo.

▪ Desviación media. Concepto, características y formas de cálculo.▪ Varianza y desviación típica. Concepto, características y formas de cálculo.▪ Coeficiente de variación. Concepto, características y formas de cálculo.

ESTADÍSTICA I

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INSTRUCCIONES GENERALES

Este material estará conformado por aspectos teóricos y prácticos, esto significa

que aquí encontrarás los planteamientos fundamentales de cada contenido, con

ejemplos y algunas propuestas de ejercitación. También contarás con elementos

de ayuda que te brindarán información resaltante del contenido estudiado, estos

mensajes están resaltados de diferentes formas, a continuación se te presentan

sus significados:

Los recuadros rellenos y sombreados indican la exposición de una definición.

La presentación de notas, datos curiosos o resúmenes se realizarán por medio de cuadros de texto con borde irregular

Los cambios de letra indican la introducción de un ejemplo

Los recuadros de doble línea presentan interrogantes con las que haremos reflexiones sobre el contenido que se está trabajando.

Adelante la estadística de espera… y recuerda:

“Sólo en el diccionario el éxito está antes que el trabajo.”Profesor Luis Huguet

ESTADÍSTICA I

vi

Introducción

Lind, Mason y Marchal (2001) en su libro “Estadística para administración y

contaduría” hacen referencia a una cita de H.C.Well, un escritor e historiador

inglés, quien dijo hace más de 100 años que “para ser un buen ciudadano, el

pensamiento estadístico sería un día tan importante como saber leer”. Estos

mismos autores afirman que Well no mencionó los negocios porque apenas

comenzaba la revolución francesa, sin embargo, aseguran que si ese escritor

tuviera hoy la posibilidad de hacer un comentario sobre las estadísticas

seguramente diría que “el pensamiento estadístico es necesario no sólo para ser

un buen ciudadano, sino también para la toma de decisiones acertadas en los

negocios”.

La estadística la aprendemos desde la educación básica, no obstante, pareciera

que no encontráramos el valor y la utilidad que ella tiene en la vida diaria. Aun en

las circunstancias más comunes de nuestro día a día empleamos estadística para

la toma de decisiones, por ejemplo, cada vez que vamos a bañarnos si

disponemos de un calentador de agua abrimos el chorro durante un rato hasta que

comienza a salir el agua caliente, metemos la mano, probamos la temperatura,

decidimos si se agrega más agua fría o no y cuando consideramos que la

temperatura es adecuada decidimos entrar a la regadera. En este caso tomamos

una decisión basándonos en una muestra, esta cotidianidad es una de las

técnicas empleadas por la estadística.

Estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección,

organización, análisis e interpretación de datos, los resultados del análisis y la

interpretación nos permiten predecir determinados acontecimientos que nos

pueden favorecer en la administración de una empresa. Por ello la importancia de

esta unidad curricular dentro del plan de formación “Administración y Gestión” la

cual te brindará herramientas para toma de decisiones acertadas en los diferentes

procesos administrativos.

ESTADÍSTICA I

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UNIDAD I

ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICAASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA I

¡Comencemos nuestro recorrido! En este apartado encontrarás…

Contenidos de la primera unidad

Ejemplos

Ejercicios propuestos

UNIDAD IUNIDAD I. ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA.. ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA.

Síntesis Histórica

Las inquietudes estadísticas se remontan a la antigüedad, pero el contenido de las mismas ha variado notablemente a través del tiempo. Desde el cuarto milenio a.C. los chinos realizaban censos de población y utilizaban tablas de estadística aplicadas a los problemas agrícolas. Los egipcios, los griegos y los romanos también realizaron múltiples investigaciones recurriendo a la estadística como herramienta.

Indudablemente, en esa época no se conocía la palabra estadística y nadie pensaba en promover leyes de comportamiento de los datos recogidos con mayor o menor exactitud, pero se conocían los procesos censales y catastrales que ayudaban a describir situaciones reales. Las primeras tentativas para sistematizar los conocimientos surgen en Alemania en el Siglo XVII, mientras que en Inglaterra se logra un nuevo progreso al superar la fase meramente descriptiva y comenzar a utilizar los datos con fines predictivos. Más tarde, a partir del análisis de los juegos de azar, el cálculo de las probabilidades se incorpora como un instrumento extremadamente poderoso para el estudio de fenómenos cuyas causas son demasiado complejas para conocerlas totalmente y poder analizarlas sin su uso.

A partir de comienzos del Siglo XX, la estadística logra su expansión definitiva desarrollando su aplicación en todas las ramas del saber. La biología, la meteorología, la investigación agronómica, la demografía, la psicología, la sociología y muchas otras ciencias han sido transformadas mediante el empleo de métodos estadísticos. Esta invasión de la estadística en todos los dominios de la investigación pura o aplicada permite que los métodos estadísticos se desarrollen permanentemente para dar respuesta a los distintos problemas a resolver.

Definición y Objeto de la Estadística

La Estadística tiene por objeto la recolección, presentación, análisis e interpretación de observaciones o mediciones hechas sobre un conjunto de objetos, personas, procesos, fenómenos, etc. Comúnmente es considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación, y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos.

A continuación se te presenta un cuadro con definiciones de estadística planteadas por diferentes autores en diferentes años:

ESTADÍSTICA I

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Autor Definición

Gini, 1953

La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares

Yale y Kendal, 1954

La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de los fenómenos

Kendall y Buckland ,1980

Un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra.

Murria R. Spiegel, 1991

La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis

Lind, Mason y Marchal, 2001

La ciencia de reunir, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar a tomar las mejores decisiones

Quizás el hecho más curioso que resalta de las definiciones anteriores es: ¿La estadística es una ciencia o una técnica? En la actualidad se considera como un poderoso auxiliar en la investigación. Por ello estudiaremos la estadística como un conjunto de métodos que nos permiten evaluar datos cualitativos y cuantitativos.

Entendiendo por dato cuantitativo a aquel que está expresado de forma numérica, por ejemplo: la edad, el peso, las calificaciones, etc. Mientras los datos cualitativos reflejan, como su nombre lo indica, cualidades, características del objeto que se analiza por ejemplo: Categorizar las los niveles de inasistencias de un trabajador en muchas o pocas, la estatura en bajo, mediano o alto, opinar sobre un producto calificándolo de muy bueno, bueno, regular o deficiente, etc.

ESTADÍSTICA I

¿Consideras que ha habido una diferencia u avance notorio a través de los años en las definiciones de estadística presentadas en el cuadro anterior?

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Tipos de Estadística

Dos corrientes de influencia han conducido al desarrollo de los métodos estadísticos. Una de ellas, tenía por objeto mantener en orden registros del gobierno (de hecho, estado y estadística vienen de la misma raíz latina, status). De ella evolucionaron las actividades de conteo, medición, descripción, tabulación, ordenamiento y levantamiento censal, que conforman lo que hoy conocemos como estadística descriptiva. La segunda corriente de influencia se originó en las matemáticas de los juegos de azar y condujo al desarrollo de la estadística inferencial o inductiva, basada fundamentalmente en el concepto de probabilidad matemática.

Estadística Descriptiva:

La estadística descriptiva esta dedicada a descubrir las regularidades o características existentes en un conjunto de datos mediante la utilización de gráficos y de medidas numéricas de resumen. En otras palabras, resume y transforma datos para poder interpretar la información. A través de la cuantificación y ordenamiento de los datos intenta explicar los fenómenos observados, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones.

Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

Estadística Inductiva o Inferencial:

Está fundamentada en los resultados obtenidos del análisis de una muestra de población, con el fin de inducir o inferir el comportamiento o característica de la población, de donde procede, por lo que recibe también el nombre de Inferencia estadística. En resumen, son procedimientos estadísticos que se utilizan para deducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numéricos (población), seleccionando un grupo menor de ellos (muestra).

El objetivo de la inferencia en investigación científica y tecnológica radica en conocer clases numerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras relativamente pequeñas compuestas por los mismos elementos. La Estadística

ESTADÍSTICA I

Estadística Descriptiva:Métodos para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa

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inferencial permite, mediante la utilización de métodos estadísticos basados en la teoría de las probabilidades, generalizar las conclusiones obtenidas a partir de una muestra a la población de la que ha sido extraída. Es importante destacar que para que las conclusiones sean válidas, se debe tratar que la muestra sea representativa de la población.

Leamos el siguiente ejemplo

Universo, Población y Variable

La estadística está compuesta por métodos científicos mediante los cuales podemos recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto de individuos u observaciones que nos permiten extraer conclusiones válidas y efectuar decisiones lógicas basadas en dichos análisis.

En cualquier trabajo en el que se aplique, la estadística debe hacer referencia a un conjunto de sujetos u objetos de análisis, conocido como población.

Población o Universo:

Es el conjunto de entidades u objetos que satisfacen una definición común y en los que interesa analizar una o varias características. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual, ya que puede referirse a personas, cosas, actos, áreas geográficas e incluso al tiempo.

ESTADÍSTICA I

Imaginemos que nuestro profesor de estadística I calcula la

calificación promedio de nuestro grupo en primera unidad. Como

está empleando la estadística para describir el desempeño sin

generalizar estos resultados hacia otros grupos de Estadística I el

profesor está utilizando estadística descriptiva, con graficas, tablas

y diagramas muestra los datos de manera que sea más fácil su

entendimiento. Supongamos ahora que el mismo profesor decide

utilizar el promedio de calificaciones obtenidas por nosotros en la

primera unidad para estimar la calificación promedio que

obtendremos en el resto de las unidades de esta asignatura. El

proceso de estimación de tal promedio sería un problema

Estadística Inferencial:Métodos usados para determinar algo acerca de la población

basándose en una muestra.

