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Guía de trabajo autónomo (modalidad impresa)

Semana 4: del 18 al 22 de mayo

Matemática

Profesor: Luis Jiménez Montero

El trabajo autónomo es la capacidad de realizar tareas por nosotros mismos, sin necesidad de que el profesor esté presente.

1. Me preparo para hacer la guía Pautas que debo verificar antes de iniciar mi trabajo.

Materiales o recursos que voy a necesitar

El profesor sugiere:

• Materiales: cuaderno, borrador, lápiz, calculadora.

Condiciones que debe tener el lugar donde voy a trabajar

Espacio cómodo, agradable, ventilado, sin ruido (donde pueda concentrarme)

Tiempo en que se espera que realice la guía

3 horas

2. Voy a recordar lo aprendido en clase.

Indicaciones El profesor:

• Se hará un repaso de temas conocidos: triángulos, cuadriláteros, áreas, perímetro, Teorema de Pitágoras.

• Lea y analice el siguiente material: Polígonos

3. Pongo en práctica lo aprendido en clase.

Indicaciones • Realice una lista de los conceptos enunciados en el material.

• Haga una ficha con las fórmulas presentadas.

• Realice la actividad propuesta.

Polígonos Definición Un polígono es una figura geométrica delimitada por segmentos de recta (líneas rectas). Por ejemplo, triángulos, rectángulos, cuadrados, pentágonos, …

Polígonos irregulares Cuando un polígono tiene sus lados y sus ángulos de distinta medida, se dice que es un polígono irregular. Existen dos conceptos importantes referentes a los polígonos: - Perímetro: es la suma de las medidas de sus lados.

Se mide en unidades lineales (metros: m, centímetros: cm, kilómetros: km)

- Área: es la medida de la superficie que encierra el polígono. Se mide en unidades cuadradas (metros cuadrados: m2, centímetros cuadrados: cm2, kilómetros cuadrados: km2)

Polígonos famosos (desde la escuela)

El cuadrado Tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos internos miden cada uno 90°

El cuadrito significa que el ángulo mide 90°

Ejemplo En la parte trasera de la casa de Juan hay un patio en forma cuadrada. Cada lado del patio mide 8 m.

Perímetro Se desea cercar el patio. ¿cuántos metros de cerca son necesarios?

Solución Para determinar el perímetro (el borde) de un cuadrado, se multiplica 4 por la medida del lado (por tener cuatro lados iguales).

𝑃 = 4 ∙ 𝑙 𝑃 = 4 ∙ 8 𝑃 = 32

R/ Se necesitan 32 m de cerca.

Área Al patio se le piensa sembrar zacate. ¿Cuántos metros cuadrados de zacate se deben comprar?

Solución Para determinar el área (la superficie) del cuadrado, se eleva al cuadrado el lado (lado por lado).

𝐴 = 𝑙2 𝐴 = 82 𝐴 = 32

R/ Se necesitan 32 m2 de zacate.

El rectángulo Cuadrilátero (figura de cuatro lados) cuyos ángulos miden 90° y sus lados opuestos son congruentes (iguales).

Ejemplo Otra vez un patio, pero esta vez de forma rectangular de 12 m de largo y 8 m de ancho.

Perímetro Se desea cercar el patio. ¿cuántos metros de cerca son necesarios?

Solución Para determinar el perímetro (el borde) de un rectángulo, se suman sus cuatro lados ( 𝑃 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑎 +𝑎 , o lo que es lo mismo 𝑃 = 2 ∙ 𝑙 + 2 ∙ 𝑎 ).

𝑃 = 2 ∙ 𝑙 + 2 ∙ 𝑎 𝑃 = 2 ∙ 12 + 2 ∙ 8

𝑃 = 40 R/ Se necesitan 40 m de cerca.

Área Al patio se le piensa sembrar zacate. ¿Cuántos metros cuadrados de zacate se deben comprar?

Solución Para determinar el área (la superficie) de un rectángulo, se multiplica largo por ancho. ( 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎 )

𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎 𝐴 = 12 ∙ 8

𝐴 = 96 R/ Se necesitan 96 m2 de zacate.

El triángulo Todos sabemos que un triángulo es una figura de tres lados (no necesariamente de igual medida).

Ejemplo Un espacio de juego un parque tiene forma triangular, como se muestra en la figura siguiente.

