Funciones 1

Tema1Relacionesyfunciones

IntroduccinalClculoSuperior

Tema1 Relacionesyfunciones

Bibliografabsica

(AF)Afined.lgebrayPrincipiosdelAnlisis,TomoII.Lumbreras.Cap.5. (S) Stewart,Clculodeunavariable.Cengage Learning Editores. Cap.1y7. (SHE)Salas,Hille yEtgen. Calculus,VolumenI.Revert.Cap 1y7. (LHE)Larson,Hostetler yEdwards.Clculo,VolumenI.Cap.1,7y8.

IntroduccinalClculoSuperior

Tema1 Relacionesyfuncionesndice

1. Conjuntos(repaso).2. Productocartesiano.3. Planocartesiano.4. Relaciones.Definicinyejemplos5. Funciones.Definicin.6. Formaexplcita,implcitayparamtrica7. Algunaspropiedadesdelasfunciones8. Operacionesconfunciones9. Tiposdefunciones10. Funcioneselementalesalgebraicas11. Funcioneselementalestrascendentes12. Funcionesnoelementales.

4Introduccin al Clculo Superior

1. Conjuntos (repaso)

En esta seccin se har un breve repaso a la teora elemental deconjuntos. Se realizar a travs de la resolucin de algunosejercicios. Esta seccin servir e introduccin a los conceptos deproducto cartesiano y relacin.

Lecturas bsicas: tu libro de secundaria

Recursos en internet: Wikipedia, monografias.com , ditutor, udea entre muchos otros



Repaso de algunos smbolos matemticos tiles...

Smbolo Significado= Igual a.

:=

Se define como. Es equivalente.

Implica que. Si entonces( tambin se usa para tienda a)

Si y solo s, sii. Equivalencia.

O lgico.

Y lgico. y

No. Negacin.

Existe (al menos un).

No existe.

! Existe un nico.

Smbolo Significado/|:

Tal que.

Pertenece a. Es elemento de

{ , , } Enumerando los elementos deun conjunto.:|

El conjunto de los elementos tales que

Por tanto

La funcin mapea

Para todo.

\ menos, sin.

Es subconjunto de

ms smbolos



Recordatorio.

Conjunto: agrupacin de objetos elementos- (en este tema nos interesan elementos que pertenezcan a lo nmeros reales )

Conjunto A:{2,4,5,7,12.3,23}

2

5

4

12.37

Conjunto B:{1,8,13,17,23,102}

1

813

17

102

Ejercicios. Define los conjuntos ; B; ; ; #Verdadero o Falso: ; ; B ; ; \A ;A=B

2323


Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,13,17,23,102}

1: ?

2: ?

3: : cardinal nmero de elementos- |A|=?

4: card( ): cardinal del conjunto ( ) card( )=?

5:#: cardinal # ?

6: Sea A={1,1,1,3,3,5,5} y B={5,3,1}. A=B?

Algunos ejercicios:

Realiza los diagramas de Venn de las cuestiones 1 y 2.



Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,513,17,23,102}

1: , es ?

2: ; es ?

3: B es ?

4: es ?

5: \A . \A . \A es ?

6: , . es ?

Verdadero o Falso?

Ilustra con diagramas de Venn las cuestiones 1 a 5



Cuestiones adicionales:, , calcula :

1.1- Conjuntos (repaso)

\B \B \A \A \B


Definicin:

2. Producto cartesiano

Par ordenado: es un par de objetos matemticos ordenados, de tal manera quese distingue el primer elemento y el segundo elemento. Si el primerelemento es a y el segundo es b, el par ordenado se denota como(a,b). El par ordenado queda definido por sus elementos y el orden.Esta definicin se puede extender a ms de dos elementos.

(a,b)Primer elemento o componente

Segundo elemento o componente

1-El conjunto {a,b} es igual al {b,a}?2-El par ordenado (a,b) es igual al (b,a)?3-Cundo (a,b) ser idntico a (c,d)?

Ejercicios:4-Y el conjunto {a,b} al conjunto {c,d}?5-El trio ordenado (a,b,c) es igual al (b,c,a)?6-El conjunto {a,b} es igual al par ordenado

(a,b)?



Producto cartesiano de dos conjuntos A y B: Es el conjunto formado portodos los pares ordenados que puedan formarse tomando la primeracomponente de A y la segunda de B. Se denota por . Estadefinicin se puede extender a ms de dos conjuntos.

Ejemplo: Sea A={1,3,4} y B={1,5}. Entonces ={(1,1),(1,5),(3,1),(3,5),(4,5),(4,1)}

Para escribir los elementos delproducto cartesiano puede ser tilescribirlo en una tabla, con A en eleje horizontal y B en el vertical

AB

1 3 4

1 (1,1) (3,1) (4,3)

5 (1,5) (3,5) (4,5)



Verdadero o falso?1- , .2- , .3- = A .