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Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas que presentan características comunes, por lo que debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio, de modo que ante la presencia de un potencial integrante de la misma, se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. Por lo tanto, al definir una población, se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quede perfectamente delimitado. Si, por ejemplo, estamos analizando las escuelas primarias, debemos especificar cuáles y cuándo, por ejemplo: Escuelas primarias de Caracas, año 1995.

El tamaño de una población viene dado por la cantidad de elementos que la componen. Generalmente se simboliza esta información con la letra N, en el caso en que sea una población finita, es decir, que podemos contabilizar y establecer un límite de existencia.

Muestra:

Es un subconjunto de unidades de análisis de una población dada, destinado a suministrar información sobre la población. Para que este subconjunto de unidades de análisis sea de utilidad estadística, deben reunirse ciertos requisitos en la selección de los elementos. Las causas por la cual se seleccionan muestras son muchas. Puede ocurrir que la población que se defina tenga tamaño infinito (incontable), y en consecuencia, no fuera posible observar a todos sus elementos. En otras ocasiones, el costo de la observación exhaustiva puede ser muy elevado, el extenso tiempo de recolección de la información, o más aún, la observación de los elementos puede ser destructiva. En todos estos casos, la única manera de estudiar la población es obteniendo muestras de ella. El tamaño de la muestra queda determinado por el número de elementos que la forman y se simboliza con la letra n.

Ejemplo:

Si necesitamos conocer la cantidad de personas entre 20 y 30 años que

pertenecen a cooperativas en Venezuela, todas las personas que posean estas

características ( tener entre 20 y 30 años y trabajar en una cooperativa) serán

nuestra población, seguramente va a ser difícil buscar todas las cooperativas de

ESTADÍSTICA I

Población:Es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el investigador.

Muestra:Es una parte representativa de la población que se estudia y se toma cuando la población es demasiado grande como para estudiarla completa.

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todo el país para conocer este dato, una forma de hacer la investigación es

seleccionando un grupo de estados del país, podría ser uno de cada región y

visitando sus cooperativas, para obtener la información, en este caso obtendremos

una muestra, en la cual encontraremos personas de todas las edades, pero estos

datos nos permitirán predecir de acuerdo a la cantidad de jóvenes en estos

estados la proporción de jóvenes que habrán en todas las cooperativas del país.

Observemos que este es una cose de estadística inferencial.

Variables:

Una variable es la característica de un objeto, persona o situación que es capaz de modificarse en extensión y naturaleza, es decir, es una característica que varía de un objeto a otro que no permanece constante y como consecuencia sirve para singularizar un objeto o grupo de ellos. Debemos tener claro que a variable no es el objeto de estudio en sí, sino sus características, por ejemplo si estuviéramos analizando un local para alquilar el local no es variable, variables son sus atributos: ubicación, tamaño, iluminación, ventilación, etc. Podemos encontrar dos tipos de datos: Cualitativos y cuantitativos.

Variables Cualitativas: Llamamos variable cualitativa a aquella no o puede ser expresada de forma numérica, por ejemplo la religión, podemos decir que somos católicos, judíos, protestantes, evangélicos, etc. Observemos que este es un dato que varía de un individuo a otro pero no puede ser expresado de forma numérica.

Variables Cuantitativas: Es aquella variable que puede ser expresada de forma numérica, por ejemplo el número de hijos por familia. Estas variables se dividen en dos grupos: variables continuas y discretas.

Variable Discreta: Es aquella que solo puede asumir ciertos valores, y ente éstos suele haber huecos, generalmente se expresan en números enteros, por ejemplo, cantidad de miembros de una cooperativa, podemos decir que está conformada por doce, trece personas, pero nunca podremos decir que nuestra cooperativa está conformada por 20,5 personas. Apreciemos el siguiente ejemplo:

Una variable discreta puede ser la cantidad de lapiceros que tenemos

disponibles en nuestro inventario, si contamos podemos decir que

tenemos 96 bolígrafos, el dato en este caso se expresa evitando

los rangos entre los valores, es decir, no podíamos decir que tenemos

ESTADÍSTICA I

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95,2 lapiceros o 96,1. En este tipo de casos se expresa el dato en un

número entero.

Variables Continuas: Es aquella que puede adoptar cualquier valor dentro de un rango específico, por ejemplo, la duración de un viaje en carro de Caracas a Maracay, algunas veces puede durar una hora y cuarenta y cinco minutos o dos horas, etc. Otro ejemplo de variable continua el promedio de las calificaciones de un estudiante en cada lapso. Veamos este otro ejemplo:

Una variable continua es nuestra temperatura corporal, cuando

tenemos fiebre nos tomamos la temperatura, la medida puede ir desde

los 36 grados hasta los 41, pero incluyendo los números decimales,

por ejemplo 36;36,1;36,2;…37;37,1…38;38,1…39,9;40…;40,5 etc.

El peso de las verduras que compramos periódicamente es una variable continua, pues puede variar de forma ascendente o descendente incluyendo los decimales, no hay vacíos entre los rangos, todos son continuos, de allí el nombre de la variable.

Como resumen…

Concepto de Medición. Niveles de Medición de las Variables

Medición

Medición es la cuantificación del atributo de una variable, ¿Qué quiere decir esto? Cuando medimos hacemos una estimación numérica de un objeto, pero no del objeto en sí, medimos los indicadores de sus atributos, para ello contamos con cuatro niveles de medición

ESTADÍSTICA I

Datos

Cualitativos o atributos Cuantitativos o numéricos

Discretos Continuos

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Niveles de Medición

Los datos se pueden clasificar de acuerdo a cuatro niveles de medición. Los niveles de medición indican que tipo de operación se puede hacer con los datos para resumirlos, presentarlos y determinar que pruebas estadísticas pueden llevarse a cabo con ellos. Existen cuatro niveles de medición: Nominal, ordinal, de intervalo y de razón, estos niveles tienen un orden ascendente el más bajo de la escala es el nominal y el más alto el de razón.

Medición Nominal

En el este tipo de medición los objetos sólo pueden ser nombrados o contados. No hay un orden, consiste simplemente en clasificar observaciones dentro de ciertas categorías, las cuales deben ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas. Mutuamente excluyentes significa que un individuo, objeto o medición pertenece únicamente a una categoría, y exhaustiva significa que ningún individuo, objeto o medición puede quedar sin categorías por ejemplo:

En la medición nominal un mismo objeto de análisis no pueden estar en dos categorías, pero todos tienen que estar en una, no puede haber observación fuera de una categoría. Para que no se nos olvide esta propiedad de la medición nominal atendamos el siguiente ejemplo:

En un aula de clases vamos a clasificar las personas por lugar de nacimiento, una

misma persona no puede haber nacido en dos lugares, pero tampoco se puede

decir que no nació en ningún lado, por lo tanto, todos tenemos que estar en una

sola categoría.

Medición Ordinal

El siguiente nivel es el ordinal, en este caso las observaciones además de poder ser clasificadas en categorías, también pueden ser ordenadas por rango, de manera creciente o decreciente. Esto significa que una primera observación puede ser mayor que la segunda, y esta a su vez mayor que la tercera, y así sucesivamente. Sin embargo esto no implica una secuencia de intervalos iguales,

atendamos al siguiente ejemplo: Vamos a comprar un vehículo para transportar

ESTADÍSTICA I

En un nivel de medición ordinal, una categoría que podríamos

establecer es el sexo, clasificado en hombre y mujer, por lo que

los individuos que observamos sólo pueden pertenecen a un

grupo. Si estuviéramos realizando una observación de la imagen

de la izquierda diríamos: Hay un hombre y una mujer.

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nuestra mercancía, tenemos tres opciones y los agrupamos de acuerdo a su

kilometraje, el primero tiene 25.000Km, el segundo 34.000Km y el último

35.500km, observemos que ordenamos las opciones de menor a mayor según la

cantidad de kilómetros, por ello lo “ordinal”, pero hay que resaltar que los

intervalos que los separa, o sea la cantidad de kilómetros entre cada carro son

diferentes, de 25.000 a 34.000 hay 9 kilómetros de diferencia, mientras que de

34.000 a 35.500 tan sólo hay kilómetro y medio. En la escala ordinal esto no

importa.Medición de Intervalo

La medición de intervalo posee las características de la ordinal con la salvedad que aquí la distancia entre los rangos son equivalentes, esto quiere decir que los intervalos pueden ser sumados y restados. Por ejemplo, supongamos que hemos medido cuatro calificaciones con una escala de intervalo las cuales son 10,8,7 y 5. Con estos datos podemos afirmar que la diferencia entre el primero y el tercero es equivalente a la diferencia entre el segundo y el cuarto, observemos: 10-7=3, 8-5=3, sin embargo no podemos decir que el que sacó 8 tuvo el doble del que sacó cinco, a pesar que la diferencia entre los que sacaron 10 y 7, es igual a la diferencia de los que sacaron 8 y 5

Otra característica resaltante de la medición por intervalos es que este tipo de variables no tiene cero absoluto, esto significa que el atributo que medimos no tiene ausencia. Retomemos el ejemplo de la medición de la temperatura corporal, si empleamos un termómetro y nos tomamos la temperatura podemos decir que tenemos fiebre o no pero, pero el hecho de no tener fiebre no significa que tengamos cero temperatura, por lo tanto aquí el cero (0) es relativo. Otro caso en el que el cero es relativo es el número de calzado, no hay calzado número 0. Si medimos el calzado en medición de intervalo diríamos, en una casa hay cinco miembros familiares que calzan 15, 24, 25, 36 y 48.