Se desea cerrar con cinta (por el aislamiento social). ¿Cuánta cinta es necesaria?

Solución Para determinar el perímetro de un triángulo, se suman sus lados.

𝑃 = 12 + 8 + 6 𝑃 = 26

R/ Son necesarios 26 m de cinta.

En los triángulos es conveniente conocer su altura (distancia de un vértice al lado opuesto “llamado base”, debe formar ángulo de 90°).

Ejemplo Un triángulo de base 24 cm tiene 9 cm de altura. ¿Cuál es su área?

Solución Para determinar el área de un triángulo se multiplica la medida de la base por la medida de la altura y se divide entre 2.

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 =24 ∙ 9

2

𝐴 = 108 R/ El área del triángulo es de 108 cm2.

Un triángulo importante es el triángulo rectángulo (uno de sus ángulos es recto: 90°)

Ejemplo Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos (los lados que forman el ángulo recto) miden 14 cm y 9 cm respectivamente.

Área El en triángulo rectángulo, se puede tomar uno de los catetos por base y el otro por altura.

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 =9 ∙ 14

2

𝐴 = 63 R/ El área del triángulo es 63 cm2.

Teorema de Pitágoras Para determinar el lado faltante del triángulo (hipotenusa: el que está al frente del ángulo de 90°), se utiliza el Teorema de Pitágoras.

“hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”

𝑐: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑎: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑏: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑥2 = 142 + 92 𝑥2 = 277

𝑥 = √277 𝑥 ≈ 16,6

La medida de la hipotenusa es √277 cm, aproximadamente 16,6 cm.

Perímetro Ahora que se conoce la medida de la hipotenusa, se puede determinar su perímetro.

𝑃 = 9 + 14 + √277

𝑃 = 23 + √277 𝑃 ≈ 39,6

R/ El perímetro del triángulo es (23 + √277) cm, aproximadamente 39,6 cm

Ejemplo Determinar el área y el perímetro del siguiente triángulo rectángulo, en cm.

Solución Note que, en este caso, sí se conoce la hipotenusa pero no uno de sus catetos.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 182 = 𝑥2 + 152 182 − 152 = 𝑥2

99 = 𝑥2

√99 = 𝑥

3√11 = 𝑥 9,9 ≈ 𝑥

El cateto faltante mide 3√11 cm, aproximadamente 9,9 cm.

Perímetro Ahora que se conoce la medida de los tres lados, se puede obtener el perímetro.

𝑃 = 18 + 15 + 3√11

𝑃 = 33 + 3√11 𝑃 ≈ 42,9

R/ El perímetro del triángulo es (33 + 3√11) cm,

aproximadamente 42,9 cm.

Área Al conocer los dos catetos, se puede determinar el área del triángulo (uno es base y el otro altura).

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 =15 ∙ 3√11

2

𝐴 =45√11

2

𝐴 ≈ 74,6 R/ El área del triángulo es 74,6 cm2.

Actividad En su cuaderno, escriba las definiciones, que se dan en este material, de los siguientes términos: Polígono Perímetro Área Cuadrado Rectángulo Triángulo Altura Triángulo rectángulo Cateto Hipotenusa Teorema de Pitágoras

Complete los siguientes ejercicios. Nota: Cada medida está dada en cm. 1. De acuerdo con la figura, determine

Nombre de la figura ______________________ Perímetro ___________ Área ___________ 2. De acuerdo con la figura, determine

Nombre de la figura ______________________ Perímetro ___________ Área ___________ 3. De acuerdo con la figura, determine

Nombre de la figura ______________________ Perímetro ___________ Área ___________

4. De acuerdo con la figura, determine

Nombre de la figura ______________________ Hipotenusa ___________ Perímetro ___________ Área ___________ 5. De acuerdo con la figura, determine

Nombre de la figura ______________________ Cateto x: ___________ Perímetro ___________ Área ___________

Autoevaluación “Autoevalúo mi nivel de desempeño” Al terminar por completo el trabajo, autoevalúo mi nivel de desempeño, en cada caso pinto una de las manitas según mi desempeño.

Indicador Inicial Intermedio Avanzado Identifico características de los polígonos para determinar el perímetro y el área.

Menciono las diferentes tipos de polígonos y sus fórmulas: perímetro y del área.

Identifico las características de los polígonos, así como sus fórmulas.

Determino el área y el perímetro de polígonos.

