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MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PUNTOS EN UN CUERPO RIGIDO

La definición de movimiento relativo entre los puntos A y B condujo a las siguientes relaciones:

VA=VA+VA/B

aB=aA+aB/A

Donde el subíndice B/A denota el movimiento de B relativo a A. es útil recordar que VB/A y aB/A pueden verse

como la velocidad y aceleración de B para un observador que no rota unido al punto A.

Si los puntos AyB pertenecen al mismo cuerpo rígido en traslación (es decir, que no rota), su vector posición

relativo rB/A es constante y no existe movimiento relativo (VA/B= aB/A = 0). Por tanto, todos los puntos en el

cuerpo en traslación tienen las mismas velocidades y aceleraciones.

Ahora considere el cuerpo en la figura 16.7(a) que efectúa un movimiento general en un plano (traslación y

rotación simultánea). Los ejes x’ y’ no rotatorios están unidos al punto A. la velocidad angular del cuerpo es

y su aceleración angular es donde es el Angulo entre rB/A y el eje x’. Conforme el

cuerpo se mueve, la dirección de rB/A cambia, pero su magnitud rB/A ( la distancia entre a y b) es constante. A

esto le sigue que la trayectoria de b, en el sistema de coordenadas x’ y’ en traslación, es un circulo de radio

rB/A que se encuentra en el plano de movimiento, como se muestra en la figura. Así el movimiento b relativo a A

solo se debe a la rotación del cuerpo respecto a un eje que pasa por A. Por tanto, la velocidad y la

aceleración relativas entre dos puntos sobre un cuerpo rígido pueden calcularse con las ecuaciones que se

han desarrollado en el apartado anterior para la ecuación respecto a un eje fijo. Con los cambios apropiados

en la notación, las ecuaciones serán:

(16.8a)

La figura 16.7 (b) muestra cada uno de los términos en las ecuaciones (16.8a). Esta figura es idéntica a la

16.6(a) para la rotación respecto de un eje, excepto por los cambios de notación. Es importante entender que

en los cálculos se emplean la velocidad angular absoluta y la aceleración angular absoluta. Debido a que el

Angulo se mide desde la dirección x’ fija, todas las mediciones angulares son cantidades absolutas

Las formas vectoriales de la ecuación (16.8a) son:

VB/A = rB/A .

n= rB/A . VB/A =

R

n = VB/A .

rB/A).

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(16.8b)

Método de velocidad relativa

Existen dos métodos para analizar las velocidades asociadas con los cuerpos rígidos que realizan

movimientos en un plano. Este aparato se refiere al método de la velocidad relativa, que utiliza la ecuación VB

= VA + VB/A para dos puntos en el mismo cuerpo rígido. El otro método, que se basa en los centros

instantáneos para la velocidad, se describe en el siguiente apartado.

VB/A = rB/A

n= VB/A = rB/A)

rB/A).

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En la figura muestra un cuerpo rígido que experimenta un movimiento general en un plano. Si A y B son puntos en el cuerpo, entonces de acuerdo con las ecuaciones, la velocidad de B es relativa a A.

VB/A = rB/A vB/A = rB/A

Donde es la velocidad angular del cuerpo. Al sustituir la ecuación (16.9) en VB =VA + VB/A , se obtiene

VB = VA + x rB/A

En la figura 16.8 se ilustra la interpretación física de la ecuación (16.10). la figura muestra que el movimiento general en un plano es equivalente a las superposición de los movimientos más sencillos. 1.- Una traslación del cuerpo rígido, donde la velocidad de cada punto es igual al punto de referencia A (VB = VA ), como se muestra en la figura 16.8 (b)

2.- Una rotación del cuerpo rígido respecto a un eje fijo en A (VB/A = rB/A ), que se indica en las

figuras 16.8(c) o (d). la presentación de un perno de apoyo en A refuerza el concepto de que A se considera fijo en el instante en que se calcula la contribución de la rotación. La contribución de la rotación del cuerpo a la velocidad de B puede calcularse al utilizar la notación vectorial en la figura 16.8 (c) o la notación escalar en las figuras 16.8 (d). La elección de la notación es un asunto de preferencial personal. Cuando se emplea la notación escalar, se considera que la dirección de la velocidad es perpendicular AB y su sentido se determina por la dirección de la

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velocidad angular del cuerpo (recuerde que es una propiedad de este último y es independiente de la elección del punto de referencia).