La diferencia entre a y c= 6, entre b y d= 3 entre c y d=6 entre d y e=6, observemos que la distancia entre a y c, c y d son es equivalente a la de d y e, pero no por ello podemos decir que la persona e tiene el pie tres veces más grande que la persona b.

Medición de Razón

ESTADÍSTICA I

a b c d e

25 28 31 37 43

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Es el nivel más alto de medición, ella posee todas las características de las escalas anteriores, con la diferencia de que aquí el cero si es absoluto, es decir, la presencia del cero indica la ausencia del atributo observado. Un buen ejemplo de un cero absoluto es la velocidad, si detenemos un vehículo la velocidad es cero, porque hay ausencia de velocidad. Pero a medida que comenzamos a acelerar el vehículo podemos decir que si vamos a 30 kilómetros recorreremos la mitad del camino que un carro que va a 60. En la medición de razón la distancia entre los rangos son exactamente iguales. Veamos otro ejemplo:

Tipo de Investigación Estadística

Cuando aplicamos los métodos estadísticos para el estudio de un fenómeno se denomina investigación estadística, estos tipos son: La investigación Directa y la investigación indirecta

Investigación Directa

Es aquella en la que el investigador observa directamente los casos o individuos en los cuales se produce el fenómeno, entrando en contacto con ellos; sus resultados se consideran datos estadísticos originales, por esto se llama también investigación primaria. La mayoría de las investigaciones de carácter oficial, demográficas, económicas o sociales son directas.

La investigación deirecta se divide en: exhaustiva o completa, y parcial o incompleta. Son exhaustivas, aquellas en la que se estudian todos los elementos que integran el universo, todas sus características o las necesarias para describir totalmente la población estudiada.

Son investigaciones parciales o incompletas, cuando tan solo se estudia un número limitado de los casos individuales que forman el universo o cuando se estudian algunas manifestaciones del fenómeno que no lo describen totalmente; se utiliza este tipo de investigación cuando es imposible el estudio del fenómeno de forma completa. Este tipo de investigación puede ser representativa y no representativa, estamos en el primer caso cuando las manifestaciones del fenómeno estudiado son suficientes y necesarias para describir el fenómeno; en caso contrario, caemos dentro de la no representativas.

Investigaciones Indirectas

Son aquellas en las que el investigador se vale de informaciones indirectas, de resultados o cálculos de investigaciones anteriores o en base de los conocimientos que tenga el investigador del fenómeno por experiencias anteriores. Se dividen estas investigaciones en conjeturales (estimaciones) y secundarias. La

ESTADÍSTICA I

Las medidas de la regla, el cero indica la ausencia de medida, pero

la distancia del 0 al 1, ó del 1 al 2 es la misma que la del 2 al 3 ó la

del 3 al 4, y así sucesivamente, entre cada rango hay la misma

diferencia.

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investigación conjetural es aquella en base a conocimientos parciales, opiniones o cálculos, proporciona resultados primarios de valor práctico. Este tipo de investigación puede tener el inconveniente de que, dado el carácter subjetivo de estos conocimientos y opiniones, se pueden obtener resultados diferentes utilizando varios investigadores para el estudio de un mismo fenómeno. La investigación secundaria es aquella que se efectúa por reagrupaciones o reelaboraciones de resultados de otras investigaciones; tiene a su favor este tipo de investigación, que el costo y trabajo queda notablemente reducido.

La investigación indirecta conjetural puede ser: por aproximación, por analogía y por proporción. Por proporción, es la que basada en el convencimiento que sobre el fenómeno tiene el investigador, ya sea por experiencia o por resultado anteriormente obtenido. Los datos que se obtienen en esta investigación serán siempre aproximados al aplicarlos al fenómeno que estudia, pero sirven para tener una idea general del mismo.

Por analogía, son aquellas basadas en el estudio de uno o varios fenómenos que guardan cierta semejanza con el fenómeno a investigar, determinándose ciertas modalidades y características de dicho fenómeno, por procedimientos inductivos.

La investigación conjetural por proporción, puede hacerse de parte a todo un hecho a otro; en el primer caso, se observa una parte de fenómeno y sin mayor rigor aplica a todo el fenómeno; en el caso de un hecho a otro, relacionan dos o más hechos y a través del conocimiento de uno de ellos se determinan las modalidades de otros.

Importancia de la Estadística en Administración

Si te has preguntado por qué un administrador debe saber sobre técnicas estadísticas, te presentamos dos razones:

Los hombres y mujeres que se dedican a las actividades comerciales están en una constante búsqueda de ganancias o excedentes que le permitan crecer o

ESTADÍSTICA I

El método inductivo se basa en la acumulación de datos cuya tendencia nos permite generalizar el comportamiento de los sistemas en estudio. La veracidad de sus conclusiones se ven reafirmadas con la generación de más y más datos que apunten en la misma dirección.

La estadística te permiteSolucionar problemas

Tomar decisiones

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ampliarse en su área, la mayoría de ellos consideran que la estadística es fundamental para el proceso de toma de decisiones, ¿Por qué?, porque permite inferir cómo afectarán las posibles opciones de inversión. De igual forma, la estadística ayuda a tomar decisiones para solucionar problemas que se suscitan en el camino del desarrollo productivo. Recordemos que el desempeño laboral como administrador exigirá el análisis de múltiples datos, los que debemos manejar de forma útil para la organización, es decir, analizando los riesgos y las oportunidades que representan.

ESTADÍSTICA I

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Ejercicios Unidad 1

1) Escribe cinco ejemplos de datos cuantitativos y cinco de datos

cualitativos.

2) Realiza un ejemplo de una muestra de una población cualquiera.

3) Determina cual de los siguientes puntos es una población o una muestra:

a) Los estudiantes de sexto grado de Venezuelab) Los estudiantes de Misión Sucre región Caracas.c) Todas las familias con mascotas de un municipio.d) Los reportes de un día sobre la actividades realizadas en un liceo.

4) Clasifica en cualitativa y cuantitativas las siguientes variables:

a) Los literales de calificación en la escuela básica (A,B,C,D y E)b) Cantidad de pacientes atendidos por Barrio Adentro.c) El color de cabello de las personas de una comunidad.d) Cantidad de hijos de nuestros vecinos.

5) Clasifica las siguientes variables como continuas o discretasa) Número de camisas producidas por una cooperativab) Las horas de un díac) Cantidad de estudiantes de nuestra comunidadd) Kilos de pollo vendidos en Mercal

6) Cuál es el nivel de medición de las siguientes variables:a) Una clasificación de los estudiantes de la zona en la que viven.b) Calificaciones de los estudiantes en la primera prueba de estadística c) Temas de los discursos del presidente Chávezd) El número de horas por semana que estudia un alumnos de Misión Sucree) El año de fabricación del transporte público que cubre la ruta de nuestro

vecindariof) Los periódicos vendidos cada domingo.g) Grupos de estudiantes según su edad.

ESTADÍSTICA I

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UNIDAD II

OBTENCIÓN, ORDENAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE DATOSOBTENCIÓN, ORDENAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICOS

ESTADÍSTICA I

¡Excelente! ya hemos llegado a la segunda unidad, sigamos avanzando. En este

apartado encontrarás:

Contenidos de la segunda unidad Ejemplos

Ejercicios propuestos

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UNIDAD 2. OBTENCIÓN, UNIDAD 2. OBTENCIÓN, ORDENAMIENTO Y ORDENAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS REPRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS.ESTADÍSTICOS.

Fuentes y Métodos de Recolección de Datos

Fuentes de Datos

El lugar del cual obtenemos los datos para realizar nuestros análisis estadísticos se denomina fuente. Los datos que requerimos para realizar una evaluación estadística de los procesos administrativos los podemos encontrar por medio de diversas fuentes las cuales pueden ser; primarias o secundarias, u oficiales o privadas. Llamamos fuentes primarias la persona o institución que ha recolectado los datos, y secundaria si la persona o institución que ha publicado los datos no fue la que efectuó la investigación.

Los datos primarios y secundarios no son dos clases esencialmente diferentes de información, sino partes de una misma secuencia: todo dato secundario ha sido primario en sus orígenes, y todo dato primario, a

partir del momento en que el investigador concluye su trabajo, se convierte en dato secundario para los demás.

Los datos oficiales son todos aquellos que hayamos en dependencias gubernamentales, y por el contrario los datos emitidos por entes no gubernamentales los denominamos privados.

Técnicas de Recolección de Datos

Existen diversas técnicas de recolección de datos, aquí mencionaremos las más comunes o las más empleadas.

La ObservaciónConsiste en el uso

sistemático de nuestros sentidos para captar la realidad que queremos

estudiar. Es una técnica antigua, a través de sus sentidos, el hombre capta la realidad que lo rodea, que luego organiza intelectualmente. El uso de nuestros sentidos es una fuente inagotable de datos que, tanto para la actividad científica como para la vida práctica resulta de inestimable valor.