Ejercicios: 1. Cmo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?

2. Demostrar que .

4- , |x .5- ||.6- .


3. Plano cartesiano

Sea el conjunto de los nmeros reales. Entonces

,

Por lo que el producto cartesiano es el conjunto de todas las parejasde nmeros reales. Su representacin geomtrica es el planocartesiano llamado tambin plano numrico, geomtrico, plano eucldeo oeuclideano (por cumplirse los 5 axiomas de Euclides de geometra) .

,

x

y

Se asocia de esta forma el par ordenado , con el punto , .


P(x,y)

x

y

3. Plano cartesiano

El plano cartesiano, tambin llamado eucldeo oeuclideano, es un sistema de referencia formado pordos rectas perpendiculares que se cortan en el origen(0,0) para representar puntos en dos dimensiones.

Cada punto de este plano representa un parordenado, y puede etiquetarse mediante dos nmeros:(x, y), que son sus coordenadas cartesianas,llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, y queson las distancias ortogonales de dicho punto respectoa los ejes cartesianos.

(0,0)

La ecuacin del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0. Se denomina eje de lasabscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacioen cuatro cuadrantes donde los signos de las coordenadas alternan de positivo anegativo .Para localizar las abscisas, se contarn las unidades correspondientes en direccinderecha, si son positivas y en direccin izquierda, si son negativas. Y luego, desde dondese localiz el valor de x, se localiza la ordenada contando las unidades correspondienteshacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo, en caso de ser negativas. De estamanera se localiza cualquier punto dada las coordenadas cartesianas.

(http://www.definicionabc.com)


3. Plano cartesiano

Ejercicios:

1. Sea el conjunto 1,2,3,4.Calcula y grafica el producto cartesiano .

2. Sea B=, el conjunto de los nmeros naturales (1,2,3,). Grafica y .

3. Sea C= el conjunto de los nmeros reales positivos. Grafica .4. Sea 0 1 . Grafica .5. Grafica .6. Grafica , , ,7. Sean los conjuntos A = / 1 1 } , y B = . Realiza el

grfico cartesiano de .


1. Conjuntos(repaso)2. Productocartesiano3. Planocartesiano4. Relaciones.

4.1Definicin4.2Representacingrfica

5. Funciones.Definicin6. Formaexplcita,implcitayparamtrica7. Algunaspropiedadesdelasfunciones8. Operacionesconfunciones9. Tiposdefunciones10. Funcioneselementalesalgebraicas11. Funcioneselementalestrascendentes12. Funcionesnoelementales


4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos

Definicin:

Relacin matemtica Una relacin de los conjuntos , , , es unsubconjunto de su producto cartesiano. Es decir,

En el caso de relacin entre dos conjuntos , se denomina tambin relacinbinaria o correspondencia

(Relacin binaria heterognea) (Relacin binaria homognea)

Como el producto cartesiano no es conmutativo, no es lo mismo la relacin entre A y B que entre B y A. Por tanto, se puede tambin decir que es una relacin de A a B, hacia B o sobre B:

: ab a, b


A={1,2,3,4}B={2,7,8} {(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}

Se pueden construir muchas relaciones (cuntas?). Por ejemplo:

, ={(3,2),(4,2)}

La regla que se utiliza para definir la relacin, es decir, para seleccionar los pares ordenados del producto cartesiano, se denomina Regla de Correspondencia.

La Regla de Correspondencia se puede expresar:

Mediante una expresin algebraica, que puede ser una ecuacin, inecuacin o un sistema de ecuaciones simultneas. (definicin de un conjunto por comprensin)

Mediante una tabla que representa los pares ordenados de . (definicin de un conjunto por extensin)

Mediante alguna representacin grfica (grfico sagital, plano cartesiano)

Ejemplo 4.1



Ejemplo 4.1

A={1,2,3,4}B={2,7,8}

{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}

Se pueden construir muchas relaciones. Por ejemplo:

, ={(3,2),(4,2)}

A B1234

2

7

8Conjunto de partida o inicial

Conjunto de llegada o final

Esta representacin se denomina diagrama o grfico sagital


1.4 Relacin

a, b ={(3,2),(4,2)}

A B1234

2

7

8

Aloselementosdelconjuntode llegada

quedefinenlarelacinseles

denominaRANGOoconjuntoIMAGEN

Aloselementosdelconjuntodepartida

quedefinenlarelacinseles

denominaDOMINIOo conjuntoORIGEN

Dom , }

Rang , }

Ejemplo4.1


, ={(3,2),(4,2)}

Ejemplo 4.2


Representacin en el plano cartesiano

A={1,2,3,4}B={2,7,8}

{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}

2

78

1 2 3 4

Elementos de

Elementos de


A={1,2,3,4}B={2,7,8} {(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}

Se pueden construir otras muchas relaciones. Por ejemplo:

, ={(3,2),(4,2)}

Ejemplo 4.2 (cont.)