El método de la velocidad relativa consiste en escribir la ecuación (16.10) VB = VA + w x rB/A, para dos puntos en el mismo cuerpo rígido y después despejar las incógnitas. Para el movimiento en un plano, la ecuación (16.10) es equivalente a dos ecuaciones escalares (por ejemplo, las ecuaciones que resultan de igualar las componentes horizontal y vertical de ambos lados de la ecuación vectorial). El número de variables que aparecen en la ecuación (16.10) es cinco (suponiendo que se conoce): VB : dos variables (magnitud y dirección o componentes horizontal y vertical) VA : dos variables (magnitud y dirección o componentes horizontal y vertical)

una variable (magnitud de la velocidad angular).Observe que la dirección del vector es

conocida por que siempre es perpendicular al plano de movimiento. Evidentemente, la ecuación (16.10) no puede resolverse a menos que tres de las cinco variables que se muestran se conozcan de antemano. Por tanto, la elección de A o B está restringida a los puntos cuyas velocidades contengan menos de dos incógnitas. Estos se conocen como puntos de importancia cinemática para la velocidad. De ellos, un ejemplo común es un punto fijo; es decir, el que está anclado a un soporte. Debido a que la velocidad de un punto fijo es cero, este no tiene incógnitas. Un segundo ejemplo es un punto que viaja sobre una trayectoria dada. Puesto que se sabe que la dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria, la velocidad de tal punto tiene como máximo una incógnita, a saber, la magnitud. Los pasos en la aplicación del método de la velocidad relativa son: Paso 1: identificar dos puntos de importancia cinemática, por ejemplo, A y B, sobre el mismo cuerpo rígido.

Paso 2: Escribir VB= VA + X rB/A, identificando las variables incógnitas (es posible emplear la

notación vectorial o la escalar). Paso 3: si el número de incógnitas es dos, resuelva la ecuación. Si el número de incógnitas es mayor que dos, el problema aún puede resolverse si se considera el movimiento de otros puntos de importancia cinemática. RODAMIENTO SIN DESLIZAMIENTO: la figura muestra un disco circular de radio R que rueda

sobre una superficie horizontal con velocidad angular y aceleración angular , ambos en sentido

negativo. Observe que la trayectoria del centro o

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Es una línea recta paralela a la superficie. el rodamiento sin deslizamiento ocurre si el punto de

contacto C sobre el disco no tiene velocidad, es decir, si el disco no se desliza sobre la superficie.

esto amerita especial atención por que sucede muchas aplicaciones en la ingeniería. al relacionar

las velocidades de los puntos O y C se tiene:

Como se esperaba este resultado indica que la velocidad del centro o es paralela a la superficie

sobre la que rueda el disco, cuya magnitud es

VO = R

Como se muestra en la figura 16.9 (b).

Aquí también es conveniente deducir la aceleración de o, no obstante que esta información se

utilizara hasta el apartado 16.7. La aceleración o puede obtenerse por derivación de la ecuación

(16.11a). al observar que R e i son constantes, se tiene

ao = vo = Ri

VO = VC + rO/C

K y Cuando se sustituye VC =0,K y rO/C =Rj, resulta

VO = K x Rj = Ri

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Donde es la aceleración angular del disco. Así, la aceleración de o es paralela a la superficie

horizontal y su magnitud es:

ao = R

Como se muestra en la figura 16.9(c).