La observación es un proceso cotidiano para nosotros, es parte de nuestra experiencia de vida, pero nuestras observaciones diarias al no estar orientadas a un propósito determinado carecen de controles

ESTADÍSTICA I

Datos Primarios: son aquellos que el investigador obtiene directamente de la realidad, recolectándolos con sus propios instrumentos. Datos Secundarios: son registros escritos que proceden de un contacto con la práctica, pero que ya han sido elegidos y procesados por otros investigadores.

Observación:Es el registro visual de lo ocurre es una situacional real, clasificando los acontecimientos de acuerdo con algún esquema pre estructurado y cónsono con el problema que se

16

que nos alejen de los errores. Para realizar un proceso de observación con el propósito de recabar datos debemos seguir algunos principios básicos: Debe tener un propósito

específico. Debe ser planeada cuidadosa y

sistemáticamente. Debe llevarse, por escrito o de

forma audiovisual, un control cuidadoso de la misma.

Debe especificarse su duración y frecuencia.

Debe seguir los principios básicos de validez y confiabilidad.

La principal ventaja de esta técnica es que los hechos son percibidos directamente, sin ninguna clase de intermediación, colocándonos ante una situación tal como ésta se da naturalmente. De este modo, nunca obtendremos distorsiones de la realidad, las cuales solemos tener al emplear una entrevista, ya que en ellas los entrevistados colocan su toque personal al brindar la información. Otra ventaja es que la conducta se describe en el momento exacto en que está ocurriendo.

Además, las observaciones se pueden realizar independientemente de que las personas estén dispuestas a cooperar o no, a diferencia de otros métodos en los que sí necesitamos de la cooperación de las personas para obtener la información deseada.

Su principal desventaja reside en que la presencia del observador puede generar una alteración o modificación en la conducta de los objetos observados, destruyendo la

espontaneidad y por tanto alterando la confiabilidad de los datos.

La Entrevista. La entrevista es una técnica en la cual es investigador, de acuerdo a la información que necesita recolectar elabora una serie de preguntas que más tarde realiza a la persona que se convertirá en su fuente. Las entrevistas la mayoría de las veces se realizan en persona, es decir, visitando al entrevistado y registrando la información ofrecida, ya sea con un grabador o por escrito.

Como técnica de recolección de datos la entrevista tiene muchas ventajas; es aplicable a toda persona, siendo muy útil con los analfabetos, los niños o con aquellos que tienen limitación física u orgánica que les dificulte proporcionar una respuesta escrita. Se le puede explicar al entrevistado con qué propósito estamos recogiendo los datos y esta ayuda a que éste dirija mejor sus respuestas.

A pesar de todas sus bondades la entrevista también posee algunas desventajas o limitaciones: Requiere una mayor inversión de tiempo para recoger la información, como las respuestas pueden ser totalmente abiertas se puede dificultar el análisis de los datos y requiere de mucha astucia para obtener los datos que se desean canalizando las respuestas del entrevistado aun cuando éste se desoriente.

El CuestionarioEs el método que utiliza un instrumento

ESTADÍSTICA I

17

impreso. Como en el caso de la entrevista, hay preguntas pero todas están formuladas en un papel, ellas están destinadas a obtener repuestas sobre el problema en estudio y son dadas por consultado a través de un proceso de escritura, sin embargo, el cuestionario puede ser llenado por el encuestado o con ayuda de un empadronador.

El cuestionario puede aplicarse a grupos o individuos estando presente el responsable de recoger la información o no; puede enviarse por diversos medios a los seleccionados en la muestra. También puede contratarse a una persona que cumpla que aplique el cuestionario, en estos casos se suele llamar cédula de entrevista. Un ejemplo de esta aplicación son los empadronadores de los censos de población, recordemos que ellos traen el cuestionario con sus preguntas y sus respuestas, la función que cumplen es leer cada pregunta y marcar la respuesta dada por el encuestado. Las ventajas de esta administración es que no quedarán preguntas en blanco y también que puede ser aplicada a analfabetos, niños o personas con alguna discapacidad.

Cuando la aplicación cuestionario queda en manos de los encuestados se pueden presentar problemas relacionados con la cantidad y calidad de datos que pretende obtener para el estudio. Estos problemas que a su vez se convierten en desventaja son: que el cuestionario no fuese devuelto; que los consultados evadan la respuesta a alguna pregunta o no darle la importancia necesaria a las respuestas proporcionadas. Debido a esa posible pérdida de información se

recomienda cuando se use está técnica se escoja una muestra más grande de sujetos de estudio.

Existen tres tipos de cuestionarios:Cuestionarios Abiertos. Son en

los que se pregunta al sujeto algo y se le deja en libertad de responder como quiera. Este tipo de cuestionario es muy útil y proporciona mucha información, pero requiere más tiempo por parte del informante y es más difícil de analizar por parte responsable de recoger los datos.

Cuestionarios Cerrados. Están estructurados de tal manera que al informante se le ofrecen sólo determinadas opciones de respuesta, y debe seleccionar una de ellas. Este cuestionario es más fácil de codificar y contestar. Como desventaja, es que al ofrecerle categorías al informante se le están "sugiriendo" las respuestas.

Cuestionarios Mixtos: poseen ambos tipos de preguntas abiertas y cerradas, por ello el nombre de “mixtos”.

La mayoría de los cuestionarios poseen la siguiente estructura: Titulo Instrucciones Identificación del encuestado (la

identificación no hace referencia al nombre, en muchos estudios las respuestas anónimas suelen ser más objetivas, pero si vamos a aplicar el cuestionario a una población diversa podemos identificarlos por edad, profesión, etc.)

Preguntas Observaciones

ESTADÍSTICA I

18

En general, en el proceso de recolección de datos los métodos e instrumentos y fuentes suelen combinarse; cada una con sus ventajas y desventajas, sus características propias y la información que se requiera, sin embargo dan flexibilidad para que el investigador determine su uso apropiado según el estudio a realizar.

Preparación de los Datos Estadísticos.

Una vez recogidos los datos pasamos a su preparación para iniciar el estudio, para poder lograr el análisis estadístico es necesario ordenar los datos y clasificarlos, lo primero que hacemos es revisar los instrumentos de recolección de información aplicados, sobre todos si son cuestionarios llenados por el informante ya que en una entrevista el entrevistador es el que registra las respuestas.

Algunos autores proponen que cuando quedan cuestionarios con preguntas sin contestar las llenemos con la respuesta que la mayoría colocó, sin embargo esto se podría considerar poco ético, pues no es la respuesta del encuestado, en ese caso la sugerencia es eliminar ese cuestionario de la muestra. Terminado este proceso pasamos al agrupamiento.

En el caso de las entrevistas y cuestionarios con preguntas abiertas debemos crear categorías de acuerdo con los puntos expresados por los entrevistados de tal forma que ninguna opinión o planteamiento se

queden sin categoría, pero también de forma que ninguna opinión pueda incluirse en dos categorías, es decir, deben ser mutuamentemutuamente excluyentesexcluyentes. Una vez bien estructuradas las categorías contamos la frecuencia de aparición de cada categoría en las respuestas dadas.

En el caso de ser un cuestionario de preguntas cerradas se contabiliza la frecuencia de aparición de cada respuesta para luego elaborar una tabla con la distribución de frecuencias, tema que ampliaremos más adelante.

Razones Proporciones y Porcentajes

Una de las funciones de la estadística es resumir todos los datos de un conjunto para resaltar sus características más importantes. Una de las formas de realizar esta actividad es relacionando los datos, ya sea entre ellos mismos o con datos similares, es decir, convertir los valores absolutos en valores relativos, ya veremos por qué.

RazonesLa razón (R) es el valor que indica la relación cuantitativa existente entre dos cantidades, por ejemplo:

En una ciudad existen 54.000

empleados y 36.000 desempleados,

la razón de empleado a desempleado

se expresa así:

9000.9

000.54

)(

)( ===a

AR

ESTADÍSTICA I

19

Siendo A= Nro. de individuos con cierta característicaa= Nro. de individuos que no poseen cierta característica

La interpretación del ejemplo anterior es que por cada 4 empleados hay 1 desempleado.

Al ser la razón un valor relativo no depende de los valores absolutos de los individuos que la forman, ya que por ejemplo en una zona donde hay 90.000 empleados y 10.000 desempleados la razón sigue siendo de 9.

ProporciónLa proporción es una razón, pero su diferencia con las razones anteriores, es que el denominador del cociente es el número total de unidades enunciadas. La proporción se representa con la siguiente fórmula:

N

Ap = siendo N= (A)+(a)

La proporción contraria sería

N

aq

)(=

Ambas p y q son complementarias y si se suman debe dar igual a 1

p+q=1

Remplacemos las formulas con los datos del ejercicio anterior

857,0000.63

000.54 ===N

Ap

142,0000.63

000.9)( ===N

aq

La proporción de empleados sería de 0,85, y la de desempleados de 0,142. Ambas proporciones son

complementarias y si las sumamos da igual a 1PorcentajesComo vimos en el apartado anterior las proporciones vienen expresadas en valores decimales, esto no es ningún inconveniente, pero cuando se quiere presentar al público los datos utilizar decimales es confuso, por ello se acostumbra a multiplicar las proporciones por 100, para convertir los valores decimales en enteros, es decir, para convertirlos en porcentajes.