Utilizo el Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia entre dos puntos en la resolución de ejercicios.

Reconozco las fórmulas del Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia.

Identifico cuándo utilizar el Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia.

Resuelvo ejercicios haciendo uso del Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia.

Con el trabajo autónomo voy a aprender a aprender

Durante el trabajo: Después del trabajo:

Leí atentamente las indicaciones

Mi trabajo está ordenado

Apunté conceptos nuevos o importantes

Revisé mi trabajo

Consulté lo que no entendía

Estoy satisfecho con mi trabajo

¿Qué fue lo mejor del trabajo? ¿En qué puedo mejorar?



Matemática










3 horas



• Se trabajará con ejercicios de polígonos, determinar el perímetro y el área.

• Lea y analice el siguiente material: Polígonos


Indicaciones • Realice la actividad propuesta.

Polígonos Área de polígonos “formado por trozos”

Ejemplo Determinar el área y el perímetro del polígono ABCD. Nota: Cada medida está dada en cm.

Solución

Perímetro

Para determinar el perímetro:

- Primero se determina la medida de cada lado.

𝑑 = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)

2

𝐴(−2,5) 𝐵(3,5) 𝑑 = √(−2 − 3)2 + (5 − 5)2 = 5

𝐵(3,5) 𝐶(6, −1) 𝑑 = √(3 − 6)2 + (5 − −1)2 = 3√5

𝐶(6, −1) 𝐷(−4, −1) 𝑑 = √(6 − −4)2 + (−1 − −1)2 = 10

𝐷(−4, −1) 𝐴(−2,5) 𝑑 = √(−4 − −2)2 + (−1 − 5)2 = 2√10

- Una vez que conocemos las medidas, se determina el perímetro (suma de los lados).

𝑃 = 5 + 3√5 + 10 + 2√10

𝑃 = 15 + 3√5 + 2√10

𝑃 = 28,03 R/ El perímetro es (15 + 3√5 + 2√10) cm, aproximadamente 28,03 cm

Área

Para determinar el área de la figura, se puede dividir en figuras más simples.

Para determinar el área total, se suman los tres resultados.

𝐴𝑇 = 6 + 30 + 9

𝐴𝑇 = 45 𝑐𝑚2

❶ Triángulo ❷ Rectángulo ❸ Triángulo

Base: 2 Altura: 6 Largo: 6 Ancho: 5 Base: 3 Altura: 6

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎 𝐴 =

𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 =2 ∙ 6

2

𝐴 = 5 ∙ 6 𝐴 =

3 ∙ 6

2

𝐴 = 6 𝐴 = 30 𝐴 = 9

❶ ❷ ❸

Ejemplo Determinar el área y el perímetro del polígono ABCD. Nota: Cada medida está dada en m.

Solución

Perímetro

Para determinar el perímetro:

- Primero se determina la medida de cada lado.

𝑑 = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2

𝐴(1,4) 𝐵(1,2) 𝑑 = √(1 − 1)2 + (4 − 2)2 = 2

𝐵(1,2) 𝐶(−4, −3) 𝑑 = √(1 − −4)2 + (2 − −3)2 = 5√2

𝐶(−4, −3) 𝐷(7, −3) 𝑑 = √(−4 − 7)2 + (−3 − −3)2 = 11

𝐷(7, −3) 𝐴(1,4) 𝑑 = √(7 − 1)2 + (−3 − 4)2 = √85

- Una vez que conocemos las medidas, se determina el perímetro (suma de los

lados).

𝑃 = 2 + 5√2 + 11 + √85

𝑃 = 13 + 5√2 + √85

𝑃 = 29,03 R/ El perímetro es (13 + 5√2 + √85) m, aproximadamente 29,03 m

Área

Para determinar el área de la figura, se puede dividir en figuras más simples.

Para determinar el área total, se suman los tres resultados.

𝐴𝑇 =25

2+ 21

𝐴𝑇 =67

2 𝑐𝑚2 = 33.5𝑐𝑚2

❶ Triángulo ❷ Triángulo

Base: 5 Altura: 5 Base: 5 Altura: 5

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2 𝐴 =

𝑏 ∙ ℎ

2

𝐴 =5 ∙ 5

2 𝐴 =

6 ∙ 7

2

𝐴 =25

2

𝐴 = 21

❶ ❷

Práctica

En su cuaderno, determine el perímetro y el área de los siguientes polígonos.