, ={(2,2)}

, 3 3 ={(4,7);(4,8)}

, 8 ={(1,8),(2,8),(3,8),(4,8)}

, 2 ={(1,2),(4,8)}

, 4 5 ={(4,7),(4,8)}=

1,2, 2,7, 4,7


Ejemplo 4.3


1

1

-1

Sean los conjuntos A = / 1 1 } , y B = . 1. Realiza el grfico cartesiano de .2. Definimos la relacin , , A 5 .

Calcula dominio y rango Grafica la relacin


Ejemplo 4.3


Sean los conjuntos A = / 1 1 } , y B = . 1. Realiza el grfico cartesiano de .2. Definimos la relacin , , A 5 .

Calcula dominio y rango Grafica la relacin

2

El dominio es 1,1 . El rango son losvalores de B que se obtienen alrecorrerse el dominio. En este caso, larelacin es una lnea recta, por lo que esfcil obtener que

Ran | 4,6

La relacin es el segmento


Ejemplo 4.4:Graficar la relacin , : , 3 4 12}.

X

Y

4

3

R

La ecuacin esta en forma implcita (no est despejada la y)Solucin:

4. Relaciones/4.2 Representacin grfica

Es una recta, por lo que dibujarla es muy fcil. Hay que localizar dos puntos sencillos. Por ejemplo, basta con analizar las intersecciones.

0 4 12 3 0,3 0 3 12 4 4,0


Ejemplo 4.4:Graficar la relacin , : , 3 4 12}.

X

Y

4

3

RLa ecuacin esta en forma implcita (no est despejada la y)

La podemos dibujar con el programa WinPlot

Solucin:


http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html


Ejemplo 4.5: Graficar la relacin , : , 3 4 12}.

X

Y

4

3

R

Tenemos una inecuacin en forma implcita.A cada x le corresponden ms de un valor de y (infinitos).

Solucin:


Para localizar la regin 3 4 12se puede hacer lo siguiente:

a) Dibujamos la recta 3 4 12. la regin estar a uno de ambos lados

b) Miramos si el (0,0) verifica la inecuacin:3 0 4 0 0 12

c) Como, en este caso, s lo verifica, el (0,0) est dentro de la regin, por lo que la regin que define la inecuacin es la que est a la izquierda de la recta.

d) Como la inecuacin es


Ejemplo 4.5: Graficar la relacin , : , 3 4 12}.

Con WinPlot, a partir del grfico del Ejemplo 4:Solucin:



Ejemplo 4.6: Graficar la relacin , : , 3 2 6 0}.


Solucin:

Solucin:


(no incluye la recta)

(S incluye la recta)


Ejemplo 4.8: Graficar la relacin , : , 2 4 2 3 7}.

Tenemos dos ecuaciones simultaneas que se deben cumplir. Su solucin es x=2, y=1, por lo que R es slo el punto (2,1)

Ejemplo 4.9: Graficar la relacin , : , 1 }.

Para poder hacer la figura de la derecha con winplot tenemos que utilizar ecuaciones explcitas

Solucin:

Solucin:



Ejemplo 4.9bis: Graficar la relacin , : , 1 }.

1 1

Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas 1

1

Solucin: (cont.)


Para hacerlo con winPlot



1 1

Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas 1

1

Aadimos la tercera ecuacin explcita

Solucin: (cont.)




Cmo lo he obtenido?




Solucin: (cont.)


La relacin es el rea sombreada excluyendo los contornos



La regla de correspondencia equivale a: 3 3 4 1 3Puede interpretare como dos inecuaciones simultneas:

3 4 4 0

3 4 2 0

Solucin:


La relacin es la franja excluyendo los contornos


En general, para graficar una relacin en el plano cartesiano es til seguir los siguientes pasos:

1. Definir la extensin de la relacin en el plan cartesiano: dominio y rango.2. Interseccin con los ejes (imponiendo x=0 e y=0).3. Analizar el comportamiento en los extremos, cuando x va hacia . (si cuando

o se tiene una asntota horizontal (la recta ).4. Buscar asntotas verticales. La recta es una asntota vertical si o

cuando . En esos puntos no est definida la funcin, no pertenecen al dominio.Aparecen por ejemplo, cuando hay un denominador que puede anularse.