100% ∗=N

AP

100)(

% ∗=N

aQ

Convirtamos pues nuestras proporciones en porcentajes:

%7,85100857,0000.63

000.54 =∗===N

AP

%2,14100142,0000.63

000.9)( =∗===N

aq

¿Cómo interpretamos estos porcentajes? De la misma manera que lo hicimos con la proporción, decimos que 85,7% de las personas están empleadas y el 14,2 % están desempleados. Observemos que si tan sólo damos uno de los dos porcentajes con su respectiva interpretación, el segundo porcentaje no es necesario darlo, pues si decimos que en la cuidad “X” el 85,7% de las personas están empleadas, ya podemos inferir la minoría está desempleada, sin necesidad de manejar el porcentaje exacto.

Porcentajes de Cambio

ESTADÍSTICA I

20

Son los que muestran la diferencia entre dos porcentajes; estos pueden ser en aumento o en descenso, veamos sus fórmulas:

100∗−=m

mMPa

100∗−=M

mMPd

Siendo Pa= Porcentaje de aumentoPd= Porcentaje de descenso o disminuciónM= Cantidad mayorm= Cantidad menor

Ejemplo:

Si sabemos que el excedente de

nuestra cooperativa en el año 2004

fue de 100.000.000 de bolívares, y

para el año 2005 Bs. 135.000.000,

¿cuál fue el porcentaje de aumento?

=∗−= 100m

mMPa

%35100000.000.100

000.000.35

100000.000.100

000.000.100000.000.135

=∗=

=∗−=

Pa

Pa

El porcentaje de aumento de nuestro

excedente fue de un 35% en un año.

Distribución de Frecuencias.En muchas ocasiones habrás observados tablas como esta:

Edades (en años) Frecuencia1 a 5 266-10 44

11-15 32

Esta tabla se denomina Distribución de Frecuencias. La estadística descriptiva utiliza la distribución de frecuencias para organizar y presentar los datos. Lo deseable es que logremos determinar de forma correcta las distancias de los intervalos que usaremos para agrupar nuestros datos.

Ahora te preguntarás ¿Cómo elaboro una distribución de frecuencias?, la forma más fácil de aprenderlo es a través de un ejemplo:

Observemos el siguiente grupo de

números y supongamos que son la

cantidad de viajes que realiza cada

día durante un mes la aerolínea

Conviasa

1

512

1

08 20

1

413

1

29 13

1

0

2

0

1

7

1

819

1

215 8 9 10

En esa tabla de datos buscamos el

valor mayor y el menor, para

ESTADÍSTICA I

Distribución de Frecuencias: Es un agrupamiento de datos en categorías mutuamente excluyentes en el cual se registran la cantidad de veces que se ha observado cada categoría.

21

determinar la cantidad dedeterminar la cantidad de

clases, clases, para ello utilizamos la

fórmula 2k, empleándola de la

siguiente manera, en los vuelos de

Conviasa n = 20, asignemos a k un

valor arbitrario, por ejemplo 4,24=16 si

n = 20, 4 clases no cubrirían todos los

datos, probemos con k=5, 25=32, es

mayor que 20, cubriríamos

completamente a n, por lo que

deberíamos conformar 5 clases.

Ahora vamos a calcular la amplitud

del intervalo, recordando que, recordando que

debe ser el mismo para todasdebe ser el mismo para todas

las claseslas clases , , y que deben abarcar

desde el dato menor hasta el mayor,

lo calculamos a través de la siguiente

fórmula:

k

LHi

−⟩

En la que i es el intervalo de la clase, H el mayor número observado, L el menor valor observado y k el número de clases:

4,25

820 =−=−⟩k

LHi

Redondeamos a 2 que será el

tamaño de nuestros intervalos,

recordemos que debemos tener 5

clases. Ahora organicemos nuestros

datos:

Cantidad de

Vuelos Frecuencia (f)

8 a 11 7

11 a 13 5

14 a 16 3

17 a 19 3

20 a 22 2

Ya construimos nuestra distribución de frecuencias, es bueno acotar que el punto medio de la clase se haya en el punto medio entre el límite superior y el límite inferior, en el primer intervalo el punto medio entre 8 y 10 es 9. 9 es el punto medio de la primera clase.

También podemos tener distribuciones de frecuencia relativa, que es la frecuencia absoluta entre la cantidad total de observaciones (n):

Cantidad

de

Vuelos

Días al

Mes

Frecuenc

ia (f)

Frecuenci

a relativa

8 a 10 7 7/20 0,35

11 a 13 5 5/20 0,25

14 a 16 3 3/20 0,15

17 a 19 3 3/20 0,15

20 a 22 2 2/20 0,10

Total 20 20/20 1 Con la frecuencia relativa obtenemos la fracción del número total de

ESTADÍSTICA I

22

observaciones, y si lo multiplicamos por 100 los porcentajes. Si interpretamos el cuadro anterior según su frecuencia relativa podíamos decir que el 35 % de los días del mes Conviasa realiza entre 8 y 10 vuelos.

Presentación de los Datos Estadísticos

A parte de la distribución de frecuencias los datos pueden también pueden ser presentados en gráficos contentivos de los mismos datos que expresamos en la distribución de frecuencias. Seguro te preguntarás ¿Y si tienen los mismos datos para que hacerlos? La respuesta es que el gráfico permite apreciar de forma más rápida los datos obtenidos, ya lo comprobaremos más adelante.

Existen una gran variedad de gráficos, primero conoceremos los dos más empleados en administración, también mencionaremos otros tipos de gráficos de mucha utilidad, sin embargo te invito a ampliar sobre este tema a través de un arqueo bibliográfico.

Histograma:

Es uno de los gráficos utilizados mayormente empleado para representar una distribución de frecuencias

Polígono de frecuencia

Un polígono de frecuencia es perecido al histograma. Consiste en segmentos de línea que se conectan por los puntos formados por la intersección del punto medio de la clase y de la frecuencia de clase. La elaboración de un polígono de frecuencias se hace colocando los puntos medios de cada clase en el eje x y la escala en el eje y, es decir, las frecuentas de clase. Recordemos que el punto medio representa los valores de cada clase.

El histograma y el polígono de frecuencia nos permiten tener una visión de las principales características de un conjunto de datos, a pesar de tener ambos el mismo propósito, el histograma tiene la ventaja de representar cada frecuencia como un rectángulo que además incluye ambos valores del intervalo. Por su parte el polígono de frecuencia tiene una ventaja sobre el histograma, permite comparar dos distribuciones de frecuencia a la vez, y si por ejemplo queremos hacer un

ESTADÍSTICA I

Histograma:Gráfica en la que las clases se indican en el eje y (horizontal) y las frecuencias de la clase por eje x (vertical). Las frecuencias quedan representadas en el gráfico por la altura de las barras, la que se trazan una al lado de la otra.

23

9,00 12,00 15,00 18,00 21,00

Vuelos

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

Frecuencia

gráfico con los gastos de tres años con una misma distribución de frecuencias, fácilmente lo podemos hacer.

0

20

40

60

80

100

1ertrim.

2dotrim.

3ertrim.

4totrim.

Este

Oeste

Norte

Otras presentaciones gráficas de datos

Gráfica por medio de línea. Las gráficas por medio de línea son muy útiles en la administración porque podemos mostrar el cambio de una variable en el tiempo, es decir, si queremos ver la cantidad de unidades vendidas de un producto que fabricamos en nuestra organización, este gráfico es la mejor opción. Para su elaboración colocamos la variable, que continuando con nuestro ejemplo de Conviasa, sería cantidad de vuelos diarios sobre el eje y y el tiempo sobre el eje x.

Gráfico de Barras.Es un gráfico muy versátil, en el se puede graficar cualquier tipo de variable y en cualquier nivel de medición. Las barras pueden ser verticales u horizontales, y tampoco hay mayor inconveniente en la distribución de los datos a través de los ejes del plano cartesiano.

Seguramente te preguntarás ¿En qué se diferencian los histogramas del gráfico de barras? Se diferencian en algo que podría parecer tonto, pero no, y es en la separación que existe entre las barras. Los histogramas poseen sus barras continuas porque sus datos son de intervalo o de razón, mientras que en los gráficos de barra al poder admitir cualquier nivel de medición cada barra representa una variable que puede ser cualitativa o cuantitativa.

ESTADÍSTICA I

0

20

40

60

80

100

1ertrim.

2dotrim.

3ertrim.

4totrim.

Este

24

Diagrama Circular:El diagrama circular, muy reconocido por gráfico de torta es especial para representar porcentajes. El diagrama circular convierte los 360 grados del círculo en el 100% de la variable que estamos representando. Este es un gráfico muy de muy fácil lectura, pues las líneas que cortan la circunferencia permiten, rápidamente, ver que clase de la variable tiene el mayor porcentaje.

35%

25%15%

15%10%

1

2

3

4

5

ESTADÍSTICA I

25

UNIDAD III

MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NOMEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NO CENTRALCENTRAL

ESTADÍSTICA I

¡Felicitaciones! Ya te encuentras en la tercera unidad, continua con tus progresos.

Aquí encontrarás…Contenidos de la segunda unidadEjemplosEjercicios propuestos

26

UNIDAD 3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NOUNIDAD 3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NO CENTRALCENTRAL

Las medidas de tendencia central tienen como propósito hallar con toda precisión el centro de un conjunto de observaciones

Medidas de Tendencia Central para datos Simples

La Media Aritmética

La media aritmética o media es la medida de tendencia central que frecuentemente llamamos promedio, consiste en la suma de los valores del grupo de datos dividida entre la cantidad de valores. La media aritmética de una población se representa con el símbolo µ (mu), y la media aritmética de una muestra se representa con el símbolo X (equis barra) y sus fórmulas son las siguientes:

N

X∑=µn

XX

∑=

Siendo:

Medidas de Posición

Central No Central

Cuartiles (Qx)

Deciles(Dx)

Percentiles(Px)

Promedios Matemáticos Promedios No Matemáticos

Media Aritmética

Media Geométrica

MG

MediaPonderada

Mediana (Med)

Moda (Mo)

X∑ La sumatoria d todos los datosN Poblaciónn MuestraAmbas fórmulas son idénticas, con la única diferencia que en el primer caso trabajamos con la población entera y en el segundo con una muestra.