1.

2.

3.

“Autoevalúo mi nivel de desempeño” Al terminar por completo el trabajo, autoevalúo mi nivel de desempeño, en cada caso pinto una de las manitas según mi desempeño.

Indicador Inicial Intermedio Avanzado Utilizo las características de los polígonos para determinar el área total de la figura.

Identifico las figuras básicas que forman la figura total.

Formulo una estrategia para determinar el área total.

Determino el área total de la figura.






Revisé mi trabajo



¿Qué fue lo mejor del trabajo?

¿En qué puedo mejorar?



Matemática










3 horas



• Se trabajará con ejercicios de circunferencia. Re retomará el Teorema de Pitágoras.

• Lea y analice el siguiente material: Tangente a la Circunferencia


Indicaciones • Realice las actividades propuestas.

Tangente a la circunferencia

Elementos en estudio: - Circunferencia - Centro - Tangente - Radio - Punto exterior - Distancia del centro a un punto exterior

- Punto de Tangencia

Teorema: en toda circunferencia, el radio y la tangente forman un ángulo recto en su punto de tangencia. Es decir, Si el radio forma ángulo de 90° en su extremo, entonces, la otra recta (o segmento) es una tangente a la circunferencia.

(Note en las figuras anteriores dónde está en ángulo de 90° □)

Como la tangente y el radio forman ángulo recto, entonces se pueden presentar ejercicios para trabajar con el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo Un punto dista 13 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio. Determine la medida del segmento tangente que va desde el punto exterior a la circunferencia.

Solución Datos conocidos - Dista (distancia): 13 cm - Radio: 5 cm Datos por averiguar Tangente: 𝑥

Dibujo

Ángulo 90° entre radio y tangente

Teorema de Pitágoras 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

132 = 𝑥2 + 52 132 − 52 = 𝑥2

144 = 𝑥2

√144 = 𝑥 12 = 𝑥

R/ La tangente mide 12 cm.

Ejemplo Desde un punto externo a una circunferencia, se forma un segmento tangente de 6 km. Si el diámetro de la circunferencia es de 4 km, entonces, ¿a qué distancia se encuentra el punto exterior del centro de la circunferencia?

Solución Datos conocidos - Tangente: 6 km - Diámetro: 4 km Entonces el radio es 2 km Datos por averiguar Distancia: 𝑥

Dibujo

Ángulo 90° entre radio y tangente

Teorema de Pitágoras 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2 = 62 + 22

𝑥2 = 40

𝑥 = √40

𝑥 = 2√10 𝑥 ≈ 6,3

R/ La tangente mide 6,3 km.

Ejercicios 1. De acuerdo con siguiente figura, escriba la letra

correspondiente a la par del concepto. Mantenga la letra en Mayúscula o minúscula según corresponda.

¿En cuál punto se forma el ángulo recto? Escriba la letra correspondiente ____________ Para los ejercicios 2, 3 y 4, siga las siguientes instrucciones: - Escriba el ejercicio en su cuaderno. - Determine los datos conocidos.

- Determine los datos por averiguar. - Realice el dibujo.

- Realice los cálculos necesarios. - Escriba la respuesta.

2. Determine la medida del radio de una circunferencia a la que un punto externo dista 10 m de su centro y desde ese punto se traza un segmento tangente de 8 m a la circunferencia.

3. Un punto dista 41 cm del centro de una circunferencia. Desde es punto, se traza una tangente de 40 cm de longitud. Determine la medida del radio de la circunferencia.

4. Desde un punto exterior a una circunferencia de 12 cm de radio, se traza un segmento tangente de 35 cm. Determine la distancia del punto exterior al centro de la circunferencia.

“Autoevalúo mi nivel de desempeño” Al terminar por completo el trabajo, autoevalúo mi nivel de desempeño, en cada caso pinto una de las manitas según mi desempeño.

Indicador Inicial Intermedio Avanzado Utilizo las características de los polígonos para determinar el área total de la figura.

Identifico los elementos estudiados.

Planteo el problema usando los datos y el dibujo.

Resuelvo el problema utilizando Pitágoras.






Revisé mi trabajo



¿Qué fue lo mejor del trabajo? ¿En qué puedo mejorar?

Concepto Letra

Radio

Centro

Punto exterior

Punto de Tangencia

Tangente

Distancia del centro a un punto exterior

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