5. Buscar simetras que faciliten la representacin. Para encontrar la simetra con el eje X,se reemplaza y por -y y se comprueba si la relacin de correspondencia cambia.Igualmente, la simetra con el eje Y se analiza cambiando x por -x. Para encontrar lasimetra respecto al origen, se reemplaza x por -x e -y por y .

6. Tabulacin: asignamos valores a x dentro del dominio de la relacin para encontrar losrespectivos valores de y y ubicarlos en el plano.


X

Y (x, y)

(x, -y) X

(x, y)

Y(-x, y)

X

Y (x, y)

(-x, -y)

Simetra con el origenSimetra con el eje X Simetra con el eje Y



x

y

Simetra eje Y

Simetra eje X

; Simetra origen


Ejemplo 4.11: Sean , y sea la regla de correspondencia

1

1Graficar la relacin.

Otra forma, ms matemtica, de definir esta relacin es: , : , 1

Paso 1: Dominio y Rango.

Dom 1}

Rang y 0

1

1

1

1

1 0

Solucin:


1



1

1Graficar la relacin.

1

1

1

1

Si 0 1

Paso 2: Interseccin con ejes

Si 0 no def.

Solucin:


1-1


Paso 3: comportamiento en los extremosSolucin:


Qu ocurre cuando ?Imponemos , con M>0 un nmero arbitrariamente grande, y vemos qu hace cuando

Si

1

1

1

1 0; Si M

0

Otra forma, menos precisa (con mucho menos valor en un examen) consiste en tabular para elevados (y asumir que esos valores son suficientemente representativos de esa zona)

X 100 1000 10000 100000Y 0.0101 0.001 0.0001 0.00001 es positivo y se va a 0


Paso 3: comportamiento en los extremosSolucin:


Qu ocurre cuando ?Imponemos , con M>0 un nmero arbitrariamente grande, y vemos qu hace cuando

Si

1

1

1

1 0;

1

1

1

1 0;Si M

1

0

Si

La recta 0 es una asntota vertical, pues hay un patrn de acercamiento paulatino

Si M 0



1

1.

Paso 4: comportamiento en asntotas verticalesSolucin:


En los puntos donde se anula el denominador, y no se anule el numerador, hay una asntota vertical (siempre)

La recta 1 es asntota vertical.

Cuando 1 ?

Valores de x ligeramente mayores a 1: 1por ejemplo: 1.01; 1.001; 1.00001,.

Valores de x ligeramente mayores a 1: 1por ejemplo: 0.99; 0.999; 0.9999,.

1

11

1 1



1

11

1

Si 1 1

1

1

1 1

1

0

Por tanto, a medida que x se acerca a 1 por la derecha, se va hacia

1valor ligeramente superior a 0: 0.01; 0.001; 0.00001,

Otra forma, menos precisa (con mucho menosvalor en un examen) consiste en tabular para muy prximos a 1 por la derecha (y asumir queesos valores son suficientemente representativosde esa zona)

X 1.1 1.01 1.001 1.0001Y 10 100 1000 10000



1

11

1

Si 1 1

1

1

1 1

1

0

Por tanto, a medida que x se acerca a 1 por la derecha, se va hacia

1valor ligeramente superior a 0: 0.01; 0.001; 0.00001,

Si 1 1

1

1

1 1

1

0

valor ligeramente inferior a 0: 0.99; 0.999; 0.9999;

Por tanto, a medida que x se acerca a 1 por la izquierda, se va hacia


Paso 5: asimetras


Eje Y: si cambiamos por , volvemos a obtener ?1

1

1

1

No tiene simetra respecto al eje Y: , ,

Eje X: si cambiamos por ,volvemos a obtener ?

No tiene simetra respecto al eje Y: , ,

1

1

1

1

1

1

cambiamos por ,

Origen: si cambiamos por , obtenemos -y?1

1

1

1

No tiene simetra respecto al origen: , ,


Paso 6: Tabulamos algunos valores

X Y



Usando WinPlot

Se trata de una ecuacin explcita (la y est despejada)

4. Relaciones/4.2 Representacin grficahttp://math.exeter.edu/rparris/winplot.html


Usando WinPlot



Ejemplo 4.12: Graficar la relacin , : , / 1 .

Solucin:



Ejemplo 4.12: Graficar la relacin , : , / 1 .

Solucin:


Caso

1

1 1;

Caso

1

1

1 1

Hay una asntota horizontal en y=1

Si

Si M 1

Si

Si M 1


Ejemplo 4.13: Graficar la relacin , : , 4 0.

Solucin:


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