Ejemplo: Durante cada hora de trabajo de un día una cooperativa produce las

siguientes cantidades de artículos de limpieza: 14, 19, 20, 15, 12, 18, 16, 10.¿Cuál

es el número medio de unidades producidas?

50,158

124

8

1016181215201914 ==+++++++=∑=N

Xµ

El numero medio de producción es de 15,5 artículos de limpieza, pero si retomamos los contenidos estudiados en la primera unidad, la cantidad de artículos producidos en un variable discreta, ya que si estuviésemos hablando de jabones de baño no podemos decir que fabricamos 15 jabones y dejamos hecho la mitad del siguiente, por lo tanto aquí aplicamos una regla que se denomina redondeo.

De tal forma que de 15,5 redondeamos el número decimal, como 5 es ≥ a 5 redondeamos por exceso convertimos el 15, 5 en 16.

Media Ponderada

El redondeo de un número consiste en que una o varias de sus cifras finales (de izquierda a derecha) se substituyen por ceros o se ascienden o descienden si ese último número es mayor o menor que 5

Propiedades de la Media Aritmética: Para calcular la media se toman todas los valores Un conjunto de datos sólo tiene una media. La media es única La media es una medida útil para compara dos o mas poblaciones La media aritmética es la única medida de posición en la que las suma

de las desviaciones de los valores de la media es siempre cero:0)( =−∑ XX

Ejemplo: La media de 3, 8 y 4 es 50132)54()58()53()( =−++−=−+−+−=−∑ XX

La media ponderada o promedio ponderado es una media aritmética en al que cada uno de los valores se le pondera de acuerdo a su importancia con el grupo general. Las fórmulas de media ponderada poblacional y muestral son idénticas:

wµ ó w

wXX w

∑∑= )(

Donde:wX Media Ponderada

X Observación individualW Peso o ponderación asignada a cada observación

Cuando calculamos la media aritmética no sale a discusión si cada uno de los datos tiene igual importancia, sin embargo en ciertos casos puede ocurrir que determinados datos tengan más valor que otro de su mismo conjunto, observemos el siguiente ejemplo:

Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en su curso de estadística I: 19,

20, 18 y 16. Sin embargo dentro de los porcentajes la tercera calificación es la que

tiene mayor ponderación o mayor valor, debido a que representaba el 30 % de la

calificación final, a continuación se reflejan los datos en la siguiente tabla:

Calificaciones Ponderación XW

19 1 19

20 1 20

18 3 54

16 1 16

6 109

16,186

109)( ==∑

∑=w

wXX w

El promedio ponderado de calificaciones de este estudiante es de 18,16 puntos.

Media Geométrica

La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, proporciones, índices o tasas de crecimiento. Tiene mucha aplicación en el comercio y en la economía debido a que nos interesa encontrar el porcentaje de cambio en ventas, salarios o cualquier otro dato económico. La media de un conjunto n de números positivos se define como la n-ésima raíz del producto de los n valores. La formula de la media geométrica se escribe así:

nnxxMG ))...(( 1=

La media geométrica será siempre menor o igual a la media aritmética, pero nunca mayor.

Ejemplo: Un empleado gana 700.000 bolívares al mes, este año va a recibir un

5% de aumento y el próximo año un 15%, si sacamos la media aritmética de estos

de ambos porcentajes nos daría un promedio de 10%, pero el verdadero

promedio es 9, 886. Empleemos la fórmula de media geométrica:

09886,1)15,1)(05,1( ==MG

Verifiquemos: si el trabajador del que hablábamos gana Bs. 650.000 con los dos

aumentos su sueldo quedará:

650.000 * 0,05= 32.500

682.000 * 0,15= 102.370

Total con el aumento 784.870 bolívares

Ahora realicemos el cálculo con nuestra media geométrica

700.000*0,09886=64.259

714.259*0,09886=70.611,6

Total = Bs.784.870

Mediana y Moda

MedianaLa mediana o media posicional queda en la mitad un grupo de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. En este caso la mitad de los números estará por debajo de la mediana y la otra mitad por encima de ella. La mediana se obtiene con la siguiente ecuación:

2

1+= nMed

Si el grupo de datos es impar la mediana se calcula así de la siguiente forma.

La mayoría de las calculadoras pueden calcular la raíz enésima de cualquier número

Ejemplo: Calculemos la mediana de los kilos(ordenados de forma ascendente) de

materia prima utilizadas durante esta semana: 33, 36, 40, 45, 57,60 y 68.

42

8

2

17

2

1 ==+=+= nMed

La mediana es el valor que está en la posición 4: 33, 36, 40, 45, 57,60 y 68.

Si el grupo de datos es par, aplicamos la misma ecuación promediando los dos valores centrales, observemos el ejemplo:Datos: 10, 15, 18, 25, 31, 36, 45, 60, 77, 80

5,52

11

2

110

2

1 ==+=+= nMed

El punto 5,5 estaría entre los valores de las posiciones 5 y 6, por lo buscamos ambos valores y los promediamos 10, 15, 18, 25, 32, 36, 45, 60, 77, 80

432

86

2

3632 ==+=X

La mediana es 43.

ModaEs la medida de tendencia central más fácil de recordar ya verás por qué:

Seguramente responderás… Por que lo usan muchas personas, o por que lo vemos frecuentemente en la calle, y efectivamente eso es la moda, el dato que más se repite dentro de nuestro conjunto de elementos. Veamos este ejemplo:

Edades de los niños de nuestra familia:

12, 1, 10, 1, 10, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11. El número que más se repite es el 10, a pesar

del que el 1 también se repite, el 10 se repite mayor número de veces.

Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados

Antes de avanzar, es correcto aclarar que las definiciones de nuestras medidas de tendencia central se mantienen, a continuación se te presentan un resumen repaso con las definiciones de todas.

¿Por qué sabemos que algún producto está de moda?

Media Aritmética: Es una medida de tendencia central que se obtiene dividiendo la suma de los valores del conjunto de datos entre el número total de Media Ponderada:

Es un caso especial de media aritmética pero cuando todos los datos tienen diferentes valores o ponderaciones que los

discrimina según su importancia

Media Geométrica:Es una medida que calcula los promedios de los porcentajes

Media Aritmética para Valores Agrupados

Para aproximar la media aritmética de datos organizados en una distribución de frecuencias, comenzamos por asumir que las observaciones de cada clase están representadas por el punto medio de la clase. La media de una distribución de frecuencias se calcula así:

n

fXX

∑=

En la que X = media aritmética

X= valor o punto medio de cada clasef= frecuencia de cada clasefX= frecuencia en cada clase por el punto medio de la clasefX∑ = suma de estos productos

n= número total de frecuencias

Ejemplo:

Calculemos la media del precio de venta de los vehículos del plan Venezuela

Móvil

Precio de Venta de

vehículos

(mil lones de bolívares)

Frecuenc

ia

18 a 23 25

23 a 28 28

28 a 33 26

33 a 38 17

38 a 42 13

Total 109

Mediana:Observación de la mitad de los datos después de que se han colocado de forma ordenada

Moda:Es el valor que más se repite dentro de su conjunto, es decir, posee mayor

frecuencia

Al precio de venta medio de los vehículos puede estimarse a partir de datos agrupados en una distribución de frecuencias, lo primero que debemos calcular es el punto medio de cada clase, para eso le calculamos el promedio: 18+23/2=20,5 luego ese valor medio se multiplica por la frecuencia, como se muestra en la siguiente tabla:

9,28109

5,149.3 ==∑=n

fXX

Decimos entonces que la media del precio de venta del plan Venezuela Móvil es de Bs. 28.800.000.

La Mediana Para Valores Agrupados

La mediana es el valor por debajo del cual se encuentran una mitad de los valores y por encima del cual se encuentra la otra mitad. Como los datos están organizados en una distribución de frecuencias, se ha perdido algo de información. Así no podemos calcular la mediana exacta, sin embargo, se puede estimar de la siguiente manera:

)(2 if

CFn

LMed−

+=

Donde:L= Límite inferior de la clase que contiene la mediana.n= Número de frecuencias.f= frecuencia en la clase mediana.CF= número de las frecuencias acumuladas en las clases que preceden a la clase que contiene la mediana.i= amplitud de la clase en la que se encuentra la mediana.

Precios de

venta

Frecuencia

(f)

Punto Medio

(X)fX

18 a 23 25 20,5 512,5

23 a 28 28 25,5 714

28 a 33 26 30,5 793

33 a 38 17 35,5 603,5

38 a 43 13 40,5 526,5

Total 109 3.149,5

Utilicemos los datos del ejemplo anterior, pero en esta oportunidad debemos calcular la frecuencia acumulada, que no es más que la suma acumulada de las frecuencias de cada clase o categoría, veámoslo en la siguiente tabla:

Precios de Venta Frecuencia (f)Frecuencia

Acumulada

18 a 23 25 25

23 a 28 28 53

28 a 33 26 79

33 a 38 17 96

38 a 43 13 109

Total 109Debemos localizar en cual clase se encuentra la mediana, para eso dividimos el

total de la frecuencia entre 2, 2n =190/2=54,5. Ahora buscamos en la frecuencia

acumulada el grupo de intervalos que tenga a este número:

Precios de Venta Frecuencia (f)Frecuencia

Acumulada

18 a 23 25 25

23 a 28 28 53

28 a 33 26 79

33 a 38 17 96

38 a 43 13 109

Total 109

Podemos apreciar fácilmente que el tercer grupo de intervalos es el que posee al número en la posición 54,5 debido a que el anterior sólo llega hasta el número 53, observemos este diagrama.

Sustituyamos ahora los valores:

000.288.28000.288000.000.28)000.000.5(26

532

109

000.000.28)(2 =+=−

+=−

+= if

CFn

LMed

53 79

? MedianaBs. 28.000.000 Bs.33.000.000

La mediana del precio de venta es 28.288.000.

Si comparamos la mediana con la media aritmética se nos presenta una diferencia, pero recordemos que…

Moda Para Datos Agrupados

Siendo la moda el valor con más frecuencia, sólo debemos buscar dentro de nuestra distribución de frecuencias los intervalos con mayor cantidad de frecuencia, revisemos la tabla de precios de venta del Plan Venezuela Móvil.

Precios de Venta Frecuencia (f)

18 a 23 25

23 a 28 28

28 a 33 26

33 a 38 17

38 a 43 13

Total 109El intervalo de 23 a 28 millones es que tiene mayor cantidad de observaciones, por lo tanto para determinar la moda calculamos el punto medio de la clase: 23+28/2=25,5; por lo tanto la moda del precio de venta es Bs. 25.500.000.

Media Geométrica para Datos Agrupados

La media geométrica para datos agrupados se determina con la siguiente ecuación:

nfn

fn f XXXMG ...2121=

DondeX= punto medio de los intervalosf = frecuencia

Recuerda

No podremos determinar una mediana exacta porque hemos perdidos datos en el proceso de agrupación

La media geométrica se calcula para promedios de porcentajesRelación entre Media, Mediana y Moda

En las distribuciones simétricas la media, la mediana y la moda coinciden en el valor, mientras que en una distribución asimétrica positiva la media es mayor que la mediana, pero por el contrario, si la distribución es asimétrica negativa, la media es menor que la mediana.

Simétrica Asimétrica negativa Asimétrica positiva

Medidas de Posición No Central

Los cuartiles, deciles y percentiles se asemejan a la mediana por que dividen la distribución en partes iguales, la mediana lo hace en dos los que están por encima y or debajo de ella, mientras que los cuartiles dividen los valores en cuatro partes iguales, los deciles en diez y los percentiles en cien. A continuación se te muestran las ecuaciones necesarias para su cálculo:

Medidas de Posición No Central

Datos simples Datos Agrupados

Cuartiles4

nxQx

∗=

Deciles10

nxDx

∗=

Percentiles100

nxPx

∗=

Cuartiles

Los cuartiles dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales, Los cuartiles son denotados como Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

Para Datos Simples

Media MediaMedia

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:Cuando n es par:

4

1 nQx

∗= Recordemos que x representa el valor del cuartel que puede ser 1,2 y 3

Cuando n es impar:

Datos Agrupados

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

k= 1,2,3Donde:Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k n = Número de datosFk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.fk = Frecuencia de la clase del cuartil kc = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

DecilesLos deciles dividen la continuidad de los datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

Para Datos SimplesSi se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

10

nxDx

∗= Cuando n es par:

10

)1( += nxDx Cuando n es impar:

Siendo x el número del decil.

Para Datos Agrupados

Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.

k= 1,2,3,... 9Donde:Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datosFk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.fk = Frecuencia de la clase del decil kc = Longitud del intervalo de la clase del decil k Otra fórmula para calcular los deciles:El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40%, de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

El quinto decil corresponde a la mediana.

El noveno decil supera al 90% y es superado por el 10% restante.

Donde (para todos):L1 = limite inferior de la clase que lo contieneP = valor que representa la posición de la medidaf1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.Ic = intervalo de clase.

Centiles o Percentiles

Los percentiles son una de las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles dividen los datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99.

Para Datos Simples

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

Para los percentiles, cuando n es par:

100

nxPx

∗=

100

)1( +∗= nxPx

Cuando n es impar:Siendo x, el número del percentil.Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

Para Datos AgrupadosCuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

k= 1,2,3,... 99Donde:Lk = Límite real inferior de la clase del decil k n = Número de datosFk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.fk = Frecuencia de la clase del decil kc = Longitud del intervalo de la clase del decil k

Otra forma para calcular los percentiles es:Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.

El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones.

El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante. Ejemplo

Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el treintavo percentil, de la

siguiente tabla:

Salarios

(en miles de

bolívares)

Número de

Empleados

(f1)

Frecuencia

Acumulada

200-299 85 85

300-399 90 175

400-499 120 295

500-599 70 365

600-699 62 427

700-800 36 463

Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula

Siendo,

La posición del primer cuartil.

La posición del septimo decil.

La posición del treintavo percentil.

Entonces,

El primer cuartil:

115.5 – 85 = 30.75

Li = 300, Ic = 100 , fi = 90

El 7 decil:

Posición:

324.1 – 295 = 29.1

Li = 500, fi = 70

El percentil 30

Posición:

138.9 – 85 = 53.9

fi = 90

Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salarios por

debajo de Bs.334.000; que bajo Bs. 541.570 gana el 57% de los empleados y

sobre Bs. 359.880, gana el 70% de los empleados.

UNIDAD IV

MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDADMEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD

¡MAGNÍFICO!

Llegamos a la última unidadde esta divertida unidad curricular

Aquí encontrarás… Contenidos de la segunda

unidad Ejemplos Ejercicios propuestos

UNIDAD 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓNUNIDAD 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de tendencia central por sí solas carecen de significado, pues de nada sirve saber el promedio sin conocer la dispersión, qué significa esto, saber cuanto se alejan las observaciones de su propio promedio, observemos el siguiente ejemplo:

A continuación se te presenta el monto en bolívares de ventas mensuales de las

empresas “XXX” y “ZZZ”

MesesEmpresa

“XXX”

Empresa

“ZZZ”

Julio 1.500.000 4.800.000

Agosto 1.800.000 3.900.000

Septiembre 2.000.000 2.000.000

Octubre 2.300.000 1.400.000

Noviembre 2.500.000 700.000

Diciembre 2.800.000 100.000

Total 12.900.000 12.900.000

Empresa “XXX” 000.150.2=X Empresa “ZZZ” 000.150.2=X

Ambas tienen la misma media en ventas, pero si realizamos el análisis considerando cada una de las ventas del mes podemos apreciar que la situación de la empresa “ZZZ” es muy delicada, debido a que el último mes de facturación se aleja mucho de la media. Por esto la importancia de las medidas de dispersión.

Existen dos grupos de medidas de dispersión. El primer grupo es el de las medidas de dispersión absolutas que vienen expresado por las mismas medidas que identifican a la serie de datos; el segundo grupo es el de las medias de dispersión relativas que son relaciones entre las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central, expresado en valores abstractos (porcentajes).

Medidas de Dispersión Absolutas

Medidas de Dispersión:Miden que tanto se dispersan los datos recabados de su media

El Rango

El rango o recorrido es la medida de dispersión más sencilla, consiste en calcular la diferencia entre el valor mayor o el valor menor de la observación:

VmVMR −= Revisemos el siguiente ejemplo:

Horas diarias dedicadas al estudio por un grupo de estudiantes del plan de

formación Administración y Gestión:

1,5 2 3 2,5

2 3 3,5 4

2 2,5 1 1

Calculemos la media aritmética 23,212

28 ≈==X . Podemos decir que todos los

alumnos dedican aproximadamente dos horas diarias al estudio. Calculemos el Rango, R=Vm-Vm=4-1=3. El rango de 3 es la distancia entre los límites. El rango es una medida de dispersión débil pues sólo incluye dos valores del conjunto.

El rango es una buena opción cuando comparamos dos situaciones similares, retomemos el ejemplo al principio de la unidad

Monto en bolívares de ventas mensuales de las empresas “XXX” y “ZZZ”

MesesEmpresa

“XXX”

Empresa

“ZZZ”

Julio 1.500.000 4.800.000

Agosto 1.800.000 3.900.000

Septiembre 2.000.000 2.000.000

Octubre 2.300.000 1.400.000

Noviembre 2.500.000 700.000

Diciembre 2.800.000 100.000

Total 12.900.000 12.900.000

Empresa “XXX” 000.150.2=X Empresa “ZZZ” 000.150.2=X

Calculemos el rango de cada una

XXX= 2.800.000 - 1.500.000=1.300.000

ZZZ= 4.800.000 – 100.000= 4.700.000

Podemos concluir que la media de la empresa XXX es más representativa que la

de la empresa ZZZ.

Para calcular el rango de datos agrupados tomamos el límite inferior de la primera clase y el límite superior de la última clase. Ejemplo.

Utilicemos la distribución e frecuencias del Plan Venezuela Móvil trabajado en la

unidad anteriorPrecios de Venta del

VehículoFrecuencia (f)

18 a 23 25

23 a 28 28

28 a 33 26

33 a 38 17

38 a 43 13

Total 109

8,215

109 ==X 251843 =−=−= VmVMR

El rango es 25 millones.

Desviación MediaLa desviación media mide la cantidad media en que los valores de la población, o de la muestra, varían de la media. Se define así:

n

XXDM

−∑=

DondeXes el valor de cada observaciónX = es la media aritmética de los valores

n= es el número de observaciones en la muestra= indica el valor absoluto. En otras palabras se hace caso omiso de los signos

de las desviaciones medias, ¿Por qué? Porque si no lo hiciéramos así las desviaciones positivas y negativas se anularían, y al desviación siempre sería cero, y una medida de dispersión cero sería completamente inútil.

Ejemplo

1,5 2 3 2,5

2 3 3,5 4

2 2,5 1 1

Número de (X-X) Desviación Absoluta

horas

1,51,5-2,3=-

0,80,8

2 2-2,3=-0,3 0,33 3-2,3=0,7 0,7

3,5 3,5-2,3=1,2 1,24 4-2,3 1,7

4,7

194,05

7,4 ≈==−∑

=n

XXDM El número de horas estudiada se desvía de la

media en una hora

Varianza y Desviación Estándar

La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión basadas en la desviación media, pero en lugar de usar valores absolutos, elevamos al cuadrado las desviaciones. Elevar al cuadrado significa eliminar los números negativos. La variancia y la desviación son las medidas de dispersión más útiles, pues proporcionan una medida más significativa sobre el punto de dispersión

Varianza poblacional y Desviación Estándar para datos simples

Recordemos que la población son todas las observaciones que hemos recabado, es decir, los datos. Su fórmula es:

1

)( 22

−−∑

=n

XXS i

Donde 2S =varianza poblacional

X= valor de una observación de la poblaciónX = media aritmética de la población

n= Número de observaciones de la población

Ejemplo:

Varianza: La media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado.

Desviación Estándar: La raíz cuadrada positiva de la varianza

Un corredor de seguros vende tres pólizas por los siguientes precios en millones: 32, 23 y 26

273

262332 =++=X

El precio de las pólizas de seguro está estrechamente agrupado alrededor de los 27 millones de bolívares y pueden fluctuar entre los 3.740.000 bolívares.

Varianza Poblacional y Desviación Estándar para Datos Agrupados

1

222

−−∑=

n

XnfMS 2ss =

Ejemplo:

El director de Conviasa requiere conocer el número de pasajeros atendidos por

día para determinar si la variación de pasajeros es grande, ya que de ello depende

la ampliación en la flota de aviones, la distribución de frecuencias es la siguiente:

Pasajeros

(Clases)

Días

(Frecuenci

a)

Punto Medio

(M)fM M2 fM2

50-59 3 54,5 163,5 2.970,25 8.910,75

60-69 7 64,5 451,5 4.160,25 29.121,75

70-79 18 74,5 1341 5.550,25 99.904,50

80-89 12 84,5 1014 7.140,25 85.683

90-99 8 94,5 756 8.930,25 71.442

100-09 2 104,5 209 10.920,25 21.840,5

TOTAL 50 3.935 316.902,50

7,7850

935.3 ==∑=n

fMX g Por lo tanto

31,14749

)7,78(505,902.316

1

2222 =−=

−−∑=

n

XnfMS

14,1231,1472 === ss

74,32 == SS

143

11625

3

)2726()2723()2732( 2222 =++=−+−+−=S

El director de Conviasa ya puede decidir si los aviones que utilizan actualmente pueden acomodar fluctuaciones hasta de 12 pasajeros en los días de tránsito pesado.

Medidas Relativas de Dispersión

Las medidas de dispersión estudiadas hasta ahora no nos permiten hacer comparaciones entre la dispersión de los valores de varias distribuciones, ya que todas ellas están afectadas por la unidad de medida en que se expresan los datos; de allí que la comparación sería imposible porque cada medida vendría expresada en unidades diferentes. Además varias distribuciones pueden tener un mismo tener un mismo valor para determinada medida de dispersión y ser la variabilidad de sus datos en relación con la media, diferente.

Por ello la existencia de medidas de dispersión relativa que se expresan en porcentaje (valores abstractos) y se determinan por la relación existente entre una medida de dispersión absoluta y una medida de la tendencia central, relación que nos permite compara la variabilidad de los datos entre varias series.

La medida de dispersión relativa de mayor importancia es el coeficiente de variación, que se expresa en porcentajes y se calcula por la relación que existe entre la desviación estándar y la media aritmética. Su fórmula es la siguiente:

100X

CVσ=

Ejercicios Unidades 2, 3 y 4

1) Qué tipo de instrumento de recolección de datos aplicarías en as siguiente situaciones y por qué.

a.Para registrar el comportamiento de niños en un parque público.b.para supervisar la correcta ejecución de una obra en tu comunidad.c. Para registrar los hábitos alimenticios de tus familiares y amigos en una

reuniónd.Para contratar nuevos personal para tu empresae.Para solucionar un problema entre el personal que labora en una

organización.f. Para conocer la opinión del público sobre los productos que produces.

2) Realiza un censo en tu comunidad sobre dos variables de tu interés, por ejemplo: cantidad de papeleras por acera, cantidad de vecinos que participan en las misiones, etc. Luego:

a.Clasifica las variables según su nivel de mediciónb.Realiza el proceso de recolección de datos (con al menos 20

observaciones, muestras)c. Elabora la distribución de frecuencias para ambos casosd.Selecciona el gráfico que más se adecue a tu variable y presenta en los

resultados obtenidos.e.Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de las variables

estudiadas, con su respectiva medida de dispersión (Varianza y desviación estándar)

3) Calcula la media, mediana y la moda de las edades de tu grupo familiar

4) Calcula la razón de postes de alumbrado público en buen y mal estado que están en el trayecto que va desde tu casa hasta tu sitio de estudio o de trabajo.

FELICITACIONES!!!!

Concluimos exitosamente este proceso de aprendizaje, esperamos que lo hayas

disfrutado.

Respuestas

Unidad I

1) Escribe cinco ejemplos de datos cuantitativos y cinco de datos cualitativos.

Respuesta abierta

2) Realiza un ejemplo de una población y su muestra.

Respuesta abierta

3) Determina cual de los siguientes puntos es una población o una muestra:Los estudiantes de sexto grado de Venezuela. PoblaciónLos estudiantes de Caracas pertenecientes a Misión Sucre. MuestraTodas las familias con mascotas de un municipio. PoblaciónLos reportes de un día sobre las actividades realizadas en un liceo. Muestra

4) Clasifica en cualitativa y cuantitativas las siguientes variables:

Los literales de calificación en la escuela básica (A,B,C,D y E) CualitativaEl color de cabello de las personas de una comunidad. CualitativaCantidad de pacientes atendidos por Barrio Adentro. CuantitativaCantidad de hijos de nuestros vecinos. Cuantitativa

5) Clasifica las siguientes variables como continuas o discretasNúmero de camisas producidas por una cooperativa. DiscretaLas horas de un día. ContinuaCantidad de estudiantes de nuestra comunidad. DiscretaKilos de pollo vendidos en Mercal. Continua

6) Cuál es el nivel de medición de las siguientes variables:Calificaciones de los estudiantes en la primera prueba de estadística. RazónUna clasificación de los estudiantes de la zona en la que viven NominalTemas de los discursos del presidente Chávez. NominalEl número de horas por semana que estudia alumno de Misión Sucre. RazónEl año de fabricación del transporte público que cubre la ruta de nuestro vecindario. IntervaloLos periódicos vendidos cada domingo. RazónGrupos de estudiantes según su edad. Ordinal

Unidades 2, 3 y 4

1) Qué tipo de instrumento de recolección de datos aplicarías en as siguiente situaciones y por qué.

a.Para registrar el comportamiento de niños en un parque público. Observación

b.Para supervisar la correcta ejecución de una obra en tu comunidad. Observación, Entrevistas

c. Para conocer los hábitos alimenticios de tus familiares y amigos en una reunión. Cuestionario

d.Para contratar nuevos personal para tu empresa. Entrevistae.Para solucionar un problema entre el personal que labora en una

organización. Entrevistaf. Para conocer la opinión del público sobre los productos que produces.

Cuestionario

2) Realiza un censo en tu comunidad sobre dos variables de tu interés, por ejemplo: cantidad de papeleras por acera, cantidad de vecinos que participan en las misiones, etc. Luego:

g.Clasifica las variables según su nivel de mediciónh.Realiza el proceso de recolección de datos (con al menos 20

observaciones, muestras)i. Elabora la distribución de frecuencias para ambos casosj. Selecciona el gráfico que más se adecue a tu variable y presenta en los

resultados obtenidos.k. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de las variables

estudiadas, con su respectiva medida de dispersión (Varianza y desviación estándar)

Respuesta Abierta según los datos obtenidos

3) Calcula la media, mediana y la moda de las edades de tu grupo familiarRespuesta Abierta según los datos obtenidos

4) Calcula la razón de postes de alumbrado público en buen y mal estado que están en el trayecto que va desde tu casa hasta tu sitio de estudio o de trabajo.

Respuesta Abierta según los datos obtenidos

Bibliografía

KAZMIER, L. (1998) Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía. Mac Graw Hill. México

LIND, D, Mason, R y Marchal, W (2001) Estadística para Administración y Economía. Mac Graw Hill. México.

RIVAS, E. (2000) Estadística General. Ediciones de la Biblioteca. UCV. Caracas

WEBSTER, A. (2000) Estadística aplicada a los Negocios y a la Economía. Mac Graw Hill, Santa Fé de Bogotá.